Prepara. Prof. Nero Buralde WEB. Índice

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1 Prepara Índice 1. Números inteiros, racionais e reais Equações e Inequações de 1º e 2º Graus Sistemas Lineares Funções; Gráficos Razões e Proporções Regra de Três Simples e Composta Porcentagem Juros Simples Juros Compostos Sistemas Legal de Medidas Seqüências Numéricas Progressão Aritmética Progressão Geométrica Função Exponencial Equações Exponenciais Logaritmos Função Logarítmica Equações Logarítmicas Rendas... Métrica: áreas e volumes Amortiza o de Empr stimos e Finanaciamento Infla o Triângulos, e Corre o Quadriláteros Monetƒria... e Círculos Fluxo A Trigonometria de Caixa... no Triangulo Retângulo Avalia o de Alternativas de Investimento Matem tica

2 Prepara

3 Prepara Números inteiros, racionais e reais Conjunto dos números naturais (N) São aqueles números que aparecem naturalmente ao longo de um processo de contagem. N = {0, 1, 2, 3,...} Conjunto dos números inteiros (Z) É formado por todos os números naturais e por seus respectivos opostos. Z ={...,-3, -2, - 1, 0, 1, 2,...} Conjunto dos números Racionais (Q) São os números que podem ser expressos sob a forma de fração. Multiplicação e divisão de números racionais Na forma decimal, temos: a) 2,4 b) 31, , ,7 Obs.: multiplica-se sem observar a vírgula e ao final conta-se as casas após a vírgula e coloca-se no produto. No caso da divisão devemos emparelhar as casas após a vírgula e após retira-la, ficando apenas com números naturais o que facilita a resolução. Exemplos: a) 3,41 2 b) 31,2 4 Q = {x x = a, com a Z e b Z*} b Exemplos: a) 5 = 5 = 10 b = 2,4 = Operações elementares Adição e subtração de números racionais Para somarmos números racionais na forma decimal devemos colocar um sobre o outro, vírgula sobre vírgula e somar os elementos de mesma ordem. Para subtrairmos números racionais na forma decimal devemos colocar o maior em cima e o menor embaixo e então subtrair e ao final atribuir o sinal do maior deles (lembre-se de completar com zeros apos a vírgula). Exemplos: a) 134,7 b) 2,741 c) 13, ,2 + 31,4-9,10 195,9 34,141 4,36 Na soma ou subtração de números racionais na forma fracionária, somamos e/ou subtraímos os numeradores (através de m.m.c. deixamos os denominadores iguais) e conservamos o denominador = = m.m.c. (8,12) = = 14-5 = m.m.c. (20, 8) = 40 3 a) 3,41 2,00 b) 31,2 4, , , Lembremos que toda forma decimal pode ser escrita na forma fracionária. Toda dízima periódica é um número racional, pois pode ser escrito na forma de uma fração, observe: 0, = 4 0, = 14 0, = Note que devemos colocar um nove no denominador para cada dígito que repetirá. Obs.: 1, = 1 + 0,2424 = = = , = 3,2 + 0,0777 = = = , = Potenciação Potência é um produto de fatores iguais. a n = a.a.a... a (n fatores) O número real a é chamado base da potência e o número natural n é chamado expoente da potência. Exemplos: a) 2 4 = = 16 b) (-2) 3 = (-2).(-2).(-2) = -8 c) 1 2 = 1. ( 1 = 1 2 ) Matem tica

4 Prepara Casos particulares a) Toda potência de expoente 1 é igual à base. a 1 = a Exemplo: (-3) 1 = -3 b) Toda potência de expoente zero é igual a 1. a 0 = 1 Exemplo: (-5) 0 = 1 c) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. Exemplo: 2-3 = 1 = a -n = 1 (a 0 e n inteiro) a n Propriedades das potências a) a m. a n = a m+n Exemplo: = = 2 11 b) a m : a n = a m-n Exemplo: 3 10 : 3 2 = =3 8 c) (a m ) n = a m.n Exemplo: (7 3 ) 4 = = 7 12 d) (a.b) m = a m. b m Exemplo: (5.3) 2 = Exercícios 01. O valor de 8 0, ,5 é a) 2 b) 1 c) 3-2 d) -2 e) Desenvolvendo a expressão a. 2 a 4 a + 4 a + 4 a + 4 a + 4 a resulta a) 1/2 a b) 1/2 c) 2 a-5 d) 4-2a e) 1/5 03. O valor numérico da expressão (9 x - 27 x ) 2 para 3 x = 2, é igual a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) Se 10 x+2 = 25, então 10 x é igual a a) 1/25 b) 1/4 c) 4 d) 25/2 e) 26 Gabarito 01. b 02. e 03. c 04. c Radiciação Sendo a e b números reais positivos e n um número inteiro maior que 1, temos por definição que: n a = b b n = a Lembremos que os elementos de n a = b são assim denominados: Sinal do radical; n índice do radical; a Radicando; b Raiz. Observação: Quando o índice é 2, usualmente não se escreve. Raiz de um número real Consideremos o radical n a e verifiquemos os seguintes casos: a) ÍNDICE PAR: Se n é par, todo número real positivo tem duas raízes veja: (-7) 2 = 49 (7) 2 = = ±7 Observacão: Não existe raiz real de um número negativo se o índice do radical for par. Veja: -9 = nenhum real porque (nenhum real) 2 = -9 b) ÍNDICE ÍMPAR: Se n é ímpar, cada número real tem apenas uma única raiz. Veja: 3 8 = 2 porque 2 3 = = -2 porque (-2) 3 = -8 Potência com expoente fracionário Sé a é um número real positivo e m/n é um número racional, com m e n inteiros e n > 0, definimos: a m/n = n a m Propriedades dos radicais Para os radicais de radicandos positivos valem as seguintes propriedades: 1ª Propriedade: n a n = a a n/n = a 1 = a 2ª Propriedade: n a.b = n a. n b Radical de um produto é igual ao produto dos radicais. 4 3ª Propriedade: n n a a = n b b Radical de um quociente é igual ao quociente dos radicais.

5 Prepara Simplificação de radicais Simplificar um radical significa escrevê-lo sob a forma mais simples e equivalente ao radical dado. Destacamos os seguintes casos de simplificação: 1º Caso: O índice e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número (diferente de zero). Exemplos: a) = 12/3 3 10/2 = b) = 9/3 7 12/3 = º Caso: O expoente do radicando é um múltiplo do índice. Exemplos: a) 7 10 = 7 5 b) = 7 4 c) = 7 5 d) a 6 = a 3 3º Caso: O expoente do radicando é maior do que o índice. Exemplos: a) x 11 = x 10. x = x 5. x b) 4 a 7 = 4 a 4. a 3 = a. 4 a 3 Operações com radicais Adição e subtração 1º Caso: Os radicais não são semelhantes. Devemos proceder do seguinte modo: a) Extrair as raízes (exatas se possível); b) Somar ou subtrair os resultados. Exemplos: = = = 7-5 = 2 2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice. Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice. Exemplos: = = = : 3 = : = : = Potenciação Conservamos o índice e elevamos o radicando à potência indicada. ( n a) p = n a p Exemplos: a) ( 7 3) 4 = b) ( 3 m 2 ) 2 = 3 m 4 Radiciação Conservamos o radicando e multiplicamos os índices. m n a = m.n a Exemplos: m a 1/n = (a 1/n ) 1/m = a m.n = m.n a 3 5 = = = = º Caso: Os radicais são semelhantes Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica. Exemplos: = = º Caso: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados. Exemplos: = = = = = = = 7 2 Multiplicação e divisão 1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice. Efetuamos a operação entre os radicandos. Exemplos: = (4.5) : 3 2 = (15:3). 6:2 = Matem tica

6 Prepara Exercícios 01. (FUNDATEC) O número não é múltiplo inteiro de (A) 3 (D) 10 (B) 6 (E) 12 (C) 9 Nessas condições, é correto afirmar que (A) serão usadas apenas 20 prateleiras. (B) deixarão de ser usadas apenas 11 prateleiras. (C) deixarão de ser usadas apenas 6 prateleiras. (D) serão necessárias 8 prateleiras para acomodar todos os impressos do tipo A. (E) serão necessárias 10 prateleiras para acomodar todos os impressos do tipo B. 02. (UFRJ) Um milionésimo de 250 pode ser escrito como (A) 0,00025 (B) 0,0025 (C) 0,25 (D) (E) (FUNDATEC) Uma pessoa consome os comprimidos A, B e C de acordo com a seguinte prescrição: Comprimido A = de 6 em 6 horas Comprimido B = de 8 em 8 horas Comprimido B = de 10 em 10 horas Se no dia 10/04/2006 os três comprimidos A, B e C foram ingeridos, simultaneamente, às 7h, o mesmo fato deverá ocorrer, novamente, no dia (A) 12/04/2006, às 12h (B) 14/04/2006, às 19h (C) 15/04/2006, às 7h (D) 16/04/2006, às 7h (E) 16/04/2006, às 19h 04. (FCC) Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é igual a um número natural em que todos os algarismos são iguais a 1. A soma dos algarismos de N é, (A) 27 (D) 37 (B) 29 (E) 45 (C) (FUNDATEC) A expressão 3 + equivalente a (A) 47/14 (B) 33/5 (C) 41/14 (D) 39/ /4 06. (FCC) Em um armário que tem 25 prateleiras vazias devem ser acomodados todos os 456 impressos de um lote: 168 de um tipo A e 288 de um tipo B. Incumbido de executar essa tarefa, um auxiliar recebeu as seguintes instruções: Em cada prateleira deve ficar um único tipo de impresso Todas as prateleiras a serem usadas devem conter o mesmo número de impressos Deve ser usada a menor quantidade possível de prateleiras é (UFRJ) Se N = e M = , então o máximo divisor comum de N e M é igual a (A) 240 (B) 525 (C) (D) (E) (FCC) Uma pessoa tem 28 cédulas de R$ 10,00, 54 cédulas de R$ 5,00, 96 moedas de R$ 0,50 e x moedas de R$ 0,10, num total de R$ 650,00. 0 número x é igual a (A) 520 (D) 588 (B) 556 (E) 600 (C) (UFRJ) 0 resultado de 5-20 /10-15 é um número (A) menor do que 1 (B) entre 1 e 10 (C) entre 10 e 100 (D) entre 100 e (E) maior do que (FCC) Qual dos números seguintes NÃO é equivalente ao número 0, ? (A) 5/ (B) 6, (C) 62, (D) 6 1/ (E) (UFRJ) Uma equipe realizou, num primeiro dia, três oitavos de uma tarefa. No dia seguinte, executou um terço do que faltava. Ainda falta executar a seguinte fração da tarefa (A) 5/12 (D) 4/9 (B) 3/166 (E) 2/11 (C) 7/ (UFRJ) Gastei R$ 16,67 na padaria e o dobro dessa quantia na quitanda. Meu plano é gastar, no supermercado, no máximo o dobro do que gastei até agora. Se eu tinha R$ 200,00, antes dessas compras, e se conseguir manter meu plano, então voltarei com no máximo a seguinte quantia, em reais (A) 34,23 (D) 57,34 (B) 42,56 (E) 66,69 (C) 49,97

7 Prepara 13. (UFRJ) A tabela a seguir mostra o número de gols marcados por partida em um campeonato de futebol: Número de gols marcados na partida Número de partidas Nesse campeonato, o número total de gols marcados foi igual a (A) 188 (B) 234 (C) 256 (D) 288 (E) (FUNDATEC) O valor da expressão 6 0,001 0, ,1 é 0,04 0, (A) 0,1 (B) 1 (C) 10 (D) 100 (E) (FUNDATEC) Sendo m um número inteiro maior que 2 e A = 2 m 2 3 m, o número de divisores inteiros e positivos de A é (A) 2m - 2 (B) 2m - 1 (C) m 2-1 (D) 6 m - 2 (E) 2m (FCC) Um armário tem quatro prateleiras. Do total de processos que um auxiliar judiciário deveria arquivar nesse armário, sabe-se que: 1/5 foi colocado na primeira prateleira, 1/6 na segunda, 3/8 na terceirae os 62 processos restantes na quarta. Assim sendo, o total de processos arquivados era (A) 240 (B) 210 (C) 204 (D) 120 (E) (FCC) Astolfo pretendia telefonar para um amigo, mas não conseguia se lembrar por inteiro do número de seu telefone; lembrava-se apenas do prefixo (constituído pelos quatro algarismos da esquerda) e de que os outros quatro algarismos formavam um número divisível por 15. Ligou para sua namorada que lhe deu a seguinte informação: lembro-me apenas de dois dos algarismos do número que você quer: o das dezenas, que é 3, e o das centenas, que é 4". Com base no que ele já sabia e na informação dada pela namorada, o total de possibilidades para descobrir o número do telefone de seu amigo é (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) (FCC) O caixa automático de um banco possui notas de 2, 5, 10 e 50 reais para operações de saque e está programado para disponibilizar sempre o menor número possível de notas para o sacador. Nestas condições, um único saque de R$ 298,00 implicará um total de notas igual a (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) (FCC) Uma pessoa tem apenas uma nota de 10 reais para pagar a quantia de R$ 9,35 gasta em uma padaria. Se o caixa dessa padaria só dispõe de moedas de 25, 10 e 5 centavos, de quantas maneiras poderá ser dado o troco a tal pessoa? (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) (FCC) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em (A) 9 de dezembro de (B) 10 de dezembro de (C) 8 de janeiro de (D) 9 de janeiro de (E) 10 de janeiro de (FUNDATEC) A soma das potências pode ser expressa por (A) 16 4 (B) (C) (D) 4 16 (E) 4 5 Matem tica

8 Prepara 22. (FCC) Um mecânico faz revisão nos freios dos veículos dos três diretores de uma empresa, um a cada 10 dias, outro a cada 12 dias e o terceiro a cada 15 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se hoje ele fizer a revisão nos três veículos, daqui a quantos dias será a próxima vez em que fará a revisão dos três em um mesmo dia? (A) 37 (B) 40 (C) 45 (D) 48 (E) (FCC) Um eletricista vistoriou as instalações elétricas das 48 salas de um prédio. Na primeira semana, o número de salas vistoriadas correspondeu a 1/4 do total e, na segunda semana, correspondeu a 1/4 do número restante. Na terceira semana vistoriou 14 salas e na quarta semana terminou o serviço. Quantas salas ele vistoriou na quarta semana? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) (FCC) Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? (A) 33 (B) 48 (C) 75 (D) 99 (E) (UFRJ) Um carpinteiro precisa dividir três tábuas de madeira em comprimentos iguais, sem que haja sobras. Ele também deseja que essas divisões tenham o maior comprimento possível. As tábuas medem 210cm, 336cm e 378cm de comprimento. O número de partes em que a mais longa delas deve ser dividida é igual a (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) (UFRJ) Um número de 3 algarismos é divisível por 2, 3 e 5 e a soma dos três algarismos que compõem esse número é 15. Se somarmos apenas os dois algarismos de maior valor absoluto desse número, obteremos como resultado (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) (FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B 1 e B 2. B 1 B 2 comprimento (m) 23,10 18 largura (m) 0,18 0,18 espessura (mm) 1,5 1,5 Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B 1 como em B 2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é (A) 135 (B) 137 (C) 140 (D) 142 (E) (FCC) Sistematicamente, dois amigos almoçam no restaurante Lírio do Campo: Fernandinho a cada 12 dias e Cacilda, a cada 10 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se em 23/06/2006 ambos estiveram almoçando em tal restaurante, então uma outra coincidência de datas em que os dois lá estiveram para almoçar ocorreu em (A) 22/08/2006 (B) 23/08/2006 (C) 21/09/2006 (D) 22/09/2006 (E) 23/09/ (FAURGS) Uma pessoa gasta de seu salário 1/3 no pagamento da prestação da casa própria. Se gastar 5/8 do restante do salário em despesas diversas, fração que sobrará é (A) 1/4 (B) 5/12 (C) 1/2 (D) 7/12 (E) 3/4 8

9 Prepara 30. (CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1.000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: (A) 1.400,00 (B) 1.800,00 (C) 2.100,00 (D) 2.200,00 (E) 2.400, (FCC) Na figura abaixo tem-se um quadrado mágico ou seja, um quadrado em que os três números dispostos nas celas de cada linha, coluna ou diagonal tem a mesma soma. X Y 7/2 9/2 1/2 T -2.5 Z 1,5 Nessas condições, os números X, Y, Z e T devem ser tais que (A) X < Y < Z < T. (B) T < Y < X < Z. (C) T < X < Z < Y. (D) Z < T < X < Y. (E) Z < Y < X < T. 32. (CONESUL) Quantos números primos estão compreendidos entre 65 e 95? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) (UFRJ) Um gigabyte representa 2 30 bytes, ou seja, bytes. Nesse caso, 2 33 bytes equivalem à seguinte quantidade de gigabytes (A) 1, 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) (FAURGS) Considere o número n = Esse número NÃO é múltiplo de (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 9 (E) (CESGRANRIO) Um motorista parou em um posto para abastecer seu caminhão com óleo diesel. Ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro do óleo diesel custava R$ 1,45, quantos litros ele comprou? (A) 55 (B) 58 (C) 65 (D) 75 (E) (FAURGS) A terça parte da soma vale (A) 3 5/3 +6 2/3 (B) (C) (D) 6 ( ) (E) 3 ( ) 33. (FCC) Dispõe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336 unidades, e outro, com 432 unidades. Um técnico judiciário foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo as seguintes instruções: todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins; cada pacote deve ter um único tipo de boletim. Nessas condições, o menor número de pacotes que ele poderá obter é (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24 (E) (CONESUL) Assinale a alternativa que contém a solução do cálculo: {(2/3) : (3/5)}: (12/5) (A) 3/4 (B) 27/50 (C) 54/50 (D) 25/54 (E) (CESGRANRIO) Anos bissextos são os múltiplos de 4 que não são múltiplos de 100 e, além desses, os múltiplos de 400. Quantos anos bissextos há no conjunto {2015, 2018, 2020, 2100, 2400}? (A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) (AOCP) Uma piscina está aberta todos os dias da semana: José vai à piscina de 2 em 2 dias. Davi vai à piscina de 3 em 3 dias. Marcos vai à piscina de 5 em 5 dias. Hoje, domingo, os três se encontram lá. Daqui a quantos dias os três voltarão a se encontrar? (A) 20 dias (B) 30 dias (C) 15 dias (D) 18 dias (E) 60 dias Matem tica

10 Prepara 41. (CESGRANRIO) Do total de habitantes de uma cidade, têm menos de 15 anos e representam 3/7 do total da população. Quantos habitantes há nessa cidade? (A) (B) (C) (D) (E) (CESGRANRIO) Para fazer 1 de litro de suco, 1/4 são usadas 4 laranjas. Quantas laranjas serão usadas para fazer 3 litros desse suco? (A) 24 (B) 30 (C) 36 (D) 48 (E) (FCC) Simplificando-se a expressão: 1 - (2/5 15/4-2/3) obtém-se (A) -7/30 (B) -1/6 (C) 1/6 (D) 7/30 (E) 3/ (CESGRANRIO) Uma pesquisa com duzentas pessoas concluiu que 3/4 delas são esportistas e 2/5 dos esportistas praticam natação. O número de pessoas que praticam natação é: (A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 70 (E) (FCC) Em um dado de seis faces marcamos os números - 2, -1/2, 1/2, 3/4, 2 e 3. Indicando por x o número obtido após o primeiro lançamento do dado, e por y o número obtido após o segundo lançamento, o maior valor possível de 1/x - y será (A) 5 (B) 4 (C) 10/3 (D) 7/3 (E) 3/2 49. (FCC) No esquema seguinte têm-se indicadas as operações que devem ser sucessivamente efetuadas, a partir de um número x, a fim de obter-se como resultado final o número (ANPAD) Dentre os números dados, o que contém mais divisores positivos é (A) 104 = (B) 105 = (C) 108 = (D) 120 = (E) 124 = (CESGRANRIO) Certa mercadoria foi comprada por R$ 4,00 o quilograma e vendida por R$ 0,10 cada 20g. Qual foi o lucro, em reais, obtido pelo comerciante na venda de 5kg desta mercadoria? (A) 1,00 (B) 2,00 (C) 3,00 (D) 4,00 (E) 5, (CESGRANRIO) Uma refinaria tinha, em 2004, capacidade para processar 224 mil barris de petróleo por dia. Com a ampliação das instalações, essa capacidade aumentou em 3/8 no ano seguinte. Assim, pode-se concluir que, em 2005, a capacidade de processamento dessa refinaria, em milhares de barris diários, passou a ser de (A) 252 (B) 308 (C) 318 (D) 352 (E) E verdade que o número x é (A) primo. (B) par. (C) divisível por 3. (D) múltiplo de 7. (E) quadrado perfeito. 50. (FCC) Um lote de pedras semipreciosas contém 81 turmalinas, 126 águas-marinhas e 252 ametistas. Essas pedras devem ser acondicionadas em estojos que contenham os três tipos de pedras e de forma que em todos eles as respectivas quantidades de pedras de cada tipo sejam as mesmas. O maior número de estojos a serem utilizados, nessas condições, é (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 14

