Construção de códigos corretores de erros quânticos CSS, a partir de códigos BCH, Reed-Solomon e Resíduos Quadráticos

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1 Construção de códigos corretores de erros quânticos CSS, a partir de códigos BCH, Reed-Solomon e Resíduos Quadráticos G. G. La Guardia 1, R. Palazzo Jr. 1, C. Lavor 2, W. C. Gazzoni 1 1 Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) Caixa Postal Campinas SP Brasil 2 Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) Caixa Postal Campinas SP Brasil {gguardia, palazzo, wanessa}@dt.fee.unicamp.br, clavor@ime.unicamp.br Abstract. In this paper, we present some constructions of CSS codes from BCH, Reed-Solomon (RS) and Quadratic-Residue (RQ) classical codes. More specifically, we obtain three quantum error-correcting codes that correct arbitrary errors in 2 qubits, two quantum error-correcting codes that correct arbitrary errors in 3 qubits, and one quantum error-correcting code that corrects arbitrary errors in 18 qubits. Also, we make some comparisons between these codes and codes presented in literature. Resumo. O objetivo deste trabalho é apresentar construções de códigos corretores de erros quânticos arbitrários, via CSS, a partir de códigos cíclicos BCH, Reed-Solomon (RS) e Resíduos Quadráticos (RQ). Na construção de códigos CSS via BCH clássicos, obtivemos dois códigos que corrigem erros arbitrários em 2 q-bits e um que corrige erros arbitrários em 3 q-bits. Considerando as construções a partir de RS clássicos, geramos códigos que corrigem erros quânticos arbitrários em dois, três e 18 q-bits. Por fim, construímos um CSS, via RQ clássico, que corrige erros arbitrários em 2 q-bits. 1. Introdução A teoria dos códigos corretores de erros quânticos tem recebido muita atenção nas últimas décadas, dada a sua relevância na transmissão e armazenamento da informação quântica. Com o advento dos computadores quânticos, pesquisas com respeito a tal assunto têm avançado rapidamente. Os exemplos mais conhecidos de códigos corretores de erros quânticos são os de Shor e o CSS (Calderbank-Shor-Steane) [Nielsen and Chuang 2000]. Quanto à obtenção de novos códigos, os trabalhos apresentados na literatura baseiam-se em construções de códigos CSS, a partir de um único código clássico auto ortogonal C, e seu dual, C. Alguns exemplos de trabalhos neste contexto são [Grassl and Rötteler 2005] e [Forney et al. 2006]. Devido à grande dificuldade encontrada para gerar códigos auto-ortogonais com a propriedade de que as distâncias mínimas associadas aos códigos C e C assumam, ao mesmo tempo, valores altos e o mais próximo possível entre si, nossa proposta é construir códigos CSS, utilizando para isso, dois códigos lineares binários clássicos, não necessariamente auto-ortogonais. Salientamos que esta abordagem foi apresentada em [Postol 2001], onde foram construídos

2 códigos CSS a partir de códigos clássicos LDPC. Neste trabalho, as construções dos CSS são obtidas a partir de códigos BCH, Reed-Solomon e Resíduos Quadráticos clássicos. As construções propostas são inéditas na literatura, assim como o código CSS que corrige erros arbitrários em 18 q-bits, gerado a partir de RS clássicos. O artigo está organizado da seguinte forma: na Seção 2, faremos uma revisão de algumas definições e resultados referentes aos códigos BCH, RS e RQ. Na Seção 3, apresentamos construções de códigos corretores de erros quânticos CSS: nas Seções 3.1 e 3.2, tais códigos foram construídos a partir de códigos BCH clássicos, enquanto nas Seções 3.3, 3.4 e 3.5, utilizamos códigos RS clássicos e, na Seção 3.6, consideramos códigos clássicos do tipo RQ. Na Seção 4, apresentamos uma comparação, em relação às taxas, entre os códigos construídos e os códigos apresentados na literatura e, na Seção 5, as considerações finais do trabalho. 