Material de Nivelamento

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1 Material de Nivelamento

2 ÍNDICE Álgebra Capítulo I Operações Organizando os Números A Reta e os Números Reais Revendo as Operações Capítulo II Divisibilidade Divisibilidade Capítulo III MDC e MMC MDC MMC Capítulo IV Frações Operações com Frações Parte I Dízimas Periódicas Capítulo V Razões e Proporções Razões e Proporções Capítulo VI Regra de Três Regra de Três Capítulo VII Matemática Financeira Porcentagem e Juros Capítulo VIII Operando com Potências Operando com Potências Radiciação Capítulo IX Fatoração Expressões Algébricas Produtos Notáveis Fatoração Capítulo X Linguagem Matemática Linguagem Matemática Equacionando Problemas Álgebra Capítulo XI Equações do º Grau Equações Parte I Equações Parte II Capítulo XII Sistemas do º Grau Sistemas do º Grau Capítulo XIII Representação Gráfica Representação Gráfica I Representação Gráfica II Capítulo XIV Notação Científica Notação Científica Gabarito

3 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO I - OPERAÇÕES ORGANIZANDO OS NÚMEROS O primeiro contato que temos com os números é pela contagem, quando surgem, de maneira natural, os números,,, 4 etc. Mais tarde, quando estudamos nosso sistema de numeração, aparecee o 0 (zero). Ele é usado para indicar a ausência de unidades numa determinada ordem de um número. Chamamos de conjunto dos números naturais símbolo Ν o conjunto formado pelos números 0,,,,... Ν = {0,,,,...} Neste conjunto são definidas as operações elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quais dessas operações têm sempree como resultado um número natural? Isso é o mesmo que perguntar: A soma de dois números naturais é sempre um número natural? A diferença de dois números naturais é sempre um número natural? O produto de dois números naturais é sempre um número natural? O quociente de dois números naturais é sempree um número natural? Então verificamos que: A soma e o produto de dois números naturais são sempre números naturais. Veja: 7 - = 4 é um número natural. - 7 = -4 não é um número natural Quando queremos fazer uma subtração em que o primeiro número é menor que o segundo, precisamos usar os números negativos, que não são números naturais. Para tornar possível qualquer subtração passamos a trabalhar com um conjunto de números formado pelos números naturais mais os números negativos: os números inteiros. Chama-se conjuntoo dos números inteiros símbolo Z o seguinte conjunto: Z = {..., -, -, -, 0,,,,...} Este conjunto pode ser representado numa reta numérica da seguinte maneira: *os números positivos estão à direita do zero, portanto todo número positivo é maior que zero; *um sua número é sempre menor que o número que está à direita. *os números negativos estão à esquerda dos números positivos, logo todo número negativo é menor que qualquer número positivo; Exemplos:» - < 0 (- é menor que zero)» - < (- é menor que )» - < - (- é menor que - )» > - ( é maior que - )» 0 > - 7 (zero é maior que - 7) No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis: Z + = {0,,,,...} = Ν (chamado conjunto dos inteiros não negativos) Z - = {0, -, -, -,...} (chamado conjunto dos inteiros não positivos) Z * = {..., -, -, -,,,,...} (chamado conjunto dos inteiros não nulos) Os números inteiros são geralmente utilizados nos seguintes casos:. Temperaturas acima ou abaixo de 0 o C;. Altitudes acima e abaixo do nível do mar Agora temos que: A soma de números inteiros é um inteiro; O produto de números inteiros é um inteiro; A subtração de números inteiros é um inteiro; Também já sabemos que: Na divisão de dois números naturais, o quociente só será um número natural quando o primeiro número (o dividendo) for divisor). múltiplo do segundo (o Assim: 6 4 = 4 é um número natural. Quando isso não acontece, usamos outros números paraa indicar o quociente. Exemplos : 5 =,5 ou = 0, Observamos que: *os números negativos estão à esquerda do portanto todo número negativo é menor que zero; zero, Assim, chamamos de conjuntoo dos números racionais símbolo Q o conjunto dos números que tem representação finita ou infinita periódica (frações,

4 dízimas periódicas, decimais exatos e os números inteiros). Neste conjunto podemos destacar os seguintes subconjuntos: Q + = conjunto dos racionais não negativos Q - = conjunto dos racionais não positivos Q * = conjunto dos racionais não nulos Agora temos:. As operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são sempre possíveiss no conjunto dos números racionais.. Qualquer número racional pode ser representado por um pontoo na reta numérica. Exemplo: Assinale na reta numérica um número racional entre 0 e : Será possível marcar na reta outro número racional entre 0 e diferente de 0,5? Entre 0 e 0,5, dividindo ao meio o segmento, podemos marcar o número 0,5. E agora, será que ainda podemos marcar outro número racional entre 0 e 0,5? O mesmo processo pode ser repetido: dividindo o novo segmento ao meio, marcaremos o número 0,5. Continuando sempre o mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais. Daí a impossibilidade de escrever todos eles. Para ter uma idéia mais clara dos conjuntos numéricos, é interessante representá-los por diagramas, que são epresentações gráficas de conjuntos por meio de uma curva fechada. Podemos escrever os elementos do conjunto dentro do diagrama ou apenas o nome do conjunto junto à curva. d) ( 4-) Dê exemplos de dois números racionais maiores que -,4. 5-) Assinale na reta numérica os números: ; -;,5; - 4. ) - 5 é um número natural. A RETA E OS NÚMEROS REAIS Vimos que os números racionais podem ser: frações, inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. Observe estes dois números: 0,5 e 0, O primeiro tem duas casas decimais, portanto um número finito de casas decimais. Por isso, é chamado de decimal exato. O segundo tem um número infinito de casas decimais com um período que se repete (5). Esse número é conhecidoo como dízima periódica. Vejamos o que acontece com o número decimal: 0, Ele tem uma infinidade de casass decimais que não se repetem, portanto, não é decimal periódico. Pense um pouco e descubra as casas que virão a seguir nesse número. Após a vírgula, a ª casa decimal é o zero, seguido do número ; depois outro zero, seguido duas vezes do número, e assim por diante. Logo, os próximos algarismos serão o zero e depois quatro vezes o número. Esse número não é racional. Ele é um exemplo de número irracional. Todo número irracional tem representação decimal infinita e não periódica. Outro exemplo de número irracional, bastante conhecido e muito importante em Matemática, especialmente usado em geometria, é o número π =, Ao estudar a operação de radiciação, e particularmente a raiz quadrada, vimos que nem todo número natural tem raiz quadrada natural. Os números naturais 0,, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8 e 00, são chamados quadrados perfeitos. As raízes quadradas desses números são tambémm números naturais: 0 = 0 6 = 4 64 = 8 = 5 = 5 8 = 9 4 = 6 = 6 00 = 0 9 = 49 = 7 -) Escreva os números inteiros menores que. -) Escreva um número racional maior que. -) Escreva ao lado de cada sentença V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa: a) ( ) - 6 é um número inteiro, logo é racional. b) ( ),56 é um número decimal exato, logo é racional. c) ( ) 0, é um número racional. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Os outros números naturais, diferentes dos números quadrados perfeitos, têm como raízes quadradas números irracionais. Outras raízes, com índices diferentes de e que não são números naturais, exemplo: também são números irracionais. Por 4 4 Ao fazer o cálculo das raízes abaixo, numa calculadora, encontramos os seguintes resultados: =,44... =, =,

5 Os pontos que aparecem no final do número não aparecem no visor da máquina de calcular. Eles indicam que as casas decimais continuariam a aparecer se a máquina fosse maior e comportasse mais algarismos. Vimos também que podemos assinalar todos os números racionais na reta numérica, associando a cada número um ponto da reta bem determinada. Podemos fazer o mesmo com os números irracionais? Vejamos a representação de na reta numérica, com auxílio de uma construção geométrica. Vamos construir um triângulo retângulo isósceles de catetos iguais a sobre a reta numérica: Calculamos a medida da hipotenusa aplicando o Teorema de Pitágoras: x² = ² + ² x² = + x² = x = Para marcar na reta a medida da hipotenusa, que é, posicionamos em O a ponta sem grafite (ponta seca) de um compasso, com abertura igual ao tamanho da hipotenusa. Descrevendo um arco com o compasso, encontramos o ponto na reta que corresponde a : Na prática, localizamos uma raiz quadrada na reta quando conhecemos um valor aproximado da raiz. Por exemplo: localize o número 5 na reta numérica. Vejamos quais são os números quadrados perfeitos mais próximos de 5: 5 está entre 4 e 9 = 4<5<9 5 está entre 4 e 9 = 4 < 5 < 9 5 está entre e = < 5 < Experimentamos então alguns números, por exemplo:, = (,)² = 4, 4, que é um valor aindaa distante de 5., = (,)² = 4, 84, que é bem próximo de 5. Então, podemos representar 5 na reta com uma localização razoável, ou seja, próxima do valor exato do número: Sabendo que é possível representar na reta os números racionais e os irracionais, podemos chamá-la reta real. Na reta real os números estão ordenados. O número a é menor que qualquer número x colocado à sua direita e maior que qualquer número x à sua esquerda. O conjunto dos números reais (R), que é a reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Veja o diagrama abaixo: Assim concluímos que o conjuntoo dos números reais é aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, os decimais exatos ou periódicos (que são os números racionais) e os decimais não exatos e não periódicos (números irracionais). O diagrama mostra a relação entre os diversos conjuntos: todo número natural é inteiro; todo número inteiro é racional; todo número racional é real, assim como, todo número irracional é também real. Inversamente, todo ponto de reta real representa um número, que pode ser racional ou irracional. Destacamos em R três outros subconjuntos: R + = conjunto dos reais não negativos R - = conjunto dos reais não positivos R * = conjunto dos reais não nulos Assim, podemos assinalar a 5 entree os números e. Procurando o valor de 5 por tentativa, teremos uma localização mais exata. Sabendo que 5 está entre e, podemos escrever que 5 =,... EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível ) Assinale na reta numérica os seguintes números reais: -,5 0,75 π - 0, ) Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se for falsa:

6 a)( ) é um número real menor que. b)( ) 0 é um numero real menor que c)( ), é um número racional. d)( ) - 5 é um número inteiro, logo é um número real. e)( ) π não é um número real. f)( ) é um número real g)( ) é um número racional CASD Vestibulares REVENDO AS OPERAÇÕES A Matemática é uma ciência que está sempre presente em nosso dia-a dia. Neste capítulo, recordaremos algumas propriedades das operações com números naturais de grande utilidade para a resolução de problemas que necessitam de um cálculo mais rápido, ou seja, o cálculo mental. Estudaremos também as expressões numéricas, suas regras e seus sinais de pontuação. Observe a seguinte situação: Fazendo compras num shopping, uma pessoa resolveu somar mentalmente seus gastos. Qual a melhor maneira de fazer esse cálculo, para a seguinte soma: R$ 8,00 + R$ 40,00 + R$,00? = Trocar a ordem das duas parcelas. = = Associar as duas últimas parcelas e somar. = 40 + (8 + ) = = = 90 As etapas seguidas para esse tipo de cálculo foram baseadas, intuitivamente, nas propriedades da adição: propriedade comutativa (comutar = trocar) e associativa (associar = juntar). Na ª propriedade, vimos que é possível trocar a ordem das parcelas sem alterar o resultado. A ordem das parcelas não altera a soma. Na ª propriedade, vimos que a associação de duas ou mais parcelas pode ser feita de maneiras diferentes, sem que o resultado seja alterado. Veja como poderia ser feito, de outra maneira, a adição do exemplo anterior: = Somar as duas primeiras parcelas = (8 + 40) + = Decompor a última parcela = = Trocar a ordem das duas parcelas = (58 + ) + 0 = Associar as duas primeiras parcelas e somar. = = 90 Será que na multiplicação podemos aplicar as mesmas propriedades da adição? Veja os exemplos. Exemplo Calcule a área de um terreno retangular de 5 m de largura x 0 m de comprimento. Multiplicando as dimensões do terreno, temos: Área do retângulo: 0 x 5 = 00 m² ou 5 x 0 = 00 m² Logo, concluímos que a propriedade comutativa também é válida para a multiplicação, portanto: A ordem dos fatores não altera o produto. Em relação à propriedade associativa, podemos concluir o mesmo resultado, ou seja, a associação de dois fatores de uma multiplicação, de diferentes maneiras, não altera o produto. No exemplo a seguir, aplicaremos a propriedade associativa para facilitar o cálculo mental: 7 x 5 x 4 = = 7 x (5 x 4) = = 7 x 00 = =.700 Agora, veremos uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição ou a multiplicação e a subtração. Observe: Exemplo Calcule o perímetro de um terreno retangular de 5 m de largura x 0 m de comprimento. Como o perímetro é a soma dos lados do terreno, esse cálculo pode ser feito de duas maneiras diferentes: *Multiplicando as dimensões do terreno por e somando o resultado: Perímetro = x 5 + x 0 = = 70 m *Somando as duas dimensões e multiplicando o resultado por : Perímetro = x (5 + 0) = x 5 = 70 m Observe que, nos dois casos, o resultado é o mesmo. Então, podemos concluir que: x (5 + 0) = x 5 + x 0 Nesse caso, utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Essa propriedade também é válida quando relacionada à subtração, podendo ser aplicada ao cálculo mental. Por exemplo: Multiplique 8 por 99, sem efetuar a conta de multiplicação: 8 x 99 = 8 x (00 - ) = = 78 Podemos assim resumir as propriedades da adição e da multiplicação: ) Associativa da Adição:(a + b)+ c = a + (b + c) ) Comutativa da Adição: a + b = b + a ) Elemento Neutro da Adição: a + 0 = a 4) Associativa da Multiplicação: (ab)c = a(bc) 5) Comutativa da Multiplicação: a. b = b. a 6) Elemento Neutro da Multiplicação: a. = a 7) Distributiva da Multiplicação relativamente à adição: a(b + c) = ab + ac Além das propriedades das operações que vimos até aqui, é preciso conhecer as regras adequadas para a resolução de expressões numéricas. Expressão numérica é uma seqüência de números que seguem determinadas operações. Veja os exemplos: - Calcular o valor da expressão:

7 Esse exemplo envolve duas operações - a adição e a subtração - que devem ser efetuadas na ordem em que aparecem: = 7-0 = 7 - Calcular o valor da expressão: Essa expressão apresenta as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão. Inicialmente, devemos efetuar as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem. Em seguida, efetuamos as adições e subtrações, também na ordem em que ocorrem: = = 6 + = 74. Se tentarmos calcular essa expressão de outra maneira, o resultado poderá ser diferente. Nesse caso, é preciso estabelecer uma determinada ordem para calcular a expressão. Para que isso aconteça, é preciso obedecer aos sinais de pontuação. Um dos sinais mais utilizados é chamado de parênteses ( ). Ao encontrá-lo em uma expressão, devemos efetuar as operações que estão dentro dele e, em seguida, continuar resolvendo as outras. Além dos parênteses, temos também os colchetes [ ] e as chaves { }, que podem aparecer em algumas expressões. Assim, após resolvermos as operações que estão entre os parênteses, devemos resolver as que estão entre os colchetes e, em último lugar, as que estão entre chaves. Observe as expressões abaixo: ( + ) ) 5 + = = = 0 Efetua-se a operação entre parênteses. Efetua-se a divisão e, em seguida, a adição. [(+ ). 9] ) = [. 9] [69 9] = = = 4 Efetua-se a operação entre parênteses. Efetuam-se as operações entre colchetes, de acordo com a ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão. {5 [.(9 )]} {5 [.6]} {5 } ) = = = = Efetuam-se as operações entre parênteses, de acordo com a ordem estabelecida. Efetua-se a operação entre colchetes. Efetua-se a operação entre chaves. Determina-se o valor da expressão. Em caso de ocorrerem expressões numéricas que apresentem operações de potenciação e radiciação, ou apenas uma delas, estas deverão ser efetuadas antes da multiplicação e da divisão. Veja: (5² - 6 x ²) x = (5-6 x 4) x = = (5-4) x = x = =. Efetuam-se as potenciações. Efetuam-se as operações entre parênteses, na ordem estabelecida. Calcula-se o valor da expressão. Para calcular uma expressão numérica, devemos seguir a seguinte regra sobre a ordem das operações: º) Efetuam-se as potenciações e radiciações na ordem em que aparecem. º) Efetuam-se as multiplicações e divisões, na ordem em que aparecem. º) Efetuam-se as adições e subtrações, na ordem em que aparecem. Se houver sinais de pontuação, efetuam-se primeiro as operações entre parênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e,por último,as que estão entre chaves { }. Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) De acordo com a sentença abaixo, escreva uma expressão e determine o seu valor: Somei 7 com 56 e subtraí o resultado de 000. ) Demonstre a maneira mais simples para calcular, mentalmente, o resultado da operação: = ) Na expressão 80-40:5-6 acrescente parênteses de maneira a encontrar resultados diferentes, conforme a posição em que forem colocados. 4) Coloque parênteses nas expressões, de modo a obter os resultados indicados: a) : - 8 = 87 b) = 5. [0 (5.4 )] 5) Calcule o valor da expressão: - Nível ) Quantos algarismos serão gastos quando se escrever de a 49? ) Escrevendo-se a sucessão dos números sem separar os algarismos, o último algarismo ocupou o 456º lugar. Qual é esse algarismo? ) Se um livro tiver 59 páginas, quantos algarismos são necessários para numerá-los? 4) Qual o número que aumenta de unidades, quando se acrescenta o algarismo 6 à sua direita? 5) Numerando-se as páginas de um livro, verificou-se que a última página tinha o número 49. Quantos algarismos foram utilizados nesta numeração? 6) Um número é composto de algarismos, cuja soma é 8. O algarismo das unidades é o dobro do das centenas e o das dezenas é a soma do das unidades e das centenas. Qual é o número? 7) Um número de 6 algarismos começa à esquerda por. Mudando-se esse algarismo da esquerda para a direita, o número obtido é o triplo do primeiro. Qual é esse número? 8) Qual o dobro do número que aumenta de 89 unidades, quando se acrescenta um zero à sua direita? CASD Vestibulares 5

8 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO II DIVISIBILIDADE Um número a é divisível por b quando existir um número inteiro k tal que a= =b.k. Nesse caso, também dizemos que b é divisor de a e a é múltiplo de b. Exemplos 4 é divisível por, pois 4 = x 6 é divisível por, pois 6 = x 0 é divisível por 4, pois 0 = 4 x 5 0 é divisível por 5, pois 0 = 4 x 5 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE. Divisibilidade por um número será divisível por se, e somente se, ele for par, ou seja, o algarismo das unidades for 0 ou ou 4 ou 6 ou 8. Exemplos: 4,, 6, 8. Divisibilidade por um número é divisível por se, e somentee se, a soma de seus algarismos for divisível por. Exemplos:, 6,, 6. Divisibilidade por 4 um número é divisível por 4 se, e somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por 4. Exemplos: 8, 8, 7, 64. Divisibilidade por 5 um número é divisível por 5 se, e somentee se, o seu último algarismo for 0 ou 5. Exemplos: 5, 05, 0, 770. Divisibilidade por 6 um número é divisível por 6 se, e somente se, for divisível por e ao mesmo tempo. Exemplos: 8,8, 960, 54. Divisibilidades por 8 um número é divisível por 8 se, e somente se, o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por 8. Exemplos: 4.8, 47, 7.96, 8. Divisibilidade por 9 um número é divisível por 9 se, e somentee se, a soma dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplos: 9, 8, 5, 464. Divisibilidade por 0 um número é divisível por 0 se, e somente se, o seu último algarismo for 0. Exemplos: 0, 540, 0. Divisibilidade por um número é divisível por se, e somente se, a soma dos seus dígitos de ordem ímpar menos a soma de seus dígitos de ordem par for divisível por. Exemplos: -+ = = = ( é divisível por ) DIVISIBILIDADE NÚMEROS PRIMOS Um número inteiro p,comm p 0, p e p - é dito primo quando este é divisível apenas pelos inteiros p, -, e p. Exemplos:,,5,7,,,... * Observação: não é primo. Decompos sição de um número em fatores primos Todo número inteiro pode ser decomposto ou fatorado num produto de números primos. Exemplos: 6, decomposto como x., decomposto como x x. 5, decomposto como 5 x 5. 7, decomposto como 7. 5, decomposto como x x x 5. Além disso, a menos da ordem dos fatores e do sinal dos fatores, a decomposição em fatores primos é única. Regra paraa decompor um número em fatores primos. Passo : Divida o número pelo seu menor divisor primo;. Passo : Divida o quociente da divisão anterior pelo seu menor divisor primo, e faça isto sucessivamente. Exemplos: DIVISORES DE UM NÚMERO Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando sua fatoração em números primos. Segue- se a seguinte regra: º) Decompõe-se o número em fatores primos; º)Traça-se uma linha vertical e do seu lado direito escreve-se o número no alto, pois é divisor de qualquer número; º)Multiplica-se sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escreve-se esses produtos ao lado de cada fator primo; 4º)Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos

9 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO III MDC E MMC Sejam dois ou mais números inteiros não simultaneamente nulos, esses números podem ter divisores comuns. O máximo divisor comum entre esses números é o maior dos divisores comuns a esses números. Exemplos: mdc(6,,) = 6 mdc(0,4) = 4 mdc(,0,4) = 4 mdc(6,,5) = Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números, devemos seguir uma série de etapas: Decompomos os números em fatores primos. Tomamos os fatores comuns com o menor expoente. Multiplicamos esses fatores entre si. Exemplo: Queremos calcular o m.d.c. de 0 e MDC 0 = x 5 e 8 = O fator comum é, portanto o MDC (0,8) = 4 Outro exemplo: = x 0 = x 5 4 = x mdc(,0,4) = = 4 Números Primos entre si.dois números inteiros a e b, não nulos, são chamados primos entre si se, e somente se, os únicos divisores comuns de a e b são e, ou seja o m.d.c. entre eles é..dois números inteiros consecutivos são primos entre si..dois números primos, distintos e não simétricos são primos entree si. MMC Um número a é múltiplo de b, quando existir um número inteiro k, tal que a=b.k. Exemplos: 4 é múltiplo de, pois 4 = x 5 é múltiplo de, pois 5 = x 5.Zero é múltiplo de qualquer inteiro diferente de zero. Sejam dois ou mais números inteiros não nulos, esses números podem ter múltiplos comuns. O mínimo múltiplo comumm entre esses números é o menor número, diferentee de zero, que é múltiplo comum desses números. Exemplos: 5 = x 5 4 = x 60 = x x 5 mmc(5,4,60) = x x 5 = 0 Observação: Dados números primos entre si, o m.m.c entre eles é o produto deles. Para calcular o m.m.c. de dois ou mais números, devemos seguir também uma série de etapas: Decompomos os números em fatores primos. Tomamos os fatores comuns e não-comuns com o maior expoente. Multiplicamos esses fatores entre si. Exemplo: Calculemos o m.m.c. dos números do primeiro exemplo, 5 e 4. Como já foram decompostos em fatores primos, temos: 5 = x 5 Os fatores comuns e não comuns 4 = x O maior expoente são, e 5. Assim, o m.m.c. (5, 4) = X X 5 = 0 Dois exercícios simples: - O máximo divisor comum de dois números é igual a 0 e o mínimo múltiplo comum deles é igual a 0. Se um deles é igual a 70, qual o outro? Solução: Ora, pelo que vimos acima: 0.0 = 70.n n = 0. Encontre MDC(80, 00) pelo método da fatoração e pelo método do algoritmo de Euclides. Compare as vantagens e desvantagens dos dois métodos. Solução: 80 = = Fatores comuns com MENOR expoente:..5 Portanto: MDC(80, 00) =..5 = 60 Então os múltiplos de um número são calculados inteiros. multiplicando esse pelos números Observação:.O número tem infinitos múltiplos 7

10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível ) Ache o MMC e MDC entre os números: a) 0 e 5 b) 56 e 60 c) 00 e 50 Nível ) O pedreiro Pedro Natal possui fios de arame de comprimentos diferentes. O primeiro tem 40 metros, o segundo tem 4 metros, e o terceiro tem 60 metros. Ele deseja cortar os fios em partes de mesmo comprimento, de forma que não haja sobra de arame. Qual o maior comprimento possível para cada corte dos fios, de forma que os fios sejam cortados em pedaços do mesmo tamanho? ) A lâmpada de um farol pisca 40 vezes a cada minuto.outro farol possui uma lâmpada que pisca 0 vezes a cada minuto. Sabendo que elas começam a piscar juntas, depois de quanto tempo voltarão a piscar juntas novamente? ) Determinar os dois menores múltiplos comuns dos números 45, 54 e 8. 4) Determine o valor de X no número N=.5. x+, para que o M.D.C entre 96, N e 40 seja 4. 5) Sabendo que o produto de dois números é 4 e que o M.M.C entre eles é 8, determine o M.D.C deles. 6) O produto de dois números é 60 e o M.D.C é 6. Calcular o M.M.C desses números. 7) Determine m e n nos números A= m.5 e B = 4. n, sabendo-se que o M.M.C de A e B é 60. CASD Vestibulares 8

11 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO IV - FRAÇÕES OPERAÇÕES COM FRAÇÕES PARTE I Neste capítulo vamos rever operações com frações, verificando a validade das propriedades operatórias dos números racionais. Veremos também o cálculo de expressões numéricas com frações, de acordo com a ordem operações devem ser efetuadas. em que as Dado o símbolo a, sendo a e b números b naturais e b diferente de zero. Chamamos:.a de fração; b. a de numerador;. b de denominador. Temos que se a é múltiplo de b, então a b é um número natural. Por exemplo: Na fração 4 temos: 4 é o numerador e é o denominador. A divisão de 4 por, nos dá o quociente 8. Assim a fração representa um número natural e 4 é múltiplo de. O significado de uma fração Como já vimos anteriormentee os números fracionários constituem o conjunto dos números racionais e podem ser números naturais ou não. Uma fração envolve a seguintee idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Fulgêncio comeu 4 de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Fulgêncio teria comido partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Fulgêncio, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate. Classificação das frações As frações se classificam das seguintes maneiras:.fração própria: o numerador é menor que denominador:,, o.fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador:,, 5 8.Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador:,, 4.Frações equivalentes: frações que têm o mesmo valor, mas cujos termos são diferentes:, 4 Para obtermos frações equivalentes, é preciso multiplicar ou dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural diferente de zero. Ao determinarmos as frações equivalentes a temos: Exemplo: Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário. Simplificação de frações 9 Uma fração equivalente a, com termos menores, é 4. A fração 4 fo oi obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de 9 4. A fração não pode ser simplificada, por isso é 4 chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque e 4 não possuem nenhum fator comum Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos: º) Frações homogêneas denominadores iguais) (que, têm 9

12 A adição e a subtração de frações homogêneas (que têm denominadores iguais) são efetuadas, repetindo-se os denominadores e efetuando-se as devidas operações com os numeradores. Veja: + a) + = b) 5 = = = As propriedades da adição de números naturais também são válidas para a adição de números fracionários. Propriedade comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma + = + = Propriedade associativa: : podemos associar duas ou mais parcelas, de maneiras diferentes, sem que o resultado (soma) seja alterado = + + = Como o número 6 é múltiplo comumm a e a, será o denominador das frações equivalentes frações dadas = = ele às Então, é preciso multiplicar o numerador e o denominador de cada fração, pelo mesmo número, de maneira a obtermos o denominador 6. Para subtrair frações, seguimoss o mesmo procedimento: = = = (Múltiplo comum: 4) Sempre que efetuamos qualquer operação com frações, devemos encontrar o resultado mais simples possível, ou seja, uma fração equivalente com numerador e denominador menores. O processo usado para simplificar uma fração é a aplicação da mesma propriedadee usada para encontrar frações equivalentes, ou seja: Na simplificação da fração 64 60, temos s: Uma fração do tipo 9 8, qu ue tem o numerador maior que o denominador (imprópria), é maior que a unidade ( 8 8 ). Portanto, pode ser escrita na forma de número misto. O número misto é formado por uma parte inteira e uma parte fracionária: 9 8 = + = + = número misto lê-se: um inteiro e um oitavo º) Frações heterogêneas denominadores diferentes) No caso de efetuarmos a adição e a subtração com frações heterogêneas (que têm denominadores diferentes) ), é preciso transformá-las em frações equivalentes denominadores iguais. diferentes que tenham As frações equivalentes que servem como ferramenta para efetuar a adição ou subtração terão denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações iniciais. Vamos efetuar a seguinte adição: + = (que têm Portanto, 6 é a forma simplificada da fração 64 : 5 60 Vejamos alguns exemplos de expressões com frações: = = Efetuar as operações na ordem em que aparecem. 5 5 = = Simplificar o resultado 4 8 = 0 5 Múltiplo comum: = = Múltiplo comum: = O número inteiro pode ser escrito como uma fração, no caso: = 5 = Simplificar o resultado