11 Prepara 51. (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é (A) 8 (B) 10 (C) 12 (D) 14 (E) (FCC) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recipientes necessários para essa distribuição é (A) 24 (B) 16 (C) 12 (D) 8 (E) (CESGRANRIO) Certo comerciante comprou 25 vasos de cerâmica a R$ 7,20 a unidade. Sabendo que, no transporte, um dos vasos se quebrou e que o comerciante deseja lucrar R$ 120,00 na venda dos vasos, por quantos reais deverá vender cada um dos 24 vasos restantes? (A) 12,50 (B) 12,00 (C) 11,80 (D) 11,50 (E) 11, (FCC) Dispõe-se de dois lotes de boletins informativos distintos: um, com 336 unidades, e outro, com 432 unidades. Um técnico judiciário foi incumbido de empacotar todos os boletins dos lotes, obedecendo as seguintes instruções: a todos os pacotes devem conter a mesma quantidade de boletins; a cada pacote deve ter um único tipo de boletim. Nessas condições, o menor número de pacotes que ele poderá obter é (A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 24 (E) (FCC) O esquema abaixo mostra, passo a passo, a seqüência de operações a serem efetuadas a partir de um certo número, a fim de obter o resultado final 10,4. O número que deve ser considerado como ponto de partida está compreendido entre (A) e (B) e (C) e (D) e (E) e Gabarito 01. E 02. A 03. C 04. D 05. A 06. C 07. E 08. A 09. C 10. C 11. A 12. C 13. C 14. C 15. C 16. A 17. C 18. D 19. C 20. C 21. E 22. E 23. B 24. A 25. B 26. E 27. B 28. A 29. A 30. A 31. B 32. C 33. B 34. D 35. D 36. A 37. C 38. E 39. D 40. B 41. E 42. D 43. C 44. D 45. E 46. B 47. C 48. B 49. E 50. B 51. C 52. A 53. B 54. A 55. B 11 Matem tica

12 Prepara Equações e Inequações de 1º e 2º Graus 01. (ULBRA) O valor de a na equação x 2-2x - a = 0, sendo uma de suas raízes igual a - 1, é (A) -3 (D) 2 (B) 1 (E) 0 (C) (OBJETIVA) A soma das raízes da equação x 2-2 = 0 é (A) 0 (B) 2 (C) 2 (D) (OBJETIVA) Sabendo que o produto das raízes reais (x R) da equação x 2-3x = k é 10, o valor de k é (A) 10 (B) 5 (C) -2 (D) (CONESUL) 0 conjunto solução S da inequação x 2 + 2x > 2x 2-15 é (A) S {x R -3 < x < 5} (B) S {x R -15 < x < 2} (C) S {x R -2 < x < 15} (D) S {x R -5 < x < 3} (E) S {x R -2 < x < 5} 05. (CONESUL) A soma das raízes da equação do segundo grau: x 2-2x - 1 = 0 vale (A) -4 (B) -2 (C) 0 (D) (CONESUL) Resolva o sistema e assinale a alternativa que contém a solução 3x + 2y = 8 2x - 6y = -6 (A) x = 18/11 e y = 11/1 (B) x = 30/11 e y = 17/11 (C) x = 18/11 e y = 17/11 (D) x = 18/71 e y = 17/7 (E) x = 30/7 e y = 1/7 07. (CONESUL)A solução da equação 3x + x/2 = 7 é (A) x = 1 (D) x = 1/2 (B) x = 2 (E) x = 7 (C) x = (FCC) Perguntaram a José quantos anos tinha sua filha e ele respondeu: A idade dela é numericamente igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x 2-31x - 70 < 0. É correto afirmar que a idade da filha de José é um número (A) menor que 10 (B) divisível por 4 (C) múltiplo de 6 (D) quadrado perfeito (E) primo (ULBRA) A equação 2x 2 + kx+ 12 = 0 tem uma raiz iguala 6. A outra raiz, portanto, vale (A) 0 (D) 3 (B) 1 (E) 4 (C) (FAURGS) A soma dos números inteiros que tornam a fração 3 + x 2 - x positiva é (A) -2 (D) 1 (B) -1 (E) 2 (C) (CESGRANRIO) O número de soluções inteiras do x < 4x + 3 sistema de inequações é 2x > x + 1 (A) 0 (D) 3 (B) 1 (E) infinito (C) (CONESUL) As raízes da equação 4x 2 + 5x - 6 = 0 são (A) -2 e 3/4 (B) 4 e 5 (C) 2 e 5/6 (D) 5 e -6 (E) -20 e 2/3 13. (FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si a tarefa de digitar as 245 páginas de um texto. Entretanto, no dia da divisão, o grupo foi acrescido mais dois técnicos e, assim, coube a cada membro novo grupo digitar 14 páginas a menos do que inicialmente previsto. O número de técnicos que cumpriu tarefa era (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (E) (FCC) Alguns técnicos judiciários de certo Cartório Eleitoral combinaram dividir igualmente entre si um total de 84 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o serviço deveria ser executado, dois deles faltaram ao trabalho e, assim, coube a cada um dos presentes arquivar 7 processos a mais que o previsto. Quantos, processos cada técnico arquivou? (A) 14 (B) 18 (C) 21 (D) 24 (E) 28

13 Prepara 15. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos atrás? (A) 15 anos. (B) 16 anos. (C) 24 anos. (D) 30 anos. (E) 32 anos. 16. (PUC) Temos x2-4x > 0 se, e somente se, x 2x - 4 está no intervalo: (A) (2, + ) (B) (0, 2] ou (4, + ) (C) [0, 2) ou [4, + ) (D) (0, 2) ou (2, 4] (E) [4, + ) Sistemas Lineares Considere o seguinte problema: Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: x + y = 25 (total de arremessos certos) 2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) Essas equações contém um sistema de equações. x + y = 4 2x - 3y = 55 Gabarito 01. C 02. A 03. D 04. A 05. D 06. C 07. B 08. E 09. B 10. A 11. E 12. A 13. A 14. C 15. B 16. C 13 O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. Resolução de Sistemas A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Método de Substituição x + y = 4 2x - 3y = 3 Solução: Determinamos o valor de x na 1ª equação. x = 4 - y Substituímos esse valor na 2ª equação. 2. (4 - y) - 3y = 3 Resolvemos a equação formada. 8-2y - 3y = 3-2y - 3y = 3-5y = - 5 5y = 5 y = 1 Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. x + 1 = 4 x = 4-1 x = 3 A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). V = {(3, 1)1 Matem tica

14 Prepara Método da Adição Sendo U = Q x Q, observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. Resolva o sistema abaixo: Solução Adicionamos, membro a membro, as equações: x + y = 10 x - y = 6 2x = 16 x = 8 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 8 + y = 10 y = 10-8 y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) V = {(8, 2)} Funções; Gráficos Chamamos de função do 1º grau a função f de em que associa a cada número real x, o número real ax + b, onde a e b são números reais e a 0. Exemplos: f(x) = 2x + 6, onde a = 2 e b = 6 f(x) = 2x, onde a = 2 e b = 0 Raízes ou Zeros da Função Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 1 Assim, ax + b = 0, que apresenta uma única solução, nos leva a x = -b/a para a 0. a Intersecção com o eixo Oy x = 0 a. 0 + b = y y = b Gráfico O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Ao construir o gráfico de uma função do 1º grau y = ax + b, notaremos sempre que: se a > 0: a reta é crescente se a < 0: a reta é decrescente Exemplos: 1) Construiro gráfico da função y = 2x ) Determinar a função representada no gráfico: 14

15 Prepara Exercícios 01. (UFRJ) O ingresso para entrar em um parque nacional custa R$ 2,00 por criança e R$ 5,00 por adulto. Num dia entraram 57 pessoas no parque, e foi obtida a receita total de R$ 222,00. Nesse dia, o valor absoluto da diferença entre o número de crianças e adultos que entraram no parque foi de (A) 15 (D) 30 (B) 21 (E) 36 (C) (FUNDATEC) Para as apresentações de uma peça teatral (no Sábado e no Domingo) foram vendidos 40o ingressos, e a arrecadação total foi de R$ 2.860,00. O preço do ingresso no Sábado era R$ 8,00 e, no Domingo, R$ 6,00. O número de ingressos vendidos para as apresentações no Sábado e no Domingo foi, respectivamente, (A) 230 e 170 (D) 260 e 170 (B) 230 e 180 (E) 270 e 130 (C) 250 e (CESGRANRIO) Um prêmio de R$ ,00 foi oferecido aos 3 primeiros colocados num concurso de contos. O segundo colocado recebeu R$ 1.000,00 a mais que o terceiro e Pedro, primeiro colocado, recebeu o dobro do prêmio do segundo. O prêmio de Pedro, em reais, foi (A) (D) (B) (E) (C) (CESGRANRIO) Seu João pagou uma dívida em três parcelas: a primeira correspondeu à metade da dívida e a segunda, à terça parte da dívida. Se a terceira parcela correspondeu a R$ 108,00, o valor, em reais, da primeira parcela paga por Seu João foi (A) 324,00 (D) 512,00 (B) 348,00 (E) 648,00 (C) 436, (CESGRANRIO) Numa distribuidora de combustível há dois turnos de trabalho, A e B, totalizando 80 funcionários. Se quatro funcionários do turno B passassem para o turno A, os dois turnos passariam a ter o mesmo número de funcionários. Quantos funcionários há no turno B? (A) 36 (D) 42 (B) 38 (E) 44 (C) (FUNDATEC) Na igualdade -1-2x = - 3.(x + 1) o valor de x é (A) 2 (D) -1 (B) 1 (E) -2 (C) (FCC) No almoxarifado de uma empresa há canetas e borrachas num total de 305 unidades. Se o número de canetas é igual ao triplo do número de borrachas diminuído de 35 unidades, o número de canetas é (A) 160 (D) 220 (B) 190 (E) 250 (C) (FUNDATEC) A raiz da equação x x x = é um número (A) irracional. (B) inteiro. (C) racional não inteiro. (D) maior que 1. (E) menor que zero. 09. (FUNDATEC) A equação x - x - 1 = tem por solução um número (A) negativo. (B) ímpar. (C) menor que 6. (D) maior que 10. (E) não inteiro. 10. (CESGRANRIO) José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa à cidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens, após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. A seguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetros que havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetros ele percorreu após o café? (A) 87,5 (D) 267,5 (B) 125,6 (E) 272,0 (C) 262,5 11. (CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1.000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de (A) 1,400,00 (D) 2.200,00 (B) 1.800,00 (E) 2.400,00 (C) 2.100, (CESGRANRIO) Oitenta e cinco crianças entre 3 e 12 anos inscreveram-se para uma colônia de férias. As crianças de até 8 anos pagaram R$ 30,00 de inscrição. Para as maiores de 8 anos, o valor da inscrição foi de R$ 35,00. Se, ao todo, foram arrecadados R$ 2.760,00 com as inscrições, quantas crianças com mais de 8 anos inscreveram-se nessa colônia de férias? (A) 40 (D) 43 (B) 41 (E) 44 (C) 42 Matem tica

16 Prepara 13. (FAURGS) O gráfico abaixo representa a função definida por f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. Analisando-o, conclui-se que (A) a < 0 e b < 0 (B) a < 0 e b > 0 (C) a = 0 e b < 0 (D) a > 0 e b > 0 (E) a > 0 e b < (UFRJ) Em uma prova de 20 questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos? (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D) 22 (E) (CESGRANRIO) Numa prova de matemática com 20 questões, os candidatos não podem deixar questão em branco. Para compor a nota final serão atribuídos (+ 2) pontos a cada resposta certa e (- 1) ponto a cada resposta errada. Se um candidato obteve 16 pontos nessa prova, quantas questões ele acertou? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) (PUC - PR) Um estudante gasta a mesada que recebe do seu pai da seguinte maneira: - A terça parte paga a mensalidade da sua faculdade; - A quarta parte com aluguel do apartamento e - A quinta parte com roupas e livros e o restante, R$ 260,00 com outras despesas eventuais. Qual a mensalidade da faculdade? (A) R$ 400,00 (B) R$ 240,00 (C) R$ 300,00 (D) R$ 360,00 (E) R$ 500, (FUNDATEC) Na equação ax - 1 = 2 - x, o valor de x é (A) 3/a (D) 3a + 3 (B) 3a + 1 (E) 3a - 3 (C) 3 a (UFRJ) Severiano tem hoje a idade que Pedro terá daqui a seis anos. Há dez anos, Severiano tinha a metade da idade atual de Pedro. Daqui a vinte anos, Severiano terá então a seguinte idade: (A) 24 (D) 32 (B) 27 (E) 34 (C) (FUNDATEC) Considere o gráfico da função real definida por f(x) = -2x + 6. As coordenadas do ponto em que esse gráfico corta o eixo horizontal x são (A) (3, 0) (D) (0, -3) (B) (0, 3) (E) (-3, 0) (C) (610) 21. (FUNDATEC) Se a função de 1º grau f(x) = mx + n apresenta em seu gráfico os pontos A(1, 3) e B(-1, 2), tem-se que (A) m - n = 7 (B) m + n = 3 (C) m/n = 1 (D) mn = 1 (E) m n = (CESGRANRIO) Vinte pessoas se reuniram para organizar uma festa. Calcularam as despesas e decidiram dividir o total igualmente entre todos, mas, na semana da festa, três dessas pessoas precisaram viajar. Com isso, cada uma das demais teve de aumentar sua contribuição em R$ 9,00 para que todas as despesas fossem pagas. A quantia, em reais, que cada pessoa pagou para participar dessa esta foi (A) 51,00 (B) 54,00 (C) 60,00 (D) 66,00 (E) 74, (CONESUL) As soluções do sistema de equações 2x + 4y = 6 2x - 3y = -1 são (A) 2 e 4 (D) -6 e 1 (B) 2 e 3 (E) 1 e 1 (C) -2 e (CONESUL) Considere o número de galinhas e porcos existentes numa granja. Nela, existem 15 cabeças e 40 pés. Quantas galinhas existem nesta granja? (A) 10 (D) 16 (B) 12 (E) 20 (C) 15

17 Prepara 24. (UFRJ) Na venda de ingressos para um show havia x bilhetes de R$ 10,00 e y bilhetes de R$ 15,00, num total de 500 bilhetes. Sabendo-se que nesse show arrecadou-se R$ 5.900,00 com a venda de ingressos, pode-se afirmar que o número y de bilhetes de R$ 15,00 vendidos corresponde a (A) 180 (D) 300 (B) 200 (E) 320 (C) (CESGRANRIO) Uma urna contém bolas azuis, vermelhas e brancas. Ao todo são 108 bolas. O número de bolas azuis é o dobro do de vermelhas, e o número de bolas brancas é o triplo do de azuis. Então, o número de bolas vermelhas é: (A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 24 (E) (FAURGS) A figura abaixo representa o gráfico da função definida por f(x) = mx + n. Observe-a. 28. (FUNDATEC) O gráfico da equação y = 3x - 2 é uma (A) parábola que corta o eixo y no ponto de ordenada -2. (B) parábola que corta o eixo x no ponto de abscissa 3. (C) reta que corta o eixo x no ponto de abscissa 3. (D) reta que corta o eixo x no ponto de abscissa -2. (E) reta que corta o eixo y no ponto de ordenada (FCC) Certo dia, um técnico judiciário observou que o triplo do número x, de documentos por ele arquivados, excèdia de 12 unidades a terça parte do número y, de documentos que havia protocolado. Se 1 a razão entre x e y, nessa ordem, é 1/5, então x + y é igual a (A) 46 (B) 48 (C) 52 (D) 54 (E) (FUNDATEC) Sendo x e y solução do sistema x + y = 6, o valor de x - y é 2x - y = 3 (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 3 O valor de m + n é (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) (FUNDATEC) A reta do gráfico tem por equação (A) 4x - y + 8 = 0 (B) 4x + y - 8 = 0 (C) x + 2y + 8 = 0 (D) x - 2y + 8 = 0 (E) x - 2y - 8 = 0 17 Gabarito 01. B 02-A 03. A 04. A 05-A 06. E 07. D 08. B 09. B 10. C 11. E 12. C 13. B 14. E 15. E 16. C 17. A 18. C 19. E 20. A 21. B 22. E 23. A 24. A 25. B 26. E 27. B 28. E 29. D 30. B Matem tica

18 Prepara Razões e Proporções Chama-se razão de dois números, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente de primeiro pelo segundo. a ou a : b b onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado conseqüente da razão dada. Exemplo: Numa partida de basquetebol João fez 15 arremessos, acertando 9 deles. Nessas condições: a) Qual a razão do número de acertos para o número total de arremessos de João? 9 = 3, ou seja, cada 5 arremessos João acertava b) Qual a razão entre o número de arremessos que João acertou e o número de arremessos que ele errou? 9 = 3, ou seja, cada 3 arremessos certos João 6 2 errava 2. Proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa. a = c a. d = b. c b d onde b.c é o produto dos meios e a.d é o produto dos extremos, podendo ser lida como a está para b assim como c está para d. Exemplo: Sabendo que os números 6, 24, 5 e x formam nesta ordem, uma proporção, determinar o vaiar de x. 6 = 5 6x = 24.5 x = 24.5 = 20 x = x 6 Quarta proporcional de três números dados, a, b e c nesta ordem, é o numero x que completa com os outros 3 uma proporção tal que: a = c b x Proporção contínua é aquela que tem meios iguais. A proporção 9/6 = 6/4 e contínua pois tem seus meios iguais a 6. Obs.: Numa proporção contínua o valor comum dos meios é chamado média proporcional (no caso anterior a media proporcional é 6) e o ultimo termo é chamado terceira proporcional (no caso anterior é 4). 18 Grandezas diretamente proporcionais Dada sucessão de valores (a, b, c, d, dizemos que estes valores são diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (a, b, c, d,...) quando forem iguais as razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. a = b = c = d =... = k a b c d O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente proporcionais é chamada de fator de proporcionalidade. Exemplo: Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem, são diretamente proporcionais aos valores 12, 14, 20 e 30 respectivamente, pois as razões 6/12, 7/14, 10/20 e 15/30 são todas iguais, sendo igual a 1/2 o fator de proporcionalidade da primeira para a segunda. Grandezas inversamente proporcionais Dada sucessão de valores (a, b, c, d,...), dizemos que estes valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (a, b, c, d,...), todos também diferentes de zero, quando forem iguais os produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. a = b = c = d =... = k ou a b c d a. a = b. b = c. c = d. d =... = k Exemplos: 1) Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nessa ordem, pois os produtos 2 30, 3 20, 5 12 e 12 5 são todos iguais. 2 = 3 = 5 = = 3.20 = 5.12 = 12.5 = 60 2) Reparta a quantia de R$945,00 em partes inversamente proporcionais aos números 6 e 8. x + y = 945 x = y = k x = k e y = k x = k x = k/6 8y = k y = k/8 k/6 + k/8 = 945 4k + 3k = k = k = = Logo: x = k/6 = 3240/6 = 540 y = k/8 = 3240/8 = 405 Portanto temos R$540,00 e R$405,00.

