Dissertação de Mestrado APLICABILIDADE E LIMITAÇÕES DO MÉTODO DE CONVERGÊNCIA- CONFINAMENTO EM PROJETOS DE ESCAVAÇÕES SUBTERRÂNEA

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1 Dissertação de Mestrado APLICABILIDADE E LIMITAÇÕES DO MÉTODO DE CONVERGÊNCIA- CONFINAMENTO EM PROJETOS DE ESCAVAÇÕES SUBTERRÂNEA AUTOR: BRUNO CÉSAR RIBEIRO DA SILVA ORIENTADOR: Prof. Dr. Rodrigo Peluci de Figueiredo (UFOP) PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA DA UFOP OURO PRETO - FEVEREIRO DE 15

2 S586a Silva, Bruno César Ribeiro da. Aplicabilidade e limitações do método de convergência-confinamento em projetos de escavações subterrâneas [manuscrito] / Bruno César Ribeiro da Silva f.: il.: color; grafs; tabs. Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Peluci de Figueiredo. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Núcleo de Geotecnia. Geotecnia. Área de Concentração: Mecânica das Rochas. 1. Rochas - Escavação.. Construção subterrânea. 3. Métodos de simulação. I. Figueiredo, Rodrigo Peluci de. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Titulo. CDU: 64.19: Catalogação:

3 APLICABILIDADE E LIMITAÇÕES DO MÉTODO DE CONVERGÊNCIA- CONFINAMENTO - EM PROJETOS DE ESCAVAÇOESSUBTERRANEAS " Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Geotecnia do Núcleo de Geotecnia da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Geotecnia. Esta dissertação foi apresentada em sessão pública e aprovada em 5 de fevereiro de 15, pela Banca Examinadora composta pelos membros: Prof. Dr. Rodrigo Peluci de Figueiredo (Orientador / UFOP) Prof. Dr. José Marg~i~ ~ UFOP) Prof. Dr. Evandro Moraes da Gama (Membro - UFMG) 11

4 Você tem um papel a representar neste mundo, uma razão de estar aqui. Mas cabe a você encontrar seu papel e dirigir o seu futuro. Somente você determina seu destino através de seus próprios esforços. Aceite esta responsabilidade não somente por você, mas por todos nós, pois tem o poder de modificar sua vida e a vida de outras pessoas. Não deixe de exercer o poder e nem espere que outra pessoa aja, naturalmente, você pode conseguir o que deseja, mas parte do que deseja deve ser para ajudar os outros ao longo do caminho. A vida boa não é uma existência passiva onde você vive e os outros que se danem. É uma vida de envolvimentos, em que você vive e ajuda os outros a viver. Herb Cohen. iii

5 AGRADECIMENTOS Primeiramente, eu agradeço a Deus por sempre iluminar o meu caminho, dando-me forças e uma direção, mesmo nos momentos difíceis. Aos meus pais, pelo apoio, carinho e por entenderem o caminho o qual eu escolhi percorrer. Aos meus irmãos Fabiano Augusto, Paulo Roberto e Paola por sempre acreditarem em mim e pela amizade eterna, amo vocês. Agradeço também a meu saudoso amigo e irmão Marcelo Aguiar por sempre ter me incentivado a percorrer o caminho do ensino. Ao grande mestre e mentor Professor Dr. Rodrigo Peluci de Figueiredo com quem realmente comecei a trilhar o prazeroso e difícil caminho para o entendimento da maravilhosa ciência Mecânica das Rochas e principalmente pela missão passada a minha pessoa de falar sobre o tema deste trabalho. À FAPEMIG pelo suporte financeiro, sem o qual seria impossível a realização deste trabalho. Ao NUGEO pelo conhecimento adquirido através de excelentes professores, e a ótima amizade com os funcionários do mesmo. À UFOP pela oportunidade e pelo ensino de qualidade. À REPÚBLICA CASTELO DOS NOBRES E HOSPÍCIO, onde fiz novos amigos e sempre me senti em casa. OURO PRETO, obrigado por ser essa cidade fantástica, onde grandes sonhos se realizam. iv

6 RESUMO O Método de Convergência-Confinamento (MCC) é um método simplificado que analisa analiticamente a interação rocha/suporte, usando a hipótese de simetria axial, o que proporciona um conhecimento simplificado do processo de interação rocha-suporte que ocorre em túneis de formato real e perto da face da escavação. A rigor, a análise do MCC é bidimensional, mas os resultados da análise podem ser aplicados aos problemas tridimensionais que surgem na face da escavação, Panet (1995). O presente trabalho vem contribuir para um melhor entendimento da Zona Plástica formada em torno das escavações subterrâneas, tanto para o formato Circular quanto para outros oito formatos ou seções de escavações diferentes, utilizados em obras civis, de mineração ou outras áreas afins, variando através de simulações numéricas a razão que há entre a tensão horizontal e a tensão vertical, K, e a profundidade, z. Tal análise irá verificar o comportamento da Zona Plástica em torno das escavações e a dispersão do Raio Plástico entre a solução analítica de Duncan Fama (1993) e as soluções computacionais realizadas através do software Phase, versão 8. e o software, versão 3., ambos da Rocscience Inc., para um maciço rochoso hipotético, considerado, relativamente, como brando. Palavras-chaves: Método de Convergência-Confinamento, Curva de Reação do Maciço, Curva Característica do Suporte, Raio Plástico, Zona Plástica, Escavações Subterrâneas, Simulações Computacionais. v

7 ABSTRACT The Convergence-Confinement Method (CCM) is a simplified method that analyzes analytically the rock/support interaction, using the hypothesis of axial symmetry, that provides a simplified knowledge of the rock/support interaction process which occurs in tunnels of real format and close to the excavation face. Strictly speaking, the CCM is two dimensional, but the analysis results can be applied to the three dimensional problems that appear on the excavation face, Panet (1995). The present work intends to contribute to a better understanding of the Plastic Zone formed around the underground excavations with Circular format as well as to the other 8 layouts or sections of different excavations, utilized in civil works, mining and other related areas, varying through numerical simulations the ratio that exist between the horizontal and vertical tensions, K, and the depth, z. Such analysis will verify the Plastic Zone behavior around the excavations and the dispersion of the Plastic Radius among the Duncan Fama analytical solution (1993) and the computer simulations performed through then software Phase, version 8. and the software, version 3., both Rocscience Inc., for a hypothetical rock mass, considered, relatively, as soft. Key-Words: Convergence-Confinement Method, Rock Mass Reaction Curve, Support Characteristic Curve, Plastic Radius, Plastic Zone, Underground Excavations, Computer Simulations. vi

8 Lista de Figuras Figura.1 a) e b) Representação das tensões in situ em um cubo infinitesimal a uma profundidade qualquer z Figura. - Variação da tensão vertical em função da profundidade, modificado (Brady & Brown, 4) Figura.3 - Variação da razão entre a média das tensões horizontais e a tensão vertical ( K ) em função da profundidade, modificado (Brady & Brown, 4) Figura.4 a) e b) - Comportamento das tensões verticais e horizontais antes e após a abertura de uma escavação circular subterrânea, respectivamente Figura.5 - Comportamento das tensões induzidas através da representação dos isocontornos de tensão principal maior, modificado (Hutchinson & Diederichs, 1996) Figura.6 Distribuição das tensões e deslocamentos para uma abertura circular, em um meio elástico, linear e isotrópico Figura.7 Tensões tangenciais na parede (A) e teto (B) de uma escavação circular.. 15 Figura.8 Comportamento das tensões na parede e no teto, em função de K, em uma escavação circular em um meio linearmente elástico e isotrópico Figura.9 Valores das tensões radiais e tangenciais para distâncias radiais de 5 vezes o raio da escavação Figura.1 - Efeito da pressão interna uniforme em uma escavação circular Figura.11 - Influência do formato das escavações para as tensões no teto e na parede, modificado, (Hoek & Brown,198).... Figura.1 Constantes A e B para cálculo das tensões no teto e na parede para 9 formatos distintos, modificado, (Hoek & Brown,198) Figura.13 - Diâmetro da zona plástica para diferentes razões entre resistência do maciço rochoso e a tensão in situ e diferentes pressões de suporte, modificado (Hoek, 1998) Figura.14 - Deformação do túnel para diferentes razões entre resistência do maciço rochoso e a tensão in situ e diferentes pressões de suporte, modificado (Hoek, 1998) Figura.15 - Deformação percentual em função da resistência à compressão uniaxial do maciço rochoso, segundo observações de Chern et al. (1998) nas construção de 3 túneis de adução em Taiwan, modificado (Hoek, ) Figura.16 - Pressão aproximada do suporte requerido para diferentes valores de deformação percentual em túneis circulares sujeitos a um campo de tensão hidrostático, modificado (Hoek, 1998) vii

9 Figura.17 - Problemas em túneis associados a diferentes níveis de deformações percentuais, modificado (Hoek, ) Figura.18 - Estimativa da capacidade de suporte para diferentes dimensões de túneis, modificado (Hoek, ) Figura.19 - a) Túnel cilíndrico de raio R sendo escavado em um maciço rochoso. b) Corte do maciço rochoso na seção A-A. c) Corte do suporte instalado na seção AA, modificado (Carranza-Torres & Fairhurst, ) Figura. a), b) e c) - Carregamento do suporte na seção A-A devido ao avanço progressivo da face do túnel, modificado (Carranza-Torres & Fairhurst, ) Figura.1 - Representação esquemática dos elementos do Método de Convergência- Confinamento (MCC): Perfil de Deslocamento Longitudinal (LDP), Curva de Reação do Maciço (GRC) e Curva Característica do Suporte (SCC), modificado (Carranza- Torres & Fairhurst, ) Figura. - a) Perfil de deslocamentos radiais de um túnel sem suporte nas proximidades da face do túnel. b) Perfil de deformação derivado de modelos elásticos (Panet, 1995) em linha tracejada; dados medidos em um túnel (Chern et al., 1998) modificado (Carranza-Torres & Fairhurst, ) Figura.3 - Zona plástica em torno do túnel para a solução de Duncan Fama(1993) modificado (Hoek et. al., 8) Figura.4 - Curva Característica do Maciço Rochoso de um túnel com 5 m de raio, modificado (Hoek, 14) Figura.5 - Comportamento da deformação em torno de um maciço rochoso na construção de um túnel - modificado (Hoek, 14) Figura.6 - Perfil de Deslocamento Longitudinal, modificado (Hoek, 14) Figura.7 - Perfil de Deslocamento Longitudinal típico de um túnel circular de 5m de raio, modificado (Hoek, 14) Figura.8 - Combinação da Curva Característica do Macico Rochoso e do Perfil de Deslocamento Longitudinal, modificado (Hoek, 14) Figura.9 - Interação Rocha-Suporte de um túnel circular, modificado (Hoek, 14) Figura.3 - a) Abertura circular em um material de Mohr-Coulomb sujeito a uma pressão interna uniforme e um campo de tensões não-uniforme. b) Valores limites das razões entre tensões verticais e horizontais, K lim, em função da razão σ /σ ci e do ângulo de atrito φ. Para K < Klim o problema é estaticamente determinado e os valores médios da extensão de ruptura e convergência das paredes são comparáveis aos obtidos em carregamento uniforme σ e K = 1, adaptado e modificado (Detournay & Fairhurst, 1987) Figura.31 - a) Diagramas indicando a extensão das regiões de potencial de ruptura computadas a partir de análises elásticas de uma abertura circular sujeita a carregamento viii

10 não hidrostático; os desenhos são válidos para razões m / σ = 4. 8 e m b 4 s / = 4 1, modificado (Carranza-Torres & Fairhurst, ) Figura 3.1 Formatos utilizados para as simulações Figura 3. - Condições de contorno e geometria para as simulações Figura Gráfico comparando a dispersão dos valores dos raios plásticos obtidos pelas Solução Analítica, e Phase para profundidades variando de 5 a 1 m e K = 1, no formato 1 ou abertura circular Figura Valores medidos da zona plástica no Teto, Piso, Parede Lateral Direita e Parede Lateral Esquerda. Exemplo: Formato 1, K =, 3 e z = 5m, simulado no software Phase 8. (Rocscience) Figura 4. - Valores medidos da zona plástica na Diagonal Direita e Esquerda. Exemplo: Formato 1, K =, 3 e z = 5m, simulado no software Phase 8. (Rocscience) Figura Abertura Circular ou Formato 1 com o raio igual a 5 metros Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 1 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da Solução Analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato Figura 4.8 Abertura em Formato com raio de 5 metros Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato Figura Abertura em formato quadrado ou Formato 3, com 5 metros de semilargura Figura 4.14 a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 3 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato bσ ci ix

11 Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato Figura Abertura em formato Ferradura ou Formato 4, com 5 metros de raio e base com comprimento de 7,3 metros Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 4 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato Figura 4. - Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura 4. - Dispersão entre soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato Figura Abertura em formato elipsoidal ou Formato 5 com raio maior igual a 6,65 metros e raio menor de 3,35 metros Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 5 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato Figura Raio Plástico da Solução Analítica( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato Figura Formato 6, com semialtura de 6,655 metros e raio de 3,35 metros Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 6 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato x

12 Figura Formato 7, com semialtura de 6,655 metros e raio menor de 3,35 metros Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 7 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato Figura Formato 8 com raios maior de 6,65 metros e raio menor de 3,35 metros Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 8 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato Figura Formato 9, com semilargura de 6,655 metros e raio de 3,35 metros... 1 Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 9 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato Figura Dispersão nos valores dos raios plásticos entre as soluções analítica e computacionais, para os 9 formatos de escavação, com z variando de 5 a 1 metros, submetidos a um campo de tensão hidrostático Figura Deslocamento das paredes do túnel versus Pressão de Suporte e Raio da Zona Plástica para a solução analítica e as soluções numéricas para os 9 formatos de escavações, submetidos a um campo de tensão hidrostático Figura Deslocamento das paredes do túnel versus Pressão de Suporte e Raio da Zona Plástica para a solução analítica e as soluções numéricas para os 9 formatos de xi

13 escavações, com as respectivas curvas GRC e SCC, considerando-se um campo de tensões hidrostático Figura Mudança no formato da Zona Plástica em torno de uma escavação circular, passando de a) circular, b) elíptico e c) borboleta ou epitocroidal,à medida que se varia o valor de K e z xii

14 Lista de Tabelas Tabela.1 Valores das tensões radiais e tangenciais para valores de r até 1 vezes o raio da escavação, a, no interior do maciço rochoso Tabela Definição dos valores a serem simulados para definição da zona plastificada Tabela 3. - Dados de entrada para o software RocData 4. (Rocscience) Tabela Parâmetros para o critério de ruptura de Hoek & Brown para o maciço rochoso Tabela Dados de saída referentes às propriedades do maciço rochoso Tabela Parâmetros para o critério de ruptura de Mohr - Coulomb do maciço rochoso Tabela Parâmetros de entrada para a caracterização geotécnica do maciço rochoso: valores de pico e residuais Tabela Valores dos raios plásticos para K = 1, e das razões entre à resistência a compressão uniaxial do maciço e tensão in situ, entre a tensão in situ e a resistência à compressão uniaxial da rocha intacta e entre a média das medidas dos raios plástico e o raio da escavação Tabela Dispersão dos valores obtidos do raio plástico médio entre as soluções computacionais ( ou Phase) e a Solução Analítica (Duncan Fama) Tabela Intervalos com e sem o aparecimento do formato borboleta ou epitrocoidal e dispersão máxima entre os raios plásticos obtidos através das simulações computacionais e o raio plástico da solução analítica de Duncan Fama Tabela 4. - Deslocamento Máximo das Paredes das Escavações e Raio Plástico Médio da Zona Plástica formada em torno das escavações, para K = 1 e z = 3m xiii