13 Quando as expressões apresentam os sinais de pontuação, devemos seguir as regras das expressões numéricas, ou seja: ) Inicialmente, efetuamos as operações que estão entre parênteses (). ) Em seguida, as que estão entre colchetes []. ) E, por último, as que estão entre chaves {}. Observe: 5 4 = = = = = = = + = Multiplicação e divisão de frações Na figura abaixo, dividida em quatro partes iguais, temos assinalado uma das partes que representa 4 4 da figura. Para representar da parte assinalada, ou seja, de 4, vamos dividir essa parte ( ) em três partes 4 iguais e, em seguida, estender a divisão para a figura toda. Para multiplicar frações, devemos multiplicar os numeradores e os denominadores entre si. Quando fazemos uma multiplicação de frações, podemos simplificar a operação usando o processo de cancelamento. Veja: =. = Para multiplicar uma fração por um número inteiro, devemos multiplicar esse número pelo numerador da fração e repetir o denominador. Por exemplo:. = Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração, como é mostrado no exemplo abaixo: = x = = 4 4 Nas expressões numéricas com frações, devemos lembrar que a ordem em que as operações devem ser efetuadas é a mesma que já aprendemos no capítulo anterior, ou seja: Potenciação e radiciação Multiplicação e divisão Adição e subtração. Exemplo: Resolver a expressão: =. + = = = = = = = de 4 é Observe que cada parte da figura, após a segunda divisão, equivale a da figura toda, logo: de 4 =. 4 = Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Um lojista vende três partes de uma peça de tecido: 78m, m e 4m. Quantos metros vendeu ao todo? Então: CASD Vestibulares

14 ) Ao receber seu salário, Pedro gastou 5 com o aluguel e ½ do que sobrou em custos com alimentação. Que fração do salário ainda restou? ) Coloque em ordem crescente os seguintes números racionais:,,,, e ) Complete o quadro de modo que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e da diagonal seja a mesma: ) Efetue e simplifique o resultado, sempre que possível: a) b) ( + 6 ) ( - 0 ) c) ) Calcule o valor de: a) = 0,.0,7 4.0,0 0,5.0, d) 9 0.(4 -.0) 7) Determine a maior fração entre 4 5 8,,, e ) Resolva: 5 x : x0, a) 0,6: 0, 5 : + 5. x b) 5 4 x 0,75 5 Nível )Transforme P em uma fração irredutível, sendo P dado por: P = (- 4 ) x (- 9 ) x (- 6 )...(- 5 ) Sabemos que, quando dividimos um número inteiro por outro, podemos encontrar como quociente um número inteiro ou um número decimal. Por exemplo: 0 5 = =,5 Vejamos, agora, o que acontece quando dividimos 4 por 9: 4 9 = 4, Se continuarmos a conta, encontraremos sempre o algarismo 5 no quociente, e o resto será sempre o mesmo (5). Se fizermos essa conta numa máquina de calcular, aparecerá no visor o número (ou seja, 4, ). Nesse caso, o algarismo 5 aparece repetido 7 vezes. Se a mesma conta for feita numa máquina maior, encontraremos um resultado com o algarismo 5 repetido mais vezes (9 ou vezes). Concluímos, então, que a divisão de 4 por 9 nunca termina e que os pontos indicam que o algarismo 5 se repete indefinidamente. O número 4, é chamado de dízima periódica e o algarismo 5 é o período da dízima. Podemos também representar a dízima periódica colocando um traço sobre o período: 4, 5. Como essa dízima é gerada pela divisão 4 9, dizemos que a geratriz da dízima periódica é a fração 4 9. Assim, uma dízima periódica é um número decimal que tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente. Vejamos outros exemplos de geratrizes e as respectivas dízimas periódicas: 7 =, 8... O período é 8, a parte inteira é. 9 7 = 0,... O período é, a parte inteira é zero. Nesses dois exemplos, os períodos aparecem logo após a vírgula. Elas são chamadas de dízimas periódicas simples. As dízimas nas quais aparece um outro número entre a vírgula e o período, são chamadas de dízimas periódicas compostas. Por exemplo:, O período é 8, a parte não-periódica é 4, a parte inteira é. 0, O período é 7, a parte não-periódica é, a parte inteira é zero. Os números que vimos até agora podem ter muitas representações, como: 5; 5,0; 0... DÍZIMAS PERIÓDICAS CASD Vestibulares

15 0,8; 0,80; ,666; 6 9 ; 8... Além disso, observamos que todos esses números podem ser representados em forma de fração. Eles são chamados números racionais. Geratriz de uma dízima periódica Podemos notar que todo número na forma decimal exata ou de dízima periódica pode ser a convertido à forma de fração e, portanto, b representa um número racional. Quando o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero ele é chamado de um decimal exato e ao transformálo na forma de fração obtemos um número fracionário cujo numerador é um número natural e cujo denominador é o algarismo seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Exemplos: 45 0, 45 = ,5 = Quando o número decimal é uma dízima periódica é possível determinar a fração que originou a dízima periódica. Esta fração é denominada de geratriz da dízima periódica. Seguem abaixo exemplos de como transformar uma dízima periódica em fração: º) 0, x= 0, x= 5 x=. 9 0x = 5, º) 0, x= 0, x= 47 x= 99 00x = 47, º) 0, x = 0, x=, x= 5 x= x = 7,77... x =, x= 68, x= x= x = 684, Veja o número 0, Ele tem infinitas casas decimais, mas sem período. Será que você pode concluir como serão as casas decimais seguintes? A parte decimal começa com seguido de zero, depois seguido de zero, depois seguido de zero e assim por diante. Ou seja, o número nunca terá um fim nem um período. Ele não é um número racional. Um número desse tipo é chamado de número irracional. Um número irracional não é resultado de nenhuma divisão de números inteiros; ele não pode ser escrito em forma de fração. Já estudamos um número irracional muito conhecido, o número π, que vale aproximadamente,46. Você verá mais adiante exemplos de números irracionais que surgem naturalmente em muitos cálculos matemáticos. Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Escreva a representação decimal de: a) b) 7 c) 56 d) ) Efetue as divisões com quociente decimal: a) 9 b) 9 c) 9 ) Agora, sem efetuar a conta, dê o resultado decimal de: a) 4 9 b) 5 9 c) 6 9 4) Escreva estes números racionais na forma de fração: a) b),5 c) 0, d) 0 6) Coloque na forma de uma fração irredutível os seguintes números racionais: a) 0,4 b) 0, c) 0, d) 0,... e) 54, f) 5, )Escreva se a representação decimal é finita, infinita e periódica ou infinita e não-periódica: 4º) 7, x = 7, x = 79 x = 00x = 798, a) 7 5 b),45 c) 0,5 d) 0,45... e) 4 6 f) π 5º), CASD Vestibulares

16 8)Diga se estes números são racionais ou irracionais: a) 4 b) 4, c) 4,... d), e) 4,0 f) 0 Nível ) Resolva as expressões: 0,777...,,4 5 a) + =,555..., b)0, ,0 45 = 0,... 0,06 c) d) 0,75 5 e) f) 0,.0,7 4.0,0 0,5.0, = + 0, = 5 5 g) 0,666 0,0 x 4,5 h) 0,...: 0,06 9 CASD Vestibulares 4

17 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO V RAZÕES E PROPORÇÕES RAZÕES E PROPORÇÕES ) Razão A razão entre dois números a e b 0, nessa ordem, é o quociente a b (l lê-se a está para b ou a para b ). Este é um conceito bastante importante em nosso cotidiano. Vejamos: A distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é de 400 km. Como podemos representar a distância entre as duas cidades em um mapa feito na escala de : ? Se uma caixa d água produz uma sombra de 0 m e um homem com,80 m de altura produz uma sombra de,0 m, medidas no mesmo local e na mesma hora, qual é a altura da caixa? Comparando o comprimento da sombra do homem com sua altura, medidos em centímetros (cm), encontramos: 0 80 =, depois de simplificar a fração. A razão é uma das formas que usamos para comparar dois números. Dizemos que a razão entre o comprimentoo da sombra e a altura do homem é de ou / ou : que se lê para. Como as medidas foram feitas na mesma hora e no mesmo local, a razão entre o comprimento da caixa d água e sua altura também será. A altura da caixa d água é igual a 0 m, pois a razão 0 0 é igua al a..haviam 00 inscritos num concurso, passaram na prova um total de 40 candidatos. Qual a razão dos candidatos aprovados nesse concurso: (de cada 5 candidatos inscritos, foi aprovado). No caso de mapas geográficos, plantas de casas ou maquetes de projetos, a escala determina a relação entre as medidas de um desenho e as medidas reais que correspondem a ele. Exemplo : A planta de uma sala retangular está desenhada na escala :00. Determinee as medidas reais dessa sala. escala ou : A razão entree as medidas que aparecem na planta da sala e as medidas reais são de : 00 ou 00 (lê-se para 00), o que significa que as medidas reais são 000 vezes maiores do que as medidas assinaladas na planta. Para determinar as medidas reais da sala, vamos multiplicar as medidas da planta por 00: 6 cm. 00 = 600 cm = 6 m 8 cm. 00 = 800 cm = 8 m As medidas reais da sala são, portanto, 6 m e 8 m. O mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida que aparecesse na planta, como, por exemplo, largura e altura de portas e janelas. Vimos que uma razão compara dois números pela divisão. Assim podemos definir: Dados os números a e b cuja razão é dada a por temos que o número a é chamado b antecedente ou primeiro termo e o número b é chamado conseqüente ou segundo termo. Observações s:. A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo : razão entree e 4: 0,,5. :4 ou 4 ou A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinaiss contrários. Exemplo : A razão entre e -8 é 8 5

18 . Duas razões são denominadas inversas entre si quando o produto delas é igual a. Exemplo: 6 e = O conceito de razão tem diversas aplicações em ciências variadas, dentre elas podemos citar a Física, a Geografia e a Química. Nessas áreas, utilizamos várias vezes razões entre grandezas de espécies diferentes. Vejamos: - Raquel foi passar suas férias no Rio de Janeiro, apesar de ter se encantado com a cidade, teve que voltar para São Paulo. A viagem durou 5 horas e o percurso total tinha 450 Km. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão? Razão = 450 km = 90 km / h 5h Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora"). Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km. - O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em habitantes. Sua área é de km. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão? habi tan tes Razão = km Razão = 46 hab/km (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado"). Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes. - Um cubo de ferro de cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão? Volume = cm. cm. cm = cm 7,8q Razão = cm Razão = 7,8 g/cm (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico"). Essa razão significa que cm de ferro pesa 7,8g. ) Proporção Quando encontramos uma igualdade entre duas razões, a relação matemática é chamada de proporção, e dizemos que as quantidades medidas são proporcionais. Os números a, b, c e d, com b 0 e d 0 formam, nessa ordem, uma proporção se, e somente se, a razão entre a e b for igual à razão entre c e d. Representa-se por: a c = b d (lê-se a está para b assim como c está para d) CASD Vestibulares Os números a e d são chamados extremos e os números b e c são chamados meios. Exemplos: = Propriedades das Proporções Se os números a, b, c e d formam, nessa ordem, uma proporção, então: a) a = c ad = bc b d O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. b) a c a ± b c ± = = d b d b d A soma (ou diferença) dos dois primeiros está para o segundo, assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos está para o último. c) a c a ± = c = a = c b d b± d b d A soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma (ou diferença) dos conseqüentes assim como cada antecedente está para o correspondente conseqüente. Exemplo 4: Uma pessoa viaja 0 km em horas. Quantas horas levará a mesma pessoa para percorrer 80 km com a mesma velocidade? 0 = 80? Essa igualdade é uma proporção, e os números que medem as distâncias e o tempo são proporcionais. Quanto maior a distância, maior será o tempo para percorrê-la. Como calcular o número que não se conhece na proporção desse exemplo? Substituindo o ponto de interrogação (?) pela letra x, que é usada em lugar do termo desconhecido, 0 = 80 e aplicando uma das propriedades que x vimos anteriormente: 0x =.80 0x = 60 x = 60 (Aplicando operação inversa) 0 x = Então, a pessoa levará horas para percorrer os 80 km. - Grandezas Proporcionais Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. 6

19 Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. São comuns ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: - Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. - Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção. Uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, a razão entre A e B for igual a uma constante de proporcionalidade K. A K B = Exemplo: Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5min 00kg 0 min 00kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5min 00kg 5min 00kg Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza = = = = Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, o produto entre A e B é igual a uma constante de proporcionalidade K. A. B = K Exemplo: Um ciclista faz um treino para a prova de "000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo: Velocidade (m/s) Tempo (s) , Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/ s 00s 0 m/ s 00s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/ s 00s 0 m/ s 50s Atenção: Em geral, quando se fala em grandezas proporcionais subentende-se que são grandezas diretamente proporcionais. - Divisão Proporcional ) Divisão em partes diretamente proporcionais Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b e c significa determinar os números x, y e z, de tal modo que: x y z = = e x + y+ z = N a b c ) Divisão em partes inversamente proporcionais Dividir um número M em partes inversamente proporcionais aos números m, n e p é o mesmo que dividir M em partes x, y e z diretamente proporcionais aos inversos de m, n e p,com m.n.p 0. m + n + p = M e x.m = y.n = z.p CASD Vestibulares 7

20 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS x ) Determinar x na proporção: = 6 x x = = 6 x. x. = 6.. x x 6= 6 x x+ x= 6+ 6 x= x= 4 Resolução:. ( x ). ( 6 x) ) Se (,x,4,...) e (6,8,y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, quanto vale x + y? Resolução: Se (,x,4,...) e (6,8,y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então: x 4 = = 6 8 y.8 x = = 4 e de = 4, temos: 6 6 y 6.4 y = = 8 Assim sendo, x + y = De x =, temos 6 8 ) Calcule x e y sabendo-se que (,,x,...) e (,y,4,...) são grandezas inversamente proporcionais. Resolução: (,,x,...) e (,y,4,...) são grandezas inversamente proporcionais.. =. y = x.4 y = e 4x = y = 6 e x = 4) Dividir o número 954 em partes diretamente proporcionais a,,5. Resolução: Tendo x, y e z as partes, temos: x y z = = 5 x+ y+ z = 954 x y x = x = y = y x z 5x = 5x = z = z 5 Como x + y + z = 954, então: x 5x x x 5x x + + = = 954 x+ x+ 5x 0x = 954 = 954 0x = x = 908 x= x= 90,8 0 x = 90,8 Logo: x.90,8 90,8 y = y = =. =.94,5 = 86, 5x 5.90,8 90,8 z = z = = 5. = 5.95,4 = 477 As partes são: 90,8; 86,; 477 Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Nesta tabela, devemos encontrar vários pares de números A e B. Complete a tabela de modo que a razão de A para B seja sempre o número 6 7. A B Razão A/B a) 4 4 b) c) 0 d) 00 e) 00 Forma mais simples de A/B 6 7 ) Dois números na razão de para. Acrescentando-se a cada um, as somas estão na razão de para 5. Então, o produto dos dois números é: a) 90 b) 96 c) 80 d) 7 e) 4 ) A razão entre dois números é. Se a soma do 8 maior com o dobro do menor é 4. O maior deles é: a) 9 b) 5 c) 4 d) 0 e) 4)Assinale a falsa, supondo * { abcde,,,,, f, αβγ,, } a c a+ b c+ d a) = = b d b d a c a+ b c+ d b) = = b d a c a c e a+ c+ e a c) = = = b d f b + d + f b d a c e α. a+ β. c+ γ. e a ) = = = b d f α. b + β. d + γ. f b 5) Determine o valor de x em cada uma das seguintes igualdades de modo que elas se tornem verdadeiras: CASD Vestibulares 8

21 a) 0 8 = x b) 4 0 = x 90 c) x = 75 5 d) 4 x = 6) Para que as sucessões (9; x; 5;...) e (y; 8; 0;...) sejam diretamente proporcionais (isto é, para que 9 x 5 verifiquem as igualdades = = =...) os y 8 0 valores de x e y devem ser, respectivamente: a) e 6 b) e 4 5 c) e 5 d) 5 e 5 e) 5 e 6 7) As seqüências (a; ; 5;...) e (; 6; b;...) são de números inversamente proporcionais e a+mb=0. O valor de m é: a) 0,4 b) c) d),5 e) 5 8) A diferença, o produto e a soma de dois números estão entre si como, e 4. Calcule tais números, * sabendo-se que pertencem a. 9) São dados três números reais, a<b<c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b, e c são respectivamente, proporcionais a: a), e b), e 5 c), e 4 d), e 6 e),5 e 0) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a, e 5 a soma entre a menor e a maior parte é: a) 5 b) 49 c) 56 d) 4 e) 8 a b,5c ) Sabe-se que = = e que a+b-c=00. O valor de a+b-c é: a) 00 b) 80 c) 70 d) 60 e) b)qual é a razão do número de meninos para o total de alunos da turma? c)qual é a razão do número de meninas para o número de meninos? ) A planta de uma casa foi feita em escala de : 50. Quanto medirá na planta uma parede que mede 0 m? 4) Quanto custa canetas se 4 custam R$,50? 5) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números,,,obtêm-se, respectivamente: 6 a) 0,0 e0 b) 0,80 e 60 c) 60,80 e 0 d) 0,0 e 0 e) 00,00 e 60 6) Determine x, y e z, sabendo-se que x y z = = e x+z= Nível ) Dividir o número 400 em partes diretamente proporcionais a 6,0 e e, ao mesmo tempo, em partes inversamente proporcionais a, e 4. ) Um número foi dividido em partes proporcionais a,5 e 7. Sabendo-se que a terceira parte vale 40, calcular os valores da primeira parte, da segunda e do número. ) Repartiu-se certa quantia entre pessoas em partes proporcionais a 5,7 e 9. Sabendo-se que a terceira pessoa recebeu R$.000 a mais que a segunda pessoa, qual a quantia repartida? 4) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$0.000,00, R$0.000,00 e R$50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente: a) R$5.000,00; R$0.000,00 e R$5.000,00 b) R$7.000,00; R$.000,00 e R$.000,00 c) R$8.000,00; R$.000,00 e R$0.000,00 d) R$0.000,00; R$0.000,00 e R$0.000,00 e) R$.000,00; R$.000,00 e R$5.000,00 ) Numa sala de aula há 0 alunos, dos quais são meninas: a)qual a razão do número de meninas para o total de alunos da turma? CASD Vestibulares 9

22 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO VI REGRA DE TRÊS REGRA DE TRÊS Este assunto é muito útil para resolver os seguintes tipos de problemas: ) Num acampamento, há 48 pessoas e alimento suficiente paraa um mês. Se 6 pessoas forem embora, para quantos dias ainda haverá alimento? ) Observe a seguinte situação: Uma pessoa paga pelo quilo de feijão R$,0. Se comprar quilos de feijão, pagará R$,40. Se comprar quilos, pagará R$,60. Quando a quantidade de feijão comprada aumentaa de para quilos, o preço aumenta na mesma razão, pois passa de R$,0 para R$,40. Podemos, então, escrever que a razão de para é igual à razão de,0 para,40. Em linguagem matemática: =,0 que se lê: está,40 para, assim como,0 está para,40. Da mesma forma, quando o aumento é de para quilos, o preço aumenta na mesma razão:, 0 =,60 Como já foi visto anteriormente, a igualdade entre duas razões é uma proporção. O preço do feijão, no caso, é proporcional à quantidade de quilos de feijão. ) Regra de Três Simples EXEMPLO : Se um ônibus percorre uma estrada com velocidade média de 80 km/h, quantos quilômetros percorrerá em horas? Podemos organizar os dados do problema numa tabela, da seguinte maneira: Tempo h h Espaço 80 km x A letra x representa o valor desconhecido do problema. Tempo e espaço são proporcionais, pois, quando o valor do tempo aumenta, o valor do espaço percorrido aumenta na mesma razão, ou seja, de para. Dizemos que tempo e espaço são grandezas que variam da mesma forma e na mesma razão. Se uma aumenta, a outra também aumenta; se uma diminui, a outra também diminui. Da tabela acima, podemos escrever a seguinte proporção: = 80 x, es tá para, assim como 80 está para x. Recordando proporções: a propriedade O produto do numerador da primeira fração com o denominador da segunda fração é igual ao produto do denominador da primeira fração com o numerador da segunda. Então:. x =. 80 (lembre-se percorrido pelo ônibus em horas será de 60 km. que. x = x) x = 60 Portanto, o espaço Nesse exemplo, três elementos eram conhecidos e faltava determinar o quarto elemento. Dois dos elementos conhecidos são medidas de uma mesma grandeza (tempo) e o terceiro é medida de outra grandeza (espaço). O quarto elemento, aquele que será calculado, é medida da segunda grandeza (espaço). O método usado para resolver problemas desse tipo é chamado regra de três. No exemplo anterior, as grandezas tempo e espaço são diretamente proporcionais e a regra de três é direta. Definição Sendo a e b dois valores correspondentes da grandeza A e, c e d os valores correspondentes da grandeza B, chama-se de regra de três simples ao processo prático para determinar um desses quatro valores, sendo conhecidos os outros três. Grandeza A A B Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais, então: a = c b d Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais, então: ac = bd a = d b c EXEMPLO : Dois pintores gastam 8 horas para pintar uma parede. Quanto tempo levaria 4 pintores para fazer o mesmo serviço? Veja a tabela e verifiquee se as grandezas são diretamente proporcionais: Pintores 4 Grandeza B c d Tempo 8h x fundamental das Se o número de pintores dobrar, passando de paraa 4, será que o tempo gasto no serviço também dobrará? 0

23 Pense um pouco e observe que o tempo gasto no serviço não pode aumentar, pois são mais homens trabalhando. Aumentando o número de pintores, o tempo de serviço deve diminuir. Como o número de pintores dobrou, o tempo será reduzido à metade (razões inversas). Logo, os pintores gastarão 9 horas para pintar a parede. Nesse caso, dizemos que as duas grandezas do problema (número de pintores e tempo de serviço) são grandezas inversamente proporcionais, e a regra de três é inversa. EXEMPLO : Cinco operários constroem uma casa em 60 dias. Quantos dias serão necessários para que 5 operários construam a mesma casa? Operários Dias x Aumentando-se o número de operários de 5 para 5, ou seja, triplicando-se o número de operários, o que acontecerá com o número de dias necessários para a construção da casa? Da mesma forma que no exemplo anterior, essas grandezas são inversamente proporcionais. Isso quer dizer que variam na razão inversa, e a razão inversa de é. Então: 60 de 60 = = 0 Portanto, os 5 operários construirão a casa em 0 dias. Vimos que, para resolver problemas de regra de três, é importante determinar se as grandezas envolvidas no problema são direta ou inversamente proporcionais. Quando as grandezas são inversamente proporcionais, a proporção entre os valores não é representada por uma mesma razão, mas, sim, por razões inversas. Portanto, no caso de grandezas inversamente proporcionais, deve-se inverter uma das razões para escrever a proporção relativa ao problema. EXEMPLO 4: Um ônibus, em velocidade média de 80 km/h, leva 5 horas para percorrer uma estrada. Quanto tempo gastará para percorrer a mesma estrada se desenvolver velocidade média de 00 km/h? Tempo(h) Velocidade média (km\h) 5 80 X 00 As grandezas tempo e velocidade são direta ou inversamente proporcionais? Desenvolvendo maior velocidade média, o ônibus gastará menos tempo para percorrer a estrada. As grandezas envolvidas são, portanto, inversamente proporcionais. Assim, escreveremos a proporção invertendo umas das razões: 5 x = Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 00. x = x = 400 x = x = 4 Desenvolvendo velocidade média de 00 km/h, o ônibus levará 4 horas para percorrer a estrada. ) Regra de Três Composta Neste método, temos mais de duas grandezas proporcionais. Na resolução destes problemas usaremos as seguintes propriedades: a-)se uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B e a uma grandeza C, então: A = B. C Ou seja: A é diretamente proporcional ao produto das grandezas B e C. b-) Se uma grandeza A é diretamente proporcional a uma grandeza B e inversamente proporcional a uma grandeza C, então: A = B C Exemplos: ) Em 8 horas, 0 caminhões descarregam 60m de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 5m? Horas Caminhões Volume X 5 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: CASD Vestibulares

24 Logo, para completar o muro serão necessários dias. Logo, serão necessários 5 caminhões. ) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 0 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 6 dias? Homens Carrinhos Dias x 6 Observe: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: =. x x = = 8.5 Logo, serão montados carrinhos. ) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com m de altura. Trabalhando pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura a seguir. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS -) Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra de 8,80m no mesmo instante em que uma árvore de 4,m de altura, plantada verticalmente, projeta uma sombra de,6m. Resolução: Altura Sombra x 8,8 4,,6 Como a altura e a sombra são grandezas diretamente proporcionais, temos: x 8,8 4,.8,8 = x= x=,6 4,,6,6 Resposta: A altura da torre é,6m. -) A ração existente em um quartel de cavalaria é suficiente para alimentar 0 cavalos durante 0 dias. Quantos dias duraria a ração se existissem apenas 0 cavalos? Resolução: Número de cavalos Número de dias X Como as duas grandezas são inversamente proporcionais, temos: 0 x 0.0 = x= x= Resposta: A ração duraria 45 dias. -) Se 5 operários trabalhando 0 horas por dia abriram um canal de 8 metros de comprimento em 7 dias, quantos operários serão necessários para abrir 686 metros do mesmo canal em 5 dias de 7 horas de trabalho? Resolução: Operários Horas / dia Comprimento N º de dias X CASD Vestibulares

25 .Número de operários e número de horas são grandezas inversamente proporcionais..número de operários e Comprimento são grandezas diretamente proporcionais..número de operários e Números de dias são grandezas inversamente proporcionais. Assim sendo: =.. = x x x= x= Resposta: Serão necessários 70 operários. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 500m em horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 900m? a-) 7 horas b-) 5 horas c-) 9 horas d-) 4 horas ) Uma gravura de forma retangular, medindo 0cm de largura por 5cm de comprimento, deve ser ampliada para,m de largura. O comprimento correspondente será: a-)0,685m b-),5m c-),m d-) 6,85m e-) 8m ) Cem quilogramas de trigo fornecem 85kg de farinha. Quantos quilogramas de farinha se obtêm com 50 sacas de trigo de 75kg cada uma? 4) Quatorze pedreiros levam 80dias para construir uma casa.quanto tempo levarão 0 pedreiros para construir a mesma casa? 5) Um trem percorre 40km em horas. Quanto tempo levará esse trem, com a mesma velocidade, para percorrer 400km? 6) O eixo de um motor dá 76 voltas em 9 minutos. Quantas voltas dará em h7min? 7) Uma torneira enche um tanque em horas. Em quanto tempo (em minutos) torneiras iguais a primeira encherão o mesmo tanque? 8) Se 6 operários levam dias para completar uma obra, quantos operários seriam necessários para completar essa obra em dias? 9) Qual é a altura de um edifício cuja sombra tem 6 m no mesmo instante em que um poste de m de altura projeta uma sombra de 0,6 m? 0) Trabalhando durante 40 minutos, uma máquina produz 00 peças. Quantas peças essa máquina produzirá em horas? ) Para percorrer 60 km de uma estrada, um automóvel consome 0L de gasolina. Para percorrer 450 km, quanto consumirá? ) Numa classe de 40 alunos, 8 são meninas. Qual é a taxa de porcentagem das meninas dessa classe? Nível ) Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$768 por uma outra de mesma qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendose que a primeira tem m a mais do que a segunda? ) De duas fontes, a primeira jorra 8 por hora e a segunda 80. Qual é o tempo necessário para a segunda jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 5 minutos? ) Empregaram-se 7,4kg de lã para fabricar 4m de tecido de 60cm de largura.qual será o comprimento do tecido que se poderia fabricar com,45 toneladas de lã para se obter uma largura de 0,90m? 4) Uma família composta de 6 pessoas consome, em dias, kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentar-se durante 5 dias, estando ausentes pessoas? 5) Uma equipe de 5 homens extrai, em 0 dias 600kg de carvão. Se for aumentada para 0 homens, em quantos dias conseguirá extrair 5600kg de carvão? 6) Vinte operários trabalhando 8 horas por dia, gastam 8 dias para construir um muro de 0 metros. Quanto tempo levará um a turma de 6 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 55 metros? 7) Dez operários, com capacidade de trabalho igual a 45, fazem 50 metros de uma obra em 0 dias. Qual deve ser a capacidade de trabalho de 5 operários para fazer 0 metros da mesma obra em 60 dias? 8) Com 6 máquinas de costura aprontaram-se 70 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 60 uniformes em 4 dias? 9) Um avião consome 400 litros de gasolina por hora. Calcular o consumo numa etapa de horas 0 minutos e segundos. 0) Uma pessoa ao falir só pode pagar 7 do que 6 deve. Se possuísse mais R$.600,00 poderia pagar 80% da dívida. Quanto era a dívida? ) Gastei 0% do meu salário comprando um vestido. Calcule meu salário sabendo que paguei R$ 60,00 pelo vestido. )Quando se aplicam R$.000,00 à taxa de % ao ano, qual será a quantia recebida após 5 anos? CASD Vestibulares

