UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS. Ana Maria Lima de Farias

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE INSTITUTO DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Ana Maria Lima de Farias Março 9

2 CONTEÚDO Conteúdo Variáveis Aleatórias Contínuas. Noçõesbásicas.... Variávelaleatóriacontínua Função de densidade de probabilidade Funçãodedistribuiçãoacumulada Esperançadevariáveisaleatóriascontínuas Esperança de funções de variáveis aleatórias contínuas Variânciadevariáveisaleatóriascontínuas Propriedades da média e da variância de variáveis aleatórias contínuas..8 Exemplo....9 Exemplo... 4.Exemplo... 7.Exercíciosresolvidos....Exercíciospropostos... 5 Algumas Distribuições Contínuas 6. Distribuiçãouniforme Funçãodedistribuiçãoacumulada Esperança Variância Exercíciospropostos Distribuiçãoexponencial Funçãodedistribuiçãoacumulada..... Alguns resultados sobre a função exponencial Esperança Variância Parametrizaçãoalternativa Exercíciosresolvidos Exercíciospropostos.... Distribuiçãogama Afunçãogama Adistribuiçãogama O gráco da distribuição gama Esperança Variância Funçãodedistribuiçãoacumulada AdistribuiçãodeErlang Adistribuiçãoqui-quadrado DistribuiçãodeWeibull Denição Esperançaevariância Funçãodedistribuiçãoacumulada DistribuiçãodePareto Denição Esperança Variância Funçãodedistribuiçãoacumulada Funções de Variáveis Aleatórias Contínuas 45. Exemplo Funçõesinversíveis Exemplo Transformaçãolinear A Distribuição Normal 5 4. AlgunsresultadosdeCálculo Exercícioresolvido Densidadenormalpadrão Denição Esperança Variância Características da curva normal padrão Funçãodedistribuiçãoacumulada Tabulação da distribuição normal padrão Exemplos Densidade (; ) Denição Característicasdacurvanormal Parâmetros da ; Funçãodedsitribuiçãoacumulada Cálculo de probabilidades de uma variável normal Exemplos Exemplo:qui-quadradoenormal Tabeladaqui-quadrado Exemplos Adistribuiçãolog-normal Denição Esperança Variância Exercíciospropostos... 75

3 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 4 Capítulo Variáveis Aleatórias Contínuas. Noções básicas No estudo das distribuições de frequência para variáveis quantitativas contínuas, vimos que, para resumir os dados, era necessário agrupar os valores em classes. O histograma e o polígono de frequências eram os grácos apropriados para representar tal distribuição. Para apresentar os conceitos básicos relativos às variáveis aleatórias contínuas, vamos considerar os histogramas e respectivos polígonos de frequência apresentados na Figura.. Esses grácos representam as distribuições de frequências de um mesmo conjunto de dados, cada uma com um número de classes diferente no histograma superior, há menos classes do que no histograma inferior. Suponhamos, também que as áreas de cada retângulo sejam iguais às frequências relativas das respectivas classes (essa é a denição mais precisa de um histograma). Por resultados vistos anteriormente, sabemos que a soma das áreas dos retângulos é (as frequências relativas devem somar ou %) e que cada frequência relativa é uma aproximação para a probabilidade de um elemento pertencer à respectiva classe. Analisando atentamente os dois grácos, podemos ver o seguinte: à medida que aumentamos o número de classes, diminui a diferença entre a área total dos retângulos e a área abaixo do polígono de frequência. A divisão em classes se fez pelo simples motivo de que uma variável contínua pode assumir um número não-enumerável de valores. Faz sentido, então, pensarmos em reduzir, cada vez mais, o comprimento de classe, até a situação limite em que Nessa situação limite, o polígono de frequências se transforma em uma curva na parte positiva (ou não-negativa) do eixo vertical, tal que a área sob ela é igual a. Essa curva será chamada curva de densidade de probabilidade. Considere, agora, a Figura., onde ilustramos um fato visto anteriormente: para estimar a frequência de valores da distribuição entre os pontos e, podemos usar a área dos retângulos sombreados de cinza claro. Conforme ilustrado na Figura., a diferença entre essa área e a área sob o polígonodefrequênciastendeadiminuir,àmedidaqueaumenta-seonúmerodeclasses. Essa diferença é a parte sombreada de cinza mais escuro. Isso nos permite concluir, intuitivamente, o seguinte: no limite, quando podemos estimar a probabilidade de a variável de interesse estar entre dois valores e pela área sob a curva de densidade de probabilidade, delimitada pelos pontos e. Figura.: Histogramas de uma variável contínua com diferentes números de classes Figura.: Cálculo da freqüência entre dois pontos e

4 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 5 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 6 () A área total sob o gráco de () éiguala. Dada uma função () satisfazendo as propriedades acima, então () representa alguma variável aleatória contínua, demodoque ( ) éaáreasoba curva limitada pelos pontos e (veja a Figura.4). Figura.: Diferença entre as áreas dos retângulos e a área sob o polígono de freqüência. Variável aleatória contínua Apresentamos, mais uma vez, o conceito de variável aleatória, que já foi visto no estudo das variáveis discretas, por ser este um conceito muito importante. Relembramos também as denições de variáveis aleatórias discretas e contínuas. Denição. Uma variável aleatória é uma função real (isto é, que assume valores em R) denida no espaço amostral de um experimento aletaório. Dito de outra forma, uma variável aleatória é uma função que associa a cada evento de um número real. Denição. Uma variável aleatória é discreta se sua imagem (ou conjunto de valores que ela assume) for um conjunto nito ou enumerável. Se a imagem for um conjunto não enumerável, dizemos que a variável aleatória é contínua.. Função de densidade de probabilidade Os valores de uma variável aleatória contínua são denidos a partir do espaço amostral de um experimento aleatório. Sendo assim, é natural o interesse na probabilidade de obtenção de diferentes valores dessa variável. O comportamento probabilístico de uma variável aleatória contínua será descrito pela sua função de densidade de probabilidade. Inicialmente apresentamos a denição da função de densidade de probabilidade utilizando a noção de área, para seguir a apresentação inicial que considerou um histograma de uma variável contínua. Denição. Uma função de densidade de probabilidade éumafunção() que satisfaz as seguintes propriedades: Figura.4: Probabilidade como área A denição acima usa argumentos geométricos; no entanto, uma denição mais precisa envolve o conceito de integral de uma função de uma variável, que, como se sabe, representa a área sob o gráco da função. Denição.4 Uma função de densidade de probabilidade éumafunção() que satisfaz as seguintes propriedades: () R () Dada uma função () satisfazendo as propriedades acima, então () representa alguma variável aleatória contínua, demodoque ( ) Z () Para deixar clara a relação entre a função de densidade de probabilidade e a respectiva variável aleatória, usaremosanotação () Uma primeira observação importante que resulta da interpretação geométrica de probabilidade como área sob a curva de densidade de probabilidade é a seguinte: se é uma variável aleatória contínua, então a probabilidade do evento é zero, ou seja, a probabilidade de ser exatamente igual a um valor especíco é nula. Isso pode ser visto na Figura.4: o evento { } corresponde a um segmento de reta e tal segmento tem área nula. Como consequência, temos as seguintes igualdades: Pr( ) Pr( )Pr() Pr()

5 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 7 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 8.4 Função de distribuição acumulada Da mesma forma que a função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta, a função de densidade de probabilidade nos dá toda a informação sobre a variável aleatória contínua ou seja, a partir da função de densidade de probabilidade, podemos calcular qualquer probabilidade associada à variável aleatória Também como no caso discreto, podemos calcular probabilidades associadas a uma variável aleatória contínua apartirdafunção de distribuição acumulada (também denominada simplesmente função de distribuição). Denição.5 Dada uma variável aleatória a função de distribuição acumulada de é denida por () Pr( ) R (.) Adeniçãoéamesmavistaparaocasodiscreto;adiferençaéque,paravariáveis contínuas, a função de distribuição acumulada é uma função contínua, sem saltos. Veja a Figura?? para um exemplo. Figura.6: Função de distribuição acumulada - cálculo a partir da área sob a curva de densidade Da interpretação de probabilidade como área, resulta que () é a área à esquerda de sob a curva de densidade Veja a Figura.6. Existe uma relação entre a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição acumulada, que é resultante do Teorema Fundamental do Cálculo. Por denição, temos o seguinte resultado: () Pr( ) R () (.6) e do Teorema Fundamental do Cálculo resulta que () () (.7) isto é, a função de densidade de probabilidade é a derivada da função de distribuição acumulada. Figura.5: Exemplo de função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua Como no caso discreto, valem as seguintes propriedades para a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória contínua: () (.) lim () (.) lim () (.4) () () (.5).5 Esperança de variáveis aleatórias contínuas Nas distribuições de frequências agrupadas em classes de variáveis quantitativas contínuas, vimos que a média podia ser calculada como P onde eraafrequênciarelativadaclasse e eraopontomédiodaclasse Continuando com a idéia inicial de tomar classes de comprimento cada vez menor, isto é, fazendo chegamos à seguinte denição de esperança ou média de uma variável aleatória contínua. Denição.6 Seja uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade A esperança (ou média ou valor esperado) de é denida como () Z + () (.8)

