2.1 Introdução Terminologia 6

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1 Sumário 1 Introdução Terminologia e Mobilidade Introdução Terminologia Os corpos e seus deslocamentos em um espaço Articulações Cadeia cinemática Coordenadas Mobilidade Critério de Kutzbach-Gruebler Conectividade Exemplos de aplicação Mecanismo formado por cinco barras e um cursor Estrutura robótica serial tipo RPRP Plataforma de Gough-Stewart Grupos de deslocamento de Lie Exercícios resolvidos e propostos 24 3 Modelagem de Mecanismos Introdução 32

2 xii 3.2 Tipos de análises Distinção entre análise e síntese Análise cinemática e análise dinâmica Modelo de corpo rígido Sistemas de coordenadas Centro de Massa Momento e produto de inércia de massa Manipulador Bidimensional Cinemática direta e cinemática inversa Exemplo: Escavadeira Utilização de ferramentas computacionais: Matlab e Octave Elementos de Álgebra Linear: vetores e matrizes Espaço vetorial e base ortonormal Representação de vetores de grandezas físicas Vetores no Plano - Representação por Números Complexos Representações e Operações com Vetores Plotando vetores - formato da letra F Soma vetorial e multiplicação por escalar Produto escalar e norma Produto vetorial e momento de uma força Matrizes Resolução de sistema linear de equações Métodos Numéricos de Integração e de Derivação Exemplo: movimento retilíneo de um corpo Simulação: cinemática direta de escavadeira Abordagem 1 - função da posição do atuador Abordagem 2 - função horária Resolução de equações algébricas Aproximação de funções Exemplo de aplicação: função seno Aproximação por polinômio de Taylor de ordem Determinação de raízes de funções de uma variável Polinômio de Taylor de ordem 1 para funções multivariáveis Resolução de sistemas de equações algébricas não lineares Simulação: espaço de trabalho e cinemática inversa de manipulador Espaço de trabalho Cinemática inversa de posição Recomendações 104

3 ELSEVIER xiii 4 Análise Cinemática Fundamentos Mudança de referenciais Matrizes de rotação clássicas Posição de um ponto do Corpo Rígido no espaço Matriz de transformação homogênea Análise de posição de mecanismos planos Método gráfico Método algébrico Método vetorial Métodos matriciais Análise de velocidade e aceleração em mecanismos planos Cálculo dos vetores velocidade e aceleração por derivação Método da recorrência Uso das equações da cinemática do corpo rígido Método da recorrência - Uso do Torsor Cinemático Método matricial utilizando as transformações homogêneas Análise cinemática de mecanismos espaciais ou tridimensionais Aplicação a uma estrutura serial Aplicação à estrutura paralela denominada CaPaMan Parâmetros de Denavit-Hartenberg modificados Matriz Jacobiana Matriz Jacobiana de estruturas de cadeia fechada Matriz Jacobiana de estruturas de cadeia serial Mudança de referencial aplicada à matriz Jacobiana Cálculo da aceleração a partir da matriz Jacobiana Cinemática inversa Singularidades Singularidades para mecanismos de cadeia aberta Singularidades para mecanismos de cadeia fechada Trens de Engrenagens Planetárias Determinação de velocidades em trens planetários Método Prático Exemplo Exercícios resolvidos e propostos Análise Dinâmica Introdução 215

4 xiv 5.2 Formulação de Newton-Euler Formulação para um corpo/elo no espaço plano Formulação para um corpo/elo no espaço tridimensional Formulação para um mecanismo formado por N corpos móveis Simplificações do modelo Fases do processo de geração do modelo dinâmico Forças e momentos reativos para cada tipo de par cinemático Exemplo: mecanismo plano biela-manivela Exemplo: mecanismo plano RR Exemplo: mecanismo esférico RR Exemplo: mecanismo tridimensional RSSP Formulação de Gibbs-Appell Introdução Formulação O produto da matriz [D] pelo vetor f Fases da Formulação de Gibbs-Appell Mecanismo de cadeia aberta e plano PR Mecanismo plano biela-manivela Mecanismo plano RR Mecanismo plano P4R Exercícios resolvidos e propostos Robô de cadeia cinemática aberta e plano RP Mecanismo plano PRRRR Mecanismo esférico RR Mecanismo PRR Mecanismo RPR Síntese de Mecanismos Introdução Síntese do Tipo Método de Kutzbach-Gruebler Comparação entre mecanismos de cadeia aberta e fechada Conectividade Método de síntese: adição de cadeia passiva Método alternativo de síntese Método de síntese: enumeração de cadeias ativas Comparação entre os métodos de síntese Síntese dimensional Introdução Método geométrico: duas posições exatas Método geométrico: três posições exatas