26 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO VII MATEMÁ TICA FINANCEIRAA Neste capítulo, estudaremos os juros, as taxas, os aumentos e os descontos que fazem parte de nosso cotidiano. Veja alguns exemplos EXEMPLO : Ao comprar uma mercadoria de R$ 40,00,, o dono da loja me concedeu descontoo de R$ 5,00. Qual foi o percentual relativo a esse desconto? A proporção entre o desconto e o preço inicial é de 5 40 ou 8. Pa ara sabermoss o percentual, calculamos uma fração equivalente a essa proporção, cujo denominador seja 00. Sendo x o percentual, temos: x = =,5 Assim, concluímos que o desconto foi de,5%. EXEMPLO : O salário de uma pessoa passou de R$ 70,00 para R$ 00,00. Qual o foi percentual do aumento? Como o aumento foi de R$ 0,00, a proporção entre o aumento e o salário era de 0 70 = 7. Sendo x o percentual, temos: x = x = 00 4,85 Portanto, o aumento foi de aproximadamente 4,85%. Observação: A proporção ou o percentual que representa o aumento é chamado de taxa de aumento. Assim, no exemplo acima, a taxa de EXEMPLO : Oferecendo um desconto de 0% para pagamento à vista, a quanto sairia um artigo cujo preço é R$ 48, 00? Desconto de 0% sobre o preço = 0% de 48,000 = 0,0 x 48 = 9,6 Logo, o preço à vista seria de: R$ 48,00 - R$ 9,60 = R$ 8,40 Juros De modo geral, os juros são expressos como uma porcentagem, que é chamada taxa de juros. Assim, há os juros que correspondem à compra de uma mercadoria a prazo, ao atraso de uma conta, ao empréstimo de dinheiro etc. Observe: EXEMPLO 4: PORCENTAGEM E JUROS aumento foi de ou 4,85%. 7 Depositando-se R$ 600,00 numa caderneta de poupança, ao final do mês obtêm-se do rendimento. R$ 600,00 é a quantia principal, também chamada apenas de principal. R$,00 é o rendimento, que foi obtido subtraindo-se 6000 de 6. R$ 6,,00. Calcule a taxaa de porcentagem Devemos calcular a taxa, ou seja, quantos por cento correspondem ao rendimento obtido, R$,00. Vamos escrever a regra de três observando que, se a taxa de porcentagem do rendimento fosse de 00%, então o rendimento seria igual ao principal (R$ 600,00). A taxa x%, procurada, corresponde ao rendimento obtido (R$,,00). R$ % 600,00 00,000 x Nestee caso, a regra de três é direta, pois, aumentando-se o rendimento, a taxa corresponde ente também aumentará. Logo: 600 = 00 x 600. x = x = =,5 Assim, a taxa de rendimento é de,5% %. EXEMPLO 5: Ao vender um imóvel, um corretor ganhou de comissão 5% do valor da venda, recebendo R$..500,00. Qual foi o valor da venda? Vamos organizar os dados: R$.500,00 é o valor da porcentagem recebida; 5% é a taxa de porcentagem; x é o valor da venda do imóvel. R$ % X , x= x= x= O preço de venda do imóvel foi de R$ ,00. EXEMPLO 6 Pedi um empréstimo de R$ 0.000,00 a um banco, que me cobrará 8% de juro mensal. Quanto pagarei de juro? R$ 0.000,00 é o capital; 8% é a taxa de juro; = 4

27 Juro é a quantia que pagarei mensalmente em troca do empréstimo. R$ % 0000,00 00 X 8 Novamente vamos resolver o problema por uma regra de três direta, pois a taxa e o juro variam da mesma forma x CASD Vestibulares = 00 8 x = x = = Pagarei de juro pelo empréstimo R$ 800,00 por mês. EXEMPLO 7: Pedro comprou um eletrodoméstico por R$ 00,00 e pretende pagá-lo em quatro prestações iguais. Consultando uma tabela, o vendedor diz que cada uma das prestações sairá por R$ 7,00. Qual o valor da taxa de juros embutida na compra? Sabendo que R$ 7,00 x 4 = R$ 48,00, temos um aumento de R$ 48,00 sobre o preço à vista, ou seja, um aumento de 48%. Dividindo esse percentual por meses, temos 48 4 =. Portanto, a taxa de juros foi de % ao mês. Nesse exemplo os juros são todos iguais porque foram calculados sobre o mesmo valor (R$ 00,00). EXEMPLO 8: Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 500,00 reais para pagar ao fim de quatro meses. O banco cobra uma taxa de juros de 8% ao mês. Qual será o total da quantia a ser paga por essa pessoa ao final desse período? Juros por mês: R$ 500,00 x 0,8 = R$ 90,00 Total de juros: R$ 500,00 x 0,8 x 4 = R$ 60,00 Total devolvido ao banco: R$ 500,00 + R$ 60,00 = R$ 860,00. Assim, o total da quantia a ser paga por essa pessoa será de R$ 860,00. Os Juros Simples Denominamos juros simples aqueles que são calculados sempre a partir do capital inicial. Os juros simples são, portanto, diretamente proporcionais ao capital e ao tempo de aplicação. Dando nome aos bois: Capital é uma determinada quantia de dinheiro, tomada por empréstimo. Montante é o total a ser pago por essa quantia. No exemplo anterior, o capital foi de R$ 500,00 e o montante foi de R$ 860,00. Há uma fórmula matemática para o cálculo dos juros, que pode ser expressa por: j = C. i. t 00 Onde: j = juro c = capital i = taxa de juro. t = temp. O montante é a soma do capital com os juros calculado: m = c + j Assim sendo, um capital C aplicado a uma taxa i% ao mês, durante t meses, rende juros j. Observação: A taxa i e o tempo t referem-se sempre à mesma unidade de tempo, qualquer que seja ela (dias, semanas, meses, anos,...).. Para efeito de cálculo, o ano é considerado de meses de 0 dias cada um. Os juros compostos Denominamos juros compostos aqueles que são calculados a partir do montante que é a soma do capital inicial com os juros. Os juros usados no Mercado Financeiro são os chamados juros compostos. Observe o exemplo. EXEMPLO 9: Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 00,00 reais, a juros de 0% ao mês. Ao final de um mês, essa pessoa deverá o montante de: J = R$ 00,00 x 0,0 x = R$ 0,00. M = R$ 00,00: 0 = R$ 0,00. Se essa dívida for adiada por mais um mês, haverá um novo acréscimo. Veja: J = R$ 0,00 x 0,0 x = R$,00. M = R$ 0,00 + = R$ 44,00. Esse tipo de juro, calculado ao fim de cada período sobre o montante anterior é chamado de juro composto. Aumentos e descontos sucessivo. Imagine que um produto sofra dois aumentos sucessivos de 0% e 0%. Qual será a taxa de aumento. Muita gente pensa que esse aumento pode ser calculado pela soma dos percentuais (0% + 0% = 50%); no entanto, esse raciocínio é incorreto. Veja o cálculo correto para essa questão. Vamos imaginar um produto que custa R$ 00,00 (podemos comparar com o preço igual a 00, pois é o mesmo que comparar com a unidade); como o primeiro aumento é de 0% sobre R$ 00,00 (0,0 x R$ 00,00 = R$ 0,00) temos um montante de R$ 0,00. Sabendo que o segundo aumento é de 0% sobre R$ 0,00 (0,0 x R$ 0,00 = R$ 6,00), o preço do produto é elevado a R$ 0,00 + R$ 6,00 = R$ 56,00. Portanto, o aumento é de R$ 56,00 sobre um preço de R$ 00,00. E a taxa total é de. 5. = 0,56 = 56%. Vejamos outros exemplos. EXEMPLO 0: O preço de um artigo sofreu dois descontos sucessivos de 5% e %. Qual foi a taxa total de descontos? Já vimos que podemos comparar o preço do artigo com o valor de R$00,00. Com o desconto de 5% sobre R$ 00,00 (0,5 x R$ 00,00 = R$ 5,00), o artigo passa a custar R$ 85,00. Com o segundo 5

28 desconto é de % sobre R$ 85,0 (0, x R$ 85,00 = 0,0), o preço do artigo vai para R$ 74,80. Sabendo que desconto foi de. 5.. = 0,5%. Veja que o preço do artigo passou de 00 reais a 74,80, sofrendo um desconto total de 00-74,80 = 5,0. EXEMPLO : Sabendo que um produto em promoção é vendido com 0% de desconto qual será a porcentagem de aumento com relação ao preço normal? Desconto: 0% sobre 00 = 0,0 x R$ 00,00 = R$ 0,00. Portanto, o produto é vendido a um preço promocional de R$ 00,00 - R$ 0,00 = R$ 80,00. Para retornar ao preço inicial ele deve ter um aumento de R$ 0,00 sobre o valor de R$ 80,00. Ou seja, 0 80 = 4 = 0,5. Assim, a taxa de aumento deverá ser de 5%. À vista ou à prazo? Muitas lojas costumam atrair os consumidores com promoções do tipo: 0% DE DESCONTO À VISTA OU EM DUAS VEZES SEM ACRÉSCIMO No caso de um artigo que custa R$ 00,00, vejamos as opções oferecidas. À vista com 0% de desconto. R$ 00,00 x 0,0 = R$ 0,00. R$ 00,00 - R$ 0,00 = R$ 80,00. O artigo sairá por R$ 80,00. Em duas vezes sem acréscimo. 00 : = R$ 50,0. O artigo sairá por duas prestações de R$ 50,00, cada. Qual a porcentagem da taxa de juros embutida no preço do artigo? Como a diferença entre o pagamento à vista e a prazo é de R$ 0,00, temos. R$ 0,00 80,00 = 4 = 0,5 Portanto, a taxa de juros embutida no preço é 5%. Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Ao vender um objeto por R$ 90,00, uma pessoa obteve um lucro de 0%. Quanto deve ter lhe custado esse objeto? ) Os funcionários de uma empresa foram agrupados em três faixas etárias (A, B e C), que correspondem, respectivamente, às idades de 8 a 5 anos, de 5 a 5 anos e acima de 5 anos. O gráfico abaixo indica o total de funcionários em cada faixa etária. Indique a afirmação errada: a) B tem 50% a mais que A. b) A tem 50% a mais que C. c) B tem 00% a mais que C. d) C tem 50% a menos que A. e) A tem 50% a menos que B e C juntos. )Qual o aumento total correspondente a dois aumentos sucessivos de 0% e 0%. 4)Sabendo que o salário de Pedro passou para R$ 450,00, após um reajuste de 70%, responda: qual era o salário de Pedro antes do aumento? 5)Calcule 8% de 0 centésimos de 0,0 em forma percentual. 6)Calcule 0% dos 40% de 4 milésimos, apresentando o resultado sob a forma de fração irredutível. 7)Um livro que marcava o preço de R$ 600,00, ao ser vendido sofreu uma depreciação de dos 5 de 75%. O livro foi vendido por quanto? 8) Numa cidade de habitantes, 4000 têm menos de 40 anos de idade. Qual a porcentagem dos que têm 40 anos ou mais? 9) Uma casa é comprada por R$45.000,00 e vendida por R$86.400,00. O lucro foi de: a) 8% b) 0% c) % d) 5% e) 8% 0) Uma certa mercadoria, que custava R$,50, teve um aumento, passando a custar R$,50. A majoração sobre o preço antigo é de: a),0% b)0,0% c),5% d)8,0% e) 0,8% ) Em uma promoção numa revenda de carros, está sendo dado um desconto de 8% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$6.000,00, então o preço para pagamento à vista desse carro será: a) R$.0,00 b) R$.0,00 c) R$.0,00 d) R$.40,00 e) R$.50,00 Nível ) O preço de certa mercadoria aumentou de 50%. Para que o preço da mercadoria volte a ser o que CASD Vestibulares 6

29 era antes do aumento, de quanto se deve diminuir o novo preço da mercadoria? ) Um capital é empregado à taxa de 8% ao ano. No fim de quanto tempo os juros simples produzidos ficam iguais a do capital? 5 ) O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$500,00. O salário de Antônio é: a) R$5.500,00 b) R$45.000,00 c) R$4.000,00 d) R$ 4.500,00 e) R$.500,00 4) Um capital C colocado a render juros simples durante 8 meses produziu o montante de R$ 6.000,00. Colocado nas mesmas condições durante anos produziu o montante de R$ 7.000,00. Qual a taxa anual? 5) De certa população, % de seus membros foram afetados por uma doença epidêmica. Das pessoas atingidas pela doença, 0% morreram. Qual a porcentagem da população que morreu vitimada pela doença? a),4% b),8% c),6% d),% e) 0,8% 6) É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a: a) 0,045 de x b) 4% de x c) 40% de x d) 0,004% de x e) 0,4% de x 7) A casa do Sr.Rafael foi adquirida através do sistema financeiro de habitação. A prestação mensal de sua casa aumentou 0%. Mas, por recurso judicial, a partir deste mês, aquele que pagar até o 5 dia útil do mês tem direito a um desconto de 0%. Se o Sr. Rafael pagou sua casa no dia 0(dois), o aumento real sobre a prestação do mês anterior foi de: a) 0% b) 8% c) 6% d) 4% e) % 8) Produção e vendas, em setembro, de três montadoras de automóveis Montadora Unidades produzidas Porcentagem vendida A % B % C.000 X% Sabendo-se que nesse mês as três montadoras venderam dos carros produzidos, o valor de x é: 9) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser o mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a) 0% b) 5% c) 0% d) 5% e) 6% 0) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 0%. Em função disso, o seu preço para o importador é de R$9.500,00.Supondo que tal imposto passe de 0% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o importador? a) R$.500,00 b) R$4.000,00 c) R$5.50,00 d) R$.00,00 e) R$9.000,00 ) Um negociante vendeu um objeto por R$, tendo um prejuízo de % sobre o preço de custo. Qual o preço de custo? ) Jorge vendeu a Carlos sua motocicleta com um lucro de 0% sobre o preço que vendeu. Tendo a moto custado a Jorge a importância de R$6.400, quanto pagou Carlos? ) Uma pessoa adquiriu uma bicicleta por R$4.000 e revendeu com um lucro de 0% sobre o preço de venda. Por quanto a revendeu? 4) Um terreno quadrado de 56 ares de superfície, foi comprado por R$6.400 e logo depois vendido por R$ Pergunta-se: qual o lucro por metro quadrado? 5) A área da superfície de uma esfera cresce 4,04% quando o raio dessa esfera sofre um aumento de: a) % b),5% c),% d) % e),5% CASD Vestibulares 7

30 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULOO VIII OPERANDO COM POTÊNCIAS Operações com potências são muito utilizadas em diversas áreas da Matemática, e em especial no cálculo algébrico. O conhecimento das propriedades operatórias da potenciaçãoo pode facilitar a resolução de cálculos com expressões algébricas, que de outra forma seriam bastante trabalhosos. Para estudar essas propriedades, vamos antes rever algumas definições de potências com expoentes inteiros e bases reais. Potenciação, por definição, é uma forma prática e simples de se representar uma multiplicação de fatores iguais. Na potenciação, o fator da multiplicação chama-se base e o número de vezes que o fator se repete é representado pelo expoente. Por exemplo: 5 x 5 = 5 5² = 5 Onde 5 é a base e é o expoente. Lê-se: 5 ao quadrado. x x = 8 ³ = 8 Onde é a base e é o expoente. Lê-se: ao cubo. x x x = 8 4 = 8 Onde é a base e 4 é o expoente. Lê-se: à 4ª potência. De maneira geral, podemos escrever: a x a x a...x a = a n (a vezes a n vezes) Alguns casos especiais da potenciação: a = a para qualquer a a 0 = se a 0 = se a 0 a -n OPERANDO COM POTÊNCIAS n a Definição: Seja a um número real e n um número natural maior que. Potência de base a e expoente n é o produto de n fatores iguais a a. Representa-se a potência pelo símbolo a n. Assim: a n = a. a. a.. a, para todo n n vezes n vezes Além dessas definições, convenciona-se ainda que: - ² significa - ()² = - (. ) = - 9 e (- )² = (- ). (- ) = + 9 Portanto: - ² (- )² Isso nos leva a concluir que, se a base é um número negativo e está elevada a um expoente positivo, é indispensável o uso dos parênteses. Caso os parênteses não sejam utilizados o resultado encontrado poderá ser incorreto. Vejamos alguns exemplos numéricos aplicação das propriedades vistas até aqui: 7 0 = 6 = 6 - = -4 (-) = +4 - = ² = 9 ( ) = = = 8 ( ) ( ) 8 Para calcular o valor de uma potência, quase sempre precisamos efetuar a multiplicação equivalente. Assim, por exemplo, para comparar duas ou mais potências é necessário conhecer antes os seus valores. Por exemplo: As potências - e (-) - são iguais ou diferentes? - = ² = 9 e (-) - = /(-) = 9 Portanto as duas potências são iguais e podemos escrever: - = (- ) - Qual é a maior 6 - ou -6? - = 6² = ou -6 = -(6.6) = Vimos que 6 - resulta num número positivo e -6 resulta num número negativo. Todo número positivo é maior que qualquer número negativo. Logo: 6 - > -6. Qual é o número menor ( ) 5 ou ( )? e 5 =.... = =.. = 8 Se as frações fossem positivas, a menor seria a que tem o maior denominador, portanto. de Casd Vestibulares Álgebra 8

31 Como as frações são negativas o resultado é ao 5 contrário e teremos como resposta: ( ) > ( ). Sugestão: represente as frações obtidas na reta numérica. Para efetuar operações com potências, também é necessário calcular antes o valor de cada potência. Por exemplo: + = = = 5-49 = 76. = 8. 9 = 7 4 : = 6 : 8 = - Casos especiais de potenciação ) O expoente é zero e a base é um número qualquer diferente de zero: a potência, por convenção, é sempre igual a. Logo a 0 = )O expoente é igual a e a base é qualquer número: a potência é sempre igual à base. Logo: a = a )A base é igual a e o expoente é qualquer número diferente de zero: a potência é sempre igual a. Por exemplo: 5 =... 4)A base é zero e o expoente é qualquer número diferente de zero: a potência é sempre igual a zero. Por exemplo: 0 = )A base é 0 e o expoente é qualquer número diferente de zero: a potência é um número que começa com e tem um número de zeros igual ao expoente. Por exemplo: 0 4 = Propriedades da potenciação Vamos apresentar agora as propriedades operatórias, no caso especial das potências de bases iguais. Nesses casos, podemos resolver a multiplicação sem efetuar as potências e obteremos o resultado em forma de potência. Multiplicação de potências de bases iguais porque CASD Vestibulares. = = vezes 4. = xxxxx vezes 7.7 = 7 = 7 = ( ) 5 Generalizando, para multiplicar potências de bases iguais, repetimos a base e somamos os expoentes. a m. a n = a m+n Divisão de potências de bases iguais 5 4 = = 5.5 = = 7 = 7 5 = 9 = Então, para dividir potências de bases iguais, repetimos a base e subtraímos os expoentes. a m : a n = a m-n Potenciação de potência ( ) = ( ). ( ). ( ) = x = 6 vezes Então, para elevar uma potência a um expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes. (a m ) n = a m.n Distributividade da potenciação em relação à multiplicação ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) =.. =... = x7 ( x ) = = = x ( 5x7) Para elevar um produto a um expoente, elevamos cada fator ao mesmo expoente. (a. b) m = a m. b m Distributividade da potenciação em relação à divisão 7 = 7 7. = vezes 4 4 = = 7 Para elevarmos um quociente (ou uma fração) a um expoente, elevamos o dividendo e o divisor (ou o numerador e o denominador) ao mesmo expoente. 9

32 ( ) m m m m a a b = a b ou ( ) m = m b - Observações Se os expoentes forem inteiros negativos, todas as propriedades já descritas também valem. Lembrar, porém, que nestes casos as bases devem ser diferentes de zero. Aplicações Como já foi dito no início da aula, uma das maiores aplicações das propriedades operatórias das potências de bases iguais está no cálculo algébrico. Foram efetuadas em aulas passadas a adição e a subtração de expressões algébricas. Vejamos nos exemplos, a multiplicação e a divisão dessas expressões e verificaremos o uso constante das propriedades estudadas. 5 0 x. x. x = x y. y + y + = y. y + y. y+ y.= y + y + y ( ) ( xy) = ( ). x. y = 8x y 6 7 ( x ). x 4 = x. x 4= x 4 ( ) ( ) ( ) =. +. = + x x x x x x x x x As propriedades podem ser usadas em expressões numéricas como uma forma de simplificação dos cálculos. Veja: =.. = ( ) CASD Vestibulares = 4 4 = = = = = Curiosidades. De onde surgiu a expressão ao quadrado para expressar um número elevado à º potência? Por exemplo, ². Os nove pontos formam um quadrado de lado com pontos. Por isso dizemos que 9 é o quadrado de.. De onde surgiu a expressão ao cubo para expressar um número elevado à º potência? Por exemplo ³. Na figura estão marcados 8 pontos que formam um cubo de lado com pontos. Por isso, dizemos que 8 é o cubo de. a b EXERCÍCIOS RESOLVIDOS -) Calcular ;(-) ; - Resolução: a-) =..=8 b-) (-) = (-).(-).(-) = -8 c-) = -.. = -8 -) Calcular 4, (-) 4, - 4 Resolução: a-) 4 =... = 6 b-) (-) 4 = (-).(-).(-).(-) = 6 c-) 4 = -... = -6 -) Calcular: ( ),(0,5),(0,) 5 4 Resolução: a-) ( ) =.. = b-) (0,5) = (0,5).(0,5) = 0,5 c-) (0,) 4 = (0,).(0,).(0,).(0,) = 0,000 4-) Calcule (-5) + 0 (-5) =(-5).(-5)=5 - = -.= -9 0 = Assim, (-5) = = 7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Calcular a) b) 0 c) d) 4 e) 0 f) 00 g) (/4) h) 4 5 i) 6 J) (,0) K) ) Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F): a)( ) 4 - = - 6 b)( ) = x c) ( ) x = x d) ( ) - - = 9 ) Qual é o maior ( ) ou ( )? 5 5 4) Calcular: a) (-) b) (-) c) (-) 4 d) (-) 5 e) - f) - 0

33 CASD Vestibulares g) h) 5 5) Calcular: a) 4 0 b) 5 0 c) (-6) 0 d) e) 0 f ) 4 g) ( 4) 0 h)0 0 6) Calcular: a) - b) (-5) - c) - d) e) f ) 5 g) h) 5 i) 7) Calcular: a) x = b) 0 :0 = c) x = d) 0 : 6 = e) (( ) ) = f) (( ) 5 ) 0 = g) = h) = i) 4 4 : 6 = j) 9 5 : = k) 7 :9 = l) 9 : = 8) Calcular: a) 8 / = b) 8 / = c) / 5 = d) 8 / 4 = / 8 5 e) f) 7 8 g) 8 / = h) 6 i) (-7) / = j) 8 / = l) / = / /4 9) Se x = 4, qual é o valor de +x? E qual o valor de -x? 0) Efetue as operações nas seguintes expressões algébricas: a) x. (x + x + x 4 ) = b) (7x 5-8x 4 ) : x 4 = c) (6x + x ) : (-x) = d) (x + y). xy = RADICIAÇÃO Vejamos agora a operação inversa da potenciação, a radiciação. Considere a pergunta: qual é o número que elevado ao quadrado dá 8? Você sabe que 9.9 = 8. Então: 9² = 8 e 8 =9, que se lê: a raiz quadrada de 8 é 9. Definição: Seja a um número real e n um número natural não nulo. O número x é chamado raiz enésima de a se, e somente se, elevado ao expoente n reproduz a. x é raiz enésima de a x n = a Organizamos uma tabela de quadrados para facilitar a determinação da raiz quadrada. Veja: Número Quadrado Veja que, na º linha (a dos quadrados) não aparecem todos os números. Os números que não aparecem não são quadrados e, por isso, não possuem raiz quadrada natural. Por exemplo: não tem raiz quadrada natural. Vejamos agora a inversa do cubo (º potência). Qual é o número que elevado ao cubo dá 7? Vejamos uma tabela de cubos: Número Cubo Assim, podemos responder à pergunta: = 7 e 7 = que se lê: a raiz cúbica de 7 é. a raiz cúbica é a inversa do cubo; o sinal é o radical e o é o índice. Assim como no quadrado, podemos observar que nem todo número natural possui raiz cúbica natural. Por exemplo: 9 não tem raiz cúbica natural. - Existência e notação em R Da definição conclui-se que: determinar todas as raízes enésimas de a é o mesmo que determinar as soluções da equação x n = a.