6 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 9.5. Esperança de funções de variáveis aleatórias contínuas Se é uma variável aleatória contínua e : R R é uma função qualquer, então () é uma variável aleatória e sua esperança é dada por (()) Z + () () (.9).6 Variância de variáveis aleatórias contínuas Vimos também que a variância, uma medida de dispersão, era calculada como a média dos desvios quadráticos em torno da média, ou seja P ( ) No caso de uma variável aleatória contínua, fazendo () [ ()] resulta novamente a denição de variância como média dos desvios quadráticos: Denição.7 Seja uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade A variância de é denida como () O desvio padrão é denido como Z + [ ()] () (.) () p () (.) Usando as propriedades do cálculo integral e representando por a esperança de (note que é uma constante, um número real), temos que: () R + [ ] () R + + () R + () R + () + R + () Se denimos () aprimeiraintegralnadamaiséque( ) pelo resultado (.9). A segunda integral é () e a terceira integral é igual a, pela denição de função de densidade. Logo, () ( ) + ( ) o que nos leva ao resultado já visto para variáveis discretas: () ( ) [()] (.) De forma resumida: a variância é a esperança do quadrado de menos o quadrado da esperança de. CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS.7 Propriedades da média e da variância de variáveis aleatórias contínuas As mesmas propriedades vistas para variáveis aleatórias discretas continuam valendo no caso contínuo: Esperança Variância Desvio Padrão () () () ( + ) ()+ ( + ) () ( + ) () () () () () () () min () max () () Esses resultados podem ser facilmente demonstrados a partir das propriedades da integral denida e das denições vistas. Por exemplo, vamos demonstrar que () () e Var () Var () Por denição, temos que Z Z () () () () Usando este resultado e a denição de variância, temos que Var () () [()] ( ) [()] ( ) [()] n ( ) [()] o () Se interpretamos a função de densidade de probabilidade de como uma distribuição de massa na reta real, então () é o centro de massa desta distribuição. Essa interpretação nos permite concluir, por exemplo, que se é simétrica, então () éovalor central, que dene o eixo de simetria..8 Exemplo Considere a função apresentada na Figura.7.. Encontre o valor de para que seja uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória.. Determine a equação que dene. Calcule Pr( ) 4. Calcule a esperança e a variância de 5. Determine o valor de tal que Pr( ) 6

7 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Figura.7: Função de densidade de probabilidade para o Exemplo 6. Encontre a função de distribuição acumulada de.. A função dada corresponde a uma função constante, () Comoaáreasob a reta tem que ser, temos que ter Figura.8: Cálculo de Pr( ) para o Exemplo 5. Como a densidade é simétrica, a média e a mediana coincidem, ou seja, o ponto divideaáreaaomeio. ComotemosquePr( ) 6 resulta que tem que ser maior que, uma vez que abaixo de temos área igual a,5. Veja a Figura.9. (5 ) 4 ou Z 5. Temos que 5 (5 ) 4 4 se 5 () caso contrário. A probabilidade pedida é a área sombreada na Figura.8. Logo, ou Pr( ) ( ) 4 4 Pr( ) Z Por argumentos de simetria, a esperança é o ponto médio, ou seja, () Usando a denição, temos: Z Ã 5 () 4! 5 4 (5 ) 8 Para o cálculo da variância, temos que calcular ( ): Z 5 ( ) (5 ) e () 7 4 Figura.9: Cálculo de tal que Pr( ) 6 para o Exemplo Temos que ter 6() 4 4 Usando integral, temos ter Z 4 6 ( ) Para temos que () epara5temos que () Para 5 () é a área de um retângulo de base ( ) ealtura4 (veja a Figura.). Logo, () 4 e a expressão completa de é () cujo gráco está ilustrado na Figura.. se 4 se 5 se 5

8 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 4.9 Exemplo Considere a função apresentada na Figura.. Figura.: Função de densidade de probabilidade para o Exemplo Figura.: Cálculo de para o Exemplo. Encontre o valor de para que seja uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua.. Determine a equação que dene. Calcule Pr( ) 4. Encontre a função de distribuição acumulada de 5. Determine o valor de tal que Pr( ) 6 6. Calcule a esperança e a variância de. Podemos decompor a área sob a reta como a área de um triângulo e a área de um retângulo (na verdade, o resultado é a área de um trapézio - veja a Figura.). Então, temos que ter (6 ) + (6 ) ( ) 5 5 ( ) Figura.: Função de distribuição acumulada para o Exemplo. é uma função linear () + que passa pelos pontos (; ) e (6; ) resultando, portanto, o seguinte sistema de equações: ½ + +6 Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos 5 4

9 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 5 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 6 Logo, ou seja, () ( 6 + 4)+ ( ) ( 8 + )( ) () se se 6 se 6 Figura.: Cálculo de paraoexemplo Substituindo este valor na primeira equação, obtemos que 4 6 Logo, ½ se 6 () caso contrário. Veja a Figura.4, em que a área sobreada corresponde à probabilidade pedida. Vemos que essa área é a área de um trapézio de altura base maior igual a () e base menor igual a () Logo, Pr( ) 6 Figura.4: Cálculo de Pr( ) para o Exemplo Usando integral, temos: Pr( ) Z 4 ( 6 + 4) μ ( ) + (9 4) Veja a Figura.5; aí podemos ver que, para [ 6] () é a área de um trapézio de altura ; base maior igual a () ebasemenoriguala () Figura.5: Cálculo da função de distribuição acumulada para o Exemplo Usando integral, temos que Z 4 () ( 6 + 4) μ ( 6 + ) Queremos determinar tal que () 6 Logo, ± A raiz que fornece resultado dentro do domínio de variação de é Temos que Z 6 () ( 6 + 4) μ μ μ

10 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 7. Exemplo ( ) Z 6 ( 6 + 4) μ ( ) ( + ) μ 75 () 75 Considere a função apresentada na Figura CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 8 das retas, basta substituir as coordenadas dos dois pontos e resolver o sistema. Para a primeira reta temos o seguinte sistema: + + Da primeira equação resulta que (é o ponto onde a reta cruza o eixo ) e substituindo esse valor de na segunda equação, resulta que 4 Para a segunda reta, temos o seguinte sistema: Subtraindo a segunda equação da primeira, resulta ( )+(4 ) 4 Figura.6: Função de densidade de probabilidade para o Exemplo. Encontre o valor de para que seja uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória (note que o triângulo é isósceles!).. Determine a equação que dene. Calcule Pr( ) 4. Calcule () e () 5. Encontre a função de distribuição acumulada de 6. Determine o valor de tal que Pr( ) 6. Como a área tem que ser, temos que ter (4 ). A função édadaporequaçõesdereta. Aprimeiraéumaretadeinclinação positiva que passa pelos pontos ( ) e A segunda é uma reta de inclinação negativa, que passa pelos pontos e (4 ) Para achar a equação de cada uma Substituindo na primeira equação, encontramos que Combinando essas duas equações, obtemos a seguinte expressão para : 4 se () 4 se 4 se ou 4. A probabilidade pedida é a área sombreada em cinza claro na Figura.7. Osdois triângulos sombreados de cinza escuro têm a mesma área, por causa da simetria. Assim, podemos calcular a probabilidade usando a regra do complementar, uma vez que a área total é. A altura dos dois triângulos é 4 ; basta substituir o valor de na primeira equação e o valor de na segunda equação. Logo, a área de cada um dos triângulos é 4 8 e, portanto, Pr( ) Usando integral, temos Z Z Pr( ) 4 + μ 4 + μ 8 μ 8 (4 ) ³ 4 μ 4 8