2. Revisão dos códigos cíclicos BCH, Reed-Solomon e Resíduos Quadráticos Esta Seção tem por objetivo apresentar uma breve revisão dos conceitos sobre códigos cíclicos, necessários para o desenvolvimento deste artigo. Para maiores detalhamentos sobre esses conceito, sugerimos ao leitor a referência [Lin and Costello Jr. 1983]. Os resultados que seguem são encontrados em [MacWilliams and Sloane 1977]. Seja F q [x] o anel de polinômios com coeficientes em F q = GF (q), onde q é um número primo ou potência de primo. Considere o anel quociente R n = F q [x]/(x n 1), consistindo das classes de resíduos de F q [x] módulo (x n 1). Cada polinômio de grau menor ou igual a (n 1) pertence a classes residuais diferentes, donde são considerados representantes das respectivas classes. Definição 2.1 O polinômio minimal de β sobre F p é o polinômio mônico, M(x), de menor grau com coeficientes em F p, tal que M(β) = 0. De acordo com esta definição, temos que o polinômio minimal é sempre irredutível. Definição 2.2 A operação de multiplicação por p divide os inteiros mod (p m 1) em conjuntos denominados classes laterais ciclotômicas mod (p m 1). A classe lateral ciclotômica contendo um elemento s consiste de {s, ps, p 2 s, p 3 s,, p ms 1 s}, onde m s é o menor inteiro positivo tal que p ms s s mod (p m 1). Se s é o menor número na classe lateral, então a classe lateral será denotada por C s. Definição 2.3 Um ideal C R n é um subespaço linear de R n, tal que onde r(x) R n. c(x) C = r(x)c(x) C. Definição 2.4 Um código cíclico de comprimento n é um ideal de R n. Em outras palavras, um código C é cíclico se o mesmo é linear e se qualquer deslocamento cíclico de uma palavra-código é também uma palavra-código. Isto é, (c 0, c 1,, c n 1 ) C = (c n 1, c 0,, c n 2 ) C. Geralmente, o que se faz é identificar cada palavra-código (c 0, c 1,, c n 1 ) F n q com o polinômio cujos coeficientes são c i F q, a saber, c(x) = c 0 + c 1 x + + c n 1 x n 1.

3 Uma vez apresentadas tais definições, seguem três resultados importantes para o desenvolvimento do trabalho. Teorema 2.1 Seja C um ideal não nulo em R n, ou seja, um código cíclico de comprimento n. Neste contexto, segue que 1. Existe um único polinômio mônico g(x) com grau minimal em C. 2. C = g(x), isto é, g(x) é um polinômio gerador de C. 3. g(x) é um fator de x n Qualquer c(x) C pode ser escrito unicamente como c(x) = f(x)g(x) em F q [x], onde f(x) F q [x] tem grau menor que n r, r = g(x). A dimensão de C é n r. Assim, a mensagem f(x) se torna a palavra-código f(x)g(x). 5. Se g(x) = g 0 + g 1 x + g 2 x g r x r, então C é gerado (como subespaço de Fq n ) pelas linhas da matriz geradora T = g 0 g 1 g 2 g r g 0 g 1 g 2 g r g 0 g 1 g 2 g r g 0 g 1 g 2 g r = g(x) xg(x). x n r 1 g(x). Teorema 2.2 O código dual C é cíclico e tem polinômio gerador g(x) = x h(x) h(x 1 ). Pelo Teorema 2.2, podemos concluir que o código com polinômio gerador h(x) é equivalente a C. A seguir, o Teorema 2.3 estabelece as condições para se calcular um limitante inferior para a distância mínima do código: Teorema 2.3 Seja C um código cíclico com polinômio gerador g(x) tal que, para algum inteiro b, b 0, δ 1 e α F q, g(α b ) = g(α b+1 ) = = g(α b+δ 2 ) = 0. Isto é, o código tem uma seqüência de (δ 1) potências de α como zeros. Então, a distância mínima de C é no mínimo δ. Sendo o BCH um código cíclico, pelo Teorema 2.3, temos que a distância mínima de um código BCH é maior ou igual a distância de projeto δ. Definição 2.5 Um código cíclico de comprimento n sobre F q é um código BCH com distância de projeto δ se, para algum inteiro b, b 0, g(x) = mmc{m (b) (x), M (b+1) (x),, M (b+δ 2) (x)}. Isto é, g(x) é o polinômio mônico de menor grau sobre F q tendo α b, α b+1,, α b+δ 2 como zeros. Os casos importantes são: códigos BCH no estrito senso, quando b = 1 e códigos BCH primitivos, quando n = q m 1. Enunciaremos a seguir dois teoremas a partir dos quais é possível inferir acerca de limitantes para a distância mínima do código dual C.