5 ELSEVIER xv Método geométrico: quatro posições exatas Método algébrico: três posições exatas Método algébrico: quatro posições exatas Mecanismo Came-Seguidor Metodologia de Projeto Exemplo de Projeto Divisão do Movimento em Etapas Diagrama SVAJ Condições de Contorno Equacionamento do Perfil do Came pela Curva Cicloidal Equacionamento do Perfil do Came por Polinômios Influência do Valor do Raio da Circunferência de Base Exercícios propostos Anexos

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7 1. Introdução Nas últimas décadas, em virtude dos esforços de empresas, universidades e institutos de pesquisa, um grande número de inovações tecnológicas surgiu. De fato, podem-se mencionar, por exemplo, o Big Dog [1], o robô quadrúpede transportador; o Flexpicker [2], um dos robôs manipuladores mais rápidos já desenvolvidos; o sistema cirúrgico Da Vinci [3]; o robô Humanóide Asimo [4]. Além disso, ao admirarmos as esculturas cinéticas de Theo Jansen [12], que se locomovem pela ação do vento, nós podemos constatar a presença dos mecanismos na Arte. Evidentemente, poderíamos atribuir o alcance de tais realizações à própria evolução da sociedade ao longo de sua história. No entanto, há certamente duas justificativas mais específicas que talvez devêssemos considerar, como o cenário atual do mercado internacional e a relevância da formação de recursos humanos. Com relação à primeira razão, vivenciamos uma acirrada competição global, em que empresas de diversos setores buscam atender a pedidos de clientes cada vez mais exigentes. Diante deste fato, existe a necessidade da oferta de produtos e serviços eficazes e eficientes, que agreguem alta qualidade, baixo custo e curto prazo de entrega. Consequentemente, isso implica o desenvolvimento de máquinas de alto desempenho, flexíveis quanto ao tipo de produto fabricado ou serviço oferecido, consumidoras de pouca energia e de baixo custo de manutenção. Atualmente, tais máquinas, sejam impressoras de papel, veículos automotores ou manipuladores robóticos, atingiram alto grau de sofisticação e uma arquitetura bastante complexa, integrando sistemas mecânicos, elétricos, computacionais e de controle. No que diz respeito aos sistemas mecânicos, as suas estruturas são compostas por uma infinidade de mecanismos capazes de converter os movimentos disponibilizados pelos motores nos movimentos especificados para a sua função. Assim, o domínio dos conhecimentos científico e tecnológico associados ao desenvolvimento destes sistemas, sem desconsiderar a adequada integração com os demais, constitui-se numa estratégia fundamental a ser seguida por empresas e países que queiram prosperar no cenário atual. 1

8 2. Terminologia e Mobilidade Fundamentalmente, este capítulo trata da terminologia dos mecanismos em língua portuguesa. Os conceitos e as definições referem-se à caracterização da estrutura mecânica dos mecanismos, os tipos mais relevantes, seus principais componentes e as propriedades associadas, que foram resultado das contribuições de Reuleaux, Kutzbach e Gruebler. Assim, serão abordados os elos (peças), as articulações (juntas) e sua classificação, cadeias cinemáticas, graus de liberdade, conectividade, espaços de movimentação, mobilidade e métodos para sua determinação. Apresentam-se também as convenções utilizadas para as notações e formas de representação, tanto literal como por diagramas. Palavras-chaves: elos, articulações, cadeias cinemáticas, graus de liberdade, mobilidade 2.1 Introdução O estudo de mecanismos e máquinas passa pelo entendimento do que significa cada termo. Embora diversas tentativas de definição do que seja um ou outro tenham sido feitas, a IFToMM / International Federation for the Promotion of Mechanism and Machine Science Permanent Commission for Standardization of Terminology [13] define uma máquina como sendo um sistema mecânico que executa uma tarefa específica como, por exemplo, uma máquina para fabricação de blocos de cimento, e um mecanismo corresponde a um sistema de corpos interligados que tem por finalidade converter movimentos e/ou forças. Por isso é usual utilizar o termo mecanismo articulado. Alguns autores consideram que um mecanismo converte somente um movimento em outro mas, atualmente, eles também têm sido utilizados para conversão de forças e, muitas vezes, estes dois elementos estão associados. Por exemplo, um mecanismo utilizado em diversos tipos de limpador de para-brisas onde o movimento de rotação contínua do motor, girando uma manivela, converte esse movimento em um movimento de oscilação angular da palheta.