11 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 9 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Figura.7: Ilustração do cálculo de Pr( ) 4. Como a função é simétrica, resulta que () Z ( Z 4 ³ ) μ 4 μ μ μ μ () Assim como a função de densidade de probabilidade, a função de distribuição acumulada será denida por equações: uma para os valores de no intervalo [ ) e outra para valores de no intervalo [ 4] Para [ ) temos que () é a área do triângulo sombreado na Figura.8(a) epara [ 4] éaárea sombreada na parte (b). e essa área pode ser calculada pela lei do complementar. Logo, () ( ) [ ) 4 Para [ 4] temos que () ³ (4 ) 4 Combinando os resultados obtidos, resulta a seguinte expressão para : se () 8 se 8 (4 ) se 4 se 4 Figura.8: Cálculo da função de distribuição acumulada do Exemplo Veja a Figura.9; para ográcode é uma parábola côncava para cima; para 4 ográcode é uma parábola côncava para baixo.,,,8,6,4,, Figura.9: Função de distribuição acumulada do Exemplo 6. Queremos determinar tal que () 6 Como () 5 resulta que Substituindo na expressão de () temos que ter 8 (4 ) ± ± 8

12 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS A raiz que fornece resultado dentro do domínio de denição de é 8 8. Exercícios resolvidos. Considere a seguinte função: ½ ( ) se () se ou (a) Esboce o gráco de () Veja a Figura.. Noteque() e () CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS (d) Calcule os quartis da distribuição. Se e são os três quartis, então ( ) 5; ( ) 5; ( ) 75 ( ) ± ± A raiz que fornece solução no intervalo ( ) que é odomínio de é 4 97 ( ) ± A raiz que fornece solução no domínio de é 4 ± Figura.: do Exercício (b) Encontre o valor de para que () seja uma função de densidade de probabilidade. Temos que ter para garantir a condição () Etambém Z ( ) μ (c) Encontre a função de distribuição acumulada. Por denição, () Pr( ) Portanto, para temos que Z () ( ) μ 4 e a expressão completa de () é se 4 () se se ( ) ± ± 7 A raiz que fornece solução no domínio de é (Bussab&Morettin) A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade se () + se se ou

13 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 4 Figura.: do Exercício - Pr( 5) (a) Qual é a probabilidade de se vender mais de 5 kg num dia escolhido ao acaso? Seja a variável aleatória que representa a demanda diária de arroz, em centenas de quilos. Veja a Figura., onde a área sombreada corresponde à probabilidade pedida. Nesse triângulo, a base é 5 5 eaalturaé ( 5) 5 + Logo, ou Pr( 5) Pr( 5) Z 5 ³ + μ μ μ +5 6 (b) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95% dos dias? Seja o valor a estocar. Para que a demanda seja atendida, é necessário que a quantidade demandada seja menor que a quantidade em estoque. Logo, queremos encontrar o valor de tal que Pr( ) 95 Como Pr( ) tem que ser maior que, ou seja, está no triângulo superior (veja a Figura.). Mas Pr( ) 95 éequivalenteapr( )5 Logo, 5 μ ( ) + μ + ( ) ± Figura.: do Exercício -b A raiz que dá a solução dentro do domínio de é centenas de quilos Usando integração: Z Pr( ) 5 ³ + 5 μ μ 6 + μ mesma equação obtida anteriormente.. Seja uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade dada por ½ se () caso contrário Calcule Pr Pr( ) Sabemos que Pr( ) Assim, Pr() μ Pr Pr Pr Pr Pr Z Z

14 CAPÍTULO. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 5. Exercícios propostos. A função de densidade de uma variável aleatória édadapelafunçãocujo gráco se encontra na Figura.. Capítulo Algumas Distribuições Contínuas. Distribuição uniforme Figura.: Função de densidade para o Exercício Proposto (a) Encontre a expressão de (b) Calcule Pr( ) (Resp: 4) (c) Determine tal que Pr( )8 (Resp.: 4 ) (d) Calcule a esperança e a variância de (Resp.: () 4; ( )8) (e) Calcule a função de distribuição acumulada e esboce seu gráco. Uma variável aleatória contínua tem distribuição uniforme no intervalo [ ] (nito) se sua função de densidade é constante nesse intervalo, ou seja, temos que ter () [ ] Então, o gráco da função de densidade de probabilidade de é como o ilustrado na Figura.:. O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória contínua com função de densidade dada por ½ ( () ) se caso contrário (a) Determine o valor de (Resp.: ) (b) Calcule () e Var() (Resp.: 58; 9) (c) Calcule Pr( ) (Resp.: 56). Uma variável aleatória tem função de densidade dada por ½ 6( ) se () caso contrário Se () e () calcule Pr( +)(Resp.: 979) 4. Uma variável aleatória tem função de distribuição acumulada dada por se () 5 se se Calcule () e () (Resp.: 56; 55) Figura.: Densidade uniforme no intervalo [ ] Para que tal função seja uma função de densidade de probabilidade, temos que ter e a área do retângulo tem que ser, ou seja, ( ) Logo, a função de densidade de uma variável aleatória uniforme no intervalo [ ] é dada por () se [ ] (.) Os valores e são chamados parâmetros da distribuição uniforme; note que ambos têm que ser nitos para que a integral seja igual a. Quando e temos a uniforme padrão, denotada por U( ) 6

15 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 7.. Função de distribuição acumulada Por denição, temos que () Pr( ) e essa probabilidade é dada pela área sob a curva de densidade à esquerda de conforme ilustrado na Figura.. CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 8.. Esperança Das propriedades da esperança e das características da densidade uniforme, sabemos que () é o ponto médio do intervalo [ ], ouseja, + () + Usando a integral: ou seja, () Z () ( )( + ) ( ) ( ) + (.) Figura.: Função de distribuição acumulada da densidade [ ] Essa é a área de um retângulo com base ( ) ealtura se () se a se Logo, O gráco dessa função de distribuição acumulada é dado na Figura.. Figura.: Função de distribuição acumulada da [ ] No caso da U [ ] temos que se () se se (.).. Variância Por denição, () [ ()] ;vamos, então, calcular : Logo, ou Z () μ ( ) + + μ Exercícios propostos () ( ) ( ) + + ( ) (.4) (.5). Você está interessado em dar um lance em um leilão de um lote de terra. Você sabe que existe um outro licitante. Pelas regras estabelecidas para este leilão, o lance mais alto acima de R$., será aceito. Suponha que o lance do seu competidor seja uma variável aleatória uniformemente distribuída entre R$., e R$ 5.,. (a) Se você der um lance de R$.,, qual é a probabilidade de você car com o lote? (Resp.: 4) (b) Se você der um lance de R$4.,, qual é a probabilidade de você car com o lote? (Resp.: 8) (c) Que quantia você deve dar como lance para maximizar a probabilidade de você ganhar o leilão?. O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de 5 ml. Suponha que a linha de produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo [45 55]

16 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 9 (a) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo superior a 5 ml? (Resp.:,) (b) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo inferior a 46 ml? (Resp.:,) (c) O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de 4 ml do conteúdo exibido na lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção? (Resp.:,) CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Como a f.d.p. exponencial depende apenas do valor de, esse é o parâmetro da densidade exponencial. Usaremos a seguinte notação para indicar que uma variável aleatória tem distribuição exponencial com parâmetro : exp() Na Figura.5 temos o gráco de uma densidade exponencial. para. Uma distribuição uniforme no intervalo [ ] tem média 7,5 e variância 6,75. Determine os valores de e, sabendo que (Resp.: e ). Distribuição exponencial Consideremos o gráco da função exponencial () dado na Figura.4. Podemos ver aí que, se entãoaáreasobacurvaélimitada,omesmovalendoparauma função mais geral () Então, é possível denir uma função de densidade a partir da função exponencial, desde que nos limitemos ao domínio dos números reais negativos. Mas isso é equivalente a trabalhar com a função para positivo. Figura.5: Densidade exponencial - Figura.4: Gráco da função exponencial natural () exp Mas Z μ Logo R e, portanto, () dene uma função de densidade de probabilidade para Denição. Diz-se que uma variável aleatória contínua tem distribuição exponencial com parâmetro se sua função de densidade de probabilidade é dada por ½ ().. Função de distribuição acumulada Por denição, temos que ou seja () Pr( ) Z () Z ½ se () se ³.. Alguns resultados sobre a função exponencial (.6) No cálculo dos momentos da densidade exponencial serão necessários alguns resutlados sobre a função exponencial que apresentaremos a seguir. O resultado crucial é lim (.7) Vamos mostrar esse resultado usando a regra de L Hôpital e demonstração por indução. Consideremos o caso em que Então lim lim

