Amanda Jarek Universidade Federal do Paraná (UFPR), Institutos Lactec, Curitiba, Brasil,

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1 Mecânica das Rochas para Recursos Naturais e Infraestrutura Conferência Especializada ISRM Setembro 2014 CBMR/ABMS e ISRM, 2014 Aplicação do Método dos Elementos de Contorno na Estabilidade de Túneis Abordagem Probabilística da Influência das Tensões Iniciais e dos Parâmetros de Resistência do Maciço Rochoso Amanda Jarek Universidade Federal do Paraná (UFPR), Institutos Lactec, Curitiba, Brasil, ajarek@gmail.com André Pacheco de Assis Universidade de Brasília (UnB), Brasília, Brasil, aassis@unb.br Luiz Alkimin de Lacerda Universidade Federal do Paraná (UFPR), Institutos Lactec, Curitiba, Brasil, alkimin@lactec.org.br RESUMO: Com o avanço tecnológico, as ferramentas de análise numérica têm se tornado cada vez mais abrangentes devido à rapidez com que é possível avaliar modelos físicos representativos do comportamento mecânico de estruturas com elevada complexidade. Como consequência direta, tem-se e a determinação dos coeficientes de segurança mínimos para a construção de estruturas econômicas e com qualidade. Um dos aspectos que deve ser avaliado em um maciço rochoso são as tensões in-situ, pois, durante a escavação, alterações no campo de deformações do maciço são geradas e novas tensões surgem podendo impactar diretamente na estabilidade da escavação. Além disso, outro fator de fundamental importância no estudo da abertura de um túnel são as características das descontinuidades e do maciço rochoso, pois podem induzir anisotropia na direção do plano de ruptura do maciço rochoso. Para o problema em estudo, foi elaborado um código computacional utilizando o método dos elementos de contorno por meio da linguagem de programação Fortran, para análise de problemas de elasticidade sob o estado plano de deformações. Tendo em vista a natureza heterogênea do problema, o foco desta fase da pesquisa consistiu em preparar algoritmos auxiliares ao código principal para a inclusão de um modelo probabilístico de análise com a introdução das incertezas inerentes aos parâmetros de entrada do modelo computacional. Esta implementação é ilustrada considerando um modelo básico elástico linear e isotrópico para o maciço rochoso e um campo de tensões iniciais cujos parâmetros são representados por funções densidade de probabilidade uniforme e normal. Parte-se do princípio que ensaios de campo e análises do modelo geológico representativo possibilitam estimar os intervalos e funções probabilísticas de cada parâmetro do tensor de tensões iniciais. Por meio da aplicação do método de Monte Carlo avalia-se a distribuição dos resultados de tensões críticas no maciço. No programa computacional, as tensões iniciais foram inseridas pela aplicação de forças de superfície no perímetro da escavação, que compatibilizam a condição de deformação do perímetro da seção escavada no maciço sob tensões iniciais com a geometria indeformada do túnel. Com relação à verificação dos critérios de ruptura, optou-se por utilizar o critério de Hoek-Brown. Os resultados obtidos demonstram o potencial da abordagem implementada para a execução de análises de risco. PALAVRAS-CHAVE: Túnel, MEC, Tensões Iniciais, Estabilidade, Abordagem Probabilística. 1 INTRODUÇÃO Investigações geológicas geotécnicas são de extrema importância no que diz respeito à escolha do local onde se pretende efetuar a perfuração de um túnel. Com isso, realizar ensaios laboratoriais e de campo, a fim de obter os parâmetros do maciço rochoso, é necessário para minimizar as incertezas e garantir a segurança visando a qualidade da construção.

