Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rogério Luiz Quintino de Oliveira Júnior

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Homogeneização Assintótica em um Problema Parabólico Semilinear com Coeficientes Periódicos Rogério Luiz Quintino de Oliveira Júnior 21

2 Homogeneização Assintótica em um Problema Parabólico Semilinear com Coeficientes Periódicos Rogério Luiz Quintino de Oliveira Júnior Tese submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Doutor em Ciências. Área de Concentração: Matemática. Orientador: Prof. Flávio Dickstein Rio de Janeiro Novembro de 21

3 Homogeneização Assintótica em um Problema Parabólico Semilinear com Coeficientes Periódicos por Rogério Luiz Quintino de Oliveira Júnior Tese submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências. Área de concentração : Matemática Aprovada por: Flávio Dickstein IM-UFRJ (Presidente) Wladimir Neves IM-UFRJ Ademir Fernando Pazoto IM-UFRJ Miguel Fidencio Loayza Lozano UFPE Jaime Angulo Pava IME-USP Rio de Janeiro Novembro de 21

4 iii O48h Oliveira Júnior, Rogério Luiz Quintino de. Homogeneização assintótica em um problema parabólico semilinear com coeficientes periódicos / Rogério Luiz Quintino de Oliveira Júnior. - Rio de Janeiro: UFRJ/ IM, 21. viii, 73f.: il.; 3 cm. Orientador: Flávio Dickstein. Tese (doutorado) - UFRJ/ IM/ Programa de Pós-graduação em Matemática, 21. Referências Bibliográficas: f Homogeneização (equações diferenciais) 2. Equação do calor. I. Dickstein, Flávio. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação em Matemática. III. Título.

5 iv Aos meus pais.

6 v Agradecimentos Agradeço, principalmente, ao meu orientador Flávio, pela sua paciência e dedicação. Agradeço, também, à minha mãe pelo incentivo, ao CNPq pelo apoio financeiro, aos funcionários da biblioteca do IM-UFRJ e a todos os colegas e professores do doutorado do IM-UFRJ, que muito contribuíram para o meu crescimento profissional e pessoal. Finalmente, gostaria de agradecer à professora e amiga Angela C. Biazutti pela força nas horas difíceis e aos amigos Aline Barbosa e Rafael Vianna, cujas conversas e conselhos foram de valor inestimável.

7 vi RESUMO HOMOGENEIZAÇÃO ASSINTÓTICA EM UM PROBLEMA PARABÓLICO SEMILINEAR COM COEFICIENTES PERIÓDICOS Rogério Luiz Quintino de Oliveira Júnior Orientador: Prof. Flávio Dickstein Resumo da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências. Estudamos o comportamento assintótico para tempos longos das soluções do problema de Cauchy associado à equação parabólica semilinear t u div(a(x) u) = u α u, onde α > e a(x) é uma matriz regular, simétrica, coerciva, com coeficientes periódicos. No caso em que o dado inicial u é integrável e α (2/N, 3/N), mostramos que a solução é assintoticamente auto-similar a U, solução do problema linear homogêneo t U div(a h U) =, U() = Cδ. Aqui, C é uma constante, δ é a medida de Dirac em x = e a h é uma certa matriz homogeneizada de coeficientes constantes. Mostramos ainda que C > no caso em que u é positivo. Consideramos também u assintoticamente homogêneo, i.e, x σ u (x) 1 quando x, onde σ < N. Para α > 2/N, e certas hipóteses técnicas adicionais, provamos que o comportamento assintótico é descrito pela solução da mesma equação linear homogeneizada, mas agora para U() = x σ. Palavras-chave: comportamento assintótico, equação do calor semilinear, homogeneização, matriz com coeficientes periódicos, dado inicial integrável ou assintoticamente homogêneo. Rio de Janeiro Novembro de 21

8 vii ABSTRACT ASYMPTOTIC HOMOGENIZATION IN A PARABOLIC SEMILINEAR PROBLEM WITH PERIODIC COEFFICIENTS Rogério Luiz Quintino de Oliveira Júnior Orientador: Prof. Flávio Dickstein Abstract da Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Ciências. We study the long time asymptotic behaviour of the solutions of the Cauchy problem associated to the parabolic semilinear equation t u div(a(x) u) = u α u, where α > and a(x) is a regular, symmetric, coercive matrix, with periodic coefficients. In the case where the initial datum u is integrable and α (2/N, 3/N), we show that the solution is asymptotically self-similar to U, the solution of the linear homogeneous problem t U div(a h U) =, U() = Cδ. Here, C is a constant, δ is the Dirac measure at x = and a h is a homogenized matix of constant coefficients. We also show that C > in the case where u is positive. We then consider u asymptotically homogeneous, i.e, x σ u (x) 1 when x, where σ < N. For α > 2/N, and under adicional technical assumptions, we prove that the asymptotic behaviour is still described by the solution of the same homogenized linear equation, but now for U() = x σ. Key-words: asymptotic behavior, semilinear heat equation, homogenization, matrix with periodic coefficients, integrable or asymptotically homogeneous initial datum. Rio de Janeiro Novembro de 21

9 Sumário Introdução 1 1 Homogeneização de Operadores Introdução Resultados de Homogeneização Existência e Unicidade de Solução do Problema Semilinear Introdução O Problema Linear Resultados de Existência e Unicidade Comportamento Assintótico: caso u integrável Introdução Estimativas Uniformes O Resultado Principal Comportamento Assintótico: caso u assintoticamente homogêneo Introdução Estimativas Uniformes O Resultado Principal Bibliografia 71 viii

10 Introdução Neste trabalho, consideramos o problema parabólico semilinear { t u div(a(x) u) = u α u em (, ) IR N u() = u em IR N, (.1) onde α >, a(x) é uma matriz simétrica e coerciva, uniformemente em x, com coeficientes C 1 b e 1-periódicos em cada direção, e u C. Em (.1), o sinal negativo do termo nãolinear contribui para conduzir a solução a zero. Ou seja, ambos os mecanismos envolvidos, de difusão e de reação, atuam no mesmo sentido: de amortecimento da solução. Espera-se, portanto, que toda solução de (.1) seja global, i.e., esteja definida para todo t >. De fato, mostraremos que (.1) é um problema localmente bem posto em L p, para todo p [1, ), e que a solução pode ser estendida para todo t >. O objetivo principal deste trabalho é discutir o comportamento assintótico para tempos longos das soluções de (.1). Para explicarmos os resultados obtidos, vamos discutir primeiro o que ocorre no caso homogêneo a(x) = I, ou seja, no caso da equação do calor não-linear t u u = u α u. Este problema foi objeto de diversos estudos. Veja A. Gmira e L. Véron [14], S. Kamin e L. Peletier [17], M. Escobedo, O. Kavian e H. Matano [11], L. Herraiz [15], T. Cazenave, F. Dickstein, M. Escobedo e F. B. Weissler [7], e as referências aí contidas. No que segue, vamos supor que u seja assintoticamente homogênea de ordem σ no infinito, ou seja, u (x) C x σ, quando x, (.2) onde σ >. ((.2) deve ser substituído por u L 1 se σ > N.) Suponha que se deseje mostrar que u(t) decresce a uma taxa t γ. Basta então mostrar que t γ u(t) C > quando t, ou ainda, que λ γ u(λ) C quando λ. Embora esta última passagem pareça sem utilidade, ela motiva considerar o escalamento v λ (t, x) = λ γ u(λt, λx). (.3) 1