19 Prepara Grandezas compostas diretamente proporcionais Chamaremos de divisão composta direta à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais a duas ou mais sucessões de números dados, cada uma. Exemplo: Dividir o numero 270 em 3 partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente. x/2 = y/3 = z/5 = 270/10 x/4 = y/3 = z/2 = 270/9 Multiplicando os denominadores das variáveis entre si obtemos: x = y = z 270 = x/8 = y/9 = z/10 = 270/27 x = 270 x = y = 270 y = z = 270 z = Grandezas compostas mistas proporcionais Chamaremos de divisão composta mista à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais aos valores de uma sucessão dada e inversamente proporcionais aos valores de uma sucessão dada. Exemplo: Dividir o número 690 em 3 partes que idávem ser diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente. x/1 = y/2 = z/3 = 690/6 Parte direta Exercícios 01. As letras a, b e c representam números que são diretamente proporcionais aos números 14, 56 e 84, 6 nessa ordem. O fator de proporcionalidade é 6/7. Quais são os valores de a, b e c? 02. Quais são os valores dos números representados pelas letras x e y para que -12, x e y sejam diretamente proporcionais aos números 6, -5 e 13, nessa ordem? 03. As letras a e c representam números. Sabendo que a, 63 e c são inversamente proporcionais aos números 9, 7 e 3, determine: (A) o fator de proporcionalidade. (B) o valor de a e o valor de c. 04. Quais os valores de x e y para que 1,2; 5 e y sejam. nessa ordem, inversamente proporcionais aos números x; 14,4 e 150? 05. As medidas da largura e do comprimento de um retângulo são diretamente proporcionais a 5 e 8 e seu perímetro é 78 cm. Quais são as medidas da largura e do comprimento desse retângulo, se a largura é menor que o comprimento? 06. O número 400 será repartido em três parcelas, de modo que as parcelas sejam diretamente proporcionais aos números 10, 15 e 25. Qual será o valor de cada parcela? 07. Leila e Jorge foram ao Bingo Piratininga e combinaram que o total de prêmios seria dividido em partes inversamente proporcionais ao salário de cada um. Eles ganharam R$ 1.400,00. Se Leila ganha 6 salários mínimos e Jorge, 8 salários mínimos, quanto coube a cada um? x = y = z = 690 Parte inversa x y z 690 = = = x/6 = y/4 = z/3 = 690/13 Multiplicando os denominadores das variáveis entre si obtemos: x = y = z = x/6 = y/8 = z/9 = 690/23 x/6 = 690/23 x = 180 y/8 = 690/23 y = 240 z/9 = 690/23 z = O perímetro de um triângulo é 48 m e as medidas dos seus lados são diretamente proporcionais a 4, 3 e 5. Determine as medidas dos lados desse triângulo. 09. Para dividir o número 370 em três parcelas inversamente proporcionais aos números 4, 5 e 6, quais seriam os valores dessas parcelas? 10. A soma de três números e 690 e esses números são inversamente proporcionais aos números 1/6, 1/8 e 1/9. Quais são esses números? 11. Um terreno de 360 m 2 será dividido em três partes, de modo que as áreas dessas partes sejam diçotamente proporcionais aos números 2, 4 e 6. Qual será a área de cada parte? Matem tica

20 Prepara 12. Pedro quer repartir R$ 900,00 entre três netos em partes diretamente proporcionais às idades de cada um, Juca tem 7 anos, Marta tem 10 anos e Daniel tem 13 anos. Que quantia caberá a cada um? 13. Rosa, Irene e Sueli são costureiras e receberam uma encomenda de 47 aventais. Elas resolveram dividir a tarefa em partes inversamente proporcionais às suas idades. Rosa tem 40 anos, Irene, 32 anos e Sueli, 24 anos. Quantos aventais cada uma fará? 14. Roberto, Geraldo e André formaram uma sociedade para comprar um carro de R$ 5.000,00. André entrou com R$ 1.500,00, Roberto, com R$ 2.500,00 e Geraldo, com R$ 1.000,00. Depois de um certo tempo, eles vendaram o carro por R$ 6.000,00 e dividiram a diferença obtida em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um investiu. Qual é a parte da diferença que coube a cada um? 15. Gina, Marcos e Ricardo têm sociedade em uma loja. Ao fazer o balanço, dividiram o lucro de R$ ,00 em partes diretamente proporcionais ao tempo que estão na sociedade. Gina está a 8 meses, Marcos há 1 ano e Ricardo há 1 ano e meio. Qual a quantia que coube a cada um? Regra de Três Simples e Composta Regra de três simples São problemas que envolvem duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Resolvé-los consiste em formar com os 3 valores conhecidos e a incógnita procurada, uma proporção e dela tirar o valor desejado. Para isso faz-se: 1º) Escreve-se numa mesma coluna as grandezas de mesma espécie; 2º) Identifica-se se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais; 3º) Escreve-se a proporção correspondente e passa-se a resolvê-la. Exemplos: 1. Se 5 operários tecem 800m de fazenda por dia quantos metros tecerão 9 operários? Operários Tecem x 5 = 800 5x = x = = x 5 Portanto 9 operários tecerão 1.440m de fazenda. Gabarito: 01. a = 12; b = 48; c = x = 10 e y = a) 441 b) a = 49 e c = x = 60 e y = 0, cm e 24 cm , 120 e Leila: R$800,00 Jorge:R$600, m, 12 m e 20 m ,120 e , 240 e m 2, 120m 2 e 180m Juca: R$ 210,00 Marta: R$ 300,00 Daniel: R$ 390, Rosa: 12; Irene: 15; Sueli: Roberto: R$ 500,00 Geraldo: R$200,00 André: R$ 300, Gina: R$4.800,00 Marcos: R$7.200,00 Ricardo:R$ , Se 12 operários demoram 15 dias para executar um trabalho, 10 operários, em quanto tempo farão o mesmo trabalho? Operários Dias x inversamente 10 = 15 10x = x = = x 10 Portanto 10 operários farão o mesmo trabalho em 18 dias. 3. Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso? Velocidade Tempo x inversamente 240 = x = x = = x 240 Portanto fará o percurso em 15 segundos.

21 Prepara 4. Certo automóvel percorre 330km em 5 horas. Conservando a mesma velocidade quantos quiiõrnetros percorrerá em 9 horas? Percurso Tempo x 9 diretamente = 5x = x = = 594 x 9 5 Portanto em 9 horas percorrerá 594km. Exercícios 01. Um avião, com velocidade de 320km/h, vence a distância entre duas cidades em 6 horas. Outro avião, com a velocidade de 360km/h, em quanto tempo percorrerá essa mesma distância? 02. Se 3kg de queijo custam R$24,60, quanto custarão 5kg deste queijo? 03. Cem kg de arroz com casca fornecem 96kg de arroz sem casca. Quantos kg de arroz com casca serão necessários para produzir 300kg de arroz sem casca? 04. Uma roda d água dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá dados em uma hora e meia? 10. Com a velocidade de 75km/h, um ônibus faz um percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta? 11. Para transportar material bruto para a construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5m 3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m 3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço? 12. Para construir a cobertura de um quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estada pronta? 13. Para forrar as paredes de uma sala, foram usados 21 peças de papel de parede com 80cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede? 14. Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5m de comprimento por 3m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15m 2 de área? 05. Se um relógio adianta 18 minutos por dia, quanto terá adiantado ao longo de 4h 40mim? 06. Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 10 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes? 07. Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada página são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro? 08. Uma rua tem 600m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180m da rua. Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quanto dias o trabalho estará terminado? 09. Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40m. Descobri, mais tarde, que a corda media, na realidade, 2, 05m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio? 21 Gabarito: 01. 5horas e 20 min ,5k mim e 30s 06. 2h pgs dias m km/h caminhões dias peças azulejos Matem tica

22 Prepara Regra de três composta São problemas que envolvem três ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Para isso faz-se: 1º) Escreve-se numa mesma coluna as grandezas de mesma espécie; 2º) Identifica-se se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, e onsiderando as colunas duas a duas, sendo que uma delas deve conter o termo desconhecido; 3º) Escreve-se a proporção correspondente, igualando a razão que contém o termo desconhecido com o produto das outras razões, e passa-se a resolvê-la. Exemplos: 1. Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários, trabalhando durante 9 dias? Dias Operários Produção x diretamente diretamente 400 = x = x = = 840 x Portanto serão produzidas 840 peças. 2. Se 8 pedreiros constroem em 6 dias um muro de 40m de comprimento, quantos pedreiros serão necessários para construir, em 14 dias, um muro de 70 m de comprimento. Pedreiros Dias Metros x inversamente diretamente 8 = x = x = = Portanto serão necessários 6 pedreiros. Exercícios 01. Sete operários, em 5 dias de 8 horas, fazem 2.800m de tecido. Quantos operários serão necessários para fazer 2.160m do mesmo tecido em 9 dias de 6 horas? 02. Foram empregados 24kg de fio para tecer 120m de fazenda de 0,82m de largura. Quantos metros da mesma fazenda, de 1,23m de largura serão tecidos com 30kg do mesmo fio. 03. Se o transporte, por estrada de ferro, de 15 toneladas de certa mercadoria, a distância de 400km custa R$90,00, qual será o frete de 32 toneladas, ao mesmo preço por km, em 250km? 04. Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria litros de combustível? 05. Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Maria, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados? 06. Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário? 07. Meia dúzia de digitadores preparam 720 páginas em 18 dias. Em quando dias 8 digitadores, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas? 08. Para erguer um muro com 2,5m de altura e 30m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operanos erguiria um muro de 2m de altura e 25m de comprimento? 22

23 Prepara Porcentagem Razão Centesimal Toda a razão que tem para conseqüente o número 100 denomina-se razão centesimal. Exemplos: 7, 26, Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 7 = 0,07 = 7% (lê-se sete por cento ) = 1,15 = 115% (lê-se cento e quinze por cento ) 100 As expressões 7% e 115% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 50% de 50 = = 2500 = 25 cavalos Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: Calcula, 10% de % de 300 = = Calcular 25% de 200kg 25% de 200 = = Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. Exercícios resolvidos: 1. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 2. Se eu comprei uma ação de um clube por R$ 250,00 e a revendi por R$ 300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$ 250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$ 250,00, resulte nos R$ 300, x = ,5. x = x = 50 x = 20 2,5 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. Fator de Multiplicação Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Acréscimo ou Lucro 10% 15% 20% 67% Fator de Multiplicação 1,10 1,15 1,20 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 1, 10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Desconto 10% 25% 34% 60% Fator de Multiplicação 0,90 0,75 0,66 0,40 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$ 10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00 8% de 75 = = 600 = Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 23 Matem tica

24 Prepara Exercícios 01. (FUNDATEC) Uma mercadoria é vendida com um lucro equivalente a 20% do preço de venda. Nessas condições, tem-se que (A) o preço de custo é 40% inferior ao preço de venda. (B) o preço de venda é igual ao preço de custo multiplicado por 1,25. (C) o preço de venda é igual ao preço de custo multiplicado por 1,2. (D) a diferença entre o preço de custo e o preço de venda é superior a 30%. (E) é impossível relacionar o preço de custo com o preço de venda. 02. (FUNDATEC) Um funcionário de uma empresa gasta 4/9 de seu salário líquido em moradia, 15% em alimentação e ainda lhe restam R$ 335,80, O salário líquido desse funcionário é de (A) R$ 760,00 (B) R$ 786,50 (C) R$ 798,40 (D) R$ 812,35 (E) R$ 828, (FCC) Considere que em certo mês 76% das ações distribuídas em uma vara trabalhista referiam-se ao reconhecimento de vínculo empregatício e que, destas, 20% tinham origem na área de indústria, 25% na de comércio e as 209 ações restantes, na área de serviços. Nessas condições, o número de ações distribuídas e NÃO referentes ao reconhecimento de vínculo empregatício era (A) 240 (B) 216 (C) 186 (D) 120 (E) FUNDATEC) Se o valor de a é 80% do valor de b, então b equivale a (A) 380% do valor de a. (B) 120% do valor de a. (C) 125% do valor de a. (D) 130% do valor de a. (E) 140% do valor de a. 05. (FUNDATEC) Uma lavadora de alta pressão está anunciada nas seguintes condições: PREÇO A VISTA PRESTAÇÃO: R$ 229,00 R$ 41,10 O percentual de aumento na venda a prazo é (A) 107,68% (B) 7,68% (C) 25,63% (D) 125,63% (E) 41,10% (FCC) Mensalmente, um técnico administrativo elabora relatórios estatísticos referentes à expedição de correspondências internas e externas, Analisando os relatórios por ele elaborados ao final dos meses de setembro, outubro e novembro de 2006, foi observado que: Do total de correspondências de setembro, 20% eram de âmbito interno; Em cada um dos meses seguintes, o número de correspondências internas aumentou 10% em relação às internas expedidas no mês anterior, enquanto que para as externas o aumento mensal foi de 20%, em relação às externas. Comparando-se os dados do mês de novembro com os de setembro, é correto afirmar que o aumento das correspondências expedidas (A) no total foi de 39,4% (B) internamente foi de 42,2% (C) externamente foi de 34,6% (D) internamente foi de 20% (E) externamente foi de 40% 07. (FUNDATEC) Na eleição passada, dós eleitores que compareceram às urnas em uma determinada cidade, 28% deles votaram para governador no candidato X, 37% no candidato Y, 25% no candidato W e os eleitores restantes votaram em branco ou anularam seus votos. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de eleitores que votou no candidato Y foi de (A) (D) (B) (E) (C) (FJPF) O imposto cobrado no emplacamento de veículos em certo país pode ser pago à vista com 10% de desconto ou em duas vezes sem desconto, pagando 1/3 à vista e o restante ao fim de 45 dias. Para efeito de raciocínio, este desconto é como se fosse juro cobrado ao contribuinte que paga a prazo. Sob este ponto de vista, a melhor dentre as aproximações abaixo para a taxa de juros cobrada pelo governo ao cidadão é de (A) 12% ao mês (B) 10% ao mês (C) 18% ao mês (D) 8% ao mês (E) 7% ao mês 09. (FAURGS) A expectativa da Receita Federal é receber, neste ano, um número de declarações de Imposto de Renda 7,3% superior aos 20,5 milhões de declarações recebidas no ano passado. Dos valores abaixo, o mais próximo dessa expectativa, em milhões, é (A) 20 (D) 26 (B) 22 (E) 28 (C) 24

25 Prepara 10. (FCC) O preço de um aparelho eletrodoméstico é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo é (A) R$ 254,00 (B) R$ 242,00 (C) R$-237,00 (D) R$ 220,00 (E) R$ 210, (FCC) Na compra de um lote de certo tipo de camisa para vender em sua loja, um comerciante conseguiu um desconto de 25% sobre o valor a ser pago. Considere que: Se não tivesse recebido o desconto, c comerciante teria pago R$ 20,00 por camisa; Ao vender as camisas em sua loja, ele pretende dar ao cliente um desconto de 28% sobre o valor marcado na etiqueta e, ainda assim, obter um lucro igual a 80% do preço de custo da camisa, Nessas condições, o preço que deverá estar marcado na etiqueta é (A) R$ 41,50 (B) R$ 39,00 (C) R$ 37,50 (D) R$ 35,00 (E) R$ 28, (CESGRANRIO) Numa certa farmácia, os aposentados têm desconto de 15% sobre o preço dos medicamentos. O senhor Nelson, aposentado, pagou R$ 17,00 por um remédio nesta farmácia. Qual preço inicial do remédio, em reais? (A) 18,50 (D) 20,00 (B) 19,00 (E) 20,50 (C) 19, (FAURGS) Na Previdência Social, em 1950, a razão entre o número de contribuintes e o número de beneficiários era 8; atualmente, é 1,1 Desde 1950 até hoje, essa razão, percentualmente, decresceu (A) 70% (B) 74,25% (C) 80% (D) 83,75% (E) 85% 14. (FJPF) No lamentável episódio que ficou conhecido como maquiagem de produtos, um fabricante de biscoitos que vendia embalagens com 300g por R$ 1,80, passou a vender embalagens de 200g por R$ Neste caso, o aumento de preços foi de: (A) 16% (D) 22% (B) 28% (E) 24% (C) 20% (FDRH) Durante uma campanha de vendas, o representante A vendeu impressoras, 25% a mais que a quantidade vendida pelo representante B. Quantas impressoras o representante B vendeu? (A) 130 (D) (B) (E) (C) (FJPF) Em um tanque com 250 litros de água, foram derramados 50 litros de álcool. Na mistura resultante (A) há 20% de álcool. (B) há 75% de água. (C) a quantidade de água é 400% da quantidade de álcool. (D) a quantidade de álcool é 20% da quantidade de água. (E) há 25% de álcool, 17. (PUC - PR) Se 15 digitadores gastaram 18 dias trabalhando 10 horas por dia para digitar 2000 páginas de um livro, quantos dias 12 digitadores trabalhando 9 horas por dia gastariam para digitar 2400 páginas do mesmo livro? (A) 26 dias (D) 29 dias (B) 27 dias (E) 30 dias (C) 28 dias 18. (FDRH) O jornal Zero Hora, de 25/8/2005, no Caderno Economia,. publicou uma reportagem referente ao índice de preços ao consumidor, registrado pela Fundação Getúlio Vargas, na terceira semana de agosto de O quadro abaixo registra as taxas das classes de despesas componentes desse índice que ficaram abaixo da variação média do mesmo. CLASSES Despesas Diversas Vestuário Alimentação TAXAS 0,25% 1,36% -0,88% A partir do exposto, afirma-se que: I) a fração irredutível correspondente à taxa da classe das despesas diversas é 1/4. II) a expressão correta da taxa correspondente ao vestuário, em notação científica, é 1, III) a taxa correspondente à alimentação é maior do que -1. Relacionando as afirmações acima aos dados do quadro, quais estão corretas? (A) Apenas a I. (B) Apenas a II. (C) Apenas I e a II. (D) Apenas a II e a III. (E) A I, a III e a III. Matem tica

26 Prepara 19. (FJPF) Em julho, uma ação na bolsa de valores de certo pais custava 42. Sabendo-se, que de maio para junho, esta ação subiu 40%, e de junho para julho caiu 40%, podemos concluir que em (A) maio a ação custava 50; (B) maio a ação custava 42; (C) maio a ação custava 70; (D) junho a ação custava 72; (E) junho a ação custava (FJPF) Uma pessoa ganha R$ 600,00 mensais e paga R$ 45,00 de luz. Como a luz sofreu um aumento de 20%, o aumento da luz sobre o salário foi de (A) 4% (B) 1,5% (C) 2,0% (D) 3,5% (E) 3% 21. (CESGRANRIO) Apenas para decolar e pousar, um certo tipo de avião consome, em média, litros de combustível. Sabendo-se que isso representa 80% de todo o combustível que ele gasta em uma viagem entre as cidades A e 13, é correto afirmar que o número de litros consumidos numa dessas viagens é (A) (B) (C) (D) (E) (FJPF) Devido a uma promoção, uma loja reduziu o preço de um produto em 20%. Para terminar, a, promoção e voltar ao preço inicial, o produto deve ser aumentado em (A) 22% (B) 20% (C) 25% (D) 23% (E) 28% 23. (FDRH) Se em 2003 o vencimento básico oferecido para uma pessoa que viesse a ocupar o cargo de Agente Administrativo 11, na Prefeitura Municipal de Gravataí, fosse de R$ 540,67 e o quadro abaixo registrasse os percentuais de aumento para os próximos três anos, % % % em 2006, esse funcionário estaria, aproximadamente, com um salário de (A) R$ 606,51 (B) R$ 613,11 (C) R$ 643,21 (D) R$ 665,01 (E) R$ 674, (FAURGS) A tabela do Imposto de Renda foi corrigida em 17,5%, isto é, os valores em reais nela constantes foram aumentados em 17,5% para constituir a tabela atual. Essa tabela informa que quem tiver renda mensal líquida até R$ 1.057,50 está isento do pagamento de Imposto de Renda. Assim, pela tabela anterior estava isento do pagamento do Imposto de Renda quem tivesse renda mensal líquida até (A) R$ 604,10 (B) R$ 750,00 (C) R$ 875,50 (D) R$ 900,00 (E) R$ 1.000, (CESGRANRIO) O preço de capa de uma revista semanal é de R$ 5,00. Na assinatura anual, com direito a 12 edições dessa revista, há um desconto de 12%. O preço da assinatura, em reais, é: (A) 51,20 (D) 52,40 (B) 51,80 (E) 52,80 (C) 52, (FCC) Um comerciante compra certo artigo ao preço unitário de R$ 48,00 e o coloca à venda por um preço que lhe proporcionará uma margem de lucro de 40% sobre o preço de venda. O preço unitário de venda desse artigo é (A) R$ 78,00 (B) R$ 80,00 (C) R$ 84,00 (D) R$ 86,00 (E) R$ 90, (FCC) Um técnico judiciário arquivou 20% do total de processos de um lote, Se 35% do número restante corresponde a 42 processos, então o total existente inicialmente no lote era (A) 110 (D) 150 (B) 120 (E) 180 (C) (FCC) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta (A) um aumento de 10% (B) um aumento de 8% (C) um aumento de 2% (D) uma diminuição de 2% (E) uma diminuição de 10% 29. (FCC) Um comerciante compra um artigo por R$ 80,00 e pretende vendê-lo de forma a lucrar exatamente 30% sobre o valor pago, mesmo se der um desconto de 20% ao cliente. Esse artigo deverá ser anunciado por (A) R$ 110,00 (D) R$ 146,00 (B) R$ 125,00 (E) R$ 150,00 (C) R$ 130,00