9 3. Modelagem de Mecanismos O capítulo 3 aborda a modelagem matemática de sistemas reais, tais como manipuladores robóticos e máquinas escavadeiras. Neste sentido, discute-se a finalidade dos modelos. Do ponto de vista da análise, buscam-se a descrição e a previsão de comportamentos. Para o desenvolvimento de modelos multicorpos, será necessário o emprego de hipóteses simplificadoras, parâmetros, variáveis, tipos de análises e métodos para obtenção das soluções. Palavras-chaves: modelagem, parâmetros, variáveis, tipos de análise 3.1 Introdução Como foi visto no capítulo anterior, topologicamente, um mecanismo pode ser considerado como o resultado da combinação de elos (ou corpos) conectados entre si por meio de articulações. Na Figura 3.1, cada elo é identificado por um número, enquanto que se atribui ao ponto central de cada junta, uma letra maiúscula. Figura 3.1: Mecanismo genérico formado de elos conectados por juntas.

10 4. Análise Cinemática Dentre as inúmeras finalidades da análise cinemática podem ser mencionadas, a avaliação do espaço de trabalho e o planejamento das trajetórias de um robô. Inicialmente, realiza-se a descrição matemática da localização de um corpo no seu espaço de movimentação: plano, esférico ou tridimensional. A seguir, apresentam-se: as notações vetorial e matricial; a modelagem de um mecanismo de cadeia cinemática aberta; a generalização para mecanismos de cadeia fechada; a sistematização da análise de posições, velocidades e acelerações; os jacobianos; as análises cinemática direta e inversa e seus métodos de solução. O capítulo se encerra com os engrenamentos planetários e o cálculo das possíveis relações de transmissão Palavras-chaves: posições, velocidades, acelerações, cadeias abertas e fechadas 4.1 Fundamentos A análise de movimento de um sistema multicorpo sempre está relacionada com o estudo da situação (ou localização) do elemento de interesse, definida pela sua posição e sua orientação. A posição é relativa ao ponto de interesse PI e a orientação é relativa ao corpo que contém PI. O ponto de partida para a análise cinemática é a identificação da cadeia cinemática do mecanismo, ou seja, admite-se que exista um modelo que represente a sua estrutura mecânica, operando como um mecanismo, máquina ou robô. Assim, encontram-se definidos o número de segmentos e as correspondentes articulações que os vinculam, além dos seus parâmetros dimensionais principais. Consequentemente, em muitas situações será possível determinar o número de coordenadas generalizadas (coordenadas independentes), necessário para descrever a situação de qualquer PI ou segmento do mecanismo. Neste sentido, os capítulos anteriores, 2 e 3, trataram da caracterização topológica dos mecanismos, de acordo com as simplificações associadas à modelagem e às análises de interesse.

11 5. Análise Dinâmica Este capítulo aborda a análise dinâmica que possibilita: a geração de modelos para simulações e implementações experimentais de um controlador; a avaliação da demanda de torque nos motores; a determinação dos esforços solicitantes nas juntas e elos. São discutidas as hipóteses simplificadoras durante a modelagem, considerando os diferentes tipos de carregamento conforme a aplicação. Durante o desenvolvimento das formulações, busca-se a sistematização da análise para mecanismos com mais de 2 elos móveis. Para os métodos apresentados no texto, de Newton-Euler e de Gibbs- Appell, abordam-se as situações em que se tornam mais indicados. Palavras-chaves: Esforços de reação, Torque dos motores, Newton-Euler, Gibbs-Appell 5.1 Introdução Há diferentes propósitos para a análise dinâmica, dentre os quais se destacam a avaliação do desempenho de um sistema mecânico frente a uma determinada aplicação, a definição da capacidade dos motores (atuadores), o dimensionamento das juntas e elos, o controle do sistema. A Figura 5.1 apresenta um fluxograma da modelagem dinâmica. Nota-se que antes da análise dinâmica propriamente dita, é necessário desenvolver um modelo cinemático representativo do sistema mecânico, além de se identificar a conveniência da adoção de hipóteses simplificadoras. Neste livro, serão abordadas duas formulações dinâmicas: a de Newton-Euler e a de Gibbs-Appell. A formulação de Newton-Euler é clássica, caracterizada pela sua notação vetorial, podendo ser utilizada de forma sistemática, é aplicável a diferentes sistemas multicorpos tais como, manipuladores robóticos, veículos, máquinas e mecanismos. Por outro lado, a formulação de Gibbs-Appell permite manipular um número muito inferior de incógnitas, além de tornar desnecessária a separação dos elos das cadeias para obter as equações dinâmicas.