17 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS ou seja, Desse resultado segue que () (.9) Z Z (.) Figura.6: Função de distribuição acumulada da densidade exponencial - que tem a forma e, portanto, podemos aplicar L Hôpital, que diz que lim lim lim ( ) lim Logo, o resultado vale para Suponhamos verdadeiro para qualquer ; vamos mostrar que vale para + De fato: lim + + lim lim + ( ) ( +) lim ( +) lim ( +) pela hipótese de indução. De maneira análoga, prova-se um resultado mais geral dado por: lim e (.8).. Esperança O cálculo dos momentos da distribuição exponencial se faz com auxílio de integração por partes. A esperança é: Denindo ; () Z O método de integração por partes nos dá que: Z + Z ³ Pelo resultado (.7), o lado esquerdo desta última igualdade é zero. Logo, ()+ μ ()+..4 Variância Vamos calcular o segundo momento de uma variável aleatória exponencial. ( ) Z Seguindo raciocínio análogo ao empregado no cálculo da esperança, vamos denir: ; Logo, Z + Z Usando o resultado (.), resulta que e, portanto: Resumindo: ³ Z (.) Var() ( ) [()] Var () (.)..5 Parametrização alternativa ½ () exp() () (.) É possível parametrizar a densidade exponencial em termos de um parâmetro Neste caso, () ; () ( ) () Essa parametrização alternativa é mais interessante, uma vez que o valor médio é igual ao parâmetro, e será utilizada deste ponto em diante.

18 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS..6 Exercícios resolvidos. Seja uma variável aleatória exponencial com média 4. Calcule (a) Pr( ) A função de densidade é () 4 4 e a função de distribuição é () 4 Pr( ) Pr( ) () [ 4 ] (b) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) () () [ 4 ] [ 4] Seja exp() Calcule Pr( ()) Pr( ()) Pr( ()) (()) h i Note que essa é a probabilidade de uma variável aleatória exponencial ser maior que o seu valor médio; o que mostramos é que essa probabilidade é constante, qualquer que seja o parâmetro..7 Exercícios propostos. Seja uma variável aleatória com distribuição exponencial de média 8. Calcule as seguintes probabilidades: (a) Pr( ) (Resp.: 8655) (b) Pr( 8) (Resp.: 6788) (c) Pr(5 ) (resp.: 84). O tempo entre chegadas de automóveis num lava-jato é distribuído exponencialmente, com uma média de minutos. (a) Qual é a probabilidade de que o tempo entre chegadas de veículos neste lavajato seja maior que minutos? (Resp.: 44 6) (b) Qual é a probabilidade de que o tempo entre chegadas de veículos neste lavajato seja menor que 8 minutos? (Resp.: ) CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 4. Distribuição gama A distribuição gama é uma generalização da distribuição exponencial, que utiliza a função gama, cuja denição apresentamos a seguir... A função gama A função gama é denida pela seguinte integral: () Z Note que o argumento da função é que aparece no expoente da variável de integração A função gama tem a seguinte propriedade recursiva: ( +) () Para demonstrar esse resultado, iremos usar integração por partes. Fazendo Logo, ( +) Z Z ( +) Z ( +)+ Aqui usamos o resultado dado em (.7). Vamos trabalhar, agora, com inteiro. Em geral, se éinteiro, () Z ( +)() (.4) Z () ()! () ()! (4) ()! (5) 4 (4) 4 4! () ( )! (.5)

19 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 5.. A distribuição gama Denição. Diz-se que uma variável aleatória tem distribuição gama com parâmetros e se sua função de densidade de probabilidade é dada por () se () se (.6) Note que, quando resulta a densidade exponencial com parâmetro ou seja, a distribuição exponencial é um caso particular da densidade gama. Note que estamos usando a parametrização alternativa da densidade exponencial. Para vericar que a função dada em (.6) realmente dene uma função de densidade, notamos inicialmente que () Além disso, Z Z Z () () () Fazendo a mudança de variável resulta e, portanto, Z () () () () Z Z Z () () () Logo, as duas condições para uma função de densidade são satisfeitas. Usaremos a notação (; ) para indicar que a variável aleatória tem distribuição gama com parâmetros.. O gráco da distribuição gama Para a construção do gráco da densidade gama, devemos observar inicialmente que lim () e lim () Vamos, agora, calcular as derivadas primeira e segunda de () () ( () ) ³ μ () (.7) (.8) CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 6 Derivando () dada em (.7), temos que " ( )( ) () () ( ) ( # ) + ( () )( ) ( ) + ½ ³ ( () )( ) ( ) + ¾ ( ) () ( )( ) ( ) + (.9) Analisando as expressões (.8) e (.9), vemos que o sinal da derivada primeira depende do sinal de e o sinal da derivada segunda depende do sinal da expressão entre colchetes, que é uma função do segundo grau. Vamos denotar essa expressão por () de modo que () ( ) + ( )( ) Vamos analisar a derivada primeira. A primeira observação é que, se () ou seja, se a densidade gama é uma função estritamente decrescente. No caso em que, temosque () ( ) () () () () Logo, ( ) éumpontodemáximo Resumindo a dependência em : função de densidade gama é estritamente decrescente função de densidade gama tem um máximo em ( ) Vamos, agora, estudar a concavidade da função de densidade gama, analisando o sinal da derivada segunda, que será o mesmo sinal de () ( ) + ( )( ) que é uma função do segundo grau. Se podemos ver que () já que e Logo, se a função de densidade gama é côncava para cima e, como visto, estritamente decrescente. Vamos considerar, agora, o caso em que Para estudar o sinal de () temos que estudar o discriminante da equação de segundo grau denida por () [( )] 4 ( )( ) 4 ( ) 4 ( )( ) 4 ( ) [( ) ( )] 4 ( )

20 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 7 Se o discriminante é sempre positivo, ou seja, temos duas raizes reais distintas, calculadas da seguinte forma: ( )( ) ( ) + ( )( ) ( ) + q ( ) ± 4 ( ) 4 ( )( ) ( ) ± p ( )( +) ( ) ± ± Araiz + ésemprepositivapara. Jáaraiz só será positiva se ou seja, se Considerando a função de segundo grau () que dene o sinal da derivada segunda, vemos que o coeciente do termo quadrático é ; assim, a função é negativa (sinal oposto ao de ) para valores de entre as raízes, e positiva (mesmo sinal de ) fora das raízes. Veja a Figura.7; aípodemosverque,se a derivada segunda muda de sinal em dois pontos dentro do domínio de denição da densidade gama. Isso não ocorre se (ou ) uma vez que, neste caso a menor raíz é negativa (nula). CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 8 ou seja, a função de densidade é côncava para cima se se + ou e é côncava para baixo se + o que indica a ocorrência de dois pontos de inexão. Quando () se () + () se () + ou seja, a função de densidade gama é côncava para cima se () + e é côncava para baixo se () + o que indica a ocorrência de apenas um ponto de inexão. Na Figura.8 ilustra-seoefeitodoparâmetro sobre a densidade gama. Aí o parâmetro está xo ( )etemos o gráco para diferentes valores de. Note que, para o gráco é o da distribuição exponencial com parâmetro epara qualquer valor de o gráco terá essa forma Note que para só há um ponto de inexão; essa situação se repetirá para valores de no intervalo ( ]. Para valores de maiores que, há dois pontos de inexão. Na Figura?? ilustra-se o efeito do parâmetro sobre a densidade gama. Aí o parâmetro está xo ( ou )e temos o gráco para diferentes valores de. Analisando essas duas guras, vemos que o parâmetro tem grande inuência sobre a forma da distribuição, enquanto o parâmetro tem grande inuência sobre a escala (ou dispersão) da distribuição. Dessa forma, o parâmetro é chamado parâmetro de forma, enquanto o parâmetro é chamada parâmetro de escala r r,5,45,4, r r + - +,,5,,5,,5 4 5 r r Figura.7: Ilustração do sinal da derivada segunda da função de densidade gama Mais precisamente, se temos a seguinte situação: () se + () se + ou Figura.8: Efeito do parâmetro de forma sobre a densidade gama A seguir apresentamos um resumo dos resultados sobre a forma da densidade gama:. (a) estritamente decrescente (b) côncava para cima

