PERCEPÇÕES DOS ALUNOS DO 1º ANO DA LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA NA BEIRA MOÇAMBIQUE DA PROVA E DEMONSTRAÇÃO EM GEOMETRIA PLANA

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1 PERCEPÇÕES DOS ALUNOS DO 1º ANO DA LICENCIATURA EM ENSINO DE MATEMÁTICA NA BEIRA MOÇAMBIQUE DA PROVA E DEMONSTRAÇÃO EM GEOMETRIA PLANA Jacinto Ordem, Saddo Ag Almouloud PUC/SP - Brasil jc.ordem@gmail.com, saddoag@gmail.com Resumo: Este trabalho é parte de uma pesquisa em andamento e pretende fazer um levantamento diagnóstico do desempenho dos alunos do curso de Licenciatura em Ensino de Matemática na Beira, Moçambique, e insere-se no quadro de um projeto de estudo para doutorado em educação matemática intitulado Prova e demonstração em Geometria básica: Concepções e confiança dos estudantes da Licenciatura em Ensino da Matemática. O objetivo da pesquisa foi investigar as capacidades dos estudantes em formação para o magistério de produzir uma demonstração envolvendo conceitos da geometria plana. Especificamente: (i) compreensão de uma organização dedutiva correta; e, (ii) levantamento de uma conjectura e sua validação por meio de uma demonstração. Os dois aspectos foco de nosso problema visavam responder à questão: (a) Que aspectos os estudantes do primeiro ano do curso de licenciatura em ensino de matemática na Beira, consideram relevantes no processo da organização e/ou produção de uma cadeia dedutiva duma propriedade geométrica? A coleta de dados aconteceu no âmbito das aulas da disciplina Geometria Plana do 1º ano e decorreu no segundo semestre dos anos 2010 e A interpretação dos dados baseou-se na teoria dos espaços de trabalho e paradigmas geométricos de Houdement e Kuzniak (2003) e na abordagem semiótica de Duval (2004). Os resultados mostram que esses alunos têm dificuldades em organizar uma estrutura dedutiva e usar argumentos matemáticos para validar propriedades geométricas. Eles manifestaram a contaminação do sabido pelo percebido, segundo Parzysz (2006) pois foi notório o uso de propriedades aparentemente visíveis em seus desenhos mas não dadas no enunciado, nem demonstradas antes. As repostas parecem revelar que eles não veem a demonstração como um discurso em que as definições e os teoremas são regras de substituição como defende Duval (2004), portanto eles situam-se na sua maioria deles em Geometria I, natural. Palavras-chave: Prova. Percepção. Paradigma. Livro 3 - p

2 2 1. Introdução O objetivo do presente artigo é apresentar os resultados preliminares de um levantamento diagnóstico do desempenho dos alunos do primeiro ano do curso de Licenciatura em Ensino de Matemática numa das instituições vocacionada para a formação de professores em Moçambique. O objeto de discussão está voltado à problemática de prova e demonstração em geometria elementar. Nos últimos 30 anos, há um grande esforço de investigação em educação matemática na área de justificação e prova. Essa investigação tem incidido sobre uma ampla gama de tópicos, desde a construção da prova, a natureza epistemológica da prova, até o desenvolvimento da prova em sala de aula de matemática, e recentemente pesquisa em educação matemática incide também sobre a leitura de prova matemática (WEBER & RAMOS, 2011, p. 329). Contudo, embora haja essa vivacidade na comunidade de educação matemática, alguns pesquisadores afirmam que dentro da comunidade não há um consenso sobre o que constitui prova, ou o que deveria ser objeto de pesquisa acerca de demonstrações (BALACHEFF 2008). O testemunho disso são os diversos enfoques nas pesquisas: uns enfatizam os tipos de raciocínios utilizados em argumentos matemáticos, outros a percepção dos alunos sobre a prova, outros examinam as funções que desempenha a prova na comunidade matemática e, ainda, o uso indiferenciado dos termos prova e demonstração. Para o presente trabalho os termos prova e demonstração devem ser tomados segundo Balacheff (1987) que os diferencia de seguinte modo: Chama-se prova uma explicação aceita por uma certa comunidade em um dado momento. Essa decissão pode ser objeto de um debate em que a significação é exigência para determinar um sistema de validação comum aos interlocutores. ( ) No seio da comunidade matemática, elas devem ser sequência de enunciados organizados segundo regras determinadas: um enunciado é considerado verdadeiro ou é deduzido dos que lhe precedem segundo um regra de dedução tomada num conjunto de regras bem definidas. Nós chamamos demonstração a essas provas (BALACHEFF 1987, p , tradução nossa). Livro 3 - p

