CARACTERÍSTICAS DO PENSAMENTO ALGÉBRICO EM ALUNOS CONCLUINTES DO ENSINO FUNDAMENTAL

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1 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar CARACTERÍSTICASDOPENSAMENTOALGÉBRICOEMALUNOSCONCLUINTESDO ENSINOFUNDAMENTAL EdneiLuisBecher,ClaudiaLiseteOliveiraGroenwald EscolaE.PrudentedeMorais.UniversidadeLuteranadoBrasil Brasil Campodeinvestigación: PensamientoAlgbraico Nivel: Medio Resumo.Conhecerascaracterísticasdosconhecimentosdosestudantes,comrelaçãoaos conteúdos,ecomooprocessodeaprendizagemdosmesmostranscorreapriori,permiteao professorintervirdeformamaiseficientenoprocessodeensinoeaprendizagem,mediandoa construçãoeodesenvolvimentodecompetências,habilidadeseconteúdosestudados.este trabalhoapresentaosresultadosdomapeamentodascompetênciasehabilidadesalgébricas, queosestudantesdo2ºanodoensinomédioapresentamcomrelaçãoaoconteúdode equações,de1ºe2ºgraus,quesãodesenvolvidasnassériesfinaisdoensinofundamental.a experiênciafoidesenvolvidaemumaescoladaredepública,noestadodoriograndedosul, Brasil.Implementouseumaabordagemcomousodetestesadaptativoscomosistema SCOMAX. Palabrasclave:pensamentoalgébrico,matemática,ensinomédio,álgebra Introdução AÁlgebraseconstituiuaolongodotempocomoalinguagemdaMatemática,eseporumlado, passouaserumtemaconsideradocomorequisitobásiconaformaçãodeumestudanteecidadão, poroutro,tornouse,aomesmotempo,ummeiodeexclusãosocial,devidoàsdificuldadesque muitosestudantestêmemtrabalhar,principalmente,comosimbolismoalgébrico. A Álgebra atualmente tem como característica, possuir como seu foco o estudo de relações matemáticasabstratas,incluindofórmulas,equaçõeseinequações,estudandotambém,conjuntos numéricosenãonuméricos,alémdaresoluçãodeproblemascomasoperaçõespresentesem diferentesambientes. Lins e Gimenez (1997) entendem que a atividade algébrica se caracteriza pela resolução de problemasdeálgebra,independentedeseremcontextualizadosounão.consideramtambémque todaatividadealgébricapossuiquatrocaracterísticas:conteúdos,notação,açãodopensamentoe campoconceitual.paraessesautoresaatividadealgébricaresultadaaçãodopensamentoformal, assimopensamentoformaléalgébrico. ParaKaput(1999)avisãotradicionaldaÁlgebraestárelacionadacomaaprendizagemderegras para a manipulação de símbolos, geralmente letras, simplificação de expressões algébricas e 121 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 resoluçãodeequações.comoconseqüência,aálgebraescolartemservidoparaensinar,apenas, umconjuntodeprocedimentosque,paraosalunos,nãotêmrelaçãocomoutrosconhecimentos matemáticosenemcomomundoreal.alémdisso,naopiniãodaqueleautoraálgebradedicasea capacitarosestudantesparaproduzirseqüênciasdesímboloscorretasenãosepreocupana compreensão dos conceitos e do raciocínio matemático. O raciocínio algébrico e o uso de representações algébricas como gráficos, tabelas e fórmulas são ferramentas intelectuais poderosase,aindasegundokaput,élamentávelqueosestudantesmuitasvezesseafastemda Matemática por não compreenderem o significado dos conteúdos estudados, deixando de desenvolveremcompetênciasehabilidadesligadasaosimbolismoalgébrico.logo,paraoautor,a grandequestãoquesecolocaparaosprofessoresepesquisadoresemeducaçãomatemática,é como fazer a álgebra acessível a todos os alunos, dando ênfase a uma aprendizagem com compreensão,quenãoselimiteàmeramanipulaçãoerepetiçãodeprocedimentossemsentido. Diantedessequadro,percebesequeoestudodaÁlgebra,suacompreensãoedesenvolvimento doprocessodeensinoeaprendizagem,vêmocupandoespaçohámuitotemponaspesquisasem EducaçãoMatemática,oquesejustifica,umavezque,osprocessosdeintervençãoemudança sãoobviamentemuitomaiseficientesquandosecompreendeoconceitoeprocessoenvolvido, emparticular,quandoestudaseálgebra,vistoqueamesmaécaracterizadacomoumaáreacom