34 nulos) Conclui-se, então, que: a) a = 0 e n (pertence aos naturais não A única raiz enésima de zero é o próprio zero e é n representada pelo símbolo 0. Logo n 0 = 0, n N* b) a > 0 e n par (e não-nulo) O número a possui duas raízes enésimas. Estas duas raízes são simétricas. A raiz enésima positiva de a, também chamada de raiz aritmética de a, é representada pelo símbolo n a. A raiz enésima negativa de a, por ser simétrica da primeira, é representada pelo símbolo - n a. Exemplo: O número 8 tem duas raízes quartas. A raiz quarta positiva de 8 é representada pelo símbolo 4 8 e vale. A raiz quarta negativa de 8 é representada pelo símbolo e vale -. Assim sendo: As raízes quartas de 8 são e. c) a < 0 e n par (e não-nulo) Não existe raiz com índice n par de número negativo. Exemplo: Não existe raiz quadrada de 9, pois não existe nenhum número real x, tal que x = -9 d) a 0 e n ímpar O número a possui uma única raiz enésima. Esta raiz tem o mesmo sinal de a e é representada pelo símbolo n a. Exemplos: a) O número 8 tem uma única raiz cúbica, que é representada com o símbolo 8 e vale. b) O número 8 tem uma única raiz cúbica, que é representada pelo símbolo - 8 e vale. - Observações n a) No símbolo a dizemos que : o sinal é o radical; a é o radicando; n é o índice da raiz. b) Por convenção, na raiz quadrada, omite-se o índice. Escreve-se, por exemplo, 4 em lugar de 4. - Propriedades Sendo a e b números reais positivos e n um natural não-nulo, valem as seguintes propriedades: CASD Vestibulares a) Radicais de mesmo índice Para multiplicar, mantém-se o mesmo índice e multiplicam-se os radicandos. n a. n b n = ab. Para dividir, mantém-se o mesmo índice e dividemse os radicandos. n a n b = n a b, b 0 b) Para calcular uma raiz de outra raiz, mantém-se o radicando e multiplicam-se os índices. n m a = nm. a, m * c) Calcular a raiz e em seguida a potência é o mesmo que calcular a potência e em seguida a raiz. ( n a ) m = n a m, m d) Multiplicar ou dividir índice e expoente por um mesmo número não altera o resultado. n m np a =. mp. a, m, p * Observação: Mantidas as respectivas restrições, as propriedades apresentadas são válidas também para radicandos negativos, desde que nestes casos o índice seja ímpar. - Potência de expoente racional Seja a um número real positivo, n um número natural não-nulo e m n na forma irredutível. um número racional A potência de base a e expoente racional m n definida por: a = m/ n n Valem para as potências de expoente racional as mesmas propriedades válidas para as potências de expoente inteiro. - Racionalização de denominadores Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais que existem no denominador da mesma, sem, porém, alterar seu valor. Exemplo: Note que a. =. = = ( ) Conclui-se que é igual a denominador racionalizado. m é e possui o

35 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS -) Simplificar 7 Resolução: 7 = 8.9 = 8. 9 =. = = EXERCÍCIOS PROPOSTOS -) Simplificar 54 Resolução: 54 = 7. = 7. = -) Simplificar Resolução: = 4-) Reduzir os radicais 0 Resolução: =. = = = Resposta: 0 e ) Transforme em único radical a expressão. Resolução: Devemos reduzir os radicais dados para o mesmo índice 0 (que é o mínimo comum entree e 5) e em seguida usamos uma das propriedades das raízes. Veja: =. 9 =..9 = 88 6-) Escreva expressão Resolução: 7-) Simplifique Resolução: = = =. = na forma 5 = = = = 4 4 e 5 ao = = 9 de um único radical 0 = = ) Racionalize: 5 8 Sabemos que =.. =.Mutiplicar numerador e teremos: denominador da fração por =. 5 5 = =,logo: = = = = = / /8 = = = = mesmo índice 0 = 0 9 = a = ) Escreva e calcule: a) treze ao quadrado; b) quatro ao cubo. ) Com 5 pontos é possível formarr um quadrado, assim: Se for possível, forme um quadrado desse tipo com: a) 9 pontos b) 0 pontos c) 6 pontos ) Calcule: a) )8 b) 0 c) 8 0 d) 4 e) 0 0 4) Calcule: a) 49 b) 64 c) d) 00 e) 6 5) Calcule: a) 8 b) c) 000 d) 64 e) 0 6) Calcule: a) 8 b) - 8 c) 64 d) 64

36 7) Calculando-se 4 a)-8 b) 9 c) 9 d) 8 e) um número não real 8) O valor de a) 4 b) 5 c) d) 6 e) 7 5 (9) +() 0,8 é:, obtém-se: 9) Simplificando-se o radical +, obtém-se: 5 : a) 4 b) 8 c) 79 d) 4 e) 79 0) A expressão com radicais 8 8+ é igual a: a) b) c) d) 8 ) A expressão é equivalente a: a) 7 b) 4 c) 8 d)5 e) ) Escrever a expressão único radical. na forma de um ) Escrever na forma de um único radical, supondo a>0 e b>0: a). b) a. 4 a c) 5 a b 4) Racionalize o denominador das seguintes frações: a) b) c) 5 d) 5) Calcular o valor numérico da expressão CASD Vestibulares 4

37 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO IX FATORAÇÃOO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Expressão numérica é aquela que apresenta uma seqüência de operações e de números. Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para representarr números desconhecidoss ou para generalizar propriedades e fórmulas da Geometria, por exemplo. As expressões que apresentam letras, além de operações e números são chamadas expressões algébricas e as letras são as variáveis. Todo número natural multiplicado por é igual a elee mesmo. Em linguagem matemática, essa propriedade pode ser escrita da seguinte maneira: x. = x Onde x representa um número natural qualquer. Veja o exemplo: Uma pessoa ganha R$ 0,00 por dia de trabalho. Para calcular quanto essa pessoa ganhará, após alguns dias de trabalho, podemos escrever a expressão algébrica: 0. x, onde x representa o número de dias trabalhados. Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá R$ 0,00 x = R$ 40,00. Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá R$ 0,00 x 0 = R$ 00,00. Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular o ganho dessa pessoa, por meio da multiplicação da variável x que é número de dias trabalhados, é: Ganho= 0.x A expressão algébrica da área de um quadrado de x cm de lado é determinada elevando-see a medida do seu lado ao quadrado. Veja: x Assim, podemos determinar a área de qualquer quadrado por meio da substituição da variável x pela medida do lado do quadrado. Observações: º) Nas expressões algébricas não é usual escrever o sinal de multiplicação, veja: a. x se escreve x. b se escreve ab Área = x² º) Podemos ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda sem variável: xy : expressão com duas variáveis: x e y 5a² b c³: : expressão com três variáveis: a, b e c se 5 : expressão sem variável. Valor numérico Quando substituímos as variáveis de uma expressão por números e efetuamos as operações indicadas, o resultado encontrado é o valor numérico da expressão. O valor numérico da expressão 5x + 4 para x =, por exemplo, é: 5 x + 4 = = 4 Sabendo que a expressão ab representa a área de um retângulo, responda: Qual a área de um retângulo com dimensões a =,5 cm e b = 4 cm. O valor numérico de ab é:,5 x 4 = 0 Logo, a área do retângulo é 0 cm². As expressões algébricas que não apresentam adições e subtrações entre os números e as variáveis, são chamadas de monômios. Por exemplo: 6x, x²y² ab, 0 etc. A parte numérica de um monômio é o coeficiente e a outra parte formada por letras é a parte literal. De acordo com os exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e a parte literal de cada monômio: 6x coeficiente: 6 x ² y² coeficiente: Parte literal: x Parte literal: x ² y² 0 coeficiente 0 parte literal: não tem ab coeficiente: (ab é o mesmo que ab) Parte literal: ab Dois ou mais monômios que possuem a mesma parte literal e coeficientes diferentes são chamados de monômios semelhantes. Para somar ou subtrair monômios eles devem ser semelhantes. Caso contrário a adição e a subtração serão apenas indicadas e não efetuadas. A expressão seguinte é um exemplo de operações com monômios: 4xy + 7xy - 5xy = ( )xy = 6xy Veja outro exemplo: No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos seus lados em cm. De acordo com a figura, vamos determinar a expressão algébrica mais simples (com menos termos) que representa o perímetro desse retângulo. Álgebra 5

38 x + x- O perímetro de um retângulo é calculado somandose as medidas de seus lados: (x + ) + (x - ) = Propriedade distributiva da multiplicação. = 4x + + x - 6 = Propriedade comutativa da adição. = 4x + x = Efetuando-se as operações dos monômios semelhantes. Portanto, a expressão mais simples que representa o perímetro do retângulo acima é 6x - 4. )Escreva a propriedade comutativa da adição, usando uma expressão algébrica. )Responda: a) qual o monômio que ao somar com - x y resulta zero? b) qual o resultado de - a² - 5a²? 4) Escreva a expressão mais simples (reduzida) que possa representar a área da figura: Polinômios Uma expressão formada por adições e subtrações de monômios é chamada de polinômio (poli = muitos). Uma expressão como 4a²² - 7ab + b²² - a²² - ab - b²² é um polinômio formado por seis monômios ou termos. Como existem termos semelhantes nesse polinômio, podemos reduzi-los efetuando as operações indicadas na seqüência: 4a²² - 7ab + b²² - a²² - ab - b²² = 4a²² - a²² - 7ab - ab + b²² - b²² = = a²² - 8ab + 0 = a²² - 8ab A expressão encontrada é chamada de forma reduzida do polinômio, pois as operações com os termos restantes não podem mais ser efetuadas. Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta reduzir seus termos semelhantes. Somando o polinômio x² - 4xy + y² com - x² - xy + 4y², temos: (x² - 4xy + y²) + (- x² - xy + 4y²) = Retirar os parênteses. =x² - 4xy + y² - x² - xy + 4y² = Aplicar a propriedade comutativa. =x² - x² - 4xy - xy + y² + 4y² = Reduzir os termos semelhantes. =x² - 6xy + 5y² = Soma dos dois polinômios. 5) Determine o valor numérico da expressão: x³y² - x² + y³ para x = e y = -. PRODUTOS NOTÁVEIS O cálculo algébrico é uma valiosa ferramenta para a álgebra e para a geometria. Em capítulos anteriores, já vimos algumas operações com expressões algébricas. Neste capítulo, estudaremos alguns produtos especialmente importantes porque aparecem com muita freqüência no cálculo algébrico. Esses produtos são conhecidos pelo nome de produtos notáveis. Produto por ser resultado de uma multiplicação, e notável por ser importantes, digno de nota, que se destaca. Vamos verificar que podemos calcular a área de algumas figuras de maneiras diferentes. Primeiro produto notável Vejamos a área da figura abaixo, cujo lado mede a. No caso da subtração de dois polinômios, temos o exemplo: (- 4ab + 7a) - (- ab + 6a) = Retirando os parênteses e trocando os sinais do º polinômio. = - 4ab + 7a + ab - 6a = = - 4ab + ab + 7a - 6a = = - ab + a Diferença dos dois polinômios. a a Área: a EXERCÍCIOS PROPOSTOS )A expressão x representa um número múltiplo de. Escreva a expressão que representa os múltiplos de 5. Aumentando de b a medida de cada lado desse quadrado, determinamos um quadrado de lado a + b, assim: CASD Vestibulares Álgebra 6

39 Área = (a+b) a b a b o resultado, somando os números e elevando o resultado ao quadrado. No caso de uma soma algébrica, é impossível efetuar a adição, e então temos de usar a regra do produto notável. a b Outra maneira de calcular a área desse quadrado é somando as áreas de cada uma das figuras que o formam. Observe que temos dois quadrados, de lados a e b respectivamente, e dois retângulos iguais, cujas dimensões são a e b: a b a a b b a b EXEMPLO : (x + ) = x +.x. + = x + x + (x +4) = (x) +. (x) = 9x + 4x +6 (a + b) = (a ) +.a.b + (b) = a 4 + 6a b + 9b x x x x + y = +. y + y = + xy + y 4 Segundo produto notável b (a + = a b) Elevar ao quadrado é o mesmo que multiplicar dois fatores iguais. Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. = a + ab+ ab+ b = a + ab+ Somandoo os termos semelhantes. Logo: ( ) a Podemos ainda calcular a quadrado usando cálculo algébrico: a+ b = a+ b. a+ b ( ) ( ) ( a+ b).. a+ b = a ( ) a + ab + ab + ba + b (a + b) = a + ab +b área b + b b desse O segundo produto notável é o quadrado da diferença entre dois termos e é praticamente igual ao primeiro produto, sendo a única diferença o sinal. Vamos calculá-lo: (a-b) = (a-b).(a-b) = a ab ba +(-b) = a ab ab +b = a ab +b Logo: que pode ser lido assim: (a- b) = a ab +b O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do º termo, menos duas vezes o produto do º termo pelo º termo, mais o quadrado do º termo. O trinômio obtido é chamado de trinômio quadrado perfeito por ser o resultado do quadrado de (a + b). Observe novamente esse produto: Portanto, o primeiro produto notável pode ser lido assim: EXEMPLO : (a ) = a.a. + = a 4a + 4 (x y) = (x ) -.x.y + (y) = x 4-4x y + 4y Terceiro produto notável O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do º termo, mais duas vezes o produto do º pelo º, mais o quadrado do º termo. EXEMPLO : O terceiro produto notável pode ser mostrado por meio do cálculo da área de uma figura. Essa área será calculada também de duas maneiras diferentes. Podemos calcular ( + ) de duas maneiras: ( + ) = 5 = 5 ( + ) = = = 5 Encontramos o mesmo resultado nos dois caminhos usados. É claro que, nesse exemplo, não faz sentido usar a conclusão do produto notável, pois, como os termos da soma são números, podemos achar diretamente A área que devemos calcular é a da figura pintada em forma de L que tem três dimensões diferentes a, b e c. Completando as linhas tracejadas, obtemos Álgebra 7

40 um quadrado maior de lado a e um quadrado menor de lado b. A área da figura pintada pode ser calculada fazendose a diferença entre a área do quadrado maior e a área do quadrado menor: Área do L = área do quadrado maior - área do quadrado menor: Área do L = a b Outra maneira para calcular a área do L é decompor a figura em dois retângulos, assim: c x y x y x y + = = x y 4 9 Observações:. Quando se diz o quadrado da soma de dois números, essa sentença é representada algebricamente por (x+y).. Quando se diz a soma dos quadrados de dois números, a expressão correspondente é x + y.. Da mesma forma, o quadrado da diferença representa-se por (x-y) e a diferença entre dois quadrados por x y.. Quarto produto notável O quarto produto notável pode ser mostrado utilizando o primeiro produto notável: Observe na figura anterior, que c = a b Como os dois retângulos têm uma das dimensões iguais (c), vamos colocá-los juntos de maneira a formar um só retângulo de medidas a + b e a - b. (a + b) = (a + b). (a + b) = (a + b)(a + ab + b ) (a + b) = a +a b + ab + ba + ab + b Logo: (a + b) = a + a b + ab +b que pode ser lido assim: comprimento: a + b largura: a b Calculando a área do retângulo, que é igual à área do L, temos: Área do retângulo: (a + b) (a - b) Então: que pode ser lido: (a+b).(a-b) = a b O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do º termo menos o quadrado do º termo. EXEMPLO 4: (x + )(x ) = x = x 4 (x 5y)(x+5y) = (x) (5y) = 4x 5y (a + b)(a b) = (a ) b = a 4 b O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o quadrado do segundo termo vezes o primeiro, mais o cubo do segundo termo. Quinto Produto Notável O quinto produto notável pode ser mostrado utilizando o segundo produto notável: (a - b) = (a - b). (a - b) = (a - b)(a - ab + b ) (a - b) = a - a b + ab - ba + ab - b Logo: (a - b) = a - a b + ab - b que pode ser lido assim: O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo, mais três vezes o quadrado do segundo termo vezes o primeiro, menos o cubo do segundo termo Sexto Produto Notável CASD Vestibulares Álgebra 8

41 O sexto produto notável é a soma de dois cubos e pode ser demonstrado da seguinte maneira: Logo : (a + b) = a + a b + ab + b a + b = (a + b) - a b - ab a + b = (a + b) ab(a + b) a + b = (a + b) [(a + b) ab] a + b = (a + b) (a + ab + b ab) a + b = (a + b) (a - ab + b ) Sétimo Produto Notável O sétimo produto notável é a diferença de dois cubos e pode ser demonstrado da seguinte maneira: (a - b) = a - a b + ab - b Logo : a - b = (a - b) + a b - ab a - b = (a - b) + ab(a - b) a - b = (a - b) [(a - b) + ab] a - b = (a - b) (a - ab + b + ab) a - b = (a - b) (a + ab + b ) Resumindo: Os sete produtos notáveis estudados são:. Quadrado da soma de dois termos: (a + b) = a + ab +b. Quadrado da diferença de dois termos: (a - b) = a - ab +b. Produto da soma pela diferença de dois termos: (a+b).(a-b) = a b 4. Cubo da soma de dois termos: (a + b) = a +a b+ ab +b 5. Cubo da diferença de dois termos: (a - b) = a - a b + ab - b 6. Soma do cubo de dois termos: a + b = (a + b) (a - ab + b ) 7. Diferença do cubo de dois termos: a - b = (a - b) (a + ab + b ) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) Desenvolva (5x+7) (5x + 7) =(5x) +.(5x).(7) + 7 = 5.x x + 49 (5x + 7) = 5x + 70x + 49 (-x + y) = (y - x) = y yx + x 5) Desenvolva (a + b) (a + b) = (a) + (a).b+.(a).b +b (a + b) =.a +..a.b+..a. b + b (a + b) = 8 a + a b + 6ab + b 6) Desenvolva (a - b) (a - b) = a -.a.(b) +.a(b) -(b) = = a -.a..b +.a..b -.b = a - 9 a b + 7ab - 7b EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Desenvolva: a) (x + y) b) (-x y) c) (x y) d) (a-ab) x y x 4y e) + = f) + = 5 g) (x + y) (x y) h) (x + b) (x b) i) (x +y) j) (a + b) k) (x - y) l) (- x - y) m) (-a - 5b) n) (x + y) o) (x xy)(x +xy) y p) x = ) Desenvolva: a) ( a+b) +( a-b) -(-5 a-b) b) (a+) -(a+) c) (a+) -(a-) d) (x+y) -(x-y) ) Sabendo que x + y = 9 e (x + y) = 49 são números inteiros positivos, determine: a) x + y b) xy c) x e y Sugestão: Desenvolver (x + y) e substituir (x + y) e x + y pelos seus valores dados pelo enunciado. 4) Qual o polinômio que somado a: (a + )(a - ) dá (a + ) como resultado? 5)Observe os seguintes trinômios quadrados perfeitos e determine os quadrados correspondentes: a) x + ax + a b) 4x + 4x + 6) Desenvolver: (a+b+c) 7) Desenvolver: ( + + ) = ) Desenvolva (a + 4b) =(a) +.(a).(4b)+(4b) =.a +..a.4.b+4.b (a +4b) = 9a +4ab+6b ) Desenvolva (a -) (a -) = (a). a. + = a 6a + 9 4) Desenvolva (-x + y) CASD Vestibulares Álgebra FATORAÇÃO A palavra fatoração nos leva a pensar em fatores, e, como já sabemos, fatores são os elementos de uma multiplicação. Fatorar um número, portanto, é escrevê-lo na forma de uma multiplicação de fatores. Por exemplo, o número 6 pode ser 9

42 escrito como uma multiplicação de fatores, de várias maneiras: 6 = x 8 6 = 4 x 4 6 = x x x 6 = 4 No caso de uma expressão numérica cujas parcelas têm um fator comum, podemos fatorá-la, assim: 7 x + 5 x = (7 + 5) x Vamos aprender, neste capítulo, a fatoração de expressões algébricas, que é muito utilizada para a simplificação dos cálculos algébricos. Vamos considerar um terreno formado por dois lotes de comprimentos diferentes e de mesma largura: Fatore a²b - 4ab². Os fatores comuns são, a e b. Colocando.a.b em evidência, temos: a²b - 4ab² = ab. (a - b) (divisão feita de cabeça) Para ter certeza de que a divisão foi feita corretamente, você pode fazer a verificação assim: ab (a - b) = a²b - 4ab² Ou seja, foi usada a propriedade distributiva da multiplicação para verificar se a fatoração está correta. Podemos também fatorar as expressões algébricas que são resultados de produtos conhecidos, como os produtos notáveis estudados no capítulo anterior. A expressão a² - b² é resultado do produto (a + b) (a - b); então podemos fatorar toda expressão da seguinte maneira: 4x² - 9 = (x + ) (x + ) (forma fatorada) 6a² - = (6a + ) (6a - ) x² x x 6 - = ( 4 + ). ( 4 ) Podemos calcular a área total do terreno de duas maneiras diferentes: Calculando a área de cada lote e depois as somando. Somando os comprimentos dos dois lotes e calculando diretamente a área total do terreno. As duas maneiras dão o mesmo resultado; portanto, podemos escrever: Área do lote I: ax Área do lote II: bx Comprimento total do terreno: (a + b) Área do terreno: (a + b) x Logo: ax + bx = (a + b) x Portanto, sempre que numa soma de duas ou mais parcelas houver um fator comum a todas as parcelas (como o x em ax + bx), podemos fatorar essa expressão, e esse fator comum será um dos fatores da expressão após ser fatorada. Como fazer para descobrir o outro fator da expressão fatorada? Basta dividir a expressão que vai ser fatorada pelo fator comum. EXEMPLO : Fatore a expressão: xy + 6x. Temos que e x são fatores comuns às duas parcelas. Podemos, então, escrever a expressão assim: xy + 6x = x. ( xy x + 6 x x ) Simplificamos as frações: xy + 6x = x( y + ) Dizemos que o fator x foi colocado em evidência, isto é, em destaque. Na prática, as divisões feitas dentro dos parênteses são feitas de cabeça. EXEMPLO : Os outros dois produtos notáveis resultam em trinômios quadrados perfeitos. Então, sempre que tivermos um trinômio quadrado perfeito podemos fatorá-lo escrevendo-o na forma de um quadrado da soma ou da diferença de dois termos. Por exemplo: x² + 8x + 6 = (x + 4)² x 4 - x² + = (x² - )² EXEMPLO Fatorar x + Utilizando o produto notável já conhecido (soma de cubos) temos: x + = x + = (x+)(x x. + ) EXEMPLO 4 Fatorar x + x + x + Temos que: x + x + x + = (x + ) + x(x + ) Desenvolvendo o produto notável da soma dos cubos temos: x + x + x + = (x+)(x x. + ) + x(x + ) x + x + x + = (x+)( x x. + + x) x + x + x + = (x+)( x x + + x) x + x + x + = (x+)( x + x + ) EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível ) Calcule o valor de fatorando antes a expressão. ) Fatore as expressões algébricas, colocando o fator comum em evidência: a) x² + x b) a²b + 4ab + ab² CASD Vestibulares Álgebra 40

43 ) Verifique se o trinômio x² - x + 64 é um trinômio quadrado perfeito, justificando a resposta. 4) Fatore o trinômio a²x² + ax +. 5) Fatore a expressão x 4-6 e, se ainda for possível, fatore o resultado obtido. Isso quer dizer fatorar completamente a expressão. 6) Simplifique a fração (a² -0a + 5) / (a 5), fatorando antes o numerador da fração. 7) Complete o trinômio quadrado perfeito com o termo que está faltando: x² y² Nível ) Observe as igualdades a seguir: ² + 4² = 5² 7² + 4² = 5² 5² + ² = ² 9² + 40² = 4² Considere a igualdade 7² + x² = y² e com base nos exemplos anteriores, podemos concluir que x + y é igual a: a) 89 b) c) 8 d) 44 e) 96 ) O valor numérico da expressão a 4 a²b² +b 4 para a = 8 7 e b = 9 é um número N tal que: 7 a) <N < 0 b) 0-4 < N < 0 - c) 0 - < N < 0 - d) 0 - < N < 0 - e) 0 - < N < )Se n 0 a expressão (( 0 / ( n n + vale: a) c). (5) / n b) 5 n e) 4. 5 n 4) Fatore x³ + x² - x - 5) Fatore a² + 6a 7 4 n d) 4 )) / n 6) A diferença entre números é 80, e a razão entre suas raízes quadradas é 6. Determinar os números. d) (,,5) e) (,,) x + )Se x é um número real e positivo e ( )² = 7, x x³ + então é igual a: x³ a) b) c) d) e) ) O valor de é igual a: a) 7 b) 6 c) d) e) 4) O valor da soma abaixo é: + ( + ) ( a) b) c) ) ( d) 0 e) ) Efetuando o produto (x +). (x 00 - x 99 + x 98 x x² - x + ), encontramos: a)x 00 b)x 00 + c)x 0 + x 50 d)x 00 + e)x 0 + 6) Ache o valor de 7) Simplifique as frações: a) x + y 4z + xy x 4z 4yz y ( x + y ) z c) x ( y z) 8) Simplifique: + b) x y 4 4 x + y + xy + x y b d) ( + by ) ( y + b ) b a + 4ab+ 6ac+ 4b + bc+ 9c Nível ) A fração 7 pode ser escrita da forma: + ( / (x + / (y + / z))) onde (x,y,z,) é igual a: a) (,,5) b) (,5,) c) (5,,) CASD Vestibulares Álgebra 4

44 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO X LINGUAGEM MATEMÁTICA LINGUAGEM MATEMÁTICA A linguagem é uma forma de expressar determinada idéia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar as idéias: pela linguagem falada, pela escrita, pela musical etc. A Matemáticaa também criou uma forma de comunicação. Ela se utiliza de uma linguagem universal paraa transmitir suas idéias de maneira simples, curta e precisa. Simples e curta porque com apenas alguns símbolos ela pode expressar frases que, se escritas na linguagem corrente, usariam maior quantidade de símbolos. Por exemplo, a frase: Dois somado com três é igual a cinco, se escrita na linguagem matemática, usa apenas cinco símbolos, que podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com símbolos matemáticos: + = 5 Ainda, a linguagem matemática deve ser precisa porque deve indicar uma idéia com precisão, com exatidão, isto é, sem falhas. O Uso de Letras na Matemáticaa Além dos algarismoss e dos sinais de operação (+, -, :,, etc), a linguagem matemática também utiliza letras em sua comunicação. Veja alguns exemplos: EXEMPLO : Considere as multiplicações do número por outros números:. 0 = 0. =. =. = Você já deve ter percebido que o número multiplicado por um número qualquer sempre resulta nesse mesmo número. Daí pode usar uma letra para representar esse fato:. x = x, onde a letra x está representando um número qualquer. EXEMPLO : Considere dois números quaisquer cuja soma seja igual a 5.Esse fato pode ser representado por: a + b = 5, onde a e b representam os números que somados dão 5. EXEMPLO : As propriedades da adição ou da multiplicação também podem ser expressas por letras. É o caso, por exemplo, da propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição o, que você já aprendeu e que pode ser representada por: a x (b + c) = a x b + a x c, onde as letras a, b e c representam números quaisquer. Vejamos agoraa uma outra situação. Observe: = =. Será que esses exemplos são suficientes para afirmar que x + x = x. x? Álgebra Basta escolher um exemplo bem simples para verificar que não o: + não é igual a.. Portanto, como esse fato não é válido para qualquer número, não podemos escrever que x + x = x x. O Uso de Letras na Geometria As letras também podem ser usadas para indicar algumas fórmulas da geometria. Por exemplo: A área de um quadrado pode ser expressa por L², onde L representa o lado desse quadrado. A área de um retângulo pode ser expressa por a x b, onde a e b representam as dimensõess do retângulo. O perímetro de um retângulo pode ser expresso por a + b ou (a + b). A soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer pode ser expressa por (n - ) 80º onde n representa o número de lados do polígono convexo. A Linguagem Matemática e a Resolução de Problemas A linguagem matemática tornou-se, hoje em dia, um instrumento importante para resolver problemas. Com ela podemos traduzir os dados do problema que estão em linguagem corrente, ou seja, podemos equacionar o problema. Nos exemplos seguintes, há uma tabela com o problema em linguagem corrente e sua tradução para a linguagem matemática. No momento, não vamos aprender a resolver equações. Nosso objetivo, agora, é apenas saber o que é e para que serve a linguagem matemática. Veja: Linguagem corrente Uma pessoa tinha uma determinada quantia de dinheiro. No primeiro mês gastou R$ 00,00 No º mês gastou a metade do que sobrou, Ficando com R$ 80,00 Qual era a quantia inicial? Linguagem matemática x Linguagem corrente Linguagem matemática A metade de um x número é igual a 6. = 6 Qual é esse numero? x =? EXERCÍCIOS PROPOSTOS ( x 00 x x =? x 00 x=00+ +( ) + 80 ) 4