4 Teorema 2.4 Seja C um código BCH binário com n = 2 m 1 e distância de projeto δ = 2t + 1. Então, a distância mínima de C é, no mínimo, 2 m 1 (t 1)2 m/2. Teorema 2.5 O código BCH binário de comprimento n = 2 m 1 e distância de projeto δ = 2t + 1 tem distância mínima 2t + 1 se t+1 ( ) 2 m + 1 > 2 mt, i ou se m > log 2 (t + 1)! + 1 tlog 2 (t/e), quando t. i=0 Seguem algumas definições e resultados acerca dos códigos clássicos do tipo Reed-Solomon. Definição 2.6 Um código Reed-Solomon (ou RS) sobre F q é um código BCH de comprimento n = q 1. Assim, o comprimento da palavra-código é o número de elementos não nulos do corpo considerado. Como x q 1 1 = β F q (x β), onde F q denota o conjunto das unidades do corpo F q, então o polinômio minimal de α i é simplesmente M (i) = x α i. Assim, um código RS de comprimento q 1 e distância de projeto δ tem polinômio gerador g(x) = (x α b )(x α b+1 ) (x α b+δ 2 ). A dimensão de um código RS é K = N g(x) = N δ + 1 e a distância mínima coincide com a distância de projeto, ou seja, D = N K + 1. Note que o dual de um código RS também é um código RS. Introduzimos agora a classe de códigos clássicos conhecidos como Resíduos Quadráticos. A primeira consideração a ser feita é: Definição 2.7 Se a congruência x 2 n mod p possui solução, então n é chamado resíduo quadrático módulo p. Os códigos do tipo resíduos quadráticos (RQ) têm comprimento p primo e são construídos sobre F l, onde l é um outro número primo, também resíduo quadrático mod p. Neste trabalho, consideramos l = 2, o que, de acordo com [MacWilliams and Sloane 1977], implica que p é da forma p = 8k + 1 ou da forma p = 8k 1. Seja Q o conjunto de resíduos quadráticos mod p e N o conjunto de não resíduos e R o anel F 2 [x]/(x p 1). Decorre então a definição seguinte: Definição 2.8 Os códigos do tipo resíduos quadráticos (RQ) Q, Q, N e N são códigos cíclicos de R, com polinômios geradores q(x), (x 1)q(x), n(x), (x 1)n(x), respectivamente, onde q(x) = r Q (x α r ), n(x) = nɛn(x α n ) e α é a p-ésima raiz da unidade em algum corpo contendo F 2. Salientamos que q(x) e n(x) têm coeficientes em F 2 e Q Q e N N. Além disso, Q e N são códigos equivalentes e têm dimensão 1(p + 1); 2 Q e N também são códigos equivalentes e possuem dimensão 1 (p 1) [MacWilliams and Sloane 1977]. 2 Enunciaremos em seguida dois teoremas que serão fundamentais para a construção de códigos CSS a partir de códigos clássicos do tipo RQ.

5 Teorema 2.6 Se d é a distância mínima do código RQ Q ou N, então d 2 p. Além disso, se p = 4k 1, então essa expressão pode ser refinada por d 2 d + 1 p. Teorema 2.7 Se p = 4k 1, então Q = Q e N = N. Se p = 4k + 1, então Q = N e N = Q. Até este ponto, apresentamos todos os conceitos que serão utilizados na construção dos códigos quânticos deste trabalho. Não nos preocuparemos em enunciar nenhum material sobre decodificação dos códigos clássicos, pois não serão utilizados neste trabalho. Procedimentos de decodificação de códigos clássicos são encontrados em [MacWilliams and Sloane 1977]. A seguir definimos o código quântico CSS, que é uma classe de códigos corretores de erros quânticos que utiliza dois códigos lineares clássicos para a correção dos erros. Um dos códigos servirá para a correção de erros do tipo bit flip, e o outro, para a correção de erros do tipo phase flip. Pelo teorema da discretização dos erros [Nielsen and Chuang 2000], é suficiente que o código resultante corrija esses dois tipos de erros, pois, se isso ocorre, o código será capaz de corrigir qualquer combinação linear desses, e assim, todo tipo de erro quântico pode ser corrigido. 