Raciocínio Lógico - Parte IV

Apostila escrita pelo professor José Gonçalo dos Santos Contato: jose.goncalo.santos@gmail.com Raciocínio Lógico - Parte IV

Sumário 1. Argumentação... 1 2. Regras de Inferência... 2 3. Regras de inferência... 5 4. Referências Bibliográficas... 8 2

1. Argumentação Para entendermos o que é argumentação, é necessário definirmos, primeiro, o que é um argumento. Segundo Cury (1997), argumento é uma seqüência finita de proposições P 1, P 2, P 3,..., P n (n 1) que tem como conseqüência uma proposição C. As proposições P 1, P 2, P 3,..., P n chamam-se premissas do argumento e a proposição C chama-se conclusão. Denota-se da seguinte forma: P 1, P 2, P 3,..., P n - C Abaixo são apresentadas algumas formas de leitura dessa representação: 1. P 1, P 2, P 3,..., P n acarretam C. 2. P 1, P 2, P 3,..., P n, logo C. 3. P 1, P 2, P 3,..., P n, então C. Um argumento é válido se, e somente se a conclusão for verdadeira sempre que as premissas forrem verdadeiras também. Quando um argumento não é válido, dizemos que ele é um sofisma ou uma falácia. Quando temos um argumento formado por duas premissas e uma conclusão, dizemos que ele é um silogismo. Bom, já que sabemos o que é argumento, podemos deduzir que argumentação é o estabelecimento de uma relação entre premissas e uma conclusão. Em termo prático, argumentação é a defesa de uma tese, ou ponto de vista, onde apresentamos vários fatos (premissas), a partir dos quais chegamos a uma conclusão, que é o que queremos demonstrar. Exemplos de argumentação 1) Todos os homens são mortais. Sócrates é homem. Logo, Sócrates é mortal. 2) Hoje é sábado ou domingo. Se hoje é sábado, então é fim de semana. Se hoje é domingo, então é fim de semana. Logo, hoje é fim de semana. 3) Se eu ficar em casa, então esvaziarei a geladeira. Se o meu irmão ficar em casa, esvaziará a geladeira. Eu ou o meu irmão ficará em casa. Logo, a geladeira ficará vazia. 4) A rainha ou a princesa comparecerá à cerimônia. A princesa não comparecerá. Logo, a rainha comparecerá. 5) O joelho de João está inchado. Se João continuar correndo, então o seu joelho não irá sarar. Se o joelho de João não sarar, então ele não poderá participar da competição. Logo, se João continuar correndo, então ele não participará da competição. 6) Hoje é fim de semana se e somente se hoje é sábado ou domingo.

Hoje é domingo. Logo, hoje é fim de semana. 7) Todos os portugueses são europeus. Camões é português. Logo, Camões é europeu. 8) Piu-piu sabe voar. Nenhum cachorro sabe voar. Logo, Piu-piu não é cachorro. 9) Nenhum desonesto é rico. Nenhum político é desonesto. Logo, nenhum político é rico. 10) Nenhum dentista é sádico. Todos os torturadores são sádicos. Logo, nenhum torturador é dentista. 2. Regras de Inferência Antes de falarmos sobre regras de inferência, vamos definir inferência que, segundo WIKIPEDIA (2009), é o processo pelo qual se chega a uma proposição, baseada em outras mais proposições aceitas como ponto de partida do processo. Para inferir uma proposição (conclusão) baseada em outras, é necessária a aplicação de algumas regras (conhecida como regras de inferência) que, de acordo com WIKIPEDIA (2009), tem as seguintes características: 1. Se a Hipótese for verdadeira, então a Conclusão é verdadeira 2. Verificação de tipos é baseada em inferência. Se E1 e E2 tem certos tipos, então E3 tem certo tipo. 3. Regras de inferência são uma notação compacta para comandos de implementação. 4. Inicia-se com um sistema simplificado de regras ao qual se adiciona novas características gradualmente 5. As premissas são regras sem hipóteses Usamos inferências para provar a validade de argumentação. Para tanto, usamos uma ou mais regras para, a partir das premissas, chegarmos à conclusão, ou podemos usar o condicional em conjunto com a tabela-verdade. Começaremos nosso trabalho de validação de argumentação usando essa técnica. Teorema (Cury, 1997): O argumento P 1, P 2, P 3,..., P n - C é válido se, e somente se o condicional (P 1 ^P 2 ^ P 3 ^... ^ P n ) -> C é uma tautologia. De acordo com o teorema apresentado acima, para provarmos a validade de um argumento, basta verificarmos se o condicional associado a ele é uma tautologia. Exemplos: 1) O argumento (p -> q), (r -> s), (p v r) - (q v s) corresponde ao condicional (p -> q) ^ (r -> s) ^ (p v r) -> (q v s) 2) O condicional ((p -> q) ^ p) -> q corresponde ao argumento p -> q, p - q 2