11 2 (O escalamento em x é motivado pelo caráter parabólico da equação). Temos que v λ satisfaz t v λ v λ = λ 1 αγ v λ α v λ, (.4) com v λ, (x) = λ γ u ( λx). Assim, estudar o comportamento assintótico de u é equivalente a estudar o comportamento limite de v λ (1) quando λ. Este ponto de vista revelouse útil no tratamento do problema. Admita que γ = σ/2. Neste caso, (.2) implica que v (x) = lim λ λ σ/2 u ( λx) = C x σ, se x. Soluções com dados iniciais homogêneos são especiais. Elas são as chamadas soluções auto-semelhantes (ou auto-similares). A partir de (.4), podemos então esperar um comportamento assintótico linearmente auto-semelhante se αγ = σα/2 > 1, isto é, que v λ v, onde t v v =, v (x) = C x σ. Se σ > N, (.5) não faz sentido, pois neste caso v não é localmente integrável. (.5) Como dissemos, a condição (.2) para σ > N deve ser substituída por u L 1. Então, é razoável supor que γ = N/2, que é o decaimento mínimo das soluções da equação do calor que estão em L 1. Assim, αγ > 1 significa α > 2/N. Para γ = N/2 e t =, de (.3) obtemos lim λ λ N/2 u ( λx) = mδ, onde δ é a função delta de Dirac e m = u. No entanto, é fácil ver que mδ não pode ser o valor de v. De fato temos de (.1) que u(t) = IR IR N u N t u α u. Ou seja, u não é preservada, em geral. Porém, pode-se mostrar que IR N o problema limite tem como condição inicial v (x) = mδ, onde m = u IR N u α u. IR N É preciso, evidentemente, assegurar que m seja não nulo. Prova-se que isto é verdade no caso de soluções positivas. Esperamos que a discussão sobre o comportamento assintoticamente linear de (.1), tanto para dados iniciais u satisfazendo (.2), com σ < N, quanto para u L 1, ajude o leitor a entender os resultados dos Teoremas.1 e.2 abaixo. Para fins de completude, indicamos que, quando αγ = 1, o comportamento assintótico é genuinamente não-linear e auto-semelhante: v satisfaz t v v = v α v. Como γ depende de N, o comportamento assintótico depende dos valores de α, σ e de N. Observamos ainda que u(t) se aproxima da solução v(t) da equação ordinária v = v α v no caso em que u decai lentamente (σ < 2/α) (veja L. Herraiz [15]). Neste caso, a estrutura parabólica desaparece e o escalamento (.3) não é útil. Observamos finalmente que, para u não assintoticamente homogêneo, a solução correspondente não é, em geral, assintoticamente auto-semelhante (veja T. Cazenave, F. Dickstein, F. B. Weissler [8]).

12 3 Uma extensão destas idéias a problemas não-homogêneos foi feita em E. Zuazua e G. Duro [36] e em E. Zuazua e G. Duro [37] para a equação de advecção-difusão t u.(a(x) u) = d. ( u α u), onde d IR N, α > 1/N, a sendo uma matriz simétrica e coerciva e u L 1. Em [36], a foi tomada como assintoticamente constante. Em [37], como uma matriz de coeficientes 1-periódicos em cada direção. Neste último caso, foi mostrado que o problema é assintoticamente auto-semelhante, devido a um processo de homogeneização. Desta forma, este resultado estabelece uma conexão entre os estudos mais atuais sobre o comportamento assintótico de problemas de evolução com a Teoria de Homogeneização desenvolvida nos anos 7. Nosso trabalho adapta e estende as idéias de [37] para a equação (.1), uma vez que obtemos o comportamento assintoticamente auto-semelhante das soluções desta equação considerando dados iniciais integráveis e também dados iniciais assintoticamente homogêneos, o que não foi feito em [37]. É fácil entender porque há um processo de homogeneização envolvido no problema. Usando mais uma vez (.3), vemos que v λ satisfaz agora t v λ.(a λ (x) v λ ) = λ 1 γα v λ α v λ, onde a λ (x) = a(λx) é λ 1 -periódica. Quando λ tende a infinito, o período λ 1 tende a zero. É natural, portanto, esperar que v λ v no sentido da Γ-convergência, ou seja, que exista uma matriz homogeneizada a h tal que.(a λ (x) v λ ).(a h (x) v) em uma norma apropriada. Desta forma, pode-se esperar ainda que v seja solução da equação linear t v.(a h v) =, ou da equação não-linear t v.(a h v) = v α v, ou ainda da equação ordinária v = v α v, dependendo dos valores de α, N e σ. Neste trabalho, nos limitamos a considerar o caso em que a solução é assintoticamente linear, em dois sub-casos: u L 1 ou u satisfazendo (.2), com σ < N. Apresentamos aqui os dois resultados centrais dessa tese. Teorema.1. Sejam 2/N < α < 3/N e u L 1 (IR N ), u, u. Então, a solução u de (.1) satisfaz t N 2 (1 p) 1 u(t) u h (t) p quando t, (.6) para todo p [1, ], onde u h é a solução do problema linear homogeneizado (3.2). Teorema.2. Considere 4 N < α < 6 N, N 2 < σ < min { 3 α ; 2 + N 2 } e u C (IR N ) satisfazendo x σ u (x) ω(x) quando x, onde ω C(IR N \ {}) é uma função homogênea de grau zero. homogeneizado (4.3). Então, Sejam u a solução de (.1) e u h a solução do problema linear t 1 2(σ N p ) u(t) u h (t) p quando t, (.7) para todo N/σ < p.

13 4 Observamos que as restrições sobre α e σ nos Teoremas.1 e.2 foram necessárias devido às técnicas usadas na prova. Dados os resultados do caso homogêneo a(x) = I, pode-se conjeturar que apenas as hipóteses α > 2/N, no Teorema.1, e 2/α < σ < N, no Teorema.2, sejam suficientes. Esta tese está organizada da seguinte forma. Apresentamos os principais conceitos e alguns resultados da Teoria de Homogeneização no primeiro capítulo. No segundo capítulo, usamos um argumento clássico de ponto fixo para mostrar que o problema (.1) é localmente bem-posto em L p, para todo p 1. Mostramos também que a solução é global, obtendo ainda alguns resultados de regularização e de dependência contínua. O Teorema.1 é provado no terceiro capítulo, usando certas idéias desenvolvidas para o estudo do caso homogêneo, bem como argumentos de Γ-convergência introduzidos em [37] e nos Capítulos 1 e 2 de [2]. Provamos o Teorema.2 no último capítulo, usando a mesma estratégia empregada no Capítulo 3.

14 Capítulo 1 Homogeneização de Operadores 1.1 Introdução Consideremos uma liga composta por dois materiais com propriedades distintas, por exemplo, a condutividade térmica. Podemos imaginar que a liga se comportará como um material homogêneo, com uma condutividade térmica equivalente. Uma forma de modelar este problema e determinar esta condutividade equivalente é a de considerar uma estrutura periódica formada pelos dois materiais, com período ε. Por exemplo, se tomarmos uma chapa feita de zinco e ferro, uma seção desse material teria estes elementos distribuídos da seguinte maneira: Figura 1: Material composto de ferro e zinco A liga, neste caso, se comportaria como o limite, quando ε, do problema periódico. No caso de equilíbrio térmico, podemos considerar o problema modelo ( ( x ) ) div B u = f, (1.1) ε com B uma matriz periódica. À medida que o parâmetro ε tende a zero, pode-se esperar um comportamento limite da forma div ( B h u ) = f, (1.2) 5