assuntoseaspectosespecíficos,quepossuemumalinguagemeummodoprópriodepensar. Neste trabalho apresentamse os resultados do mapeamento das competências e habilidades algébricas,queosestudantes,do2ºanodoensinomédiopesquisadosapresentamcomrelação aoconteúdodeequações,de1ºe2ºgraus,quesãodesenvolvidasnassériesfinaisdoensino Fundamental. Opensamentoalgébrico Opensamentoalgébricotemsidoumconceitocontroverso,emborasejaabordadopormuitos autores,oquelevalinsegimenez(1997)aafirmaremque,nãoexisteumconsensosobreoqueé pensaralgebricamente.porém,oestudodasidéiasfundamentaisdaálgebraeodesenvolvimento do pensamento matemático são dois componentes do pensamento algébrico que têm sido discutidospormuitos(driscoll,1999;nctm,1989,2000). 122 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

3 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Entretantoexisteconvergênciaentreospesquisadores/educadoresmatemáticos,nosentidode que,opensamentoalgébricoconsisteemumconjuntodehabilidadescognitivasquecontemplam a representação, a resolução de problemas, o uso das operações e análises matemáticas de situaçõestendoasidéiaseconceitosalgébricoscomoseureferencial. Odesenvolvimentodopensamentoalgébricoestáligadoaodesenvolvimentodopensamento matemáticoqueconsisteemhábitosanalíticosquecapacitamarepresentação,oraciocínioea resoluçãodeproblemas,bemcomo,aaprendizagemdasidéiasfundamentaisdaálgebra,que contempla o domínio de conteúdos que devem levar ao desenvolvimento do pensamento matemático. ParaGodinoeFont(2003),oprofessordevetercompreensãodaimportânciaqueaÁlgebraeo pensamento algébrico têm no estudo da Matemática, afirmando que: o raciocínio algébrico implicaemrepresentar,generalizareformalizarpadrõeseregularidadesemqualqueraspectoda Matemática.Eàmedidaquesedesenvolveesseraciocínio,sevaievoluindonousodalinguageme seusimbolismo,necessárioparaapoiarecomunicaropensamentoalgébrico,especialmentenas equações,nasvariáveisenasfunções.essetipodepensamentoestánocoraçãodamatemática concebidacomoaciênciadospadrõesedaordem,jáqueédifícilencontraremoutraáreada Matemáticaemqueformalizaregeneralizarnãosejaumaspectocentral.Emconseqüência,os professores em formação têm que construir essa visão do papel das idéias algébricas nas atividadesmatemáticas,esobrecomodesenvolveropensamentoalgébricodurantetodosos níveisdeensino. OsoftwareSCOMAX Napesquisarealizadacomoconteúdodeequaçõesde1ºe2ºgraus,foiutilizadoosoftware SCOMAX, desenvolvido a partir de um convênio entre o grupo de Tecnologias Educativas da Universidade de La Laguna, em Tenerife, na Espanha e o grupo de Estudos Curriculares de EducaçãoMatemáticadaUniversidadeLuteranadoBrasil,ULBRA,emCanoas,Brasil. OSCOMAXéumsistemadeinteligênciaartificial,implementadoemJava,quedemonstraos resultados de um teste adaptativo individualizado, de cada nodo (conceito), de um mapa conceitualgeral.essesistemainformáticofazaligaçãodomapaconceitualaotesteadaptativo, 123 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 gerandoomapaindividualizadodosconhecimentospréviosdosalunosinvestigados.osistema utiliza probabilidade, utilizando Redes Bayesianas, para o teste adaptativo, conectando os conceitoscomasperguntaseinterligadoosatravésdeummapaconceitual,desenvolvidono softwarecompendium. O professor desenvolve o mapa conceitual de acordo com a seqüência dos conteúdos desenvolvidosnaescola,depoisorganizaointerligandoosconceitos,começandopelosconceitos prévios,avançandoparaosconceitosintermediáriosatéatingirosconceitosobjetivos,gerando assimografoqueligaosconceitosaotesteadaptativo.oscomax,apartirdosresultadosobtidos