15 Lista de Símbolos, Nomenclatura e Abreviações a A e B c c p - Raio da escavação ou expoente do critério de Hoek & Brown; - Constantes para tensões do teto e parede e para deformação crítica; - Coesão; - Coesão de pico; c r - Coesão residual; D - Fator de Distúrbio; FS - Fator de Segurança; E - Módulo de Young ou de Elasticidade; E - Módulo de Young ou de Elasticidade efetivo; FS - Fator de Segurança; G H k K - Módulo de Cisalhamento; - Altura da escavação; - Coeficiente Passivo ou de Empuxo; - Razão entre a tensão horizontal e a tensão vertical; K lim - Coeficiente Limite; K s K ψ - Rigidez elástica do suporte; - Coeficiente de dilatância; L MEF m b, s m i p p i - Distância; - Método dos Elementos Finitos; - Parâmetros do maciço rochoso para o critério de Hoek & Brown; - Parâmetro da rocha intacta para o critério de Hoek & Brown; - Tensão normal hidrostática; - Pressão interna; cr p i - Pressão interna crítica; p s - Pressão de suporte; máx. p s - Pressão de suporte máxima; equi. p s - Pressão de suporte no ponto de equilíbrio; xiv

16 P i - Pressão interna normalizada; cr P i - Pressão interna crítica normalizada; r pl - Raio Plástico; r plm - Raio Plástico Médio; r t c S u θ u r - Distância radial onde a tensão e o deslocamento são computados; - Espessura anular; - Tensão in situ normalizada; - Descolamento tangencial; - Descolamento radial, Convergência radial das paredes e dos suportes; M u r - Deslocamento radial máximo; el u r - Deslocamento radial na fase elástica; pl u r - Deslocamento radial na fase plástica; W x z σ - Largura da escavação; - Distância; - Profundidade em metros; - Tensão média; σ cm - Resistência à compressão uniaxial do maciço rochoso; σ ci - Resistência à compressão uniaxial da rocha intacta; σ v - Tensão vertical; σ θθ - Tensão tangencial; σ rr - Tensão radial; σ r θ - Tensão cisalhante em uma distância radial; σ B = σ T - Tensão no teto da escavação; σ A = σ P - Tensão na parede da escavação; σ t - Resistência à tração; σ tp - Resistência à tração de pico; σ tr φ - Resistência à tração residual; - Ângulo de atrito; xv

17 φ p φ r θ ν ν ' ψ δ i - Ângulo de atrito de pico; - Ângulo de atrito residual; - Ângulo em graus; - Coeficiente de Poisson; - Coeficiente de Poisson efetivo; - Ângulo de dilatância; - Convergência das Paredes; σ, σ, σ - Tensões normais nas direções x, y e z, respectivamente; x x y y z z ε, ε, ε - Deformações nas direções x, y e z, respectivamente; τ xy, τ yx - Tensões cisalhantes no plano xy; γ, γ - Distorção no plano xy; xy yx GSI MCC Method); LDP Profile); GRC Curve); SCC FLAC Continua); UDEC Code); - Índice de resistência geológica (Geological Strength Index ou índice); - Método de Convergência-Confinamento (Convergence-Confinement - Perfil de Deslocamento Longitudinal (Longitudinal Displacement - Curva de (Reação ou Característica) do Maciço (Ground Reaction - Curva Característica do Suporte (Support Characteristic Curve); - Análise Lagrangiana Rápida do Contínuo (Fast Lagrangian Analysis of - Código Universal de Elementos Distintos (Universal Distinct Element xvi

18 Lista de Anexos ANEXO I PLANILHAS DE DADOS E GRÁFICOS ANEXO II DADOS DO ROCSUPPORT E MATHCAD xvii

19 ÍNDICE CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ASPETOS GERAIS OBJETIVOS E RELEVÂNCIA DO TRABALHO METODOLOGIA... 3 CAPÍTULO - CONTEXTO BIBLIOGRÁFICO TENSÕES IN SITU Fatores que influenciam o estado de tensão in situ Estimação das tensões in situ REDISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES EM ESCAVAÇÕES SUBTERRÂNEAS TENSÕES INDUZIDAS EM ABERTURAS DE FORMA REGULAR Princípio clássico da análise de tensão Soluções analíticas de forma fechada para formatos simples de escavação1.3.3 Solução de forma fechada para uma abertura circular Tensões no interior do maciço: Zona de Influência Efeito da Pressão Interna em uma escavação Efeito do formato da escavação....4 INTERAÇÃO ROCHA E SUPORTE Deformação Crítica Estimativa na Capacidade de Suporte MÉTODO DA CONVERGÊNCIA-CONFINAMENTO APLICADO A PROJETO DE TÚNEIS Conceito Curva Característica do Maciço (GRC): solução Carranza-Torres & Fairhurst Curva Característica do Suporte (SCC): solução Carranza-Torres & Fairhurst Perfil de Deformação Longitudinal (LDP): solução Carranza-Torres & Fairhurst Curva Característica do Maciço (GRC): solução Duncan Fama Perfil de Deformação Longitudinal (LDP): Solução Duncan Fama. 48 xviii

20 Curva Característica do Suporte (SCC): Solução Duncan Fama Limites de aplicação do MCC a Projetos de Túneis Propostas de modificações do MCC aplicado a Projetos de Túnel CAPÍTULO 3 - ANÁLISE COMPUTACIONAL DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS PARA SIMULAÇÃO Dados de entrada referentes ao critério de ruptura de Hoek & Brown Dados de saída do software RocData Dados de entrada no software Phase 8.: CONCEPÇÃO DO MODELO CALIBRAGEM DO MODELO CAPÍTULO 4 - RESULTADOS, DISCUSSÕES E CONCLUSÕES RESULTADOS OBTIDOS Formato Formato Formato Formato Formato Formato Formato Formato Formato DISCUSSÃO DOS RESULTADOS Influência dos Formatos das Escavações Limitações do Método da Convergência-Confinamento (MCC) Influência da Dispersão da Zona Plástica na Curva Característica do Maciço Rochoso (GRC) Influência da Dispersão da Zona Plástica no Fator de Segurança das Escavações Influência da Zona Plástica no Sistema de Reforço CONCLUSÃO CAPÍTULO 5 - SUGESTÃO PARA FUTURAS PESQUISAS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO I : PLANILHAS DE DADOS E GRÁFICOS.... I.1 ANEXO II : DADOS DO ROCSUPPORT E MATHCAD... II.1 xix

21 CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO 1.1 ASPETOS GERAIS O método de Convergência-Confinamento é uma ferramenta analítica que permite descrever a mecânica da interação rocha-suporte para escavações subterrâneas. Embora o termo tenha sido desenvolvido nas décadas de 196 e 7 (ver, por exemplo, AFTES - Associação Francesa de Obras Subterrâneas 1978), o método é conhecido pelo menos desde a publicação de Fenner (1938), (Carranza-Torres & Fairhurst, a). A este respeito, o Método de Convergência-Confinamento (MCC) é um método simplificado que analisa a interação rocha-suporte, usando a hipótese de simetria axial, o que proporciona um conhecimento simplificado do processo de interação rochasuporte que ocorre em túneis de formato real e perto da face da escavação. A rigor, a análise do MCC é bidimensional, mas os resultados da análise podem ser aplicados aos problemas tridimensionais que surgem na face da escavação, (Panet, 1995). O pressuposto do MCC é embasado nas seguintes condições, segundo Schurch & Anagnostou (1): Simetria axial (abertura circular); Tensão in situ hidrostática; Maciço rochoso homogêneo e isotrópico; Distribuição da pressão de suporte uniforme. Entre suas aplicações, como estimativa inicial para projetos, há a utilização do método para o desenvolvimento de túneis na construção civil, mineração e na utilização de suportes naturais (pilares) no método de lavra de câmaras e pilares para a mineração. 1

22 1. OBJETIVOS E RELEVÂNCIA DO TRABALHO A necessidade de se realizar escavações subterrâneas tem aumentado gradativamente tanto na mineração quanto nas obras civis. Tal atividade envolve um conjunto de profissionais para a concepção das mesmas. Um destes profissionais é o engenheiro geotécnico especialista em escavações subterrâneas, o qual é responsável pelo projeto principal da escavação. Este profissional deve ter o conhecimento necessário para que tal estrutura se mantenha estável tanto no período de sua execução quanto após seu término, dentro dos padrões de segurança aceitáveis. Como em toda obra civil ou de mineração, o primeiro passo em termos de projeto, se dá pela concepção da estrutura, ou seja, o projeto conceitual, onde são definidas e coletadas as informações mínimas para a realização do projeto conceitual. Tal projeto permite que sejam realizados os cálculos preliminares, no intuito de fornecer as ferramentas necessárias para execução da escavação de forma a manter a integridade da estrutura. O presente trabalho objetiva aumentar a sensibilidade deste primeiro momento na execução de projetos de escavações subterrâneas, pois, atualmente os cálculos analíticos realizados consideram um cenário simplificado, sendo que o mesmo apresenta algumas limitações que serão demonstradas neste estudo.

23 1.3 METODOLOGIA A metodologia foi realizada de forma sistemática, estando a mesma fundamentada em estudos anteriores realizados por renomados autores, os quais são citados no capítulo, Contexto Bibliográfico. Primeiramente, com a utilização do software RocData 4. (Rocscience) definiram-se os parâmetros do maciço rochoso, sendo o mesmo classificado como um maciço relativamente brando, ou seja, de resistência baixa. Em seguida foram escolhidos 9 formatos distintos de escavação, considerando-se a relação entre a largura e altura ( W H ), com valores de 1, ½ e, os quais foram utilizados por Hoek & Brown (198) para definição das tensões do teto e nas paredes dos mesmos formatos de escavações, numa análise elástica. Esses 9 formatos foram simulados através do software Phase versão 8. (Rocscience), variando-se a razão entre as tensões horizontais e verticais ( K ) com a profundidade, numa análise elasto-plástica. Os valores de K escolhidos têm os limites inferior e superior de,3 e 3,5, respectivamente, sendo os mesmos distribuídos em 13 intervalos. O primeiro, diferentemente dos demais, é acrescido de,, passando de,3 para,5 e os demais são acrescidos de,5. Assim, temos os valores de K iguais a:,3;,5;,75; 1,; 1,5; 1,5; 1,75;,;,5;,5;,75; 3,; 3,5 e 3,5. Cada valor de K foi simulado com os seguintes valores de profundidades: 5, 1,, 3, 4, 5 e 1 metros. A combinação das análises entre K e profundidade gerou um total de 765 simulações, as quais foram analisadas de forma a verificar a influência de cada um desses parâmetros sobre o comportamento da zona plástica em torno das escavações. Ainda, foi utilizada a Solução Analítica de Duncan Fama (1993) para efeito de comparação com os dados acima obtidos, a qual considera uma abertura circular, campo de tensão hidrostático analisado no estado plano de deformação. 3

24 CAPÍTULO - CONTEXTO BIBLIOGRÁFICO.1 TENSÕES IN SITU O projeto de uma estrutura subterrânea em rocha se difere de outros tipos de estruturas a serem projetados na natureza devido aos carregamentos a que o sistema está submetido. Em estruturas superficiais convencionais, a geometria da estrutura e sua função operacional definem as cargas impostas ao sistema. Para uma estrutura subterrânea em rocha, o meio rochoso está submetido a um estado de tensão inicial ou in situ antes da escavação. No final, após a escavação, o estado de tensão da estrutura será o resultado das tensões iniciais e das tensões induzidas pela escavação. Visto que, as tensões induzidas estão relacionadas diretamente às tensões iniciais, a determinação do estado de tensão inicial é uma informação necessária para qualquer análise de um projeto subterrâneo, (Brady & Brown, 4)..1.1 Fatores que influenciam o estado de tensão in situ O estado de tensão em um elemento de rocha no subsolo é determinado pelas condições atuais de carregamento no maciço rochoso e pela trajetória dos carregamentos definidos pela história geológica. A trajetória dos carregamentos, neste caso, é uma noção mais complexa do que apenas uma alteração da superfície e das forças de corpo em um meio. Mudanças no estado de tensão no maciço rochoso podem ser relativas à mudança de temperatura, pressões termais, processos químicos e físico-químicos, tais como lixiviação, precipitação e recristalização a partir dos minerais constituintes. Os processos mecânicos, como geração de fraturas, deslizamentos em superfície de fraturas e fluxo visco-plástico por todo o meio, podem produzir estados complexos e heterogêneos de tensão. Consequentemente, é possível descrever, somente de forma semi-quantitativa, o modo em que se encontra o estado de tensão atual do maciço rochoso ou os processos inferidos em sua evolução geológica, podendo determinar no ambiente atual o estado de tensão do meio, (Brady & Brown, 4). 4

25 Assim, os principais fatores que influenciam no estado de tensão in situ são: Topografia; Erosão ou Isostasia; Tensões Residuais; Inclusões e heterogeneidades; Tectonismo; Famílias de fraturas e descontinuidades. A Figura.1 a) mostra um cubo infinitesimal sujeito às tensões naturais, in situ, conforme as direções dos eixos de coordenadas de um sistema tridimensional. Na Figura.1 b) observe que há uma mudança na denominação dos eixos. Assim, a tensão na direção da profundidade, eixo z, passa a ser chamada de tensão vertical e as tensões dos eixos x e y, de tensões horizontais. Superfície Superfície z z z V y y x x a) b) Figura.1 a) e b) Representação das tensões in situ em um cubo infinitesimal a uma profundidade qualquer z. 5

26 .1. Estimação das tensões in situ Um agrupamento abrangente dos resultados da medição do estado de tensão in situ localizados em várias minas, projetos de engenharia civil e de petróleo relatados por Hoek & Brown (198), foi atualizado por Windsor (3). Os resultados apresentados na Figura. consistem em dados de cerca de 9 determinações dos estados de tensão in situ. Embora existam dados para profundidades estendendo-se até 7 km, estes apresentados são para profundidades de até 3 km, que é a faixa de interesse na maioria dos projetos de mineração. A primeira observação a ser realizada na Figura. é que as medições de σ v (em MPa) são dispersos sobre a linha de tendência igual a: σ v =, 7z (.1) onde: z (em m) é a profundidade abaixo da superfície. Desde que 7 kn/m 3 represente uma média razoável para o peso específico da maioria das rochas, a componente vertical de tensão estará diretamente relacionada com o peso total devido à profundidade. Tensão Vertical, v (MPa) Profundidade, z(m) Austrália Asia África N. América O.Europa L.Europa Escandinávia China Oriente Médio Figura. - Variação da tensão vertical em função da profundidade, modificado (Brady & Brown, 4). 6

27 Outra observação diz respeito à variação do parâmetro K, definido como a razão entre a média das tensões horizontais e a tensão vertical, ou seja: K = ( σ + σ ) / σ (.) x y z Os dados são limitados pela esquerda com o limite inferior de K =, 3, enquanto o limite superior é definido pela expressão: K =, / z (.3) Conforme se pode observar na Figura.3, os valores para K variam muito e são geralmente maiores que 1 para as profundidades baixas ou rasas. Contudo, com o aumento da profundidade, a variabilidade diminui e o limite superior tende para a 1. A variabilidade dessas razões em baixas profundidades pode estar ligada aos baixos níveis de tensões e a erros experimentais. K = ( x + y) / ( z),5 1 1,5,5 3 3,5-5 Profundidade, z(m) K=,3 K=,3 + 15/z -3 Figura.3 - Variação da razão entre a média das tensões horizontais e a tensão vertical ( K ) em função da profundidade, modificado (Brady & Brown, 4). 7

28 . REDISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES EM ESCAVAÇÕES SUBTERRÂNEAS Quando uma abertura ou escavação subterrânea é feita em um maciço rochoso, as tensões in situ existentes na rocha são perturbadas e novas tensões são induzidas na rocha imediatamente em torno da escavação. Uma forma que se utiliza para representar este novo campo de tensões é através das trajetórias das tensões principais, que são linhas imaginárias em torno de um corpo elástico solicitado, ao longo do qual agem as tensões principais, (Hoek & Brown, 198). As Figuras.4 a) e b) mostram como as tensões verticais e horizontais, em torno da seção de uma escavação circular subterrânea se comportam antes e após a realização da abertura, respectivamente. Observe-se que, após a realização da escavação, Figura.4 b), há o aparecimento de regiões de alívio e de concentração de tensões em torno da escavação. V Superfície V Superfície z z Regiões de Alívio e Concentração das tensões H H a) b) Figura.4 a) e b) - Comportamento das tensões verticais e horizontais antes e após a abertura de uma escavação circular subterrânea, respectivamente. Na Figura.5 tem-se uma abertura quadrada onde as linhas imaginárias das tensões induzidas estão associadas aos isocontornos da tensão principal maior. Para este formato, observe que há concentração de tensões nas paredes laterais e nos vértices e alívio no teto e no piso da abertura. 8