21 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 9 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 4,4,,,,, ,,,,, Figura.9: Efeito do parâmetro de escala sobre a densidade gama (a) crescente se () (b) decrescente se () (c) máximo em ( ) (d) i. côncava para baixo se ( +) ii. côncava para cima se ( +) iii. único ponto de inexão em ( +) (e) i. côncava para cima se ( ) ii. côncava para baixo se ( ) ( +) iii. côncava para cima se ( +) iv. dois pontos de inexão: ( ) e ( + )..4 Esperança Se (; ),então () Z () () Z () Z Fazendo a mesma mudança de variável já usada anteriormente temos que Z () () () Z + () Z () ( +) () () () ou seja, ( ) ()..5 Variância De modo análogo, vamos calcular o segundo momento da densidade gama. ( ) Z () () Z () + Z Fazendo a mesma mudança de variável usada anteriormente temos que Z ( ) () () + Z + + () Z + () ( +) () ( +)( +) () ( +)() () ( +) Logo, () ( +) () + Resumindo: () ( ) (.) ()

22 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 4..6 Função de distribuição acumulada A função de distribuição da gama envolve a função gama incompleta e não será objeto de estudo neste curso...7 A distribuição de Erlang Quando o parâmetro de forma é um inteiro positivo, a distribuição gama é conhecida como distribuição de Erlang...8 A distribuição qui-quadrado Quando o parâmetro de forma é igual a com inteiro positivo, e o parâmetro de escala é resulta a distribuição qui-quadrado com graus de liberdade, cuja densidade é () se (.) Usaremos a seguinte notação para indicar que tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade: Usando os resultados dados em (.), temos () ().4 Distribuição de Weibull.4. Denição Uma variável aleatória tem distribuição de Weibull com parâmetros e se sua função de densidade de probabilidade é dada por () (.) Note que podemos reescrever essa expressão como () μ (.) e alguns autores (ver Rohatgi, por exemplo) usam um novo parâmetro em vez de Para mostrar que dene uma densidade, vamos mostrar que a integral é. Para tal, vamos fazer a seguinte mudança de variável: Dessa forma, Z μ μ ; μ Z CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 4.4. Esperança e variância Vamos calcular o momento de ordem : ( ) Z μ Fazendo resulta que e ; logo ( ) Z Z μ Z Fazendo resulta que e ; logo, Z Z ³ ( ) Z Z μ Fazendo obtemos que μ + () Fazendo obtemos que μ + ( ) e, portanto, μ μ + + ) () (.4. Função de distribuição acumulada Por denição, () Fazendo a mudança de variável resulta () Z μ μ Z μ μ ; Z μ exp μ

23 CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 4.5 Distribuição de Pareto.5. Denição Uma variável aleatória tem distribuição de Pareto com parâmetros e se sua função de densidade de probabilidade é dada por μ + se () se Para mostrar que () realmente dene uma função de densidade de probabilidade resta provar que a integral é, uma vez que () Z μ + Z Essa integral converge apenas se ou equivalentemente, pois nesse caso lim lim Satisfeita esta condição, temos que Na Figura. ilustra-se a distribuição depareto para e CAPÍTULO. ALGUMAS DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS Variância Se ( ) então ( ) Z μ + Z Para que essa integral convirja, temos que ter + ou Satisfeita esta condição, μ () Logo, μ () ( ) ( ) ( ) ( ) +() ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Resumindo: () ( ) () ( ) ( ) se se (.4).5.4 Função de distribuição acumulada Por denição, () Pr( ) se Para () Pr( ) Z μ + Z μ Figura.: Distribuição de Pareto -.5. Esperança Se ( ) então Z () μ + Z + + Para que essa integral convirja, temos que ter + ou Satisfeita esta condição, μ () + + +

24 CAPÍTULO. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 46 Como e resulta que Logo Capítulo Funções de Variáveis Aleatórias Contínuas Dada uma variável aleatória contínua com função de densidade () muitas vezes estamos interessados em conhecer a densidade de uma outra variável aleatória () denida como uma função de. Exemplo Se ( ) calcule a densidade de () ede (). : Temos que ½ () ou ½ () () Para calcular a função de densidade de probabilidade de () devemos notar que () Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) ( ) ( ) e, portanto () [ ()] [ ( )] [ ( )] ( ) ( μ ) ( ) + ( ) () De modo análogo, para e, portanto ( se caso contrário () Pr( ) Pr( ) Pr( ) () () () () () ()() ()+ () Como e resulta que () () Logo ½ se () caso contrário que é a densidade uniforme padrão.. Funções inversíveis Quando a função é inversível, é possível obter uma expressão para a função de densidade de. Teorema. Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade () e seja () uma outra variável aleatória. Se a função () é inversível e diferenciável, então a função de densidade de é dada por: () () () (.) Demonstração: Esse resultado segue diretamente da relação entre as funções de densidade e de distribuição acumulada dada na equação (.): () () (.) Suponhamos inicialmente que () seja crescente; nesse caso, () e ( ) ( ) Então, a função de distribuição acumulada de é: () Pr( ) Pr(() ) Mas, conforme ilustrado na Figura., () () Logo, () Pr(() ) Pr () () 45

25 CAPÍTULO. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 47 CAPÍTULO. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 48 y y g( X ) y g( X ) y X g ( y) g ( y) g ( y) X g ( y) Figura.: Função inversa de uma função crescente Da relação entre a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição e da regra da cadeia, segue que: () () () () () () (.) Como a inversa de uma função crescente também é crescente, resulta que () e, portanto, (.) pode ser reescrita como () () () () (.4) Quando () é decrescente, vale notar que que () e, conforme ilustrado na Figura., () () Dessa forma, () Pr( ) Pr(() ) Pr () Pr () Pr () () e, portanto () () () () () () (.5) Como () (lembre que estamos considerando decrescente agora, o que implica que a inversa também é decrescente), resulta () () Figura.: Função inversa de uma função decrescente e (.5) pode ser reescrita como () () () () (.6) Os resultados (.4) e (.6), para funções crescentes e decrescentes, podem ser reunidos para completar a prova do teorema. Quando a função não é monotóna, não podemos aplicar o teorema acima e nem sempre conseguiremos obter uma expressão usando os recursos vistos neste curso... Exemplo Seja ( ) isto é: ½ se () se ou Dena ln Vamos calcular a função de densidade de probabilidade de A função () ln é estritamente decrescente e podemos aplicar o Teorema.. Então, como segue que ln (ver Figura.). Por outro lado, a inversa de () ln é () e, portanto, () Como, então e a função de densidade de probabilidade de é () () uma vez que () no intervalo ( ) Note que essa é a densidade exponencial com parâmetro igual a.

26 CAPÍTULO. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 49 CAPÍTULO. FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 5,5 Pelas propriedades da esperança e da variância, se 5 então,5,5,5,5,5,5 4 4,5 5 -,5 - Z () μ 4 4 ( ) Z ( ) () 5 ( ) 4() μ ( )6 4 5 μ 5 () ,5 ( ) Transformação linear Figura.: Gráco da função () ln Consideremos a tranformação + que dene uma reta. Se éumavariável aleatória contínua com densidade () então podemos aplicar o Teorema. para calcular a densidade de Se () + então a função inversa é cuja derivada é Logo, a densidade de é ( ) () μ () (.7) Exemplo Se a função de densidade da variável aleatória é dada por ½ se () se ou calcule a função de densidade de 5 bemcomosuaesperançaesuavariância. : Temos que e 6 Como resulta que 6 6 Logo, μ +6 () se 6 6 ou seja μ +6 () 8 ( +6) se 6 6

27 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 5 4. Densidade normal padrão Capítulo 4 A Distribuição Normal 4. Alguns resultados de Cálculo Com o uso de coordenadas polares, pode-se mostrar que Z μ r exp Como o integrando é uma função par, temos também que Z μ Z μ exp exp ou ainda 4.. Exercício resolvido Calcule () Por denição, () r (4.) Z μ exp (4.) Z Vamos usar a seguinte transformação de variável: Então, Logo, ou seja: () Z q Z () Z r 4.. Denição μ Analisando a equação (4.), vemos que a função exp satisfaz as condições para ser uma função de densidade. Essa é, por denição, a densidade normal padrão () (note que () ) denida por: () exp μ (4.) Vamos denotar por (; ) a densidade normal padrão e, se uma variável aleatória é distribuída segundo uma normal padrão, representaremos esse fato como (; ) 4.. Esperança Seja ( ) Por denição, a esperança de é: Z () () Z exp μ Como () é simétrica em torno do ponto sabemos que () 4.. Variância Como () se (; ) então Z + () ( ) exp μ Z + exp μ uma vez que o integrando é par (note os limites de integração). Esta integral é calculada usando-se o método de integração por partes. Fazendo: exp μ exp μ resulta que: exp μ Z Pelos resultados (.7) e (4.)resulta Logo, r + Z exp exp μ + μ Z Z exp exp μ (4.4) r μ Var() r Var() (4.5) 5