3. Construção de códigos corretores de erros quânticos Definição 3.1[Nielsen and Chuang 2000] O código quântico CSS é construído da seguinte maneira: sejam C 1, C 2 códigos clássicos lineares binários [n, k 1 ], [n, k 2 ], tais que C 2 C 1 e C 1 e C 2 ambos corrigem t erros. Define-se, um código quântico, denonimado código CSS de C 1 e C 2, denotado CSS(C 1, C 2 ) com parâmetros [[n, k 1 k 2 ]], capaz de corrigir erros arbitrários em t q-bits, por meio da seguinte construção: Define-se o estado quântico x + C 2 por: x + C 2 1 C2 y C 2 x + y, com + indicando adição binária módulo 2. Seja x um elemento de C 1 tal que x x C 2. Verifica-se que x+c 2 = x +C 2, donde o estado x+c 2 depende somente do espaçoquociente C 1 /C 2 no qual se encontra x. Além disso, se x e x pertencem a diferentes espaços-quociente de C 2, os estados x+c 2 e x +C 2 são ortogonais. Assim, o código CSS(C 1, C 2 ) é definido como sendo o espaço vetorial gerado pelos estados x+c 2, x C 1. Para a decodificação exploram-se as propriedades clássicas de correção de erro de C 1 e C 2, ou seja, C 1 servirá para corrigir t erros do tipo bit-flip e C 2 corrigirá t erros do tipo phase-flip. A decodificação ocorrerá utilizando-se reversivelmente as matrizes de paridade dos códigos C 1 e C 2. Tendo como base os resultados da Seção 2 e a Definição 3.1, apresentaremos nas próximas subseções um procedimento a partir do qual é possível gerar códigos quânticos CSS, utilizando códigos clássicos BCH, Reed-Solomon (RS) e Resíduos Quadráticos (RQ) Construção de códigos corretores de erros em 2 q-bits, a partir de códigos BCH Nesta subseção, construiremos um código CSS(C 1, C 2 ) com parâmetros [[n, k 1 k 2, 5]], que corrige erros arbitrários em 2 q-bits, onde C 1 [n, k 1 ] e C 2 [n, k 2 ] são códigos clássicos BCH.

6 Considere o código C 1 como sendo o código BCH binário, primitivo e estrito senso em F 2 5, de comprimento 31, gerado por g(x): onde C 1 = g(x) = M (1) M (3), M (1) = x 5 + x (1) M (3) = x 5 + x 4 + x 3 + x (2) M (1) é um polinômio primitivo com raiz α, donde podemos descrever todos os elementos de F 2 5 como potências de α. Pela Figura 7.3, da Seção 6 do Cap.7 de [MacWilliams and Sloane 1977], temos para o código C 1 : dim C 1 = n g(x) = 21, distância de projeto δ = 5 e distância mínima d = 5, donde decorre que C 1 corrige dois erros clássicos. Portanto, C 1 tem parâmetros [31, 21, 5]. Considere agora C 2 = f(x) = M (1) M (3) M (7), com M (1) e M (3) dados em (1) e (2) e M (7) = x 5 + x 3 + x 2 + x + 1. Assim, C 2 C 1. Como C 2 é cíclico, C 2 é equivalente ao código gerado por h(x) = M (5) M (11) M (15) M (1). Verificando as classes laterais ciclotômicas, decorre que g (α 20 ) = g (α 21 ) = g (α 22 ) = g (α 23 ) = 0. Concluímos, pelo Teorema 2.3, que a distância mínima de C 2 é maior ou igual a 5, pois a distância de projeto é igual a 5, donde C 2 corrige pelo menos dois erros clássicos. Aplicando, agora, o Teorema 2.5 em C 2, com t = 2, δ = 5 e m = 5, temos que 3 ( ) 31 = > = i i=0 Assim, C 2 possui distância mínima exatamente igual a 5 e tem parâmetros [31, 16, 5]. Decorrente desses fatos, o código CSS(C 1, C 2 ) possui parâmetros [[31, 5, 5]], corrige erros arbitrários em 2 q-bits e tem taxa 5/31. Outra construção possível é considerar em F 2 5 os códigos BCH de comprimento 31, cujos polinômios geradores são dados por C 1 = g(x) = M (1) M (3) e C 2 = f(x) = M (1) M (3) M (5), onde M (5) = x 5 + x 4 + x 2 + x + 1. O código dual C 2 é equivalente ao código gerado por h(x) = M (7) M (11) M (15) M (1). Verificando as classes laterais ciclotômicas, temos que: g (α 25 ) = g (α 26 ) = g (α 27 ) = g (α 28 ) = g (α 29 ) = g (α 30 ) = 0. Concluímos, pelo Teorema 2.3, que a distância mínima de C 2 é maior ou igual a 7, pois a distância de projeto é igual a 7, donde C 2 corrige pelo menos três erros clássicos e tem parâmetros [31, 16, 7]. Então, o código CSS(C 1, C 2 ) possui parâmetros [[31, 5, 5]], também corrige erros arbitrários em 2 q-bits e tem taxa 5/31.