29 Tensões In Situ Isocontornos de tensão principal maior. Figura.5 - Comportamento das tensões induzidas através da representação dos isocontornos de tensão principal maior, modificado (Hutchinson & Diederichs, 1996)..3 TENSÕES INDUZIDAS EM ABERTURAS DE FORMA REGULAR.3.1 Princípio clássico da análise de tensão Uma descrição detalhada dos fundamentos da análise de tensão está fora do escopo deste trabalho, contudo, livros-texto como os de Prager (1959), Obert & Durval (1967) e Timoshenko & Goodier (197) podem ser consultados a fim de se encontrarem discursos gerais sobre as teorias da elasticidade e plasticidade e os respectivos métodos de análise de tensão. A intenção aqui é identificar os elementos chave para a determinação analítica dos campos de tensão e de deslocamento em um corpo submetido a um carregamento. Para tanto, algumas condições devem ser satisfeitas em qualquer solução de forma fechada para a distribuição de tensão. Algumas técnicas podem ser estabelecidas para verificar a exatidão de qualquer solução em um problema particular, tal como a distribuição de tensão em torno de uma escavação subterrânea de formato definido. 9

30 O problema é definido como de um estado plano de deformação. Deve-se notar que quando se considera a escavação como um meio solicitado ou carregado, é possível considerar duas abordagens para a análise. No primeiro caso, a análise procede em termos dos deslocamentos, das deformações e das tensões induzidas pela escavação no meio solicitado. Alternativamente, a análise prossegue através da determinação dos deslocamentos, deformações e tensões obtidos pela aplicação de um campo de tensões no meio que contém a escavação. Nos dois casos os estados de equilíbrio de tensão são idênticos, mas os deslocamentos não são. Neste trabalho, iremos considerar a primeira abordagem como método de análise, (Brady & Brown, 4). As condições que devem ser satisfeitas em qualquer solução para a distribuição das tensões e de deslocamentos para um problema de geometria particular em condições de carregamento são: condições de contorno para o problema; equações diferenciais de equilíbrio; equações constitutivas para o material; equações de compatibilidade de deformações. As condições de contorno impõem que se encontre uma função particular que satisfaça tanto as equações diferenciais de equilíbrio do meio como as condições estabelecidas no contorno do problema. As equações diferenciais de equilíbrio no plano xy, considerando as forças de corpo igual a zero, são: σ x τ xy + x y = (.4) τ xy σ y + x y = (.5) ou τ xy x y σ = x x σ y = y (.6) 1

31 11 As equações constitutivas para um material nas condições de estado plano de deformação, elasticamente isotrópico, são definidas por: ( ) y x x E σ ν σ ε ' ' 1 = (.7) ( ) x y y E σ ν σ ε ' ' 1 = (.8) = z ε (.9) ( ) xy xy xy E G τ ν τ γ + = = 1 1 (.1) Onde: 1 ν = E E (.11) ν ν ν = 1 ' (.1) As equações de compatibilidade de deformações em duas dimensões são dadas por: y x y x xy x y = + γ ε ε (.13) Substituindo a expressão para as componentes de deformação, equação.7,.8 e.1, na equação.13, e em seguida a equação.6 no resultado da expressão, tem-se: ( ) y x E v y y E x x E xy y x x y + = + τ σ ν σ σ ν σ ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ( ) + + = + ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1 y x E y y E x x E y x y x x y σ σ ν σ ν σ σ ν σ (.14)

32 Fazendo algumas simplificações, temos: σ x x σ + y x σ y + x σ y + y = (.15) ou x + y ( + σ ) = σ x y (.16).3. Soluções analíticas de forma fechada para formatos simples de escavação As formulações precedentes estabeleceram a base analítica para determinar a distribuição das tensões e deslocamentos em torno de aberturas com geometria bidimensional. Na mecânica das rochas prática, não há a necessidade de um engenheiro determinar a solução para a configuração particular de um problema, pois já existe uma abrangente coleção de soluções para problemas que foram tratados analiticamente. A coleção de Poulos & Davis (1974) é a mais completa segundo Brady & Brown (4). O requisito prático é ser capaz de verificar qualquer solução publicada que possa ser aplicada a um determinado problema de projeto. Isto pode ser conseguido encontrandose uma solução que satisfaça às condições de contorno e às equações que governam o problema. Testes de verificação devem ser realizados para confirmar o conjunto de condições impostas no desenvolvimento da solução do problema, conforme citado anteriormente, as condições de contorno, as equações diferenciais de equilíbrio, as equações de compatibilidade de deformações e as equações constitutivas do material. O método de verificação pode ser demonstrado pelo exemplo a seguir, que considera a distribuição de tensão em torno de uma abertura circular, (Brady & Brown, 4). 1

33 .3.3 Solução de forma fechada para uma abertura circular A Figura.6 mostra uma abertura circular num meio sujeito a um campo de tensão biaxial, definido por σ p, eσ Kp. A distribuição das tensões em torno da v = H = abertura pode ser facilmente obtida a partir das equações (.4) a (.16) pela superposição das tensões induzidas pelos os campos de tensões p e Kp. σ v = p u θ σ σ rr θθ u r a θ r σ r θ σ H = Kp Figura.6 Distribuição das tensões e deslocamentos para uma abertura circular, em um meio elástico, linear e isotrópico. 13

34 As soluções completas para a distribuição de tensões e dos deslocamentos em torno da abertura circular no meio elástico, linear e isotrópico foram obtidas originalmente por Kirsch (1898). São elas: 4 a 4a 3a ( 1 + K ) 1 ( 1 K ) cos p σ = rr θ (.17) r r r 4 a 3a ( 1 + K ) ( 1 K ) 1 + cos 4 p σ = θθ θ r r (.18) 4 a 3a ( 1 K ) 1 + sin 4 p σ r θ = θ (.19) r r p a a u r = ( 1 + K ) ( 1 K ) 4( 1 ν ) cos θ 4Gr r (.) p a a u θ = ( 1 K ) ( 1 ν ) + sin θ 4Gr r (.1) Nas expressões acima, u r e u θ são os deslocamentos radiais e tangenciais induzidos pela escavação, enquanto σ rr, σ θθ e σ r θ são as tensões radiais, tangenciais e cisalhantes totais geradas pela abertura, respectivamente. Observe-se que as tensões não dependem das propriedades elásticas do meio. Fazendo dadas por: r = a nas equações (17) a (19), as tensões no contorno da escavação serão [( 1 + K ) + ( 1 ) cos ] σ θθ = p θ (.) K σ = (.3) rr σ r θ = (.4) 14

35 Tensões no contorno. A equação (.) define o estado de tensão no contorno da escavação circular em termos do ângulo θ. Claramente, a tensão radial será igual a zero no contorno da escavação conforme a equação (.3), assim, existindo somente a tensão tangencial. Para K < 1, as tensões tangenciais máximas e mínimas no contorno ocorrem na parede ( θ = ) e no teto ( θ = π ) da escavação, respectivamente. Assim a tensão nos pontos A e B da Figura.7 podem ser definidas da seguinte forma: No ponto A: = No ponto B: π θ, ( ) = σ = p ( 3 K ) σ θθ (.5) A θ =, ( ) = = p ( 3K 1) A B σ B σ θθ (.6) p ( σ θθ ) = σ B = σ T B B a A Kp σ θθ = σ = σ ( ) A P A Figura.7 Tensões tangenciais na parede (A) e teto (B) de uma escavação circular. Conforme visto nas equações (.5) e (.6), os valores das tensões na parede e no teto dependem do valor de K. Na Figura.8, a seguir, pode-se observar a variação dessas tensões para valores maiores e menores que K = 1. 15

36 Em um campo de tensão uniaxial, onde a tensão horizontal é igual a zero, o valor de K também será igual a zero. Desta forma, substituindo-se K = nas equações (.5) e (.6), os valores das tensões no contorno da parede e do teto serão: ( 3 ) p σ (.7) P = p = 3 ( 3. 1) = p σ = p (.8) T 1 Outro ponto a ser observado na Figura.8 é o aparecimento de tração na parede e no teto da escavação. Assim, tem-se que, para a parede, a tração ocorre para valores de K > 3 e para o teto para valores de linearmente elástico e isotrópico. 1 K <. Vale salientar que isso ocorre para um meio 3 σ θθ p / K Tração Parede: K > 3 Teto: K < 1/3 Figura.8 Comportamento das tensões na parede e no teto, em função de K, em uma escavação circular em um meio linearmente elástico e isotrópico. 16

37 Quando o valor de K é igual 1, ou seja, K = 1, as tensões verticais e horizontais são iguais a p. Neste caso, pode-se dizer que a abertura está submetida a um campo de tensão hidrostático. Na Figura.8, para o valor de K = 1 a tensão tangencial no contorno da abertura será igual a p tanto para a parede quanto para o teto, o que pode ser verificado com as equações (.5) e (.6): ( 3 1) p σ (.9) P = p = ( 3.1 1) p σ (.3) T = p =.3.4 Tensões no interior do maciço: Zona de Influência O conceito de zona de influência é importante na fase de projeto, uma vez que ela pode fornecer uma simplificação considerável. A ideia essencial de uma zona de influência é que ela define o domínio de perturbação no campo de tensão devido à escavação, (Brady & Brown, 4). Para a situação em que o campo de tensões é hidrostático, ou seja, K = 1, os valores das tensões radiais, tangenciais e cisalhantes no interior do maciço podem ser obtidos substituindo-se esse valor de K nas equações (.17), (.18) e (.19), respectivamente, obtendo-se, assim, as equações (.31), (.3) e (.33) abaixo: a σ rr = p 1 (.31) r a σ θθ = p 1 + (.3) r τ r θ = (.33) Os valores das tensões radiais e das tensões tangenciais podem ser observados na Tabela.1 para valores de r até 1 vezes o raio da escavação, a, e o comportamento 17

38 das tensões radiais e tangenciais no interior do maciço rochoso visto através da Figura.9, para valores de r até uma distância de 5 vezes o raio da escavação. Tabela.1 Valores das tensões radiais e tangenciais para valores de r até 1 vezes o raio da escavação, a, no interior do maciço rochoso. r σ θθ σ rr ± (%) p a a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 1a p 1,5p 1,11p 1,6p 1,4p 1,3p 1,p 1,15p 1,15p 1,1p,75p,89p,94p,96p,97p,98p,985p,9875p,99p ,5 1,5 1 É interessante observar pela Tabela.1 qual é a influência da escavação no interior do maciço. Para uma distância de 5 vezes o raio da escavação, os valores das tensões radiais e tangenciais varia de apenas ± 4% da tensão p (tensão original do campo de tensão hidrostático), chegando a ± 1% de p para uma distância radial de 1 vezes do valor do raio da escavação. p Kp a σ p 1 σ θθ p σ rr p r a Figura.9 Valores das tensões radiais e tangenciais para distâncias radiais de 5 vezes o raio da escavação. 18

39 .3.5 Efeito da Pressão Interna em uma escavação Uma pressão interna pode ser aplicada em uma escavação por meio de fluídos, estruturas de suporte, de reforço ou por outros materiais, com a função de aplicar uma força no sentido contrário ao das forças impostas pelo maciço devido à escavação. Desta forma, é possível inibir as deformações em torno da escavação, evitando, assim, uma possível ruptura da estrutura ou do maciço rochoso. A Figura.1 demonstra o caso hipotético de uma escavação circular submetida a um campo de tensão hidrostático, p, em um meio elástico linearmente isotrópico, no qual é aplicada uma pressão interna uniforme, p i. Observem as 3 situações, identificadas como 1, e 3. Na situação 3, o valor referente à pressão interna, p i, é subtraído da tensão in situ hidrostática, p, de forma radial, isso ocorre devido a escavação. Na situação, a escavação circular está submetida a uma pressão interna uniforme, p i, a qual se deve à aplicação de uma pressão sobre o contorno da escavação(suporte). As tensões in situ hidrostáticas dessa situação são também supostamente iguais a p i. Facilmente depreende-se que todos os pontos do meio estão auto-equilibrados e sujeitos à mesma tensão p i. Percebe-se que, somando as situações e 3, tem-se a situação 1, que é a de uma escavação circular submetida a uma pressão interna uniforme, em um campo de tensões hidrostático. Analiticamente, a situação 1 pode ser obtida somando-se p i da situação às equações (.31) e (.3), para as tensões radiais e tangenciais, considerando-se nestas uma tensão in situ ( p ) p i. p pi (p-pi) 1 3 pi Kp= pi pi + (Kp-pi) a a a Figura.1 - Efeito da pressão interna uniforme em uma escavação circular. 19

40 As tensões tangenciais e radiais para uma escavação circular submetida a uma pressão interna uniforme podem, portanto, ser representadas pelas equações (.34) e (.35): { { ( ) a σ 1 + θθ = pi + p pi (.34) r { { ( ) a σ 1 rr = pi + p pi (.35) r Assim, analisando-se as condições de contorno, vemos que, para a situação anterior, substituindo-se nas equações (.34) e (.35) os valores K = 1 e r = a, tem-se: σ p (.36) θθ = p i σ rr = p i (.37) Ou seja, surgirá sempre, para qualquer valor de p, uma tração tangencial e uma compressão radial de valor igual ao da pressão interna, p i. Para os deslocamentos radiais e tangenciais, considerando o efeito da pressão interna e os valores de K = 1 e r = a substituídos nas equações (.) e (.1), teremos: u el r ( p p ) i a = (.38) G el u θ = (.39).3.6 Efeito do formato da escavação A distribuição de tensão em torno de uma escavação, ou seja, as tensões induzidas tem uma influência direta da seção transversal ou do formato das escavações. Sendo assim, é necessário fazer um estudo sobre as zonas de alívio e concentrações de tensões que

41 podem ocorrer ao se projetar uma escavação, juntamente, com as outras unidades estruturais. O princípio geral que se aplica a todos os formatos de escavação é que as condições mais favoráveis para distribuição das tensões induzidas em torno de uma escavação é obtida com uma escavação retangular com cantos arrendondados, na qual a razão largura/altura é igual a K (Obert & Duvall, 1967). Quando o raio de curvatura corresponde à metade da altura ou da largura, a escavação tem um formato ovaloidal, (Hoek & Brown, 198). Segundo Hoek & Brown (198), algumas das principais considerações para a distribuição de tensão elásticas em torno de vários formatos de escavações num campo de tensão biaxial são: A concentração de tensão crítica aumenta à medida que o raio de curvatura das bordas ou quinas da escavação diminui. Aberturas com quinas pontiagudas devem ser evitadas como o caso das retangulares; O melhor formato para um campo de tensão hidrostático, K = 1, é o circular; Para um campo de tensão não hidrostático, K 1, as tensões mais baixas em torno de uma escavação estarão associadas ao formato tipo ovaloidal com razão (altura/largura) igual ao valor de K. Um exemplo é o de uma abertura com razão (altura/largura) igual a 1/ submetida a um campo de tensões em que a tensão horizontal seja igual à metade da tensão vertical, ou seja, K =, 5 ; As tensões induzidas em torno de uma escavação elíptica ou ovaloidal podem ser reduzidas a um mínimo se a razão entre os eixos, altura / largura, for igualada à razão entre as tensões horizontais e verticais, ou seja, ao valor de K; Sob condições de tensões aplicadas em que o valor de K é muito baixo, ocorrem tensões de tração no teto para todos os formatos de escavação. Estas tensões de tração são substituídas por tensões de compressão para valores de K mais elevados ( K > 1 3, para escavação circular, como ilustrado na Figura.8). A Figura.11 mostra como variam os valores das tensões do teto e na parede de 9 formatos distintos, em função dos valores da razão entre a tensão horizontal e a tensão 1

42 vertical, K, os quais foram compilados através de uma análise realizada pela doutora Elsayed Ahmed Eissa sob a supervisão do doutor J.W. Bray no Colégio Imperial de Ciência e Tecnologia em Londres - Inglaterra, onde foi utilizado o método de elementos de contorno para se calcularem as tensões em torno das escavações. Para estas análises, foram consideradas as seguintes condições: O material é homogêneo, isotrópico e linearmente elástico; Estado plano de deformação; O meio é infinito, ou fechado por um contorno finito de forma arbitrária; O carregamento pode consistir em qualquer combinação de um campo de tensões uniforme ou de carregamentos uniformemente distribuídos sobre o contorno. O carregamento gravitacional é simulado através do aumento das tensões com a profundidade. 1 Valores das constantes A e B 11 T V = ( AK - 1 ) W/H (1/,1 e ) 1 A 5, 4, 3,9 3, 3,1 3,, 1,9 1,8 9 B, 1,5 1,8,3,7 3, 5, 1,9 3,9 Tensão máxima no Teto Tensão Vertical in situ = T V Tensão máxima na Parede Tensão Vertical in situ P V = ( B - K ) 1 = P V K = Tensão Horizontal in situ Tensão Vertical in situ K = Tensão Horizontal in situ Tensão Vertical in situ Figura.11 - Influência do formato das escavações para as tensões no teto e na parede, modificado, (Hoek & Brown,198).