2 Durante a investigação de uma rocha, um dos principais pontos que deve ser avaliado com cuidado são as tensões in-situ, pois ao escavar uma cavidade novas tensões induzidas surgem, decorrentes das tensões in-situ, impactando diretamente na estabilidade do maciço. O foco principal deste trabalho é avaliar a influência das tensões iniciais na estabilidade de túneis. Para isto foi desenvolvido um programa em estado plano de deformações, utilizando o método dos elementos de contorno, cujo objetivo é analisar as regiões de falha a partir do critério de ruptura de Hoek-Brown (Hoek et al., 2000). A escolha deste critério deu-se por ser o mais abrangente quando comparado a outros critérios como, por exemplo, o de Mohr Coulomb. Para a modelagem do problema foram implementados elementos com funções constantes e lineares, que representam a variação dos deslocamentos e tensões no contorno do domínio infinito em estudo. Além disso, para avaliação das tensões críticas no maciço, implementou-se o método de Monte Carlo utilizando distribuições uniformes e constantes. 2 MODELAGEM COMPUTACIONAL 2.1 Método dos Elementos de Contorno (MEC) Numa modelagem utilizando o método dos elementos de contorno é necessário discretizar o contorno do problema para obtenção da solução no domínio. Normalmente, em problemas elástico-lineares este método possui precisão maior quando comparado a outros métodos de discretização. A adoção deste método neste estudo deu-se por ser o mais apropriado para análises em domínios infinitos, pois é possível utilizar as soluções fundamentais das equações diferenciais parciais associadas ao problema em tais domínios. Para problemas de elasticidade a formulação pode ser derivada do teorema do trabalho recíproco de Betti para dois estados auto * * * equilibrados (u i,t i,b i ) e ( u i,t i,b i ) (Aliabadi, 2002). O teorema de Betti é representado por: t u d+ b u dω= t u d+ b u dω (1) * * * * i i i i i i i i Ω Ω Onde: representa o domínio; é o contorno, as tensões, u i representa os deslocamentos; b i as forças de corpo; e t i as forças de superfície. Neste trabalho as forças de corpo foram desprezadas para efeito de simplificação das análises. Substituindo os termos que representam as soluções particulares, forças de superfície ( t * i ) e deslocamentos ( u * i ), é possível obter pela Identidade de Somigliana para os deslocamentos onde x. Os valores dos deslocamentos, num ponto interno X', pertencente ao domínio Ω, se relacionam com os valores dos deslocamentos e forças de superfície do contorno por meio da seguinte equação: u (X')= U X',x t x dω- T X',x u x d i ij j ij j (2) A obtenção das tensões no domínio por meio da Identidade de Somigliana e pela Lei de Hooke é dada por: σ (X')= D X',x t x d- S X',x u x d ij kij k kij k (3) Para problemas bidimensionais, as soluções fundamentais para os deslocamentos e forças de superfície são dadas por (Brebbia e Dominguez, 1992): 1 ij 1 U X',x = 3-4ν ln δ ij +r,i r,j 8πμ 1-ν r -1 r Tij X',x = 1-2ν δ ij +2r,i r,j 4π 1-ν r n Onde: U ν r n -r n 4π 1-ν r ij,i j,j i (4) (5) X',x é o deslocamento na direção j no ponto x em função de uma força unitária pontual atuante na direção i no ponto fonte X' ;