7 3.2. Construção de códigos corretores de erros em 3 q-bits, a partir de códigos BCH Construiremos agora, um código CSS(C 1, C 2 ) com parâmetros [[n, k 1 k 2, 7]], que corrige erros arbitrários em 3 q-bits, onde C 1 e C 2 têm parâmetros [n, k 1 ] e [n, k 2 ], respectivamente. Começaremos enunciando um teorema que é útil para calcular os polinômios irredutíveis. Trabalharemos em F 2 6. Teorema [MacWilliams and Sloane 1977] A expressão x pm x assume o valor do produto de todos os polinômios mônicos, irredutíveis sobre F q, cujo grau divide m. Calculando os polinômios irredutíveis, temos x 26 + x = x(x + 1)(x 2 + x + 1)(x 3 + x + 1)(x 3 + x 2 + 1)(x 6 + x + 1) (x 6 + x 5 + 1)(x 6 + x 3 + 1)(x 6 + x 5 + x 4 + x + 1)(x 6 + x 5 + x 2 + x + 1) (x 6 + x 5 + x 4 + x 2 + 1)(x 6 + x 4 + x 2 + x + 1)(x 6 + x 4 + x 3 + x + 1) (x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1)(x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1), onde α é raiz do polinômio primitivo x 6 + x + 1 em F 2 6. Considere agora os códigos BCH binários, primitivos e estrito senso sobre F 2 6, de comprimento 63, gerados por: C 1 = g(x) = M (1) M (3) M (5) e C 2 = f(x) = M (1) M (3) M (5) M (7), onde M (1) = x 6 + x + 1, M (3) = x 6 + x 4 + x 2 + x + 1, M (5) = x 6 + x 5 + x 2 + x + 1 e M (7) = x 6 + x Sabemos que a distância mínima de C 1 é igual a 7, [MacWilliams and Sloane 1977], donde C 1 corrige três erros clássicos. Os parâmetros do código C 1 são [63, 45, 7]. Sabemos também que a distância mínima de C 2 é igual a 9. Assim, a distância de projeto de C 2 é menor ou igual a 9, donde o valor de t na expressão δ = 2t + 1 vale, no máximo 4. Aplicando esses valores no Teorema 2.4, temos d min C 2 2 m 1 (t 1)2 m/2 = = 8. Logo, C 2 tem parâmetros [63, 39, d 8] e corrige três erros clássicos, o que implica que CSS(C 1, C 2 ) tem parâmetros [[63, 6, 7]], corrige erros arbitrários em 3 q-bits e tem taxa 6/63. Construiremos, em seguida, códigos CSS a partir de Reed-Solomon (RS) clássicos. Os códigos do tipo RS serão construídos em corpos F 2 m, e, para a aplicação do CSS, precisamos garantir que os códigos binários β(c 1 ), β(c 2 ) e (β(c 2 )), gerados a partir da expansão binária, [Grassl et al. 1999], em F 2 m = F 2 F 2 F }{{} 2 de C 1 C 2 e C 2, respectivamente, satisfaçam as condições β(c 2 ) β(c 1 ) e tanto β(c 1 ), quanto (β(c 2 )) m vezes corrijam t erros. Utilizaremos, para a resolução dessa questão, a idéia do Teorema 1 [Grassl et al. 1999]. Esse teorema garante a existência de uma base binária (ou expansão binária) β = (b 1, b 2,, b m ) de F 2 m sobre F 2, e também a existência de uma base dual binária a β, a saber, β = (b 1, b 2,, b m ), onde β satisfaz tr(b i b j ) = δ ij,

8 para todo i, j {1,, m}. Ainda, pelo mesmo artigo, sabe-se que existe, para o caso binário, uma base auto-dual, ou seja, β = β. A partir desses fatos, geramos códigos binários β(c 1 ), β(c 2 ) e principalmente (β(c 2 )), onde β(c 2 ) β(c 1 ) e β(c 1 ), (β(c 2 )), ambos corrigem t erros. Após essas etapas, aplicamos a construção do CSS(β(C 1 ), β(c 2 )). O procedimento aqui adotado será utilizado nas Subseções 3.3, 3.4 e Construção de códigos corretores de erros em 2 q-bits, a partir de códigos RS Construiremos um código CSS[[n, k = k 1 k 2, 5]] que corrige erros arbitrários em t = 2 q-bits. Primeiramente, encontramos o menor natural m, com 4t + 1 < 2 m, para verificar em que corpo F 2 m os códigos C 1, C 2 e