27 Prepara 30. (CESGRANRIO) Do total de funcionários da empresa Fios S/A, 20% são da área de informática e outros 14% ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos funcionários dessa empresa NÃO trabalham na área de informática? (A) 30 (D) 120 (B) 99 (E) 150 (C) (CESGRANRIO) Um revendedor de carros usados comprou um automóvel por R$ ,00. Se ele desejar ter um lucro de 16% sobre o preço de compra, por quanto deverá revender esse carro, em reais? (A) ,00 (B) ,00 (C) ,00 (D) ,00 (E) , (CESGRANRIO) Em uma empresa, a razão,do número de empregados homens para o de mulheres é 3/7. Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é (A) 30% (D) 70% (B) 43% (E) 75% (C) 50% 33. (UFRJ) Ana vendeu uma bolsa por R$ 54,00, obtendo um lucro de 20% sobre o preço de custo. O lucro de Ana, em reais, foi de (A) R$ 64,80 (D) R$ 10,80 (B) R$ 43,20 (E) R$ 9,00 (C) R$ 13, (FCC) O preço para a execução de um trabalho de prótese dentária é o resultado da adição do custo do material com o valor da mão-de-obra. Em certo trabalho no qual o valor da mão-de-obra foi orçado em 80% do custo do material, o protético fez um desconto de 5% ao cliente, que pagou R$ 513,00. O preço estipulado pela mão-de-obra desse trabalho foi de (A) R$ 389,00 (D) R$ 270,00 (B) R$ 300,00 (E) R$ 240,00 (C) R$ 285, (FCC) Do total de funcionários de certa empresa, sabe-se que: 60% são do sexo masculino e que, destes, 30% usam óculos; das mulheres, 20% usam óculos; os que não usam óculos totalizam 333 unidades. Nessas condições, o total de pessoas que trabalham nessa empresa é (A) 320 (D) 420 (B) 350 (E) 450 (C) (FCC) Dos candidatos inscritos em um concurso, sabe-se que: 54% são do sexo masculino; deles têm mais de 30 anos; 32% do número de mulheres têm idades menores ou iguais a 30 anos; homens têm mais de 30 anos. Nessas condições, o total de candidatos com idades menores ou iguais a 30 anos é (A) (B) (C) (D) (E) (FCC) Dos funcionários de uma empresa sabe-se que o número de mulheres está para o de homens, assim como 12 está para 13, Relativamente ao total de funcionários dessa empresa, é correto afirmar que o número de funcionários do sexo feminino corresponde a (A) 40% (B) 42% (C) 45% (D) 46% (E) 48% 38. (FCC) Duas lojas têm o mesmo preço de tabela para um mesmo artigo e ambas oferecem dois descontos sucessivos ao comprador: uma, de 20% e 20%; e a outra, de 30% e 10%. Na escolha da melhor opção, um comprador obterá, sobre o preço de tabela, um ganho de (A) 34% (B) 36% (C) 37% (D) 39% (E) 40% 39. (FAURGS) A capacidade de certo vagão é de exatamente 30 adultos ou 40 crianças. Havendo já 24 crianças nesse vagão, qual o número máximo de adultos que ainda poderiam entrar? (A) 8 (B) 10 (C)112 (D) 16 (E) (FAURGS) O valor de x na expressão 2-7/5 = 7/5 é x (A) 2/5 (B) 3/5 (C) 3/7 (D) 7/3 (E) 5/2 27

28 Prepara 41. (FAURGS) Em uma Feira Internacional, cada prcjuto deveria ser pago com a moeda do país de origem, cotadas pelos valores do quadro abaixo. DÓLAR EURO LIBRA R$ 2,85 R$ 3,20 R$ 4,30 Uma pessoa comprou um par de tênis por 32 dólares, 2 garrafas de vinho por 8 euros cada uma e um livro por 5 libras. Essa pessoa gastou, em reais (A) 103,50 (B) 135,50 (C)150,00 (C)1158,30 (E) 163, (FAURGS) Se x = 1/3 e y = 1/9 a razão x/y é (A) um número natural. (B) igual a 1/27. (C) um número entre 1 e 2. (D) maior que 6. (E) um número negativo. 43. (FAURGS) O quadro abaixo mostra a campanha de certo time de futebol em um campeonato: VITÓRIAS EMPATES DERROTAS A razão que representa o número de vitórias para o total de partidas é (A) 1/3 (D) 5/6 (B) 1/2 (E) 2 (C) 2/3 44. (FAURGS) Em uma clínica, num determinado dia, 3 pessoas, em cada grupo de 10, apresentaram sintomas de resfriado. Então, das 90 pessoas atendidas nesse dia, o número delas com sintomas de resfriado foi (A) 27 (D) 40 (B) 30 (E) 45 (C) (CONESUL) Uma determinada empresa irá distribuir, proporcionalmente, sacolas de alimentos entre três instituições de caridade. A instituição A tem 45 crianças, a instituição B têm 90 crianças, e a instituição C têm 165 crianças. Quantas sacolas de alimentos receberão as instituições A e C, somadas? (A) 600 sacolas. (B) sacolas. (C) sacolas. (D) sacolas. (E) sacolas (CESPE) Três pessoas decidiram montar uma microempresa. O capital necessário foi de R$ ,00 sendo que a primeira pessoa entrou com o capital de R$ ,00, a segunda, com R$ 6.000,00 e a terceira, com R$ 9.000,00. Após um ano, a microempresa apresentou um lucro de R$ ,00, o qual foi repartido entre os três sócios, proporcionalmente aos capitais que cada um deles investiu. O terceiro sócio recebeu a mais que o segundo a quantia de (A) R$ 1.000,00 (B) R$ 1.200,00 (C) R$ 1.350,00 (D) R$ 1.600,00 (E) R$ 1.700, (CESGRANRIO) As famílias de duas irmãs, Alda e Berta, vivem na mesma casa e a divisão das despesas mensais é proporcional ao número de pessoas de cada família. Na família de Alda são três pessoas e na de Berta, cinco. Se a despesa, num certo mês, foi de R$ 1.280,00, quanto pagou, em reais, a família de Alda? (A) 520,00 (B) 480,00 (C)450,00 (D) 410,00 (E) 320, (FAURGS) A escala da planta de um lote de terrenos, em que um comprimento de 200m foi representado por 4cm, é (A) 1/500 (B) 1/1000 (C) 1/2000 (D) 1/3000 (E) 1/ (FAURGS) Em um concurso público, a relação candidato/vaga está pela razão 23/7. Sabendo-se que há 115 candidatos inscritos, o número de vagas disponíveis para ingresso no cargo em concurso é (A) 16 (B) 30 (C) 35 (D) 92 (E) (FAURGS) Em um mapa desenhado na escala 1 : , certa região está representada por um retângulo de dimensões 1cm por 2,5cm. A área dessa região é (A) 250m 2 (B) 25dam 2 (C) 25hm 2 (D) 25km 2 (E) 250km 2

29 Prepara 51. (CESGRANRIO) Luiz vai de bicicleta de casa até sua escola em 20 minutos, percorrendo ao todo 4km. Se, pedalando no mesmo ritmo, ele leva 1h10min para ir de sua casa até a casa de sua avó, a distância, em km, entre as duas casas é de (A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) (CESGRANRIO) A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da firma W, é 3/5. Sendo N o número total de funcionários (número de homens mais o número de mulheres), um possível valor para N é: (A) 56 (B) 54 (C) 50 (D) 49 (E) (FUNDATEC) Um fio de cobre com 3,08m de comprimento é dividido em duas partes, na razão 4/7. A menor das duas partes obtidas mede (A) 96cm (B) 112cm (C) 116cm (D) 128cm (E) 136cm 53. (FUNDATEC) Uma rede de supermercados, visando modernizar o serviço, comprou novos computadores. O equipamento deve ser distribuído proporcionalmente ao número de funcionários da cada loja. As três primeiras lojas que serão beneficiadas com este lote têm, respectivamente, 1.500, e funcionários. Respectivamente, o número de microcomputadores que serão destinados às lojas é (A) 300, 480 e 720 (B) 600, 900 e (C) 750,1.200 e (D) 500, 800 e (E) 700, 800 e (CESGRANRIO) Operação tapa-buracos A operação tapa-buracos emergencial nas rodovias federais vai começar segunda-feira (...). O objetivo do governo é fazer uma operação tapa-buracos em quilômetros, com investimento previsto de 440 milhões de reais. (...) O Globo, 06 jan De acordo com as informações apresentadas no texto acima, o custo médio por quilômetro, em reais, previsto na operação tapa-buracos do governo é, aproximadamente, de (A) 1.667,00 (B) 3.334,00 (C) 6.668,00 (D) ,00 (E) , (FAURGS) O valor de x para que os números 7, 10, 14 e x formem, nessa ordem, uma proporção é (A) 11 (B) 15 (C) 17 (D) 19 (E) (FAURGS) A temperatura de um corpo em graus Fahrenheit subtraída de 32 unidades, e a temperatura do mesmo corpo em graus Celsius são proporcionais a 9 e 5, respectivamente. Assim, a água que ferve a 100 graus Celsius ferverá a quantos graus Fahrenheit? (A) 100 (B) 125 (C) 208 (D) 212 (E) (CESGRANRIO) Uma cidade tem ao todo 42 vereadores. A divisão do número de vereadores na Assembléia é proporcional ao número de votos obtidos por cada partido. Em uma eleição na referida cidade, concorreram apenas os partidos A, B e C. O quadro abaixo mostra o resultado da eleição. Partidos A B C Nº de Votos Quantos vereadores fez o partido B? (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 18 (E) (FCC) Certo mês, os números de horas extras cumpridas pelos funcionários A, B e C foram inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8 meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três cumpriram um total de 56 horas extras, então o número de horas extras cumpridas por B foi (A) 8 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 36 Matem tica

30 Prepara 60. (FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é (A) 48 (B) 50 (C) 52 (D) 54 (E) (UFRJ) Flora tem uma pequena loja de produtos naturais e duas funcionárias, Joana e Carolina. No mês de julho Flora decidiu dividir um bônus de R$ 160,00 entre as duas funcionárias, de forma que cada uma receberia um valor inversamente proporcional ao número de faltas naquele mês. Carolina faltou 3 vezes e Joana faltou 2. A quantia recebida por Joana, em reais, é igual a (A) 55 (B) 64 (C) 80 (D) 96 (E) (FCC) Segundo previsões da divisão de obras de um município, serão necessários 120 operários para construir 600m de uma estrada em 30 dias de trabalho. Sabendo-se que o município poderá disponibilizar apenas 40 operários para a realização da obra, os primeiros 300m da estrada estarão concluídos em (A) 45 dias (B) 50 dias (C) 55 dias (D) 60 dias (E) 65 dias 63. (CONESUL) Um pai irá distribuir a quantia de R$ 660,00 a seus filhos. O mais velho tem 15 anos, o do meio 11 anos e o mais jovem 7 anos. Ele decidiu fazer esta divisão de forma proporcional a idade de cada um. Quanto irá receber o filho do meio? (A) R$ 140,00 (B) R$ 160,00 (C) R$ 200,00 (D) R$ 220,00 (E) R$ 300, (FUNDATEC) Sabendo-se que x + y = 76, os valores de x e y na proporção x/7 = y/12 são, respectivamente, (A) 28 e 36 (B) 28 e 48 (C) 36 e 48 (D) 40 e 48 (E) 40 e (FUNDATEC) Três números são diretamente proporcionais a 4, 5 e 7 e sua soma é 288. O maior desses números é (A) ímpar. (B) múltiplo de 5. (C) divisível por 15. (D) múltiplo de 7. (E) primo. 66. (FCC) Três funcionários, A, B e C, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 420 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço no Tribunal. Se A, B e C trabalham no Tribunal há 3, 5 e 6 anos, respectivamente, o número de formulários que B deverá conferir é (A) 100 (B) 120 (C) 200 (D) 240 (E) (FUNDATEC) Um trabalho foi realizado por 3 técnicos tendo o primeiro deles trabalhado durante 5 horas, o segundo durante 6 horas e o terceiro durante 8 horas. Como pagamento receberam R$ 323,00 que foi dividido entre os três de forma diretamente proporcional ao número de horas que cada um trabalhou. Nessas condições, o valor recebido pelo que trabalhou o maior número de horas foi de (A) R$ 128,00 (B) R$ 130,00 (C) R$ 136,00 (D) R$ 148,00 (E) R$ 164, (CESGRANRIO) A divisão do número de vereadores de determinada cidade. é proporcional ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve votos, B teve e C, Se o número de vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do partido B? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10

31 Prepara 69. (FAURGS) Viajando a uma velocidade média de 80km/h, um carro leva 5 horas para percorrer certa distância. Se a velocidade fosse de 100km/h. essa distância seria percorrida em (A) 2 horas. (B) 3 horas. (C) 4 horas. (D) 5 horas. (E) 8 horas. 70. (FUNDATEC) Três máquinas realizam uma tarefa em dez dias. Doze máquinas, trabalhando com a mesma eficiência que as três primeiras, realizam a mesma tarefa em (A) 7 dias. (B) 5 dias e meio. (C) 3 dias e meio. (D) 2 dias e meio. (E) 2 dias. 71. (FUNDATEC) Em uma escola, há 360 alunos no turno da manhã. O número de meninas está para o número de meninos assim como 3 está para 5. Quantos são os meninos que freqüentam o período da manhã nessa escola? (A) 200 (B) 210 (C) 215 (D) 225 (E) (FAURGS) De 100kg de café cru, obtém-se 80kg de café torrado e moído. Para preparar 1 litro de café, são necessários 90g de café torrado e moído. Em uma enfermaria, são preparados, mensalmente, 100 litros de café, para cuja obtenção, nas condições acima descritas, são utilizados (A) 11,25kg de café cru. (B) 17kg de café cru. (C) 32,50kg de café cru. (D) 48,75kg de café cru. (E) 72kg de café cru. 74. (CONESUL) A prefeitura de uma cidade irá distribuir caixas de giz escolar a 3 escolas de um bairro. Esta divisão será feita de acordo com o número de alunos de cada escola. Sabe-se que a primeira escola tem 100 alunos, a segunda escola tem 200 alunos e a terceira escola tem 300 alunos. A terceira escola receberá (A) 200 caixas (B) 300 caixas (C) 400 caixas (D) 500 caixas (E) 600 caixas 72. (FUNDATEC) Em determinado setor de um hospital, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 2/5. Sabendo-se que o total de pacientes é 210, pode-se concluir que o número de mulheres é (A) 50 (B) 70 (C) 150 (D) 160 (E) 180 Gabarito 01. B 02. E 03. D 04. C 05. C 06. A 07. C 08. A 09. B 10. E 11. C 12. D 13. B 14. C 15. D 16. D 17. E 18. D 19. A 20. B 21. E 22. C 23. C 24. D 25. E 26. B 27. D 28. B 29. C 30. D 31. C 32. A 33. E 34. E 35. E 36. D 37. E 38. C 39. E 40. C 41. E 42. A 43. B 44. A 45. D 46. B 47. B 48. E 49. C 50. E 51. A 52. B 53. D 54. E 55. E 56. A 57. D 58. C 59. B 60. C 61. D 62. A 63. D 64. B 65. D 66. B 67. C 68. A 69. C 70. D 71. D 72. C 73. A 74. E 31 Matem tica

32 Prepara Juros Simples No regime de juros simples, a taxa incide sempre sobre o capital inicial, originando um juro igual em todos os períodos. Notação: J = juros (ou rendimentos) C = capital (valor aplicado ou tomado por empréstimo) i = taxa de juros (unitária) n = número de períodos (prazo) M = montante (valor acumulado) J = C i. n e M = C + J Observação: Taxa e prazo devem estar na mesma unidade de tempo. Exemplos: Taxas Proporcionais 2% a.m., durante 3 meses 54% a.a., durante 2 anos São taxas que aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo tempo, produzem juros iguais. Exemplos: 2% a.m = 12% a.s. = 24% a.a. 15% a.t. = 60% a.a. = 10% a.b. 72% a.a. = 36% a.s. = 6% a.m. 03. O capital de R$ 3.000,00 rendeu em 6 meses, os juros de R$ 324,00. Calcule a taxa anual de juros utilização nessa operação. Exercícios 01. (FUNDATEC) Um capital de R$ 6.400,00 foi aplicado durante um tempo t à taxa de 3% ao mês ouros simples) gerando um montante de R$ 7.936,00. Logo, o tempo de aplicação foi de, em meses (A) 6. (D) 12. (B) 8. (E) 14. (C) (FAURGS) Uma mercadoria, cujo preço à vista é R$ 1.260,00, pode ser adquirida em dois pagamentos: uma entrada de R$ 500,00 e o restante em trinta dias, com uma taxa de juros de 8% ao mês. Nessas condições, o valor a ser pago após 30 dias é (A) R$ 730,80 (D) R$ 808,00 (B) R$ 786,00 (E) R$ 820,80 (C) R$ 802,00 Exercícios resolvidos: 01. Calcular os juros simples produzidos por R$ ,00, aplicados à taxa de 36%a.a., durante 2 meses. C = R$ ,00 O que também pode ser resolvido usando regra de três simples, pois os juros são calculados sempre sobre o valor inicial do investimento ou empréstimo ,00 100% x 6% 100x = x 6 x = Qual o capital que aplicado a juros simples de 50%a.s. produz o montante de R$ ,00 em um ano e meio? (CONESUL) Qual o número de meses necessários para que uma aplicação de R$ 4.500,00, aplicada a uma taxa de juros simples de 1,2% ao mês tenha um rendimento de R$ 1.458,00? (A) 17 (D) 19 (B) 23 (E) 31 (C) (CONESUL) Qual o capital que aplicado à taxa de juros simples de 15% a.m. produz um montante de R$ 920,00 ao final de 2 anos? (A) R$ 200,00 (B) R$ 260,50 (C) R$ 466,66 (D) R$ 782, (FUNDATEC) Um capital foi aplicado a juros simples, durante 6 meses, da seguinte forma: Uma parte, de R$ 6.000,00, a 3% ao mês e a parte restante, a 2% ao mês. Se no final da aplicação, o montante gerado foi de R$ ,00, a parte aplicada a 2% foi de (A) R$ 6.000,00 (B) R$ 5.000,00 (C) R$ 3.600,00 (D) 40% do capital aplicado (E) 60% do capital aplicado