15 6 onde B h é uma matriz com coeficientes constantes. Houve um grande interesse no estudo de problemas de homogeneização desta natureza na década de setenta, veja A. Bensoussan, J. L. Lions, G. Papanicolau [2], F. Murat e L. Tartar [23], [24], E. Sanchez-Palencia [28], L. Tartar [3], [31], [32], e as referências aí contidas. A teoria de homogeneização foi estendida para tratar problemas de evolução. Em particular, para tratar problemas parabólicos e hiperbólicos. Citamos o Capítulo 2 de [2] como referência para maiores detalhes. Neste capítulo, consideramos operadores diferenciais da forma (1.1), que serão discutidos na próxima seção. Discutiremos o conceito de Γ-convergência, que é a ferramenta adequada para estudar processos de homogeneização. Apresentaremos, então, alguns resultados que serão úteis no estudo do comportamento assintótico que é o objeto deste trabalho. 1.2 Resultados de Homogeneização Consideremos o problema div(a(x) u) = f em IR N, (1.3) onde a(x) é uma matriz satisfazendo: (a) a(x) é simétrica com coeficientes Y-periódicos, sendo Y = (y 1,..., y N) IR N ; (1.4) (b) a ij C 1 b (IRN ), para i, j = 1,..., N; (1.5) (c) existem constantes C e C 1 positivas tais que N C ξ 2 a k,l (x)ξ k ξ l C 1 ξ 2, ξ, x IR N. (1.6) k,l=1 Estas hipóteses serão ditas A-hipóteses. Ao operador Au := div(a(x) u) acima associamos a família de operadores ( ( x ) ) A ε u = div a u. (1.7) ε Observe que, dadas as hipóteses sobre a matriz a(x), temos que existe uma matriz (ã ij ) (L (IR N )) N N que verifica, quando ε,

16 7 ( x ) a ij ã ij fraco estrela em L (IR N ), (1.8) ε para todo 1 i, j N, onde denota a média g = 1 N g(y) dy, com Y = yi. Y Y Seja f H 1 (IR N ) e considere as soluções u ε H 1 (IR N ) dos problemas i=1 A ε u ε = f. (1.9) É facil ver que u ε H 1 C. Logo, existem uma subseqüência {ε n } e uma função u tais que u εn u em H 1 (IR N ), quando ε n. A partir de (1.7), (1.8) e (1.9) pode-se perguntar se o limite dos problemas A ε u ε = f, quando ε, é div (ã u ) = f. Isto é, em geral, falso! O que se verifica é que o operador homogeneizado da família A ϵ envolve as médias de uma correção da média da matriz a(x/ε). O processo de homogeneização é definido a partir de um novo conceito de convergência, conhecido como Γ-convergência (também chamado G-convergência ou H-convergência), introduzido no artigo de E. De Giorgi e T. Franzoni [1] nos anos setenta. Definição 1.1. Uma seqüência de coeficientes a ε é dita Γ-convergente para ā quando ε se, para toda f H 1 (IR N ), a família de soluções u ε H 1 (IR N ) de div(a ε u ε ) + u ε = f em IR N (1.1) satisfaz e onde u h é a solução de a ε u ε u ε ε u h fraco em H 1 (IR N ) (1.11) ε ā u h fraco em (L 2 (IR N )) N, (1.12) div(ā u h ) + u h = f em IR N. (1.13) Esta convergência será denotada por a ε Γ ā.

17 8 No nosso caso, o operador limite da família A ε em (1.7) envolve a matriz homogeneizada de a(x), denotada por a h, que possui coeficientes dados por a h ik = [ ] a ik (y) a ij (y) xk (y), (1.14) y j onde x k = x k (y) é a única solução de x k W (Y ) = {Φ H 1 (Y ) ; Φ é Y -periódica } x k ψ a ik a ij dy = ψ dy, ψ W (Y ) y j y i y i Y x k =. Y (1.15) Em (1.14) e (1.15), utilizamos a convenção usual de índices duplos para o somatório. Observe que, pela definição acima, os coeficientes de a h são constantes. Além disso, dadas as hipóteses sobre a(x), é possível mostrar (veja [2], pág. 18) que a h é uma matriz simétrica e coerciva. Considerando a matriz a ε (x) := a(x/ε) em (1.7) e a matriz homogeneizada a h, temos o seguinte resultado clássico de Γ-convergência: Proposição 1.2. Seja a ε (x) = a(x/ε), onde a(x) é a matriz satisfazendo as A-hipóteses (1.4)-(1.6). Então a ε onde a h é dada por (1.14) e (1.15). Γ a h quando ε, A prova da proposição acima pode ser vista no Capítulo 1 de [2]. apresentação deste mesmo resultado pode ser encontrada na Seção 2 de [37]. Também, uma boa Como uma conseqüência da prova da proposição acima (veja [37], Seção 2, Observação 1), temos o resultado abaixo. Proposição 1.3. Considere uma família limitada f ε em H 1 (IR N ). Seja u ε a família de soluções de div(a ε u ε ) + u ε = f ε em IR N. Suponha que f ε ε f fortemente em H 1 (Ω),

18 9 para todo Ω IR N aberto e limitado. Então, temos que u ε ε u fracamente em H 1 (IR N ), onde u é a solução de div(a h u) + u = f em IR N. Este resultado será útil para discutirmos a homogeneização do problema parabólico semilinear que é o assunto central desta tese.

19 Capítulo 2 Existência e Unicidade de Solução do Problema Semilinear 2.1 Introdução Neste capítulo, discutiremos a existência, unicidade, dependência contínua e a regularidade de soluções do problema { t u div(a(x) u) = u α u u() = u em IR N, em (, ) IR N (2.1) onde α > e a(x) é uma matriz que satisfaz as A-hipóteses (1.4)-(1.6) em L p, p [1, ]. Como consequência, obtemos algumas estimativas que nos serão úteis posteriormente. A demonstração da existência de soluções é feita por um argumento de ponto fixo, usando a fórmula integral de Duhamel para (2.1) u(t) = T (t)u + t T (t s) u(s) α u(s) ds, onde (T (t)) t é o semigrupo associado ao operador linear Au = div(a(x) u). Na próxima seção, discutiremos as propriedades do semigrupo T. Na seção seguinte a esta, mostraremos a existência (global) e unicidade de soluções em L 1 L usando um argumento de ponto fixo. Obteremos ainda certas propriedades de regularização e estimativas para a solução. O resultado geral em L p é mostrado por um argumento de densidade e de limitação uniforme, graças ao princípio de comparação. 1

20 O Problema Linear Começamos esta seção com algumas estimativas para a solução do problema linear { t u div(a(x) u) = em (, ) IR N u(, x) = u (x) em IR N, (2.2) onde a(x) satisfaz as A-hipóteses (1.4)-(1.6) e u L s (IR N ), com 1 s. Pela Teoria Geral de Semigrupos, o problema acima possui uma única solução u dada por u(t) = T (t)u, (2.3) onde (T (t)) t é o semigrupo associado a Au = div(a(x) u). Além disto, temos que u C([, ); L s (IR N )) C 1 ((, ); L s (IR N )) C((, ); D(A)), onde D(A) = W 2,s (IR N ) se 1 < s <. Pela Proposição 2.8 de [18], temos que u(t) q = T (t)u q Ct N 2 ( 1 s 1 q) u s, t >, (2.4) para todo s q. Além disto, temos a seguinte estimativa para o gradiente da solução u do problema (2.2). Proposição 2.1. Seja u a solução do problema (2.2). Então, para todo s q, temos que u(t) q Ct N 2 ( 1 s 1 q) 1 2 u s, t >. Prova Seja A u = div(a (x) u), onde a (x) é a transposta de a(x) (considerando a(x) nãosimétrica), e seja (T (t)) t o semigrupo gerado por A. Pela Proposição 4.1 de [18], para g (L s (IR N )) N, temos que, se 1 s q, T (t)(div g) (L q ) N Ct N 2 ( 1 s 1 q) 1 2 g (L s ) N. Por dualidade, é fácil mostrar da desigualdade acima que, para toda v L s (IR N ), T (t) v (L p ) N C v s t N 2 ( 1 s 1 p) 1 2, t >, (2.5)