C 2 estarão inseridos. Calculando o m de F 2 m, temos = 9 < 2 4. Logo, C 1, C 2 e C 2 serão construídos em F 2 4 e terão comprimento 15. Seja α um elemento primitivo de F 2 4 e considere C 1 = g 1 (x) = (x 1)(x α)(x α 2 )(x α 3 ), C 2 = g 2 (x) = (x 1)(x α)(x α 2 ) (x α 10 ) e C 2 = g 2(x) = (x α 11 )(x α 12 )(x α 13 )(x α 14 ). Calculando os parâmetros de C 1 e C 2, temos n = 15, k 1 = 15 4 = 11, k 2 = 4 e k = 11 4 = 7. Assim, utilizando o procedimento citado, o código CSS(β(C 1 ), β(c 2 )) tem parâmetros [[60, 28, 5]], corrige erros arbitrários em 2 q-bits e tem taxa 4.7/4.15 = 28/ Construção de códigos corretores de erros em 3 q-bits, a partir de RS clássico Analogamente ao procedimento da Seção 3.3, temos 4t + 1 = 13 < 2 4. Logo, C 1, C 2 e C 2 serão construídos em F 2 4 e terão comprimento 15. Seja α um elemento primitivo de F 2 4 e considere C 1 = g 1 (x) = (x 1)(x α)(x α 2 )(x α 3 )(x α 4 )(x α 5 ), C 2 = g 2 (x) = (x 1)(x α)(x α 2 )(x α 3 ) (x α 8 ), C 2 = g 2(x) = (x α 9 )(x α 10 ) (x α 14 ). Calculando os parâmetros de C 1 e C 2, temos n = 15, k 1 = 15 6 = 9, k 2 = 6 e k = 9 6 = 3. Assim, o código CSS(β(C 1 ), β(c 2 )) tem parâmetros [[60, 12, 5]], corrige erros arbitrários em 3 q-bits e tem taxa 4.3/4.15 = 12/60.

9 3.5. Construção de códigos corretores de erros em 18 q-bits, a partir de códigos RS Construiremos um código CSS que corrige erros arbitrários em t = 18 q-bits. Calculando m de F 2 m para verificar em que corpo C 1, C 2 e C 2 estão inseridos, temos 4t + 1 = = 73 < 2 7. Assim, os códigos C 1 e C 2 serão construídos em F 2 7 e possuirão comprimento 127. Seja α um elemento primitivo obtido através da construção do corpo F 2 7 e considere Calculando C 2, temos C 1 = g 1 (x) = (x 1)(x α)(x α 2 ) (x α 35 ), (3) C 2 = g 2 (x) = (x 1)(x α)(x α 2 ) (x α 90 ). (4) g 2(x) = (x α 2m (2t+1) )(x α 2m 2t )(x α 2m (2t 1) ) (x α 2m 2 ) = (x α )(x α ) (x α 126 ). Calculando os parâmetros de C 1 e C 2 n = 127, k 1 = = 91, k 2 = = 36. e k = k 1 k 2 = 55. Portanto, o código CSS(β(C 1 ), β(c 2 )) possui parâmetros [[889, 385, d 37]], corrige erros arbitrários em 18 q-bits e tem taxa 7.55/7.127 = 385/889. As idéias das construções apresentadas nas seções anteriores foram baseadas em [La Guardia et al. 2007], onde os autores generalizam as construções de códigos quânticos CSS, que corrigem erros arbitrários em t q-bits, t 4. Tais construções são obtidas a partir dos códigos BCH e RS clássicos. A generalização para construção de códigos corretores de erros quânticos, a partir de códigos clássicos do tipo Resíduos Quadráticos, a partir de códigos CSS, não é possível. Isso porque, tanto o comprimento das palavrascódigo quanto o corpo F l, onde o código está inserido, dependem da distribuição de números primos, p e l, que é aleatória e, por isso, faz com que o processo investigativo seja analisado caso a caso. Todavia, apresentamos a seguir, um exemplo de tal construção Construção de códigos corretores de erros em 2 q-bits, a partir de códigos RQ Construiremos um código CSS, onde C 1 e C 2 serão códigos clássicos resíduos quadráticos mod p, com p = 31 e l = 2. Como a equação modular x 2 2 mod 31 tem uma solução para x = 8, escolhemos p = 31. Pelo Teorema 2.6, como p é da forma 4k 1, temos d 2 d+1 31 = d 6, e, pelo Teorema 2.7, sendo p = 4k 1, concluímos que Q = Q. Considerando C 1 = Q e C 2 = Q = Q, temos C 2 C 1 e C 2 = (Q ) Q = C 1. Segue que a distância mínima