33 Prepara 06. (CONESUL) O preço original de um aparelho eletrônico é de R$ 800,00. Se for parcelado em 6 vezes (pagamento de uma parcela a cada mês), a loja cobra uma taxa de juros simples de 8% a.m. Considerando essas condições, o valor total pago pelo aparelho após 6 meses será de (A) R$ 384,00 (B) R$ 997,33 (C) R$ 1.184,00 (D) R$ 1.192, (FCC) Um capital de R$ 5.000,00, aplicado a juros simples, à taxa mensal de 3%, por um prazo de 1 ano e 3 meses, produzirá um montante no valor de (A) R$ 7.225,00 (B) R$ 7.250,00 (C) R$ 7.320,00 (D) R$ 7.500,00 (E) R$ 7.550, (FCC) Um capital de R$ 5.000,00, aplicado a juros simples, à taxa mensal de 3%, por um prazo de 1 ano e 3 meses, produzirá um montante no valor de (A) R$ 7.225,00 (D) R$ 7.500,00 (B) R$ 7.250,00 (E) R$ 7.550,00 (C) R$ 7.320, (FCC) Um capital de R$ 750,00 esteve aplicado a juro simples, produzindo, ao fim de um trimestre, o montante de R$ 851,25. A taxa anual de juro dessa aplicação foi (A) 48% (D) 56% (B) 50% (E) 63% (C) 54% 09. (FCC) Num mesmo dia, são aplicados a juros simples: 2/5 de um capital a 2,5% ao mês e o restante, a 18% ao ano. Se, decorridos 2 anos e 8 meses da aplicação, obtém-se um juro total de R$ 7.600,00, o capital inicial era (A) R$ ,00 (D) R$ ,00 (B) R$ ,00 (E) R$ ,00 (C) R$ , (FCC) Uma pessoa tem R$ ,00 para aplicar a juro simples. Se aplicar R$ 5.000,00 à taxa mensal de 2,5% e R$ 7.000,00 à taxa mensal de 1,8%, então, para obter um juro anual de R$ 4.932,00, deve aplicar o restante à taxa mensal de (A) 2% (D) 2,5% (B) 2,1% (E) 2,8% (C) 2,4% 11. (AOCP) Uma pessoa toma emprestado de um banco R$ ,00 e após 6 meses e 15 dias devolve R$ ,00. Qual foi, aproximadamente, a taxa de juros ao mês? Considere o mês como tendo 30 dias. (A) 2% ao mês (D) 3% ao mês (B) 1,7% ao mês (E) 2,2% ao mês (C) 1,9% ao mês 12. (FCC) Uma pessoa tem R$ 2 000,00 para investir. Se aplicar 3/4 dessa quantia a juro simples, à taxa mensal de 5%, então, para obter um rendimento mensal de R$ 90,00, deverá investir o restante à taxa mensal de (A) 1% (D) 4% (B) 2% (E) 5% (C) 3% (FCC) Em um regime de capitalização simples, um capital de R$ ,00 foi aplicado à taxa anual de 15%. Para se obter o montante de R$ ,00, esse capital deve ficar aplicado por um período de (A) 8 meses (B) 10 meses (C) 1 ano e 2 meses (D) 1 ano e 5 meses (E) 1 ano e 8 meses 15. (CONESUL) Qual o valor que, investido a uma taxa de juros simples de 20% a cada dois meses gera, no final de dois anos e meio, um montante de R$ 6.000,00? (A) R$ 857,14 (D) R$ 4.761,90 (B) R$ 1.500,00 (E) R$ 4.800,00 (C) R$ 2.200, (CONESUL) Qual o tempo necessário para que um capital qualquer, aplicado a uma taxa de juros simples de 1,25%,ao mês, triplique seu valor? (A) 60 meses. (B) 80 meses. (C) 120 meses. (D) 160 meses. (E) 180 meses. 17. (AOCP) Qual é o tempo necessário para obter 12/5 de um capital aplicado a juros simples à taxa de 20% ao mês? (A) 12 meses (D) 9 meses (B) 3 meses (E) 15 meses (C) 20 meses 18. (FDRH) O preço à vista de um monitor de vídeo é de R$ 550,00. Se for dada uma entrada de 20% do valor à vista, o restante pode ser pago em 10 prestações mensais iguais, a um juro simples de 3% ao mês. Neste caso, qual o valor de cada prestação? (A) R$ 44,00 (D) R$ 68,20 (B) R$ 57,20 (E) R$ 71,50 (C) R$ 60, (FCC) A que taxa anual de juros simples deve-se aplicar um capital para que, ao final de 20 meses, o seu valor seja triplicado? (A) 10% (D) 120% (B) 60% (E) 150% (C) 100% Matem tica

34 Prepara 20. (FDRH) Supondo-se que um oficial de certa corporação recebeu um salário de R$ 1.250,00 e aplicou 2/5 desse valor a 2,2% ao mês, no sistema de juros simples, pode-se afirmar que ao final de 5 meses, essa aplicação lhe rendeu (A) menos de R$ 40,00. (B) mais do que R$ 40,00 e menos do que R$ 50,00. (C) mais do que R$ 50,00 e menos do que R$ 60,00. (D) mais do que R$ 60,00 e menos do que R$ 70,00. (E) mais do que R$ 70, (CONESUL) Uma pessoa recebeu, após 10 meses, um montante de R$ ,00. Qual o valor do capital, sabendo-se que a taxa de juros simples foi de 3,5% ao mês? (A) R$ 20,000,00 (D) R$ ,00 (B) R$ ,00 (E) R$ 2.000,00 (C) R$ , (CONESUL) Um capital que representa 62,5% do seu montante, foi aplicado pelo prazo de 36 meses gerando um total de R$ 9.600,00 (capital mais juros). Qual a taxa de juros simples anual que foi aplicada ao capital? (A) 20% ao ano (D) 26% ao ano (B) 22% ao ano (E) 28% ao ano (C) 24% ao ano 23. (FAURGS) Aplicando uma taxa de juros simples de 4% ao mês sobre um capital, este dobrará de valor em (A) 1 ano. (D) 2 anos e 1 mês. (B) 1 ano e 5 meses. (E) 2 anos e 5 meses. (C) 2 anos. 24. (FUNDATEC) Um capital de R$ 8.000,00, aplicado a juros simples com taxa mensal de 2%, gera um montante de R$ 9.440,00, em, exatamente (A) 6 meses. (D) 9 meses. (B) 7 meses. (E) 10 meses. (C) 8 meses. 25. (FUNDATEC) 0 valor de R$ 6,000,00 aplicado à taxa de 1,5% ao mês, durante 10 meses, produz um juros simples de (A) R$ 800,00 (D) R$ 920,00 (B) R$ 850,00 (E) R$ 950,00 (C) R$ 900,00 Gabarito 01. B 02. E 03. C 04. A 05. D 06. C C 09. A 10. A 11. B 12. C 13. B 14. B 15. B 16. D 17. A 18. B 19. D 20. C 21. A 22. A 23. D 24. D 25. C 34 Juros Compostos No regime de juros compostos os juros de cada período são calculados sobre o montante obtido no período anterior. É o que chamamos de juros sobre juros. M = C.(1 + i) n Exemplos: 01. (FDRH) A quantia de R$ ,00 é emprestada a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês. Após 3 meses, o valor pago para a quitação da dívida e os juros pagos serão, respectivamente, (A) R$ ,00 e R$ 8.275,00 (B) R$ ,00 e R$ 8.725,00 (C) R$ ,00 e R$ 8.527,00 (D) R$ ,00 e R$ 8.752,00 (E) R$ ,00 e R$ 8.257, (FUNDATEC) Um capital de R$ ,00 aplicados a juros compostos de 2% ao mês, gera, ao final de 6 meses, um montante de (A) R$ ,21 (B) R$ ,60 (C) R$ ,60 (D) R$ ,60 (E) R$ ,90 Obs.: Utilizar a tabela. n (1,02) n 1 1,02 2 1, , , , , , , (FDRH) Um banco empresta R$ ,00 a um cliente, à taxa de juros compostos de 30% ao mês para ser quitado em 3 meses. Calcule o valor total ser pago pelo cliente no vencimento da dívida. (A) R$ 4.551,66 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ ,00

35 Prepara 04. (FDRH) Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado taxa de 3% ao mês, durante três meses. Os montantes correspondentes obtidos segundo capitalização simples e composta, respectivamente, valem (A) R$ 2.180,00 e R$ 2.185,45 (B) R$ 2.180,00 e R$ 2.480,00 (C) R$ 2.185,45 e R$ 2.480,00 (D) R$ 2.785,45 e R$ 2.480,00 (E) R$ 6.180,00 e R$ 4.394, João aplica ao final de cada mês R$ 1.000,00 em um fundo de investimentos que paga juros composto de 5% ao mês. 0 montante que ficará à disposição de João imediatamente após o 100 depósito será Use: (1,05) 10 = 1,63 (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ , (FCC) Um capital de R$ 4.000,00, aplicado à taxa de 2% ao mês, durante três meses, na capitalização composta, gera um montante de (A) R$ 6.000,00 (B) R$ 4.240,00 (C) R$ 5.500,00 (D) R$ 4.244,83 (E) R$ 6.240, (ESAF) Indique o valor atual de uma dívida que, no vencimento daqui a 3 meses, vale R$ ,00, sabendo-se que a taxa de juros compostos a ser usada é de 20% ao mês. (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ , (FUNDATEC) Um capital C, aplicado a juros compostos à taxa de i% ao ano, capitalizados anualmente, produz, no fim de t anos, o montante M. O valor de C pode ser expresso por (A) C = (1 + i) t (1 + i)t (B) C = (C) C = M M (1 + i) t (D) C = M(1 + i) t (E) C = M(1 - i) t 10. (FCC) Obtenha o capital inicial que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 Dado: 1,04 12 = 1,601 (A) R$ 625,00 (B) R$ 630,00 (C) R$ 636,00 (D) R$ 650,00 (E) R$ 676, (CONESUL) Qual o valor do montante de um capital de R$ ,00 investido durante 3 meses a uma taxa de juros compostos de 20% ao mês? (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,33 (D) R$ ,66 (E) R$ , Se aplicarmos R$ ,00 a juros compostos de 6% ao trimestre, teremos após 3 anos, em real, a importância correspondente a (A) (1,06) 12 (B) (1,02) 9 (C) (1,06) 12 (D) (1,02 ) 12 (E) (1, 02) (FCC) Após estarem aplicados durante 10 meses, a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, R$ 1.760,00 rendem juros de (Dado que 1,1 10 = 2,5937) (A) R$ 176,00 (B) R$ 1.760,00 (C) R$ 2.804,91 (D) R$ 2.863,52 (E) R$ 4.564,91 35 Gabarito 01. A 02. C 03. E 04. A 05. E 06 D 07. C 08. C 09. C 10. A 11. A 12. C Matem tica

36 Prepara Sistemas Legal de Medidas Medidas de Comprimento Múltiplos QUILÔMETRO (km) HECTÔMETRO (hm) DECÂMETRO (dam) Unidade fundamental: METRO (m) Submúltiplos DECÍMETRO (dm) CENTÍMETRO (cm) MlLÍMETRO (mm) Transformação de Unidades Para se mudar de uma unidade para outra, deslocaremos a vírgula para a direita (quando for de uma unidade superior para inferior) e para a esquerda (quando for de uma unidade inferior para superior). Transforme 16,584hm em m. km hm dam m dm cm mm Medidas de Capacidade Múltiplos QUILOLITRO (M) HECTOLITRO (hl) DECALITRO (daí) Unidade fundamental: LITRO (1) Submúltiplos DECILITRO (dl) CENTILITRO (cl) MILILITRO (ml) Transformação de Unidades Para transformar de uma unidade para outra, deslocaremos a vírgula uma casa para esquerda, quando desejarmos em unidade superior, ou para a direita, quando se deseja em unidade inferior. Transformar 3,191 para ml. kl Hl dal L dl cl ml Para transformar 1 para ml (três posições à direita) devemos deslocar a vírgula três casa para a direita, ou seja, 3,191 = mL. Medidas de Superfície Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos deslocar a vírgula duas unidades para a direita. Portanto, 16,584hm = 1.658,4m Medidas de Massa Múltiplos QUILOGRAMA (kg) HECTOGRAMA (hg) DECAGRAMA (dag) Unidade fundamental: GRAMA (g) Submúltiplos DECIGRAMA (dg) CENTIGRAMA (cg) MILIGRAMA (mg) Transformação de Unidades Para transformar de uma unidade para outra, deslocaremos a vírgula uma casa para esquerda, quando desejarmos em unidade superior, ou para a direita, quando se deseja em unidade inferior. Transforme 4,627kg em dag. kg hg dag g dg cg mg Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos deslocar a vírgula duas unidades para a direita. Ou seja: 4,627kg = 462,7dag 36 QUILÔMETRO QUADRADO (km 2 ) Múltiplos HECTÔMETRO QUADRADO (hm 2 ) DECÂMETRO QUADRADO (dam 2 ) Unidade fundamental: METRO QUADRADO (m 2 ) DECÍMETRO QUADRADO (dm 2 ) Submúltiplos CENTÍMETRO QUADRADO (cm 2 ) MILÍMETRO QUADRADO (mm 2 ) Transformação de Unidades Para se mudar de uma unidade para outra, deslocaremos a vírgula duas para casas para a esquerda ou para a direita, conforme se queira uma unidade superior ou inferior. Transformar 2,36m 2 em mm 2. km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Para transformar m 2 em mm 2 (três posições à direita) devemos deslocara a vírgula seis casas para a direita, ou seja, 2,36m 2 = mm 2 Medidas de Volume QUILÔMETRO CÚBICO (km 3 ) Múltiplos HECTÔMETRO CÚBICO (hm 3 ) DECÂMETRO CÚBICO (dam 3 ) Unidade fundamental: METRO CúBICO (M) DECÍMETRO CÚBICO (dm 3 ) Submúltiplos CENTÍMETRO CÚBICO (cm 3 ) MILÍMETRO CÚBICO (mm 3 )

37 Prepara Transformação de Unidades Para se mudar de uma unidade para outra, deslocaremos a vírgula três para casas para a esquerda ou para a direita, conforme se queira uma unidade superior ou inferior. Transformar 2,45m 3 para dm 3. km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Para transformar m 3 em dm 3 (uma posição à direita) devemos deslocar a vírgula três casas à direita, ou seja 2,45 m 3 = 2.450dm 3 Relação entre Volume, Capacidade e Massa 1 dm 3 = 1L = 1 kg Medidas de Tempo Múltiplos e submúltiplos do segundo Múltiplos minutos hora dia min h d 60s 60 min = s 24h = 1.440min = s Cuidado: Nunca escreva 2,40 h como forma de representar 2h40min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal. Observe: 2,40h = 2h + 40 h = 2h e 24 minutos minutos = 24 minutos (FCC) Dispõe-se de um bloco maciço de madeira com volume de 0,04m 3. Se a densidade da madeira é 0,93g/cm 3 o peso desse bloco, em quilogramas, é (A) 23,25 (D) 372 (B) 37,2 (E) (C) 232,5 04. (FCC) Se os 13,56 litros de água no interior de um bebedouro estão ocupando os 2/3 de sua capacidade, quantos metros cúbicos de água faltam para encher esse bebedouro? (A) 0,968 (D) 0,0678 (B) 0,678 (E) 0,00678 (C) 0, (FCC) Certo dia, Jairo comentou com seu colega Luiz: Hoje eu trabalhei o equivalente a 4/9 do dia, enquanto você trabalhou apenas o equivalente a 7/20 do dia. Com base nessa informação, quanto tempo Jairo trabalhou a mais que Luiz? (A) 1 hora e 50 minutos. (B) 2 horas e 16 minutos. (C) 2 horas e 48 minutos. (D) 3 horas e 14 minutos. (E) 3 horas e 36 minutos. 06. (FCC) Um funcionário iniciou seu dia de serviço quando eram decorridos 25/72 do dia. Se cumpriu 6 72 horas ininterruptas de trabalho, o seu horário de saída nesse dia foi (A) 12 horas e 20 minutos. (B) 12 horas e 40 minutos. (C) 14 horas e 12 minutos. (D) 14 horas e 15 minutos. (E) 14 horas e 20 minutos. Exercícios Propostos 01. (FCC) Sabe-se que enchendo 72 garrafas, cada uma com capacidade de 0,80L, é possível engarrafar todo o líquido de um reservatório. Se o volume de cada garrafa fosse 900cm 3, o número de garrafas utilizadas seria (A) 640 (B) 90 (C) 86 (D) 64 (E) (FCC) Um motorista iniciou uma viagem às 9h25min e chegou ao seu destino às 18h10min. Essa viagem durou (A) oito horas e trinta e cinco minutos. (B) oito horas e quarenta e cinco minutos. (C) nove horas e cinco minutos. (D) nove horas e quinze minutos. (E) nove horas e trinta e cinco minutos (UFRJ) Numa partida de futebol foram marcados dois gols no primeiro tempo: o primeiro, aos 18min e 25s e, o segundo, aos 23min e 12s. 0 tempo decorrido entre os dois gols foi de: (A) 4min 47s (D) 5min 47s (B) 4min 48s (E) 5min 48s (C) 4min 57s 08. (UFRJ) A vazão de água de um filtro é de 100 mililitros por minuto. O tempo necessário para encher uma panela de 4,5 litros com esse filtro é (A) um quarto de hora (B) meia hora (C) três quartos de hora (D) quatro quintos de hora (E) uma hora Matem tica

38 Prepara 09. (FCC) Suponha que a jornada de trabalho de uma pessoa seja de 8 horas diárias. Certo dia, ela chegou ao trabalho quando eram decorridos 11/36 do dia, saiu para almoçar às 12 horas e 15 minutos e retomou o trabalho às 13 horas. Se foi para casa quando eram decorridos 2/3 do mesmo dia, então sua jornada (A) foi integralmente cumprida. (B) foi excedida em 10 minutos. (C) foi excedida em 5 minutos. (D) deixou de ser cumprida, pois faltaram 10 minutos. (E) deixou de ser cumprida, pois faltaram 5 minutos. 10. (UFRJ) A tabela a seguir apresenta uma classificação de furacões em função da velocidade do vento. Classe Intensidade Velocidade 1 Mínima Entre 120km/h e 152km/h 2 Moderada Entre 153km/h e 176km/h 3 Forte Entre 177km/h e 208km/h 4 Extrema Entre 209km/h e 248km/h 5 Catastrófica Mais de 249km/h Em 29 de agosto de 2005, o furacão Katrina atingiu o sul dos Estados Unidos com ventos que chegaram a 70 metros por segundo. Com base na tabela acima, a intensidade do furacão Katrina foi classificada como: (A) mínima (B) moderada (C) forte (D) extrema (E) catastrófica 11. (CESGRANRIO) Um terreno de 1 km 2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m 2 será de: (A) (B) (C) (D) (E) (UFRJ) Um filme tem 1h35min24s de duração. Uma rede de TV passará o filme em seis partes de mesma duração, para poder exibir comerciais de 2 minutos nos intervalos. Será também mostrado um comercial de 90 segundos antes do início do filme. O tempo total a ser gasto com a exibição do filme e dos comerciais e a duração de cada uma das seis partes do filme valem, respectivamente: (A) 1h46min54s e 15min36s; (B) 1h48min54s e 15min54s; (C) 1 h48min54s e 16min04s; (D) 1h46min54s e 15min54s; (E) 1 h48min54s e 15min36s (CONESUL) Visando aprimorar sua equipe de motoristas, uma empresa oferece gratuitamente um curso de manutenção e conservação, mecânica geral de veículos, legislação de trânsito, direção defensiva e outros tópicos, às segundas, quartas e quintas feiras, das 19 horas e 15 minutos até às 20 horas e 45 minutos durante oito semanas. A duração do curso é de (A) 20 horas (D) 24 horas (B) 36 horas (E) 40 horas (C) 30 horas 14. (FCC) Uma pessoa inicia sua jornada de trabalho quando são decorridos 2/5 de um dia e a encerra quando são decorridos 7/9 do mesmo dia. Se parou 1 hora e 50 minutos para almoçar, ela trabalhou durante (A) 7 horas. (B) 7 horas e 4 minutos. (C) 7 horas e 14 minutos. (D) 7 horas e 28 minutos. (E) 7 horas e 36 minutos. 15. (FCC) o volume de uma caixa d água é de 2,760m 3. Se a água nela contida está ocupando os 3/5 de sua capacidade, quantos decalitros de água devem ser colocados nessa caixa para enchê-la completamente? (A) 331,2 (D) 110,4 (B) 184 (E) 55,2 (C) 165,6 16. (FCC) Certo dia, um técnico judiciário trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitação de um texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, então ele iniciou a digitação do texto às (A) 13h40min (B) 13h20min (C) 13h (D) 12h20min (E) 12h10min 17. (FUNDATEC) Os períodos de funcionamento de um aparelho hospitalar foram os seguintes: 1,3h, 1,4h, 24min e 1,1h. O tempo total de funcionamento, desse aparelho, foi de (A) 198min (D) 275min (B) 252min (E) 284min (C) 264min 18. (IPAD) Um relógio atrasa meio segundo a cada 20 minutos. Em dois dias ele atrasará: (A) 1 minuto e 4 segundos (B) 1 minuto e 8 segundos (C) 1 minuto e 12 segundos (D) 1 minuto e 24 segundos (E) 1 minuto e 30 segundos