45 ) Escreva as seguintes frases em linguagem matemática: a) O dobro de um número. b) O triplo de um número. c) Um número menos sete. d) Metade de um número, mais um. ) Como você escreveria em linguagem matemática as frases seguintes? a) A ordem dos fatores não altera o produto. b) A ordem das parcelas não altera a soma. ) Considere um retângulo cujo perímetro é 0 cm. a) Escreva, em linguagem matemática, uma expressão para representar esse fato. b)dê alguns exemplos para as medidas das dimensões desse retângulo. 4) Complete a frase: Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas metade do preço. Se o preço é x, pagamos... EQUACIONANDO PROBLEMAS Você já percebeu que a Matemática é um excelente recurso para resolver muito dos problemas do nosso dia-a-dia. Mas a Matemática também pode ser vista sob um outro aspecto: o da brincadeira. Problemas que envolvem jogos e desafios lógicos têm contribuído para estimular a inteligência do ser humano ao longo de toda a história. Há registro desse tipo de brincadeiras desde a Antigüidade. Neste capítulo, nós vamos apresentar alguns desses desafios. Certamente, você também se sentirá estimulado a resolvê-los. Afinal, quem nunca brincou de adivinhar? Como descobrir o número pensado por outra pessoa? Essa é uma brincadeira bastante antiga (livros do século XII já faziam referência a esse tipo de jogo como uma atividade comum entre pessoas). Consiste no seguinte: uma pessoa propõe a outra que pense em um número qualquer. Após alguns comandos, a pessoa que propôs o jogo adivinha o número pensado pela outra. Vamos ver um exemplo. Duas pessoas, A e B, estão jogando. A dá alguns comandos para B. Comandos Operações matemáticas *Pense num número *B pensou no número qualquer 5 *encontre seu dobro *some três ao resultado *5 x = 0 *0 + = *triplique o valor * x = 9 encontrado *subtraia 9 do resultado *9 9 = 0 *divida tudo pro 6 *quanto deu? * 0 Este é o número no qual 6 = 5 você pensou! *5 Vamos escrever em linguagem matemática o que ocorreu: Pense um número qualquer: x Encontre o seu dobro:. x = x Some ao resultado: x + Triplique o que você achou:.(x + )=6x+ 9 Subtraia 9 ao resultado: 6x = 6x Divida tudo por 6: 6x : 6 = x Porque esse jogo dá certo? Observe que há comandos que anulam os anteriores, como por exemplo: Achar o dobro e triplicar são anulados pelo comando divida tudo por 6. Os comandos que se anulam são determinados pelas operações inversas. Recordando operações inversas Uma operação é inversa de outra quando desfaz o que a outra faz. A adição e a subtração são operações inversas A multiplicação e a divisão são operações inversas. A potenciação e a radiciação são operações inversas. A pessoa A diz os seguintes comandos para a pessoa B: Pense em um número par. Triplique o número escolhido. Divida o resultado por. Triplique o resultado. Divida o que foi encontrado por 9. Multiplique por. A: O resultado final é o número que você pensou. Vamos ver em linguagem matemática o que ocorreu: Comandos Linguagem matemática Pense em um número par x Triplique o número pensado x. = 6x Divida o resultado por 6x = x Triplique o resultado x. = 9x Divida o que deu por 9 9x = x 9 Multiplique o resultado por x. = Observe que, novamente, foram feitas operações inversas, permitindo que se retornasse ao número pensado inicialmente. Vamos ver agora um problema bastante antigo que pode ser traduzido para a linguagem da álgebra. CASD Vestibulares 4

46 Um cavalo e um burro caminhavam juntos levando no lombo pesados sacos. Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga, quando o burro lhe disse: De que te queixas? Se eu levasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro. Pelo contrário, se te desse um saco, a tua carga seria igual à minha. Qual a carga de cada um dos animais? Vamos equacionar o problema, isto é, escrevê-lo na linguagem da álgebra: Sejam x = a carga do cavalo e y a carga do burro. Linguagem corrente Linguagem matemática Se eu levasse um dos teus x sacos, A minha carga y + Seria o dobro da tua y+ = (x- ) Se eu te desse um saco y - A tua carga x + Seria igual à minha y =x + Temos, então, um sistema com duas equações do º grau: y + = (x - ) y - x = - y - = x + y - x = Resolvendo o sistema, temos x = 5 e y = 7. Logo, a carga do burro era de 7 sacos e a do cavalo, de 5 sacos. Este é um dos mais curiosos problemas que se conhece. E também um dos mais antigos: tem mais de 000 anos! CASD Vestibulares EXERCÍCIOS PROPOSTOS -) Um número, sua metade e sua terça parte somam 77. Qual é o número? -) Pensei num número, multipliquei-o por e ao resultado somei 8, obtendo 0. Em que número pensei? -) Descubra o valor das letras, na conta abaixo, considerando que letras iguais representam o mesmo número: AB + BA = CAC 4-) Que comandos anulam os seguintes comandos? a) Somar 8 e multiplicar por. b) Triplicar e multiplicar por 5. ÁLGEBRA Uma barra de rapadura pesa kg mais meia barra de rapadura. Quanto pesa a barra de rapadura? Hoje, Isabel tem 40 anos e seu filho André tem 8 anos. Daqui a quantos anos a idade de André será igual à metade da idade da mãe? Na figura abaixo, a balança está em equilíbrio e as três melancias têm o mesmo peso. Nessas condições, qual é o peso (em kg) de cada melancia? Em outros capítulos, vimos que, em linguagem matemática, podemos representar um número, uma quantidade ou até mesmo uma frase, usando letras. Agora, vamos aprofundar um pouco mais esse assunto, estudando uma parte da Matemática chamada Álgebra. A álgebra se caracteriza fundamentalmente pelo uso de letras e é uma ferramenta poderosa na solução de muitos problemas. EXEMPLO : A soma de dois números consecutivos é. Quais são esses números? Este é um problema com quantidades pequenas. Por isso, é possível calcular mentalmente que os números são 6 e 7. Mas, como na vida real nós nem sempre trabalhamos com quantidades pequenas, vamos aprender a equacionar e a resolver problemas como esse. Primeiro vamos equacionar o problema: dois números consecutivos: x e x + sua soma é = Agora, vamos resolver a equação: x + (x + ) = x + x + = x + = x + - = x + 0 = x = x = 6 Então x = 6 e x + = 7. Ou seja, os números procurados são 6 e 7. O que é uma equação? Um dos significados apresentados pelo dicionário para a palavra equação é este: qualquer igualdade entre seres matemáticos que só é satisfeita para alguns valores. De um modo mais simples, podemos dizer que toda equação tem: Uma letra que indica um número desconhecido; Um sinal de igualdade (=). A letra é a incógnita da equação. Por exemplo: na equação, x + 5 =, a letra x é a incógnita, isto é, o termo desconhecido. A palavra incógnita significa desconhecida e a palavra equação significa igualdade (o prefixo -equa, em latim, quer dizer igual). Numa equação, a expressão que fica à esquerda do sinal de igual é chamada de º membro e a que fica à direita é chamada de º membro. 44

47 x + 5= º membro Resolver uma equação sem perder o equilíbrio Podemos comparar uma equação a uma balança em equilíbrio. Isso significa que os dois pratos devem estar em equilíbrio. Se alguma coisa for acrescentadaa a um dos pratos, um peso igual deve ser acrescentado ao outro prato, para não se perder o equilíbrio. E o mesmo deve ser feito quando alguma coisa é retirada de um dos pratos. Na balança da figura anterior, as abóboras mais um peso de kg somam um peso igual a 0 kg. Isso pode ser escrito da seguinte maneira: x + = 0, onde x é a incógnita que representa o peso de cada abóbora. Retirando o peso de Kg de um dos pratos, temos que retirar um peso igual do outro prato, que ficará com 8 Kg. Substituindo o peso de 8 Kg por dois de 4 Kg, podemos perceber que cada abóbora pesa 4 Kg. Portanto, x = 4. º membro Traduzindo para a linguagem matemática, fica assim: x + = 0 Subtraindo dos dois membros x + = 0 x = 8 Dividindo por os dois membros x 8 = Uma das etapas na solução de um problema é verificar se a resposta encontrada está correta. Para isso, devemos substituir na equação valor encontrado, no caso x = 4. x + = = = 0 0 = 0 Um pouco de História A palavra Álgebra tem origem na palavra árabe al- de um livro escrito em Bagdá, por volta do ano 85, jabr (às vezes também escrita comoo al-gebr), título pelo matemático árabe Mohammed Al-Khowarizmi: Livro sobre as operações al-jabr e qabalah. O termo al-jabr significa restauração e refere-see à transposição de termos para o outro lado da equação: 6x = x + 8 Subtraindo x dos dois membros 6x x =8 O termo qabalah significa equilíbrio e refere-see à redução de termos semelhantes: 6x - x = 8 4x = 8 x = 8/4 x = Al-Khowarizmi resolvia as equações de modo semelhante a nós. A diferença é que tudo era expresso em palavras. O primeiro matemático a escrever as equações usando letras, por volta de 590, foi François Viète. Por isso, elee é chamado de Pai da álgebra. A partir de então, as equações passaram a ser interpretada como as entendemos hoje: Equação é o idioma da álgebra EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) A soma de dois números consecutivos é.49. Quais são esses números? ) Resolva as equações: a) 4x + = 4 b) 4(x - ) = (x - ) c) x/ = ) Uma caneta custa R$,00 a mais que um lápis. Comprei canetas e 4 lápis e gastei R$,0. a) Escreva uma equação que solucione o problema. b) Qual o valor de cada caneta? c) Qual o valor de cada lápis? 4) Somando 6 ao triplo de um número, o resultado é 4. Qual é esse número? x = 4 45

48 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO XI EQUAÇÕES DO GRAU EQUAÇÕES PARTE I Nos capítulos anteriores, você aprendeu a resolver algumas equações bem simples. Neste capítulo, aprofundaremos o estudo dessas equações. Portanto, é preciso que você saiba o significado: Incógnita de uma equação Membros de uma equação Termos de uma equação A importância do estudo das equações está no fato de que elas facilitam a resolução de certos problemas. Exemplo : Dois pacotes juntos pesam kg. Quanto pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a mais que o menor? um dos pratos, devemos fazer o mesmo com o outro, caso contrário, a balançaa perderá o equilíbrio. Por esse motivo, indicamos a subtração de 6 nos dois membros e a divisão por nos dois membros, quando resolvemos a equação x + (x + 6) =. A equação e a operação inversa Na prática, não costumamos resolver uma equação pensando numa balança, nem fazendo todas as operações. Observe que quando subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima, zeramos o 6 que estava no primeiro membro: x = 6 x = 6 Por isso, dizemos simplesmente que o 6 passa para o outro lado e muda de sinal. Da mesma forma, costumamos dizer que o que está multiplicando um termo no primeiro membro, passa para o segundo membro dividindo. x = 6 x = 6 x = 8 Já vimos que podemos representar quantidades desconhecidass usando a álgebra. Nesse caso, temos: Pacote menor = x Pacote maior = x + 6 Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = Efetuando as devidas equações: x + (x + 6) = Eliminar os parênteses x + x + 6 = Somar os termos semelhantes x + 6 = x = - 6 Subtrair 6 nos dois membros x = 6 x = 8 Efetuar uma divisão por, nos dois membros Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg e do pacote maior é de = 4 kg. A Equação e a Balança As equações têm propriedades semelhantes às transformações realizadas para manter uma balança em equilíbrio. Ao retirarmos 6 unidades de É importante observar que nessa regra de passar paraa o outro lado, está embutido um conceito matemático chamado operação inversa. A operação inversa da adição é a subtração: + 6 virou - 6 A operação inversa da multiplicação é a divisão:. virou / EXEMPLO : Sabendo que o quádruplo de um número somado com 9 é igual ao número somado com 6, descubra qual é esse número. Um número: x Quádruplo do número: 4x Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6 Resolução : 4x + 9 = x + 6 4x - x=6 9 passar + 9 para o segundo membro(fica- 9) e + x para o primeiro membro (fica x). x = - x = - ( divisão é operação inversa da multiplicação) Portanto, o número procurado é -. A Verificação da Solução A verificação da solução é tão importante quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer a verificação, basta experimentar o valor encontrado na incógnita. Veja: 4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 4 (-) + 9 = (- ) = = 5 46

49 Logo,x = - é um valor que torna a equação: 4x - 9 = x 6 verdadeira. Experimente substituir x por qualquer outro valor, e veja o que acontece. A Raiz de Uma Equação A solução de uma equação, isto é, o valor encontrado para a incógnita, é chamado, pela matemática, de raiz da equação. x = - é raiz da equação 4x + 9 = x + 6 EXEMPLO : Uma estante custa três vezes o preço de uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas mercadorias juntas custam R$ 64,00? Equacionando o problema: Preço da cadeira: x Preço da estante: x Equação correspondente: x + x = 64 Resolução: x + x = 64 4x = 64 x = 64 4 = 6 Verificação da raiz: = = = 64 A estante custa R$ 48,00. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível ) Resolva as equações: a) 4x + 8 = x 5 b) a - 4 = a + c) 9y - = - d) 5x - = 8x + 5 ) Verifique se - 7 é raiz da equação: (x + 4) x = x )Invente um problema cuja solução pode ser encontrada através da equação: x - = 6 4) Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é igual a 5. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos mais nova? 5) Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6? 6) Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a? 7) Qual é o número que somado com 5 é igual a? 8) Qual é o número que somado com 6 é igual a -? 9) Uma indústria produziu este ano unidades de um certo produto. Essa produção representou um aumento de 0%, em relação ao ano anterior. Qual a produção do ano anterior? Nível ) Uma nova entre dois números A e B ( A + B) é definida por A@B=. Se X@(X@4) = X, quanto vale X? ) Qual o valor de m para que a equação (m ) x = m seja impossível? ) Determine a para que a equação ax + = x a tenha uma única solução? 4) Calcule r e s na equação rx + = x + s de forma que ela seja indeterminada. 5) Se a equação 4x + m = tem raiz então m vale... 6) O terço e a metade de um número fazem juntos 75. Calcule-os. 7) O dobro de um número, aumentado de sua metade, da sua quarta parte, de uma unidade dá 00. Qual é o número? 8) Um gavião ao passar por um bando de pombas, falou: Bom-dia minhas cem pombinhas! Uma das pombas replicou: Cem pombas não somos, mas se a nós for acrescentada a metade de nós mais você, gavião, cem pombas seremos nós. Quantas eram as pombas? EQUAÇÕES PARTE II Nas equações que estudamos até agora, os coeficientes eram sempre números inteiros. Em muitas situações, porém, precisaremos resolver equações com coeficientes fracionários.por exemplo: x x = 50 Antes de resolvermos esse tipo de equação, devemos igualar todos os denominadores e, em seguida, eliminá-los. Desse modo, transformamos a equação inicial em um equivalente a ela, sem denominadores. Veja, a seguir, algumas situações que deverão ser resolvidas a partir de equações com coeficientes fracionários: EXEMPLO : Um terço do salário de uma pessoa é utilizado para o pagamento do aluguel de R$ 0,00. Qual é o salário dessa pessoa? Escrevendo a equação do problema enunciado, temos:. x = 0 O coeficiente do termo x é e o termo independente (0) é um número inteiro. CASD Vestibulares 47

50 Então, devemos escrever o número inteiro em forma de fração, com denominador igual a : x 00 x = (Igualando os denominadores) = 0 Numa equação, podemos multiplicar os dois membros por um mesmo número, diferente de zero. x. ( ) =. ( 0 ) x =0 Portanto, o salário daquela pessoa é de R$ 0,00. Na prática, essa equação poderia ser resolvida pela chamada multiplicação em cruz: x 00 = x =. 00 x = 0 EXEMPLO : Uma pessoa quer construir uma casa que ocupará 4 de seu terreno, sendo que será reservado para o jardim. Sabendo que ainda sobrará uma área de 75 m², responda: qual a área total do terreno? x Área total do terreno: x Área ocupada pela casa: 4 Área reservada para jardim: x Equação do problema: 4 x + x + 75 = x Igualando os denominadores: x 4x = x (x+ 4x+ 4500) = x (7x ) = x 7x = x 4500 = x - 7x 4500 = 5x x = 4500 x = De acordo com a verificação da solução, substituindo x por 900 na equação, temos: = = = 900 igualdade verdadeira. Logo, a área total do terreno é de 900 m² EXEMPLO : Uma pessoa diz que daqui a 8 anos, a terça parte de sua idade será a metade da sua idade atual. Qual a idade dessa pessoa? Equacionando o problema: Idade atual: x A metade: x Idade daqui a 8 anos: x + 8 A terça-parte: ( x + 8) ( x + 8) Equação do problema: Igualando os denominadores: = x ( x + 8) = x (x + 8) = x x + 6 = x = x - x 6 = x EXEMPLO 4: Determine as medidas de um retângulo cujo perímetro é 4 m, sabendo que o lado menor é igual a / do lado maior. x Lado maior: x Lado menor: Perímetro do retângulo: (x + x ) Equação do problema: x x (x + ) = 4 x + = 4 mínimo) ( 6 x + x ) = 7 8x = 7 x = 9 O lado maior do retângulo mede 9m. O lado menor mede 9 = m Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS )Resolva as equações: a) ( x + ) + ( x 0) = 4 (x + 5) b) - x -0 = 0 (tirando o )Uma construtora vai aproveitar um terreno de.75 m², reservando dessa área para estacionamento. Determine: a) A área ocupada pela construção. b) A área reservada para o estacionamento. CASD Vestibulares 48

51 )Ao receber seu salário, André gastou co om despesas médicas, co m compras diversas e 4 com o aluguel de sua casa. Qual o salário de André se, após pagar todas essas contas, ele ficou com R$ 40,00? 4) Achar o número de alunos de uma classe, se deles está lendo, 4 es stá escrevendo e os 0 restantes estão fazendo contas. 5)Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha, enchê-lo-ia em 7 horas. Em quantos minutos a outra sozinha, encheria o tanque? 6) Um jogador perdeu numa partida do que tinha mais R$ 90,00 na ª perdeu 5 mais R$ 60,00 e na terceira perdeu R$ 60,00, ficando sem nada. Quanto possuía? 7)Uma pessoa gasta 5 do seu ordenado com Nível ) Sejam a e b dois números naturais consecutivos. Calcular o maior deles, sabendo que + =. a b 4 + x x ) Ache o valor de x: x + x = + x 5 x. x ) Um operário faz um serviço em dias e um outro operário faz o mesmo serviço em 4 dias. Em quantos dias os juntos fariam o serviço? 4) Duas estradas de dimensões iguais começam simultaneamente a serem construídas por 5 operários cada uma delas. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno, percebe-se que enquanto uma turma avançou na sua obra, a outra avançou 4 da sua. Quantos operários devem- obras fiquem prontas ao mesmo tempo? 5 se retirar de uma e por na outra, para que as duas despesas e 4 do resto consigo mesmo, economizando mensalmente R$ 4.500,00. Qual o ordenado? 8)Um negociante vendeu a um freguês 5 d as laranjas que possuía mais três laranjas, e a um segundo freguês vendeu das laranjas que possuía 4 inicialmente mais sete laranjas. Quantas laranjas possuía o negociante, sabendo-se que o primeiro freguês recebeu oito a mais que o segundo? 9)Se M é pontoo médio de AB, determine x e m(ab) ). 0) Resolva as equações: ( x 4) a) = ( x ) ( x 5) (xx ) ( a bx) ( b cx) ( c ax) b) + + ( = 0 bc ac ab b² c) = ( ax bx) ( ax + bx) ( a² b² ) 49

52 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO XII SISTEMAS DO º GRAU SISTEMAS DO º GRAU Pedro e José são amigos. Ao saírem do trabalho, passaram por uma livrariaa onde havia vários objetos em promoção. Pedro comprou cadernos e livros e pagou R$ 7,40, no total. José gastou R$,0 na compra de livros e caderno. Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. No dia seguinte, quiseram contar a um terceiro colega sobre suas compras, mas não se lembravam do preço unitário dos livros. Sabiam apenas que todos os livros, assim como todos os cadernos, tinham o mesmo preço. E agora? Será que existe algum modo de descobrir o preço de cada livro ou caderno com as informações que temos? Em capítulos anteriores, você viu que existem equações do º grau com duas incógnitas, como por exemplo: x + y = 5 x - y = x + y = 8 As equações do º grau com duas variáveis admitem infinitas soluções: Observação: Aqui, vamos estudar apenas os sistemas do º grau com duas equações de duas variáveis. Resolução de Sistemas Resolver um sistema é encontrar um par de valores (x e y) que tornem verdadeiras as equações que o formam. Por exemplo, o par (; ) é solução do sistema x y = x + y = 5 Para verificar substituímos os valores x = e y = em ambas as equações: x y = = = (verdadeiro) x + y = 5 + = 5 5 = 5 (verdadeiro) Sim, o par (; ) é solução do sistema, pois torna as equações verdadeiras. O Método da Substituição Esse método de resolução de um sistema consiste em tirar o valor de uma incógnita e substituir esse valor na outra equação. Veja um exemplo: x y = x + y = 5 Observando as tabelas de soluções das duas equações, verificamos que o par (4; ), isto é, x = 4 e y =, é solução para as duas equações. Dessa forma, podemos dizer que as equações x + y = 5 e x - y = formamm um sistema de equações do º grau que admitem uma solução comum. A Matemática utiliza o símbolo { para indicar que duas (ou mais) equações formam um sistema. Veja os exemplos: x + y = 5 x y = 4 x y = x y = 9 x + y+ z = x y = 5 x y z = 4 x+ 5y = x = Escolhemos uma das equações e tiramos o valor de uma das incógnitas, ou seja, estabelecemos seu valor em função da outra incógnita, assim: x y = x = + y Agora, temos o valor de x em função de y e podemos substituir esse valor na outra equação: x + y =5 + y +y = 5 + y = 5 y = 5 y = 4 y = Como x = + y x = + x =. Temos então que o par (; ) é solução do sistema. Qual é Mesmo o Preço do Livro? Releia o problema proposto na introdução deste capítulo e acompanhe sua resolução. Uma etapa importante na solução de um problema é a tradução dos dados em linguagem matemática. Para essa etapa, vamos usar as variáveis x e y em vez de caderno e livro. Organizamos os dados assim: Pedro: livros + cadernos = R$ 7, 40 x + y = 7,40 José: livros + caderno = R$,0 x + y =,0 50

53 Temos, assim, o sistema: x+ y = 7, 40 x+ y =,0 Estabelecendo o valor de y em função de x na º equação, temos: y =,0 - x Substituindo esse valor na º equação: x + (,0 - x) = 7,40 Temos uma equação do º grau, com apenas uma incógnita. Resolvendo essa equação: x +,40 4x = 7,40 -x = 7,40,40 -x = -5 x = 5 Como y =,0 - x y =,0-0 y =,0 Cada livro custou R$ 5,00 e cada caderno, R$,0. Verificação: Pedro:. 5 +.,0 = 5 +,40 = 7,40 José:. 5 +,0 = 0 +,0 =,0 O Método da Adição Esse outro método de resolução de um sistema consiste em somar os termos das equações. Veja o exemplo: x - y = -4 x + y = 9 Somando as equações x y = -4 x + y = 9 + x = 5 x = 5 Veja que quando somamos as duas equações o termo em y se anula. Por que isso ocorreu? Pense! Para obter o valor de y, devemos substituir o valor de x, encontrado em uma das equações: x y = y = -4 -y = y = y = -7 y = A solução do sistema é o par ; Verificação: x y = = -4 - = -4 (verdadeiro) x +y = = = 9 7 = 9 (verdadeiro) Usando um Artifício de Cálculo Vamos resolver o sistema abaixo pelo método da adição: x + y = 4 x + y = CASD Vestibulares Se somarmos as equações do jeito que estão, não conseguiremos anular um dos termos. Por isso, vamos usar um artifício de cálculo: primeiro, multiplicamos a ª equação por +; depois, multiplicamos a ª equação por -. O sistema sofrerá a seguinte transformação: x x + y = 4 6x + 4y = 8 x (-) x + y = -6x 9y = - Agora, podemos somar o sistema: 6x + 4y = 8-6x - 9y = y = 5 y = - Para obter o valor de x, devemos substituir o valor de y em uma das equações: x + y = x + (-) = x = x = 4 x = Portanto, a solução do sistema é o par: (; -). Verificação: x + y =4. +.(-) = 4 6 = 4 (verdadeiro) x + y =. +.(-) = 4 = (verdadeiro) Observação: Você deve ter percebido que o artifício de cálculo, usado para resolver esse sistema, permitiu que a variável x desaparecesse. Isso ocorreu porque a variável x, nas duas equações, ficou com coeficientes simétricos. Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Resolva o sistema por substituição: x + 5y = 0 x + y = ) Resolva os sistemas por adição: a) b) x + y = 0 x - y = -6 5x -y = 7x + y = ) Resolva os sistemas: a) x -y = - x + y = 5

54 b) 4x + y = x -y = - 4) Verifique se o par (; ) é solução para o sistema: 0x - y = 6 x + 5y = 5) Escreva um sistema que corresponda à seguinte situação: Um armário custa o triplo de uma mesa. Os dois juntos custam R$ 0,00. 6) Resolva o sistema do Exercício 5. Nível ) Num quintal há galinhas e coelhos, num total de 8 cabeças e pés. Quantos animais há de cada espécie? ) Tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tens, quando tu tiveres a idade que tenho, a soma das nossas idades será 6 anos. Quais as idades hoje? ) Estando todos irmãos reunidos à mesa, um menino diz: Vejo tanto irmãos quanto irmãs Uma menina diz: Vejo que o número de meus irmãos é o dobro do de minhas irmãs. Quantos são os meninos? E as meninas? Nível ) Resolva o sistema: x + y = - y = - -) Resolva os sistemas: a b c a b c = = = = a) 4 8 b) a+ b+ 4c= 0 a b+ c= 594 c) = = = a b c d abcd = 7680 b c = d) 0 5 b c = CASD Vestibulares 5

55 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA I Você já percebeu que os gráficos são cada vez mais usados na comunicação. Podemos encontrá-los em vários tipos de publicação, expressando as mais diversas situações, como por exemplo, em: Relatórios de empresas Análises governamentais Relatórios de pesquisas Balanços financeiros ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO XIII REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Por isso é tão importante saber interpretar um gráfico. Neste capítulo, vamos estudar mais um tipo de gráfico: o gráfico de uma equação. Em capítulos anteriores, você aprendeu o que é uma equação e como resolvê-la. uma equação do º grau, ou seja, a Agora vai aprender a resolver graficamente representá-la no plano cartesiano. Vamos começar com um exemplo bem simples. EXEMPLO : A soma de dois números é igual a 5. Quais são esses números? Equacionando o problema: Dois números: x e y Equação correspondente: x + y = 5 Existem muitos números que satisfazem essa equação. Esses números são representados pelas variáveis (x e y). Vamos criar uma tabela com alguns valores das variáveis e os respectivos pares ordenados. x 0 0,5, y = 5 x 5 4, 5 4,, (x; y) (0;5) (0,5;4,5) (;4) (,5;,5) (;) (;) (4;) (5;0) (6;-) Como a cada par ordenado obtido corresponde um ponto no gráfico, vamos marcar alguns pontos no plano cartesiano. Observe que todos os pontos do gráfico estão alinhados, portanto, ligando esses pontos, temos uma reta. Essa reta é a representação gráfica da equação: x + y = 5. Como a reta é uma figura geométrica formada por nfinitos pontos, podemos concluir que existem nfinitos valores que satisfazem a equação x + y = 5. A Equação do º Grau Equação do º grau é toda equação que pode ser escrita na forma: ax + by = c, onde a, b e c são os coeficientes, x e y são as incógnitas (ou variáveis) e têm sempre expoente. Observação: As equações do º grau estudadas em capítulos anteriores são equações do º grau com uma variável; já as equações estudadas nesta aula são equações do º grau com duas variáveis. Quantos pontos determinam uma reta? Imagine um plano e um ponto, como mostra a figura: Quantas retas passam por esse ponto? Experimente desenhar! isso mesmo! Se você quiser traçar todas as retas, não vai acabar nunca... No plano, existem infinitas retas que passam por um ponto. Agora, se desenharmos mais um ponto nesse plano, quantas retas, você conseguirá desenhar? Experimente! 5

56 a) x + y = c) x + y = 4 b) y + x = 5 d) x - y = 0 ) Represente num mesmo gráfico as equações: A: x + y = 0 B: x - y = 0 O que você pode concluir observando as retas? ) Observando o gráfico abaixo, responda: Você somente conseguirá desenhar uma reta! No plano, existe apenas uma reta que passa, ao mesmo tempo, por dois pontos. Por esse motivo, podemos dizer que dois pontos determinam uma reta. A Equação do º Grau e a Reta Vamos representar graficamente a equação:x + y = 8. Para isso, precisamos construir uma tabela com os valores das variáveis e os respectivos pares ordenados. (Agora você já sabe: bastam dois pontos, e a reta está determinada). x y = 8 x (x;y) 0 4 (0;4) 7,5 = (;,5) Marcando esses pontos no plano cartesiano, temos: a) Quais as coordenadas dos pontos A, B, C e D? b) No instante em que a reta corta o eixo dos x, qual a abscissa do ponto? c) O que acontece com os valores de y à medida que os valores de x aumentam? 4) Represente num mesmo gráfico as equações: A: x + y = B: x + y = C: x + y = D: x + y = 0 E: x + y = 5 O que você pode concluir observando as retas? 5) Analisando os gráficos abaixo, o que podemos afirmar sobre os valores de y à medida que os valores de x aumentam? A reta que aparece é a reta da equação x + y = 8. Veja algumas consideráveis sobre esse gráfico: A reta corta o eixo dos x no ponto (8; 0); À medida que os valores de x aumentam (crescem), os valores de y diminuem, (decrescem); Utilizando o gráfico, podemos determinar outros pontos que pertencem à reta, como por exemplo, (; ), (4; ), (6; ), (0; -) etc. CASD Vestibulares EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Construa as tabelas e os respectivos gráficos das equações seguintes. Sugestão: use uma folha quadriculada. 6) Invente uma equação do º grau com duas variáveis. Construa o gráfico dessa equação. 7) Represente num mesmo gráfico as equações: x + y = 4 e x - y = O que você concluiu? REPRESENTAÇÃO GRÁFICA II Você já deve ter observado a freqüência com que os gráficos aparecem em jornais, revistas e livros. Usados em diversas áreas de conhecimento, eles facilitam a visualização dos dados e nos permitem uma melhor interpretação dos resultados. 54

