Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz

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1 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 1/25 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz A. Yu. Petrov Universidade Federal da Paraíba (UFPB)

2 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 2/25 Sumário Introdução. Concepção da supersimetria. Teoria supersimétrica de campos. Superparceiros. Super-espaço e supercampo. Teorias supersimetricas quânticas. Cancelamentos milagrosos. Supersimetria nas teorias com quebra da simetria de Lorentz. Conclusão.

3 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 3/25 Introdução. Concepção da supersimetria. Que é supersimetria (SUSY)? É simetria entre bósons e férmions. Cada simetria nova melhora a teoria cancelamento das divergências, expressões mais compactas para as correções quânticas, até a previsão do resultado para as correções quânticas sem os cálculos... Exemplo: nas teorias de calíbre a ação efetiva é a função dos escalares obtidos através da contração dof ab. Bósons: agentes das interações fundamentais (γ,w ±, Z 0, gluons, gravitons). Férmions: quarks (u, d, s, c, b, t) e léptons. Assim, supersimetria permite de misturar matêria usual e agentes das interações fundamentais.

4 Scientific). Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 4/25 A forma genérica das transformações da supersimetria: δb = ǫf(f); δf = ǫg( B), (1) ondef e g são algumas funções. No caso mais usado, essas funções são lineares. O campo bosônicob e o campo fermiônico F são chamados de superparceiros. Tipicamente os seus nomes são: fotino superparceiro de fóton, gravitino - de graviton, também, gluino etc... Introdução da supersimetria: Yu. A. Golfand, E. S. Lichtman, 1971; D. V. Volkov e V. P. Akulov, 1972, 1973; J. Wess, B. Zumino, 1974 (para a istória, vejam o livro Supersymmetric World, Ed. World

5 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 5/25 Teoria supersimétrica de campos. Superparceiros. A teoria supersimétric mais simples o modelo de Wess-Zumino (1974), descreve três campos: A,ψ α,f (e os campos conjugados) cuja ação é S = [ d 4 x A Ā ψ α (σ m ) αα m ψ α +F F + + [m(af ψα ψ α )+ λ ] 2 (Aψα ψ α +FA 2 )+h.c.] Essa ação é invariante sob as transformações com os parâmetros fermiónicos chamados de transformações da supersimetria: δa = ǫ α ψ α ; (2) δψ α = ǫ α i(σ m ) αα m A+ǫ α F; (3) δf = ǫ α i(σ m ) αα m ψ α.

6 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 6/25 O conjunto dos campos(a,ψ α,f) chama-se de multipleto quiral. O campo ψ α se chama de superparceiro do campo escalar A. E o campo F é o campo auxiliar cuja dinâmica é trivial pois a sua equação do movimento é meramente algêbrica: F +ma+ λ 2 A2 = 0. Mas geralmente o F não é eliminado, para evitar a não-linearidade das transformações da supersimetria. Todos os campos desse multipleto possuem a mesma massa. Isso é característico para qualquer multipleto supersimétrico. Duas interações são caracterizados pela mesma constante do acoplamentoλ. Isso é a propriedade comum das teorias supersimétricas o número das constantes do acoplamento independentes é reduzido!

7 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 7/25 Super-espaço e supercampo A pergunta mais natural: se existe o formalismo que permite tratar as teorias supersimétricas em maneira mais compacta? Resposta: SIM!!! É o formalismo dos supercampos. Superspace is the greatest invention since the wheel ( Stuperspace ) A idéia-chave: os campos de multipletos são unidos para o supercampo. Por exemplo, o multipleto quiral corresponde ao supercampo quiral Φ(x,θ, θ) = A(x)+θ α ψ α (x) θ 2 F(x)+ i 2 θα θ α (σ m ) αα m A(x)+ + i 2 θ2 θ α (σ m ) αα m ψ α (x)+ 1 4 θ 2 θ 2 A(x). (4) Aqui, θ α e θ α são as coordenadas extras no espaço novo estendido chamado de super-espaço, sendo os números anticomutantes (Grassmannianos). Os indices α tem valores 1, 2.

8 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 8/25 Agora ações, equações de movimento, transformações da supersimetria e os cálculos quânticos tonam-se muito mais simples. We prove, once and for all, that people who don t use superspace are really out of it. ( Stuperspace ) Nessa formulação as transformações da supersimetria são: δφ = i(ǫ α Q + ǫ α α Q α )Φ, (5) onde Q α = i( α 1 2 i θ α (σ m ) αα m ); Q α = i( α 1 2 iθα ( σ m ) α α m ) (6) são as geradores.

9 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 9/25 O seu anticomutador: {Q α, Q α } = i(σ m ) αα m. (7) Assim, obtemos extensão não-trivial da algebra de Poincaré (antes, tivemos apenas os comutadores). Os Q, Q geram as translações em respeito as coordenadas fermiônicas, como m em respeito as usuais. As derivadas e integrais sobre as coordenadas Grassmannianas são: θ β = δβ α θ ; dθ α 1 = 0; dθ α θ β = δα. β (8) α Ainda, temos a mêtrica no espaço das variáveis Grassmannianas o tensorc αβ = iǫ αβ, assim, θ Cαβ θ β θ α.