39 Prepara 19. (FUNDATEC) 15% de uma semana corresponde a (A) 1 dia, 1 hora e 20 minutos. (B) 1 dia, 1 hora e 12 minutos. (C) 25 horas e 20 minutos. (D) 1,5 dias. (E) 105 horas. 20. (CESGRANRIO) Seu José produziu 10 litros de licor de cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750mL para vender na feira. Não havendo desperdício, quantos litros de licor sobrarão depois que ele encher todas as garrafas? (A) 2,00 (D) 1,25 (B) 1,75 (E) 1,00 (C) 1, (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18 de um dia e retomou à sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de (A) 14 horas e 10 minutos. (B) 13 horas e 50 minutos. (C) 13 horas e 30 minutos. (D) 13 horas e 10 minutos. (E) 12 horas e 50 minutos. 22. (FCC) Certo dia, um auxiliar gastou segundos para entregar as correspondências de diferentes setores do Tribunal. Se essa tarefa teve início às 8 horas e 56 minutos e foi executada ininterruptamente, então ele finalizou a entrega das correspondências às (A) 10 horas. (B) 10horas e 5 minutos. (C) 10 horas e 20 minutos. (D) 10 horas e 36 minutos. (E) 10 horas e 45 minutos. 23. (FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de metros, dois veículos gastaram: um, 54 minutos e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as velocidades médias desses veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora, era (A) 11,475 (D) 42,375 (B) 39,25 (E) 45,5 (C) 40,5 24. (FUNDATEC) O volume de 0,75m 3 corresponde a (A) 75 litros. (B) 750 litros. (C) 75 decilitros. (D) 750 decilitros. (E) centilitros. 25. (IPAD) Um fio de cabelo cresce, em média, 2,5 milímetros por semana. Para um fio de cabelo crescer 5 centímetros serão necessários: (A) entre um e dois meses (B) entre dois e três meses (C) entre três e quatro meses (D) entre quatro e cinco meses (E) entre cinco e seis meses 26. (FUNDATEC) 40% de um dia corresponde a (A) 9 horas e 36 minutos. (B) 9 horas e 32 minutos. (C) 9 horas e 6 minutos. (D) 9 horas e 54 minutos. (E) 9 horas e 30 minutos. 27. (FUNDATEC) Um aquário tem capacidade correspondente a mililitros, equivalente a (A) 0,08 metros cúbicos. (B) 0,8 metros cúbicos, (C) 8 metros cúbicos. (D) 80 metros cúbicos. (E) 800 metros cúbicos. 28. (FCC) Um atleta que completou a distância de 10 quilômetros em 45 minutos percorreu cada quilômetro no tempo médio de (A) 4 minutos e 50 segundos. (B) 4 minutos e 45 segundos. (C) 4 minutos e 40 segundos. (D) 4 minutos e 35 segundos. (E) 4 minutos e 30 segundos. 29. (FCC) A velocidade de 180kmh equivale a quantos metros por segundo? (A) 5 (D) 300 (B) 30 (E) 500 (C) (FUNDATEC) A distância entre duas cidades A e B é de 230km e o único posto de gasolina entre elas encontra-se a 3/5 desta distância, partindo de A. O total de quilômetros a serem percorridos da cidade B até este ponto é de (A) 56km (D) 11381km (B) 92km (E) 1146km (C) 1103km Gabarito 01. D 02. B 03. B 04. E 05. B 06. E 07. A 08. C 09. E 10. E 11. E 12. D 13. B 14. C 15. D 16. A 17. B 18. C 19. B 20. E 21. E 22. C 23. C 24. B 25. D 26. A 27. A 28. E 29. C 30. B 39 Matem tica

40 Prepara Seqüências Numéricas Progressão Aritmética Progressão aritmética é uma seqüência numérica na qual, a partir do segundo, cada termo é igual à soma de seu antecessor com uma constante, denominada razão. Notação: PA (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n ) Onde: a 1 = primeiro termo a n = último termo, termo geral ou n-ésimo termo n = número de termos (se for uma PA finita) r = razão São exemplos de PA: (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5 (12, 9, 6, 3, 0, - 3) é uma PA de razão r = 3 (2, 2, 2, 2, 2,... ) é uma PA de razão Classificação Quanto à razão: Toda PA de razão positiva (r > 0) é crescente. (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5 Toda PA de razão negativa (r < 0) é decrescente. (12, 9, 6, 3, 0, - 3) é uma PA de razão r = -3 Toda PA de razão nula (r = 0) é constante ou estacionária. (2, 2, 2, 2, 2,... ) é uma PA de razão r = 0 Quanto ao número de termos: Toda PA de nº de termos finito é limitada. (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10 Fórmula do Termo Geral de uma P.A. a n = a 1 + (n - 1).r Soma de Termos de uma P.A. Finita S n = (a 1 + a n ).n 2 Exercícios resolvidos: 01. Dada a PA (-19, -15, -11,... ) calcule o seu enésimo termo. Primeiramente encontraremos a razão: r = a 2 - a 1 r = (-19) r = 4 Logo, o termo geral é: a n = a 1 + (n - 1).r a n = (n - 1).4 a n = n - 4 a n = 4n Interpole seis meios aritméticos entre - 8 e 13. No problema: a 1 = - 8, a n = 13, n = 8 (pois 6 meios aritméticos serão interpolados entre os dois extremos, que são -8 e 13, logo, existem 8 termos na PA). Para interpolar os valores, devemos encontrar a razão: a n = a 1 + (n - 1).r 13 = -8 + (8-1).r 13 = r 7r = 21 r = 3 Encontrada a razão, basta interpolar os meios aritméticos: -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 Toda PA de nº de termos infinito é ilimitada. (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = 2 Propriedades 1. Três termos consecutivos Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. 2. Termo Médio Numa PA qualquer de número ímpar de termos, o termo do meio (médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último termo. 3. Termos Eqüidistantes A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos Um ciclista percorre 20km na primeira hora; 17km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas? PA (20, 17,14...) a 1 = 20 r = a 2 - a 1 = = -3 Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do a n (ou seja, a 5 ): a 5 = a 1 + 4r = (-3) = = 8 Aplicando a fórmula temos: S 50 = (a 1 + a n ).n/2 = (20 + 8).5/2 = 14.5 = 70 Logo ele percorreu em 5 horas 70km.

41 Prepara Progressão Geométrica Progressão geométrica é uma seqüência de números, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão. Notação: PG (a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n ) Onde: a 1 = primeiro termo a n = último termo, termo geral ou n-ésimo termo n = número de termos (se for uma PG finita) q = razão São exemplos de PG: (1, 2, 4, 8, 16, 32,...) PG de razão 2 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,...) PG de razão 1 (100, 50, 25,...) PG de razão 1/2 (2, -6, 18, -54,162,... ) PG de razão -3 Fórmula do Termo Geral de uma PG Propriedades a n = a 1. q n-1 1. Em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior. 2. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante. Soma dos Termos de uma PG FINITA S n = a 1. qn - 1 q Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8,...) Temos: Observe que neste caso a 1 = 1. S 10 = = Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/ = 100 O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: x = 100 x = /2 Exercícios 01. (FUNDATEC) Se a população de certa cidade cresce 3% ao ano, os valores que representam o crescimento da população, a cada ano, formam uma progressão (A) aritmética de razão 0,03. (B) aritmética de razão 1,03. (C) geométrica de razão 0,03. (D) geométrica de razão 1,03. (E) geométrica de razão 1,1 02. (FUNDATEC) Se a seqüência (x + 2, 2x - 4, 4x - 20,... ) é uma progressão aritmética, então o valor da razão é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 INFINITA S = a q 03. (FAURGS) Um comerciante empilhou 25 latas de certo produto de tal modo que em cada camada da pilha houvesse 2 latas a menos que na camada anterior, terminando por uma única lata. Depois, numerou-as como indica a figura abaixo. Exercícios resolvidos: 01. Dada a PG (2, 4, 8,... ), pede-se calcular o décimo termo. Temos: a 1 = 2 q = 4/2 = 8/4 = 2 Para calcular o décimo termo ou seja a o, vem pela fórmula: a 10 = a 1. q 9 a 10 = a 10 = 2 10 a 10 = Observou então que, para fazer uma pilha semelhante com 400 latas, deveria colocar na camada inferior da pilha (A) 20 latas. (B) 26 latas. (C) 32 latas. (D) 39 latas. (E) 47 latas. Matem tica

42 Prepara 04. (UFRJ) Os termos (x + 1), 8, (4x + 4) são termos consecutivos de uma progressão geométrica. Sabendo que x é um número negativo, o próximo termo dessa seqüência é (A) 32 (D) -16 (B) 16 (E) -32 (C) (FUNDATEC) Em uma progressão aritmética em que o valor do quarto termo é k - 1 e o oitavo termo vale 2k + 1 tem-se, para a soma dos 20 primeiros termos, um valor igual a 105k (A) 2 (B) 105k (UFRJ) Uma pessoa recebe R$ 1,00 na segundafeira, R$ 2,00 na terça-feira, R$ 4,00 na quarta-feira, R$ 8,00 na quinta-feira, e assim sucessivamente, durante duas semanas. A quantia total recebida por essa pessoa nesses 14 dias corres-ponde a (A) R$ ,00 (B) R$ ,00 (C) R$ ,00 (D) R$ ,00 (E) R$ , (FUNDATEC) Em uma progressão aritmética de nove termos, a soma dos dois primeiros é 10 e a soma dos dois últimos vale 38. O valor do 3º termo dessa progressão é (A) 4 (D) 10 (B) 5 (E) 16 (C) (UFRJ) Num programa de condicionamento físico, uma pessoa caminha 1km no primeiro dia, 2km no segundo dia, 3km no terceiro dia, e assim sucessivamente, durante 10 dias. Ao final desses 10 dias, o número de quilômetros percorridos será (A) 35 (D) 65 (B) 45 (E) 75 (C) (FUNDATEC) Numa progressão aritmética, 0 primeiro termo é igual a k e o vigésimo termo é igual a m. A razão dessa progressão é igual a (A) m + k 19 (B) m - k 20 (C) m + k 20 (D) m + k 18 (E) m - k (FCC) A seqüência (x, x - 4, x - 4 ) é uma pro- 3 gressão geométrica decrescente. O quarto termo dessa progressão é (A) 2/3 (B) 4/9 (C) 1/3 (D) 2/9 (E) 1/9 42 (C) 105k k - 90 (D) 2 (E) 105k (FUNDATEC) Em uma progressão aritmética em que o primeiro termo e a razão têm o mesmo valor, o vigésimo termo é 80. O terceiro termo desta progressão é igual a (A) 4 (B) 8 (C)12 (D) 16 (E) (FUNDATEC) Você olha para o céu e observa que os patos voam em formação sugerindo um triângulo. À frente, na primeira fila, voa um pato; na segunda fila, voam dois; na terceira, três, e assim, sucessivamente, até a 40º fila. O número de patos que está voando é (A) 40 (B) (C) 820 (D) 250 (E) (FUNDATEC) O número de casos graves, em determinada enfermaria, cresceu em três semanas consecutivas, segundo a seguinte seqüência: 2, 6, 18. Esta seqüência é uma progressão (A) geométrica de razão 3. (B) geométrica de razão 2. (C) aritmética de razão 6. (D) aritmética de razão 3. (E) aritmética de razão (FUNDATEC) A soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 185, e a soma dos 12 primeiros é 258. Logo, a razão e o primeiro termo são, respectivamente, (A) -3 e 5 (B) -5 e 3 (C) 3 e -5 (D) 3 e 5 (E) -5 e -3

43 Prepara 15. (FAURGS) Considere a disposição dos números inteiros positivos. A partir dessa disposição, analise as afirmações a seguir vinculadas a ela. I) Em cada uma das linhas, aparece um número quadrado perfeito. II) O número 150 aparece na 12ª linha. III) Na trigésima linha, estão dispostos 59 números. Quais são verdadeiras? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas III. (D) Apenas I e III. (E) I, II e III. 16. (CONESUL) A soma dos trinta primeiros termos da progressão aritmética (-4, -2, 0, 2, 4, 6,...) (A) 270 (B) 360 (C) 540 (D) 750 (E) (CONESUL) Os três primeiros termos de uma progressão geométrica infinita são 1, 1/3 e 1/9. A soma dos infinitos termos dessa progressão geométrica é (A) 11/2 (B) 9/2 (C) 7/2 (D) 5/2 (E) 3/2 20. (FAURGS) Duas pessoas decidem fazer uma poupança. A primeira deposita R$ 50,00 no primeiro mês, R$ 100,00 no segundo mês e, assim sucessivamente, aumentando mensalmente em R$ 50,00 o valor poupado. A segunda pessoa deposita R$ 10,00 no primeiro mês, R$ 20,00 no segundo, R$ 40,00 no terceiro, sempre dobrando mensalmente o valor poupado. Considerando apenas os valores poupados no décimo mês, a diferença entre as duas poupanças será de (A) R$ 500,00 (B) R$ 1.500,00 (C) R$ 2.060,00 (D) R$ 4.620,00 (E) R$ 9.740, (FDRH) Qual é o quarto termo da progressão em que os três primeiros são, respectivamente, 7x - 2, x + 1 e 2x - 3? (A) -6 (B) -5 (C) -4 (D) 4 (E) (FUNDATEC) Qual o centésimo termo da progressão aritmética em que a soma do terceiro termo com o sétimo termo é igual a 30, e a soma do quarto termo com o nono termo é igual a 60? (A) 450 (B) 585 (C) 775 (D) 845 (E) (FUNDATEC) Um funcionário trabalha na repartição há três anos completos. No seu primeiro mês de serviço, atendeu a 120 pessoas. Cada mês atende a 10 pessoas a mais que no mês anterior. O número de pessoas que o funcionário atendeu até agora é (A) (B) 470 (C) (D) 480 (E) (FDRH) Na progressão aritmética (2, 8,...) a soma do primeiro com o quinto termo é (A) 20 (B) 22 (C) 26 (D) 28 (E) (FDRH) O sétimo termo da progressão geométrica (1, 2, 4,...) é (A) 64 (B) 128 (C) 256 (D) 512 (E) (FDRH) Se a soma dos termos de uma PA é 150 e a soma de seus extremos é 30, o número de termos é (A) 8 (B) 9 (C)10 (D) 11 (E) 12 Matem tica

44 Prepara 25. (FDRH) O sétimo termo da progressão aritmética (-3, 2,... ) é (A) -17 (B) -5 (C) 22 (D) 27 (E) (FUNDATEC) As raízes da equação x 2 - bx + c = 0 representam o primeiro e o último termos de uma progressão aritmética constituída de n termos. A soma de todos os termos dessa progressão vale (A) n. b (B) n. b 2 (C) n. b 2 Função Exponencial Dado um número real a, tal que a > 0 e a 1, chamamos função exponencial de base a a função f : R R que associa a cada x real o número a x. Gráfico: Exemplos: 1) f(x) = 2x 2) f(x) = (1/2) x a > 1 (D) 2n b (E) 2n. b 27. (FDRH) Um oficial de certa corporação, preparando-se fisicamente, faz caminhadas diárias, caminhando sempre 300m a mais do que no dia anterior. Sabendo-se que ao final de 10 dias de caminhadas atingiu m, pode-se afirmar que o número de metros percorridos no segundo dia é (A) 250 (B) 350 (C) 450 (D) 550 (E) (FUNDATEC) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 12cm, pode-se afirmar que o maior cateto mede (A) 3cm (B) 4cm (C) 5crn (D) 6cm (E) 7cm f(x) é crescente Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 y 2 > y 1 0 < a < 1 Gabarito 01. D 02. D 03. D 04. A 05. E 06. C 07. C 08. E 09. D 10. E 11. C 12. C 13. A 14. A 15. D 16. D 17. E 18. A 19. E 20. D 21. C 22. D 23. A 24. C 25. D 26. C 27. D 28. B 44 f(x) é decrescente Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 y 2 < y 1 Nos dois casos, podemos observar que o gráfico nunca intercepta o eixo horizontal; a função não tem raízes; o gráfico corta o eixo vertical no ponto (0,1); os valores de y são sempre positivos, portanto o conjunto imagem é Im = R +.

45 Prepara Equações Exponenciais Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: a m = a n m = n ( a 1 e a > 0) Exercícios resolvidos: 1) 3 x = 81 Como 81 = 3 4 podemos escrever 3 x = 3 4 E daí, x = 4. 2) 9 x = 1 9 x = 1 9 x = 9 0 Logo, x = 0. 3) 2 3x-1 = 32 2x 2 3x-1 = 32 2x 2 3x-1 = (2 5 ) 2x 2 3x-1 = 2 10x Daí 3x - 1 = 10, de onde x = - 1/7 4) Resolva a equação 3 2x x - 27 = 0. Vamos resolver esta equação através de uma transformação: 3 2x x - 27 = 0 (3 x ) x - 27 = 0 Fazendo 3 x - y, obtemos: y 2-6y - 27 = 0; aplicando Bhaskara encontramos y = -3 e y = 9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3 x = y: y = -3 3x = -3 não existe x, pois potência de base positiva é positiva y = 9 3 x = 9 3 x = 3 2 x = 2 Portanto a solução é x = 2 Logaritmos Sendo a e b números reais e positivos, com a 1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente que se deve dar à base a de modo que a potência obtida seja igual a b. Em símbolos: se a, b R, 0 < a 1 e b > 0, então log, b = x a x = b Em log a b = x, dizemos: a é a base do logaritmo b é o logaritmando x é o logaritmo Exemplos: log 2 8 = 3, pois 2 3 = 8 log 3 1/9 = - 2, pois 3 2 = 1/9 Conseqüências da Definição log a 1 = 0 log a a = 1 a log a b = b log a b = log a c b = c Propriedades dos Logaritmos Logaritmo do Produto Se 0 < a 1, b > 0 e c > 0, então log a (b.c) = log a b + log a C Logaritmo do Quociente Se 0 < a 1, b > 0 e c > 0, então log a (b/c) = log a b - log a c Logaritmo da Potência Se 0 < a 1, b > 0 e α 1, então log a b α = α. log a b Mudança de Base Se a, b e c são números reais positivos e a e c diferentes de 1, então tem-se log a b = log C b log C a 45 Matem tica

46 Prepara Função Logarítmica Dado um número real a (a > 0 e a 1), chamamos função logarítmica de base a a função que associa a cada x o número log a x. Gráfico: Exemplos: 1) f(x) = log 2 x 3) f(x) = log 1/3 x a > 1 Equações Logarítmicas Chamamos de equações logarítmicas toda equação que envolve logaritmos com a incógnita aparecendo no logaritmando, na base ou em ambos. Exercícios resolvidos: 1) log 3 (x + 5) = 2 Condição de existência: x + 5 > 0 => x > -5 log 3 (x + 5) = 2 x + 5 = 3 x = 9-5 x = 4 Como x = 4 satisfaz a condição de existência, então o conjunto solução é S = {4}. 2) log 2 (log 4 x) = 1 Condição de existência: x > 0 e log 4 x > 0 log 2 (log 4 x) = 1; sabemos que 1 = log 2 (2), então log 2 (log 4 x) = log 2 (2) log 4 x = = x x = 16 Como x = 16 satisfaz as condições de existência, então o conjunto solução é S = {16}. Exercícios f(x) é crescente Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 y 2 > y 1 0 < a < (FAURGS) Se log 2 = 0,3010, então a solução da equação 10 x = 2,5 é (A) 0,3980 (B) 0,6990 (C) 1,0970 (D) 1,3980 (E) 1, (FAURGS) O valor de log(1/3) + lo(3/5) + log (5/10) é (A) -2 (D) 1 (B) -1 (E) 2 (C) 0 f(x) é decrescente Para quaisquer x 1 e x 2 do domínio: x 2 > x 1 y 2 < y 1 Nos dois casos, podemos observar que: o gráfico nunca intercepta o eixo vertical; o gráfico corta o eixo horizontal no ponto (1,0). A raiz da função é x = 1; y assume todos os valores reais, portanto o conjunto imagem é Im = R (FAURGS) O valor de x que verifica a equação a x+1-4 x 1 = 120 é (A) 5/2 (B) 3 (C) 7/2 (D) 4 (E) 9/2 04. (FAURGS) O número de habitantes de certa cidade, num raio de r km a partir de seu centro, é dado por N(r) = k. 2 2,5 com k sendo uma constante real. Num raio de 2km do centro, há habitantes; num raio de 4km do centro há, portanto, nessa cidade, (A) habitantes. (B) habitantes. (C) habitantes. (D) habitantes. (E) habitantes.