21 12 se 1 s p, onde (T (t)) t é o semigrupo gerado por Au = div(a(x) u), donde segue o resultado do lema. Sejam < σ < N e ω C(IR N \ {}) uma função homogênea de grau zero. Veremos, agora, algumas estimativas para a solução da equação linear { t u u = em (, ) IR N (2.6) u(, x) = ω(x) x σ em IR N \ {}, que serão necessárias nas estimativas uniformes do Capítulo 4. Como o dado inicial do problema (2.6) pertence a L 1,loc (IR N ), temos que existe uma única solução clássica u, isto é, u C 2,1 (IR N (, )) C(IR N (, ) \ {(, )}) e satisfaz (2.6) no sentido clássico. Além disso, considerando a mudança de variáveis u λ (x, t) = λ σ u(λx, λ 2 t), λ >, (2.7) pela unicidade de solução do problema (2.6), vemos que u = u λ, para todo λ >, isto é, u é auto-similar. Em particular, existe uma função f C (IR N ) (chamada perfil de u) tal que u(x, t) = t σ 2 f ( x t ), x IR N, t >. (2.8) De fato, como u = u λ, tomando λ = t 1/2 e usando (2.7), obtemos ( ) ( ) u(x, t) = t σ x t 2 u, 1 = t σ2 x t f. Para a solução u acima, temos as seguintes estimativas. Proposição 2.2. Seja u a solução de (2.6). Então: (i) u(t) p Ct N 2 ( σ N 1 p), para todo t > e para todo p (N/σ, ]; (ii) u(t) p Ct N 2 ( σ N 1 p) 1 2, para todo t > e para todo p (N/σ, ]. Prova Pelo Lema 8.2 de [7], temos que u(x, t) = t σ 2 f ( x t ), para todo t >, onde f C (IR N ) e f(x) C x σ quando x. Assim, vemos que f L p (IR N ), para todo p (N/σ, ]. Logo, u(t) p = t σ 2 ( IR N ( ) x t p f ) 1 p dx = t σ 2 + N 2p f p = C t N 2 ( σ N p) 1.

22 13 Isto mostra (i). Vamos agora provar (ii). Observe que, como a solução u(t) pertence a L p (IR N ), para todo t >, com p (N/σ, ], considerando (T (t)) t o semigrupo de contrações gerado por Au = u em L p (IR N ), podemos escrever u(τ + s) = T (τ)u(s), para todo τ, s >. Usando a Proposição 4.1 de [18], um argumento de dualidade e a estimativa (i), temos que, para N/σ < p q, u(τ + s) q = T (τ)u(s) q Cτ N 2 ( 1 p 1 q) 1 2 u(s) p Cτ N 2 ( 1 p 1 q) 1 2 s N 2 ( σ N 1 p). (2.9) Considerando s = τ = t/2 na desigualdade acima, obtemos u(t) q Ct N 2 ( σ N 1 q) 1 2, com q (N/σ, ], o que termina a demonstração. Proposição 2.3. Seja u a solução de (2.6). Então lim u(t) L R p ( x >R) =, uniformemente em t, para todo p (N/σ, ]. Prova O resultado é óbvio para t =. Provemos, então, que ele vale para t >. Como vimos na prova da proposição anterior, temos que u(x, t) = t σ 2 f ( x t ), para todo t >, onde f C (IR N ) e f(x) C x σ quando x. Logo, existe C > tal que f(x) C x σ, para todo x IR N. Assim, ( u(t) L p ( x >R) = x >R t σp 2 ( ) x t p f Então, para p (N/σ, ], temos da desigualdade acima que ) 1 ( ) 1 p dx C x σp p dx. x >R uniformemente em t >. lim u(t) L R p ( x >R) =, Para encerrarmos esta seção, veremos a definição de solução fundamental e uma estimativa

23 14 do semigrupo T (t). Para maior informação, o leitor pode consultar o primeiro capítulo de [13], onde é discutido o caso mais geral em que a = a(x, t). Definição 2.4. Seja D um domínio de IR N. Considere o cilindro Ω = D [, ) e a equação diferencial Lu t u div(a(x) u) =, onde a(x) é uma matriz que satisfaz as A-hipóteses (1.4)-(1.6). Uma solução fundamental de Lu = em Ω é uma função Γ(x, t, ξ) definida para todo (x, t) Ω, ξ D, de classe C 2 em x e C 1 em t, tal que: (i) para ξ D fixo, ela satisfaz, como função de (x, t), a equação Lu = ; (ii) para toda função contínua f D, se x D então lim Γ(x, t, ξ) f(ξ) dξ = f(x). t D Pode-se mostrar que a função Γ satisfaz a desigualdade Γ(x, t, ξ) Ct N 2 e k x ξ 2 4t, (2.1) onde k > é uma constante que somente depende das constantes C e C 1 da elipticidade da matriz a(x) (veja (1.6)) e C = C(k ). Finalmente, decorre da discussão anterior que, se (T (t)) {t } é o semigrupo associado ao operador Au = div(a(x) u) e φ é uma função que está no domínio de T (t), então T (t)φ = Γ(x, t, ξ) φ(ξ) dξ (2.11) IR N e T (t)φ Ct N 2 IR N e k x ξ 2 4t φ(ξ) dξ. (2.12) 2.3 Resultados de Existência e Unicidade Provamos, agora, que o problema (2.1) possui uma única solução clássica e que esta satisfaz algumas estimativas que serão utilizadas posteriormente. Consideramos, primeiramente, o caso em que o dado inicial pertence a L 1 (IR N ) L (IR N ) e, depois, o caso geral quando ele está em L p (IR N ), com 1 p <. Estes resultados estão enunciados nas duas proposições abaixo, respectivamente, e suas demonstrações foram baseadas nos resultados de E. Zuazua e G. Duro [36]. Durante a prova, C denota uma constante genérica. Observe que a prova

24 15 da estimativa (2.14) abaixo poderia ser obtida usando a majoração da solução do problema pela solução da equação linear (veja a prova da fórmula (2.4)). Optamos por seguir o procedimento mostrado por ele poder ser aplicado em problemas que tenham um termo não-linear mais geral do que o tratado nesta tese. Proposição 2.5. Sejam α, u L 1 (IR N ) L (IR N ) e a(x) uma matriz que satisfaz: (a) a ij Cb 1(IRN ), para i, j = 1,..., N, e (b) existem constantes C e C 1 positivas tais que N C ξ 2 a k,l (x)ξ k ξ l C 1 ξ 2, ξ, x IR N. k,l=1 Então, existe uma única solução fraca u do problema (2.1) na classe u C([, ); L 1 (IR N )) L loc((, ); L (IR N )) L α+1 ((, ) IR N ). Além disso, u satisfaz: (1) u é uma solução clássica e pertence a C((, ); W 2,p (IR N )) C 1 ((, ); L p (IR N )), p (1, ). (2.13) (2) Para todos 1 s p, como u L s (IR N ), existe uma constante C = C(s, p, N) tal que u(t) p C u s t N 2 ( 1 s p) 1, t >. (2.14) (3) Se α > 2/N, fixado t >, temos que, para todo p [1, ], existe uma constante C = C(p, u 1, t ) tal que u(t) p C u 1 t N 2 (1 1 p) 1 2, t t. (2.15) Se α = 2/N, então (2.15) é verdade com C independente de t >. (4) Se u e v são soluções de (2.1) com dados iniciais u e v, respectivamente, temos que u(t) v(t) 1 u v 1, t. (2.16) (5) Se u e v são soluções de (2.1) com dados iniciais u e v, respectivamente, temos que u(t) v(t) p C(p, N)t N 2 (1 1 p) u v 1, t >. (2.17)