3 Tij X',x é a força de superfície na direção j no ponto x em função de uma força unitária pontual atuante na direção i no ponto fonte X' ; ν é o Coeficiente de Poisson; δ ij é o Delta de Kronecker; r é a distância do ponto x ao ponto fonte X' ; e n é o vetor normal unitário. Um dos atributos distintos do MEC é a concordância natural às condições de contorno para regiões infinitas, evitando a necessidade de aproximação numérica do contorno infinito. Considerando uma cavidade com contorno e normal n num meio infinito, conforme ilustra a Figura 1, por meio de um processo limite, obtém-se a equação (Aliabadi, 2002): C x' u x' + T x',x u x d+ ij j ij j + T x',x u x d = U x',x t x d+ ij j ij j ij + U x',x t x d j (6) A equação discretizada, onde u j e t j são os deslocamentos e forças de superfície nos nós funcionais do elemento, respectivamente, é dada por (Aliabadi, 2002): ij j j ij n n=1 n j ij n n=1 n N C x' u x' + u T x',x d = N = t U x',x d 2.2 Tensões Iniciais (7) As tensões in-situ são introduzidas no modelo por meio de uma combinação de dois estudos (Telles et al., 1995), conforme ilustra a Figura 2, evitando assim a necessidade de considerar integrais de domínio. onde Cij x' =δij x' +αij x' é o termo livre. Figura 2. Representação Física das Tensões Iniciais em um domínio com cavidade substituído pela combinação de dois estudos complementares. Conhecendo o tensor σ 0, obtém-se o vetor T i das forças de superfície, que com sinal trocado são as condições de contorno do problema definido na Figura 2c, o qual é dado por: Figura 1. Esquema do domínio infinito com uma cavidade e vetor normal. O primeiro passo para execução das análises de elasticidade, utilizando o método dos elementos de contorno, é dividir o contorno em N elementos (discretização numérica). Para o caso em que se utilizam elementos de contorno constantes, os nós funcionais do contorno são locados nos centros dos elementos. Nestes elementos, os valores de u j e t j são constantes e iguais aos valores nodais. Já para elementos lineares, têm-se dois nós funcionais por elemento. Neste caso, são inseridas funções de interpolação lineares, representada pelo símbolo. T i = - σ N i +σ N i x xx 1 xy 2 T i = - σ N i +σ N i (8) y xy 1 yy 2 Onde: xx xy yy σ,σ e σ : são as tensões iniciais já transformadas para eixos x e y; N 1, N 2 são as componentes dos vetores normais segundo x e y para cada elemento; T x, T y são as forças de superfície. A solução deste problema deve ser superposta com as tensões iniciais para obter o campo de tensões e deformações desejado, definido na Figura 2a.

4 3 CRITÉRIO DE RUPTURA DE HOEK- BROWN Definido o campo de tensões e deformações com o modelo numérico, adotou-se o critério de Hoek-Brown para as análises de estabilidade, por ser o método mais abrangente quando comparado a outros métodos. Este método descreve o aumento não linear na resistência de pico de uma rocha intacta ou maciço rochoso isotrópico, com o aumento da tensão confinante. Para as análises foi utilizada a equação que representa o critério de Hoek-Brown Generalizado (Hoek et al., 2000) dada por: ' ' ' σ 3 σ 1=σ 3+σc m b +s σc a (9) ' ' Onde: σ 1,σ 3: são as tensões principais maior e menor, respectivamente; m b é o valor da constante m para maciços rochosos fraturados; σ c : é a resistência à compressão uniaxial da rocha intacta; m i constante do material para a rocha intacta; s e a são constantes dependentes das características do maciço rochoso. Para obtenção dos parâmetros a, s e m b as seguintes relações são utilizadas: GSI 20 GSI s = exp a = + e +e 9-3D 2 6 domínio até o ponto mais próximo da cavidade; e dist D representa a extensão máxima da região danificada. 