47 Prepara 05. (FAURGS) Foram injetadas 20mg de uma certa droga medicamentosa em um paciente. Decorrido algum tempo, verificou-se que ainda permaneciam 8mg da droga no organismo do paciente. Sabendo-se que, após t horas, a partir do momento em que foi injetada, a quantidade dessa droga, em mg, que resta no organismo do paciente é dada por Q(t) = 20(0,5) t/2 e usando log 2 = 0,3, pode-se determinar o tempo décorrido até a medida de 8mg foi de (A) 2h15min (B) 2h25min (C) 2h30min (D) 2h40min (E) 2h50min 06. (NCE/UFRJ) Sabendo que log 2 0,30, assinale a melhor aproximação da solução da equação 2 x = 80. (A) 6,1 (B) 6,3 (C) 6,5 (D) 6,6 (E) 6,7 07. (FAURGS) A tabela abaixo apresenta os valores de y em função dos valores de x apresentados. x y 100 Se k e c são constantes reais tais que y = k. 2 x/c, então k + c é (A) 60 (D) 85 (B) 75 (E) 90 (C) (FAURGS) Sendo f a função definida por f(x) = log(log(x - 1)), analise as afirmações abaixo. I) O domínio da f é o conjunto dos números reais maiores que um. II) O número 11 é a solução da equação f(x) = 0. III) 10 f(x) = x - 1. Quais são verdadeiras? (A) Apenas I. (B) Apenas II. (C) Apenas III. (D) Apenas I e II. (E) Apenas II e III. 09. (FAURGS) O log 5 1/40 é um número real, cujo valor está entre os inteiros (A) -3 e -2 (B) -2 e -1 (C) -1 e 0 (D) 0 e 1 (E) 1 e (FAURGS) Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y = log b x. A área do retângulo hachurado é (A) 1, 0 (D) 2,5 (B) 1, 5 (E) 3,0 (C) 2,0 11. (FUNDATEC) Na igualdade 2 - log(x - 1) = 0, o valor de x é (A) 103 (D) 5 (B) 101 (E) 3 (C) (FUNDATEC) A altura média do tronco de uma árvore evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 2 + log 3 (t + 2) com h(t) em metros e t em anos. Se essa árvore foi cortada quando seu tronco atingiu 4m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o corte foi de (A) 3 (D) 6 (B) 4 (E) 7 (C) (FAURGS) Os gráficos de f(x) = log a x e g(x) = log b x estão representados na figura abaixo. Considere-os. Das seguintes afirmações, relativas às funções f e g, a correta é (A) 0 < a < b < 1 (D) 1 < b < a (B) 0 < b < a < 1 (E) 1 < a < b (C) b < 0 < a < 1 Matem tica

48 Prepara 14. (FAURGS) Considere a figura abaixo cuja curva representa o gráfico da função y = log x. A área da região hachurada é (A) log 3 (B) log 4 (C) log 5 (D) log 6 (E) log (FAURGS) Sendo f a função definida por f(x) = log x e P e Q números reais que completam a tabela abaixo, a soma P + Q é (A) 0,903 (B) 1,602 (C) 2,903 (D) 4,699 (E) 5,602 x 1 2 P 5 f(x) 0 0,301 0, (FUNDATEC) Se 2 x = 4 y+1 e 27 y = 3 x-9, então y - x vale (A) -1 (B) -5 (C) 5 (D) 9 (E) -19 Q O número real a, que aparece completando a tabela, é (A) 0,700 (B) 0,720 (C) 0,739 (D) 0,750 (E) 0, (FAURGS) Os números X = log 1/2 2, Y = log 5 1/125 e Z = log0,01 estão dispostos em ordem crescente na alternativa (A) X, Y e Z (B) X, Z e Y (C) Y, X e Z (D) Y, Z e X (E) Z, X e Y 19. (FUNDATEC) No desempenho de suas funções, algumas vezes você se depara com equações exponenciais, principalmente quando se trata de aplicações financeiras. Sabendo que log 2 = 0,3010 e que log 5 = 0,6990, o valor de x na equação 2 x = 5 é (A) 0,43 (B) 2,32 (C) 0,99 (D) 0,39 (E) 0, (FAURGS) Considere a função f, tal que f(x) (0, 02) x. O valor dessa função para x = 1 é (A) 1/20 (B) 1/2 (C) 2 (D) 5 (E) (FAURGS) Na figura abaixo, o ponto C é o ponto médio do segmento OB e a curva representa o gráfico de y = log x. 17. (FAURGS) A tabela abaixo apresenta valores da função exponencial f(x) = 10x para certos valores da variável x. Analise-a. x 0,000 0,301 0,477 0,602 0,699 a f(x) A soma das coordenadas do ponto A é (A) log 5 (B) 2. log 5 (C) 5 + log 5 (D) 20 (E) 25

49 Prepara 22. (FUNDATEC) Se log N = 2 + log 2 - log 3-2. log 5, calcule o valor de N. (Dados: log 10 = 1 e log 100 = 2) (A) 3 (B) 8 (C) 3/8 (D) 8/3 (E) (FUNDATEC) O valor de x que satisfaz a igualdade 3 - log x+1 27 = 0 é (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) (FUNDATEC) Quaisquer que sejam os números reais positivos a, b, c, d, a expressão log 2 (a/b) + log 2 (b/c) + log 2 (c/d) pode ser reduzida a A) log 2 (a/c) (B) log 2 (a/d) (C) log 2 (b/c) (D) log 2 (abc/cd) (E) log 2 ( a + b + c b + c + d) 25. (FUNDATEC) O valor de x na equação 10 x = 648 é SUGESTÃO log 2 = 0,3010 log 3 = 0,4771 (A) 3,8110 (B) 2,8114 (C) 2,1890 (D) 1,1890 (E) 2, Matem tica

50 Prepara 1. RENDAS (SÉRIE DE PAGAMENTOS) 1.1. RENDAS UNIFORMES Conceitos Básicos Uma renda uniforme é uma série de dois ou mais pagamentos iguais feitos em intervalos de tempo iguais. Quanto ao vencimento dos termos, uma renda uniforme pode ser classificada em imediata ou diferida (ou com carência). Imediata: quando o 1 pagamento é feito já no 1 período. Se os pagamentos são feitos no final de cada período, a renda é dita postecipada. Se são feitos no início de cada período, a renda é dita antecipada. Diferida (ou com carência): quando durante m períodos não é feito pagamento algum e o 1 pagamento ocorre no período m + 1 (no início ou no final). Nesse caso, dizemos que há um diferimento ou uma carência de m períodos. Exemplos: 1) Renda Postecipada: 2) Renda Antecipada: 3) Renda Diferida (com carência): (carência = 2 meses) Simbologia Adotaremos nas rendas uniformes a seguinte notação: R = valor de cada pagamento (prestação, parcela ou termo); n = número de pagamentos (número de prestações ou número de termos); i = taxa de juros compostos; C = valor atual (valor presente) da renda na data zero; M = montante (valor futuro) da renda na data n. Fórmulas Nas fórmulas dadas a seguir, M é o montante acumulado pela renda uniforme no final de n períodos e C é o valor atual da renda uniforme na data zero. Para Rendas Uniformes e Postecipadas: é o FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL (relativo a n pagamentos à taxa de juros compostos i), que nas provas é geralmente dado em tabelas. 50

51 Prepara é o FATOR DE VALOR ATUAL (relativo a n pagamentos e à taxa de juros compostos i), que nas provas também é dado geralmente em tabelas. Observação Outra fórmula utilizada para o FVA(i,n) é (Tente deduzi-la a partir da fórmula do FVA(i,n) dada anteriormente). Para Rendas Uniformes e Antecipadas: 1) M = R x FAC(i,n) x (1+i) 2) C = R x FVA(i,n) x (1+i) Exemplos 1) Uma renda uniforme e postecipada é formada por 4 parcelas mensais de $ 50,00 cada uma, sendo de 10% a.m. a taxa de juros compostos. Dados: FAC(10%,4)= 4,6410 e FVA(10%,4) = 3,1699, calcule: A) O montante acumulado pela renda após o pagamento da última parcela; B) O valor atual da renda. Solução: A) M = 50 x FAC(10%,4) = 50 x 4,6410 = $ 232,05 B) C = 50 x FVA(10%,4) = 50 x 3,1699 = $ 158,49 2) Um empréstimo no valor de $ 1.400,00 é pago em 12 prestações mensais e iguais. Sendo de 3% a.m. a taxa de juros compostos cobrada e FVA(3%,12) = 9,954, determine o valor das prestações. Solução: A partir de C = R x FVA(i,n), obtemos R = $ 140,65. EXERCÍCIOS 1) Aplicou-se $ no final de cada mês em um fundo de investimentos que remunera à taxa de juros compostos de 1,1% a.m.. Qual o montante após a sétima aplicação mensal? [Dado FAC(1,1%,7) = 7,235282]. 2) Um investidor aplica u.m. no final de cada ano, em um fundo de investimento que paga 6% a.a., durante 20 anos. Qual o montante 10 anos após o último depósito? [Dado FAC(6%,20) = 36,7850 ; 1,06 10 = 1,790848] 3) Para amortizar um empréstimo no valor de $ 2.100,00, contratado à taxa de juros compostos de 9% ao mês, João paga uma entrada, mais 17 prestações mensais e postecipadas iguais a $ 200,00 cada uma. O valor da entrada é, aproximadamente, de [Dado: FVA(9%,17) = 8,5436] a) $ 111,76 b) $ 123,52 c) $ 211,11 d) $ 391,29 e) $ 397,96 51

52 Prepara 4) Uma compra no valor de $ ,00 deve ser paga com 20% de entrada e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos. [Dado: FVA(4%,12) = 9,3851] a) $ 900,00 b) $ 986,00 c) $ 923,00 d) $ 852,00 e) $ 1.065,00 5) A loja Infor-Kamus vende um computador cujo preço à vista é de $ 2.000,00 de acordo com o seguinte plano a prazo: uma entrada mais 4 prestações mensais e postecipadas de $ 200,00 cada uma. Sendo de 120% a.a. capitalizados mensalmente a taxa de juros compostos cobrada pela loja, o valor da entrada é [Dado: FVA(10%,4)= 3,1700] a) $ 3.170,00 b) $ 1.366,00 c) $ 1.200,00 d) $ 634,00 e) $ 600,00 6) Um automóvel é vendido a prazo, através de oito prestações mensais de $ 5.000,00, sendo que o primeiro pagamento só irá ocorrer após três meses da compra. Qual é o preço à vista do automóvel se a taxa fixada em juros compostos é de 5% ao mês? [Dados: FVA(5%,8) = 6,4632; 1,05 2 = 1,1025] a) $ ,34 b) $ ,56 c) $ ,84 d) $ ,86 e) $ ,72 7) Uma moto que custa $ 4.700,00 à vista é financiada da seguinte maneira: 20% de entrada e o saldo restante pago em 12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira 90 dias após a data da compra. Sendo de 8% ao mês a taxa de juros compostos contratada do financiamento, o valor da prestação será, aproximadamente, de [Dados: FVA(8%,12)= 7,5361; 1,08 2 = 1,1664] a) $ 940,00 b) $ 727,44 c) $ 623,66 d) $ 581,95 e) $ 498,93 8) Carlos comprou um computador a prazo, em cinco parcelas iguais e sucessivas, cada uma delas de valor x, a serem pagas de 30 em 30 dias, vencendo a primeira 30 dias após a compra. No dia subsequente ao fechamento do negócio. Carlos decidiu negociar a dívida, propondo saldá-la com um único pagamento (y) no dia do vencimento da terceira parcela do plano original. Se a taxa de juros envolvida nessa negociação for de 8% para cada período de 30 dias, para que as duas propostas de pagamento do computador sejam equivalentes, o quociente y/x deverá ser igual a a) 5 ( 1,08) 1 2 0,08(1,08) c) 1 (1,08) 0,08(1,09) 5 2 e) (0,08) [1 (1,08) 1,08 3 2] b) 2 8(1,08) 5 (1,08) 1 d) 5 [( 1,08) 1]0,08 2 (1,08) 9) Deseja-se substituir o fluxo de caixa abaixo por uma renda uniforme equivalente formada por 3 pagamentos mensais e postecipados, a uma taxa de juros compostos de 5% a.a.. Considerando FAC(5%,3) = 3,1525, o valor de cada pagamento da renda será, aproximadamente, de 52 a) $ 81,70 b) $ 62,85 c) $ 32,85 d) $ 12,06 e) $ 11,08

53 Prepara 10) Um empréstimo de $ ,00, contratado a juros efetivos de 10% ao mês, será pago em 3 prestações mensais com carência de 3 meses. Considerando que o credor deseja que o valor das 3 amortizações do principal seja constante, o valor da última prestação será a) ,67 b) ,44 c) ,67 d) ,67 e) ,33 11) Deposita-se anualmente, no início de cada ano, o valor de 100 u.m., à taxa de 5% a.a., durante 10 anos. Qual o valor do fundo formado? [Dado: FAC(5%,10) = 12,577893] 12) Calcule o valor atual de uma renda antecipada com 25 termos, no valor de u.m., cada, sendo de 5% a taxa de juros [Dado: FVA(5%,25) = 14,093945] 13) Uma dívida é paga em seis prestações mensais antecipadas de $ 100 com juros de 1,5% a.m. Qual o valor financiado? [Dado: FVA(1,5%,6) = 5,697187]. 14) Um financiamento de $ 10,000 é amortizado em 12 prestações trimestrais antecipadas, com juros de 5% a.t. Qual o valor da prestação trimestral? [Dado: FVA(5%,12) = 8,863252] Resoluções 1) R. Postecipada i = 1,1% ame n = 7 M = (somatório)? M = T. (FAC 1,1%; 7) = , = ,60 s n i = s 7 É uma renda postecipada i = 6% aa n = 20 a T = 1000 M = T. FAC ( 6%; 20) M = T. FAC(6%, 20). (1 + i) n = ,785. (1,06) 10 = , M = ,20 Empréstimo: A (valor atual) = i = 9% ame x =? FVA (fator de valor atual a n i ) (A) C = T. FVA (i,n) + entrada 2100 = x FVA (9%, 17) 2100 = x ,72 x = 391,28 a n i 8,5436 LETRA D 53

54 Prepara 4) Valor total: Entrada: 20% = 2000 C 0 = 8000 i = 4% ame t =? T. C 0 = R. FVA(i,n) a n i 8000 = T. FVA(4%, 12) T = 9, = 852 LETRA D 9,3851 C = x + T. FVA(i%,n) i = 120% aa = 10% ame x =? 12 a n i 2000 = x + 200, FVA(10%, 4) 2000 = x x = = 1366 LETRA B 3,17 i = 5% a me C =? n = 8 me C = [ T. FVA(i, n)] : (1 + i) n C = [ FVA(5%, 8)] : (1 + 0,05)² = [ , 4632] : 1,1025 C = : 1,1025 = ,60 LETRA B i = 8% ame entrada: 20% = 940 C = 4700 C 0 = = C 0 = T. FVA(8%,12) n (1+ i) 4385,664 7,5361 C 0 = T a. 12 8% 2 (1,08) = T T = 581,95 LETRA D = T.7, ,1664 = T. 7,5361

55 Prepara i = 8% ame Se os pagamentos são equivalentes, devemos ter valores atuais iguais, logo: A 1 = A 2 (que são os capitais) X. FAC (8%, 5) = Y. (1 + i) n X. S 5 8% = Y. (1,08) 2 X. 5,8666 = Y. 1,1664 S n i Y X 5,8666 = 1,1664 = 5,030 LETRA A n = 3 i = 5% ame FAC (5%, 3) = 3, cálculo: M = 5. (1,05) 3 + 5,25. (1,05) ,20 (1,05) ,58 M = 5. 1, ,25. 1, ,20. 1, ,58 M = 5, , , ,58 M = 34,92 2 cálculo: M = T. FAC(5%, 3) 34,92 = T. 3,1525 T = 34,92 3,1525 = 11,08 LETRA E 10) 1 cálculo: M = C (1 + i) n = (1,1) 3 = cálculo: amortização: A = 3 cálculo: última prestação: T 3 =? = 88733,33 3 Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor , , , , , , , , ,

56 Prepara i = 5% a.a. n = 10ª M = C. FAC (5%, 10). (1,05) M = 100. FAC (5%, 10). (1,05) M = , ,05 = 1320,70 13,2067 i = 5% A = T. FVA (5%, 25). (1, 05) A = , ,05 = , A = 59194,60 i = 1,5% ame A = T. FVA (1,5%; 6). (1,015) A = , ,015 A= , A = 578,26 i = 5% a.t A = T. FVA (5%;12). (1,05) 1000 = T. 8, , = T. 9, T = 1074,53 56

57 Prepara 1.2 RENDAS VARIÁVEIS São rendas formadas por termos com valores diferentes. A variação dos termos pode ocorrer de forma aleatória ou segundo uma lei matemática bem definida (variação em P.A. ou em P.G., por exemplo). EXERCÍCIOS 1) Obtenha o valor atual e o montante da renda abaixo, supondo i = 10% a.m. 2) Obtenha o valor atual e o montante da renda abaixo, sabendo que G = $ ,00 e i = 6% a.m. 3) Calcule o valor atual da renda abaixo, supondo i = 12% a.t. 4) Determine o valor atual da renda abaixo, considerando uma taxa i = 10,5% a.m. 5) Calcule o montante e o valor atual da renda abaixo, supondo i = 5% a.m. 57