25 16 Prova 1 a parte: Existência de solução integral Considere a equação integral u(t) = T (t)u t T (t τ) u(τ) α u(τ) dτ, (2.18) onde (T (t)) {t } é o semigrupo associado ao operador Au = div(a(x) u). Considere o operador Φ : B R X T X T definido por Φ[w](t) = T (t)u t T (t τ) w(τ) α w(τ) dτ, onde X T = C([, T ]; L 1 (IR N )) L ((, T ) IR N ) e B R é o subconjunto fechado de X T definido por { } B R = u X T ; sup { u(t) 1 + u(t) } R t [,T ] com R > e T > a serem definidos posteriormente. Note que Im(Φ) B R, para R suficientemente grande e T suficientemente pequeno. De fato, considerando q = 1 ou e w pertencente a B R, vamos estimar a norma L ( (, T ); L q (IR N ) ) de Φ[w]. Seja M = max{ u 1, u }. Temos que t N 2 e k x 2 4t 1 = (4π) N/2. (2.19), Utilizando, então, (2.1), (2.19) e a Desigualdade de Young, temos que Φ[w](t) q C ( ) t N 2 e k x 2 4t u C(4π) N/2 M + t ( sup t [,T ] +C q t ( ) (t τ) N 2 e k x 2 q 4(t τ) w(τ) α+1 ) α+1 w(t) q C(4π) N/2 (M + R α+1 t). dτ Fixe R > 2C(4π) N/2 M. Então, para T suficientemente pequeno, temos que Φ[w] X T e

26 17 sup { Φ[w](t) 1 + Φ[w](t) } < R. Dessa forma, Φ[w(t)] B R. t [,T ] Temos que Φ é uma contração em B R. De fato, observe que Φ[w 1 ](t) Φ[w 2 ](t) t IR N Γ(x, t, ξ) F (w 1 (ξ, τ)) F (w 2 (ξ, τ)) dξdτ, (2.2) onde F (w) = w α w. Como F é lipschitziana em B R para R <, segue-se de (2.2) e de (2.1) que Φ[w 1 ](t) Φ[w 2 ](t) C t IR N (t τ) Daí, pela Desigualdade de Young, concluímos que e Portanto, segue-se que N 2 e k x ξ 2 4(t τ) w 1 (ξ, τ) w 2 (ξ, τ) dξdτ. t Φ[w 1 ](t) Φ[w 2 ](t) L (IR N ) C w 1 (τ) w 2 (τ) L (IR N ) dτ t Φ[w 1 ](t) Φ[w 2 ](t) L 1 (IR N ) C w 1 (τ) w 2 (τ) L 1 (IR N ) dτ. Φ[w 1 ](t) Φ[w 2 ](t) XT C T w 1 w 2 XT. Logo, se tomarmos T < min{1/c, T }, onde T é tal que Im(Φ) B R, então Φ é uma contração em B R. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe uma única função u B R que verifica a equação (2.18). Agora, multiplicando a equação em (2.1) por uma regularização de sgn(u(t, x)) e integrando a equação resultante em IR N, obtemos u(t) 1 u 1, t (, T ). (2.21) Para estimarmos a norma L da solução u, definimos µ = u. Multiplicando a equação em (2.1) por uma regularização de sgn(u µ) + e integrando a equação resultante em IR N, obtemos d dt IR N (u(t, x) µ) + dx.

27 18 Como (u µ) + =, segue-se que u(x, t) µ, x IR N, t [, T ]. De forma análoga, multiplicando a equação em (2.1) por uma regularização de e integrando a equação resultante em IR N, obtemos sgn(u+µ) u(x, t) µ, x IR N, t [, T ]. Assim, temos que u(t) u, t [, T ]. (2.22) De (2.21) e (2.22), concluímos que u(t) XT <, T <, o que nos diz que a solução u pode ser estendida a [, ). Assim, existe uma solução integral u do problema (2.1) pertencente a C([, ); L 1 (IR N )) L ((, ) IR N ), e tal que u(t) = T (t)u t T (t s) u(s) α u(s) ds, t, onde (T (t)) t é o semigrupo analítico gerado por A = div(a(x) u) em L 1 (IR N ). Usando a analiticidade do semigrupo (T (t)) t, a máxima regularidade da solução (veja [19]) e um argumento de bootstrap, prova-se que, de fato, a solução integral u de (2.1) é uma solução clássica e pertence a (veja Capítulo 3 de [4] e Capítulo 4 de [6]) u C((, ); W 2,p (IR N )) C 1 ((, ); L p (IR N )), para todo p (1, ). (Em particular, u é solução fraca, isto é, no sentido das distribuições). Mostraremos que u L α+1 ((, ) IR N ). Multiplicando a equação (2.1) por uma regularização de sgn(u) e integrando em IR n, obtemos IR N d u(t) dx + u α+1 dx =. dt IR N Integrando a igualdade acima em [, T ], obtemos IR N u(t ) dx + T u α+1 dxdt = u dx. IR N IR N

28 19 Assim, temos, em particular, que u L α+1 ((, ) IR N ). (2.23) 2 a parte: Unicidade e Propriedade de Contração em L 1 (IR N ) Considere duas soluções u e v de (2.1) pertencentes a C([, ); L 1 (IR N )) L loc((, ); L (IR N )) L α+1 ((, ) IR N ) com dados iniciais u e v L 1 (IR N ) L (IR N ), respectivamente. Subtraindo as duas equações diferenciais satisfeitas por u e v, multiplicando a equação resultante por uma regularização de sgn(u v), integrando em IR N e fazendo integração por partes no termo que contém o divergente, obtemos d u(t, x) v(t, x) dx dt IR N IR N ( u α u v α v) sgn(u v) dx. Como a função f(s) = s α s é crescente, segue-se da desigualdade acima que d u(t, x) v(t, x) dx, dt IR N donde u(t) v(t) L 1 (IR N ) u v L 1 (IR N ), t, que é a propriedade de contração em L 1 (IR N ). Em particular, temos a unicidade de solução, pois se u = v, então, da desigualdade acima, vemos que u(t) v(t) 1 =, para todo t >, donde u(t) v(t) = q.s. em IR N, o que implica que u(t) = v(t) q.s. em IR N, para todo t >. 3 a parte: Estimativas para a solução 1) Prova da fórmula (2.14). Primeiro, consideramos s = 1. Dividimos a prova em quatro casos para p. 1 o caso: p [2, ). Multiplicando a equação (2.1) por u p 2 u e integrando em IR N, obtemos 1 d u p dx + (a(x) u). ( u p 2 u) dx = u p+α dx. (2.24) p dt IR N IR N IR N

29 2 Como IR N (a(x) u). ( u p 2 u) dx = N (p 1) u p 2 a ij u xi u xj IR N i,j=1 dx C IR N (p 1) u p 2 u 2 dx = = C 4(p 1) p 2 segue-se da desigualdade acima e de (2.24) que IR N ( u p/2 ) 2 dx, 1 d u p 4(p 1) dx + C ( u p/2 ) 2 dx. (2.25) p dt IR N p 2 IR N Em [35] (Lema 1), é provado o seguinte resultado: para todo p [2, ) existe uma constante C = C(p, N) > tal que (N(p 1)+2)p N(p 1) v p para toda v W 2,p (IR N ) L 1 (IR N ). 2p N(p 1) C v 1 ( v p 2 ) 2 2, (2.26) Utilizando a desigualdade acima e o segundo caso provado abaixo (p=1), temos de (2.25) que donde, concluímos que 2N [N(p 1)+2]p d dt u(t) p N(p 1) N(p 1) p + C(N, p) u 1 u(t) p, (2.27) u(t) p C(N, p) u 1 t N 2 (1 1 p), t >, com [ 4C C(N, p) = C ( 1 1 ) p ] N(p 1) 2 2. (2.28) N(p 1) 2 o caso: p = 1. Da mesma forma que antes (veja a prova de (2.21)), temos que u(t) 1 u 1, t >. 3 o caso: p (1, 2). Utilizando uma desigualdade de interpolação (veja [3], pág. 57), o primeiro e segundo casos

