Análise Cinemática de Mecanismos

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1 nálise inemática nálise inemática de Mecanismos 2006v3 1.1 Introdução nálise inemática de Mecanismos consiste na determinação das características cinemáticas de mecanismos já prontos ou em fase de dimensionamento (projeto). s características cinemáticas a serem determinadas são posição, velocidade e aceleração de pontos de interesse no mecanismo. Trataremos de mecanismos que se enquadram no Modelo de orpo ígido. Nesta etapa inicial do urso de Mecanismos será vista uma metodologia adequada para mecanismos planos. análise de mecanismos espaciais será vista posteriormente. análise cinemática deve ser eecutada na seguinte seqüência: análise de posição análise de velocidade análise de aceleração. Normalmente, a análise de posição é a mais complicada pois recai em sistemas de equações não lineares, dificultando a busca por uma solução analítica. É possível empregar métodos gráficos (construções com régua, esquadro e compasso), analíticos (em alguns casos), ou numéricos (computacionais). s métodos gráficos não serão tratados neste curso. No caso de mecanismos planos pode ser usada a representação polar, ou a decomposição de vetores nas direções e. No caso de mecanismos espaciais, pode ser utilizada a decomposição nas três direções de um sistema de eios ortogonais,, e z. 1.2 epresentação de Vetores de Posição s vetores de posição entre dois pontos no plano XY serão representados nesta apostila pela letra seguida de pelo menos dois índices (subscritos), sendo que o primeiro índice é a etremidade final e o segundo índice é o ponto de origem do vetor de posição, conforme mostrado na figura 1. e θ 2 = i( + 90 ) = i e i θ 2 2 iθ = e θ 2 θ D j D D θ D i Figura 1: epresentações de vetores de posição. 1

2 nálise inemática Um vetor no plano XY pode ser representado por seus componentes em X e em Y. Na figura 1 isso é mostrado claramente para D = D i + D j, onde D = Dcosθ e D = Dsenθ. utra maneira de representar um vetor no plano é pela forma polar, análogo aos fasores vistos no curso 2 de eletrotécnica. = 2 e iθ 2. elembrando a elação de Euler: e iθ = cos(θ) + i sen(θ). Então, 2 = 2 e iθ 2 = 2 [cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )]. Note que, da elação de Euler, i = e i90. Dessa forma, ie iθ 2 = e i90 e iθ 2 = e i(90 +θ 2 ). Então, ie iθ 2 equivale a uma rotação de +90 em relação a θ 2. onvenção para Ângulos: em cursos de mecanismos é padrão considerar um ângulo como positivo se ele for medido no sentido anti-horário a partir da direção vertical. Se medido no sentido horário deve-se utilizar o sinal de menos. É importante lembrar que a medida do ângulo de um vetor deve ser feita no seu ponto de origem e não em sua etremidade final. Todos os ângulos indicados na figura 1 estão no sentido anti-horário a partir da horizontal e, portanto, são positivos. Entretanto, observe na figura 2 como é importante medir o ângulo a partir da origem do vetor. θ 3 = e iθ 3 θ π 3 θ +π = e iθ 2 θ 2 θ = e i(θ +π) 2 2 = e 2 i (θ +π) 2 Figura 2: Notação de ângulos de vetores. omo 0 θ 2 π, então 2 = 2 e iθ 2 e o vetor no sentido oposto é 2 = 2 e i(θ2+π). omo π θ 3 2π, então = e iθ 3 e o vetor no sentido oposto é = e i(θ3 π). Equivalência entre a decomposição vetorial e a forma polar: dado um vetor no plano XY representado na forma polar por 2 = 2 e iθ 2 = 2 [cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )], teremos: omponente em X = Parte eal = 2 cos(θ 2 ). omponente em Y = Parte Imaginária = 2 sen(θ 2 ). 2

3 nálise inemática 1.3 Problema de Determinação da Posição Um problema típico encontrado na análise de mecanismos é o seguinte. onsidere um mecanismo de 4 elos (barras) articulado por juntas de revolução (pinos) como mostrado na figura 3. Normalmente, são conhecidos os comprimentos das barras (,, ), a distância entre os pivôs fios ( ), e o ângulo de entrada q 2. Portanto, resta determinar os ângulos θ 3 e θ 4 que dão as direções das barras 3 e 4 respectivamente. Elo 3 q 2 θ 3 θ 4 Figura 3: Mecanismo plano de 4 barras. Elo 4 resolução gráfica usando régua e compasso é muito simples, e é mostrada na figura 4. Há duas soluções possíveis dadas pelos pontos e. Por outro lado, a solução analítica se torna bastante complicada pois se baseia num sistema de equações não-lineares. raio = q 2 raio = Figura 4: Determinação gráfica das posições do mecanismo de 4 barras. método para determinação analítica consiste em encontrar uma ou mais equações vetoriais de caminho fechado (loop) e, em seguida, formar o sistema de pares de equações escalares (componentes em X e em Y) e resolver o sistema para as incógnitas especificadas. No problema em questão, o caminho fechado pode ser encontrado ligando os vértices do polígono. Eiste sempre mais que uma forma de equação vetorial para o polígono, dependendo da seqüência dos vértices escolhidos. 3