58 Prepara 2. AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS (SEM CORREÇÃO MONETÁRIA) Veremos a seguir, os principais sistemas utilizados em amortizações de empréstimos e financiamentos. A) PAGAMENTO ÚNICO Neste sistema, o empréstimo é amortizado por um único pagamento feito no final do prazo, sendo este pagamento de valor igual ao montante acumulado pelo capital emprestado, considerada uma taxa i de juros compostos. B) PAGAMENTO PERIÓDICO DOS JUROS (SISTEMA AMERICANO = SA) Neste sistema, os juros são pagos periodicamente e o principal é pago numa única parcela no final do prazo contratado. Nota: O devedor pode constituir (ou não) um fundo de amortização do empréstimo (sinking fund), no qual ele depositaria periodicamente as quotas de amortização. A taxa de juros para os depósitos deve ser tal que, no final do prazo, os depósitos acumulem um montante igual ao valor a ser pago no financiamento. Exemplo: um empréstimo no valor de $ ,00 deve ser amortizado em 3 anos, taxa de juros = 10% a.a, pelo Sistema Americano (SA), sem abertura de um fundo de amortização do empréstimo. Faça a planilha de amortização. t Juros(J t ) Amortização(A t ) Prestação(R t ) Saldo devedor(c t ) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ C) SISTEMA FRANCÊS (SF, SPC ou TABELA PRICE) Neste sistema, o empréstimo é amortizado por uma renda uniforme e postecipada, com n termos. Cada termo (R) da renda contém duas parcelas: a) Juros: calculados sempre sobre o saldo devedor no início do período; b) Amortização: parcela da prestação que efetivamente amortiza a dívida, ou seja, valor da prestação menos os juros. No que segue, adotaremos a seguinte simbologia: R = valor da prestação (ou pagamento ou parcela) constante; J t = valor da parcela de juros contida na prestação de ordem t; (t = 1, 2, 3,..., n) A t = valor da parcela de amortização contida na prestação de ordem t; C 0 = C = valor financiado; C t = saldo devedor após o pagamento da prestação de ordem t; i = taxa de juros compostos. Usando a notação acima, podemos escrever: R = J t + A t, para t = 1, 2, 3,..., n. Ou seja: R = J 1 + A 1 = J 2 + A 2 =... = J n + A n. Exemplos 1) Um empréstimo de $ ,00 é amortizado em 4 prestações mensais, à taxa de 10% a.m. pelo Sistema Francês. Faça a planilha do financiamento (Dado FVA(10%,4) = 3,169865). 58 t J t R R A t C t , , , , , , , , , , , , , , , ,

59 Prepara IMPORTANTE: observe na tabela acima que as parcelas de amortizaçãocrescem em porgressão geométrica de razão igual a 1 + i = 1,1 2) Com os mesmos dados do exemplo anterior, considere agora uma carência de 2 meses e os juros pagos na carência. t J t R R C t , , , , , , , , , , , , , , , , ,16 3) Ainda com os mesmos dados do exemplo 2, considere agora que, no período de carência, os juros são capitalizados e incorporados ao principal. t J t R A t C t , , , , , , , , , , , , , , ,95 4) Calcule o valor da prestação mensal para amortizar um empréstimo de $ ,00 em 2 anos, com juros de 12% a.a pela Tabela Price. [Dado: FVA (1%, 24) = 21,243387] FÓRMULAS As fórmulas dadas a seguir, permitem o cálculo de qualquer elemento da planilha do financiamento, sem termos que desenvolver a planilha. 1. Valor da prestação constante 2. Parcela de juros Jt = i x Ct-1, onde t = 1, 2, 3,... n. Ou seja: J 1 = i x C 0, J 2 = i x C 1, J 3 = i x C 2, Parcela de amortização At = A1 (1+i) t-1, onde t = 2, 3, 4,... n. Por exemplo: A 2 = A 1 (1+i) 1, A 3 = A 1 (1+i) 2,..., A 9 = A 1 (1+i) 8,..., etc. Para obter A 1, usar a definição A1 = R J1 59

60 Prepara 4. Saldo devedor Ct = R x FVA(i,n-t), onde t = 1, 2, 3,..., n e n-t indica o número de prestações que ainda não foram pagas. OBS.: Veja que essa fórmula nada mais é que o cálculo de valor atual de uma renda postecipada, com n-t prestações. Exemplo: Um financiamento de $ ,00 foi amortizada em 10 prestações mensais, à taxa de 120% a.a pela TABELA PRICE. Considerando FVA(10%,10) = 6,144567, FVA(10%,4) = 3,169865, FVA(10%,5) = 3,790387, (1,1) 3 = 1,331 e (1,1) 4 = 1,4641 (dados de tabela), determine: a) o valor da prestação constante; b) a 1ª parcela de juros; c) a 1ª parcela de amortização; d) o saldo devedor após o pagamento da 6ª prestação; e) a parcela de juros na 4ª prestação; f) a 5ª quota de amortização. Solução: a) R = / FVA(10%,10) = / 6, = $ ,18 b) J 1 = 0,10 x = $ 8.530,00 c) A 1 = R J 1 = $ 5.352,18 d) C 6 = ,18 x FVA (10%, 4) = x 3, = $ ,64 e) J 4 = R A 4 = , ,18 (1,1) 3 = $ 6.759,43 f) A 5 = A 1 (1 + i) 4 = 5.352,18(1,1) 4 = $ 7.836,12 Obs.: é mais fácil fazer a planilha até t = 6. EXERCÍCIOS 1. Um empréstimo no valor de $ deve ser amortizado em 18 prestações mensais, à taxa de 3% a.m., pelo Sistema Francês. Considerando FVA(3%,10) = 8,530203, FVA(3%,18) = 13,753513, (1,03) 9 = 1, e (1,03) 13 = 1,468534, determine: a) o valor da prestação; b) a parcela de juros na 1ª prestação; c) a 1ª quota de amortização; d) o saldo devedor após o pagamento da 8ª prestação; e) a parcela de juros na 10ª prestação; f) a 14ª quota de amortização. 2. Um empréstimo de $ ,00 será pago em 3 prestações mensais iguais e consecutivas pela Tabela Price. Se a taxa de juros nominal for de 60% ao ano, com capitalização mensal, a parcela correspondente aos juros na última prestação terá, em reais, um valor: a) inferior a 3.500,00 b) entre 3.500,00 e 3.600,00 c) entre 3.600,00 e 3.700,00 d) entre 3.700,00 e 3.800,00 e) superior a 3.800,00 3. Um empréstimo de $ 240 foi contraído à taxa de 10% a.a., capitalizados semestralmente, para ser amortizado em 10 anos, com prestações semestrais iguais a $ 19,26 - Sistema Francês. Qual o valor da 1ª quota de amortização? 60

61 Prepara 4. Na amortização de um empréstimo pela Tabela Price, à taxa de 5% a.m., o valor da prestação mensal é de $ 16,048 e a 1ª quota de amortização é $ 6,048. Calcule o valor das parcelas de juros e amortização na 10ª prestação. [Dado: (1,05) 9 = 1,551328] 5. Um banco empresta $ 1.000,00 para ser pago em 5 prestações mensais de $ 221,48. O banco cobra também IOF de 1% sobre o somatório das prestações, descontado no ato. Qual custo real efetivo do empréstimo, ou seja, qual a taxa efetiva paga pelo cliente na operação? [Dado: FVA(3,89%, 5 ) = 4,465098] 6. Considerando um financiamento contraído através do Sistema Price, com prazo de resgate de 60 meses, à taxa de juros capitalizados mensalmente de 1% e com valor da parcela igual a $ 150,00, qual o valor do saldo devedor do respectivo financiamento no momento imediatamente após o pagamento da 52ª prestação mensal, desconsiderando os centavos na identificação da resposta? [Dado FVA(1%, 8) = 7,651678] a) $ 1,100 b) $ c) $ d) $ e) $ Meses Saldo devedor Amortização Juros Prestações , , , , ,15 67, ,73 50, Na tabela anterior, que apresenta algumas células sem valores numéricos, os dados referem-se a um empréstimo bancário de $ ,00, entregues no ato e sem prazo de carência, à taxa de juros de 12% ao ano, para pagamento em 6 meses pela Tabela Price. Com relação a essa situação, julgue os itens abaixo. I O valor da quinta prestação será superior a $ 1.700,00. II Imediatamente após ser paga a segunda prestação, o saldo devedor será inferior a $ 7.000,00. III O valor correspondente aos juros pagos na sexta prestação será inferior a $ 20,00. Assinale a opção correta: a) Apenas o item I está certo. b) Apenas o item II está certo. c) Apenas os itens I e III estão certos. d) Apenas os itens II e III estão certos. e) Todos os itens estão certos. D) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO COSTANTE (SAC) Neste sistema, a quota da amortização é mantida constante em todas as prestações. Como conseqüência, as prestações são decrescentes, já que a parcela de juros decresce em função do saldo devedor. Ou seja: A1 = A2 = A3 =... = An = A, donde se conclui que C0 = na e Exemplo: Um empréstimo de $ ,00 é amortizado em 4 prestações mensais pelo SAC, à taxa de 10% a.m. Fazer a planilha do financiamento. 61

62 Prepara t J t A R t C t Observe que as prestações (R t ) e os juros (J t ) são progressões aritméticas (P.A.) decrescentes de razão igual a Ai = x 0.10 = OBS.: Comparando o total de juros pagos no sitema SAC com o total de juros pagos no sistema PRICE, para os mesmos dados, concluímos que J(PRICE) > J(SAC) [confira] FÓRMULAS 1) Amortização 2) Juros Jt = i x Ct-1 3) Saldo Devedor Ct = (n - t). A, onde n t é número de prestações ainda não pagas. Exemplo Um financiamento de $ é amortizado pelo sistema SAC em 10 prestações mensais, à taxa de 10% a.m. Calcule: a) a quota constante de amortização; b) a 1ª parcela de juros; c) a 1ª prestação; d) o saldo devedor após o pagamento da 8ª prestação; e) a 7ª prestação; f) a 5ª parcela de juros. Solução: a) A = /10 = $ ,00 b) J 1 = 0,10 x = $10.000,00 c) R 1 = A + J 1 = $ ,00 d) C 8 = 2 x = $ ,00 e) R 7 = A + J 7 =? J 7 = i x C 6 = i x 4A = 0,1 x 4 x = 4.000,00. Logo, R 7 = = $ ,00. f) J 5 = i x C 4 = 0,10 x 6 x = $ 6.000,00 Obs.: é mais fácil fazer a planilha. 62

63 Prepara EXERCÍCIOS A questão 1 deve ser respondida com base nos gráficos: 1. Qual dos gráficos representados acima corresponde ao sistema SAC (Sistema de Amortização Constante)? a) Gráfico I b) Gráfico II c) Gráfico III d) Gráfico IV e) Gráfico V 2. Ana financiou $ 5.000,00 para serem pagos em 10 prestações mensais, à taxa de 5% a.m., sistema SAC. Calcule: a) a parcela de amortização (constante); b) a parcela de juros paga na 7ª prestação. 3. Uma sociedade de crédito imobiliário concede um empréstimo de UPC, cobrando a taxa de 1% a.m. Sendo de 42 UPC o valor da 1ª prestação e o sistema de amortização o SAC, determine o número de prestações mensais. 4. Um financiamento de $ ,00, junto a um banco de Desenvolvimento foi realizado pelo Sistema de Amortizações Constantes SAC, em 10 prestações mensais, a primeira vencendo no final do primeiro mês, à taxa de juros de 1% ao mês. O valor da prestação a ser paga no final do terceiro mês é a) $ ,00 b) $ ,00 c) $ ,00 d) $ ,00 e) $ ,00 63

64 Prepara INSTRUÇÕES: Para responder às questões de números 5 e 6 consider o enunciado abaixo. Um industrial, pretendendo ampliar as instalações de sua empresa, solicita $ ,00 empretados a um banco, que entrega a quantia no ato. Sabe-se que os juros são pagos anualmente, à taxa de 10% a.a e que o capital será amotizado em 4 parcelas anuais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). 5. O valor da terceira prestação deverá ser: a) $ ,00 b) $ ,00 c) $ ,00 d) $ ,00 e) $ Os juros pagos por esse empréstimo deverão totalizar a quantia de: a) $ ,00 b) $ ,00 c) $ ,00 d) $ ,00 e) $ ,00 E) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Neste sistema, também chamado de SACRE (Sistema de Amortização Crescente), cada prestação é igual a média aritmética das respectivas prestações nos sistemas PRICE e SAC. Ou seja: Como conseqüência, todos os demais elementos do SAM (parcela de juros, quota de amortização e saldo devedor), serão também as respectivas médias aritméticas dos elementos no PRICE e no SAC. Exemplo Um empréstimo de $ ,00 é amortizado em 4 prestações mensais, à taxa de 10% a.m. pelo sistema SAM (SACRE). Faça a planilha do financiamento. OBS.: Aproveite os cálculos já feitos no exemplo 1 do Sistema PRICE e no exemplo 1 do Sistema SAC. Solução: t J t R A t C t , , , , , , , , , , , , , , , , EXERCÍCIO 1. Um financiamento de $ 500 é amortizado em 120 prestações mensais pelo sistema SAM, a juros de 6% a.m. Pede-se: a) o valor da 7ª prestação; b) o valor da 4ª parcela de amortização; c) o saldo devedor após o pagamento da 9ª prestação; d) a parcela de juros na 6ª prestação. 64

65 Prepara 3. INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA A taxa aparente é a taxa que já traz embutida em si os juros mais a correção monetária, aplicados sobre um capital, num certo período. Assim, sendo num dado período: I = Taxa Aparente (Taxa total) I 1 + i = (1+ I)(1+r) Fórmula de Fisher e M = C(1+i) Nota: isolando a taxa real r, a partir da expressão acima, vem que ou, veremos que: 1 ) i = I r = 0 (Taxa real nula) 2 ) i > I r > 0 (Taxa real positiva) Ganho real 3 ) i < I r < 0 (Taxa real negativa) Perda real Exemplo Um capital foi aplicado à taxa de juros de 230% e no mesmo período a taxa de inflação foi de 200%. Qual a taxa real de juros no período? i = 230% I = 200% r =? 1+i = (1+l)(1+r) 1+r = = = = 1,1 r = 1,1 1 = 0,1, ou seja, r = 10% EXERCÍCIOS 1. A taxa aparente para uma aplicação é de 50% a.a.. Qual o rendimento real obtido por um aplicador para uma inflação de: a) 40% a.a.; b) 48% a.a.; c) 55% a.a. 2. Quando um aumento de preços foi de 8%, o salário de um digitador aumentou 13,4%. O poder aquisitivo do digitador aumentou a) 4,8% b) 5% c) 5,4% d) 8% e) 13,4% 3. Num semestre a inflação foi de 20%, e, ao final dele, uma aplicação financeira apresentou uma rentabilidade total de 32%. A rentabilidade real de aplicação foi a) 10% b) 12% c) 16% d) 20% e) 32% 4. Um empréstimo foi contratado a uma taxa efetiva de 30% ao ano, tendo sido a inflação no mesmo período de 20%. A taxa real de juros do empréstimo em tal período foi de a) 0,80% b) 0,83% c) 8,33% d) 10,00% e) 10,47% 65

66 Prepara 5. Um empresário tomou financiamento a uma taxa de juros efetiva de 23% ao ano. Sabendo-se que a inflação anual tem sido de 15%, indique qual a taxa real de juros do financiamento. a) 6,50% b) 8,00% c) 6,96% d) 8,00% e) 38,00% 6. As taxas dos meses de janeiro, fevereiro e março foram, respectivamente, 2%, 3% e 4%. Indique a taxa de inflação acumulada do trimestre. a) 0,00% b) 5,02% c) 9,00% d) 9,26% e) 24,00% 4. FLUXOS DE CAIXA Num fluxo de caixa genérico, isto é, com entradas (ou receitas) e saídas (ou despesas) considera-se, por convenção, entradas positivas e saídas negativas VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL, VAL OU NPV) O Valor Presente Líquido (VPL) de um fluxo de caixa é a soma algébrica dos valores atuais das entradas e das saídas, na data zero, ou seja: Exemplos 1) Calcule o VPL(10%) no fluxo abaixo: 2) Calcular o VPL do seguinte fluxo de valores: um desembolso de $ 2.000,00 em zero, uma despesa no momento um de $ 3.000,00 e nove receitas iguais de $ 1.000,00 do momento dois ao dez, considerando que o intervalo de tempo decorrido entre momentos consecutivos é o mês e que a taxa de juros compostos é de 3% ao mês. Usar a convenção de despesa negativa e receita positiva e desprezar os centavos. 4.2 TAXA DE RETORNO (TIR OU IRR) A Taxa Interna de Retorno (TIR) é a taxa de juros que anula o VAL, ou seja, é a taxa i tal que VAL(i) = 0. Em outros termos, é a taxa que faz o valor atual das receitas ser igual ao valor atual das despesas (VAR = VAD). Exemplos: 1) Calcular a TIR nos fluxos de caixa abaixo: 66

67 Prepara 2) Indique a taxa anual interna de retorno de um projeto de investimentos cujo fluxo de caixa projetado encontra-se a seguir (considerando-se os valores positivos como entradas de caixa e os valores negativos como saídas de caixa). [Dados: (1,03) -1 = 0,97; (1,03) -3 = 0,92; (1,03) -5 = 0,86] Ano Fluxo(*) , ,18 2 0, ,00 4 0, ,00 a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5% (*) Valores em reais 3) Considerando (1,1) -1 = 0,91, (1,1) -2 = 0,83, (1,1) -3 = 0,75 e o fluxo de caixa dado abaixo, julgue o item a seguir: ( ) a taxa interna de retorno (TIR) do investimento R é igual a 10% ao ano. Anos R(em $) , , , ,00 5. AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE (ou CUSTO DE OPORTUNIDADE) TMA É a taxa de juros mínima, que torna conveniente para o investidor, aplicar o seu capital num dado investimento. Na prática, é uma taxa oferecida pelo mercado financeiro, como a caderneta de poupança, por exemplo. MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Utilizaremos este método, somente para comparar alternativas mutuamente exclusivas com mesmo prazo de duração. O método do VPL consiste no seguinte: 1º) Calcula-se o VPL com a TMA, ou seja, VPL (TMA), para todas as alternativas de investimento dadas; 2º) Dentre as alternativas que tiverem VPL(TMA) > 0, escolhe-se a de maior VPL. EXERCÍCIOS 1) Supondo uma TMA = 10% a.a.; decida qual a melhor dentre as alternativas de investimento A e B. Ano 0 Ano 1 A - $ 10,00 + $ 20,00 B - $ 20,00 + $ 35,00 2) Uma pessoa que deseja investir $ 2.000,00 tem as seguintes opções: a) Receber $ 2.500,00 no final de 2 anos; b) Receber 2 pagamentos anuais de $ 1.200,00. Supondo uma TMA de 10% a.a., decida qual a melhor opção para a pessoa. 3) Uma empresa tem 4 possibilidades A, B, C, e D de localização para a instalação de uma central de distribuição de seus produtos. Admitindo um período de utilização desta central igual a 10 anos e uma TMA igual a 15% a.a., qual seria a localização mais adequada? 67

68 Prepara Local Investimentos Redução Anual nos Necessários ($) Custos de Distribuição ($) Valor Residual ($) A , , ,00 B , , ,00 C , , ,00 D , , ,00 4) Uma empresa está para adquirir um equipamento com vida útil de 8 anos e tem cinco opções para escolher. Cada equipamento possui características especiais e, portanto, preços e resultados operacionais anuais diferentes. Levando em conta os preços (investimentos) que a empresa desembolsará bem como os resultado anuais a serem obtidos com cada equipamento, conforme tabela abaixo, indique qual o equipamento de melhor escolha, pelo Método do Valor Presente Líquido (VPL), a uma taxa mínima de atratividade (custo do capital) de 5% ao ano. Equipamento Investimentos (*) Resultados Anuais Equipamento ,00 400,00 Equipamento ,00 500,00 Equipamento ,00 800,00 Equipamento ,00 900,00 Equipamento , ,00 (*) Valores em reais a) Equipamento 1 b) Equipamento 2 c) Equipamento 3 d) Equipamento 4 e) Equipamento 5 5) (Valores em $) Ano Projeto A Projeto B , , , , , , , , , ,00 Os projetos A e B têm seus fluxos de caixa representados na tabela acima. Considerando que a taxa de desconto para a análise é de 25% ao ano, assinale a opção que apresenta, respectivamente, o projeto a ser escolhido e o seu VPL, em reais. a) A; ,80 b) A; ,80 c) A; ,00 d) B; ,80 e) B; ,80 68