57 Já apresentamos vários tipos de gráficos. Agora, faremos uma revisão desses gráficos, por meio de suas construções e interpretações. Gráfico de Segmentos O gráfico abaixo, mostra a variação do consumo de energia elétrica de uma residência, em kwh (quilowatt-hora) entre os meses de janeiro e agosto de 994. Esse tipo de gráfico é feito, geralmente, em papel quadriculado, com duas retas perpendiculares - uma horizontal e outra vertical. Na reta horizontal marcamos os meses em que foram anotados os consumos e na reta vertical marcamos o consumo de cada mês. Os segmentos de reta que ligam o consumo de um mês ao outro tem inclinações diferentes. No período de março a abril, por exemplo, a queda do consumo foi bastante acentuada (de acordo com a inclinação correspondente a esse período, ou seja, para baixo). Sabemos que o consumo de energia elétrica varia em função de vários fatores, por exemplo: o uso de aparelhos elétricos - ventiladores, ferro de passar roupa, chuveiros elétricos, etc. - e o número de pessoas da casa. Baseando-se nas informações da conta de energia, podemos construir um gráfico que nos permite observar a variação do consumo de energia. Gráfico de Barras (ou de Colunas) Esse tipo de gráfico também é utilizado para representar comparações entre elementos semelhantes, da mesma forma que o de segmentos. No entanto, há situações cuja representação fica mais adequada em gráfico de barras: a variação do número de empregados de uma fábrica, por exemplo, num período de cinco anos. Assim, representamos o período numa reta horizontal e o número de empregados numa reta vertical. Tanto o espaço entre as barras quanto à largura delas devem ser iguais. Gráfico de Setores (ou Gráfico Circular) Esse tipo de gráfico é usado para representar as relações das partes de um todo entre si e entre as partes e o todo. Desse modo, quando os resultados de uma pesquisa são marcados em um círculo, que representa o todo (o universo pesquisado), as partes são representadas por setores desse círculo. Para analisar esse tipo de gráfico, precisamos calcular o arco, em graus, relativo a cada uma das partes. Numa pesquisa de opiniões foi feita a seguinte pergunta: Você acha que o brasileiro respeita as leis de trânsito?. O resultado obtido foi o seguinte: Sim : 55% Não: 4,5% Não responderam: 0,5% Para representar esse resultado num círculo, precisamos calcular que parte do círculo representa cada resposta fornecida pela pesquisa. Então, teremos: 55% de 60 = 98 4,5% de 60 = 4, 0,5% de 60 = 7,8 Assim, desenhamos um círculo e marcamos com um transferidor, a partir um ponto inicial P, os arcos calculados: CASD Vestibulares 55

58 Mostraremos, a seguir, um exemplo de gráfico de um sistema de equações do º grau. Esse gráfico pode ser utilizado para resolver problemas que resultam em duas equações, com duas incógnitas. No gráfico cartesiano representaremoss as duas retas que correspondem às equações do sistema e determinaremos sua solução, caso exista. Seja o sistema: x + y = 4 -x + 5y = 0 Faremos as tabelas contendo os pares ordenados (x, y) de cada uma das equações, para representá-las no gráfico: Responda: a) )Quando a velocidade constante é de 80 km/h, quantos quilômetros por litro faz o automóvel? b) E se a velocidade constante for de 0 km/h? c) Qual é a velocidade mais econômica? 4) O gráfico abaixo representa a folha de pagamento do Estado de São Paulo, de janeiro a maio de 995. Esse gráfico facilita a determinação da solução do sistema, que é representada pela intersecção das duas retas, no ponto (0,8). EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Uma famíliaa gasta 0% de sua renda familiar em alimentos, 0% em roupas, 0% em aluguel, 0% em despesas diversas e guarda 0% %. Represente essa situação num gráfico de setores. ) Resolva graficamente o sistema: x + y = 6 x - y =7 ) O gráfico abaixo representa o rendimento de um carro, em função da velocidade desenvolvida. Responda: a) Em que mês a folha de pagamento tem o menor valor? b) Em que mês a folha de pagamento tem o maior valor? c) Em que meses houve aumento na folha de pagamento? d) De quanto foi a diferença dos valores entre os meses de março e abril? 56

59 ÁLGEBRA Nivelamento CAPÍTULO XIV NOTAÇÃO CIENTÍFICA NOTAÇÃO CIENTÍFICA As medidas associadas a certas grandezas podem ser representadas por números gigantescos, como a massa da Lua, estimada em t ou por números minúsculos, como a medida de 0, m das menores bactérias conhecidas. A dificuldade de trabalhar com esses números levou os cientistass a estabelecerem uma notação simplificada para representá-los: a notação cientifica. Por exemplo, o número pode ser escrito da seguinte forma: 7,4x0x0x0x0 x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x 0. Dessa forma, podemos representar a massa da Lua sob a notaçãoo cientifica 7, t. Analogamente, observando que 0, = / ( ) =. podemos representar o 0 comprimento das menores bactérias conhecidas sob a notação cientifica x0-7 m. Todo número decimal não nulo, com infinitas casas decimais, pode ser representado sob a forma K.0 m e, que m é um número inteiro e k é um número real com módulo menor que 0 e maior ou igual a. Essa forma de representação do número é chamada de notação cientifica. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Escreva usando notação científica: a) )000 b) )00, c) )0,000 d) )0, 57

60 GABARITO Nivelamento- Álgebra Cap.I Cap. IV OPERAÇÕES: Organizando os números: ) -,-,-,-4... ) qualquer numero da forma a/b onde a e b são inteiro e a dividido por b seja maior que ex: 5/ ) VVVF 4) -, e -, são exemplos 5) A reta e os números reais: ) VFFVFVF Revendo as operações: Nível : ) 000-( 7+56)=57 ) ) some (00+700)+895=985 ) ((80-40):5)-6= 80-(40:5)-6=66 4) A) 7+ +(60:(-8))= 87 b)((0-).)+=5 5) 7 Nível ) 69 ) 8 ) 467 4) 4 5) 69 6) 96 7) ) 4 Cap.II DIVISIBILIDADE: FRAÇÕES: Operações com frações: Nível : ) 04m ) /0 ) /</ /<5/6<8/9<47/48< < 4) / / / /4 5/ 7/ / /4 /6 5) a) /5 b) /5 c) 7/5 d) /5 6) 7) 5/6 8) a)04/567 b) 9/55 Nível : ) 8/5 Dízimas periódicas: Nível : ) a) 0,... b) 0,5 c) 6,... d) 4,666.. ) a) 0,... b) 0,... c) 0,... ) a) 0, b) 0, c) 0, ) a) / b) 5/ c) 5/9 d) 0/ 5) a) /5 b) 4/9 c) 8/5 d) /99 e) 7/5 f) 60/ 6) a) finita b) finita, c) finita d) infinita não-periódica e) infinita e periódica f) infinita e não-periódica 7) a) racional b) racional c) racional d) irracional e) racional f) racional Nível : ) a) 9/50 b) 5/97 c) 5/ d) 5/57 e) f), g) 000/97 h) 50/7 MDC e MMC: Cap.III Nível : ) a) MMC=0 MDC=5 b) MMC=840 MDC=4 c) MMC=00 MDC=50 Nivel : ) MDC= metros ) MMC= 0 minutos ) 80, 60 4) 5) 4 6) 60 7) m=, n= Cap. V RAZÕES E PROPORÇÕES: Nível I ) A a) b) c) d) / /4 8/ 0/5 (600/7)/00 e) /6 00/( (700/6) B Razão A/B Forma mais simples de A/B 6/7 6/7 6/7 6/7 6/7 ) B ) C 4) B 5) a)5 b) 4 c)5 d)6/ 6) A 7) D 8) e 9 ) C 0) B ) A ) a) /5 b) /5 c) / ) 0,4m 4) 0,50 5) A 6) x=; y=6 z=60 Nível II ) 58

61 : ) 80 e 00 ) ) C REGRA DE TRÊS,, Cap.VI Nível I ) A ) C ) 956,5 4) 5 dias 5) 5 h 6) 968 7) 40 8) 4 9) 0 m 0) 00 ) 7,5 ) 45% Nível II ) 48 m e 60 m ) 5,65 min 5 min 7,5 ) 000 m 4) 0 5) 5 6) 70 dias 7) 4 8) 9) 807 0) $ ) $ 00 ) $.00,00 Cap.IIV PORCENTAGEM E JUROS Nível I ) $ 75,00 ) ) 56% 4) $ 64,70 5) 0,0007% 6) 7) $ 40,00 8) 6% 9) 0) ) Nível II ) 7,4% ) 7 ) 4) 4,7% 5) 6) 7) 8) 80 9) 0) ) $.400,00 ) $ 8.000,00 ) $ 5.000,00 4) 0% 5) Cap.VIII OPERANDO COM POTÊNCIAS ) a) 8 b) 04 c) 7 d) 64 e) 00 f) 0000 g) 9 6 h) 9 4 i) 5 6 j),0404 k) ) a) b) c) d) ) 4) a) 9 b) 7 c) 6 d) e) 9 f) 7 g) 4 9 h) 5) a) b) c) d) e) /4 f) g) h) i) j) h) indefindo 6) a) 4 9 b) c) 8 d) 8 e) 6 f) 75 g) h) i) 9 7) a) b) 00 c) 6 d) 5 e) 64 f) g) 56 h) 5 i) 4 j) 656 k) l) 8 8) a) 9 b) c) d) 7 e) f) 5 4 g) h) 8 i) j) l) ã 9) ; 8; 0) a) b) 7 8 c) d) RADICIAÇÃO ) a) 69 b) 4 64 ) a) í b) í c) í 4 4 ) a) 8 b) c) d) e) ) a) 7 b) 8 c) d) 00 e) 6 5) a) b) c) 0 d) 4 e) 0 6) a) 9 b) 9 c) 4 d) 4 7) 8) 9) 0) ) ) ) a) 7 b) c) 4) a) 5 5 b) c) 4 d) FATORAÇÃO: Expressões algébricas: Cap. IX 5) 85 4 ) 5X ) a+b=b+a ) a) xy b) -7a² 4) x(y-x) 5) Produtos notáveis: ) a) x²+xy+y² b) x²+xy+y² c) x²-xy+y² d) 9a²-6a²b+a²b² e) 4x²/9 xy/+ y²/4 f) 9x²/4+xy/5+6y²/5 g) x²-y² h) 4x²-9b² i) x³+x²y+xy²+y³ j) 8a³+6a²b+54ab²+7b³ k) x³-x²y+xy²-y³ l) -x³-x²y-xy²-y³ m) -8a³-60a²b-50ab²-5b³ n) 4x²+xy+9y² o) x 4-4x²y² p) x²-xy+y²/4 ) a) -a²-ab+b² b) -a²-ª+ c) 9(a²-a+) d) 4xy ) a) 7 b) 0 c) e 5 4) 4ª+8 5) a) (x+a)² b) (x+)² 6) a²+b²+c²+ab+ac+bc 7) Fatoração: Nível : ) 5(6+4+5)=5(+8+5)=75 ) a) x(x+) b) ab(a+4+b) ) não, pois fazendo x²-x+64=(x+a)² a=-6 e a²=64, impossível 4) (ax+)² 5) (x²+4)(x+)(x-) 6) a+5 7) x²-6xy+9y² Nível : ) A ) C ) D 4) (X+)(X-)² 5) (a-)(a+7) 6) 8 e 88 Nível : ) B ) E ) B 4) E 5) E 6) 7) a) ( x + y z ) b) x-y c) ( x + y+ z ) ( x y+ z) ( x y+ z) 8) a+b+c FATORAÇÃO: Cap.X d) b y² CASD Vestibulares 59

62 Linguagem matemática: ) 674 e 675 ) a) x= b) x=5 c) x=0 ) a) seja l=preço do lápis e c= preço da caneta então: I) c=l+ II) c+4l=,0 b) R$,0 c) R$ 0,0 4) x+6=4 logo x= Cap.XI EQUAÇÕES DO º GRAU: Parte I: Nível I: ) a) x=- b) a=5/ c) y= d) x=- ) não é raiz ) --- 4) 0 anos 5) 0 6) /7 7) 6 8) -9 9) Nível : ) 4 ) m= ) a 4) r=, s= 5) m=-/ 6) 90 7) 6 8) 66 pombas Parte II Nível I: ) x=4, y=4/ ) a) a=0,5, b=, c=,5 b) a=64, b=0, c=46 c) a=4, b=0, c=8, d= d) b=4, c= ou b= - 4 e c=- Cap.XIII REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: PARTE I: ) a) A=(4;5), B=(;), C=(0;), D=(-;-) b) y=- c) aumentam 5) a) y aumenta b) y diminui c) y permanece inalterado PARTE II: ) a) 4 km/l b) 7,5 km/l c) 0 km/h obs( os valores do gráfico estão invertidos se considerássemos invertidos teríamos: 8 km/l b) 4,5 km/l c) 60 km/h, o que faz mais sentido). 4) a) fevereiro b) maio c) março e maio d) 45 milhões Cap.XIV NOTAÇÃO CIENTÍFICA: ) a),0x0³ b),00x0² c),0x0-4 d),x0 - ) a) x=7 b) x=-5/7 ) a) 850 m² b) 45 m² ) R$ 480,00 4) 48 alunos 5) 9 horas e 0 minutos 6) R$ 450,00 7) R$ 0.000,00 8) 80 laranjas a² + b² + c² 9) x=5 e m(ab)= 0) a) x=7 b) x = c) /b ab + ac + bc Nível : ) 6 e 7 ) x= ) 8 dias 4) 5 homens Cap.XII SISTEMAS DO º GRAU: NIVEL : ) X=5, Y= ) a) x=, y=8 b) x=, y= ) a) x=-, y= b) x=/, y= 4) (;) é solução 5) seja a e m preço do armário e da mesa 6) a=r$ 90,00 e m=r$ 0,00 Nível : ) coelhoes e 5 galinhas ) e 8 anos ) 4 meninos e meninas a = m a + m = 0 Nivel : CASD Vestibulares 60

63 ÍNDICE Geometria Capítulo I Ângulos Ângulos Capítulo II Polígonos Polígonos Parte I Capítulo III Polígonos Polígonos Parte II Capítulo IV Quadriláteros Quadriláteros Capítulo V Figuras Semelhantes Figuras Semelhantes Capítulo VI Teorema de Tales Tales e a Pirâmide Capítulo VII Teorema de Pitágoras I Pitágoras I Capítulo VIII Teorema de Pitágoras II Aplicação do Teorema de Pitágoras Capítulo IX Círculo Círculo Capítulo X Área de Superfícies Calculando Áreas Capítulo XI A Área de um Circulo Área do Circulo Capítulo XII Calculando Volumes Calculando Volumes Gabarito

64 ÂNGULOS A Geometria Plana estuda as figuras planas que são aquelas figuras que podem ser desenhadas num papel. Então apresentaremos aqui algumas definições que facilitaram o aprendizado da geometria plana. GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO I ÂNGULOS Concluímos que o ângulo de uma volta completa corresponde a dois ângulos rasos ou a quatro ângulos retos e, portanto sua medida é 60. Dividindo-se um ângulo reto em 90 partes iguais, obteremos 90 ângulos de medida º cada, sendo, portanto, º a unidade fundamental da medida de ângulos. Esta unidade pode também ser subdividida em unidades menores. Vejamos a seguir: Sistema de medidas de ângulos: Sistema Graus: Ângulo de um grau (º º) é o ângulo cuja medida é /60 de uma volta completa ou, como vimos, /90 de um ângulo reto. O grau admite dois submúltiplos: o minuto e o segundo. Onde temos º = 60 e = 60. Sistema radianos: A medida de um ângulo no sistema radianos é a razão entre o comprimento do arco que este ângulo determina sobre qualquer circunferência de centro no vértice do ângulo e a medida do raio da referida circunferência. Semi-reta: Um ponto A divide uma reta em duas partes, e estas partes são chamadas de semi-retas com origem A. Segmento de reta: Dados dois pontos distintos, a reunião deles com o conjuntoo dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta. Região convexa: Um conjunto de pontos S é uma região convexa se, e somente se, para qualquer par de pontos A e B de S, o segmento AB está todo contido em S, quando a região não é convexa, ela é chamada de côncava. Ângulos: É a união de duas semi-retas de mesma origem. Simbolicamente: rôs = Or U Os. O ponto O é o vértice do ângulo e as semi-retas Or e Os são os lados do ângulo. Região Angular: É a região determinada pela união do conjunto dos pontos do ângulo com o conjunto dos pontos interiores. Ângulo Agudo: Quando este for menor que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90º. Ângulo Obtuso: Quando este for maior que 90º. Ângulos: Complementares: Dois ângulos são complementares quando a soma das suas medidas é um ângulo reto. É dito que um é complementar do outro. Exemplo: 4 é o complemento de 56 e vice-versa, pois = 90. Classificação dos ângulos Ângulo Raso: Quando seus lados são semi- retas opostas. Sua medida vai ser 80º º. Suplementares: Dois ângulos são suplementares quando a soma das suas medidas é um ângulo raso. É dito que um é suplementar do outro. A metade de um ângulo raso é denominada ângulo reto Exemplo: 48 é o suplemento de e vice-versa, e sua medida é 90. pois 48 + = 80. Geometria

65 Replementares: Dois ângulos são replementares quando a soma das suas medidas é uma volta completa. É dito que um é o replemento do outro. Ângulos congruentes - são aqueles que possuem medidas iguais. Assim, por exemplo, todos os ângulos retos são congruentes, todos os ângulos de medida 60 são congruentes, etc. Ângulos opostos pelo vértice: como o próprio nome indica, são aqueles cujos lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui, a seguinte proposição, facilmente demonstrável: Propriedades: Se tivermos duas retas paralelas cortadas por uma transversal teremos: Ângulos correspondentes congruentes Ângulos alternos congruentes Ângulos colaterais suplementares Bissetriz de um ângulo: A bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice que divide o ângulo em duas partes iguais. Assim, OC é bissetriz do ângulo AÔB AÔC = BÔC. "Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida". OC = bissetriz Todo ângulo possui uma única bissetriz Veja que os ângulos de medidas a e b são congruentes, e, também os ângulos de medidas c e d são também congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. As retas podem fazer entre si diversos valores de ângulos. Existem, porém, dois casos a serem destacados: Retas perpendiculares: são aquelas retas concorrentes (isto é, aquelas que possuem um único ponto em comum) que formam entre si quatro ângulos retos. Se duas retas r e s são perpendiculares, indicamos isso através do símbolo: r s. Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas pertencem ao mesmo plano e não tem interseção. Dadas duas retas paralelas, chama-se reta transversal qualquer reta que intercepte ambas as retas. Dadas num plano, duas retas r e s e uma transversal t, obtemos oito ângulos. Correspondentes: a e e ; b e f ; c e g ; d e h. Alternos externos: a e g ; b e h. Alternos internos: c e e ; d e f. Colaterais externos: a e h ; b e g. Colaterais internos: c e f ; d e e. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ) Dados os ângulos de medidas a = 0º º40'" e b = 8º5'40'', pede-sb. determinar os valores dos ângulos a + Teremos: a + b = 0º40''' + 8º5'40". a + b = 0º + 40' +"+8º+5'+40" a + b =(0º+8º) + (40'+ 5') + ("+ 40") a + b = 48º + 9' '+7" Como º = 60', vem que 9'= 60'+ '= º + ', daí, vem: a + b = 48º + º + '+ 7" Como ' = 60", vem que 7" "= 60"+ " = '+ ", vem: a + b = 48º + º + '+ '+ " a + b = 49º + 4' + " a + b = 49º4'" ) Determine o complementoo do ângulo de medida x = 56º'40": O complemento de um ângulo x é 90º - x. Logo, o complemento do ângulo será: Y = 90º - x = 90º - 56º'40" = 90º - (56º + ' + 40") Y = 90º - 56º - ' - 40" Y = 4º - '- 40" Y = º + º - '- 40" Y = º + 60' - '- 40" Y = º + 8'- 40" Y = º + 7' + ' - 40" Y = º + 7'+ 60" - 40" Y = º + 7'+ 0" Y = º7'0" Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas: a) ( ) Dois ângulos adjacentes têm um lado comum b) ( ) Dois ângulos adjacentes têm um vértice comumm c) ( ) Dois ângulos que têm vértice em comum e um lado em comum são adjacentes d) ( ) A medida do ângulo formado pelos lados não comuns de dois ângulos adjacentes é a soma das medidas dos dois ângulos e)( ) As bissetrizes de dois ângulos opostos pelo vértice pertencem a uma mesma reta Geometria

66 f) ( ) Um ângulo divide o plano em dois subconjuntos g)( ) Se dois ângulos são congruentes então são suplementares h) ( ) Se dois ângulos adjacentes são complementares, então seus lados não comuns são perpendiculares i) ( ) O suplemento de um ângulo agudo é um ângulo obtuso 5) Calcule α (em graus) na figura abaixo, sabendo que r // s. ) Quanto vale o complemento de 8 4? ) Dois ângulos suplementares medem x 40 e x Quanto mede o maior desses ângulos? 4) Qual é a medida do ângulo que é igual ao dobro do seu suplemento? 5) As bissetrizes dos ângulos colaterais internos: a) são perpendiculares b) são paralelas c) formam 60 d) formam 45 e) formam um ângulo cuja medida depende da medida dos colaterais Nível ) Na figura, OX é bissetriz de AÔ B, CÔ A = a e CÔ B = b. Calcule CÔ X. a) a d) a b b a + b b) c) e) b a ) Quatro semi-retas OA, OB, OC e OD formam os ângulos adjacentes AÔB, BÔC, CÔD e DÔA, respectivamente proporcionais aos números,, e 4. As bissetrizes de AÔB e CÔD formam: a-) 6 b) 7 c-) 08 d-)44 e-) 80 ) Seja AÔ B um ângulo e r uma reta do seu plano, que contém O e situada na região não convexa, Sejam OX e OY as bissetrizes dos ângulos agudos que OA e OB formam com r. Se AÔ B = 50, XÔY mede: a-) 5 b-) 45 c-) 55 d-) 65 e-) 75 4) Os ângulos AÔ B, BÔC e CÔD são consecutivos. A diferença entre AÔ B e CÔD é 4. Qual o ângulo que a bissetriz de BÔC forma com a de AÔD? a-) b-) 4 c-) 0 d-) 8 e-) 6) Na figura AEJ = DHI ˆ e CH ˆ D é o complemento de DH ˆ I. Identifique as sentenças verdadeiras. a)( ) AF // GI b)( ) CK _I_ GI c)( ) d)( ) JH ˆ K é complemento de EF DH ˆ I é suplemento de D ˆ IH ˆ K 7) Na figura, onde r e s são paralelos, analise as informações: I - CAB ˆ = ABˆ F II - D AB ˆ + ABˆ F = 80 III - As bissetrizes de CA ˆ B e AB ˆ F são paralelas IV- As bissetrizes de CA ˆ B e DA ˆ B são perpendiculares São corretas: a) nenhuma b) uma c) duas d) três e) todas 8) Na figura, r // s, Então: a) Cˆ = Aˆ b) Cˆ = Bˆ c) Cˆ = Aˆ + Bˆ d) Cˆ = Aˆ Bˆ e) A + B C = 9) Calcule θ em função de â e de bˆ. Sabe-se que OJ é a bissetriz de AOC : a) θ = aˆ + bˆ b) θ = ( aˆ + bˆ ) a ˆ + bˆ c) θ = a ˆ + bˆ 5bˆ aˆ d) θ = e) θ = CASDVestibulares Geometria

67 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO II POLÍGONOS POLÍGONOS PARTE I A regularidade de formas encontradas na natureza tem chamado a atenção do ser humano. Os polígonos são figuras geométricas planas, fechadas por segmentos de reta consecutivos não colineares.podem ser classificados como regulares ou irregulares. No quadro abaixo, apresentamos alguns exemplos. Nomenclatu ura dos Polígonos em Relação ao Número de Lados: lados lados lados lados lados lados Triângulo 9 lados Eneágono Quadrilátero 0 lados Decágono Pentágono lados Undecágono Hexágono lados Dodecágono Heptágono 5 lados Pentadecágo ono Octógono 0 lados Icoságono Os polígonos também podem ser classificados da seguinte forma: Eqüilátero: Tem todos os lados congruentes Eqüiângulo:Tem todos os ângulos congruentes Regular: É eqüilátero e eqüiângulo. O polígono regular mais simples é o Triângulo. Vamos estudá-lo. TRIÂNGULOS Dados três pontos que não estejam na mesma reta, A, B e C, chama-se triângulo a união dos três segmentos AB, BC e AC. Observação: Se você traçar as diagonais dos polígonos anteriores, vai perceber que, em alguns, elas ficam no interior e, em outros, ficam no exterior do polígono. Veja o exemplo: A união do triângulo ABC com os pontos de sua região interior é chamadaa de região triangular. A palavra triângulo é muitas vezes usada com sentido de região triangular. O triângulo é uma figura geométrica muito utilizada em construções. Você já deve ter notado que existem vários tipos de triângulo. vértice lado lado vértice ângulos lado Todas as diagonais no interior do polígono diagonal Pelo menos uma no exteriorr do polígonoo Quando um polígono possui todas as suas diagonais na parte interior, ele é chamado de polígono convexo. E quando pelo menos uma diagonal fica na parte exterior, ele é chamado de polígono não convexo ou côncavo. vértice Para falar dos elementos dos triângulos, a Matemática usa uma convenção universal. Com letras maiúsculas representamos os vértices, pois eles são pontos do plano. E assim temos, por exemplo: C Os pontos A, B e C são os vértices. Os segmentoss AB, BC e AC A são os 0 B são lados. Geometria 4

68 Propriedades: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 80º. A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é 60º. Classificação quanto aos ângulos = Assim, se você conhece dois ângulos de um triângulo, pode sempre descobrir a medida do terceiro ângulo. Vejamos como seria resolvido esse problema usando os mesmos exemplos acima.? = =80 O ângulo cuja medida é desconhecida mede 45º, pois 80º - 5º = 45º que é quanto falta à soma dos outros dois para completar 80º. O resultado é encontrado subtraindo-se de 80º (total da soma) a soma dos ângulos que você já conhece.? 45 Neste exemplo, você não conhece nenhum dos três ângulos, 80 = 60? 0, mas sabe que os três possuem medidas iguais. Basta então dividir o total por. Em qualquer triangulo, cada ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes.? ( ) = = 80-5 = = = 60 acutângulo retângulo Obtusângulo Com um esquadro, verifique, nos exemplos acima, se os ângulos são agudos (menores que o ângulo reto), retos ou obtusos (maiores que o ângulo reto). Veja: O triângulo acutângulo possui os ângulos agudos. O triângulo retângulo possui ângulo reto e ângulos agudos. O triângulo obtusângulo possui ângulo obtuso e ângulos agudos. Classificação quanto aos lados:,5,5 cm,5,5 cm cm Você pode confirmar com a régua as medidas dos lados destes triângulos: O triângulo eqüilátero possui os lados com a mesma medida. O triângulo isósceles possui lados com a mesma medida e o terceiro lado com medida diferente. O triângulo escaleno possui os lados com medidas diferentes. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Use a régua para medir os lados dos triângulos abaixo e classifique-os quanto aos lados. a) b) c-),5,5 ) Num triângulo eqüilátero, quanto mede cada ângulo? Classificação dos triângulos. Como os triângulos não são todos iguais, podemos separá-los em grupos que tenham características comuns, ou seja, podemos classificálos. Usam-se dois tipos de classificação: pelos ângulos ou pelos lados. ) Num triângulo isósceles, os ângulos da base medem 50º cada um. Quanto mede o outro ângulo? 4) Num triângulo isósceles, o ângulo diferente mede 0º. Quanto medem os outros dois ângulos? 5) Determine a medida do terceiro ângulo: CASD Vestibulares Geometria 5