10 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 10/25 Ainda, é necessário lhe introduzir as derivadas supersimétricas covariantes D α, D α. Todas elas anticomutam com todos os geradores, {D α,q β } = 0, etc. para a relação da covariância δd α Φ = D α δφ seria mantida. É fácil de ver que D α = α i θ α (σ m ) αα m ; D α = α iθα ( σ m ) α α m, (9) e{d α, D β} = i(σ m ) βα m. E agora, o modelo de Wess-Zumino adquire a forma muito simples!!! S = d Φ Φ+( 8 d 6 z[ m 2 Φ2 + λ ) 3! Φ3 ]+h.c. (10)

11 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 11/25 Outra teoria importante é a teoria de super-yang-mills: S = 1 2g 2tr d 6 zw α W α, (11) onde W α = D 2 (e gv D α e gv ) (12) Nas componentes, a teoria se reduz a S = tr d 4 x( 1 4g 2Fab F ab +i λd/λ+d 2 ), (13) que é, a teoria de Yang-Mlls com a matêria acoplada.

12 Teorias supersimetricas quânticas. Cancelamentos milagrosos. Primeiro, consideraremos o modelo muito simplificado L = 1 2 φ( +m2 )φ+ λ 4! φ4 + Ψ(i / m+hφ)ψ. (14) Existem duas correções á função de dois pontos mais baixas apresentadas pelos diagramas de Feynman: a b Cada laço fermiónico carrega o fator ( 1). Assim, as contribuições desses diagramas são I a = λ d 4 p d 4 k 1 2 (2π) 4φ( p)φ(p) (2π) 4 k 2 m2; (15) I b = h 2 d 4 p d 4 k (k/+m)(k/+p/+m) (2π) 4φ( p)φ(p)tr (2π) 4 k 2 m 2, Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 12/25

13 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 13/25 I a = λ 2 I b = 4h 2 d 4 p (2π) 4φ( p)φ(p) d 4 p (2π) 4φ( p)φ(p) d 4 k 1 (2π) 4 k 2 m2; (16) d 4 k (k 2 +m 2 ) (2π) 4 (k 2 m 2 ) 2, É claro que as divergências quadrâticas somem na somai a +I b, se λ = 8h 2. Na verdade, esse caso é muito simplificado, nos omitimos muitos efeitos finos. Mas a supersimetria funciona nessa maneira! P. S. Howe, K. S. Stelle, P. K. Townsend, Miraculous Cancellations in Supersymmetry Made Manifest, Nucl. Phys. B236, 125 (1984) o artigo com discussões detalhadas. Os supercampos permitem de tomar isso em conta automaticamente!!!

14 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 14/25 No modelo de Wess-Zumino, em um laço temos o único supergráfico divergente D 2 D2 Usando o propagador dos supercampos < Φ(z 1 ) Φ(z 2 ) >= D2 D2 16 δ8 (z 1 z 2 ), fazemos as transformações algébricas simples, e temos Σ = λ2 2 d 4 θ d 4 p (2π) 4 Φ( p,θ)φ(p,θ) d 4 k 1 (2π) 4 (k 2 m 2 )[(k +p) 2 m 2 ], (17) então, divergência é única, e a sua ordem é melhorada (logarítmica em vez da quadrâtica).

15 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 15/25 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz. A idéia-chave da quebra da simetria de Lorentz é presença do vetor ou tensor constante na ação, como por exemplo d 4 xǫ abcd k a A b c A d termo de Carroll-Field-Jackiw (CFJ). Tal tensor destaca a direção preferencial. Isso não é a única maneira de quebrar a simetria de Lorentz. Outro exemplo importante é os termos tipo éter L esc = 1 2 φ( +m2 )φ+u µ u ν µ φ ν φ; L vect = 1 4 F µνf µν uµ u ν F µα F α ν ; L spin = ψ(iγ µ µ m u µ u ν γ µ ν )ψ. (18) O teorema: tensores constantes de posto impar, além d quebra da simetria de Lorentz, quebram também simetria de CPT, de posto par não quebram a simetria CPT.

16 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 16/25 Três caminhos para quebrar a simetria de Lorentz na teoria de supercampos: 1. Deixamos os supercampos e os geradores a serem mesmos, adicionaremos os novos termos para ação. Exemplo: S sc = d 8 z(φ Φ+k ab a Φ b Φ)+( d 6 zv(φ)+h.c.) (19) Nesse caso, temos altas derivadas: a expressão em componentes é S sc = d 4 x(φ φ+k ab a φ b φ+...). (20) Portanto, temos os termos tipo Horava-Lifshitz (arxiv: ) d 4 x( φ φ+ i j φ i j φ), e, ainda, muitos termos com derivadas espaciais e temporais mistas.

