Curvas de Preenchimento Espacial

Transcrição

1 Universidade Federal de Itajubá - UNIFEI Instituto de Engenharia de produção e Gestão - IEPG EPR-0 Automação da Manufatura Notas sobre: Curvas de Preenchimento Espacial Prof. José Hamilton Chaves Gorgulho Júnior Itajubá - Abril de 00 Revisão 0

2 Curvas de Preenchimento Espacial Introdução Segundo Sagan (, p.) as curvas de preenchimento espacial (space-filling curves) também são chamadas de curvas de Peano, em homenagem ao matemático italiano Giuseppe Peano (-). Mello (00) cita que por volta de 0 Peano exibiu um exemplo de curva planar contínua e sem cruzamento, cujo traço é todo o quadrado de lado unitário ([0,]x[0,] R ). Outros pesquisadores, como David Hilbert, deram continuidade à pesquisa dessas curvas estendendo-as para espaços n-dimensionais (ALENCAR e SANTOS, 00, p.). A curva de Peano A curva de Peano é construída a partir de um bloco básico gerado em um quadrado dividido em nove partes, ou seja, cada face é dividida em três partes, como mostra a Figura. A numeração mostrada indica a sequência pela qual as regiões do quadrado são percorridas. Figura - Mapeamento e curva de Peano A divisão do quadrado em múltiplos de permite a construção da curva pela repetição do padrão básico com pequena alteração na seqüência. Na Figura tem-se um quadrado com seus lados divididos em partes. O padrão básico é apresentado em preto enquanto os percursos de conecção estão em azul para dar maior destaque.

3 Figura - Curva de Peano com divisões por lado Na Figura pode-se observar a curva de Peano com o quadrado tendo suas faces divididas em e partes. Figura - Curvas de Peano com e divisões nas faces Variações da curva de Peano Sagan (, p.) mostra que o matemático Walter Wunderlich (0-), entre diversas outras contribuições, enumerou outras três curvas que satisfazem as condições para a geração de curvas de preenchimento espacial. Na Figura tem-se a curva Peano-S (switch-back type). Na Figura é exibida a curva Peano-R (também denominada switchback type). A curva da Figura é denominada Meander type (Peano-M).

4 Figura - Curva de Peano Switch-back Type (Peano-S) Figura - Curva de Peano Switch-back Type (Peano-R) Figura - Curva de Peano Meander Type (Peano-M)

5 Outras curvas de preenchimento Embora Peano tenha descoberto a primeira curva de preenchimento espacial foi o matemático David Hilbert (-) que difundiu esse campo da geometria (SAGAN,, p.0). A Figura mostra a geração da curva de Hilbert e onde pode-se perceber que o lado do quadrado é dividido em múltiplos de. Figura - Criação da curva de preenchimento espacial de Hilbert Na Figura tem-se a construção da curva de Moore que recebeu esse nome em homenagem ao matemático Eliakim Hastings Moore (-). Segundo Sagan (, p.) Moore mostrou que o caminho de Hilbert não era o único para alinhar os subquadrados após sucessivos particionamentos em n réplicas. Nota-se que enquanto a curva de Hilbert parte do extremo de uma face e termina no extremo oposto da mesma face, a curva de Moore parte do centro de uma face e encerra na mesma posição. Figura - Criação da curva de preenchimento de Moore O matemático russo Waclaw Sierpinski (-) introduziu um outro tipo de curva de preenchimento espacial, como mostra a Figura.

6 Figura - Construção da curva de Sierpinski Tanto a Figura 0 quanto a Figura apresentam variações da curva de Sierpinski. Figura 0 - Construção da curva modificada de Sierpinski Figura - Construção da curva modificada de Sierpinski Sagan (, p.) também cita definições tridimensionais das curvas de Peano, Hilbert e Sierpinski. A Figura apresenta a construção da curva de Hilbert no espaço D.

7 Fonte: Liu e Snoeyink (00, p.) Figura - Construção da curva de Hilbert em D Referências ALENCAR, H.; SANTOS, W. (00). Geometria diferencial das curvas planas. Pós- Graduação do Instituto de Matemática da UFRJ. Disponível em: < Acessado em: 0 Jun. 00. MELLO, L. F. O. (00). Curvas planares, da intuição à perplexidade. Semana da Matemática da UNIFEI (Universidade Federal de Itajubá). Disponível em: < Acesso em: 0 Jun. 00. SAGAN, H. (). Space-filling curves. Universitext, Springer-Verlag, New York. Links relacionados Obs: adaptado do texto original de Gorgulho Júnior (00), Análise do desempenho dos arranjos físicos distribuídos em ambiente de roteamento de tarefas com flexibilidade de fabricação, Tese (Doutorado), EESC-USP, p.0-.