3) Determinar a validade do argumento: A rainha ou a princesa comparecerá à cerimônia. (P 1 ) A princesa não comparecerá. (P 2 ) Logo, a rainha comparecerá. (C) Se considerarmos: p: A rainha comparecerá à cerimônia, q: A princesa comparecerá à cerimônia, ~q: A princesa não comparecerá, temos (p v q) ^ ~q -> p p q p v q ~q (p v q) ^ ~q (p v q) ^ ~q -> p 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 Como o condicional P 1 ^ P 2 -> C é uma tautologia, o argumento P 1, P 2 - C é válido. Um pouco de prática Teste a validade dos seguintes argumentos usando tabelas-verdade. 1) Se trabalho, não posso estudar. Trabalho ou sou aprovado em física. Trabalhei. Logo, fui aprovado em física. 2) Se eu ganhar na mega-sena, pago os credores. Se eu pagar os credores, eles ficam satisfeitos. Logo, ganho na mega-sena ou os credores não ficam satisfeitos. 3) Se não existe inflação no Brasil, então os peritos estão certos ou o governo mente. Existe inflação no Brasil ou os peritos não estão certos. Portanto, o governo não mente. 4) Se o deputado for desonesto, então ele será investigado. O deputado foi investigado e não foi punido. Logo, o deputado é honesto. Resolução 1) Fazendo p: Eu trabalho, q: Posso estudar, r: Sou aprovado em física, temos: p -> ~q, p v r, p - r Transformando o argumento em condicional, temos: (p -> ~q) ^ (p v r) ^ p -> r e para provar a sua validade, ou não, usamos a tabela-verdade a seguir. A p q r ~q p -> ~q p v r (p -> ~q) ^ (p v r) ^ p A -> p 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 3

1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 O argumento acima é um sofisma, ou seja, ele apresentou um argumento dedutivamente válido (a tabela-verdade é uma tautologia), porém não é. Pode-se concluir que alguém que seja bom em lógica pode levar as pessoas na conversa, usando a técnica da falácia (sofisma), dessa fazendo-as acreditar em um argumento que não seja válido realmente, porém válido dedutivamente. 2) Fazendo p: Ganhar na mega-sena, q: Pagar os credores, r: Ficar satisfeito, temos: p -> q, q -> r - p v ~q Transformando o argumento em condicional, temos: (p -> q) ^ (q -> r) -> p v ~q e para provar a sua validade, ou não, usamos a tabela-verdade a seguir. A B p q r ~q p -> q q -> r (p -> q) ^ (q -> r) p v ~q A -> B 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Argumento inválido, a tabela-verdade não é uma tautologia. 3) Fazendo p: Existe inflação no Brasil, q: Os peritos estão certos, r: O governo mente, temos: ~p -> (q v r), p v ~q - ~r Transformando o argumento em condicional, temos: (~p -> (q v r)) ^ (p v ~q) -> ~r e para provar a sua validade, ou não, usamos a tabela-verdade a seguir. A B C p q r ~p ~q q v r ~p -> (q v r) p v ~q ~r A ^ B -> C 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 Argumento inválido, a tabela-verdade não é uma tautologia. 4

4) Fazendo p: O deputado é desonesto, q: O deputado é investigado, r: O deputado é punido, temos: p -> q, q v ~r - ~p Transformando o argumento em condicional, temos: (p -> q) ^ (q v ~r) -> ~p e para provar a sua validade, ou não, usamos a tabela-verdade a seguir. A B C p q r p -> q ~r q v ~r A ^ B ~p A ^ B -> C 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 Argumento inválido, a tabela-verdade não é uma tautologia. 3. Regras de inferência Provar validade de argumento com uso de tabelas-verdade pode se tornar impraticável se tivermos um grande número de variáveis, por isso devemos usar outras técnicas de verificação de validade de argumentos, como método direto, indireto e árvore de refutação, que serão apresentadas na próxima aula. Para que possamos usar tais técnicas, é necessário conhecermos algumas regras de inferência, que serão apresentadas a seguir. Adição (AD): α α v β (se temos uma proposição verdadeira, podemos adicionar, disjunção, qualquer outra proposição que a nova proposição continua sendo verdadeira). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. α β α v β α -> α v β 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Simplificação (S): α^β α ou α^β β (Se uma conjunção é verdadeira, as suas componentes também são verdadeiras). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. α β α ^β α ^β -> β α ^β -> α 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Conjunção (CON): α e β α^β (Se tivermos duas proposições verdadeiras, a sua conjunção também é verdadeira). Podemos verificar isso por meio da tabelaverdade. 5