43 Assim, para cada formato estudado foi encontrada uma equação linear em função de K, onde A e B são as constantes encontradas para cada formato analisado, conforme mostrado na Figura.11. Desta forma, as expressões para as tensões no teto e na parede são: ( ) σ = AK 1 (.4) Teto Parede ( B K ) σ = (.41) De forma a enfatizar os valores das constantes para as tensões na parede e no teto das escavações o quadro da Figura.11 foi ampliado como ilustra a Figura.1. W/H (1/,1 e ) Valores das constantes A e B A 5, 4, 3,9 3, 3,1 3,, 1,9 1,8 B, 1,5 1,8,3,7 3, 5, 1,9 3,9 Figura.1 Constantes A e B para cálculo das tensões no teto e na parede para 9 formatos distintos, modificado, (Hoek & Brown,198)..4 INTERAÇÃO ROCHA E SUPORTE Segundo Duncan-Fama (1993) e Hoek et al. (1995) uma forma simples para se entender os conceitos de interação rocha-suporte é através de soluções analíticas para uma escavação circular submetido a um campo de tensões hidrostáticas (no qual as tensões 3

44 horizontais e verticais são iguais a p ). Quando a tensão in situ excede certo valor crítico, uma zona plástica circular e concêntrica desenvolve-se ao redor do túnel. Uma simulação de Monte Carlo foi realizada por Hoek (), levando em consideração iterações para distribuições uniformes das propriedades mecânicas do maciço rochoso como a resistência do maciço rochoso, raios de túneis e níveis de tensões in situ. As qualidades do maciço rochoso variaram entre valores razoáveis (GSI = 35) e extremamente pobres (GSI = 5). As tensões in situ, p,variaram de a MPa, correspondentes a profundidades de 75 a 75 m, e os diâmetros de túneis entre 4 e 16m. Os resultados são representados pelas Figuras (.13) e (.14). 5 Diâmetro da Zona Plástica / Diâmetro do túnel 4 3,5,1,15,,3,4,5 Pressão de Suporte Tensão In Situ 1,,1,,3,4,5,6,7,8 Resistência do maciço rochoso / Tensão in situ Figura.13 - Diâmetro da zona plástica para diferentes razões entre resistência do maciço rochoso e a tensão in situ e diferentes pressões de suporte, modificado (Hoek, 1998). 4

45 Essas Figuras,.13 e.14, mostram uma mudança notável no diâmetro da zona plástica e na convergência do túnel quando a razão entre a resistência do maciço rochoso e a tensão in situ cai abaixo de um nível crítico. O papel do suporte do túnel é reduzir esse nível crítico, (Hoek, 1998).. Convergência do túnel / Diâmetro do túnel ,5,1,15,,3,4,5 Pressão de Suporte Tensão In Situ.,,1,,3,4,5,6,7,8 Resistência do maciço rochoso / Tensão in situ Figura.14 - Deformação do túnel para diferentes razões entre resistência do maciço rochoso e a tensão in situ e diferentes pressões de suporte, modificado (Hoek, 1998). 5

46 As curvas representadas nas Figuras.13 e.14 são definidas, respectivamente, pelas equações.4 e.43 (Hoek, 1998): rpl a p = 1,5,65 p i σ * p cm p i,57 p (.4) δi a =,,5 p p i σ * p cm p i,4 p (.43) onde r pl é o raio da zona plastificada, δ i é o deslocamento (ou convergência) radial e σ cm é a resistência à compressão uniaxial do maciço rochoso..4.1 Deformação Crítica Sakurai (1983) sugeriu que a estabilidade de túneis possa ser avaliada com base nas deformações do maciço rochoso em torno do túnel. A máxima deformação é definida como a razão entre a convergência ( δ i ) e o raio do túnel ( a ). A deformação percentual pode ser expressa por uma equação na forma: B ε pc = Aσ cm (.44) A Figura.15 ilustra a ideia de Sakurai sendo aplicada às observações realizadas durante a construção de três túneis em Taiwan (Hoek, 1998, Chern et al., 1998). Note-se que a deformação crítica está plotada como uma linha que define o limite entre túneis com ou sem a necessidade de suportes "especiais". Admitindo-se que a deformação crítica seja, na média, algo em torno de %, tem-se um critério definindo aqueles túneis que irão necessitar de uma análise cuidadosa em termos de projeto de suportes. Na realidade, todos os túneis representados na Figura.15 foram construídos com sucesso, mesmo aqueles com uma deformação da ordem de 1%. Em alguns casos esses túneis tiveram de ser alargados para permitir a deformação, de forma a acomodar as instalações contempladas no projeto original. 6

47 Túneis com problemas de estabilidade Túneis sem problemas de estabilidade Deformação = ( Convergência do túnel / diâmetro do túnel)*1 1 1,1,1 1 1 Deformação Crítica Resistência à compressão uniaxial do maciço rochoso (MPa) 1 % Figura.15 - Deformação percentual em função da resistência à compressão uniaxial do maciço rochoso, segundo observações de Chern et al. (1998) nas construção de 3 túneis de adução em Taiwan, modificado (Hoek, ). Na Figura.14 pode-se perceber que, para um túnel sem suporte, p =, uma deformação crítica de, ou % corresponde, aproximadamente, a um valor de 1/3 para a razão entre a resistência à compressão uniaxial do maciço rochoso e a tensão in situ, σ cm p. Conforme citado anteriormente, % é um valor crítico para aumentos significativos tanto nas dimensões da zona plástica quanto nas deformações dos túneis. Portanto, σ cm p = 1/3 lhe equivaleria. Nota-se, desta forma, que a ideia de uso da deformação crítica como base para projeto de túneis foi um grande passo, pois permite por meio da equação.43, estimar a pressão de suporte requerida, para um determinado valor de σ cm p, que limite a deformação a um nível especificado. A equação.43 está plotada na Figura.16 para alguns valores da razão entre a pressão interna de suporte e i 7

48 a tensão in situ, p i p. A Figura.16 é uma forma alternativa de apresentação da Figura.14, que se considera mais adaptada a propósitos de projeto. Apesar da equação.43 e das Figuras.14 e.16 aplicarem-se a túneis circulares submetidos a tensões hidrostáticas, as mesmas podem ser utilizadas para se obter uma primeira estimativa, bastante razoável, da pressão de suporte requerida para se limitar a deformação no maciço rochoso ao redor do túnel, a um nível requerido. Deformação = (Convergência do túnel / diâmetro do túnel)*1 1,,5,% 1,,4 Pressão de suporte / Tensão In situ,3,,15,1,5,.1,1,1 1, Resistência do maciço rochoso / Tensão In situ Figura.16 - Pressão aproximada do suporte requerido para diferentes valores de deformação percentual em túneis circulares sujeitos a um campo de tensão hidrostático, modificado (Hoek, 1998). De acordo com o que foi discutido anteriormente, um maciço rochoso poderá ser considerado crítico para execução de túneis quando a razão entre a resistência à compressão uniaxial maciço rochoso e a tensão in situ for menor que, 8

49 aproximadamente,,3, para uma pressão de suporte igual a zero, considerando-se uma abertura circular submetida a um campo de tensões hidrostático. A Figura.17 mostra como se acentuam os problemas de estabilidade de uma escavação circular submetida a um campo de tensões hidrostático, associados a diferentes níveis de deformação percentual, em função da razão entre a resistência uniaxial do maciço e a tensão in situ, com uma pressão de suporte p =. i 15 Deformação = (Convergência da parede do túnel / raio do túnel)* Deformação maior que 1% Extremos problemas de estabilidade Deformação entre 5% a 1% Muitos problemas de estabilidade Deformação entre,5% a 5% Moderados problemas de estabilidade Deformação entre 1% a,5% Menores problemas de estabilidade Deformação menor que 1% Poucos problemas de estabilidade,1,,3,4,5,6 Resistência do maciço rochoso / Tensão In situ Figura.17 - Problemas em túneis associados a diferentes níveis de deformações percentuais, modificado (Hoek, )..4. Estimativa na Capacidade de Suporte Hoek & Brown (198) e Brady & Brown (4) publicaram as equações necessárias aos cálculos de rigidez e capacidade máxima dos seguintes sistemas de suportes para 9

50 túneis circulares submetidos a campos de tensões in situ hidrostáticos: tirantes ancorados mecanicamente (por coquilhas expansivas), revestimentos de concreto projetado ou moldado e cambotas metálicas. Exemplos de capacidades máximas de suporte, típicas para alguns desses sistemas, em função do diâmetro do túnel, estão apresentados na Figura.18, que pode ser utilizada para se obter estimativas preliminares dos suportes requeridos em projetos. Cabe enfatizar, entretanto, que a Figura.18 diz respeito a túneis circulares e submetidos a um campo de tensões hidrostático, nos quais os sistemas de suporte são instalados em toda a extensão do perímetro. Portanto, deve-se tomar grande cuidado com a sua aplicação a túneis reais que não tenham essas características. Note-se que em se tratando de túneis circulares sujeitos a tensões hidrostáticas e com suportes em todo o perímetro (o revestimento de concreto é um anel fechado, as cambotas são círculos completos e os tirantes são instalados em uma malha regular completa ao redor de todo o túnel), tem-se uma perfeita simetria e, portanto, nenhum momento fletor é induzido nos mesmos. Na realidade, devido à assimetria causada pela instalação das cambotas metálicas e do concreto projetado em superfícies rugosas, sempre será induzido algum momento fletor, resultando em capacidades de suporte menores que as apresentadas na Figura.18 (Hoek, ). Além disso, o não fechamento completo do anel, como ocorre na maioria dos casos, resulta em uma drástica redução na capacidade máxima e na rigidez das cambotas metálicas e do concreto projetado. Saliente-se, ainda, que, como na Figura em questão, os espaçamentos entre as cambotas são de 1m, para outros espaçamentos devem-se utilizar diretamente as equações sugeridas por Hoek & Brown (198) e Brady & Brown (4). Assim, é sempre necessário checar as estimativas com análises mais refinadas, como, por exemplo, através de métodos numéricos. Não obstante, como ponto de partida para tais análises, as estimativas fornecidas na Figura.18 são extremamente úteis, como ilustrou, para vários casos Hoek (1998, ). Quando suportes diferentes são combinados, a capacidade total disponível pode, num primeiro cálculo, grosseiro, ser estimada somando-se as capacidades calculadas para cada suporte isoladamente. Entretanto, ao se utilizar desse artifício deve-se estar atento para o fato de que os suportes não agem necessariamente ao mesmo tempo e que, como 3

51 ensina a mecânica da interação rocha-suporte, pode não haver compatibilidade dos sistemas em termos de deformação (Brady & Brown, 4; Carranza-Torres & Fairhurst, ). Por exemplo, para cambotas metálicas preenchidas com concreto projetado, instaladas imediatamente atrás da frente de escavação, as cambotas sofrerão um carregamento instantâneo, enquanto o concreto projetado irá apresentar reação de acordo com o seu tempo de cura. Dependendo da taxa de avanço do túnel, a capacidade das cambotas poderá ser excedida antes da necessária cura e sem o enrijecimento completo do concreto projetado, o que prejudicaria funcionamento pleno do sistema de suporte combinado, (Penido, 6 apud Hoek, ). 1, 5 cm de esp. de concreto 35 MPa Pressão de suporte (MPa) 1,,1 3 cm de esp. de concreto 35 MPa Cambotas 1W65 c esp. 1 m Tirantes de 34 mm c/ malha de 1 m 5 cm de esp. de concreto 35 MPa Tirantes de 5 mm c/ malha de 1,5 m 5 cm de esp. de concreto 14 MPa Cambotas 8I3 c/ esp. 1,5 m Tirantes de 19 mm c/ malha de m Cambotas 611 c/ esp. m Tirantes de 16 mm c/ malha de,5 m, Raio do túnel (m) Figura.18 - Estimativa da capacidade de suporte para diferentes dimensões de túneis, modificado (Hoek, ). Supondo, por outro lado, que tenha havido tempo suficiente para a cura, o concreto costuma ser muito mais rígido que as cambotas (Carranza-Torres & Fairhurst, ). Neste caso, pode acontecer uma incompatibilidade em termos de deformação. Com deformações ainda muito aquém daquelas requeridas para a mobilização da resistência 31

52 das cambotas, o concreto já teria atingido sua capacidade máxima. Assim, a capacidade do conjunto será essencialmente aquela do concreto. O resultado da composição limitase, nesse caso, a um pequeno ganho na rigidez e na existência de uma resistência residual correspondente à capacidade das cambotas (Brady & Brown, 4; Carranza- Torres & Fairhurst, ). Em suma, para que as capacidades máximas de dois suportes diferentes efetivamente se somem, as deformações requeridas para alcançá-las devem ser iguais..5 MÉTODO DA CONVERGÊNCIA-CONFINAMENTO APLICADO A PROJETO DE TÚNEIS.5.1 Conceito O método da convergência-confinamento é um procedimento analítico que permite descrever a mecânica da interação rocha-suporte à medida que avança a face de um túnel e são instalados os respectivos suportes. Dito de outro modo, esta técnica permite que o carregamento imposto sobre os suportes pela deformação do maciço, atrás da face de escavação de um túnel, seja determinado, (Penido, 6) apud (Carranza-Torres & Fairhurst, ). Quando um suporte é instalado imediatamente junto à face de um túnel, não haverá nenhum carregamento sobre o mesmo. Nesse instante, todavia, uma parte do carregamento imposto pela deformação do maciço já terá sido redistribuída ao redor da escavação e outra conduzida para a face. À medida que ocorre o avanço do túnel, o efeito face decresce e há uma progressiva transferência do carregamento, anteriormente atribuído à face, para o suporte, que passa a receber uma parte cada vez maior do mesmo. Seguindo essa linha de raciocínio, pode-se concluir que com a face bem distante do suporte em questão, o mesmo irá receber, efetivamente, a sua carga total de projeto. Na sequência será explicado o método da convergência-confinamento com base na apresentação do mesmo feito por Carranza-Torres & Fairhurst (). 3

