Correlação parcial amostral

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1 Correlação parcial amostral t Sea X = (X 1, X,, X p ), v.a. multivariado, tal que R Corr(X) e sea x 1, x,, x n, a.a. de X. Correlação parcial amostral é uma medida da correlação entre duas variáveis quando se exclui o efeito, sobre estas, das outras ( p ) variáveis. Resultado: Considere o par de variáveis austes de regressão linear: X e X m, m e os seguintes i) Regressão linear tendo X como resposta e todas as demais variáveis como preditoras, exceto X m. Os resíduos deste auste serão denotados por e i, i 1,, n; ii) Regressão linear tendo X m como resposta e todas as demais variáveis como preditoras, exceto X. Os resíduos deste auste serão denotados por e mi, i 1,, n; O coeficiente de correlação parcial amostral é definido como sendo o coeficiente de correlação entre os resíduos ( e, e m), ou sea: q m Corr( e, em),, m 1,, p, m, e com q 0, i 1,, p, ou sea, se Q é a matriz de kk correlações parciais, então sua diagonal é igual a zero.

2 Uma forma de obtenção das correlações parciais amostrais é apresentada a seguir. Sea W R 1, então, pode-se provar que: q m w m, m 1,, p w wmm,, m, e com q 0, i 1,, p. kk Outra forma de definir a correlação parcial amostral é dada abaixo. Considere três va s X, Y e Z e três amostras de tamanho n, respectivamente x 1, x,... x n, y 1, y,... y n e z 1, z,... z n, sendo r xy, r xz e r yz os coeficientes de correlações amostrais entre elas. A correlação parcial amostral pode, ainda, ser definida como: r xy. z r ( r xy xz yz. (1 rxz)(1 ryz) r ) Interpretação geométrica da correlação parcial, segundo Fisher 1 Podem-se padronizar as amostras de X, Y e Z e representá-las como vetores unitários em um espaço euclidiano de dimensão n: x1 x xi x x OA,,,, sx sx n s x x 1 Fonte: Wikipédia: do artigo Fisher, Ronald Aylmer, The Distribution of the Partial Correlation Coefficient, Metron, 3: (194 I)

3 y1 y yi y OB,,,, sy sy yn s y y z1 z zi z z OC,,,, sz sz n s z z Estes três pontos definem um triângulo esférico ABC conforme Figura 1. Figura 1: Triângulo esférico Os lados do triangulo ABC relacionam-se com as correlações e os ângulos diedros relacionam-se com as correlações parciais, através de: Correlações Correlações parciais r xy cos(c) r cos( ) xy. z xz. y cos( yz. x cos( r xz cos(b) r ) r yz cos(a) r )

4 A medida de Kaiser-Meyer-Olsen (KMO ) de adequação do modelo fatorial Se as v.a. s X 1, X,, X p, apresentarem correlações expressivas, então, o modelo fatorial é apropriado. Neste sentido, para uma aplicação bem sucedida da técnica de análise fatorial, os elementos de Q ( ) devem ser pequenos, em valores absolutos, q m comparados aos elementos de R ( r m ). Uma medida de adequabilidade que leva em conta esta condição é dada pelo coeficiente KMO, definido por: KMO r m r m m m q m m,, m 1,, p, em que: amostral entre r m é a correlação amostral e q m a correlação parcial X e X m. Uma medida de adequação para a variável definida por: X, 1,, p, é MSA r r q. Ver Dziuban and Shirley, 1974, Psychological Bulletin 81,

5 Critério para classificação do coeficiente KMO Tabela 1: Classificação do coeficiente KMO KMO Classificação > 0.9 excelente ( 0.8 ; 0.9 ] bom ( 0.7 ; 0.8 ] mediano ( 0.6 ; 0.7 ] fraco ( 0.5 ; 0.6 ] muito fraco < 0.5 inaceitável Segundo a Tabela 1, o valor do coeficiente KMO deve ser maior do que 0.5 e, quanto maior o seu valor, mais apropriado é o modelo fatorial.