4 nálise inemática Uma possível equação vetorial, mostrada na figura 3, é: = 0. Na forma polar: e iq 2 + e iθ 3 + e iθ 4 + e i180 = 0. Equações Escalares: omponente em X: cos(q 2 ) + cos(θ 3 ) + cos(θ 4 ) + cos(180 ) = 0 omponente em Y: sen(q 2 ) + sen(θ 3 ) + sen(θ 4 ) + sen(180 ) = 0 (1.3.1a) (1.3.1b) No sistema de equações os parâmetros variáveis no tempo são: q 2, θ 3 e θ 4. Então, pode-se utilizar o conceito de funções nessas variáveis para tratar matematicamente essas equações. Denominando essas funções de f 1 e f 2 obtém-se: f 1 (q 2, θ 3, θ 4 ) = cos(q 2 ) + cos(θ 3 ) + cos(θ 4 ) + cos(180 ) = 0 f 2 (q 2, θ 3, θ 4 ) = sen(q 2 ) + sen(θ 3 ) + sen(θ 4 ) + sen(180 ) = 0 (1.3.2a) (1.3.2b) esolve-se o sistema para encontrar as incógnitas (no caso, θ 3 e θ 4 ) por método analítico (quando possível) ou por método numérico. método numérico de Newton-aphson será visto em detalhes mais adiante no curso. utra possível equação vetorial para o polígono está mostrada na figura 5, e é dada por: + = +. Esta equação vetorial está particularizando o ponto. Na forma polar: e iq 2 + e iθ 3 = e i0 + e iθ 4. Note que ao invés de usar o ângulo θ4 está sendo usado o ângulo θ 4 = θ sistema de equações escalares correspondentes será: f 1(q 2, θ 3, θ 4) = cos(q 2 ) + cos(θ 3 ) cos(θ 4) cos(0 ) = 0 (1.3.3a) f 2(q 2, θ 3, θ 4) = sen(q 2 ) + sen(θ 3 ) sen(θ 4) sen(0 ) = 0 (1.3.3b) Elo 3 θ 3 θ 4 Elo 4 θ q2 4 Figura 5: utra equação vetorial, particularizada para o ponto. É importante notar que ao resolver o sistema de equações ou deverão ser encontradas duas possíveis soluções: uma correspondendo ao ponto e outra correspondendo ao ponto da solução gráfica (figura 4). 4

5 nálise inemática 1.4 Velocidade Velocidade Linear V = d Velocidade ngular (1.4.1) dθ ω = (1.4.2) r onde r é um vetor unitário do eio de rotação instantâneo. 1.5 celeração celeração Linear = d V celeração ngular α = d ω Tranco (Jerk) (1.5.1) (1.5.2) ϕ = dα ou J = d (1.5.3) 5

6 nálise inemática 1.6 nálise de Movimento com Translação Pura Se um corpo rígido está em translação pura, então a velocidade de qualquer ponto é a mesma e corresponde à velocidade de translação, figura 6. Elo k V k V k V k z Figura 6: orpo rígido em translação. onsidere um sistema de coordenadas ortogonal XY com origem em e um corpo rígido deslizando numa rampa fia, como na figura 7. θ θ V α α Figura 7: orpo rígido deslizando por uma rampa fia. No mecanismo plano da figura 7, uma equação que define a posição do ponto é: = + + (1.6.1) e iθ = e iθ + e i0 + e i90 (1.6.2) Note que as variáveis no tempo são:, θ, e. Mas, deve também ser respeitada a relação: tan(α) = velocidade pode ser obtida como a derivada em função do tempo da posição. vetorial 1.6.1: (1.6.3) Para a equação V = d }{{} =0 + d + d = d i + d j= V i +V j (1.6.4) 6