53 a) b) L face a A Avanço p i u r Contorno p suporte A' 1, c) sem suporte p s u r Plástico Elástico r pl t c a Figura.19 - a) Túnel cilíndrico de raio R sendo escavado em um maciço rochoso. b) Corte do maciço rochoso na seção A-A. c) Corte do suporte instalado na seção AA, modificado (Carranza-Torres & Fairhurst, ). Considere-se um túnel circular de raio a, como ilustrado na Figura.19. O objetivo do método da convergência-confinamento é analisar a transferência do carregamento do maciço para um suporte instalado numa seção localizada a uma determinada distância (L) da face (seção A-A ), a partir do momento de instalação até a condição na qual a face esteja suficientemente distante para que sua influência desapareça por completo. Essa situação é apresentada na Figura.19 a). As variáveis envolvidas na análise são apresentadas na Figura.19 b), na qual se pode ver um corte transversal na seção A-A. O maciço rochoso está submetido a um carregamento imposto por uma tensão in situ hidrostática, p, devido ao qual, conforme apresentado, foi desenvolvida uma zona plástica de raio, r pl, (Penido, 6) apud (Carranza-Torres & Fairhurst, ). De modo a simplificar o problema, é assumida a hipótese de que toda deformação ocorra em um plano perpendicular ao eixo do túnel (deformação plana bidimensional), 33

54 sendo o deslocamento radial, u r, e a pressão de suporte, p i, que representa a reação do suporte nas paredes do túnel, uniformes em toda a seção (problema axissimétrico). A Figura.19 c) mostra o corte por um suporte circular anular de espessura, t c, e raio externo a instalado na seção A-A. A pressão uniforme p s representa o carregamento transmitido pelo maciço rochoso ao suporte e o deslocamento radial u r o deslocamento induzido por p s. Para compatibilidade de deformações na interface rocha/suporte, o deslocamento radial do suporte deve ser igual ao deslocamento radial da parede de rocha, u r, conforme indicado na Figura.19 b), (Carranza-Torres & Fairhurst, ). A base do método da convergência-confinamento é ilustrada na seqüência apresentada na Figura.. A situação no tempo inicial t, quando o suporte é instalado na seção A- A, é representada na Figura. a). Nesse instante, a seção está locada a uma distância L da face e o maciço já convergiu radialmente um valor u r. Assume-se que, até que a face avance mais além, o maciço rochoso não transmita nenhum carregamento ao suporte, ou seja, neste estágio p (note-se que não se está considerando nesta S = análise a ocorrência de deformações viscosas, ou seja, dependentes do tempo), (Carranza-Torres & Fairhurst, ). À medida que o túnel avança para a direita, maciço e suporte (na seção A-A ) se deformam juntamente e o suporte recebe parte do carregamento anteriormente sobre a face. A Figura. b) mostra a situação em um tempo t, no qual a seção está locada a uma distância L t da face. Nesse momento, o maciço já convergiu até um valor t u r > u r e o maciço rochoso transmite uma pressão t p S ao suporte. 34

55 a) b) tempo tempo t A A' A L unid. largura 1, a p s = u r t Suporte face L t Suporte c) tempo t D t p s A' A t u r face avanço Suporte D p s A' D u r Figura. a), b) e c) - Carregamento do suporte na seção A-A devido ao avanço progressivo da face do túnel, modificado (Carranza-Torres & Fairhurst, ). Quando o túnel tiver se movido suficientemente para direita, Figura. c), o sistema maciço-suporte na seção A-A deverá estar em equilíbrio e o suporte receberá o carregamento final ou de projeto p D S. Nesse instante, t D, a influência da face terá desaparecido e a convergência terá atingido seu valor final u D r, (Carranza-Torres & Fairhurst, ). Como pôde ser visto na Figura., a determinação do carregamento transferido ao suporte requer uma análise da interação das características carga-deformação dos elementos compreendidos no sistema: (i) o túnel em seu avanço; (ii) a seção de escavação, perpendicular ao eixo do túnel e (iii) o suporte instalado em cada seção, (Carranza-Torres & Fairhurst, ). 35

56 Portanto, são, respectivamente, três os principais elementos que compõem o método de convergência-confinamento (ver Figura.1): i) o Perfil de Deslocamento Longitudinal (LDP = Longitudinal Displacement Profile); ii) a Curva de Reação do Maciço (GRC = Ground Reaction Curve); iii) a Curva Característica do Suporte (SCC = Support Characteristic Curve). Convergência da parede, ur M u r u r LDP I face F M u r G J 1 1 Atrás da face L frente a face Distância da face do túnel, x M u r Pressão da parede,pi, e do suporte, ps p p cr i máx. p s L p i D p i O GRC Elástico E face L N SCC Plástico H K M u r Convergência da parede e do suporte,ur D D u r R M u r Figura.1 - Representação esquemática dos elementos do Método de Convergência- Confinamento (MCC): Perfil de Deslocamento Longitudinal (LDP), Curva de Reação do Maciço (GRC) e Curva Característica do Suporte (SCC), modificado (Carranza- Torres & Fairhurst, ). 36

57 O LDP é a representação gráfica de como o deslocamento radial varia ao longo do eixo de uma escavação não suportada tanto para seções localizadas à frente como atrás da face. A parte superior esquerda da Figura.1 representa tal perfil. O eixo horizontal representa a distância, x, entre a seção analisada e a face do túnel, enquanto o eixo vertical representa o deslocamento radial correspondente u r. O diagrama indica que a partir de uma determinada distância atrás da face, o efeito face torna-se relativamente pequeno e que o deslocamento radial converge para um valor final M u r. Similarmente, a uma determinada distância à frente da face, o avanço do túnel não tem influência no maciço rochoso e o deslocamento radial é zero. Considerando agora a seção não suportada representada na Figura.19 b), a GRC é definida como a relação entre a decrescente pressão interna, p i, e o crescente deslocamento radial das paredes, u r. Essa relação depende das propriedades mecânicas do maciço rochoso e podem ser obtidas a partir de soluções elasto-plásticas para as deformações da rocha ao redor da escavação. A GRC (cujo procedimento de construção será visto no item.5.1.1) é representada pela curva OEM no diagrama inferior da Figura.1, partindo do ponto O onde a pressão interna p i é igual à tensão in situ, p e terminando no ponto M, que corresponde a uma pressão interna igual a zero (caso de túneis não suportados) e à máxima convergência possível (deslocamento radial) u. O ponto E define a pressão interna crítica, p cr, na qual o valor da M r convergência correspondente ao limite elástico do material é alcançado na parede do túnel. Assim, se a pressão interna cair abaixo desse valor, uma região plástica de extensão r pl desenvolve-se ao redor do túnel, conforme representado na Figura.19 b). i O SCC é similarmente definido como sendo a relação entre a crescente pressão no suporte, p S (Figura.19 c)), e o crescente deslocamento radial do suporte. Essa relação depende das características geométricas e mecânicas (que definem a rigidez) do suporte. O SCC é representado pela curva KR no diagrama inferior da Figura.1. O ponto K corresponde a uma pressão de suporte igual a zero (no momento da instalação) e o ponto R à pressão, que representa a capacidade máxima do suporte. 37

58 A interpretação da interação entre LDP, GRC e SCC nos permite definir a pressão que o maciço transmite ao suporte à medida que a face avança. Conforme foi dito, anteriormente, para a presente dissertação utilizaremos a solução Duncan Fama (1993) para o MCC. Contudo, iremos citar os principais parâmetros de cada uma das duas soluções: Duncan Fama (1993) e Carranza-Torres & Fairhurst, (). A solução de Duncan Fama (1993) é baseada no critério de ruptura de Mohr-Coulomb e nas seguintes características de resistência e deformação do maciço rochoso: Resistência à compressão uniaxial do maciço rochoso ( σ cm ); Ângulo de atrito (φ ); Módulo de Young ou elasticidade (E); Coeficiente de Poisson (ν ); Admite-se, ainda, que a dilatância é nula. A solução de Carranza-Torres (4) é baseada no critério de ruptura de Hoek-Brown generalizado e nas seguintes características de resistência e deformação do maciço rochoso: Resistência à compressão da rocha intacta ( σ ci ); Índice de resistência geológica (GSI); Constante da rocha intacta ( m i ); Ângulo de Dilatância (ψ ); Fator de Perturbação (D); Módulo de Young ou elasticidade (E); Coeficiente de Poisson (ν ). 38

59 Curva Característica do Maciço (GRC): solução Carranza-Torres & Fairhurst A Curva de Reação do Maciço (GRC), mostrada na Figura.1, pode ser construída a partir de soluções elasto-plásticas para uma abertura circular em um campo de tensões hidrostático e com uma pressão interna uniforme (Fig..19b)). Nesta dissertação será utilizada a solução analítica desenvolvida por Duncan-Fama (1993). Contudo, iremos descrever também a solução de Carranza-Torres & Fairhurst (1999) apud Penido (6), a qual é baseada numa forma transformada do critério de Hoek & Brown proposta por Londe (1988). Considera-se uma seção como a apresentada na Figura.19 b) e que o maciço rochoso assumido satisfaz o critério de ruptura de Hoek & Brown. Os parâmetros que caracterizam a resistência do maciço rochoso nesse critério são a resistência à compressão uniaxial, σ cm, e o parâmetro m i da rocha intacta, os parâmetros do maciço rochoso m b e s. A pressão p cr i, definida pelo ponto E na GRC da Figura.1, representa a transição do comportamento elástico para o plástico no maciço rochoso, ou seja, se p i > p cr i, o comportamento se mantém elástico; se p i < plástica de raio r pl se desenvolve ao redor do túnel (Figura,19 b)). cr p i, uma região Na parte elástica da GRC podemos considerar a seguinte relação entre os deslocamentos el radiais u r e a pressão interna de suporte p i (segmento OE da Figura.1): u el r p pi = a (.45) G onde : E G = (.46) 1 +ν ( ) G é o módulo de cisalhamento do maciço rochoso. Para o caso dos valores de pressão interna p i < cr pi o raio da região r pl desenvolvida ao redor do túnel é dado por Carranza-Torres & Fairhurst (): 39

60 exp cr r pl = a Pi Pi, (.47) onde: p i P i = + mbσ ci s m b (.48) p S = + mbσ ci s m b (.49) ( S ) 1 = (.5) 16 P cr i + Na qual P i, S, cr P i são a pressão interna normalizada, tensão in situ normalizada e pressão interna crítica normalizada, respectivamente. A pressão interna crítica não-normalizada pode ser obtida através do inverso da equação (.48): p cr i cr s Pi mbσ ci m = (.51) b Para se definir a parte plástica da GRC (curva EM na Figura.1), é necessário conhecer a lei de fluxo do material, ou seja, uma relação entre os incrementos de deformações plásticas e as tensões. Tal lei permite estabelecer, entre outras coisas, uma relação entre as deformações plásticas que produzem distorção e variação de volume. Em problemas de escavações subterrâneas, normalmente essa relação é assumida como linear, na qual a magnitude da variação de volume é definida pelo ângulo de dilatância, o ψ, sendo que, se ψ =, o material não apresenta variação de volume durante a o deformação plástica e, se ψ >, ocorre um aumento de volume durante a deformação plástica, tão maior quanto maior for ψ. Definindo-se o coeficiente de dilatação K ψ por (Carranza-Torres & Fairhurst, ): 4

61 41 ψ ψ ψ sen sen K = (.5) a parte plástica da GRC fica sendo dada por (Carranza-Torres &Fairhurst, ): ( ) = + 1 ln a r P S a r K K K p p G a u pl cr i K pl cr i pl r ν ψ ψ ψ ψ ( ) ( ) ( ) ( ) ln ψ ψ ψ ψ ψ ν ν K pl pl cr i cr i cr i a r a r K P S K K P S P K (.53) onde pl r u é o deslocamento radial na fase plástica (trecho EM da GRC). Hoek () sugere que para rochas brandas deva-se adotar o = ψ. Daí 1 = ψ K e a equação anterior, simplificada, fica igual a: ( ) = ln a r P S a r P S P p p G a u pl cr i pl cr i cr i cr i pl r ν ν + 1 ln 1 a r P S P pl cr i cr i ν (.54) Carranza-Torres (4) apresentou uma modificação dessa solução elasto-plástica para escavações circulares em meios nos quais valha o critério de ruptura de Hoek & Brown generalizado Curva Característica do Suporte (SCC): solução Carranza-Torres & Fairhurst A Curva Característica do Suporte (SCC), mostrada na Figura.1, pode ser construída a partir de uma relação elástica entre a tensão aplicada s p e a convergência resultante r u para uma seção de suporte de comprimento unitário na direção do túnel (Figura.19 c)).

62 Se a rigidez elástica do suporte for denotada por KR da Figura.1) pode ser dada pela expressão: K s, a parte elástica da SCC (segmento p = K u (.55) s s r Note-se que nesta equação a unidade da rigidez, comprimento (p. MPa/m). K s, é pressão dividida por A parte plástica da SCC na Figura.1, ou seja, o seguimento horizontal iniciado no ponto R, é definido pela máxima pressão (ou capacidade máxima), max p s, que o suporte pode suportar antes do colapso. As equações necessárias para o cálculo da pressão de suporte máxima, max p s, e da rigidez elástica, K s para os três principais sistemas de suportes diferentes, concreto projetado e anéis de concreto; cambotas metálicas; tirantes e cabos ancorados, são descritos por Carranza-Torres & Fairhurst () Perfil de Deformação Longitudinal (LDP): solução Carranza-Torres & Fairhurst O Perfil de Deformação Longitudinal (LDP) é um importante componente no método de Convergência-Confinamento, que indica quando o suporte começará a interagir com o maciço rochoso (define o ponto K da Figura.1). Assumindo que o maciço rochoso está submetido a um campo de tensões uniforme, o perfil dos deslocamentos radiais ao longo do eixo do túnel pode ser determinado a partir de modelos numéricos para o problema ilustrado na Figura. a). A Figura representa uma seção longitudinal de um túnel de raio a, sem suporte, nas proximidades da face. A uma distância x da face, o deslocamento radial é representado por u r. No caso de uma distância x suficientemente grande, o deslocamento radial alcança o máximo valor, M u r. Para valores negativos de x (à frente da face), o deslocamento radial decresce tendendo a zero a alguma distância finita à frente da face. Para modelos elásticos do problema representado na Figura. a), Panet (1995) sugeriu a seguinte relação entre os deslocamentos radiais e a distância da face: 4

63 u u r M r =,5 +,75 1,75,75 + x a (.56) Essa relação, que se aplica a valores positivos de x, está representada na Figura. b) em linha tracejada. O eixo horizontal do diagrama representa a razão x a e o eixo vertical representa a razão M u r u r. Hoek (1999), baseado em ajuste de curva aos dados medidos por Chern et al., (1998), sugeriu a seguinte relação empírica entre deslocamento radial e distância da face: u u r M r x a = 1 + exp 1,1 1, 7 (.57) Essa relação também está representada na Figura. b), em linha cheia. A análise dessa Figura indica que o máximo deslocamento radial ocorre à aproximadamente, 8 vezes o raio da escavação, atrás da face do túnel, e que a deformação radial é zero à aproximadamente, 4 vezes o raio da escavação, à frente da face. Na posição da face, o deslocamento radial é aproximadamente 3% do valor máximo. A Figura. b) também sugere que uma aproximação elástica, definida pela equação de Panet (1995), superestima os valores dos deslocamentos radiais, quando comparados à relação proposta por Hoek (1999), causando, conforme pode ser visto pela Figura.1, em uma subestimação do carregamento final transmitido ao suporte. 43

64 a) M u r u r M,3u r a face Avanço x [+] b) u u r M r 1, face Deslocamentos radiais,75,5,5 Aproximação elástica (Panet, 1995) Dados medidos (Chern et al., 1998) Curva dos dados medidos (Hoek, 1999), Distância da face / Raio do túnel, x a Figura. - a) Perfil de deslocamentos radiais de um túnel sem suporte nas proximidades da face do túnel. b) Perfil de deformação derivado de modelos elásticos (Panet, 1995) em linha tracejada; dados medidos em um túnel (Chern et al., 1998) modificado (Carranza-Torres & Fairhurst, ). 44