69 9) Verifique se sua conclusão é válida para estes outros exemplos: a) b) 50 a 6) Use o transferidor (ou um ângulo reto qualquer), meça os ângulos e classifique os triângulos quanto aos ângulos: a ) Observe os triângulos abaixo e classifique-os a) quanto aos ângulos e quanto aos lados. b) 45,5 cm 60,5 cm 4 cm 90 5,5 cm ,5 cm c) 4 cm 0 6cm 4 cm 0 0 d) 4 cm cm 5 4 cm cm e) f) ,4 cm cm, cm cm 8) Observe a figura abaixo. O ângulo marcado com a letra a, obtido quando prolongamos um dos lados do triângulo, exemplo: é chamado ângulo externo. Neste 40 a 50 a) Quanto mede a? b) Como você obteve essa medida? c) Que relação ela tem com os ângulos do triângulo? Geometria 6

70 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO III POLÍGONOS POLÍGONOS PARTE II A soma dos ângulos internos de um polígono Num polígono o número de lados é sempre igual ao número de ângulos. Esse processo também pode ser aplicado a outros polígonos convexos, de 7, 8, 9 ou mais lados. Experimente! Fórmula geral: S n = (n-).80 Veja! Paraa um triângulo n = S = (-).80 = 80, como sabemos! Paraa um quadrado n = 4 S 4 = 80.(4-) = 60 Confirme e verifique para mais lados!!!! Você já aprendeu que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 80º. Agora vamos ver como calcular a soma dos ângulos de um polígono qualquer. Os ângulos do hexágonoo regular Observe a figura abaixo: Pentágono (polígono de 5 lados) Vamos desenhar um pentágono convexo qualquer, escolher um de seus vértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostra a figura: Observe que, ao fazermos isso, o pentágono ficou dividido em três triângulos. Como em cada triângulo a soma dos ângulos é igual a 80º, então para calcular a soma dos ângulos do pentágono podemos fazer:. 80º = 540º. Portanto: A soma dos ângulos internos de um pentágono convexo qualquer é igual a 540º. Ela é formada por hexágonos regulares que se encaixam sem se sobrepor ou deixar vãos. A esse tipo de composição costuma-se dar o nome de mosaico. Neste mosaico, cada um dos vértices é vértice de três hexágonos ao mesmo tempo, como mostra a figura ao lado. Todos os hexágonos são regulares, isto é, possui lados e ângulos de mesma medida, o que significa que A = B = C. Além disso, a soma desses três ângulos é igual a 60, ou seja, eles formam um ângulo de uma volta completa: A + B + C =60. Então, cada um desses ângulos é igual a 6 60 = 0º. Hexágono (polígono de 6 lados) Agindo de forma análoga, observamos que as diagonais dividem o hexágono convexo em quatro triângulos: Nesse caso, a soma total é calculada assim: 4. 80º = 70º Portanto: A soma dos ângulos internos de um hexágono convexo qualquer é igual a 70º. Você poderá chegar a essa mesma conclusão de outra maneira. Você acabou de aprender que a soma dos ângulos internos de um hexágono qualquer é igual a 70º º. No caso do hexágono regular, basta fazer 70, isto 6 é, 0º. Atenção! Esse processoo é válido também polígonos regulares. para outros Geometria 7

71 Você já viu que é possível revestir o piso ou as paredes de uma casa com ladrilhos de um único tipo. Podemos revestir uma parede usando, por exemplo, apenas ladrilhos quadrados ou, então, usando só ladrilhos com a forma de hexágonos regulares. Por que não se fazem ladrilhos pentagonais? Será que é possível revestir uma parede usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares? Você pode responder a essa pergunta fazendo o seguinte: recorte em uma folha de papel, vários pentágonos iguais ao que está na figura ao lado. Em seguida, tente ajustá-los como se fossem ladrilhos. Será que você vai conseguir um encaixe perfeito? A divisão não é exata e, portanto, 08 não é divisor de 60. Haverá, então, sobra quando tentarmos encaixar os pentágonos regulares. Logo, não é possível fazer revestimentos usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, como se pode ver na figura acima. Sabemos que é possível revestir uma parede usando apenas ladrilhos quadrados, pois os ângulos dos quadrados se encaixam perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque cada um destes ângulos é igual a 90º, e 90 é divisor de 60. Já sabemos também que é possível revestir uma parede usando apenas ladrilhos em forma de hexágonos regulares, pois os ângulos dos hexágonos regulares encaixam-se perfeitamente, sem que haja sobra. Isso acontece porque cada um desses ângulos é igual a 0º, e 0 é divisor de 60. Portanto, para saber se é possível fazer revestimentos usando apenas ladrilhos com a forma de pentágonos regulares, devemos calcular a medida dos ângulos de um pentágono regular e, em seguida, verificar se essa medida é ou não um divisor de 60. Soma dos ângulos externos de um polígono convexo Observe que a soma dos ângulos internos mais a soma dos ângulos externos é igual a 80º x n, pois em cada vértice a soma dos ângulos é 80º e temos n vértices. Como a soma dos ângulos internos é 80º x (n-). Então a soma dos ângulos externos é 80º x n - 80º x (n-) = 80º x = 60º. Soma = 60º EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Descubra a medida dos ângulos das figuras abaixo. Observe que: a primeira é um pentágono formado por um triângulo eqüilátero e um quadrado; a segunda é um losango formado por dois triângulos eqüiláteros. Lembre-se de que a soma dos ângulos de um pentágono é 540º. Quando um pentágono é regular, todos os seus 5 ângulos são iguais (veja a figura abaixo). E, se a soma desses ângulos de 540º, cada um deles é igual a 540, ou seja, 08º. Vamos 5 verificar então se 08 é ou não um divisor de 60. Temos: ) O losango é um polígono regular? Por quê? ) O octógono é um polígono de 8 lados. Desenhe um octógono, escolha um de seus vértices e trace todas as diagonais que saem desse vértice. Depois, responda às perguntas: a) Em quantos triângulos o octógono ficou dividido? b) A soma dos ângulos de todos esses triângulos é igual à soma dos ângulos desse octógono? c) Quanto dá, então, a soma dos ângulos de um octógono? CASD Vestibulares Geometria 8

72 4) Ao desenhar um polígono, podemos, em geral, escolher um dos vértices e traçar as diagonais que saem desse vértice, como mostram as figuras: Nº de lados Nºdiagonais Número de Soma de que saem triângulos todos os de cada formados ângulos do vértice polígono ) Após preencher a tabela, observe-a com bastante atenção e responda: existe uma relação entre o número de lados do polígono e o número de triângulos formados? Qual é essa relação? 6) Imagine um polígono com n lados, sendo n um número inteiro e maior que. Escolha um de seus vértices e imagine-se traçando todas as diagonais que saem desse vértice. a) Escreva uma expressão que indique o número de triângulos formados nesse polígono de n lados que você imaginou. b) Escreva uma expressão que indique como você poderia calcular a soma de todos os ângulos desse polígono de n lados. CASD Vestibulares Geometria 9

73 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO IV QUADRILÁTEROS QUADRILÁTEROS O quadrado e outros quadriláteros S R T No mosaico acima, podemos identificar figuras bastante conhecidas: o quadrado, de tamanhos diferentes, e o retângulo. duas dois U Outra figura de quatro lados que possui também dois pares de ângulos iguais é o paralelogramo. Note que seus lados opostos são iguais dois a dois, comoo no retângulo. As duas figuras possuem quatro ângulos internos iguais e retos, portanto medem 90º cada um. Além disso, o quadrado tem os quatro lados iguais e o retângulo tem dois pares de lados iguais chamados lados opostos. Vejamos como se representam as observações acima: No quadrado ABCD: AB=BC=CD=AD lados iguais No retângulo opostos iguais EFGH: EF=GH E FG=EH lados E = F = G = H Ân ngulos iguais Veja, agora, um outro mosaico formado por uma figura de quatro lados também conhecida: Essa figura, chamada losango, possui os quatro lados iguais e dois pares de ângulos iguais, os ângulos opostos. No paralelogram mo MNOP: MN= =OP e NO= =MP dois iguais M = O e N = P dois iguais pares de lados opostos pares de ângulos opostos Todas as figuras aqui apresentadas são chamadas de quadriláteros (quadri = quatro e láteros = lados). Vamos conhecer agora um elemento dos quadriláteros que não existe nos triângulos: a diagonal. Diagonal de um quadrilátero é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos. No retângulo ABCD, os vértices não consecutivos são A e C, e B e D. Veja a figura: No losango RSTU: RS=ST=TU=UR lados iguais R = T ângulos opostos iguais S = U ângu ulos opostos iguais Geometria 0

74 Veja um resumo das característicass (propriedades) dessas figuras: Paralelogramo: é todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos. 4 lados iguais X Apenas lados opostos iguais pares de lados opostos paralelos X 4 ângulos iguais X Apenas ângulos opostos iguais X X X Propriedades: Os lados opostos são congruentes Os ângulos opostos são congruentes. As diagonais se cortam em seus pontos médios. X X X X X X Retângulo: Duas diagonais iguais Duas diagonais desiguaiss Diagonais perpendiculares Diagonais que se cortam ao meio X X X Propriedades: Todas as propriedades do paralelogramo As diagonais são congruentes Os quatros ângulos são retos X X X X X Losango: é todo paralelogramo que possui dois lados adjacentes congruentes. Propriedades: Todas as do paralelogramo As diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos internos. As diagonais são perpendiculares Os quatro lados são congruentes Quadrado: é todo quadrilátero que é retângulo e losango. Propriedades: Todas as propriedades de retângulo Todas as propriedades de losango. X X O trapézio não é um paralelogramo, pois é quadrilátero que tem apenas um par de lados opostos paralelos, que chamamos de bases. Veja alguns tipos de trapézio: O trapézio tem os lados AB e CD paralelos, sendo AB a base maior e CD a base menor. Os outros dois lados não são paralelos, mas são iguais, isto é, AC = BD. Esse é o trapézio isósceles que possui os lados não paralelos congruentes.. O trapézio tem o lado EG perpendicular às bases formando, portanto, ângulos retos e G. Esse é o trapézio retângulo que possui um ângulo reto. O trapézio tem os dois lados não paralelos Veja as tabelas. Observe que na ª tabela na ª desiguais, isto é, IL JM. Esse é o trapézio escaleno. coluna aparece uma propriedade comum a todas as Essa classificação dos trapézios tem uma analogia figuras, ou seja, as quatro possuem dois pares de lados (semelhança) com a classificação dos triângulos. opostos paralelos. Por isso, todas elas são chamadas de paralelogramos. Portanto: Os paralelogramos são Soma dos ângulos internos de um quadrilátero quadriláteros que possuem dois pares de lados qualquer opostos paralelos. Já sabemos que em qualquer triângulo a soma Observee que na 4ª coluna da ª tabela aparece a dos três ângulos internos é 80º. propriedade comum às diagonais dos paralelogramos: Um quadrilátero é convexo quando uma das As diagonais dos paralelogramos se cortam ao diagonais fica totalmente no interior do quadrilátero, meio. Geometria

75 como na figura. Quando traçamos uma das diagonais de um quadrilátero, ele fica dividido em dois triângulos: Figuras Geométricas Pontos em comum Diferenças O L N M A soma dos ângulos do triângulo LON, assim como a soma dos ângulos do triângulo LMN. É igual a 80º. Somando-se os ângulos dos dois triângulos, encontramos a soma dos ângulos do quadrilátero. Portanto, 80º + 80º = 60º. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 60º. Nível EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Como se chama o quadrilátero: a) Que possui os lados opostos iguais? b) Que possui somente um par de lados paralelos? c) Que possui os quatro ângulos iguais a 90º? d) Que possui as diagonais iguais cortando-se ao meio? 5)Desenhe em papel quadriculado 4 triângulos retângulos iguais a este: ) Desenhe: a) Um quadrilátero com quatro lados iguais que não seja um quadrado. Diga seu nome. b) Um quadrilátero com quatro ângulos iguais que não seja um quadrado. Diga seu nome. c) Um quadrilátero que tenha somente dois ângulos retos. Diga seu nome. d) Um quadrilátero cujas diagonais cortam-se ao meio, mas não são iguais. 4) Nesta figura quadriculada existe um total de 5 quadrados. Temos um quadrado de x e 4 quadrados de x. Descubra quantos quadrados existem nos seguintes quadriculados: 6) Sabendo que um dos ângulos de um paralelogramo mede 45º, calcule os outros três ângulos. a) Recorte-os. b) Agora desenhe, em papel quadriculado, um quadrado. A medida do lado do quadrado deve ser igual à medida do lado menor do triângulo que você recortou. c) Recorte também esse quadrado. Você construiu um quebra-cabeça com 5 peças. Atividades: Construa com peças do seu quebra-cabeça: um paralelogramo e um retângulo. Registre as soluções encontradas em papel quadriculado. Com peças de seu quebra-cabeça, forme: um paralelogramo e um retângulo. Registre as soluções encontradas em papel quadriculado. Utilizando as 5 peças, tente formar figuras diferentes e registre-as em papel quadriculado. ) Complete a tabela com o que se pede: CASD Vestibulares Geometria

76 Nível )Considere as seguintes proposições: todo quadrado é um losango; todo quadrado é um retângulo; todo retângulo é um paralelogramo; Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira. b) todas são verdadeiras. c) só uma é falsa. d) duas são verdadeiras. e) todas são falsas. -) No retângulo a seguir, o valor, em graus, de é: a)50 b)90 c)0 d)0 e)0 -) No losangoo calcule x. 4-) No paralelogramo a seguir, calcule y. A y B X+60 x-60 D C Geometria

77 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO V FIGURAS SEMELHANTES FIGURAS SEMELHANTES Quando ampliamos ou reduzimos uma figura em uma proporçãoo constante, sem modificar a sua forma, a nova figura e a figura original são chamadas de figuras semelhantes. Observe os quadriláteros abaixo. Eles são semelhantes? paraa simbolizá-la. Dizemos então que K =, ne este exemplo. O que é escala? Em muitos casos, a razão de semelhançaa é chamada de escala. Quando desenhamos a planta de uma casa, observamos a maquete de um prédio ou estudamos um mapa, é comum encontrarmos a palavra escala. Tal comoo na planta do exemplo abaixo. () () () Sim, eles são realmente semelhantes. O quadrilátero é uma redução e o quadrilátero é uma ampliação do quadrilátero. Observee que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas. Confira com um transferidor. Os lados correspondentes foram ampliados ou reduzidos sempre na mesma proporção. De para, reduzimos cada lado à metade do tamanho original. De para, ampliamos cada lado para o dobro do tamanho original. Para que duas figuras sejam semelhantes elas não precisam estar na mesma posição. No exemplo abaixo, todos os quadriláteros são uma ampliação do quadrilátero ABCD original. A D A B B A B C D Esta escala : 00 = 00 signif fica que cada cm da planta equivale, na realidade, a 00 cm ou m na casa de verdade. Você pode verificarr com sua régua que, na planta, a largura da sala é,7 cm e que o comprimento é de, cm. Para encontrarmos as medidas reais da sala, basta multiplicarmos as medidas por 00. A B C C D Medidas da sala na planta Medidas reais da sala C D Largura,7 cm AB AB A razão constante entre lados correspondentes de figuras semelhantes é conhecida em Matemática como razão de semelhança e é comum utilizarmos a letra k BC CD = = BC CD DA = DA = Geometria Comprimento, cm,7 cm 00=40 cm=,4 40 m Obtendo figuras semelhantes Sabemos, então que duas figuras são semelhantes quando as duas condições abaixo são satisfeitas:, cm 00=460 cm=4,6 60 m 4

78 Os ângulos correspondentes têm a mesma medida; As razões entree as medidas de lados correspondentes são iguais. No início deste capítulo, você observou uma maneira de ampliar ou reduzir figuras utilizando papel quadriculado. Vamos mostrar a seguir outro método, também muito utilizado. Se os lados são proporcionais, então os ângulos são iguais e os triângulos são semelhantes;ou Se os ângulos correspondentes são iguais, então os lados são proporcionais e os triângulos são semelhantes. Podemos então verificar apenas uma das condições paraa conferir se dois triângulos são semelhantes. Mas, não esqueça, isto só ocorre com triângulos. EXERCÍCIOS PROPOSTOS -) Num mapa de guerra a escala era : No mapa, o alcance do míssil era de 00 cm. Qual o alcance real do míssil em quilômetros? -) Um jogador de basquetee mede,04 m. Para fazer propaganda de seu time, fabricaram miniaturas do jogador. A escalaa é :. Quanto mede a miniatura? -) Num banheiro retangular, é preciso trocar os azulejos do box. O box ocupa do 4 banheiro. O banheiro mede 6 m². Na planta, o banheiro está na escala : 0. Quanto mede o box na planta? Este método pode ser utilizado para qualquer figura e o ponto O pode estar em qualquer posição. Confira nos exemplos a seguir: O está dentro da figura. O está em da figura. um dos vértices Para você saber mais Vimos que duas condições devem ocorrer, ao mesmo tempo, para garantir a semelhança entre figuras. No entanto, um caso muito especial de semelhança ocorre quando as figuras são triângulos, pois basta verificar apenas uma das condições, pois a outra ocorrer automaticamente. Veja: Geometria 5

79 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO VI TEOREMA DE TALES TALES E A PIRÂMIDE O filósofo e matemático Tales nasceu na cidade de Mileto, na Grécia antiga, por volta do ano 5855 a.c. Há muitas lendas e histórias sobre ele. Diz-se que, ao ser interrogadoo sobre o que era difícil, Tales respondeu: Conhecer a si mesmo. O que era fácil: Ser dirigido por outro. Agradável: Seguir a própria vontade. Divino: Aquilo que não tem começo nem fim. Tales passava grande parte do tempo viajando, como era comum aos sábios daquela época. Em uma de suas viagens ao Egito, passou a ser prestigiado pelo faraó Amâsis por ter medido a altura de uma pirâmide sem precisar escalá-la. Para isso, Tales fincou uma estaca verticalmente no chão. Concluiu que, no momento em que o comprimento da sombra da estaca fosse igual ao comprimento da estaca, a altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide mais metade da medida da base. A altura da pirâmide é a distância do vértice V à base. Observe a figura abaixo: a altura é a medida do segmento VH.. Os raios solares são paralelos. E, nesse caso, Tales também sabia que os ângulos de incidência dos raios solares num mesmo instante tinham todos a mesma medida. Tales imaginou um triângulo formado pela altura da pirâmide, a metade da base mais o comprimento o da sombra da pirâmide e um raio solar ligando o vértice da pirâmide ao final da sombra, como mostra a figura acima. Imaginou também um outro triângulo formado pela estaca, sua sombra e um raio solar. Esses dois triângulos imaginários tinham, cada um deles, um ângulo reto e um ângulo de mesma medida (a). Nesse caso, Tales sabia que as medidas dos lados desses triângulos eram proporcionais. Então: VH HP = AB BC Tales e a Matemáticaa Para medir a alturaa da pirâmide, Tales baseou- então seus lados correspondentes formamm uma se em alguns fatos:. Quando dois triângulos têm os ângulos iguais, proporção. Com esse método, Tales inaugurou o processo de medida indireta, muito utilizado ainda hoje na astronomia e na medição de distâncias que aparentemente não podemos alcançar, como a altura de montanhas, árvores e monumentos ou a largura de grandes rios e lagos. O Teorema de Tales São atribuídas a Tales muitas descobertas geométricas, entre as quais um teorema com seu nome. Veja o que diz esse teorema: a x b = = y c z Duas retas, m e n, cortam três retas paralelas a, b e c. Nessas condições, os segmentos de medidas x, y e w são proporcionais. Geometria 6

80 Assim: x = z y w Uma aplicação do Teorema de Tales Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura: Outras descobertas geométricas atribuídas a Tales O diâmetro divide o círculo em duas partes iguais. ângulos opostos pelo vértice tem medidas iguais. Os ângulos da base de um triângulo isósceles tem medidas iguais. O ângulo inscrito numa semicircunferência é o reto. Representando por x a medida que desejamos calcular e usando o Teorema de Tales, podemos descobrir essa medida sem efetuar medições. Como as laterais são paralelas, temos: 0 x = 0 4 E, fazendo uma simples regra de três: 0. x = 0. 4 x=6 Assim, sem efetuar medições, concluímos que o dos fundos do lote B mede 6 metros. lado EXERCÍCIOS PROPOSTOS Uma forma mais geral do Teorema de Tales Considere um feixe de retas paralelas com duas transversais, como mostra a figura a seguir. Os segmentos de medidas a, b, c, d e x, y, w, z, determinados nas retas transversais, formam segmentos proporcionais: -) Nas figuras abaixo, calcule o valor de x (as retas a, b e c são paralelas). a b = x y c d = = w z Geometria 7

81 ) A planta abaixo mostra as medidas de dois terrenos. Calcule as medidas de suas frentes, sabendo que as laterais são paralelas e que a medida de AB é 90 metros. ) Observe o desenho abaixo e descubra qual deve ser o comprimento da ponte. 4- A imagem de uma foto é, em geral, semelhante ao que se vê na realidade. Imagine que o desenho abaixo seja uma foto. Que proporção você pode estabelecer entre a altura do coqueiro, a altura da pessoa e suas respectivas sombras? CASD Vestibulares Geometria 8

82 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO VII TEOREMAA DE PITAGÓRAS I PITAGÓRAS I O triângulo retângulo Um triângulo que tem um ângulo de 90º (ângulo reto) é chamado de triângulo retângulo. Nele, os lados recebem os seguintes nomes: Usando a semelhança de triângulos, podemos demonstrar o Teorema de Pitágoras, bem como aprender outras relações métricas entre os lados de um triângulo retângulo. Considere o triângulo ABC cujos catetos são b e c e a hipotenusa é a. A hipotenusa é o maior dos lados e é o lado oposto ao ângulo reto. Trace a altura (AH) relativa a hipotenusa. Determinando o ponto H e os segmentos m e n, podemos observar que a = m + n. Pitágoras e o triângulo retângulo Dessee modo, obtivemos três triângulos semelhantes, ou seja, triângulos que possuem os três ângulos iguais. Para facilitar as conclusões, desenhe os três triângulos sobrepostos, como indica a figura: a h m C I Pitágoras percebeu que, construindo um quadrado sobre cada um dos lados de um triângulo de lados u, 4u e 5u (sendo u uma unidade qualquer), como mostra a figura acima, apareceriaa a seguinte relação: A área do quadrado formado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados formados sobre os catetos. No exemplo acima, você poderá observar que: 5 = O Teorema de Pitágoras Para Pitágoras, não bastava que essa relação fosse válida para o triângulo de lados, 4 e 5. Era preciso provar que a relação valia, também, para todos os triângulos retângulos. Assim, ele deduziu o Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. A II III b Assim: Triângulo I semelhante ao triângulo II II, logo: b c a = =, de c a = temos c = a.n h n c n c O quadrado do cateto maior é igual ao produto da hipotenusa pela projeção dessee cateto sobre hipotenusa. Triângulo I semelhante ao triângulo III, logo: h b m = c a = de b a = temos b = a.m h b m b que pode ter a seguinte interpretação: n c a c B Geometria 9

83 O quadrado do cateto menor é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre a hipotenusa. Triângulo II semelhante ao triângulo III, logo: h n c = = m h b de h = n m h temos h = m. n que pode ter a seguinte interpretação: 4) Usando as relações métricas no triângulo retângulo, calcule as medidas indicadas na figura: O quadrado da alturaa relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Somando a º e a º relação membro a membro, temos: c + b = a.n + a.m Aplicando a propriedade distributiva, c + b = a.(n + m) como m + n = a, chegamos ao Teorema de Pitágoras: c² + b ² = a ² 5) Calcule a altura e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, no triangulo retângulo de catetos cm e 6 cm. 6) Dado um triângulo eqüilátero de lado a, calcule a sua altura. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) Aplicando o Teorema de Pitágoras, verifique se são retângulos os triângulos que têm estas medidas de lados: a) 6 cm, 8 cm e 0 cm c ) 4 cm, 5 cm e 6 cm b) 7 cm, 9 cm e 0 cm d) cm, cm e 5 cm ) Desenhe um triângulo retângulo e construa triângulos retângulos e isósceles sobre seus catetos e sua hipotenusa, conforme este modelo: Em seguida: a) calcule a área de cada um dos triângulos desenhados sobre os catetos e sobre a hipotenusa; b) some as áreas dos triângulos desenhados sobre os catetos e compare com a área do triângulo desenhado sobre a hipotenusa. O que você concluiu? ) A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede m. Se a hipotenusa mede 5m, calcule o comprimento dos catetos. Geometria 0

84 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO VIII TEOREMA DE PITAGÓRAS II O Teorema de Pitágoras se aplica a todos os triângulos retângulos. Portanto, uma maneira rápida e simples de saber se determinado triângulo é retângulo quando conhecemos apenas as medidas de seus lados é aplicar o Teorema de Pitágoras. EXEMPLO : Verifique se o triângulo cujos lados medem 0 cm, 4 cm e 6 cm é retângulo. Elevando ao quadrado as medidas dos dois lados menores, os catetos, e somando os resultados, temos: 0² + 4² = = 676 Elevando também ao quadrado a medida hipotenusa: 6² = 676 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITAGÓRAS Verificamos que: 6² = 0² + 4². Logo, este triângulo é retângulo. Veja, agora, outras aplicações do Teorema de Pitágoras. EXEMPLO : O lado de um quadrado mede 5 cm. Quanto mede a diagonal desse quadrado? da Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para determinar o valor de d (medida da diagonal): d²= 5² + 5² d² = d² = 50 d 50 é = 50 O resultado é um número irracional: tem uma infinidade de casas decimais sem ser periódico. Não existe nenhum número natural que elevado ao quadrado seja igual a 50. Portanto, o resultado do problema ficará indicado por 50. Usando a máquina de calcular, obtemos um resultado aproximado com duas casas decimais. A diagonal do quadrado de lado 5 cm é igual a 50 ou 7,07 cm, aproximadamente. EXEMPLO : Num losango, as diagonais medem 6 cm e cm. Determine a medida do lado do losango. O losango é um quadrilátero que possui os quatro lados iguais. Suas diagonais são diferentes entre si e perpendiculares, isto é, cortam-se ao meio formando quatro ângulos retos. Você já sabe que a diagonal do quadrado é o segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos. Não se esqueça também de que o quadrado tem os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos. Ao traçar uma diagonal, o quadrado fica dividido em dois triângulos retângulos iguais. A diagonal é a hipotenusa, e os lados do quadrado, os catetos. d 5 cm Observe na figura acima que, ao se cruzarem, as diagonais dividem o losango em quatro triângulos retângulos. Em cada um deles os catetos medem 8 cm e 6 cm, pois cada cateto é a metadee de uma diagonal. Veja que chamamos a hipotenusa do triângulo de x, apresentando a medida do lado do losango que vamos calcular. Aplicando Pitágoras, temos: x²= 8² + 6² x² = x² = 00 x x = 0 Logo, o lado do losango mede 0 cm. x= 00 Na triângulos. 5 cm figura abaixo, destacamos um dos Assinalamos a diagonal com a letra d. EXEMPLO 4: Um triângulo isósceles tem 6 cm de altura e cm de base. Determine a medida dos outros dois lados. Geometria

85 6 x 6 Vamos lembrar que o triângulo isósceles possui dois lados iguais e um diferente, chamado base. Quando traçamos a altura do triângulo em relação à base ela forma dois triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a altura (6 cm), o outro mede metade da base (6 cm) e a hipotenusa é um dos lados iguais do triângulo isósceles, cuja medida é desconhecida (x). Assim, aplicando Pitágoras: x² = 6² + 6² x² = x² = 9 x = 9 A medida dos lados iguais do triângulo isósceless é 9 cm ou 7,08 cm aproximadamente. EXEMPLO 5: ) As diagonais de um losango medem 8 cm e 4 cm. Calcule a medida do lado desse losango. 4) Calcule a medida da diagonal de um retângulo cujos lados medem 6 m e 7 m. 5) Calcule a medida da diagonal do quadrado cujo perímetro mede 4 cm. 6) As diagonais de um losango medem 6 m e 8 m. Qual é o perímetro desse losango? Nível -) Determinee o valor de x: Num triângulo eqüilátero cujo cm, quanto mede a altura? lado mede 8 X + X x 4 cm 8 cm 8 8 cm Da mesma forma que no triângulo isósceles, ao traçarmos a altura formam se dois triângulos retângulos iguais, onde um dos catetos é a altura (x) que não conhecemos a medida, o outro mede metade do lado (4 cm) e a hipotenusa é o lado do triângulo eqüilátero (8 cm). Aplicando o Teorema de Pitágoras: 8² = x² + 4² 64 = x² = x² = x² x = = 48 A altura do triângulo retângulo de lado 8 cm portanto, 48 cm ou 6,9cm aproximadamente. é, EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível ) Verifique se o triângulo cujos lados medem cm, cm e 5 cm é um triângulo retângulo. ) Aplicando o Teorema de Pitágoras, determine as medidas indicadas: Geometria

86 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO IX CÍRCULO CÍRCULO Quando falamos em círculo, ninguém tem dúvida quanto ao formatoo dessa figura geométrica. No entanto, em geometria, costuma-scírculo e circunferência, sobre a qual você já deve ter ouvido falar. A fazer uma pequena distinção entre superfície de uma moeda, de uma pizza ou de um disco é um círculo. Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contornoo é chamado circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observe que o diâmetro é sempre a corda maior: como é a corda que passa pelo centro, sua medida é igual a duas vezes a medida do raio. Veja a figura: Circunferência: É um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano (o centro) é igual a uma distância (raio) não nula dada. Círculo: É um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado (centro) desse plano é menor ou igual a uma distância (raio) não nula dada. O compasso é um instrumento utilizado para desenhar circunferências. Como você pode ver na figura abaixo, o compasso possui duas pernas. Uma delas tem uma ponta metálica, que deve ser assentada no papel, no local que será o centro da circunferência. A outra ponta, com o grafite, deve ser girada para obter o traçado da circunferência. d =.r Assim, se você precisar medir a maior distância entre dois pontos de uma circunferência, deve medir o diâmetro, ou seja, o seu instrumento de medida (régua, trena ou fita métrica) deve passar pelo centro da circunferência. Em alguns casos, porém, apenas uma parte da circunferência é utilizada. Esta parte da circunferência, delimitada por dois pontos quaisquer, é chamada arco de circunferência. P Q Antes de traçar uma circunferência, devemos decidir qual será a abertura entre as pernas do compasso. A distância entre as duas pontas do compasso define o raio da circunferência. Agora, pegue um compasso e trace uma circunferência. Repare que todos os pontos da circunferência que você riscou no papel estão a uma mesma distância do centro. Essa distância é o raio. Com essas informações, você consegue improvisar seu compasso. Utilizando uma tachinha, um barbante e um giz você pode riscar uma circunferência no chão ou no tecido. Algumas definições importantes Raio: é um segmento onde uma extremidade está no centro e a outra está na circunferência. Corda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. Geometria Para simbolizar a corda que une os pontos P e Q, utilizamos a notação de segmento de reta, ou seja, corda PQ. Por outro lado, o arco também começa em P e termina em Q, mas, como você pode ver, a corda e o arco são diferentes e por isso a simbologia também deve ser diferente. Para o arco, usamos PQ. É importante notar que, em geral, quando dizemos o arco P PQ, estamos nos referindo ao menor arco entre estes dois pontos. Portanto, da mesma forma que a maior corda é o diâmetro, o maior arco P PQ é aquelee que tem as extremidades em um diâmetro. Esse arco é chamado semicircunferência, e a parte do círculo correspondente é chamada semicírculo.