4 MÉTODO DE MONTE CARLO O método de Monte Carlo foi utilizado com o objetivo de avaliar a distribuição dos resultados das tensões críticas no maciço rochoso em função da variabilidade presente nos parâmetros que caracterizam o maciço. Tendo em vista as incertezas inerentes aos dados de entrada do modelo computacional, foram inseridos neste trabalho modelos probabilísticos representados por distribuições uniforme e normal, dadas por: F P=P min + (Pmax - P min ) N (12) AL F P=DesvP P Z+ Media (13) P Onde: F P é a função que calcula o parâmetro variável; P min, P max são os valores mínimo e máximo para o parâmetro variável; N AL é um número aleatório; Z é a variável normal com distribuição aleatória; DesvP P é o desvio padrão; e Media P é a Média. A função densidade de probabilidade adotada refere-se a transformação de Box- Muller (Box e Muller, 1958) que é um método para geração de distribuição normal padrão independente representada por: GSI-100 m = m exp b i 28-14D (10) Z= -2 lnu cos 2πU (14) 1 2 O índice de resistência geológica (GSI) e o fator de dano (D) estão presentes nas equações (10) com o intuito de incluir o efeito das descontinuidades e a perturbação devido ao fogo no maciço rochoso (Eberhardt, 2012). Para a variação do parâmetro de dano D, neste trabalho, é proposta a seguinte equação: D = D max dist dist P D (11) Onde: D max é o dano máximo o qual o maciço está sujeito; dist P é a distância do ponto no Onde: U 1 e U 2 são os números aleatórios independentes. 5 MODELO DE ESTUDO O modelo empregado para validação das implementações efetuadas e avaliação da influência dos parâmetros de entrada, em especial, das tensões iniciais no domínio, é definido por uma cavidade circular de diâmetro d em meio infinito, isotrópico e elástico-linear

5 Erro (%) em estado plano de deformações sob tensão inicial σ x= σy σ. A Figura 3 ilustra o modelo citado, cuja solução analítica para uma condição de pressão interna constante é dada por (Aliabadi, 2002): tensões radiais em função da distância ao centro da cavidade. GRÁFICO DAS TENSÕES RADIAIS - ERRO x DISTÂNCIA % % 1.00% 0.10% 0.01% Distância (m) AJ - 12 Elementos Constantes Examine 2 D - 12 Elementos AJ - 24 Elementos Constantes Examine 2D - 24 elementos AJ - 48 Elementos Constantes Examine 2 D - 48 elementos AJ - 12 Elementos Lineares AJ - 24 Elementos Lineares AJ - 48 Elementos Lineares Figura 3. Cavidade circular em meio infinito submetida à pressão interna de compressão. 2 p dist σ θ= + σ 2 r 2 p dist σ r = - σ (15) 2 r Onde: p representa as forças de superfície uniformes aplicadas em todo o contorno da cavidade; dist é a distância do centro da cavidade até o ponto no domínio; é a tensão inicial e r é o raio. 5.1 Validação do Algoritmo O código para análise da estabilidade em túneis foi elaborado em Fortran 95 e validado comparando-se os resultados com os resultados fornecidos pelo Examine 2D (Rocscience Inc., 2013). Para validação dos resultados foram utilizados os valores indicados na Tabela 1. Tabela 1. Dados para análise do problema. E (MPa) ν p (MPa) r (m) , ,0 Por meio da solução analítica do problema, foi possível o cálculo do erro relativo para comparação dos resultados. O gráfico da Figura 4 apresenta os resultados obtidos com o Examine 2D e com o algoritmo elaborado para Figura 4. Gráfico das Tensões Radiais Erro (%) x Distância (m). Conclui-se a partir do gráfico que tanto para os elementos constantes quanto para os lineares, à medida que se aumenta o número de elementos no contorno, os resultados convergem para a solução analítica. Os resultados são semelhantes aos resultados do Examine 2D, entretanto, com convergência mais consistente à medida que a discretização aumenta. 5.2 Modelo Teórico de um Túnel Nesta seção são apresentadas quatro situações de entrada de dados para o modelo teórico adotado. O maciço do túnel hipotético possui as propriedades mecânicas de um Granito-Gnaisse, com a tensão principal formando 14 graus com sistema cartesiano, e os valores dos respectivos parâmetros são apresentados na Tabela 2. Na primeira situação de análise todos os parâmetros são constantes. Na segunda situação, fez-se uma avaliação das diferenças com a introdução da variação linear do dano com a profundidade (equação 11). Na terceira situação, adotou-se um intervalo de incertezas para as tensões iniciais com probabilidade de ocorrência uniforme. Por fim, na quarta situação, foram inseridas incertezas com distribuições normais para alguns parâmetros (GSI, mi e resistência uniaxial da rocha intacta). A Figura 5 ilustra a malha com os pontos internos de domínio utilizados para verificação