65 Curva Característica do Maciço (GRC): solução Duncan Fama A solução de Duncan Fama é aplicada assumindo uma escavação circular de raio a, sujeita a um campo de tensão hidrostática, p, e pressão interna uniforme, conforme ilustrado na Figura.3. O modelo elasto-plástico de Mohr-Coulomb considera que o maciço rochoso irá se comportar como um material elasto-plástico perfeito, ou seja, tensão de pico igual à residual, com a lei de fluxo não-associada: a dilatância é considerada nula. Isto quer dizer que não haverá deformações volumétricas plásticas, ou seja, mudança de volume plástica (Duncan-Fama, 1993). p Plástico r pl Elástico p i u r a p Figura.3 - Zona plástica em torno do túnel para a solução de Duncan Fama(1993) modificado (Hoek et. al., 8). O critério de ruptura de Mohr-Coulomb, em termos das propriedades efetivas do maciço rochoso, pode ser definido como: σ ' = σ k 3' (.58) 1 cm + σ 45

66 onde: ' cosφ σ = c cm (.59) e ( 1 sinφ) ( 1 + sinφ) ( 1 sinφ) k = (.6) A pressão crítica do suporte é definida como a pressão que estabelece o limite entre os comportamentos elástico e plástico do maciço rochoso. Assim, temos: p cr p = σ 1 + k cm (.61) Para a situação em que a pressão interna do suporte for maior que a pressão crítica, p i > cr p i, o comportamento em torno da escavação circular será elástico. Assim, não ocorrerá ruptura do maciço, sendo o deslocamento elástico das paredes da escavação igual a: u el r a ( 1 + ν ) ( p p ) = E i (.6) A plastificação do maciço rochoso se dará quando a pressão interna for menor que a pressão crítica de suporte, p i < cr p i. Aí o comportamento do maciço rochoso em torno da escavação será plástico numa zona plástica definida pelo raio plástico dado por: r pl = a [ p ( k 1) + σ cm ] ( 1 + k) [ p ( k 1) + σ ] 1 1 i cm ( k ) (.63) Para a zona plástica, o deslocamento radial, pl u r, no interior das paredes do túnel é: a ( 1 + ν ) 1 r a pl ( ν )( p p ) ( 1 ν )( p p ) pl ur = cr i E (.64) 46

67 x < x < x < As equações (.61) a (.64) definem a relação entre a pressão interna de suporte, p i, e a deformação do túnel, u r, para um túnel em avanço sob a ação de um campo de tensão hidrostático. O gráfico de u r versus p i é geralmente conhecido como Curva Característica do Maciço (GRC) do túnel e um exemplo disso é a Figura.4. Esta curva é baseada na consideração de que a rocha anterior à face do túnel esteja submetida a uma pressão de suporte igual à tensão in situ, p. Com o avanço da face do túnel (escavação), a pressão de suporte decresce gradualmente até alcançar um valor igual a zero a alguma distância da face no interior do túnel. Na Figura.4 está incluído também a evolução do raio da zona plástica, que pode ser obtido pela Equação (.63). p i 8 7 Tensão in situ p Curva Característica do Maciço 8 7 r pl Pressão do suporte (MPa) Elástico Pressão Crítica Raio da zona plástica Raio da zona plástica (m) 1 Plástico 1 x <,,5,1,15,,5,3,35,4,45 Deslocamento das paredes do túnel u r (m) Figura.4 - Curva Característica do Maciço Rochoso de um túnel com 5 m de raio, modificado (Hoek, 14). 47

68 Perfil de Deformação Longitudinal (LDP): Solução Duncan Fama O cálculo da curva característica e da extensão da zona plástica é baseado numa análise bidimensional como mostrado na Figura.3. O Perfil de Deslocamento Longitudinal, conforme a Figura.5, é necessário para se estabelecer a posição relativa entre a face do túnel e as seções consideradas. É necessário realizar uma análise tridimensional para determinar este perfil. Resultados de estudos desse tipo foram publicados, por exemplo, por Vlachopoulos e Diederichs (9) e estão resumidos na Figura.6. Perfil de Deslocamento Longitudinal Deformação na face interior do túnel Deslocamento radial atingindo o valor final a uma distância acima de vezes o diâmetro do túnel, atrás da face. Direção de avanço do túnel Deslocamento radial atingindo o valor de aproximadamente de 1/3 do deslocamento radial final. Início do deslocamento radial localizado antes da face aproximadamente vezes o diâmetro do túnel. Figura.5 - Comportamento da deformação em torno de um maciço rochoso na construção de um túnel - modificado (Hoek, 14). 48

69 Segundo Vlachopoulos e Diederichs (9), o Perfil de Deslocamento Longitudinal para um túnel específico pode ser calculado a partir da razão entre o raio plástico, e o raio do túnel, a, calculada através da Equação (.63), sendo p = : i máx. r pl, máx. r pl a = [ p ( k 1) + σ cm ] ( 1 + k) σ 1 1 cm ( k ) (.65) 1, Deslocamento das paredes do túnel Deslocamento máximo,9,8,7,6,5,4,3, Raio da zona plástica máx. Raio do túnel r máx. pl a,1, Distância da face / Raio do túnel ( x a) Figura.6 - Perfil de Deslocamento Longitudinal, modificado (Hoek, 14). 49

70 O deslocamento na face do túnel, u rf derivada de Vlachopoulos e Diederichs:, é calculado conforme a Equação (.64), que é u rf máx. u r máx = exp[, 15( rpl a) ] (.64) 3 Onde máx. u r é o deslocamento máximo que ocorre em máx. r pl. O deslocamento na frente da face do túnel, ou seja, no maciço rochoso ( x < ) é: u r urf = exp( x a) (.65) máx. u r O deslocamento das paredes atrás da face, ou seja, dentro do túnel ( x > ) é: u r máx. u = rf 3x rpl 1 1 exp máx. u a a (.66) r Distância à face do túnel, x (m) ,5,1,15 Perfil de Deslocamento Longitudinal,,5 Avanco da face,3,35,4,45 Face do Túnel Figura.7 - Perfil de Deslocamento Longitudinal típico de um túnel circular de 5m de raio, modificado (Hoek, 14). 5

71 Combinando a Curva Característica do Maciço, Figura.4, e o Perfil de Deslocamento Longitudinal, Figura.7, como feito por Carranza-Torres & Fairhurst (), temos o seguinte arranjo na Figura.8. Com essa combinação é possível determinar o deslocamento radial ou das paredes a certa distância a partir da face do túnel. Pressão do suporte (MPa) Face do túnel Curva Característica do maciço Perfil de deslocamento Longitudinal Deslocamento da parede da face Instalação do Suporte -,,5,1,15,,5,3,35,4,45 Desloamento da parede do túnel, u r (m) Distância da face do túnel (m) Figura.8 - Combinação da Curva Característica do Macico Rochoso e do Perfil de Deslocamento Longitudinal, modificado (Hoek, 14) Curva Característica do Suporte (SCC): Solução Duncan Fama Como visto nas equações.5 e.51, acima, a extensão da zona plástica ou ruptura e a quantidade de deformação no maciço rochoso em torno de um túnel podem ser controlados através da aplicação de uma pressão de suporte, p i. O suporte ou reforço pode ser provido de combinações de tirantes, cambotas, concreto projetado ou 51

72 argamassa. A interação da deformação do maciço rochoso com o suporte pode ser ilustrada pela Figura.9. 7 Curva Caraterística do maciço rochoso 6 Pressão de Suporte (MPa) Instalação do Suporte Deslocamento da face u rf u ro Total u s Pressão máxima do suporte K s 1 eq. p s Ponto de equilíbrio máx. p s,,5,1,15,,5,3,35,4,45 Convergência das paredes do túnel, u r (m) Figura.9 - Interação Rocha-Suporte de um túnel circular, modificado (Hoek, 14). Assumindo que o suporte é instalado a certa distância da face, no interior do túnel, o deslocamento radial nessa distância, u ro, é mostrado na Figura.8. A reação do suporte durante a deformação depende da rigidez K s do sistema de suporte. Conforme mostrado na Figura.9, o deslocamento total do suporte (até a sua capacidade máxima), total u s, é dado por: u total s máx. ps = uro + (.67) K s onde máx. p s é a capacidade de suporte e a é o raio do túnel. 5

73 Se o suporte tem capacidade de suporte suficiente, então, sua curva de deformação irá interceptar a curva GRC antes de total u s, num ponto no qual é atingido o equilíbrio das deformações, ou seja, a deformação do túnel será igual à deformação do suporte. Dessa forma um Fator de Segurança (FS) pode ser definido como: p FS = (.68) p máx. s eq. s.5. Limites de aplicação do MCC a Projetos de Túneis Conforme apresentado no item anterior, o Método de Convergência-Confinamento é uma forma simplificada de análise da interação rocha/suporte, (Panet, 1995). Os pressupostos do MCC podem ser resumidos, basicamente, nas seguintes condições ou limitações, segundo Schurch & Anagnostou (1): Abertura circular; Tensão in situ hidrostática; Maciço rochoso homogêneo e isotrópico; Distribuição da pressão de suporte uniforme. Conjuntamente, tais pressupostos implicam uma simetria axial (problema axissimétrico)..5.3 Propostas de modificações do MCC aplicado a Projetos de Túnel Serão apresentadas as propostas de alguns autores para modificações ao método de convergência-confinamento, em condições nas quais as tensões não são hidrostáticas, a seção do túnel não-circular e baixas profundidades. 53

74 Detournay & Fairhurst (1987) investigaram a influência de um campo de tensão não hidrostático para um túnel circular em rocha, utilizando o critério de ruptura de Mohr- Coulomb. Determinaram um coeficiente limite, K lim, para a razão entre as tensões horizontais e verticais, tal que a forma da zona plástica seja elíptica e envolva completamente a escavação. Mais além, obtiveram uma solução analítica para os deslocamentos radiais nessas circunstâncias. Os resultados se mostraram relativamente acurados para o caso em que a razão (tensão horizontal/tensão vertical) foi menor que o coeficiente limite. De acordo com Detournay & Fairhurst (1987), o coeficiente limite depende da razão entre tensão média inicial ou in situ e a resistência à compressão uniaxial, bem como do ângulo de atrito, conforme a descrição a seguir. Se as dimensões de uma seção de túnel são pequenas quando comparadas com a profundidade z, as tensões σ x e σ z podem ser assumidas como constantes por toda a seção do túnel (ou seja, apresentam o mesmo valor no teto e no piso do túnel). Além do coeficiente K, também a tensão média σ pode ser usada para caracterizar um estado plano de tensões in situ não-uniforme ( σ x, σ z ), a saber: σ σ x + σ = z (.69) O estado uniforme de tensões assumido pelo Método de Convergência-Confinamento pode ser expresso como σ = σ z = σ e K σ / σ = 1 (Figura.19). x = x z Detournay e Fairhurst (1987) consideraram o caso de uma abertura circular submetida a um campo de tensões não hidrostático, escavada em um material que se enquadra nos pressupostos do critério de Mohr-Coulomb, conforme representado na Figura.3(a). A abertura circular de raio a é sujeita a uma pressão interna uniforme, horizontais, σ x, e tensões verticais, σ z. A Figura considera o caso no qual p i, e tensões σ x > σ z. Já o caso onde σ x < σ z, devido à simetria do problema, pode ser obtido pela rotação dos eixos da abertura em 9º. 54

75 a) σ z elástico σ z elástico σ x plástico r pl plástico σ x p i a u r1 u r σ x > σ z p i a r pl1 σ x + σ σ z = b) Razão entre as tensões limites, K lim σ x σ z 3,5 3,,5, 1,5 K < K > K lim K lim O gráfico considera pi = Se pi =,, então use a razão dada pela equação (74). σ σ ci eq φ = 45 φ = 3 φ = 15 1, φ =,5 1, 1,5,,5 3, 3,5 4, σ Razão, σ ci Figura.3 - a) Abertura circular em um material de Mohr-Coulomb sujeito a uma pressão interna uniforme e um campo de tensões não-uniforme. b) Valores limites das razões entre tensões verticais e horizontais, K lim, em função da razão σ /σ ci e do ângulo de atrito φ. Para K < Klim o problema é estaticamente determinado e os valores médios da extensão de ruptura e convergência das paredes são comparáveis aos obtidos em carregamento uniforme σ e K = 1, adaptado e modificado (Detournay & Fairhurst, 1987). 55

76 O critério de Mohr-Coulomb, considerado por Detournay e Fairhurst (1987), é dado por: σ + 1 = K pσ 3 σ ci (.7) Onde σ ci é a resistência à compressão simples da rocha intacta e K p é o coeficiente de empuxo passivo, que pode ser determinado a partir do ângulo de atrito φ da rocha intacta: 1 + sinφ K p = (.71) 1 sinφ Foi mostrado por Detournay e Fairhurst (1987) que quando o estado de tensões representado na Figura.3(a) é expresso em termos dos parâmetros σ e K, o problema para aberturas com coeficientes K menores que um valor limite K lim é estaticamente determinado. Os autores também fazem a interessante observação de que o raio médio da zona plástica ao redor do túnel e a convergência média, considerando-se os valores no teto e na lateral do túnel, são os mesmos dos valores correspondentes a uma abertura submetida a um campo hidrostático de tensõesσ comparem-se as Figuras.19(b) e.3(a), isto é: pl ( r r ) r + (.7) r,5 pl1 pl ( u u ) u + (.73),5 r1 r onde: r pl é o raio da zona plástica para um campo hidrostático; pl1 r e r pl são as extensões dos semi-eixos da zona plástica elíptica para um campo não hidrostático, respectivamente, segundo as direções de σ x e σ z ; u r é a convergência para um campo hidrostático; u r1 e u r são as convergências para um campo não hidrostático, respetivamente, segundo as direções σ x e σ z. 56

77 Para aberturas com coeficientes K maiores que o valor limite, K lim, o problema é estaticamente indeterminado e desenvolve-se uma zona plástica em forma de borboleta (epitrocoidal, Figura.3(a)). Para esses casos, a extensão da zona plástica e as convergências ao longo da periferia do túnel são claramente não-uniformes e não possuem nenhuma relação aparente com o caso de um carregamento uniforme, p, representado na Figura.19(b). O coeficiente limite K lim pode ser determinado a partir de valores de φ e da razão σ /σ ci (Figura.3(b)). Note-se que o diagrama da Figura.3(b) assume que a abertura é não-suportada. Porém, o diagrama também se aplica aos casos em que há uma pressão interna uniforme atuante na abertura. Nesses casos, o valor de K lim é lido na Figura.3(b) entrando-se na mesma com uma razão equivalente entre a pressão e a resistência à compressão, dada pela equação a seguir (Detournay e St. John, 1988): σ σ ci eq σ p i 1 σ ci σ = pi σ p σ σ ci ( K 1) + 1 (.74) A Figura 3.3(b) pode ser usada como uma avaliação da aplicabilidade do Método de Convergência-Confinamento quando o campo de tensões é não-uniforme. Para o caso de túneis caracterizados por coeficientes K menores que K lim, conforme mostrado na Figura, o Método de Convergência-Confinamento fornece uma estimativa razoável da forma da zona plástica e dos deslocamentos esperados ao redor da abertura. Já para os túneis caracterizados por valores de K maiores do que o K lim mostrado na Figura, a forma resultante e a extensão da zona plástica, bem como a convergência ao redor do túnel será muito variável para se utilizar o método. Para esses casos, análises numéricas deverão ser utilizadas no projeto. Como mencionado acima, a Figura.3(b) se aplica a materiais que obedecem ao critério de ruptura de Mohr-Coulomb, caracterizados por um ângulo de atrito φ, uma resistência à compressão simples σ ci e uma envoltória de ruptura linear. 57