7 nálise inemática Para a forma polar, equação 1.6.2, a derivada no tempo dos termos a esquerda da igualdade fica: d( e iθ ) = ( ) ( ) d d(iθ) e iθ + e iθ = o resultado deve ser a velocidade na direção α = V e iα (1.6.5) derivada dos termos a direita da equação é: d( e iθ ) } {{ } =0 + d( e i0 ) + d( e i90 ) = e i0 d + e i90 d = V i +V j (1.6.6) aceleração é obtida derivando-se a equação de velocidade no tempo. Para a forma vetorial: = d2 2 + d2 2 = d2 2 i + d 2 2 j= dv i + dv j= i + j (1.6.7) nalogamente, para a forma polar: e iα = e i0 d2 2 + e i90 d 2 2 = i + j (1.6.8) 1.7 Translação com Movimento elativo Se a rampa do caso anterior também se mover em translação (movimento retilíneo) com velocidade V, figura 8, será necessário considerar o movimento relativo entre o corpo rígido e a rampa. V / V V V α α Figura 8: orpo rígido deslizando por uma rampa em movimento. posição do ponto é dada pelas mesmas equações da seção anterior (ver figura 7, equação e equação 1.6.2): = + + (1.7.1) 7

8 nálise inemática e iθ = e iθ + e i0 + e i90 (1.7.2) Entretanto, agora o vetor varia no tempo, pois o ponto da rampa se move com velocidade V. s variáveis no tempo são:, θ, (que deve acompanhar o movimento de translação da rampa), e. E, também, deve ser respeitada a relação: tan(α) = velocidade absoluta do ponto é obtida derivando-se no tempo a equação 1.7.1: (1.7.3) V = d + d }{{ } + d = V + d i + d j = V = V + V / i +V / j= V + V / (1.7.4) onde V / é a velocidade relativa de (velociade de em relação a ). Para a forma polar: V = d( e iθ ) + d( e i0 ) }{{ } = V = V + d( e i90 ) = V + e i0 d + e i90 d aceleração é obtida de forma análoga, derivando a velocidade em relação ao tempo: = V + V /î + V /ĵ (1.7.5) = + /î + /ĵ = + / (1.7.6) 1.8 Movimento de otação Pura figura 9 representa a configuração de um corpo rígido (elo 2) com uma junta de revolução (pino) no ponto 2. Desta forma, o eio de rotação passa por esse ponto 2. Seja o sistema de coordenadas ortogonal XYZ com origem no ponto, conforme mostrado na figura. onsiderando o mecanismo como plano, o eio de rotação terá direção paralela à k. velocidade angular ω 2 também segue a direção k, sendo que o sentido de rotação positivo é o anti-horário, ω 2 = dθ 2 k. equação de posição é dada por: = = e iθ 2 (1.8.1) Note que 2 é invariante no tempo. 8

9 nálise inemática V ω 2 2 θ θ 2 2 Figura 9: otação pura do elo 2 por um eio de rotação passando pelo ponto de articulação 2 e com direção paralela à k. Sabemos do curso de Mecânica Geral que para um corpo rígido em rotação pura: V = ω 2 2 (1.8.2) No caso de mecanismos planos, o eio de rotação é sempre normal ao plano do mecanismo, ou seja, ω = ω k. Portanto, em mecanismos planos, a velocidade é sempre perpendicular ao vetor de posição do ponto em relação ao eio de rotação no plano do mecanismo. Derivando no tempo, obtém-se a velocidade: d(iθ 2 ) V = 2 e iθ 2 = 2 iω 2 e iθ 2 (1.8.3) Note que i = e i90. Então, V = ω 2 e i90 e iθ 2 = ω 2 e i(90 +θ 2 ) (1.8.4) Essa última epressão demonstra que a velocidade linear absoluta é perpendicular a 2. aceleração é calculada derivando-se a equação de velocidade em relação ao tempo. Da equação 1.8.3: d(iω 2 ) = 2 e iθ 2 (e iθ 2 ) + 2 iω 2 = 2 iα 2 e iθ (iω 2 ) 2 e iθ 2 = 2 iα 2 e iθ 2 2 (ω 2 ) 2 e iθ 2 = T + N }{{}}{{} tangencial normal (1.8.5) aceleração total no ponto em rotação pura possui dois componentes de destaque: o componente tangencial T, e o componente normal N, figura 10. Note que, no caso geral, o componente de aceleração 9