28 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Características da curva normal padrão. Simétrica em torno de ; note que () (). Assíntotas: lim () lim () ;esse resultado segue diretamente do fato de que lim. Ponto de máximo Para calcular a primeira e segunda derivadas de () devemos lembrar que ( ) e, pela regra da cadeia, ( () ) () () Aplicando esses resultados à densidade normal padrão, obtemos que: () exp () (4.6) Derivando novamente, obtemos: () () () [()] () () () ()( ) (4.7) Analisando a equação (4.6) e lembrando que (), pode-severque: () eassim, é um ponto crítico. Como () para e () para então é crescente à esquerda de e decrescente à direita de Segue, então, que é um ponto de máximo e nesse ponto () (4.8) 4. Pontos de inexão Analisando a segunda derivada dada por (4.7), tem-se que: Além disso, () ± (4.9) () ou e () Logo, () é côncava para cima se ou e é côncava para baixo quando + Na Figura 4. temos o gráco da densidade normal padrão; aí as linhs pontilhadas indicam a ocorrência dos pontos de inexão CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 54,5,4,,, Figura 4.: Densidade normal padrão 4..5 Função de distribuição acumulada A função de distribuição acumulada de qualquer variável aleatória é denida por () Pr( ) No caso da densidade normal padrão, essa função é dada pela integral Z () exp μ (4.) para a qual não existe uma antiderivada em forma de função elementar. Assim, a função de distribuição acumulada da normal padrão é calculada por integração numérica. Todos os pacotes estatísticos possuem rotinas especiais para esse cálculo. No EXCEL, a função DIST.NORMP calcula Pr ( ) para qualquer onde (; ) 4..6 Tabulação da distribuição normal padrão Para completar o estudo da distribuição normal padrão, é necessário calcular probabilidades de quaisquer eventos, tais como Pr ( ) Por denição da função de densidade, essa probabilidade, no caso da normal padrão, é dada por: Z Pr( ) exp μ Como já dito, tal integral, que dá a área sob a curva compreendida entre os pontos e não pode ser calculada pelos procedimentos usuais; a diculdade está no fato de que aqui não podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, já que não existe uma função elementar cuja derivada seja exp μ Assim, para calcular probabilidades do tipo acima, é necessária a aplicação de métodos numéricos e esses métodos permitem tabular Pr( ) para qualquer valor de Ao nal deste capítulo, são dadas versões da tabela da normal padrão. Na Tabela é dada a distribuição acumulada para cada valor de ou seja é dado o valor de () Pr( ) Na Tabela, usa-se novamente o fato de a distribuição normal

29 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 55 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 56 ser simétrica para economizar no tamanho da tabela e apresenta-se, para cada () Pr( ). A partir de qualquer uma delas é possível calcular a probabilidade de qualquer evento associado à distribuição normal padrão. Em ambas, aabscissa é apresentada com casas decimais, sendo que a casa inteira e a primeira casa decimal estão nas linhas da coluna à esquerda e a segunda casa decimal está na linha superior da tabela Exemplos Seja ( ) Calcule:. Pr ( ) Essa probabilidade corresponde à área sombreada na Figura 4.. Pela Tabela, temos: Pr ( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) () () Pela Tabela, temos que Pr ( ) () 44 onde () representa o valor dado na Tabela correspondente à abscissa Figura 4.: Pr( 5). Pr( ) Essa probabilidade corresponde à área sombreada na Figura 4.4. Por simetria e pela continuidade dadensidade, temos que Da Tabela resulta Pr ( ) Pr( ) Pr( ) Pr ( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) () () Pela Tabela, temos que (note a simetria das áreas!) Pr ( ) Pr( ) () 44 Figura 4.: Pr( ). Pr ( 5) Essa probabilidade corresponde à área sombreada na Figura 4.. Pela Tabela, temos: Pr ( 5) Pr( 5) Pr( ) Pr( 5) Pr( ) ( 5) () Pela Tabela, temos que Pr ( 5) ( 5) () Pr ( ) Figura 4.4: Pr( )

30 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 57 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 58 Essa probabilidade corresponde à área sombreada em cinza claro na Figura 4.5. Por simetria, essa área (probabilidade) é igual à área sombreada em cinza escuro, que corresponde a Pr( ) Então, pela Tabela, temos: Pr ( ) Pr( ) Pr( ) ( ) Pela Tabela, temos que Pr ( ) Pr( ) 5Pr ( ) 5( ) Figura 4.6: Pr( ) Figura 4.5: Pr( ) 5. Pr ( ) Essa probabilidade corresponde à área sombreada na Figura 4.6. Pela Tabela, temos: Pr ( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) Pr( ) ( ) [ Pr( )] ( ) +() Pela Tabela, temos que Pr ( ) Pr ( ) Pr ( ) + Pr ( ) Pr( ) + Pr ( ) ( ) + ( ) Pr ( 5) Essa probabilidade corresponde à área sombreada na Figura 4.7. Pela Tabela, temos: Pr ( 5) Pr( 5) ( 5) Pela Tabela, temos que Pr ( 5) 5Pr ( 5) 5( 5) Figura 4.7: ( 5)

31 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Densidade (; ) 4.. Denição Seja (; ) e vamos denir uma nova variável aleatória () + em que Usando o resultado (.7), temos que: μ " () exp μ # ou ainda: () eessaéadensidadedanormal(; ) " exp μ # Denição 4. Uma variável aleatória contínua denida para todos os valores da reta real, tem densidade normal com parâmetros e onde e se sua função de densidade de probabilidade é dada por () exp ( ) (4.) Usaremos a seguinte notação para indicar que uma variável aleatória tem distribuição normal com parâmetros e : (; ) 4.. Características da curva normal. Simétrica em torno de ; note que ( ) ( + ). Assíntotas: lim () lim () ;esse resultado segue diretamente do fato de que lim. Ponto de máximo Para calcular a primeira e segunda derivadas de () devemos lembrar que ( ) e, pela regra da cadeia, ( () ) () () Aplicando esses resultados à densidade normal, obtemos que: () exp ( ) μ ( ) () (4.) Derivando novamente, obtemos: μ () () () μ () () ( ) () () ( ) () (4.) 4 Analisando a equação (4.) e lembrando que (), pode-severque: () 4 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 6 e assim, é um ponto crítico. Como () para e () para então é crescente à esquerda de e decrescente à direita de Segue, então, que é um ponto de máximo e nesse ponto () 4. Pontos de inexão Analisando a segunda derivada dada por (4.), tem-se que: ½ () ( ) + Além disso, e (4.4) (4.5) () ( ) ou (4.6) + ou () ( ) ½ + (4.7) Logo, () écôncavaparacimase+ ou eécôncavaparabaixo quando + Na Figura 4.8 é apresentado o gráco da densidade normal no caso em que e Aí a linha pontilhada central representa o eixo de simetria e as linhas pontilhadas laterais passam pelos pontos de inexão ± 4.. Parâmetros da (; ) Se ; então +, emque (; ) Das propriedades de média e variância, sabemos que, se é uma variável aleatória e 6e são constantes quaisquer, então Resulta, então, que se ; então e ( + ) ()+ (4.8) Var( + ) Var () () + () + () (4.9) Var () Var () Var () (4.)