pelosalunos,geraosmapasindividualizadoscomodesempenhodosestudantes(morenoetall, 2007). Aexperiência Buscandodeterminarascaracterísticasdopensamentoalgébrico,comoconteúdodeequaçõesde 1ºe2ºgraus,apresentadoporalunosconcluintesdoEnsinoFundamental,implementouseuma experiência, utilizando o sistema SCOMAX, em alunos do Ensino Médio, uma vez que, a compreensão dos processos é fundamental para a melhoria das práticas de ensino e aprendizagem. Utilizouseumenfoquequalitativo,deacordocomTaylor&Bogdan(1984citadoemSantosFilho, 2002),segundoosquais,apesquisaqualitativarejeitaapossibilidadededescobertadeleissociais eestámaispreocupadacomacompreensãoouinterpretaçãodofenômenosocial.oobjetivofoi identificaremapearascompetênciasehabilidadesalgébricasdosalunos,caracterizandoonível depensamentoalgébrico,semoobjetivodeumaamplageneralização. Estainvestigaçãofoiestruturadacomoumestudodecaso.Sendoosestudosdecasoummodode estruturarumainvestigaçãoquevisaàcompreensãodefenômenosquenãosepodemisolardo contextoesão particularmenteúteisondealguémprecisacompreenderalgumproblemaou situaçãoparticularcomprofundidade (Patton,1987). Oexperimentofoidesenvolvidocomarealizaçãodeumtesteadaptativo,nosistemaSCOMAX,em 12alunosdoEnsinoMédiodeumaescolapública,nacidadedeOsório,RioGrandedoSul,Brasil, 124 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

5 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar noanode2007.aidademédiadosalunoserade16anos,eestavamno10ºanodeescolarização, cursandoosegundoanodoensinomédio. Resultados Apartirdosdadosobtidos,foipossívelidentificarerroscomoosdescritospor(Socas,Machado, Palarea&Hernández,1996).Porexemplo,aoresolveraquestãopropostanafigura1: Figura1:Questãodotestecomequaçõesdo1ºgrau Naresoluçãodestaquestão4alunosresolveramessaexpressãoalgébrica,assumindoquese x tiverumvaloriguala2,arespostacorretaé36.oqueindicaqueosestudantesnãotêmclareza dosignificadoe,também,nãoentendemanaturezadosímbolo,tendomuitasvezesaconcepção típicadequeaálgebradizrespeitoàassociaçãodetermos,edequecadatermotemumlugar. Esse tipo de erro segundo Socas et al. (1996) e Kieran (1992) podem ter suas raízes na interpretaçãodaálgebracomoaaritméticageneralizada,assumindoseousodeletrasemvezde númerosnaescritadeexpressõesgerais,querepresentame/oudescrevemregrasaritméticas,o quelevaosestudantesacometeremerros,nosquaisascompreensõesdaaritméticaedaálgebra seconfundem. Outroerroencontradocomfreqüênciaestárelacionado,comomostradonafigura2,comatroca demembros,tambémidentificadoporsocasetal.(1996),kieran(1992)ehall(2002)ondeas evidênciassugeremque muitosalunosqueusam atransposiçãonãoestãooperandocomas equações,comoobjetosmatemáticomas,simplesmente,aplicandocegamentearegraque muda demembro mudadesinal,conformefigura ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 Figura2:Registrosdosalunosdurantearesoluçãodeexpressõeseequações Noqueserefereàresoluçãodeproblemas,odesempenhoapresentadopelosestudantesque realizaramoteste,podeserclassificadocomosatisfatório,pois8estudantesobtiveramumbom desempenho, atingindo acima do mínimo requerido. No entanto, é importante observar que mesmoosalunosqueresolveramproblemas,comooapresentadonafigura3,utilizandouma notação algébrica adequada, encontraram a solução sem utilizarem uma resolução algébrica, caracterizandoumpensamentomatemáticoaritmético,baseadonaestratégiadetentativaeerro, conformeexemplodafigura4. Figura3:Questãodotestedeproblemas 126 Figura4:Registrodosalunosnaresoluçãodoproblema ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