30 21 acima e a desigualdade de Hölder, segue-se que 2 p p u(t) p u(t) 1 u(t) 2 (1 p) 1 2 p p 2 u 1 C u 2 (1 p) 1 1 t N 4.2(1 p) 1 = C u 1 t N 2 (1 p) 1. 4 o caso: p =. Note, primeiramente, que na estimativa do 1 o caso, C(N, p) é dada por (2.28). Logo, não é possível obtermos uma estimativa fazendo p no caso 1. A idéia é obtermos uma estimativa L (α+1) L 2(α+1) para a solução u e usarmos um processo de bootstrap. Este argumento foi inspirado numa demonstração de E. B. Fabes e D. W. Stroock (veja [12]). Da desigualdade de interpolação (2.26), com p = 2, e da desigualdade de Gagliardo-Niremberg, temos v 2(N+2) N 2 C v 4 N 1 ( v ) 2 2, para toda v H 2 (IR N ) L 1 (IR N ). Escolhendo v = u α+1, obtemos u 2(α+1)(N+2) N 2(α+1) C u 4(α+1) N (α+1) ( u α+1 ) 2 2. (2.29) Juntando, então, (2.25) com p = 2(α + 1) e (2.29), temos que d dt u(t) 2(α+1) 2(α+1) + 2C C (2α + 1) α + 1 u(t) 2(α+1)(N+2) N 2(α+1) u(t) 4(α+1) N (α+1). (2.3) Por outro lado, fazendo α na desigualdade u(t) (α+1) u (α+1), obtemos u(t) u, t >. Também, se α (, 1), multiplicando a equação em (2.1) por u α 2 u e procedendo como na prova do primeiro caso, temos que (veja a desigualdade (2.25)) 1 α d u α dx, dt IR N donde u(t) (α+1) u (α+1), α (, 1), t >. Portanto, segue-se de (2.3) que

31 22 ( ) N N 4(α+1) u(t) 2(α+1) u (α+1) t N 4(α+1), t >, α. (2.31) 4C Fixe t > qualquer. Seja s >. Então de (2.31) temos que ( ) N N 4(α+1) u(t + s) 2(α+1) u(t) (α+1) s N 4(α+1), s, t >. (2.32) 4C Logo, dado τ > qualquer, tomando s = τ 2 (n+1) e α = 2 n 1 em (2.32), obtemos u ( t + τ 2 (n+1)) 2 n+1 Por iteração, temos da desigualdade acima que ( ) N N 2 n+2 2 N(n+1) 2 4Cτ n+2 u(t) 2 n. u ( τ( n ) ) 2 n C n u 1, (2.33) onde C n = ( )N N 4Cτ n j=1 ( ) 1 2 j+1 N.2 n j=1 ( ) j 2 j+1. (2.34) Note que, como n < 1, temos que u(τ) p u ( τ( n ) ) p. Logo, de (2.33), segue-se que u (τ) 2 n C n u 1, n 1. (2.35) Por outro lado, de (2.34) temos que já que j=1 lim C n = C(N) τ N 2, n ( ) j é absolutamente convergente pelo Teste de D Alembert. Logo, passando 2 j+1 o limite em (2.35) quando n, concluímos que u(τ) C(N) τ N 2 u 1, τ >. Agora, considere 1 < s <. Como na prova do caso u L 1, também dividimos em quatro casos de p, sendo que os três primeiros são análogos ao que já foi feito, e a desigualdade de interpolação utilizada para o

32 23 caso p [2, ) é dada pelo lema abaixo. Lema 2.6. Para cada p [2, ), existe uma constante C = C(p, N) > tal que [N(p s)+2s]p N(p s) v p N ( p s) p para toda v W 2,p (IR N ) L s (IR N ), onde 1 s p. C v 2s s ( v p 2 ) 2 2, (2.36) A prova do lema acima é análoga à prova do lema de interpolação (Lema 1) de [35]. Quanto ao quarto caso (p = ), utilizando a desigualdade (2.32) com s = ξ > qualquer e α = 2 n s 1 (s fixo), obtemos u(t + ξ) 2 n+1 s ( ) N N 2 n+1 s u(t) 2 4C n s ξ ( N ) 2 n+1 s, ξ, t >. Tomando ξ = τ 2 ( n+1) e procedendo de forma análoga ao que já foi feito, concluímos o caso p =. Finalmente, considere s =. Neste caso, temos apenas que considerar p =. Por (2.22), como a solução u é global, concluímos que Isto termina a prova da fórmula (2.14). 3) Prova da fórmula (2.15). Temos que a solução u de (2.1) satisfaz u(t + s) = T (t)u(s) u(t) u, t >. t T (t τ) u(τ + s) α u(τ + s) dτ. (2.37) Tomando gradientes na equação (2.37) e normas em L p (IR N ), temos, pela Proposição 2.1 e pela estimativa (3) desta proposição, que u(t + s) p C u 1 t N 2 (1 1 p) donde + C pα u α+1 1 t (τ + s) N(α+1) 2 (1 p(α+1)) 1 (t τ) 1/2 dτ, u(t + s) p C u 1 t N 2 (1 1 p) C pα u α+1 1 s N 2 (α+1 1 p) t 1/2.

33 24 Consideranto s = t na desigualdade acima, obtemos u(2t) p C u 1 t N 2 (1 1 p) C pα u α+1 1 t N 2 (α+1 1 p) (2.38) Considerando, finalmente, t = s/2 em (2.38), como α 2/N concluímos a estimativa (4) desta proposição. Observe que, para α = 2/N, a constante C é independente de t >. 4) Prova da fórmula (2.17). A demonstração é análoga ao que foi feito na prova do caso u L 1 da fórmula (2.14), sendo que, no caso p [2, ), multiplicamos a equação satisfeita pela diferença u v por u v p 2 (u v). Isto termina a prova da proposição. Vejamos, agora, o caso em que u pertence a L p (IR N ), com 1 p <. Proposição 2.7. Sejam α, u L p (IR N ), para algum 1 p <, e a(x) uma matriz que satisfaz as mesmas hipóteses da Proposição 2.5. Então, existe uma única solução fraca u de (2.1) na classe C([, ); L p (IR N )) L loc((, ); L (IR N )) L α+p ((, ) IR N ). Além disso, u satisfaz: (1) u é uma solução clássica e pertence a C((, ); W 2,q (IR N )) C 1 ((, ); L q (IR N )), q [p, ). (2.39) (2) Para todo q [p, ], existe constante C > tal que u(t) q C u p t N 2 ( 1 p 1 q), t >. (2.4) (3) Se α > 2p N, fixado t >, temos que, para todo q [p, ], existe uma constante C(t ) > tal que u(t) q C(t ) u p t N 2 ( 1 p 1 q) 1 2, t t. (2.41) Se α = 2p, então (2.41) é verdade com C independente de t >. N (4) Se u e v são soluções de (2.1) com dados iniciais u e v, respectivamente, temos que u(t) v(t) p u v p, t. (2.42)

34 25 (5) Se u e v são soluções de (2.1) com dados iniciais u e v, respectivamente, temos que u(t) v(t) q Ct N 2 ( 1 p 1 q) u v p, t >, q [p, ]. (2.43) Prova Seja {u,n } n 1 C c 1 a parte: Existência de solução fraca (IR N ) uma seqüência tal que u,n u em L p (IR N ), quando n. (2.44) Pela Proposição anterior, para cada n existe uma única solução fraca u n C([, ); L 1 (IR N )) L ((, ) IR N ) do problema { t u n div(a(x) u n ) = u n α u n em (, ) IR N (2.45) u(, x) = u,n em IR N. Temos que u n (t) u k (t) p u,n u,k p, t >. (2.46) Se p = 1, a desigualdade acima já foi provada na Proposição anterior. Se p > 1, observe primeiramente que, para cada n, u n (t) t u,n em L p (IR N ), (2.47) pois u n (t) u,n p p ( sup u n (x, t) u,n (x) p 1 x IR N C u n (t) u,n 1 t, ) u n (t) u,n 1 desde que u n C([, ); L 1 (IR N )) L ((, ) IR N ). Por outro lado, fazendo a diferença entre as equações satisfeitas por u n e u k, multiplicando a equação obtida por u n u k p 2 (u n u k ) e integrando em IR N, obtemos 1 d u n u k p dx + a(x) (u n u k ). ( u n u k p 2 (u n u k )) dx = p dt IR N IR N = ( u n α u n + u k α u k ) u n u k p 2 (u n u k ) dx. (2.48) IR N