de C 1 é maior ou igual a 6 e a distância mínima de C 2 também é maior ou igual a 6, donde o código CSS(C 1, C 2 ) corrige erros arbitrários em até 2 q-bits. A dimensão de C 1 é 1 2 (31 + 1) = 16 e a dimensão de C 2 é 1 2 (31 1) = 15. Assim, o código CSS(C 1, C 2 ) corrige erros arbitrários em 2 q-bits e possui taxa 1/ Comparação dos códigos construídos em relação aos da literatura Nesta seção, estabelecemos uma comparação, em relação à taxa, entre os códigos construídos no presente artigo e os códigos apresentados na literatura. Considerando como referências os artigos [Grassl et al. 1999], [Grassl and Rötteler 2005], [Forney et al. 2006]

10 e [Grassl 2001], observamos que, a taxa do código CSS que corrige erros arbitrários em dois q-bits, construído, neste trabalho, a partir de códigos RS, é maior que as taxas dos códigos construídos em tais referências. Com relação aos códigos CSS construídos, neste trabalho, a partir de códigos BCH, não se obteve ganho de taxa em relação aos da literatura, e o CSS construído a partir de RQ possui taxa mais baixa que os encontrados nas referências acima citadas. Portanto, é importante salientar que, devido ao fato do código CSS obtido a partir de RS clássicos ter uma taxa relativamente alta, o processo de construção que utilizamos pode ser relevante na obtenção de novos códigos CSS corretores de erros quânticos. Além disso, também foi possível gerar um código CSS, inédito, a partir de RS, que corrige erros arbitrários em 18 q-bits. 5. Considerações finais Apresentamos, neste trabalho, construções de códigos CSS a partir de códigos clássicos BCH, Reed-Solomon (RS) e Resíduos Quadráticos (RQ). Dentre os códigos construídos, observamos que o CSS obtido a partir de RS, que corrige erros arbitrários em dois q-bits, apresenta taxa mais alta em relação às taxas dos códigos listados na literatura. Construímos, também, um código inédito CSS, a partir de RS, que corrige erros arbitrários em 18 q-bits. Existem procedimentos implícitos que geram as construções apresentadas. Tais construções foram generalizadas a partir desses procedimentos e resultam em códigos com capacidade de correção de erros quânticos arbitrários em t q-bits, para t 4. Essas generalizações abordam os casos de CSS obtidos a partir de BCH e Reed- Solomon clássicos [La Guardia et al. 2007]. Referências Forney, G. D., Grassl, M., and Guha, S. (2006). Convolutional and Tail-Biting Quantum Error-Correcting Codes. Grassl, M., Geiselmann, W., and Beth, T. (1999). AAECC-13 LNCS 1709, pp Quantum Reed-Solomon codes. Grassl, M. (2001). Lower Bounds and Encoding Circuits for Weakly Self-dual CSS Codes. Grassl, M. and Rötteler, M. (2005). Quantum Block and Convolutional Codes from Selforthogonal Product Codes. Proceedings International Symposium on Information Theory (ISIT 2005), pp La Guardia, G. G., Palazzo Jr, R., and Lavor, C. (2007). Generalização da construção de códigos CSS corretores de erros arbitrários em t q-bits (t 4), a partir de códigos BCH e Reed-Solomon, em preparação. Lin, S. and Costello Jr., D. J. (1983). Error Control Coding, Fundamentals and Applications. Prentice-Hall. MacWilliams, F. J. and Sloane, N. J. A. (1977). The Theory of Error-Correcting Codes. North-Holland Publishing Company. Nielsen, M. A. and Chuang, I. L. (2000). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press. Postol, M. S. (2001). A Proposed Quantum Low Density Parity Check Code.