10 nálise inemática T α 2 ω 2 V θ N θ 2 Figura 10: celeração de um ponto num corpo rígido em rotação pura articulado no ponto. tangencial não precisa ter o mesmo sentido da velocidade linear (que neste caso é perpendicular a 2 ), enquanto que o sentido da aceleração normal é sempre para o eio de rotação. 1.9 omposição de Translação e otação Nesta seção será tratado o caso mais geral de um corpo rígido em movimento composto de translação e rotação, figura 11. Suponha que seja conhecida a velocidade angular desse corpo; todos os pontos do corpo estarão sujeitos à mesma velocidade angular. Suponha, ainda que seja conhecida a velocidade linear de um ponto. Então, com esses dois dados, será possível determinar a velocidade de qualquer ponto do corpo rígido. V = V + ω k = V + V (1.9.1) Elo k ω k V V V V Figura 11: Pontos e de um mesmo corpo rígido em movimento composto. 10

11 nálise inemática No caso do mecanismo plano da figura 11, usando números compleos: V = V + V = V + iω k e iθ (1.9.2) Diferença de Velocidade : V = iω k e iθ (1.9.3) nalogamente, a aceleração de qualquer ponto pode ser determinada desde que se conheça a aceleração de pelo menos um dos pontos do corpo rígido, a velocidade angular e a aceleração angular, conforme o esquema da figura 12. Elo k θ α k ω k Figura 12: celeração de dois pontos num mesmo corpo rígido em movimento composto. = + = + T + N = + iα k e iθ ω 2 ke iθ (1.9.4) onde é a diferença de aceleração entre dois pontos de um mesmo corpo rígido. Note que esses conceitos de diferença de velocidade e de diferença de aceleração só valem para pontos de um mesmo corpo rígido omposição de Translação, otação e Movimento elativo No caso de dois pontos em corpos rígidos distintos, deve-se usar o conceito de velocidade relativa. Veja o eemplo seguinte, figura 13, de uma barra em movimento composto de rotação e translação (caso da seção anterior) com velocidade conhecida no ponto, e com um prisma deslizando pela barra. Sejam dados a velocidade angular ω 3 do elo 3 (barra), o ângulo θ 3 do elo 3 naquele instante, e a velocidade relativa V 4/3 (velocidade de deslizamento) do elo 4 em relação ao elo 3. Deseja-se determinar a velocidade absoluta no ponto ( V ). bserve que o ponto pertence de fato ao elo 4, e, para um observador num referencial inercial (origem ), sofre a ação composta da rotação-translação da barra 3 e do deslizamento relativo do prisma 4 em 11

12 nálise inemática ω 3 α 3 Elo 3 Elo θ 3 V Diagrama de corpo livre Figura 13: Elo 3 (barra) em rotação pura e elo 4 em movimento relativo de deslizamento em relação ao elo 3 através de junta prismática. relação à barra 3. Entretanto, instantaneamente, podemos considerar o ponto 3 (projeção de na barra 3) coincidente com o ponto 4 no prisma 4. Isso é mostrado no diagrama de corpo livre (esquema mostrando os corpos separadamente). Note que 4 sempre se move com o prisma 4, enquanto que 3 é fio no elo 3 e só vale para aquele instante. Num instante posterior deve-se considerar um outro ponto 3 para coincidir instantaneamente com 4. problema de posição é resolvido primeiro, e depois o de velocidade. = + 3 e iθ 3 (1.10.1) o derivar no tempo para obter a velocidade, deve-se notar que tanto como θ 3 variam no tempo. variação de no tempo dá a velocidade conhecida no ponto ( V ). Então: V = V d[e iθ 3 ] + u seja, + d e iθ 3 = V + iω 3 e iθ 3 + V 4/3 e iθ 3 (1.10.2) V = V + V + V 4/3 (1.10.3) aceleração é obtida derivando-se a equação da velocidade no tempo. Quando se trata de pontos em corpos rígidos distintos emprega-se o conceito de aceleração relativa, analogamente ao caso da velocidade. Quando se tem movimento de deslizamento relativo junto com rotação, aparece também a aceleração de oriolis. Veja o caso esquematizado na figura 14. Derivando-se em função do tempo a equação de velocidade (eq. (1.10.2)): = d V = + d[v 4/3e iθ 3 + iω 3 e iθ 3 ] (1.10.4) 12