α β α ^β 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Modus Ponens (MP): α -> β e α β (Se tivermos um condicional e o seu antecedente for verdadeiro, logo o seu conseqüente também é verdadeiro). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. α β α -> β (α -> β) ^ α ((α -> β) ^ α) -> β 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Seja o exemplo: Se é domingo, então é fim de semana., É domingo., logo, É fim de semana. Modus Tolens (MT): α -> β e ~β ~α (Se tivermos um condicional e a negação do seu conseqüente, logo teremos a negação do seu antecedente). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. α β ~β ~ α α -> β (α -> β) ^ ~β ((α -> β) ^ ~β) -> ~α 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 Seja o exemplo: Se é domingo, então é fim de semana., Não é fim de semana., logo, Não é domingo. Silogismo Disjuntivo (SD): (α v β)^~α β ou (α v β)^~ β α (Se tivermos uma disjunção e a negação de um dos seus componentes, logo, o outro componente é verdadeiro). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. α β ~ α α v β (α v β) ^ ~ α ((α v β) ^ ~ α) -> β 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 Seja o exemplo: Vou estudar ou vou trabalhar., Não vou estudar., logo, Vou trabalhar. Silogismo Hipotético (SH): α -> β, β -> σ α -> σ (Se tivermos dois condicionais onde o conseqüente do primeiro é antecedente do segundo, logo, temos um terceiro condicional formado pelo antecedente do primeiro com o conseqüente do segundo). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. A B C α β σ α -> β β -> σ α -> σ A ^ B A ^ B -> C 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 6

1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Seja o exemplo: Se Ana fizer regime, ela emagrece., Se Ana emagrecer ela ganhará o concurso., logo, Se Ana fizer regime, ela ganhará o concurso. Dilema Construtivo (DC): α -> β, σ -> ρ, α v σ β v ρ (Se temos dois condicionais e uma disjunção dos seus antecedentes, logo, temos a disjunção dos seus conseqüentes). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. A B C D α β σ ρ α -> β σ -> ρ α v σ β v ρ A^B^C A^B^C -> D 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Seja o exemplo: Se João jogar futebol, ele ganha dinheiro., Se João virar político, ele fica famoso., João joga futebol ou vira político, logo, João ganha dinheiro ou fica famoso. Dilema Destrutivo (DD): α -> β, σ -> ρ, ~β v ~ρ ~α v ~σ (Se temos dois condicionais e uma disjunção da negação dos seus conseqüentes, logo, temos a disjunção da negação dos seus antecedentes). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. A B C D α β σ ρ α -> β σ -> ρ ~β v ~ρ ~α v ~σ A^B^C A^B^C -> D 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 7

1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 Seja o exemplo: Se João jogar futebol, ele ganha dinheiro., Se João virar político, ele fica famoso., João não ganha dinheiro ou não fica famoso., logo, João não joga futebol ou não vira político. Absorção (ABS): α -> β α -> α^β (Se temos um condicional, podemos formar um novo condicional com o antecedente, no antecedente, e o conseqüente como a conjunção de ambos). Podemos verificar isso por meio da tabela-verdade. α β α -> β α ^ β α -> α ^ β (α -> β) -> (α -> α ^ β) 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 Seja o exemplo: Se Maria estuda, ela consegue boas notas., logo, Se Maria estuda, ela estuda e consegue boas notas. Aqui terminamos a apresentação das regras de inferência que usaremos na próxima aula. Com o uso delas, não será mais necessário usarmos tabelas-verdade para provarmos a validade dos argumentos. 4. Referências Bibliográficas CURY, Márcia Xavier. Introdução à Lógica. São Paulo: Érica, 1997. RUSSEL, Stuart & NORVING, Peter. Inteligência Artificial. São Paulo: Campus, 2003. NOLT, John & RHOATYN, Dennis. Lógica. São Paulo: Makron Books, 1991. NDC. Lógica na Wikipedia. Documento on-line disponível em [http://ndpc.subtom.com.br/l%c3%b3gica_na_wikipedia]. Acesso em: 23/06/2009. BABYLON. Definição de Tabela Verdade. Documento on-line disponível em [http://dicionario.babylon.com/tabela%20verdade]. Acesso em: 26/06/2009. WIKIPÉDIA. Regra de Inferência. Documento on-line disponível em [http://pt.wikipedia.org/wiki/regra_de_infer%c3%aancia]. Acesso em: 06/08/2009. 8