COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO E TESTE DE HIPÓTESE PARA A

Transcrição

1 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO E TESTE DE HIPÓTESE PARA A CORRELAÇÃO Prof. Tiago Viana Flor de Santana [email protected] sala 07 Universidade Estadual de Londrina UEL Departamento de Estatística DSTA

2 Sumário 1 Exemplos 2 Teste de hipóteses Exemplos Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 2 / 21

3 Tabela: Número de anos de serviço (X ) por número de clientes (Y ) de agentes de uma companhia de seguros. Agente Anos de serviços (X ) Número de clientes (Y ) A 2 48 B 3 50 C 4 56 D 5 52 E 4 43 F 6 60 G 7 62 H 8 58 I 8 64 J Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 3 / 21

4 Figura: Gráfico de dispersão para as variáveis X : anos de serviço e Y : número de clientes. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 4 / 21

5 Tabela: Renda bruta mensal (X ) e porcentagem da renda gasta em saúde (Y ) para um conjunto de famílias. Família Renda bruta (X ) Gasto com saúde (Y ) A 12 7,2 B 16 7,4 C 18 7,0 D 20 6,5 E 28 6,6 F 30 6,7 G 40 6,0 H 48 5,6 I 50 6,0 J 54 5,5 Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 5 / 21

6 Figura: Gráfico de dispersão para as variáveis X : renda bruta e Y : Porcentagem de renda gasta com saúde. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 6 / 21

7 Tabela: Resultado de um teste de ĺınguas estrangeira (X ) e tempo de operação de máquina (Y ) para oito indivíduos. Família Resultado do teste (X ) Tempo de operação (Y ) A B C D E F G H Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 7 / 21

8 Figura: Gráfico de dispersão para as variáveis X : resultado no teste e Y : tempo de operação. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 8 / 21

9 corr(x, Y ) = xy n xȳ ( x 2 n x 2 ) ( y 2 nȳ 2 ) 1 corr(x, Y ) 1 Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 9 / 21

10 Se corr(x, Y ) = +1, existe uma correlação perfeita positiva entre as variáveis. Se corr(x, Y ) = 1, existe uma correlação perfeita negativa entre as vaiáveis. Se corr(x, Y ) = 0, não existe correlação entre as variáveis. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 10 / 21

11 Se 0, 35 < corr(x, Y ) < 0, 35, existe uma correlação fraca entre as variáveis. Se 0, 65 < corr(x, Y ) < 0, 35 ou 0, 35 < corr(x, Y ) < 0, 65, existe uma correlação moderada entre as vaiáveis. Se 0, 95 < corr(x, Y ) < 0, 65 ou 0, 65 < corr(x, Y ) < 0, 95, existe correlação forte entre as variáveis. Se 1 < corr(x, Y ) < 0, 95 ou 0, 95 < corr(x, Y ) < 1, existe correlação muito forte entre as variáveis. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 11 / 21

12 Exemplos Exemplo 1. Certa empresa, estudando a variação de vendas de seus produtos em relação à variação de despesas com propagandas, obteve a tabela: Vendas (R$) Despesas (R$) Calcule o coeficiente de correlação e interprete. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 12 / 21

13 Exemplos Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 13 / 21

14 Exemplos Exemplo 2. Abaixo estão os dados referentes à porcentagem da população economicamente ativa empregada no setor primário e o respectivo índice de analfabetismo para algumas regiões metropolitanas brasileiras. Regiões Metropolitanas Setor primário Índice de analfabetismo São Paulo 2,0 17,5 Rio de Janeiro 2,5 18,5 Belém 2,9 19,5 Belo Horizonte 3,3 22,2 Salvador 4,1 26,5 Porto Alegre 4,3 16,6 Recife 7,0 36,6 Fortaleza 13,0 38,4 Calcule o coeficiente de correlação. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 14 / 21

15 Exemplos Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 15 / 21

16 Exemplos Exemplo 3. Numa pesquisa de rotatividade de mão de obra, para uma amostra de 10 pessoas foram observadas duas variáveis: número de empregos nos últimos dois anos (X) e salário mais recente, em número de salários mínimos (Y). Os resultados foram: Indivíduo X Y Calcule o coeficiente de correlação. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 16 / 21

17 Exemplos Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 17 / 21

18 Teste de hipóteses É possível testar a hipótese que o coeficiente de correlação seja igual a zero, ou seja, H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 O teste estatístico apropriado para esta hipótese é n 2 t cal = r 1 r 2 com r = corr(x, Y ) que segue uma distribuição t com n-2 graus de liberdade. Rejeita-se a hipótese nula se t cal > t tab. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 18 / 21

19 Teste de hipóteses Nível de significância Graus de liberdade Distribuição t de Student p/2 p/2 0 t t t 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% 0.5% 0.2% 0.1% Tabela 2: Quantis da Distribuição t. Graus de liberdade na margem esquerda da tabela e probabilidades p dadas no topo da tabela tal que p 2 = P [t tt]. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 19 / 21

20 Teste de hipóteses Exemplos Exemplo 4. O coordenador de um curso de mestrado está estudando a existência ou não de correlação entre as notas de diversas disciplinas. Analisando uma amostra de 12 alunos encontrou-se uma correlação de 0,6 entre as disciplinas de Estatística e Metodologia da Pesquisa. Teste a hipótese de não haver correlação entre as disciplinas. Use α = 5%. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 20 / 21

21 Teste de hipóteses Exemplos Exemplo 5. Abaixo estão os dados referentes à porcentagem da população economicamente ativa empregada no setor primário e o respectivo índice de analfabetismo para algumas regiões metropolitanas do Brasil. Regiões Setor primário (X) Analfabetismo (Y) São Paulo 2,0 17,5 Rio de Janeiro 2,5 18,5 Belém 2,9 19,5 Belo Horizonte 3,3 22,2 Salvador 4,1 26,5 Porto Alegre 4,3 16,6 Recife 7,0 36,6 Fortaleza 12,0 38,3 a. Calcule o coeficiente de correlação, interprete o resultado. b. Teste a hipótese de não haver correlação entre as duas variáveis usando α = 0, 05. Prof. Tiago VFS (UEL/DSTA) ANÁLISE BIDIMENSIONAL 21 / 21