13 nálise inemática T Elo 4 Elo 3 θ 3 ω 3 α 3 N oriolis V N V 4/3 3 4 V V Diagrama de corpo livre Figura 14: Movimento relativo de dois elos e diagrama de corpo livre correspondente. = + dv 4/3 e iθ 3 + V 4/3 d[e iθ 3 ] + d iω 3 e iθ 3 d[iω 3 ] + e iθ 3 d[e iθ 3 ] + iω 3 (1.10.5) = + 4/3 e iθ 3 }{{} 4/3 + V 4/3 iω 3 e iθ3 + V 4/3 iω 3 e iθ3 + iα 3 e }{{}}{{ iθ3 } T oriolis ω 2 3e iθ 3 }{{} N (1.10.6) onde 4/3 é a aceleração relativa do corpo 4 em relação ao corpo 3. é a diferença de aceleração, pois os pontos e estão no mesmo corpo rígido. grupando-se os termos da equação de mesma direção resulta em: = + [ 4/3 e iθ 3 }{{} 4/3 ω3e 2 iθ3 ] + [2V }{{} 4/3 ω 3 ie iθ 3 + α 3 ie iθ3 ] (1.10.7) }{{} N T } {{ } oriolis Termos de direção radial (normal): 4/3 = 4/3 e iθ 3 celeração relativa do elo 4 em relação ao elo 3. o determinar o valor numérico de 4/3 através do sistema de equações escalares provenientes da equação vetorial pode resultar um valor positivo ou negativo. Se for positivo significa que o sentido de 4/3 coincide com o do fasor θ 3. Se for negativo significa que o sentido de 4/3 será contrário ao do fasor θ 3. N = ω3e 2 iθ 3 celeração normal do ponto 2. Sempre tem sentido voltado para o eio de rotação, ou seja, contrário ao fasor θ 3. 13

14 nálise inemática Termos de direção tangencial (θ ): oriolis = 2V 4/3 ω 3 ie iθ 3 celeração de oriolis. sentido depende dos sinais de V 4/3 e de ω 3. Se ambos forem positivos ou se ambos forem negativos o sentido de oriolis coincide com o do fasor (θ ). Se apenas um deles for negativo o sentido de oriolis será contrário ao do fasor (θ ). T = α 3 ie iθ 3 celeração tangencial do ponto 3. sentido depende do sinal de α 3 : positivo se tiver sentido anti-horário; negativo se tiver sentido horário Problema esolvido onsideremos o seguinte problema, esquematizado na figura 15, que representa o conjunto manivela - biela - pistão de um motor em V: ω 2 θ 2 Elo 3 α Elo 4 ω 2 Elo 3 θ 2 D α Elo 4 Figura 15: Mecanismo manivela-biela-pistão. Sejam dados: θ 2, ω 2, α 2,,, ângulo α do plano inclinado, D. Pede-se resolver o problema de posição, e o problema de velocidade. resolução se inicia pela escolha de um caminho fechado (loop). Por eemplo, como na figura 16. ω 2 θ 2 D Elo 3 α θ 3 Elo 4 Figura 16: epresentação vetorial de um possível caminho fechado do mecanismo manivela - biela - pistão D + D = 0 (1.11.1) 14

15 nálise inemática e iθ 2 + e iθ 3 + e i270 + D e i180 + D e i180 = 0 (1.11.2) Note que o problema tem 3 incógnitas: θ 3,, e D. Decompondo a equação anterior na parte real e na parte imaginária, obtêm-se duas equações. terceira equação necessária vem da relação geométrica entre e D : tan α = D btenha você mesmo a solução do problema de posição como eercício. problema tem dois conjuntos de soluções, representados na figura 17. (1.11.3) Note, porém, que esse ω 2 Elo 3 θ 2 D α Elo 4 Elo 4 α Elo 3 θ 3 ω 2 θ 2 Figura 17: Duas possíveis soluções da posição do mecanismo manivela - biela - pistão para um mesmo conjunto de condições iniciais. Vamos considerar apenas a solução da esquerda, ou seja, θ 3 < 90. problema de velocidade começa a ser resolvido tomando-se a derivada no tempo da equação (1.11.2): d e iθ d[e iθ 2 ] d e iθ 3 d[e iθ 3 ] + d D d[e i180 ] e i180 + D + d d[e i270 ] e i d D d[e i180 ] e i180 + D = 0 (1.11.4) Lembre que,, e D são constantes no tempo. lém disso, as direções de (vertical) e D (horizontal) também não variam no tempo. Então, ω 2 ie iθ 2 + }{{} ω 3 ie iθ3 i270 i180 + Ṙe + ṘDe }{{}}{{} V V u seja, V = 0 (1.11.5) V + V V = 0 (1.11.6) Para entender a razão do sinal negativo em V da equação anterior, note da figura que o vetor posição do ponto (vetor que liga o ponto à origem) é: 15