17 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 17/25 2. Introduzimos o supercampo novo envolvendo o vetor (tensor) constante (hep-th/ ). Adicionamos á ação da super-qed S = 1 d 8 zvd α 16 D2 D α V (21) o termo novo δs = ondew α = 1 4 D 2 D α V, e D α Σ = 0. d 8 z(w α D α VΣ+h.c.), (22)

18 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 18/25 E, como V = θσ m θa m +..., Σ = s+θ α ψ α +θ 2 F +..., (23) obtemos em componentes δs = d 4 z i 2 a(s s )ǫ abcd F bc A d +..., (24) i.e. o termo de CFJ: para s = ik a x a, temos i 2 a(s s ) = k a, i.e. δs = d 4 zk a ǫ abcd F bc A d +... (25)

19 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 19/25 3. Vamos modificar os geradores de SUSY! (Kostelecky, Berger, hep-th/ ) Q α = i( α 1 2 i θ α (σ m ) αα ( m +k mn n )); Q α = i( α 1 2 iθα ( σ m ) α α ( m +k mn n )). (26) O seu anticomutador: {Q α, Q α } = i(σ m ) αα ( m +k mn n ). (27) Em mesma maneira, modificamos as derivadas supercovariantes. Como a consequencia, podemos construir a teoria de supercampos com quebra da simetria de Lorentz. A diferença será em troca m m +k mn n = m (arxiv: ). Escolhemos k mn = αu m u n.

20 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 20/25 Assim, ações em termos dos supercampos permanecem ser mesmos, mas em componentes se modificam! Por exemplo, a ação do modelo de Wess-Zumino torna-se [ S = d 4 x φ φ+ψ α iσα α m m ψ α +F F + + ( m(ψ α ψ α +φf)+λ(φψ α ψ α + 1 )] 2 φ2 F)+h.c., (28) onde = m m = +2k mn m n +... Os propagadores são < Φ(z 1 ) Φ(z 2 ) > = < Φ(z 1 )Φ(z 2 ) > = 1 m 2δ(z 1 z 2 ); (29) md 2 4 ( m 2 ) δ(z 1 z 2 ). (30) Temos os termos de éter αu m u n ψ α iσ mα α n ψ α eαu m u n φ m n φ.

21 As relações da dispersão: E 2 = p 2 +m 2 +(2α+α 2 )( u p) 2 para u m u m = 1 (tipo espaço) e E 2 (1 α) 2 = p 2 +m 2 para u m u m = 1 (tipo tempo). A grau da divergência éω = 2 E C. A função de dois pontos: D 2 D2 A sua contribuição é Γ 2 = i λ2 2 1 ( 16π 2 ǫ + d 4 θ 1 0 d 4 p (2π) 4 Φ( p,θ)φ(p,θ) dxln m2 + p 2 x(1 x) µ 2 ). (31) onde p 2 = (p m +k mn p n )(p m +k ml p l ), e = det 1 (δ m n +k m n ) é o Jacobiano. Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 21/25

22 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 22/25 O potencial efetivo de um laço é K (1) = 1 2 n=1 d 8 D2 D 2 z[ψ Ψ 16 2 ]δ8 (z z ) z=z (32) isso é a soma dos super-gráficos (com Ψ = m+λφ): Somando, temos K (1) = 1 d 4 θ 2 d 4 q (2π) 4... ΨΨ (q m +k mn q n ) 2 ln(1 ΨΨ (q m +k mn q n ) 2). (33)

23 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 23/25 Mudança dos variáveis q m +k mn q n q m : K (1) = 1 2 d 4 d 4 q ΨΨ θ ΨΨ ln(1 ), (34) (2π) 4 1 q 2 q 2 o éojacobiano. Integrando, temos K (1) = 1 Ψ Ψ 32π2 Ψ Ψln µ 2. (35)

24 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 24/25 Interpretação geomêtrica. Nesse caso, em um laço temos a seguinte correção quântica: Γ K = c d 8 zφ Φ (36) c d 4 x[η mn ( m +k mn n )φ( n +k nl l )φ]+..., onde = det( qm q n ) = det 1 (δ m n +k m n ). Interpretação natural: a métrica nova g mn = η ab (δ m a +k m a )(δ n b +kn b ), comg mn inversa, e = g, withg = detg ab. Assim, Γ K = d 4 x g g ab a φ b φ, (37) e a ação no espaço curvo, portanto, a correção quântica gera a geometria nova! (arxiv: )

25 Supersimetria e quebra da simetria de Lorentz p. 25/25 Conclusão. Assim, com a supersimetria, temos os resultados seguintes: 1. Supersimetria mistura bósons e fermions e prevé as partículas novas. 2. O formalismo dos supercampos é o instrumento poderoso. 3. Cancelamento das divergências parcial, ou até total. 4. A extensão supersimétrica é construida para as teorias não comutativas e as teorias com quebra da simetria de Lorentz. 5. Geração da geometria. Mesmo assim, temos a grande lista dos problemas para o estudo futuro. 1. Outras maneiras de implementar a quebra de Lorentz nas teorias supersimétricas. 2. Estudo detalhado das teorias de calíbre supersimétricas (AdS/CFT etc.) e supergravitação. E muito mais...