87 semicircunferência AB diâmetro AB O comprimento da circunferência Quanto maior for o raio (ou o diâmetro) de uma circunferência maior será o seu comprimento. É fácil perceber isso. Imagine que você vai caminhar em torno de uma praça circular: você andará menos em uma praçaa com 500 metros de diâmetro do que numa praça com 800 metros de diâmetro. No exemplo abaixo, cada uma das três circunferências foi cortada no ponto marcado com uma tesourinha, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada. Como já sabemos que o diâmetro e o comprimento de uma circunferência estão relacionados, vamos a seguir compará-los. Descobrindo uma relação Usando diferentes objetos com a forma circular, vamos medir o comprimento das circunferências (das bordas) e de seus diâmetros. Tente medir objetos circulares variados, como um copo ou uma mesa redonda. Você pode estar se perguntando: Mas como medir a linha curva?. Ao dividir a medida do comprimento da circunferência pela medida de seu diâmetro, encontramos sempre um número um pouco maior do que. Na realidade, esse número é sempre o mesmo e vale aproximadamente,4. Esse é um resultado muito importante em Matemática. Esse número tão útil e importante é chamado pi e simbolizado pela letra grega π. Conclusão: o cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação abaixo. Note que d = r, logo: C D = C π = π C = R π R Arquimedes, que viveu por volta de 87 a anos antes de Cristo, foi um gênio da Matemáticaa e da Física, além de grande construtor de máquinas de guerra. Ele desenvolveu muitos estudos para obter um cálculo aproximado de π. Sabia que a divisão do comprimento de uma circunferência por seu diâmetro é um número constante, qualquer que seja o tamanho da circunferência. Para calcular o número π, Arquimedes aproximou polígonos por dentro e por fora da circunferência e mediu os perímetros. Quanto maior era o número de lados do polígono mais elee se aproximava da medida da circunferência. O valor utilizado para π foi, durante muitos anos, o número aproximado obtido por Arquimedes: = 7,, EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) A circunferência é uma região convexa? ) O círculo é uma região convexa? ) Todo diâmetro é uma corda? 4) Toda corda é um diâmetro? 5) )Se o diâmetro de um círculo mede 0, quanto mede o seu raio? 6) Todo raio é uma corda? 7) Se um ponto dista de cm do ponto P, então ele está no círculo de centro P e raio 5cm? E está na circunferência? 8) Usando um compasso, desenhe uma circunferência com um raio de 5 cm. 9) Usando um compasso, desenhe uma circunferência com diâmetro de 0 cm. 0) Desenhe duas circunferências com o mesmo centro e com os raios medindo 4 cm e 6 cm. Qual delas tem o maior comprimento? ) Numa bicicleta em que o raio da roda é de 6 cm, qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda? ) Medindo uma circunferência com fita métrica graduada obtivemos 6,8 cm de comprimento. Qual a medida do diâmetro dessa circunferência? ) Complete a tabela abaixo: Raio = r Diâmetro = d Comprimento = π r , 4 =,56 8,84 4) Se uma circunferência tem 8,84 m de comprimento, qual o comprimento da semicircunferência dela obtida? 5) Agora imagine uma circunferência de 8,84 m de comprimento que foi dividida em 4 arcos do mesmo tamanho. Qual o comprimento de cada um dos arcos? 6) Numa circunferência de cm de raio, quanto mede a maior corda que podemos desenhar? Geometria 4

88 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO X ÁREA DE SUPERFÍCIES CALCULANDO ÁREAS O que é área de uma superfície? Medir uma superfície é compará-laa com outra, tomada como unidade. O resultado da comparaçãoo é um número positivo, ao qual chamamos de área. Como não existe instrumento para medir a área de uma superfície, comparamos sua área com a área de uma figura mais simples, como o retângulo ou o quadrado. EXEMPLO : Deseja-se forrar uma parede de m x 5m com quadrados de cortiça de m de lado. Quantos quadrados de cortiça serão necessários?. hectare ( ha) = m² (um quadrado cujos lados medem 00 metros) ).. O alqueire não é uma medida uniforme para todo o país. Existem: o alqueire paulista; o alqueire do norte; o alqueire mineiro. Mudando de unidade Quantos centímetros quadrados cabem em um quadrado de metro de lado? Para resolver esse problema, é preciso calcular a área da parede, que tem a forma de um retângulo e a área do pedaço de cortiça, que tem a forma de um quadrado. Área do retângulo = comprimento x largura = m x 5 m = 5 m² Área do quadrado = lado x lado = m x m = m² Como cada quadrado tem m² de área, serão necessários 5 pedaços de cortiça para forrar a parede. Observe que m = 000 cm, logo, a área desse quadrado é: 00 cm 00 cm = cm² Portanto, concluímos que: em um quadrado de m² de área, cabem quadradinhos de cm² de área, isto é, quadradinhos de cm de lado. Agora, é sua vez! Quantos quadrados de m de lado são necessários para cobrir um quadrado de km² de área? Áreas de figuras geométricas planas Área do quadrado. Considere um quadrado qualquer. Usando a álgebra para representarr a medida do lado desse quadrado, vamos chamá-lo por a : A área desse quadrado é: Unidade de área Estudamos unidades específicas para cada figura a ser medida. Vamos agoraa recordar as unidades de área mais usuais. * Metro quadrado (m²): é a superfície de um quadrado de metro ( m) de lado. * Quilômetro quadrado (km²): é a superfície de um quadrado de quilômetro ( km) de lado. * Centímetro quadrado (cm²): é a superfície de um quadrado de centímetro ( cm) de lado. A = a x a = a² Área do retângulo Considere um retângulo qualquer, de dimensões a e b. A área do retângulo é o produtoo da medida da base pela altura. Então: Existem ainda: o hectômetro quadrado (hm²), o decâmetro quadrado (dam²), o decímetro quadrado (dm²) e o milímetro quadrado (mm²). Observação: No Brasil, costuma-se usar o hectare (ha) ou o alqueire para medir grandes extensões de terra. Lembre que: Geometria A =b x a 5

89 Área do paralelogramoo Observee as figuras abaixo. Podemos cortar um pedaço do paralelogramo e encaixá-lo do outro lado, transformando o paralelogramo num retângulo: Construa dois trapézios iguais e encaixe-os, baixo em colocando um deles de cabeça para relação ao outro. Altura (h) h Base (b) A área do paralelogramo é, assim, igual à área do retângulo obtido, ou seja, ao produto das medidas da base pela altura: A =b x h Observação: a altura do paralelogramoo é a distância de uma base a outra; portanto, é perpendicularr à base. Área do losango O losango é uma figura geométrica de lados iguais e diagonais perpendiculares. b A figura obtida é um paralelogramo cuja área é o dobro da área do trapézio. Dessa forma, a área do trapézio é: Área do trapézio: (( base maior + base menor) x altura ) A = ( B + bh ) / = ( B + b)h EXEMPLO : Um terreno em forma de trapézio tem 75 m na base menor, 00 m na base maior e 40 m de altura. Qual a área desse terreno? AB = diagonal maior, CD = diagonal menor Podemos construir um retângulo de tal forma que o losango fique inscrito nessa construção. Observe que, dessa forma, a área do losangoo é metade da área do retângulo, sendo determinada em função de suas diagonais: A = (( ).40) A = 500 Logo, a área do terreno é de.500 m² ². Área do triângulo Usaremos um raciocínio semelhante ao que usamos para determinar a área do trapézio. Assim, construímos dois triângulos iguais: Área do trapézio A = Dd. O trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos, chamadas bases: Encaixando-os, como na figura a seguir, obtemos um paralelogramo cuja área é o dobro da área do triângulo. Como a área do paralelogram o é determinada pelo produto da base pela altura, a área do triângulo é igual à área do paralelogramo dividida por dois. altura (h) A = ( bxh ) base (b) Geometria 6

90 Se o triângulo for retângulo, a área pode ser calculada multiplicando-se os catetos e dividindo o resultado por, pois, nesse caso, um cateto corresponde à base (b) e o outro à altura (h). Somando os três resultados, temos a área da figura dada: 5,,65 +,5 + 6,75 =,65 Assim, a área da figura é,65 cm². EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível A = ( bxh ) ) Com a ajuda de uma régua, meça os comprimentos necessários e determine a área das figuras. Decompondo figuras plana. Muitas vezes nos deparamos com figuras estranhas, que não são nem triângulos, nem trapézios, nem nenhuma dessas figuras cujas áreas sabemos determinar. E aí, o que fazer? Nesses casos, podemos usar uma técnica muito simples: decompor a figura estranha em outras de formatos conhecidos, cujas áreas são mais fáceis de serem obtidas. Veja o exemplo seguinte. EXEMPLO : Calcule a área da figura: ) Uma cozinha tem formato de um com as seguintes dimensões: paralelepípedo m 4 m,5 m Podemos maneira: decompor essa figura da seguinte Deseja-se azulejar as paredes dessa cozinha até o teto. Quantos azulejos devemos comprar, se os azulejos são quadrados de 5 cm de lado? ) Quantos metros quadrados de papel são necessários para forrar uma caixaa fechada, no formato de um cubo de 0 centímetros de aresta? 4) Pedro desenhou retas paralelas. Em uma marcou o segmento AB e em outra marcou os pontos C, D, E e F, como mostra a figura: Calculamos, então, a área de cada uma das figuras: () é um trapézio de área: () é um triângulo de área: ((+ 4,5). (4,5.) =,5) = 5,65m m² () é um paralelogramo de área: 4,5.,5 =, 5 cm² 6,75m² Geometria Em seguida ligou alguns pontos formandoo os triângulos CAB, DAB, EAB e FAB.Analisando esses 7

91 triângulos, Pedro descobriu um segredo sobre suas áreas. Qual foi o segredo descoberto por Pedro? 5) Calcule a área da figura: Nível ) Na figura, vemos dois quadrados inscritos nos triângulos ABC e ADE. Sendo BC = 8cm e cm a altura do triângulo ABC relativa ao lado, calcule o lado do menor quadrado. Sugestão: Usando a semelhança dos triângulos ADE e ABC, calcule o lado DE do maior quadrado. Use, em seguida, a semelhança dos triângulos AFG e ADE. ) Determine a área do triângulo DEF sabendo que: AB =, AD = 8, CF = 4 e BH = ABCD é um retângulo. Sugestão: Trace a altura EP do triângulo DEF e use a semelhança dos triângulos EFP e FDA e, também, dos triângulos EPD e DHC. Geometria 8

92 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO XI A ÁREA DE UM CÍRCULO ÁREA DO CÍRCULO Em uma competiçãoo de ciclismo, foi decidido que as rodas das bicicletas seriam pintadas com a cor da camisa de cada competidor. A pintura foi feita como na figura abaixo: Calculando a área do triângulo, temos: base. altura π rr. = = π r Área do círculo = π r EXEMPLO : Vamos agora calcular a área do círculo Exemplo. Como r = 5 cm, r² = 5 x 5 = 5 cm². A área então será: π x 5 =,4 x 5 = 78,5 cm². do Que parte da roda foi pintada? Você já aprendeu que o comprimento de uma circunferência depende de seu raio e pode ser obtido pela expressão: Comprimento = π r EXEMPLO : Na figura abaixo, você pode perceber que a área do quadrado que contém o círculo com o menor desperdício possível é maior que a área do círculo. Qual é a área desperdiçada? Nesta expressão r é a medida do raio e π é um número irracional que aproximamos para,4. EXEMPLO : Numa circunferência cujo raio é de 5 cm, qual é o comprimento?. π. 5 = 0 x,4 =,4 O comprimento da circunferência é de aproximadamente,4 cm. Agora, neste capítulo, vamos aprender a calcular a área do círculo. Para isso, imaginamos que o círculo seja formadoo por várias circunferências concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortar essas circunferências e esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triângulo retângulo: Se o raio do círculo é 5 cm, seu diâmetro mede 0 cm. O lado do quadrado é igual ao Diâmetro do círculo: 0 cm. Então: Área do quadrado = l² = 0 x 0 = 000 cm² Área do círculo = 78,5 cm² (ver Exemplo ) Desperdício = 00-78,5 =,5 cm² Área do setor circular Numa circunferência de centro O e raio r denominamos ângulo central ao ângulo cujo vértice está no centro da circunferência e cujos lados cortam a circunferência. Nesse processo, quanto maior for o número de circunferências utilizado para completar o círculo, melhor será sua representação em um triângulo. Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua base mede π r, isto é, o comprimento da maior circunferência, a fronteira do círculo. Um setor circular é a região do círculo de centro O e raio r delimitada por um ângulo central. Geometria 9

93 x =,74 cm² Área da coroa circular Para calcular a área de um setor circular temos duas opções.. Se você sabe em quantas partes iguais um círculo foi dividido, é só dividir a área do círculo pelo número de partes. Veja o exemplo seguinte. a) área do círculo: π r² =,56 b) duas partes iguais: área do setor =,56/ = 6,8 c) quatro partes iguais: área do setor =,56/4 =,4 d) seis partes iguais: área do setor =,56/6 =,09. Quando conhecemos o ângulo correspondente ao setor circular, podemos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três. Veja o exemplo seguinte. EXEMPLO 5: Este setor circular correspondee a um ângulo com abertura de 50º que é um segmento do ângulo central. O ângulo central que corresponde a uma volta completa, ou seja, a todo o círculo, mede 60º. Já calculamos a área do círculo de raio cm no Exemplo 4. Usando a técnica da regra de três, temos: Observe a figura acima. Denomina-se coroa circular à região sombreada, que é obtida com dois círculos de mesmo centro O e raios diferentes R e r. É muito simples calcular a área de uma coroa circular, pois, como você percebe na figura, ela é obtida retirando-se um círculo menor do círculo maior. Desse modo, sua área é obtida subtraindo-se a área do círculo menor da área do círculo maior. Acompanhe o exemplo. EXEMPLO 6: Fazendo R = 5 m e r = m, temos: Área do círculo maior =, 4 5 = 78,5 m² Área do círculo menor =,4 9 = 8,6 m² Área da coroa circular = 78,5-8,6 = 50,4 m² EXERCÍCIOS PROPOSTOS -) Calcule a área de um círculo: a) cujo raio mede 6 cm; b) cujo diâmetro mede 8 cm. ) Se um círculo com raio de 0 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule: a) a área de um dos setores circulares assim obtidos; b) a medida do correspondente ângulo central. ) Use a regra de três para calcular a área de um setor circular de 50º de abertura num círculo com m de raio. 4) No gráfico de setores abaixo, foi utilizado um círculo com cm de raio. Calcule a área de cada setor. Ou seja: Logo Área ângulo Círculo,56 cm 60 Setor x 50,56 x x = 50.,56 / 60, e então: Geometria 0

94 GEOMETRIA Nivelamento CAPÍTULO XII CALCULA ANDO VOLUMES Isto é, se tivermos um cubo oco com 0 cm de CALCULANDO VOLUMES aresta, podemos colocar nesse cubo, exatamente, litro de líquido (água, suco, leite, óleo etc.). Já estudamos que os objetos têm área, volume e forma. Vimos também que existem objetos com mesmo volume e formas diferentes. Neste capítulo, estudaremos um pouco mais esse assunto, aprendendo a calcular o volume de alguns sólidos. Mas, antes, veremos algumas situações que envolvem a idéia de volume e capacidade: VOLUME CAPACIDADE Areia retirada de um Uma garrafa rio Entulho retirado de Uma seringa uma obra Dejetos despejados Uma caixa em rios d`água Medir o volume ou a capacidade de um objeto é saber a quantidade de espaço que ele ocupa ou de que dispõe para armazenar. EXEMPLO : Esta garrafa está cheia. Ela contém 90 mililitros (90 m ) de refrigerante: Volume = 90 m. Isso significa que 90 m é a quantidade de líquido que a garrafa pode armazenar: Capacidade = 90 m. EXEMPLO : Para encher uma caixa d água de metros de comprimento por metros de largura e metro de profundidade, foram necessários litros de água. Outras relações, decorrentes dessa, também são bastante utilizadas: m³ =.000 cm³ = m As unidades de medida de volume fazem parte do Sistema Decimal de Medidas. As mais usadas são: - metro cúbico (m³) - decímetro cúbico (dm³ ³) - centímetro cúbico (cm³ ³) - milímetro cúbico (mm³ ³) m³ =.000 dm³ = cm =... Desse modo são necessários de cubinhos de cm de aresta para formar um cubo de m de aresta. Volume do paralelepípedo Paralelepípedo é o nome que a Matemáticaa dá aos objetos que têm a forma de uma caixa de sapato, de um tijolo etc. Na verdade, a definição de paralelepípedo é mais geral. Se quisermos ser mais precisos, uma caixa de sapato é um paralelepípedo reto de base retangular. Já calculamos o volume do paralelepípedo, multiplicando suas dimensões (comprimento, largura e altura): Volume da caixa d água = m x m x m = 4 m³ Capacidade da caixa d água = litros As unidades de volume e de capacidade são estabelecidas pela seguintee relação: 000 cm³. V = A x B x C EXEMPLO : Qual o volume do cubo cuja aresta mede 5 cm? (Lembre-se dimensões têm a mesma medida). V = 5cm x 5cm x 5cm = 5cm³ Imagine que esse cubo seja oco. Quantos litros de de que o cubo é um paralelepípedo cujas água seriam necessários para enchê-lo até a boca? Como: =.000 cm³ Então, fazendo uma regra de três, temos: litro =.000 cm³ x litros = 5 cm³ 000 x = 5 cm Geometria

95 x = 0,5 litros = 5 mililitros Podemos colocar 5 m de água num cubo cujo volume é de 5 cm³. Decompondo figuras sólidas. O paralelepípedo pode ser decomposto em duas outras figuras sólidas. Veja: Volume = área da base x altura V = (a. b). c V = a. b. c que é o resultado já conhecido paraa o volume do paralelepípedo. Volume do cilindro Cilindro é o nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma de um latão de querosene ou de um cigarro. O cilindro é um sólido geométrico cujas bases são dois círculos iguais, como na figura: O volume do cilindro pode ser determinado do mesmo modo que o volume do prisma reto: Cada um dos sólidos que surge pela decomposição deste paralelepípedo retângulo é um exemplo de prisma. Temos, em nosso caso, dois prismas retos de base triangular. Observe que, neste exemplo, a base de cada prisma é um triângulo retângulo. O volume do prisma reto de base triangular é metade do volume do paralelepípedo. Portanto, o volume do prisma reto de base triangular é: Volume do cilindro = área da base x altura Como a base do cilindro é um círculo, temos: Área da base = área do círculo = π r², onde r é o raio do círculo Então, a área do cilindro pode ser expressa por: A = π r². a onde a é a altura do cilindro EXEMPLO 4: Determine o volume de um cilindro de 0 centímetros de altura e cuja base tem 0 centímetros de raio. a.. bc V = Note que o paralelepípedo também é um prisma reto, porém de base retangular. Para obter o volume de um prisma com uma base qualquer multiplicamos a área da base pela altura. Por exemplo, prisma reto de base quadrangular ( ou paralelepípedo): V = área da base x altura Área da base = π r² A = π. 0² =, A =.56 cm² Volume = = cm³ Densidade de um corpo Aprendemos que a massa de um objeto pode ser dada pelo seu peso. As unidades de medida de massa são o quilograma (kg) e o grama (g). Podemos definir a densidade de um objeto (ou corpo) como o quocientee entre sua massa e seu volume: Massa densidade = volume Geometria

96 Um método prático para determinar o volume de objetos, por exemplo, o de uma pedra, é o seguinte: Pegue um recipiente transparente, cujas medidas sejam fáceis de calcular. Por exemplo, um copo na forma de um cilindro. ) Qual o volume de um cujo diâmetro é 60 cm? bolo cuja altura é 5 cm e 4) Quantos litros de leite cabem em um galão cilíndrico de 0 cm de diâmetro de 60 cm de altura? Encha-o com água e meça a altura que a água atingiu. No nosso exemplo, o volume de água é: V = π. 5². 0 =, = 785 cm³. 5) Qual o volume de um objeto onde a área de sua base mede 0cm e sua altura mede 5cm, e as bases são paralelas? Em seguida, mergulhe a pedra na água meça novamente a altura atingida. e Volume = π. 5². =,4. 5. = 94 cm² A diferença entre os dois resultados é o volume pedra: Volume da pedra = = 57 cm³. da EXERCÍCIOS PROPOSTOS ) De quantos cubinhos iguais a A precisamos para montar um cubo igual a B? ) Quantos litros de óleo cabem no galão abaixo? Geometria

97 GEOMETRIA Nivelamento Gabarito Cap.I Cap.IV ÂNGULOS: NIVEL: ) a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F h) V i) V ) 7º 8 ) 4º 4) 0º 5) A Nivel : ) C ) B ) D 4) A 5) 40º 6) a) V b) V c) V d) F 7) E 8) C 9) E POLÍGONOS I: ) a) escaleno b) isósceless c) eqüilátero ) 60º ) 80º 4) 5º 5) a) 85º b) 9º c) 40º 6) a) acutângulo b) acutângulo c) acutângulo 7) a) Retângulo e Isósceless b) Acutângulo e Eqüilátero c) Obtusângulo e Escaleno d) Obtusângulo e Isósceless e) Retângulo Escaleno f) Acutângulo e Escaleno 8) a) a=40º b) 80-40=40 c) o ângulo a é suplementar do ângulo de 40º. 9) a) a=80º suplementar de 00º b) a= =0º suplementar de 60º POLÍGONOS II: Cap.II Cap.III ) pentágono= 60º, 90º, 50º losânguloo = 60º e 0º ) não,pois seus ângulos não são iguais exceto o quadrado ) a) 8-=6 triângulos b) sim c) 6x80= =080 4) Nº de lados Nº ºdiagonais Que saem Numero de triângulos Soma todos de os de cada formados ângulos do vértice polígono 0 80º 4 60º 5 540º º º º º º QUADRILÁ ÁTEROS: NIVEL : ) a) Paralelogramo b) Trapézio c) Retângulo d) Retângulo 4) a) 9 b) 6 6) 45º e 5º Nível : ) B ) D ) 75º 4) y=60º Cap.V FIGURAS SEMELHANTES: ) 00 Km ) 7 cm ) 6,67 cm² Cap.VI TEOREMA DE TALES: ) X=,8 e x= =, ) x=6 e y=54 ) 0 m 4) : Cap.VII TEOREMA DE PITÁGORAS I: ) a) Retângulo b) não é triangulo c) não Retângulo d) Retângulo ) 5 e 0 4) a=8, b=7,06 y=, x=,77 5) h=9,6 x=7, y=,8 6) h=a / Cap.VIII TEOREMA DE PITÁGORAS II: Nível : ) É Retângulo ) a) x= b) x=5 ) 5 cm 4) 45 m 5) 6 cm 6) 0 cm Nível : ) x=8 5) 6) sim, Nºtriangulos=Nºlados a) T=n- S= =(n-)80 Geometria 4

98 Cap.IX CÍRCULO : ) NÃO ) SIM ) SIM 4) NÃO 5) mede 5 6) não 7) está no círculo mas não está na circunferência 0) a de raio=6 cm ) 6,6 cm ) D 0 cm ) Raio=r Diâmetro=d Comprimento=πr 4 4.,4=,56 6,8,5 5 5,7 6 8,84 4) 5,4 5) 0,7 6) cm Cap.X ÁREA DE SUPERFÍCIES : NIVEL : ) a),(,5+,5)/=,9cm² b) (x)/=,5 cm² c) (,x,5)/=4,5 cm² ) 000 azulejos ) 0,4 m² 4) eles possuem a mesma área pois tem base e alturass iguais 5) 4 cm² Nível : ),94 cm² ) / Cap.XI ÁREA DE UM CÍRCULO: ) a) 6π cm² b) 6π cm² ) a) 00π,/9 m² b) 40º ) 5π/ 4) π/5 cm²; 4π/5 cm² ; 6π/5 cm²; 8π/5 cm² Cap.XII CALCULANDO VOLUMES: ) 64 cubos ) 0 litros ) 4,5π litros 4) 6π litros 5) 00 cm³ CASD Vestibulares Geometria 5