16 nálise inemática = + = D D (1.11.7) Para determinar as incógnitas ω 3, V, e V é necessário decompor a equação (1.11.5) nas suas partes real e imaginária. lém disso, lembrar que o pistão onde está o ponto só pode se mover na direção do plano inclinado de α, ou seja, tan α = V V = Ṙ Ṙ D = (1.11.8) Epandindo a equação (1.11.5) com a elação de Euler, ω 2 i[cos θ 2 + i sin θ 2 ] + ω 3 i[cos θ 3 + i sin θ 3 ] + Ṙ[cos i sin 270 ]+ Parte eal: +ṘD[cos i sin 180 ] = 0 (1.11.9) ω 2 sin θ 2 ω 3 sin θ 3 ṘD = 0 ( ) Parte Imaginária: ω 2 cos θ 2 + ω 3 cos θ 3 Ṙ = 0 ( ) Note que V = ṘD e V = Ṙ. esolvendo o sistema linear formado pelas equações (1.11.8), ( ) e ( ) encontram-se os valores das incógnitas ω 3, V, e V. s equações para as acelerações podem ser obtidas por derivação direta das equações ( ) e ( ), e pelo uso da relação (1.11.8): Parte eal: α 2 sin θ 2 (ω 2 ) 2 cos θ 2 α 3 sin θ 3 (ω 3 ) 2 cos θ 3 D = 0 ( ) Parte Imaginária: α 2 cos θ 2 (ω 2 ) 2 sin θ 2 + α 3 cos θ 3 (ω 3 ) 2 sin θ 3 = 0 ( ) tan α = ( ) Note que = D e =. esolvendo o sistema de equações lineares ( ), ( ) e ( ) obtêm-se α 3, e. 16

17 nálise inética 2.1 Introdução nálise inética (Dinâmica) de Mecanismos nálise inética de Mecanismos consiste na determinação das forças e torques que são importantes na geração dos movimentos do mecanismo em análise. Em geral, as forças e torques são transmitidos de um elo a outro da cadeia através das juntas. lém dessas interações entre os elos da cadeia, podem haver interações de campos eternos (peso, forças de natureza eletrostática, magnética, etc.). Em muitos casos em que o mecanismo não seja de grandes dimensões a força peso pode ser desprezada por ser muito menor que as outras forças envolvidas. Neste curso serão considerados apenas mecanismos planos. Portanto, as forças envolvidas são paralelas ao plano de movimento do mecanismo, enquanto que os torques são normais ao plano de movimento do mecanismo. Desta forma, é possível definir um sistema de coordenadas cartesiano em que os eios X e Y sejam paralelos ao movimento do mecanismo, e o eio Z seja normal ao movimento do mecanismos. ssim, todas as forças podem ser decompostas em X e Y e os torques estarão na direção Z. 2.2 Forças em Mecanismos s Leis de Newton, em particular a 2 a Lei de Newton, relaciona conceitos de Dinâmica e inemática. Entretanto, as Leis de Newton foram propostas para partículas ( pontos materiais ). Para corpos rígidos, que constituem os elos de uma cadeia cinemática, é necessário integrar o efeito em cada partícula baseando-se na Mecânica de Meios ontínuos. onsidere o elo k intermediário de um mecanismo, figura 18. Na figura estão representados o elo k e dois vizinhos conectados por juntas, elo k 1 e elo k + 1. diagrama de corpo livre representa cada elo separadamente. s juntas estão representadas pelos pontos,,, D. s centros de massa estão representados por G. s vetores de posição de cada junta ao centro de massa do elo correspondente também estão representados na figura. Diagrama de orpo Livre Y Elo k Elo k+1 k G k G k k G k k k+1 k+1 G k+1 G k+1 k D k+1 G k+1 Elo k 1 G k 1 k 1 G k 1 k 1 D k+1 k 1 G k 1 k 1 X Z Figura 18: Elos intermediários de um mecanismo. Diagrama de corpo livre. onsidere em particular o elo k com massa total m k, figura 19. Esse elo pode ser subdividido em partículas ou pontos materiais. ada um desses pontos materiais possui uma fração da massa total m k. Dois desses pontos materiais, P com massa dm P e Q com massa dm Q, estão representados na figura. 17