35 26 Como a função f(s) = s α s é crescente, temos que ( u n α u n + u k α u k ) (u n u k ). Além disso, similarmente ao que foi feito na prova do caso u L 1 da fórmula (2.14) (veja (2.25)), temos que a(x) (u n u k ). ( u n u k p 2 4(p 1) (u n u k )) dx C IR N p 2 Portanto, segue-se de (2.48) que 1 d u n u k p 4(p 1) dx + C p dt IR N p 2 Em particular, temos que d u n u k p dx, dt IR N donde, integrando de a t e utilizando (2.47), obtém-se (2.46). IR N ( un u k p/2 ) 2 dx. IR N ( u n u k p/2 ) 2 dx. (2.49) Dessa forma, temos de (2.44) e (2.46) que {u n } n 1 é uma seqüência de Cauchy em C([, ); L p (IR N )), donde existe u C([, ); L p (IR N )) tal que u n u em C([, ); L p (IR N )), quando n. (2.5) Observe que, pela continuidade em t, temos que u() = u. Seja φ W 1, ([, T ]; Cc (IR N )) uma função teste. Multiplicando a equação em (2.45) por φ e integrando em [, T ] IR N, com T > fixo, obtemos T IR N t u n φ dxdt T IR N div(a(x) u n ) φ dxdt = Analisemos o limite, quando n, das integrais acima separadamente. T (a) Integrando por partes a primeira integral em (2.51), obtemos T IR N t u n φ dxdt = Temos, por (2.5) que IR N u n (T )φ(t ) dx := I 1 I 2 I 3. IR N u n ()φ() dx IR N u n α u n φ dxdt. (2.51) T IR N u n φ t dxdt := (2.52)

36 27 u n (T )φ(t ) dx IR N u(t )φ(t ) dx u n (T ) u(t ) φ(t ) dx IR IR N N u n (T ) u(t ) p φ(t ) q, quando n, onde 1 q + 1 p = 1. Logo, lim I 1 = n Similarmente, como u() = u, temos que lim I 2 = n Finalmente, novamente por (2.5), temos donde T T IR N u(t )φ(t ) dx. (2.53) IR N u n φ t dxdt IR N u φ() dx. (2.54) T u n u φ T IR N t dxdt ( C T IR N u φ t dxdt u n (t) u(t) p φ(t) t ) sup u n (t) u(t) p quando n, t T lim I 3 = n Juntando (2.52)-(2.55), concluímos que T lim t u n φ dxdt = n IR N (b) Temos que, por (2.5), = T T T IR N u(t )φ(t ) dx IR N div(a(x) u n ) φ dxdt IR N u n div(a(x) φ) dxdt IR N u φ t T T q dt dxdt. (2.55) IR N u φ() dx T div(a(x) u) φ dxdt = IR N u div(a(x) φ) dxdt IR N IR N u φ t dxdt. (2.56)

37 donde T T u n u div(a(x) φ) dxdt u n (t) u(t) p div(a(x) φ(t)) q dt IR N ( ) C T sup u n (t) u(t) p, quando n, t T T lim div(a(x) u n ) φ dxdt = n IR N T 28 IR N div(a(x) u) φ dxdt. (2.57) (c) Multiplicando a equação (2.45) por uma regularização de sgn(u n ) se p = 1 ou por u n p 2 u n se p > 1, integrando em IR N e usando a elipticidade de a(x), obtemos 1 d u n (t) p dx + u n (t) α+p dx. p dt IR N IR N Integrando a desigualdade acima de a T, temos que 1 T u n (T ) p dx + u n (t) α+p dxdt 1 u n, p dx C, p IR N IR N p IR N pois {u n, } n 1 é convergente em L p (IR N ). Da desigualdade acima e do Lema de Fatou, temos, em particular, que u L α+p ((, ) IR N ). (2.58) Com isso, temos pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue que T lim u n α u n φ dxdt = n IR N T IR N u α u φ dxdt. (2.59) Dessa forma, passando o limite quando n em (2.51) e utilizando (2.56), (2.57) e (2.59), vemos que u satisfaz IR N u(t )φ(t ) dx IR N u φ() dx = isto é, u é uma solução fraca de (2.1). Pela estimativa (2.14), temos que T T IR N u φ t dxdt IR N u α u φ dxdt, T IR N div(a(x) u) φ dxdt = (2.6)

38 29 pois {u,n } n 1 é convergente em L p (IR N ). Logo, para cada t > fixo, temos que u n (t) Ct N 2p u,n p Ct N 2p, t >, u n L ([t, ) IR N ) C(t ), n 1. (2.61) Com isso, existem uma subseqüência {u nk } e uma função ζ tais que u nk k ζ fraco-estrela em L ([t, ) IR N ). Passando para distribuições vemos que u ζ por (2.5) e, portanto, u L ([t, ) IR N ), para cada t > fixo. (2.62) Com isso, usando a analiticidade do semigrupo (T (t)) t e máxima regularidade da solução da equação do calor (veja, por exemplo, Capítulo 3 de [4]), concluímos que u é uma solução clássica de (2.1) e pertence a C((, ); W 2,q (IR N )) C 1 ((, ); L q (IR N )), para todo q [p, ). 2 a parte: Unicidade e Propriedade de Contração em L p (IR N ) Considere, agora, dois dados inicias u e v em L p (IR N ), p 1, e as respectivas soluções u e v do problema (2.1) em C([, ); L p (IR N )) L loc ((, ); L (IR N )) L α+p ((, T ) IR N ). Subtraindo as equações satisfeitas por u e v, multiplicando a equação resultante por uma regularização de sgn(u v) se p = 1 ou por u v p 2 (u v) se p > 1, fazendo integração por partes no termo que contém o divergente e usando a elipticidade da matriz a(x), obtemos, desde que a função f(s) = s α s é crescente, d u(t) v(t) p dx. dt IR N Integrando a desigualdade acima de a t, obtemos a desigualdade de contração em L p : u(t) v(t) p u v p, t >. Segue-se desta desigualdade que a solução do problema é única, pois se u = v, então vemos

39 3 que u(t) v(t) p =, para todo t >, donde u(t) v(t) = q.s. em IR N, o que implica que u(t) = v(t) q.s. em IR N, para todo t >. 3 a parte: Estimativas para a solução 1) Prova da fórmula (2.4). Seja q [p, ). Por (2.61) e (2.62), para cada t > fixo, vemos que u n (t) u(t) q q pois u n (t) converge para u(t) em L p (IR N ). ( sup u n (t) u(t) q p x IR N ) u n (t) u(t) p p n, Assim, u n (t) n u(t) em L q (IR N ), t >, para cada q [p, ). Passando o limite quando n na estimativa (2.14), obtemos u(t) q Ct N 2 ( 1 p 1 q) u p, t >, q [p, ). O caso q = pode ser obtido como se segue. Pelo Princípio do Máximo, temos que u(x, t) z(x, t), para todo x IR N e t, (2.63) onde u é a solução de (2.1) e z é a solução do problema { t z div(a(x) z) = em (, ) IR N z(, x) = u (x) em IR N. (2.64) Sendo (T (t)) t o semigrupo gerado por Au := div(a(x) u), temos que z(x, t) = T (t) u. Usando a estimativa (2.4) e a desigualdade (2.63), vemos que u(t) C z(t) Ct N 2p u p, t >. Isto termina esta parte. 2) Prova da fórmula (2.41).