78 Carranza-Torres & Fairhurst () seguiram uma abordagem diferente em sua investigação sobre a curva de reação do maciço, sob a hipótese de validade do critério de ruptura de Hoek & Brown. Assim, como a condição de um campo de tensão hidrostático inicial aplica-se mais aos túneis profundos, conforme abordado por Eisenstein & Branco (1991), Carranza-Torres & Fairhurst () variaram os valores da razão entre as tensões horizontais/verticais(k) para uma abertura circular e determinaram a forma da zona de potencial ruptura por meio da solução elástica de Kirsch. Admitiram que a forma dessa zona de potencial ruptura seja aproximadamente igual à da zona plástica. Nos casos em que a razão de tensões supracitada é menor que o coeficiente limite de Detournay & Fairhurst (1987) a zona potencial de ruptura é elíptica e o MCC poderia ser usado para se obter uma solução aproximada. Do contrário, se a razão é maior que o coeficiente limite, tanto a zona potencial de ruptura como a plástica têm o formato de uma "borboleta" (epitrocoidal) e os autores não recomendam a utilização do MCC. Sendo a zona de potencial ruptura de forma elíptica, os autores afirmam que o MCC poderia ser utilizado para obtenção de uma solução aproximada mesmo para formas de túneis diferentes da circular. Sugerem, para tanto, que a seção do túnel seja substituída por uma seção circular "equivalente", na qual o raio é igual à média das dimensões máxima e mínima da seção real, conforme descrito a seguir. Para os materiais que satisfazem ao critério de ruptura de Hoek & Brown, um diagrama equivalente ao representado na Figura.3(b) pode ser construído, aproximando-se as parábolas provenientes de tal critério por linhas retas com ângulos de atrito e resistências à compressão simples equivalentes, ver, p. ex., (Hoek & Brown, 1997). 58

79 1,4 1,4 ρ( K )/ ρ( 1) K=,4 ρ( K )/ ρ( 1) 1, K=,45 1, K=,5 K=1,67 Região tensionada 1,,8,8 K=,6 K=,8 K=1 Região tensionada 1,,8,8 K=1,5 K=1 K= K=, K=,5 1, 1, 1, 1, 1,4 K < 1 K > 1 1,4 ( ) A extensão ρ K = r a da região tensionada é definida por pontos onde, σ s + 3 σ 1 σ 3 + σ ci mb σ ci a Figura.31 - a) Diagramas indicando a extensão das regiões de potencial de ruptura computadas a partir de análises elásticas de uma abertura circular sujeita a carregamento não hidrostático; os desenhos são válidos para razões m / σ = 4. 8 e m b 4 s / = 4 1, modificado (Carranza-Torres & Fairhurst, ). Para túneis escavados em materiais que satisfazem o critério de Hoek & Brown, submetidos a um campo de tensões não hidrostático, uma indicação da forma esperada da zona plástica pode ser obtida a partir de uma análise elástica (Figura.31). Para os casos nos quais a seção do túnel não é circular, o método de convergênciaconfinamento ainda pode ser utilizado de modo a permitir uma primeira estimativa da extensão da zona plástica e da convergência resultante das paredes. Dentro de certos limites, a forma do túnel pode ser aproximada por uma circular, na qual o raio é a média das dimensões máxima e mínima da seção. Nesses casos, a extensão média da zona de ruptura e a convergência média das paredes para a geometria não-circular, são comparáveis aos valores previstos para uma seção circular equivalente. b σ ci 59

80 A aplicabilidade da GRC para túneis rasos, de formas quaisquer, em campos não hidrostáticos de tensões, foi estudada por Gonzáles-Nicieza et al. (8), Álvarez (1) e Schürch & Anagnostou (1). Gonzáles-Nicieza et al. (8) assumiram os comportamentos linear elástico e elasto-plástico de Mohr-Coulomb, com e sem dilatância, e de Hoek & Brown. Os autores investigaram com simulações numéricas 3D (software FLAC3D) a curva de reação do maciço para formas e profundidades diferentes de túneis, mantendo uma razão fixa entre tensão horizontal/tensão vertical, de,8. Com base em seus resultados numéricos, eles determinaram uma série de funções corretivas para estimar o deslocamento radial em diferentes posições no contorno de túneis a várias profundidades. Álvarez (1) adotou basicamente a mesma abordagem, porém com simulações bidimensionais (software UDEC). Realizou variações da razão tensão horizontal/tensão vertical, atingindo valores distantes de 1 (um). Obteve, por regressão linear múltipla, funções corretivas para os deslocamentos no teto e nas paredes. Schürch & Anagnostou (1) assumiram um material elasto-plástico perfeito de Mohr- Coulomb não-associado (ângulo de dilatância diferente do ângulo de atrito). Diferentemente dos demais, trataram três dos fatores que violam a simetria axial (forma circular, tensões hidrostáticas e profundidade infinita) separadamente. Por comparação com soluções numéricas bidimensionais via elementos finitos, obtiveram fatores de correção para cada um desses fatores. De maneira geral, as conclusões dos autores acima sobre a respeito da aplicabilidade do MCC em circunstâncias que violam a simetria axial do problema são divergentes e desencontradas. Por exemplo, enquanto Schürch & Anagnostou (1) são otimistas com relação a extensões da aplicação do MCC a projeto de túneis, Álvarez (1) conclui o contrário. 6

81 CAPÍTULO 3 - ANÁLISE COMPUTACIONAL 3.1 DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS PARA SIMULAÇÃO O presente trabalho faz uso da simulação computacional para que se obtenha a zona plastificada formada em torno de aberturas/escavações com 9 formatos distintos, analisadas em estado plano de deformação, para valores de profundidade, z, variando de 5 a 1 metros e para razão entre a tensão horizontal e tensão vertical, K, variando de,3 a 3,5, de acordo com o gráfico apresentado na Figura.3. Dessa forma, na Tabela 3.1 abaixo, há um limite a ser considerado referente aos valores a serem encontrados, relacionando a profundidade com os valores de K. Os valores da tensão in situ vertical são definidos como o produto do peso específico médio das rochas pela profundidade z. Tabela Definição dos valores a serem simulados para definição da zona plastificada. Formatos Tensão Raio Plástico (m) Prof. (m) Vertical Phase (MPa) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 5 1,35 1,7 5,4 3 8,1 4 1,8 5 13,5 1 7, Valores não analisados A análise computacional foi implementada através do software Phase 8. (Rocscience), que se trata de um programa de elementos finitos (MEF) para a análise de tensão e deformação bidimensional. Os dados de entrada iniciais são hipotéticos (para a rocha intacta e qualidade do maciço rochoso). Contudo, utilizou-se o software RocData 4. (Rocscience), para gerar os 61

82 demais parâmetros de definição das propriedades de resistência e deformabilidade do maciço rochoso Dados de entrada referentes ao critério de ruptura de Hoek & Brown Como dados de entrada, conforme a Tabela 3., buscaram-se parâmetros de um maciço rochoso relativamente brando. Usou-se no RocData 4., a teoria geral do critério de ruptura de Hoek & Brown para se obter os parâmetros equivalentes de Mohr-Coulomb. Tabela 3. - Dados de entrada para o software RocData 4. (Rocscience). (MPa) σ ci GSI m i D 5,, Dados de saída do software RocData 4. A partir dos dados de entrada inseridos no software RocData 4. o mesmo gerou os valores para os parâmetros do critério de ruptura de Hoek & Brown generalizado do maciço apresentados na Tabela 3.3. Tabela Parâmetros para o critério de ruptura de Hoek & Brown para o maciço rochoso. m b s a 1,56,,54 Os dados de saída referentes às propriedades de resistência e deformabilidade do maciço rochoso são apresentados na Tabela

83 Tabela Dados de saída referentes às propriedades do maciço rochoso. σ (MPa) cm σ tp (MPa ) E(MPa) 6,65,1 84, O software RocData 4. utiliza uma correlação entre os critérios de ruptura de Hoek & Brown e de Mohr-Coulomb, estabelecida no trabalho de Hoek et al. (), para a obtenção da coesão, c, e o ângulo de atrito, φ, equivalentes do maciço rochoso. Tabela Parâmetros para o critério de ruptura de Mohr - Coulomb do maciço rochoso. c (MPa) φ(º ), Dados de entrada no software Phase 8.: Para a análise no Phase 8. optou-se pela utilização do critério de ruptura de Mohr- Coulomb. Sendo assim, os dados ou parâmetros de entrada de pico e residuais para a caracterização geotécnica do maciço rochoso a serem simulados são os mostrados na Tabela 3.6. Nota-se que o maciço simulado tem comportamento elastoplástico perfeito com relação a compressão/cisalhamento e totalmente elastofrágil em tração. Tabela Parâmetros de entrada para a caracterização geotécnica do maciço rochoso: valores de pico e residuais. E(MPa) ν (MPa) c p (º ) φ p (MPa) σ tp c r (MPa) (º ) (MPa) φ r σ tr 84,,3, 8,1, 8 63

84 3. CONCEPÇÃO DO MODELO Neste trabalho foram simuladas 9 seções de escavações subterrâneas, as quais foram selecionadas segundo a teoria supracitada no subitem.3.4, zona de influência, Hoek & Brown (198). No modelo proposto, considera-se que o maciço rochoso é isotrópico, sendo analisado numa condição de deformação plana, com o comportamento elastoplástico, sujeito a um campo de tensões não-hidrostático. A malha de elementos finitos utilizada é a triangular quadrática, com elementos de 6 nós. Os 9 diferentes formatos são mostrados na Figura 3.1, e a geometria e as condições de contorno típicas dos modelos na Figura Figura 3.1 Formatos utilizados para as simulações. Figura 3. - Condições de contorno e geometria para as simulações. 64

85 3.3 CALIBRAGEM DO MODELO O modelo geométrico criado, juntamente com as propriedades do maciço rochoso, foi simulado no programa de elementos finitos Phase 8., o qual foi calibrado comparando-se os valores obtidos para os raios plásticos, numa escavação circular e K = 1, com a solução analítica de Duncan Fama (1993), Equação.63, e com os valores obtidos no programa 3. (Rocscience), o qual também utiliza, para cálculo do raio plástico, as equações de Duncan Fama (1993), bem como, as de Carranza-Torres & Fairhurst(4). A Tabela 3.7, além dos dados que comparam os valores dos raios plásticos obtidos através da solução analítica, do software e do software Phase, apresenta também os valores referentes à razão entre a resistência à compressão uniaxial do maciço rochoso e a tensão in situ, σ p, a razão entre a tensão in situ e a resistência à cm compressão uniaxial da rocha intacta, p σ, e a razão entre a média dos raios ci plásticos (sol. analítica, e Phase) e o raio da escavação, r plm a. Tabela Valores dos raios plásticos para K = 1, e das razões entre à resistência a compressão uniaxial do maciço e tensão in situ, entre a tensão in situ e a resistência à compressão uniaxial da rocha intacta e entre a média das medidas dos raios plástico e o raio da escavação. Prof. (m) Tensão Vertical(MPa) σ cm p p σ ci Formato 1 Raio Plástico Médio(m) Phase 5 1,35 4,93,3 1, 5, 5, 5, 1,7,46,5 1, 5, 5, 5, 5,4 1,3,1 1,16 5,779 5,781 5,81 3 8,1,8,16 1,35 6,687 6,69 6, ,8,6,1 1,5 7,58 7,51 7, ,5,49,6 1,66 8,66 8,7 8, ,5,5,31 11,457 11,464 11,68 r plm a K = 1 A Figura 3.3, demostra graficamente a dispersão entre os valores obtidos para o raio plástico médio de uma escavação circular, conforme os dados na Tabela 3.7. Observe-se 65

86 que os valores para as profundidades de 3, 5 e 1m são os que mais divergem entre si. Raio Plástico (m) Raio Plástico Médio (K = 1) x Profundidade Profundidade (m) Phase Figura Gráfico comparando a dispersão dos valores dos raios plásticos obtidos pelas Solução Analítica, e Phase para profundidades variando de 5 a 1 m e K = 1, no formato 1 ou abertura circular. Verificando-se os dados da Tabela 3.8, em termos percentuais, pode-se perceber que a maiores dispersões ocorrem principalmente para as profundidades de 3, 5 e 1 m. Contudo, os dados de dispersão não ultrapassaram o valor de,%, o que pode ser considerado como uma calibragem aceitável para modelo criado, o qual foi simulado no software Phase 8. para os demais formatos e valores de K e z, conforme a Tabela

87 Para o cálculo da dispersão entre os valores obtidos através das soluções computacionais ( ou Phase) e a solução analítica, utilizou-se a equação: r pl( _ ou _ Phase) rpl( Sol. Analítica) Dispersão (%) = * 1 (3.1) r pl( Sol. Analítica) Vale ressaltar que a solução analítica foi implementada pelo autor utilizando o software Mathcad versão 14.. Tabela Dispersão dos valores obtidos do raio plástico médio entre as soluções computacionais ( ou Phase) e a Solução Analítica (Duncan Fama). Dispersão da para o Raio Plástico Médio (%) Prof. (m) Phase 5,, 1,,,,4 3,, 4,1, 5, 1,8 1,1 1,9 67

88 CAPÍTULO 4 - RESULTADOS, DISCUSSÕES E CONCLUSÕES 4.1 RESULTADOS OBTIDOS Os resultados a serem apresentados seguem uma mesma sistemática para os formatos de escavações de 1 a 9, sendo apresentadas as planilhas em forma de Tabelas e os gráficos em forma de Figuras. E, ainda, para cada formato foi desenvolvido um desenho para descrever o comportamento da zona plástica ao se variarem os valores da razão entre a tensão horizontal e a tensão vertical ( K ) e a profundidade ( z ). Dessa forma, os resultados das simulações realizadas no software Phase 8. foram medidos e compilados em planilhas, conforme o exemplo da Tabela 3.1, para Teto, Piso, Parede Lateral Direita, Parede Lateral Esquerda e para as Diagonais. Estes últimos, somente para os casos onde ocorre o aparecimento do formato borboleta (epitrocoidal) na zona plastificada formada em torno das escavações, sendo que, o valor compilado para a diagonal é o valor médio das duas diagonais, da direita e da esquerda. Tais valores foram medidos conforme mostrado nas Figuras 4.1 e 4.. Figura Valores medidos da zona plástica no Teto, Piso, Parede Lateral Direita e Parede Lateral Esquerda. Exemplo: Formato 1, K =, 3 e z = 5m, simulado no software Phase 8. (Rocscience). 68

89 Foram compilados também os valores obtidos através do software 3. (Rocscience) de forma a comparar esses resultados e a solução numérica do Phase 8. com os resultados da solução analítica, graficamente. Figura 4. - Valores medidos da zona plástica na Diagonal Direita e Esquerda. Exemplo: Formato 1, K =, 3 e z = 5m, simulado no software Phase 8. (Rocscience). A dispersão entre o raio plástico médio das soluções computacionais (Phase 8. e 3.) e o raio plástico da solução analítica foi calculada de forma a demonstrar o quanto o raio plástico médio da escavação aumenta ou diminui com a variação de K e z. Dessa forma, para cada formato de escavação, cujo modelo apresenta as mesmas propriedades do maciço rochoso, foram simuladas nas mesmas condições de tensões e profundidade. Com isso, geraram-se os valores de raios plásticos médios, os quais são apresentados a seguir em forma de Figuras que demonstram o comportamento da zona plástica variando-se K e z. Através do raio plástico médio medido é calculada a dispersão que há entre o formato 1 da solução analítica de Duncan Fama (1993) e as soluções computacionais (Phase 8. e 3.). 69

90 4.1.1 Formato 1 O primeiro formato de escavação a ser apresentado é o Formato 1, Figura 4.3, que é o formato base deste estudo e que é o utilizado por Duncan Fama (1993) para sua formulação analítica e pela Rocscience em seu software 3. para dimensionar um sistema de suporte e/ou reforço de uma escavação num maciço rochoso para K = 1. Os dados gerados através das simulações realizadas no software Phase 8. são apresentados a seguir. Vale salientar que a razão entre a largura e altura ( W H ) nesse caso é igual a 1. 5 m Figura Abertura Circular ou Formato 1 com o raio igual a 5 metros. A Figura 4.4 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato 1. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.4 (b) mostra, além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir dos dados do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4.5, na qual a circunferência de cor preta corresponde à solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato 1. 7

91 a) b) Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 1 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da Solução Analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato 1. 71