6 Teste de esfericidade de Bartlett Outra medida de adequação do modelo fatorial é dada pelo teste de esfericidade de Bartlett, dado por: H o : H A : Ρ Ρ p p p p I I p p p p em que, Ρ p p é a matriz de correlações do v.a. X. Estatística teste: T ( p 11) n 6 p ln( ˆ ), i1 i com ˆ i, i = 1,,, p, são os autovalores de Ρ. Sob H o, T ~, em que p( p 1). Segundo o teste de esfericidade de Bartlett, reeitando-se H o há evidências de que as correlações entre as variáveis de X, ou sea, os elementos fora da diagonal de Ρ, não são todos iguais a zero. Obs: Para a aplicação do teste de Bartlett é necessário ter, além da matriz de correlações amostrais R, pelo menos o tamanho da amostra n.

7 Função no R para calcular as correlações parciais e coeficiente de Kaiser-Meyer-Olkin: ## Função para calcular as correlações parciais ############################################### p.corr <- function(r){ Rinv <- solve(r) Vp <- 1/sqrt(diag(Rinv)) Vp <- diag(vp) Rp <- -Vp%*%Rinv%*%Vp diag(rp) <- 0 Rp } ## Função para calcular o coeficiente KMO ######################################### calcula.kmo <- function(r){ Rp <- p.corr(r) p <- nrow(r) somar <- 0 somap <- 0 somar. <- rep(0,p) somap. <- rep(0,p) for(i in 1:p){ somar <- somar + sum(r[i,]^)-1 somap <- somap + sum(rp[i,]^) somar.[i] <- sum(r[i,]^)-1 somap.[i] <- sum(rp[i,]^) } kmo <- somar/(somar+somap) msa <- somar./(somar.+somap.) cat("\n KMO = ",round(kmo,4),"\n") list("kmo"=round(kmo,4),"msa"=round(msa,4), "Rp"=round(Rp,3)) }

8 ## Exemplo 1: Matriz de correlação. ################################################# R <- matrix(c(1.000, 0.856, 0.91, 0.673, 0.856, 1.000, 0.8, 0.738, 0.91, 0.8, 1.000, 0.546, 0.673, 0.738, 0.546, 1.000), nrow=4) kmo <- calcula.kmo(r) KMO = kmo $kmo [1] $msa [1] $Rp [,1] [,] [,3] [,4] [1,] [,] [3,] [4,] ##############################

9 ## Exemplo : Dados de recordes femininos de 54 ## países, em corridas de 100m, 00m, 500m, 800m, ## 1500m, 3000m e maratona. ################################################# dados <- read.table("d:\\users\\jcfogo\\documents\\ Disciplinas\\EMult\\Dados\\J_W v5 \\T1-9_007.DAT", head=t) attach(dados) dados <- dados[,-1] R <- cor(dados) kmo <- calcula.kmo(r) KMO = Kmo $kmo [1] $msa [1] $Rp [,1] [,] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [1,] [,] [3,] [4,] [5,] [6,] [7,] #####################################################

10 ## Função para o teste de esfericidade de Bartlett ################################################## t.esfer <- function(dados){ R <- cor(dados) n <- nrow(dados) nvar <- nrow(r) Test <- -(n-(*nvar+11)/6)*sum(log(eigen(r)$values)) gl <- nvar*(nvar-1)/ vp <- dchisq(test,gl) cat("\n","valor p do teste: T = ",vp,"\n") list("t"=test,"p.val"= vp,"corr"= round(r,3))} ## Exemplo : Dados de recordes femininos de 54 ## países, em corridas de 100m, 00m, 500m, 800m, ## 1500m, 3000m e maratona. ################################################# R1 <- cor(dados) teste <- t.esfer(r1,n) Valor p do teste: T = e-109 teste $T [1] $p.val [1] e-109 $Corr R100 R00 R400 R800 R1500 R3000 MAR R R R R R R MAR ################################################