40 31 Seja q [p, ]. Como u é solução (clássica) de (2.1), temos que u(τ + s) = T (τ)u(s) τ T (τ η) u(η + s) α u(η + s) dη, (2.65) para todo s, τ >, onde (T (t)) t é o semigrupo gerado por Au = div(a(x) u). Pela Proposição (2.1) e pela estimativa (2.4), temos que T (τ)u(s) q C u p τ N 2 ( 1 p 1 q) 1 2, t >. Calculando o gradiente dos termos de (2.65) e tomando normas em L q na equação obtida, temos, pelas observações acima, u(τ + s) q T (τ)u(s) q + τ T (τ η) u(η + s) α u(η + s) q dη τ C u p τ N 2 ( 1 p 1 q) (τ η) 1 2 u(η + s) α u(η + s) q dη C u p τ N 2 ( 1 p 1 q) τ C u p τ N 2 ( 1 p 1 q) C u p τ C u p τ N 2 ( 1 p 1 q) C u p s N 2 ( α+1 p (τ η) 1 2 u(η + s) α+1 q(α+1) dη (τ η) 1 2 (η + s) N 2 ( α+1 p 1 q) dη 1 q) τ (τ η) 1 2 dη = = C u p τ N 2 ( 1 p 1 q) C u p s N 2 ( α+1 p 1 q) τ 1 2. Fazendo s = τ = t/2 na desigualdade acima, obtemos u(t) q C u p t N 2 ( 1 p 1 q) C u p t N 2 ( α+1 p 1 q)+ 1 2, t >. (2.66) Se α 2p N, então t N 2 ( 1 p 1 q) 1 2 t N 2 ( α+1 p 1 q)+ 1 2, t 1. Se < t t < 1, então para α como acima temos t N 2 ( α+1 p 1 q)+ 1 2 = t N 2 ( 1 p 1 q) 1 2 t Nα 2p +1 C(t )t N 2 ( 1 p 1 q) 1 2. Das observações acima, segue de (2.66) que

41 32 u(t) q C(t ) u p t N 2 ( 1 p 1 q) 1 2, t t >. Observe que, se α = 2p/N, então a constante C não depende de t. 2) Prova da fórmula (2.43). A prova é similar a prova do caso u L 1 da fórmula (2.14), sendo que no caso p [2, ) multiplicamos a equação satisfeita pela diferença u v por u v p 2 (u v). Se p < 2, basta usar interpolação entre L p e L 2 e a desigualdade de contração em L p já provada para mostrar o resultado com q (1, 2). Para terminarmos este capítulo, mostramos que vale o Princípio de Comparação para o problema com dado inicial em L 1. Lema 2.8. Sejam u e v as soluções de t u div(a(x) u) = u α u em (, ) IR N, com dados inicias u e v L 1 (IR N ), respectivamente. Suponha que u (x) v (x) quase sempre em IR N. Então Prova u(t, x) v(t, x), t >, q.s. em IR N. Subtraindo as equações satisfeitas por u e v, respectivamente, multiplicando a equação resultante por uma regularização de sgn(u v), integrando em IR N e utilizando integração por partes no termo que contém o divergente, obtemos d (u v) dx ( u α u v α v) dx. dt u<v u<v Assim, (u v) (t) dx (u v ) dx =, t >. IR N IR N Logo, (u v) = q.s. em IR N, t >, o que conclui a demonstração.

42 Capítulo 3 Comportamento Assintótico: caso u integrável 3.1 Introdução Analisemos, agora, o comportamento assintótico, quando t, da solução u do problema { t u div(a(x) u) = u α u em (, ) IR N (3.1) u() = u em IR N, onde u L 1 (IR N ) e 2 N < α < 3 N. Mostraremos que o comportamento assintótico para tempos grandes da solução u é dado pela solução de um problema linear homogeneizado. Mais precisamente, sendo u h a solução do problema linear { t u h div(a h u h ) = em (, ) IR N (3.2) u h () = C δ, onde a h é a matriz homogeneizada de a(x), δ a medida de Dirac em e C = u (x) dx IR N IR N u α u dx dt, (3.3) provaremos que t N 2 (1 1 p) u(t) u h (t) p quando t, (3.4) 33

43 34 para todo p [1, ]. Observe que a constante C em (3.3) está bem definida, dada a regularidade de u (veja Proposição 2.7). Além disso, é fácil ver (veja Seção 2.2) que a solução u h do problema (3.2) é auto-similar, isto é, existe uma função f C (IR N ) (chamada perfil de u h ) que satisfaz u h (x, t) = t N 2 f ( x t ). (3.5) Para mostrarmos (3.4), usaremos as funções escaladas u λ (t, x) = λ N u(λ 2 t, λx), para λ >. (3.6) Note que, por (3.1), u λ satisfaz t u λ div(a(λx) u λ ) = λ Nα+2 u λ α u λ u λ (, x) = u λ, (x) = λ N u (λx) em IR N. em (, ) IR N (3.7) Veremos que a seqüência de funções escaladas {u λ } converge, em um certo espaço, para a função u h, quando λ, e que isto nos leva a (3.4). Para tanto, provaremos algumas estimativas uniformes para a família {u λ }. 3.2 Estimativas Uniformes Veremos, agora, algumas estimativas uniformes para a seqüência de funções escaladas {u λ } que serão necessárias para estudarmos o comportamento assintótico da solução u de (3.1), que é o assunto central deste capítulo. Começamos com o seguinte resultado. Proposição 3.1. Seja u a solução de (3.1) e defina u λ como em (3.6). Então, temos que (a) u λ (t) p C p u 1 t N 2 (1 p) 1, t >, p [1, ]; (b) u λ α+1 (t) p C pα u α+1 p(α+1)), t >, p [1, ]; t2 (c) u λ 2 dx dt C(t 1 ) u 2 1 IR N se < t 1 < t 2 < ; t 1 1 t N(α+1) 2 (1 1 (sendo C p, C pα, C(t 1 ) > e independentes de λ > ); e (d) Para cada < τ < T e cada s < 1, u λ é uniformemente limitada em L ((τ, T ); H s (IR N )) para λ 1.

44 35 Prova (a) Basta usar (3.6) e a desigualdade (veja (2) da Proposição 2.5) u(t) p C p u 1 t N 2 (1 1 p). (b) Segue imediatamente de (a). (c) Multiplicando a equação diferencial em (3.7) por u λ, integrando em (t 1, t 2 ) IR N utilizando (a), temos que t2 t 1 IR N a(λx) u λ. u λ dxdt 1 2 [ ] uλ (t 1 ) 2 2 u λ (t 2 ) 2 2 e C 2 2 u 2 1t N 2 (1 1 2) 1. Logo, temos que (c) segue da desigualdade acima e da elipticidade de a(x). (d) Para todo τ >, temos por (a) que u λ (τ) é uniformemente limitada em L p (IR N ) com relação a λ >, para 1 p. Considere g λ = λ Nα+2 u λ α u λ. Então, utilizando (b), temos, para λ 1, que T τ pois α > 2/N. g λ 2 dxdt C2(α+1) u 2 2(α+1) 1 IR N T τ t N(α+1)(1 2(α+1)) 1 dt <, Portanto, g λ é uniformemente limitada em L 2 ((τ, T ) IR N ), para cada < τ < T e λ 1. Agora, seja (T λ (t)) t o semigrupo associado ao operador A λ u = div(a(λx) u). Então, temos que a solução u λ satisfaz para todo t [τ, T ]. u λ (t) = T λ (t τ)u λ (τ) + t τ De (2.4), com T λ e f no lugar de T e u, respectivamente, temos que T λ (t τ σ)g λ (σ + τ) dσ, (3.8) T λ (t)f 2 C f 2, para toda f L 2 (IR N ). (3.9)