6 4ª Situação 3ª Situação 2ª Situação 1ª Situação em todas as análises efetuadas. O diâmetro do túnel possui 3,5 m de extensão e a região para análise das tensões e dos pontos de ruptura possui uma área 14 x 14 m². Tabela 2. Dados de entrada para as quatro situações. Variável Mínimo Máximo TD¹ Desvio Padrão Média E (MPa) n 0,20 0, _11 (MPa) _33 (MPa) GSI mi q ( ) _c (MPa) Distância Dano E (MPa) n 0,20 0, _11 (MPa) _33 (MPa) GSI mi q ( ) _c (MPa) Distância Dano E (MPa) n 0,20 0, _11 (MPa) _33 (MPa) GSI mi q ( ) _c (MPa) Distância Dano E (MPa) n 0,20 0, _11 (MPa) _33 (MPa) GSI mi q ( ) _c (MPa) Distância Dano ¹TD: tipo de distribuição: 1 uniforme; 2 normal. Ao aplicar o critério de falha de Hoek-Brown para a primeira situação apresentada, os resultados obtidos correspondem às Figura 6 a) e b) que mostram a região de pontos onde ocorreram ruptura ao redor da cavidade quando são feitas análises com elementos constantes e lineares, respectivamente. Os resultados obtidos com os dois tipos de elementos são semelhantes e apresentam pequenas diferenças nas proximidades do contorno, em virtude da aproximação limitada do elemento constante. 14,0m d= 3,5m 14,0m Centro Figura 5. Malha de pontos internos adotada para apresentação dos resultados de domínio e verificação da estabilidade. a) b) Figura 6. Região de Ruptura para a 1ª Situação. a) Elemento Constante. b) Elemento Linear. As Figura 7 e 8 apresentam os campos de tensões principais 11 e 33 obtidas para o modelo com elementos constantes. Figura 7. Tensões na direção principal 11 (MPa) obtidas para a 1ª Situação com elemento constante. Figura 8. Tensões na direção principal 33 (MPa) obtidas para a 1ª Situação com elemento constante.

7 É possível perceber nas imagens a rotação de 14 graus das tensões principais. A segunda situação difere da primeira no que diz respeito aos parâmetros que definem o fator de dano no entorno da cavidade. Nesta situação, definiu-se pela presença de dano com valor máximo junto à parede da cavidade, reduzindo a zero em distâncias superiores a 2 m da mesma. A Figura 9 ilustra a região de ruptura obtida para a 2ª situação e a Figura 10 ilustra a superposição das regiões de falha para as duas primeiras situações. ocorreram mais pontos de ruptura no modelo e o caso B corresponde à combinação de dados de entrada em que menos pontos de ruptura surgiram. Tabela 3. Valores das Tensões Principais significativas obtidas em 1000 análises. Caso A Caso B _11 (MPa) _33 (MPa) _11 (MPa) _33 (MPa) 55,44 14,44 57,44 16,44 Para a representação das regiões de ruptura, foi feita a sobreposição das imagens obtidas de forma a ilustrar a diferença de áreas entre elas (Figura 11). No Caso B os pontos de ruptura ficaram concentrados no contorno da cavidade. Figura 9. Região de Ruptura para a 2ª Situação com elemento constante. Ao analisar a Figura 10 conclui-se que a região de falha da 1ª situação está contida pela região da 2ª situação (destacada em amarelo), o que era esperado. Figura 10. Superposição das regiões de falha das situações 1 e 2. Na terceira situação, como foi inserida uma distribuição uniforme para as tensões iniciais principais do problema, 1000 análises foram feitas para obtenção dos campos de tensões críticas. Na Tabela 3 mostram-se as duas análises (A e B) que correspondem à pior e à melhor combinação