12 6. Síntese de Mecanismos Este capítulo trata da Síntese do Tipo e Dimensional. Os diferentes setores industriais, sejam eles automobilístico, aeronáutico ou alimentício, demandam máquinas capazes de realizar determinados tipos de movimentos. Assim, a síntese do Tipo trata de métodos para geração de arquiteturas alternativas de mecanismos que executem, qualitativamente, os movimentos de saída especificados. Consequentemente, as características dos mecanismos gerados estarão completamente definidas e, portanto, saberemos o número total de elos, os tipos de juntas presentes e o número de atuadores necessários. A síntese dimensional, por sua vez, refere-se à determinação dos parâmetros associados a um certo tipo de mecanismo que deve executar uma tarefa específica, por exemplo, posicionamento cíclico. Incluem-se também neste capítulo os mecanismos de came-seguidor, responsáveis pela temporização de vários processos, sendo subsistema integrante de motores de combustão interna. Palavras-chaves: Síntese do Tipo, Geração de topologias alternativas, Síntese Dimensional, posicionadores 6.1 Introdução Considere dois mecanismos concebidos para uma mesa andarilha. Um deles, chamado Strandbeest (Figura 6.1a), foi proposto por Theo Jansen [12]. De propulsão eólica, com mobilidade unitária, utiliza doze ou mais pernas, sendo que a mesa é capaz de se deslocar apenas na direção do eixo x. A Figura 6.1b mostra os elos e as articulações de uma das pernas. O outro mecanismo (Figura 6.1c), empregado no robô Odex-1, foi proposto por Stephen J. Bartholet [56], possui mobilidade igual a 12. Utilizando seis pernas (Figura 6.1d), a mesa é capaz de realizar todos os deslocamentos possíveis no espaço tridimensional. Comparando-se os dois mecanismos, é possível notar que o mecanismo de mobilidade unitária possui uma estrutura mecânica extremamente complexa, sendo capaz de se deslocar apenas em uma única direção. O outro mecanismo, por sua vez, possui moderada complexidade e mobilidade igual

13 M E CA NISMO S, M ÁQU INA S E RO B Ô S Vivenciamos um cenário de acirrada competição global, em que as empresas buscam ofertar produtos e serviços que aliem qualidade e custo compatível, de modo a satisfazer às necessidades de clientes cada vez mais exigentes. Assim, há uma grande demanda por inovações tecnológicas que resultem em máquinas de alto desempenho, flexíveis quanto ao tipo de produto fabricado ou serviço oferecido, consumidoras de pouca energia e de baixo custo de manutenção. Portanto, adquire grande relevância o domínio de conhecimentos científicos e tecnológicos associados ao desenvolvimento desses sistemas. Mecanismos, Máquinas e Robôs: uma abordagem unificada para a análise e síntese, elaborado por docentes da Universidade de São Paulo e da Universidade Federal de Uberlândia, tem como objetivo atender a esses requisitos, sendo direcionado aos alunos dos cursos de graduação e pós-graduação em Engenharia Mecânica e Engenharia Mecatrônica. De modo geral, o livro apresenta uma abordagem unificada que permite tratar da mesma forma os mecanismos, as máquinas e os robôs. Neste sentido, ao longo do texto, estabelece-se uma conexão entre a teoria e a aplicação, mediante a apresentação de exemplos práticos e atuais, com uma grande preocupação com a clareza e a didática. Especificamente, esta obra trata de estruturas mecânicas movidas por dois ou mais motores, e que operam em espaços bidimensionais ou tridimensionais. Desta maneira, utiliza-se uma modelagem sistemática para a análise e síntese dessas estruturas com mais de dois corpos, com ênfase na coerência ao definir as variáveis e a notação empregada.