92 Profund.(m) 5 K =,3 Formato 1 - Raio Plástico Médio K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K =3, Não aparecimento do Formato de Borboleta ou Epitrocoidal Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato 1. Para o formato 1, o aparecimento do formato borboleta na zona plástica se deu nos intervalos de K, 5 e K,. Tal fato pode ser observado na Figura 4.4 (a). Nas Figuras 4.6 e 4.7 pode-se observar a diferença que há entre os valores dos raios plásticos médios obtidos através das soluções computacionais e os raios plásticos obtidos através da solução analítica e a dispersão que há entre eles, respectivamente. Os valores da dispersão máxima e mínima encontradas no intervalo de,5 < K <, foram de 19,133% e -9,11%, respectivamente. O valor negativo significa que o valor encontrado para o raio plástico médio calculado ou o raio plástico encontrado através do 3. é menor do que o raio plástico da solução analítica. Tais dados podem ser verificados na Tabela AI.4, em Anexo I. 7

93 Raio Plástico Médio (m) Raio Plástico Médio x Profundidade (Formato 1) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato 1. Dispersão entre as Soluções Computacionais e a x Profundidade (Formato 1) Dispersão (%) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato 1. 73

94 4.1. Formato Este segundo formato de escavação ou formato, Figura 4.8, é uma seção de escavação usual em túneis civis rodoviários, em que a parte superior do mesmo corresponde a um semicírculo e a inferior a um retângulo. A base apresenta a semilargura igual ao raio do semicírculo, ou seja, 5 metros. A razão entre a largura e altura ( W H ) é igual a 1. 5 m Figura 4.8 Abertura em Formato com raio de 5 metros. A Figura 4.9 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.9 (b) mostra, além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir dos dados do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4.1, na qual a circunferência de cor preta corresponde à solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato. 74

95 a) b) Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato. 75

96 Profund.(m) 5 K =,3 Formato - Raio Plástico Médio K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K =3, Não aparecimento do Formato de Borboleta ou Epitrocoidal Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1 ) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato. Para o formato, o aparecimento do formato borboleta na zona plástica se deu nos intervalos de K, 5 e K,. Tal fato pode ser observado na Figura 4.9 (a). Nas Figuras 4.11 e 4.1 pode-se observar a diferença que há entre os valores dos raios plásticos médios obtidos através das soluções computacionais e os raios plásticos obtidos através da solução analítica e a dispersão que há entre eles, respectivamente. Os valores da dispersão máxima e mínima encontradas no intervalo de,5 < K <, foram de 35,148% e -,583%, respectivamente. O valor nulo significa que o valor encontrado para o raio plástico médio calculado ou o raio plástico encontrado através do 3. é igual ao raio plástico da solução analítica. Tais dados podem ser verificados na Tabela AI.8, em Anexo I. 76

97 Raio Plástico Médio (m) Raio Plástico médio x Profundidade (Formato ) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato. Dispersão (%) Dispersão entre as Soluções Computacionais e a x Profundidade (Formato ) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato. 77

98 4.1.3 Formato 3 Para o Formato 3, Figura 4.13, tem-se um caso particular de formato de escavação, devido ao fato das quinas formarem um ângulo reto, o que proporciona uma concentração infinita de tensão nos vértices desta seção. A razão entre a largura e altura ( W H ) é igual a 1. 5 m Figura Abertura em formato quadrado ou Formato 3, com 5 metros de semilargura. A Figura 4.14 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato 3. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.14 (b) mostra, além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir dos dados do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4.15, na qual a circunferência de cor preta corresponde à solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato 3. 78

99 a) b) Figura 4.14 a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 3 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato 3. 79

100 Profund.(m) 5 K =,3 Formato 3 - Raio Plástico Médio K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K =3, Não aparecimento do Formato de Borboleta ou Epitrocoidal Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato 3. Para o formato 3, o aparecimento do formato borboleta na zona plástica se deu nos intervalos de K, 5 e K,. Tal fato pode ser observado na Figura 4.14 (a). Nas Figuras 4.16 e 4.17 pode-se observar a diferença que há entre os valores dos raios plásticos médios obtidos através das soluções computacionais e os raios plásticos obtidos através da solução analítica e a dispersão que há entre eles, respectivamente. Os valores da dispersão máxima e mínima encontradas no intervalo de,5 < K <, foram de 55,645% e,%, respectivamente. O valor nulo significa que o valor encontrado para o raio plástico médio calculado ou o raio plástico encontrado através do 3. é igual ao raio plástico da solução analítica, tais dados podem ser verificados na Tabela AI.1, em Anexo I. 8

101 Raio Plástico Médio (m) Raio Plástico médio x Profundidade (Formato 3) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato 3. Dispersão (%) Dispersão entre as Soluções Computacionais e a x Profundidade (Formato 3) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato 3. 81

102 4.1.4 Formato 4 Para o Formato 4, Figura 4.18, a parte superior corresponde a um semicírculo. Contudo, diferentemente do formato, a base deste formato apresenta um comprimento menor que o diâmetro do arco de círculo, nesse caso, de 7,3 metros. Tal formato é conhecido como o formato tipo Ferradura. A razão entre a largura e altura até o semicírculo ( W H ) é igual a 1. 5 m 7,3 m Figura Abertura em formato Ferradura ou Formato 4, com 5 metros de raio e base com comprimento de 7,3 metros. A Figura 4.19 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato 4. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.19 (b) mostra além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir dos dados do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4., na qual a circunferência de cor preta corresponde à solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato 4. 8

103 a) b) Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 4 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato 4. 83

104 Profund.(m) 5 K =,3 Formato 4 - Raio Plástico Médio K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K =3, Não aparecimento do Formato de Borboleta ou Epitrocoidal Figura 4. - Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato 4. Para o formato 4, o aparecimento do formato borboleta na zona plástica se deu nos intervalos de K, 5 e K,. Tal fato pode ser observado na Figura 4.19 (a). Nas Figuras 4.1 e 4., pode-se observar a diferença que há entre os valores dos raios plásticos médios obtidos através das soluções computacionais e os raios plásticos obtidos através da solução analítica e a dispersão que há entre eles, respectivamente. Os valores da dispersão máxima e mínima encontradas no intervalo de,5 < K <, foram de 5,69% e -5,344%. O valor negativo significa que o valor encontrado para o raio plástico médio calculado ou o raio plástico encontrado através do 3. é menor do que o raio plástico da solução analítica, tais dados podem ser verificados na Tabela AI.16, em Anexo I. 84

105 Raio Plástico Médio (m) Raio Plástico médio x Profundidade (Formato 4) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Raio Plástico Médio, para soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato 4. Dispersão (%) Dispersão entre as Soluções Computacionais e a x Profundidade (Formato 4) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura 4. - Dispersão entre soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato 4. 85

106 4.1.5 Formato 5 Para o Formato 5, Figura 4.3, tem-se um formato de escavação elíptica, no qual a razão entre a largura e altura ( W H ) é igual a ½. O raio maior é igual a 6,65 metros e o raio menor é igual a 3,35 metros. 6,65 m 3,35 m Figura Abertura em formato elipsoidal ou Formato 5 com raio maior igual a 6,65 metros e raio menor de 3,35 metros. A Figura 4.4 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato 5. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.4 (b) mostra além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir dos dados do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4.5, na qual a circunferência de cor preta corresponde à solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato 5. 86

107 a) b) Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 5 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato 5. 87

108 Profund.(m) 5 K =,3 Formato 5 - Raio Plástico Médio K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K =3, Não aparecimento do Formato de Borboleta ou Epitrocoidal Figura Raio Plástico da Solução Analítica( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato 5. Para o formato 5, o aparecimento do formato borboleta na zona plástica se deu nos intervalos de K, 5 e K 1, 5. Tal fato pode ser observado na Figura 4.4 (a). Nas Figuras 4.6 e 4.7, pode-se observar a diferença que há entre os valores dos raios plásticos médios obtidos através das soluções computacionais e os raios plásticos obtidos através da solução analítica e a dispersão que há entre eles, respectivamente. Os valores da dispersão máxima e mínima encontradas no intervalo de,5 < K < 1, 5 foram de 1,1% e -9,513%, respectivamente. O valor negativo significa que o valor encontrado para o raio plástico médio calculado ou o raio plástico encontrado através do 3. é menor do que o raio plástico da solução analítica, tais dados podem ser verificados na Tabela AI., em Anexo I. 88

109 Raio Plástico Médio (m) Raio Plástico médio x Profundidade (Formato 5) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Raio Plástico Médio, para soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato 5. Dispersão (%) Dispersão entre as Soluções Computacionais e a x Profundidade (Formato 5) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato 5. 89

110 4.1.6 Formato 6 Para o Formato 6, Figura 4.8, tem-se um formato de escavação semelhante ao formato. Contudo, a razão entre a largura e altura ( W H 6,655 metros e o raio menor igual a 3,35 metros. ) é igual a ½. O raio maior é igual a 6,655 m 3,35 m Figura Formato 6, com semialtura de 6,655 metros e raio de 3,35 metros. A Figura 4.9 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato 6. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.9 (b) mostra além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir das tensões do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4.3, na qual a circunferência de cor preta corresponde a solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato 6. 9

111 a) b) Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 6 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato 6. 91

112 Profund.(m) 5 K =,3 Formato 6 - Raio Plástico Médio K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K =3, Não aparecimento do Formato de Borboleta ou Epitrocoidal Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato 6. Para o formato 6, o aparecimento do formato borboleta na zona plástica se deu nos intervalos de K 1, e K 1, 5. Tal fato pode ser observado na Figura 4.9 (a). Nas Figuras 4.31 e 4.3, pode-se observar a diferença que há entre os valores dos raios plásticos médios obtidos através das soluções computacionais e os raios plásticos obtidos através da solução analítica e a dispersão que há entre eles, respectivamente. Os valores da dispersão máxima e mínima encontradas no intervalo de 1, < K < 1, 5 foram de 5,43% e -,%, respectivamente. O valor nulo significa que o valor encontrado para o raio plástico médio calculado ou o raio plástico encontrado através do 3. é igual ao raio plástico da solução analítica, tais dados podem ser verificados na Tabela AI.4, em Anexo I. 9

113 Raio Plástico Médio (m) Raio Plástico médio x Profundidade (Formato 6) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato 6. Dispersão (%) Dispersão entre as Soluções Computacionais e a x Profundidade (Formato 6) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato 6. 93

114 4.1.7 Formato 7 Para o Formato 7, Figura 4.33, tem-se um formato de escavação em que as partes superior e inferior possuem um semicírculo, a razão entre a largura e altura ( W H ) é igual a ½. A semialtura é igual a 6,655 metros e o raio menor é igual a 3,35 metros. 6,655 m 3,35 m Figura Formato 7, com semialtura de 6,655 metros e raio menor de 3,35 metros. A Figura 4.34 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato 7. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.34 (b) mostra além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir das tensões do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4.35, na qual a circunferência de cor preta corresponde a solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato 7. 94

115 a) b) Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 7 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato 7. 95

116 Profund.(m) 5 K =,3 Formato 7 - Raio Plástico Médio K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K =3, Não aparecimento do Formato de Borboleta ou Epitrocoidal Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato 7. Para o formato 7, o aparecimento do formato borboleta na zona plástica se deu nos intervalos de K, 5 e K 1, 5. Tal fato pode ser observado na Figura 4.34 (a). Nas Figuras 4.36 e 4.37, pode-se observar a diferença que há entre os valores dos raios plásticos médios obtidos através das soluções computacionais e os raios plásticos obtidos através da solução analítica e a dispersão que há entre eles, respectivamente. Os valores da dispersão máxima e mínima encontradas no intervalo de,5 < K < 1, 5foram de 11,381% e -17,837%, respectivamente. O valor negativo significa que o valor encontrado para o raio plástico médio calculado ou o raio plástico encontrado através do 3. é menor do que o raio plástico da solução analítica, tais dados podem ser verificados na Tabela AI.8, em Anexo I. 96

117 Raio Plástico Médio (m) Raio Plástico médio x Profundidade (Formato 7) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato 7. Dispersão (%) Dispersão entre as Soluções Computacionais e a x Profundidade (Formato 7) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato 7. 97

118 4.1.8 Formato 8 Para o Formato 8, Figura 4.38, tem-se um formato de escavação elíptica, no qual a razão entre a largura e altura ( W H ) é igual a, o raio maior sendo igual a 6,65 metros e o raio menor igual a 3,35 metros. 3,35 m 6,65 m Figura Formato 8 com raios maior de 6,65 metros e raio menor de 3,35 metros. A Figura 4.39 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato 8. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.39 (b) mostra além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir das tensões do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4.4, na qual a circunferência de cor preta corresponde à solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato 8. 98

119 a) b) Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 8 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato 8. 99

120 Profund.(m) 5 K =,3 Formato 8 - Raio Plástico Médio K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K =3, Não aparecimento do Formato de Borboleta ou Epitrocoidal Figura Raio Plástico da Solução Analítica ( K = 1) e Raio Plástico Médio Calculado, preto e vermelho, respectivamente, para o Formato 8. Para o formato 8, o aparecimento do formato borboleta na zona plástica se deu nos intervalos de K, 75 e K,. Tal fato pode ser observado na Figura 4.39 (a). Nas Figuras 4.41 e 4.4, pode-se observar a diferença que há entre os valores dos raios plásticos médios obtidos através das soluções computacionais e os raios plásticos obtidos através da solução analítica e a dispersão que há entre eles, respectivamente. Os valores da dispersão máxima e mínima encontradas no intervalo de,75 < K <, foram de,56% e -8,1%, respectivamente. O valor negativo significa que o valor encontrado para o raio plástico médio calculado ou o raio plástico encontrado através do 3. é menor do que o raio plástico da solução analítica, tais dados podem ser verificados na Tabela AI.3, em Anexo I. 1

121 Raio Plástico Médio (m) Raio Plástico médio x Profundidade (Formato 8) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Raio Plástico Médio, para as soluções computacionais e analítica variando K e a profundidade z para o Formato 8. Dispersão (%) Dispersão entre as Soluções Computacionais e a x Profundidade (Formato 8) Profundidade (m) K =,3 K =,5 K =,75 K = 1, K = 1,5 K = 1,5 K = 1,75 K =, K =,5 K =,5 K =,75 K = 3, K = 3,5 K = 3,5 Figura Dispersão entre as soluções computacionais e analítica, variando K e a profundidade z para o Formato 8. 11

122 4.1.9 Formato 9 Para o Formato 9, Figura 4.43, tem-se um formato de escavação em que as partes laterais possuem um semicírculo, a razão entre a largura e altura ( W H ) é igual a. Sendo a semilargura maior igual a 6,655 metros e o raio igual a 3,35 metros. 3,35 m 6,655 m Figura Formato 9, com semilargura de 6,655 metros e raio de 3,35 metros. A Figura 4.44 (a) corresponde ao comportamento da zona plastificada formada em torno da escavação do formato 9. A disposição dos dados simulados foi arranjada de forma semelhante aos dados apresentados na Tabela 3.1. A Figura 4.44 (b) mostra além da zona plastificada formada, o valor do raio plástico obtido pela solução analítica de Duncan Fama (1993), K = 1, e o raio plástico médio calculado a partir das tensões do Teto, Piso, Paredes Laterais da Direita e Esquerda e das Diagonais, este último, somente quando há o aparecimento da zona plástica com formato borboleta ou epitrocoidal. No intuito de se visualizar melhor a diferença ou dispersão dos valores entre o raio plástico da solução analítica e o raio plástico médio calculado através das simulações, foi plotada a Figura 4.45, na qual a circunferência de cor preta corresponde à solução analítica e a circunferência de cor vermelha ao raio plástico médio calculado, para o formato 9. 1

123 a) b) Figura a) Comportamento da Zona Plástica no Formato 9 variando K e z. b) Comportamento da Zona Plástica, Raio Plástico da solução analítica e do Raio Plástico Médio Medido na simulação do Formato 9. 13