7 Categoría1.Análisisdeldiscursomatemáticoescolar Conclusões Osresultadosevidenciamqueosestudantespesquisadosutilizam,naresoluçãodasequaçõesde 1º e 2º graus, o seu aprendizado de aritmética. Além disso, parece que os estudantes não percebemasdiferençasentreaaritméticaeaálgebra,poisoserrosqueforamidentificadostêm sua raiz no uso de procedimentos aritméticos, que são generalizados e adaptados pelos estudantesnoestudodaálgebra. Outracaracterísticaimportanteestárelacionadacomacapacidadedosestudantesderesolverem problemas,queenvolvemmodelagensalgébricas,queéumadascompetênciasessenciaisquese esperaqueumestudantedesenvolvaaolongodosanosdeescolarização.aquinovamentese evidencia a forte influência da Aritmética, pois os estudantes, muitas vezes, no lugar de procederemaumarepresentaçãoalgébricaeposteriorsolução,paradepois,determinaremos valoresouasrelaçõesqueestavamsendosolicitadas,recorreramasoluçõesaritméticas.essefato podetersuasraízesnousodeproblemasartificiais,quesãousualmenteapresentadosaosalunos (FilloyeSutherland,1996).Assimoconhecimentoadquiridonaescolaévistopelosestudantes comoumconteúdoteórico,semconexãocomarealidade,ficandorestritoaoambientedasalade aula. Diantedessasituação,ganhaimportânciaoperíodoescolarconhecidocomopréálgebra,que conforme Kieran e Chalouh (1993) constituise em um momento crucial no processo de aprendizagemdamatemática,poiséquandoocorreatransiçãodaaritméticaparaaálgebra. Osresultadosdoexperimentotambémdemonstram,queessesalunostêmoseuaprendizadoda Álgebra baseado na aprendizagem de técnicas de manipulação. Embora o conhecimento e o domíniodetécnicassejaimportantedentrodoestudodaálgebra,éimportantetambém,um entendimentofundamentadodosconceitoseoposteriorusodessesnaresoluçãodesituações problema. Diante desse quadro, podemos concluir que esses estudantes não atingiram um nível de pensamento algébrico pleno, pois diante das estratégias utilizadas e dos erros cometidos, consideramosqueelesapresentamcaracterísticasdetransiçãoentreaaritméticaeaálgebra, poisnocurrículoescolarbrasileiroaaritméticaéensinadaantesdaálgebra,issoporqueembora essesestudantesdemonstremconheceremanipularrepresentaçõesalgébricas,aindautilizam 127 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22 abordagens aritméticas para resolver problemas, além de evidenciarem o uso de concepções aritméticasemcontextosondeseesperaabordagensalgébricas. Referenciasbibliográficas Driscoll,M.(1999).FosteringAlgebraicThinking:AGuideforTeachersGrades610.Portsmouth, NH:Heinemann. Filloy,E.,ySutherland,R.(1996).DesigningcurriculaforteachingandlearningAlgebra.InA. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick, y C. Laborde (Eds.), International handbook of mathematicseducationvol.1,(pp ).dordrecht:kluwer. Godino,J.D.yFont.V.(2003)RazonamientoAlgebraicoysuDidáctivaparaMaestros.Acessoem: janeiro de 2008 em: Granada, Espanha: UniversidadedeGranada. Hall,R.(2002).Ananalysisoferrorsmadeinthesolutionofsimplelinearequations.Documento retirado em 10 de novembro de 2007 de Kaput,J.(1999).Teachingandlearninganewalgebrawithunderstanding.Documentoretirado em21deoutubrode2005dehttp:// Kieran,C.(1992).Thelearningandteachingofschoolalgebra.InD.A.Grows(Ed.),Handbookof researchonmathematicsteachingandlearning(pp ).newyork:macmillan. Kieran,C.yChalouh,L.(1993).Prealgebra:Thetransitionfromarithmetictoalgebra.InD.Owers (Ed)Researchideasfortheclassroommiddlegradesmathematics(pp ).NewYork,NY: MacMillan. Lins,R.yGimenez,J.(1997).PerspectivasemaritméticaeálgebraparaoséculoXXI.Campinas: Papirus. Moreno,L.,Gonzalez,E.J.,Piñero,J.D.,Popescu.B.,Hamilton,A.,Sigut.J.,Torres.J.,Toledo.J., Merino.J.yGonzález.C.(2007).HaciaunSistemaInteligentebasadoenMapasConceptuales EvolucionadosparalaAutomatizacióndeunAprendizajeSignificativo.AplicaciónalaEnseñanza 128 ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.

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