32 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 6 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 6,5,4 N(;),5,,4, N(;), N(;),,,, , Figura 4.8: Densidade normal com média e variância Resumindo: ; ½ () () (4.) Figura 4.9: Exemplos de densidades normais com mesma variância e médias diferentes Os parâmetros da densidade normal são, então, a média e a variância, que são medidas de posição e dispersão, respectivamente. Valores diferentes de deslocam o eixo de simetria da curva e valores diferentes de mudam a dispersão da curva. Quanto maior mais espalhada é a curva; mas o ponto de máximo, dado pela equação (4.4), é inversamente proporcional a Logo, quanto maior mais espalhada e mais achatada é a curva. A questão é que a forma é sempre a de um sino. Na Figura 4.9 temos exemplos de densidades normais com a mesma variância, mas com médias diferentes. O efeito é o delocamento da densidade. Já na Figura 4., temos duas densidades com a mesma média, mas variâncias diferentes. O efeito é que a densidade com maior variância é mais dispersa e achatada Função de dsitribuição acumulada Como no caso da normal padrão, a função de distribuição acumulada não pode ser calculada diretmanete, sendo necessários programas computacionais.com o auxílio da função DISTR.NORM do Excel foi obtida a Figura 4.. onde temos os grácos da função de distribuição acumulada para as densidades ( ) ( ) e ( ). Note que, pela simetria da densidade em torno da média sempre teremos () 5,5,4 N(;),, N(;4),, Figura 4.: Exemplos de densidades normais com mesma média e variâncias diferentes

33 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 6 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 64, N(;), N(;),8,6 N(;),4,, Figura 4.: Função de distribuição acumulada de várias densidades normais 4..5 Cálculo de probabilidades de uma variável normal O resultado a seguir garante que probabilidades de qualquer variável normal podem ser calculadas a partir das probabilidades da normal padrão. De fato, já foi visto que se então + onde ( ) Vamos ver como utilizar esse resultado para calcular probabilidades da normal. Temos que μ Pr ( ) Pr μ Pr μ (4.) Na Figura 4. ilustra-se esse fato com as densidades (; ) e (; 4) No gráco inferior a área sombreada representa Pr( 5) e, no gráco superior, a área sombreada representa a probabilidade equivalente: μ Pr( 5) Pr 5 Pr( ) O que o resultado diz é que essas áreas (probabilidades) são iguais. Esse resultado mostra que probabilidades de qualquer variável normal podem ser obtidas a partir de probabilidades da normal padrão e, assim, só é necessário tabular a distribuição normal padrão. Figura 4.: Ilustração da propriedade (4.) 4..6 Exemplos. Se ( 4) calcule Pr ( 5)

34 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 65 Temos que (veja Figura 4.) μ Pr ( 5) Pr 5 Pr(5 5) Pr( 5) ( 5) 49 [( 5) 5] [ 99 5] 8668 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 66. Se ( 4) calcule Pr (7 5) Temos que (veja Figura 4.5) μ 7 Pr (7 5) Pr 5 Pr(5 ) Pr(5 ) + Pr ( ) Pr( 5) + ( ) ( ) (5 ) ( ) [ (5 )] Figura 4.: ( 4) : Pr( 5) Pr( 5 5). Se ( 9) calcule Pr ( 5) Temos que (veja Figura 4.4) Pr ( 9) μ () () 5 () Pr Pr( ) ( ) ( ) Figura 4.5: (; 4) : Pr(7 5) Pr(5 ) 4. Se calcule Pr ( +) Temos que (veja Figura 4.6): Pr ( +) μ + Pr Pr( ) Pr ( ) ( ) ' 95% Note que essa probabilidade não depende dos parâmetros e Isso signica que a probabilidade de uma variável aleatória normal estar compreendida entre dois desvios padrões em torno da média é sempre 95%! Figura 4.4: ( 9) : Pr( 9) Pr( ) 5. Se (; 9) encontre o valor de tal que Pr( )95 Aqui, estamos analisando um problema inverso: dada a probabilidade de um evento, queremos encontrar a abscissa correspondente. Nesse exemplo, podemos observar que a abscissa tem que estar do lado direito da curva, ou seja, acima da média, uma vez que a probabilidade abaixo dela tem que ser maior do que,5.

35 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 67 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 68 Como no exemplo anterior, dada a probabilidade de um evento, queremos encontrar a abscissa correspondente. Nesse exemplo, podemos observar que a abscissa tem que estar do lado esquerdo da curva, ou seja, abaixo da média, uma vez que a probabilidade abaixo dela tem que ser menor do que,5. Em termos da probabilidade equivalente da normal padrão : μ Pr( ) Pr Pr μ Figura 4.6: (; ):Pr( +) Pr( ) Para resolver este problema, devemos, como antes, obter a probabilidade equivalente em termos da normal padrão (veja a Figura 4.7): μ Pr( )95 Pr 95 μ μ Pr 95 Pr( ) + Pr 95 μ μ Veja a Figura 4.8. Seabaixodaabscissa temos área de,, pela simetria da curva, temso que ter área, acima da abscissa simétrica. Ou seja, acima de temosárea,e,portanto,aáreaentree tem que ser,4. μ Pr μ Pr μ Pr 4 μ Então, na Tabela, temos que procurar, no corpo da tabela, a abscissa que corresponde à área de,45. É fácil ver que essa abscissa é,64, ou seja: Figura 4.8: (; 9) : Pr( ) Exemplo: qui-quadrado e normal Seja (; ) econsidere Para temos Figura 4.7: (; 9) : Pr( ) Se (; 9) encontre o valor de tal que Pr( ) () Pr( ) Pr( ) Pr( ) ( ) ( ) ( ) ( )

36 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 69 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 7 e, portanto, usando a regra da cadeia, resulta que () [ ( )] [ ( )] ( ) ( μ ) ( ) + ( ) Ã! Ã exp +! exp exp ³ ³ exp Comparando com a densidade qui-quadrado dada em (.) () ( ) se vemos que () é uma qui-quadrado com grau de liberdade, ou seja, se (; ) então. Este resultado se generaliza da seguinte forma: se são variáveis aleatórias independentes, todas com distribuição normal padrão, então tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. Dessa denição ca mais claro o conceito de graus de liberdade: é o número de parcelas independentes em uma soma de variáveis aleatórias. Já foi visto que, se então () e () Na Figura 4.9 são apresentados os grácos para 6 Para o gráco tem sempre forma semelhante ao último gráco desta gura Tabela da qui-quadrado Ao contrário da distribuição normal, não existe relação entre as diferentes distribuições qui-quadrado. Assim, para o cálculo de probabilidades desta distribuição seria necessária umatabelaparacadavalorde ou o uso de programas computacionais. Nos livros didáticos é comum apresentar uma tabela da distribuição qui-quadrado que envolve os valores críticos, ou seja, valores que deixam determinada probabilidade acima deles. Mais precisamente, o valor crítico da associado à probabilidade é o valor ; tal que Pr( ;) Veja a Figura 4.. Ao nal desta apostila apresentamos a Tabela, que fornece os valores críticos da distribuição qui-quadrado. Nas linhas da tabela temos os graus de liberdade e nas colunas, a área na cauda superior. O corpo da tabela fornece o vcalor crítico ; n,6,5,4,,, n,5,,5, n 6 Figura 4.9: Distribuição qui-quadrado

37 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 7 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 7 Sabemos que () () e, também, no caso da normal padrão, () () Logo, pela regra da cadeia, μ ln () μ ln " exp μ # ln 4.4. Exemplos Figura 4.: Valor crítico da qui-quadrado. Na distribuição 5 encontre a abscissa tal que Pr( 5 )5 Temos que considerar a linha correspondente a 5 graus de liberdade e a coluna correspondente a 5 o que nos dá Na distribuição encontre a abscissa tal que Pr( ). O problema dá a cauda inferior. Temos que Pr( () ) Pr( () ) 9 Temos que considerar a linha correspondente a graus de liberdade e a coluna correspondente a 9 o que nos dá ou ainda: 4.5. Esperança Aesperançade é: () ( ) " exp Z Fazendo a mudança de variável ln temos que μ # ln " exp μ # ln 4.5 A distribuição log-normal 4.5. Denição Seja ( ) Se denimos uma nova variável aleatória então diz-se que tem distribuição log-normal com parâmetros e Reciprocamente, se tem distribuição log-normal, então ln tem distribuição ( ) Vamos calcular a função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória lognormal a partir de sua função de distribuição acumulada. Note que só pode assumir valores positivos. Temos que: () Pr( ) Pr Pr( ln ) μ μ ln ln Pr Pr μ ln