de 11 e 33, respectivamente. O caso A refere-se à combinação de dados de entrada em que Figura 11. Sobreposição das regiões de ruptura obtidas para os Casos A e B para a 3ª situação. Por fim, apresentam-se na Tabela 4 os piores e melhores resultados obtidos com a 4ª situação de análise em que os parâmetros da rocha (GSI, mi, _c) foram definidos com distribuição normal. Tabela 4. Valores dos parâmetros variáveis obtidos para 2000 análises. Caso C Caso D _11 (MPa) 56,70 58 _33 (MPa) 15,70 17 GSI mi _c (MPa) 170, A Figura 12 apresenta as regiões de falha obtidas nos casos C (mais pontos de ruptura) sendo que para o caso D nenhum ponto de ruptura foi detectado. A diferença é nítida e demonstra a relevância da variabilidade dos dados de entrada sobre o domínio de falha. Ainda na Figura 12, foram identificados alguns pontos do domínio A-E para a apresentação dos resultados obtidos nas 2000 análises. Para efeito de comparação, utilizou-se o gráfico definido no RocLab (Rocscience Inc.,

8 2013) onde os parâmetros da rocha (GSI, mi, _c) adotados referem-se ao ponto médio para o traçado da Curva de Hoek-Brown. Figura 12. Sobreposição das regiões de ruptura obtidas para os Casos C e D para a 4ª situação. Os resultados obtidos são apresentados na Figura 13. Observa-se que em algumas análises efetuadas parte dos pontos A, B, C e D situaram-se dentro da faixa de segurança para o Critério de Hoek-Brown. Por fim, tem-se o ponto E que atendeu o critério de segurança em todas as análises. para alguns parâmetros de entrada, entre estes, o campo de tensões iniciais. Outro aspecto inserido na formulação foi a variação linear do fator de dano com a profundidade. Diferentes situações de análise foram avaliadas onde foi possível concluir sobre a coerência da implementação do fator de dano próximo à cavidade. A inclusão deste fator pode trazer maior segurança às avaliações. O programa desenvolvido permitiu avaliar o impacto da incerteza na definição dos campos de tensões iniciais sobre a extensão das regiões de instabilidade próximos à cavidade. Os resultados obtidos demonstram o potencial da abordagem implementada para a execução de análises de risco, que pode ser facilmente adaptada e/ou melhorada com o uso de modelos mais representativos para o maciço rochoso. AGRADECIMENTOS À Cemig pelo apoio financeiro para realização desta pesquisa. REFERÊNCIAS Figura 13. Gráfico das tensões principais 33 x 11 para 2000 análises. 6 CONCLUSÕES A formulação implementada foi validada por meio de um problema simples com resposta conhecida. Sobre esta formulação foi acrescentado o método de análise de Monte Carlo, incluindo uma distribuição estatística Aliabadi, M.H. (2002). The Boundary Element Method: Applications in Solids and Structure. [S.l.]: John Wiley & Sons. Box, G.E.P and Muller, E. M. (1958). A note on the Generation of Random Normal Deviates. The Annals of Mathematical Statistics. Pages: Brebbia, C. A.; Dominguez, J. Boundary Elements An Introductory Course. [S.l.]: Mc Graw-Hill, Eberhardt, E. (2012). The Hoek-Brown Failure Criterion. Rock Mechanics and Rock Enginnering. Springer. Pages: Hoek, E.; Kaiser, P.K. and Bawden, W. F. (2000). Support of Underground Excavations in Hard Rock. Taylor & Francis Group. Rocscience Inc Examine2D Version D Stress Analisys for Underground Excavations. Toronto, Ontario, Canada. Rocscience Inc. 2013, RocLab Version Rock Mass Strength Analysis using the Generalized Hoek-Brown failure criterion. Toronto, Ontario, Canada. Telles, J.C.F.; Castor, G.S.; Guimarães, S. (1995). A numerical Green's Function Approach for Boundary Elments Applied to Fracture Mechanics. International Journal of Numerical Methods in Engineering, John Wiley & Sons.