18 nálise inética interação entre os pontos materiais P e Q do mesmo corpo rígido k resulta num par de forças internas F P Q (força de P em Q) e F QP (força de Q em P ). Pela 3 a Lei de Newton, essas forças correspondem a um par ação-reação e, portanto, F P Q = F QP. mesmo ocorre para quaisquer pares de pontos internos do elo k. Portanto, as forças internas sempre ocorrem em pares ação-reação e a resultante de todas as forças internas é nula. F P P G k PQ GQ Q k ω k α k k Q Figura 19: Elo k e duas de suas partículas, P e Q. aceleração em Q é conhecida. Por outro lado, as forças de interação com outros corpos ou campos eternos possuem reação fora do corpo em questão. Seja uma força F P atuando no ponto genérico P cuja reação está fora do elo k. Seja dm p a massa do ponto material P e suponha conhecida a aceleração do ponto Q. Pela 2 a Lei de Newton, df P = P dm P. utras forças com reação fora do corpo k atuam em outros pontos, inclusive a força peso que é aplicada no centro de massa. Então, a resultante de todas as forças atuando em pontos do elo k, mas com reações eternas ao elo k, é dada por: P F ik = dm P (2.2.1) epare que nesta equação (2.2.1) a somatória que aparece à esquerda da igualdade representa apenas forças cujas reações são eternas ao corpo (elo k); enquanto que a integral à direita da igualdade envolve todos os pontos materiais do elo k. Nessa integração os termos representando pares de forças internas vão se anular, restando apenas as parcelas dos pontos com forças eternas. Se for conhecida a aceleração Q do ponto Q, a velocidade angular ω k e a aceleração angular α k do elo k, então é possível encontrar a aceleração em qualquer ponto P genérico distante P Q : P = Q + ω k ( ω k P Q ) + α k P Q (2.2.2) Substituindo a equação (2.2.2) em (2.2.1), e lembrando que qualquer ponto do corpo rígido k tem mesma velocidade angular ω k e aceleração angular α k : [Q F ik = + ω k ( ω k P Q) + α k P Q] dm P Q = dm P + [ ω k ( ω k P Q )]dm P + [ α k P Q ]dm P (2.2.3) = Q dm P + ω k ( P ω k Q dm P ) + P α k Qdm P 18

19 nálise inética Lembrando que: dm P = m k (2.2.4) definição de centro de massa (ponto G k na figura) é dada por: GQ = 1 m k P Q dm P = P Q dm P = GQ m k (2.2.5) Então: F ik = Q m k + ω k ( ω k GQ m k ) + α k GQ m k = m k [ Q + ω k ( ω k GQ ) + α k GQ ] (2.2.6) = m k G Portanto, a equação mostra que basta aplicar a resultante das forças com reações eternas no centro de massa do corpo para ter o efeito equivalente a todas as forças individuais. s casos mais comuns de forças com reações eternas a considerar em mecanismos são: peso, cargas aplicadas, forças em juntas, forças de atrito de partes em contato. Também, é importante observar que normalmente são determinadas as acelerações em pontos de articulação (juntas) durante a análise cinemática. ssim, é só usar a epressão Q + ω k ( ω k GQ ) + αk GQ para determinar a aceleração no centro de massa, sendo Q a aceleração conhecida numa junta Q. aso seja conhecida apenas a aceleração de um ponto em outro elo k 1 que realiza movimento relativo ao elo k, a equação para o fator p fica um pouco mais complea. onsidere, por eemplo, o caso da barra em movimento composto de rotação e translação e com um prisma se movendo por ela. Esse problema já foi considerado na seção asta substituir p por uma equação análoga à (1.10.6). omo eemplo, considere o elo k do mecanismo da figura 18. Suponha que já tenha sido feita a análise cinemática completa e que, portanto, já se conheça a aceleração no ponto de articulação entre os elos k 1 e k. Suponha também que sejam aplicadas as forças eternas P1 e P2 e o peso do elo k seja P k. Por fim, as forças eternas transmitidas pelas juntas (a força F (k 1)(k) do elo (k-1) no elo (k)) e (a força F (k+1)(k) do elo (k+1) no elo (k)). Veja a figura 20. equação vetorial de forças para o elo k é: F (k 1)(k) + F (k+1)(k) + F P1 + F P2 + P k = m k Gk (2.2.7) Mas, se for conhecida a aceleração do ponto : Gk = + ω k ( ω k Gk ) + α k Gk (2.2.8) decomposição da equação vetorial de força nas direções X e Y resulta em duas equações escalares: F (k 1)(k) + F (k+1)(k) + F P 1 + F P 2 = m k G k (2.2.9a) F (k 1)(k) + F (k+1)(k) + F P 1 + F P 2 + P k = m k G k (2.2.9b) 19