38 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 7 e, portanto ( ) Z Z Z Z exp exp μ " exp μ # exp + " exp + # + " + # Z " exp Z exp μ " exp μ + # Z ( exp μ + ) à +! exp exp à exp +! + Z ( + ) exp Mas o termo entre os colchetes externos é a integral de uma densidade normal com média + e variância ; logo, essa integral é e, portanto: à ( ) exp +! μ exp ( )exp μ + (4.) # CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Variância Vamos calcular de modo análogo ( ) usando a mesma transformação: Z " ( ) exp μ # ln Z " exp μ # Z " exp μ +# Z exp + 4 Z " exp + # + Z exp " + # exp μ " # exp μ Z exp Z ( exp μ + ) à +! exp exp à exp +! Z ( + + ) exp Como antes, o termo entre os colchetes externos é porque é a integral de uma densidade normal com média + e variância Logo, à ( ) exp +! μ exp ( )exp + e Var( ) exp + exp μ + ³ Denindo () exp ) exp + exp μ + exp + exp + exp " + exp + exp ( + ) exp + exp + exp + exp + temos que exp + Logo, # Var( ) h i (4.4)

39 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Exercícios propostos. Na distribuição normal ( ), encontre: (a) Pr( +) (Resp.: 9775) (b) Pr( ) (Resp.: 6868) (c) Pr( 96) (Resp.: 95) (d) o número tal que Pr( + ) 99 (Resp.: 58 ) (e) o número tal que Pr( )9 (Resp.: 8). Suponha que os tempos de vida de marcas de aparelhos elétricos sejam variáveis aleatórias e, onde (4 6) e (45 9). Se o aparelho deve ser usado por um período de 45 horas, qual marca deve ser preferida? E se for por um período de 49 horas? (Resp.: ;). Numa distribuição normal, % dos elementos são menores que 45 e 8% são maiores que 64. Calcular os parâmetros que denem a distribuição. (Resp.: 5; ) 4. As vendas de um determinado produto têm distribuição aproximadamente normal com média de 5 unidades e desvio padrão de 5 unidades. Se a empresa decide fabricar 6 unidades no mês em estudo, qual a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada? (Resp.: 8) 5. Um produto alimentício é ensacado automaticamente, sendo o peso médio de 5 kg por saco, com desvio padrão de,6 kg. Os clientes exigem que, para cada saco fornecido com menos de 48 kg, o fornecedor pague uma indenização de 5 u.m.. (a) Para sacos fornecidos, qual o custo médio com indenização? (Resp.: 5 6 u.m) (b) Paraqueocustocalculadonoitemanteriorcaiapara5u.m.,qualdeveria ser a nova regulagem média da máquina? (Resp.: 5 64) (c) Como o fornecedor acha que, no custo global, é desvantajoso aumentar a regulagem da máquina, ele quer comprar uma nova máquina. Qual deveria ser o desvio padrão dessa máquina para que, trabalhando com peso médio de 5 kg, em apenas % dos sacos se pague indenização? (Resp.: 64) 6. Um teste de aptidão para o exercício de uma certa prossão exige uma sequência de operações a serem executadas rapidamente uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em, no máximo, 8 minutos. Admita que o tempo, em minutos, para completar a prova seja uma variável aleatória normal com média 9 minutos e desvio padrão minutos. (a) Que porcentagem dos candidatos tem chance de ser aprovada? (Resp.: 85) (b) Os 5% melhores receberão um certicado especial. Qual o tempo máximo para fazer jus a tal certicado? (Resp.: 57 min) CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL O diâmetro de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição normal com média,64 e desvio padrão,5. O lucro de cada esfera depende do seu diâmetro e se a esfera é boa, isto é, se a esfera é recuperável, isto é, 68 6 ou 68 6 se a esfera é defeituosa, isto é, 68 ou 6 Calcule as probabilidades de as esferas serem boas, recuperáveis e defeituosas e o lucro médio. (Resp.: 894; 9; 64; 96) 8. Uma empresa produz televisores e garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar algum defeito grave no prazo de 6 meses. Ela produz televisores do tipo A comum e do tipo B de luxo, com um lucro respectivo de u.m. e u.m. caso não haja restituição, e com prejuízo de u.m. e 8 u.m., se houver restituição. Suponha que o tempo para ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição normal com médias 9 meses e meses e desvios padrões meses e meses. Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa, você incentivaria as vendas dos aparelhos tipo A ou tipo B? (Resp.: ( ) 7 8; ( ) 77) 9. A distribuição dos pesos de coelhos criados em uma granja pode ser representada porumadistribuiçãonormalcommédiade5kgedesviopadrãode,8kg. Um abatedouro comprará 5 coelhos e pretende classicá-los de acordo com o peso da seguinte forma: % dos leves como pequenos, os 55% seguintes como médios, os 5% seguintes como grandes e os % mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classicação? (Resp.: 4 8; 5 56; 6 4). Considere uma variável aleatória ( 5) : (a) Calcule Pr ( ) (Resp.: 849) (b) Calcule Pr ( 8) (Resp.: 6868) (c) Encontre o valor de tal que Pr( )5 (Resp.: ) (d) Encontre o valor de tal que Pr( )8 (Resp.: ). Seja Encontre a mediana e o intervalo interquartil de (Resp.: ; 4). O 9 o percentil de uma variável aleatória é 5, enquanto o 5 o percentil é 5. Encontre os valores dos parâmetros da distribuição. (Resp.: 6 5; 9). Uma enchedora automática enche garrafas de acordo com uma distribuição normal de média ml. Deseja-se que no máximo garrafa em saia com menos de 99ml. Qual deve ser o maior desvio padrão tolerável? (Resp.: 4 98)

40 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 77 CAPÍTULO 4. A DISTRIBUIÇÃO NORMAL 78 Tabela Tabela da Distribuição Acumulada da Normal Padrão Valores de p p ( z) Pr( Z z) Tabela Distribuição normal padrão Valores de p p Pr( Z z) Casa inteira a decimal e a. Decimal ,,5,599,5798,597,5595,5994,59,579,588,5586,,598,548,54776,557,55567,5596,5656,56749,574,5755,,5796,587,5876,5995,5948,5987,657,664,66,649,,679,67,655,69,67,668,6458,644,648,657,4,6554,659,6676,6664,67,6764,6774,688,6849,6879,5,6946,69497,69847,794,754,7884,76,7566,794,74,6,7575,797,77,7565,789,745,7457,74857,7575,7549,7,7584,765,7644,767,775,777,7767,7795,78,7854,8,7884,79,7989,7967,79955,84,85,8785,857,87,9,8594,8859,8,88,869,8894,847,898,8646,889,,844,8475,8464,84849,858,854,8554,85769,8599,864,,864,8665,86864,8776,8786,8749,87698,879,88,8898,,8849,88686,88877,8965,895,8945,8967,89796,8997,947,,9,949,9658,984,9988,949,99,9466,96,9774,4,994,97,9,964,957,9647,9785,99,956,989,5,99,9448,9574,9699,98,994,946,9479,9495,9448,6,945,946,9478,94845,9495,955,9554,9554,955,95449,7,9554,9567,9578,9588,9597,95994,968,9664,9646,967,8,9647,96485,9656,9668,967,96784,96856,9696,96995,976,9,978,979,9757,97,978,9744,975,97558,9765,9767,,9775,97778,978,9788,979,9798,98,9877,984,9869,,984,9857,98,984,988,984,9846,985,9857,98574,,986,98645,98679,987,98745,98778,9889,9884,9887,98899,,9898,98956,9898,99,996,996,9986,99,994,9958,4,998,99,994,9945,9966,9986,995,994,994,996,5,9979,9996,994,994,99446,9946,99477,9949,9956,995,6,9954,99547,9956,9957,99585,99598,9969,996,996,9964,7,9965,99664,99674,9968,9969,997,997,997,9978,9976,8,99744,9975,9976,99767,99774,9978,99788,99795,998,9987,9,998,9989,9985,998,9986,9984,99846,9985,99856,9986,,99865,99869,99874,99878,9988,99886,99889,9989,99896,999,,999,9996,999,999,9996,9998,999,9994,9996,9999,,999,9994,9996,9998,9994,9994,99944,99946,99948,9995,,9995,9995,99955,99957,99958,9996,9996,9996,99964,99965,4,99966,99968,99969,9997,9997,9997,9997,99974,99975,99976,5,99977,99978,99978,99979,9998,9998,9998,9998,9998,9998,6,99984,99985,99985,99986,99986,99987,99987,99988,99988,99989,7,99989,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,8,9999,9999,9999,99994,99994,99994,99994,99995,99995,99995,9,99995,99995,99996,99996,99996,99996,99996,99996,99997, ,,99997,99997,99997,99997,99997,99997,99998,99998,99998,99998 Para abscissas maiores que 4,9, use a probabilidade, Casa inteira e a. Decimal a decimal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ara abscissas maiores que 4,9, use a probabilidade,5