20 nálise inética F P 1 F P 2 F (k+1)(k) G k Gk k k+1 k+1 G k+1 F (k 1)(k) Gk k k G k+1 k P k F (k+1)(k) D k+1 G k+1 G k 1 k 1 G k 1 k 1 F (k 1)(k) D k+1 k 1 Gk 1 k 1 Figura 20: Diagrama de corpo livre detalhado para o Elo k. 2.3 Torques em Mecanismos. Método de Euler onsidere um mecanismo composto de vários elos, como na figura 21. torque resultante em cada elo será devido aos torques das forças com reações eternas ao elo (como na seção anterior) e também devido a torques eternos aplicados. torque resultante devido às forças internas é nulo pois o corpo deve permanecer rígido. Diagrama de orpo Livre Y T (k 1)(k) G k k G k k G k k k Elo k 1 Elo k T (k 1)(k) motor atuando na junta M Elo k+1 F M T (k)(k 1) G k 1 k 1 G k 1 k 1 k 1 G k 1 k 1 k+1 k+1 G k+1 D k+1 G k+1 G k+1 MGk+1 M D k+1 F M X Z Figura 21: plicação de torque e força eterna no mecanismo. s torques eternos (normalmente provenientes de algum tipo de motor) são dados simplesmente pelos seus valores. Por eemplo, T (k 1)(k) é o torque proveniente de um motor fio ao elo (k-1) sendo aplicado no elo (k). cada força com reação eterna aplicada num ponto material genérico P corresponde um torque (ou momento) em relação ao centro de massa G dado por P G F P. 20

21 nálise inética P G F P = P G P dm P = [ G P G + ω k ( ω k P G ) + α k ] (2.3.1) P G dm P Então, de maneira análoga ao que foi feito para o equacionamento das forças, deve-se integrar o efeito do torque de todos os pontos materiais que constituem o elo k. torque resultante T ip das forças eternas e dos torques eternos relativo ao centro de massa G k do elo k será: P T ip = G F P [P ( G = G + ω k ( ω k P G ) + α k )] (2.3.2) P G dm P desenvolvimento dessa epressão para o problema tridimensional é relativamente trabalhoso e não será feito aqui. Quem estiver interessado pode consultar, por eemplo, o livro Theor of Machines and Mechanisms, Shigle & Uicker, McGraw-Hill, 1995, capítulo 16. desenvolvimento da epressão para o caso de mecanismos planos resulta simplesmente em: T ip = I zz G k αk (2.3.3) eemplo seguinte, figura 22, considera dois elos consecutivos (k) e (k+1) de um mecanismo. Supondo que há um motor elétrico fio no elo (k) e conectado por um eio ao elo (k+1), esse motor aplicará um torque T (k)(k+1) = T M ao elo (k+1). u seja, o elo (k+1) girará impulsionado pelo eio do motor. Por outro lado, haverá uma reação T (k+1)(k) = T M no elo k. G k G k+m Gk+1 Elo k Motor Elo k+1 Figura 22: plicação de torque por um motor fio ao elo k e conectado por eio ao elo k+1. s forças e torques atuando nos elos k e k+1 estão representados em detalhe na figura 23. Note que para o elo k que contém o motor, o centro de massa a ser considerado é G k+m do corpo k e do motor em conjunto. Elo k: Forças: F (k 1)(k) + F (k+1)(k) + P k + P M = m kg k+m (2.3.4) F (k 1)(k) + F (k+1)(k) = G k+m F (k 1)(k) + F (k+1)(k) + P k + P M = G k+m (2.3.5a) (2.3.5b) 21

22 nálise inética F (k+1)(k) T (k+1)(k) T (k)(k+1) = F (k)(k+1) = T (k+1)(k) F (k+1)(k) G k G k+m G k+1 F (k+2)(k+1) F (k 1)(k) P k + P motor P k+1 Figura 23: Detalhes das forças eternas e torques eternos atuando nos elos k e k+1. Torques T M + G k+m F (k 1)(k) + G k+m F (k+1)(k) = I zz G k+m αk (2.3.6) [ T M ˆk + G F k+m (k 1)(k) G F(k 1)(k)] ˆk+ k+m [ ] + G F k+m (k+1)(k) G F (k+1)(k) ˆk = I zz G α kˆk (2.3.7) k+m k+m Elo k+1: Forças: F (k)(k+1) + F (k+2)(k+1) + P k+1 = m k+1 Gk+1 (2.3.8) F (k)(k+1) + F (k+2)(k+1) = G k+1 (2.3.9a) F (k)(k+1) + F (k+2)(k+1) + P k+1 = G k+1 (2.3.9b) Torques T M + Gk+1 F (k)(k+1) + Gk+1 F (k+2)(k+1) = I zz G k+1 αk+1 (2.3.10) T M ˆk + [G k+1 F (k)(k+1) G k+1 F(k)(k+1)] ˆk+ [ ] + G k+1 F (k+2)(k+1) G k+1 F(k+2)(k+1) ˆk = I zz G k+1 α k+1ˆk (2.3.11) utros eemplos serão vistos em aula. 22