3 3 Segundo Niss (1999), as noções de demonstração e processos de provar fazem parte dos itens mais cruciais, exigentes, complexos e polémicos em toda a educação matemática por envolverem aspectos científicos, filosóficos, psicológicos e educacionais profundos. Pelo seu carácter complexo e profundo, o autor afirma que levantam sérios problemas de aprendizagem dos alunos, caracterizados pelas diferenças entre as concepções que os alunos têm sobre prova e processo de provar com aquelas realizadas pelos matemáticos. Para esse autor, os alunos experimentam grandes problemas em entender o que é uma prova, e quais as suas finalidades e funções, pois eles têm problemas substanciais em provar declarações em si, excepto em situações altamente padronizadas (NISS 1999, p. 18, tradução nossa). Porém, há um consenso entre educadores matemáticos de que o desenvolvimento da consciência dos alunos sobre as regras de argumentação e demonstração na Matemática bem como a reavaliação do seu papel é um desafio da Educação Matemática (BOERO, 2011; HANNA & de VILLIER., 2009; NISS, 1999). É no contexto dessa problemática que o presente artigo se insere. 2. Quadro teórico e revisão da literatura Segundo Retamal (2009) as figuras desempenham um papel essencial no desenvolvimento de geometria. Por isso, no ensino dela, é necessário considerar diferentes níveis de exigência em relação à validação de conjecturas ou propriedades de uma figura. Com o tempo, se distinguem as provas não formais fundamentadas em propriedades das figuras (por visualização ou instrumentos de construção) e as provas formais que se baseiam em uma axiomática formal. As provas não formais e as formais exigem duas maneiras de raciocínio diferentes e para deixá-las em evidência, Houdement e Kuzniak (2003) propuseram um quadro teórico que classifica a geometria elementar em três paradigmas diferentes: Geometria Natural (Geometria I); Geometria natural axiomática (Geometria II) e Geometria axiomática formal (Geometria III), diferindo entre esses paradigmas na forma como as propriedades são validadas: - Geometria I (Geometria natural): fonte de validação: sensível (ações e manipulação de instrumentos régua graduada, compasso, transferidor ou outros materiais). Esta geometria Livro 3 - p

4 4 está intimamente relacionada com a realidade; o ato de agir e dedução é com objetos materiais. O movimento de idas e voltas entre o modelo e a realidade é permanente e pode provar afirmações. Segundo Retamal (2009) a medição é uma estratégia padrão, assim como a utilização de modelos, dobras entre outros. Enquadram-se neste paradigma as provas pragmáticas, segundo Balacheff (1987). - Geometria II (Geometria axiomática natural): leis hipotéticas de dedução são a fonte de validação; o conjunto de axiomas está próximo a intuição e pode ser incompleta; contudo, certeza é garantida por demonstrações. Seus objetos são ideais, mas eles são representações de objetos reais e concretos. Por exemplo, uma circunferência é o modelo de rodas. A validação das relações obtidas entre eles, é feita usando definições e teoremas, ou seja, se recorre a instrumentos que pertencem a um quadro teórico. Faz parte dessa geometria, a Geometria Euclidiana. - Geometria III (Geometria axiomática formal): nesta geometria, o cordão umbilical entre a realidade e o axiomático é cortado, isto é, trabalha-se com objetos ideais sem qualquer referência à realidade e seu sistema de validação é bastante formal. O tipo de raciocínio é similar ao da geometria II, mas o sistema de axiomas está completo e independente de suas aplicações possíveis para o mundo. Segundo Houdement e Kuzniak, o único critério de validade é a coerência (ou seja, ausência de contradições). Os aspectos mais marcantes nesses paradigmas são apresentados no quadro 1: Um aspecto bastante forte no modelo proposto por Houdement & Kuzniak (2003) é como se pode avaliar a ascensão a diferentes paradigmas geométricos: uma experiência de Geometria I (em que a dedução está ligada muitas vezes a manipulação de instrumentos), pode contribuir para dar sentido a axiomas em Geometria II, e dai levar a interpretações oferecidas em Geometria III onde critério de validade aceite é a coerência (ou seja, ausência de contradições). Concordamos com Dorier, e tal. (2003, p. 1) quando afirmam que esta descrição detalhada da geometria por Houdment & Kuzniak fornece um método para classificar o pensamento geométrico; pode ser útil para interpretar as tarefas eventualmente dadas a estudantes e futuros professores e pode ser usada para classificar as produções dos alunos, Livro 3 - p

5 5 oferecendo uma orientação para o professor de geometria. Mas também utilizamos este quadro teórico para este nosso trabalho porque concordamos com Alain, K. et tal. (2009) quando defendem que a Teoria proposta por Houdement e Kuzniak (2003) relativa a Paradigmas geométricas e espaço de trabalho geométrico é principalmente útil para a classificação dos tipos de argumentos utilizados e compreender as dificuldades dos alunos e os erros (abordagem epistemológica). Duval (2004) abordando as diferentes formas de funcionamento de uma figura em geometria, distingue quatro tipos de apreensão de uma figura: apreensão perceptiva; apreensão discursiva; apreensão sequencial; e, apreensão operatória. Apreensão perceptiva é a mais imediata permite reconhecer uma forma ou um objeto em uma situação geométrica de acordo com as leis de organização gestaltica; Apreensão discursiva é a mais simples a figura é vista de acordo com uma descrição verbal que determina explicitamente algumas de suas propriedades. Para esse autor, em geometria não há desenho sem legenda. Toda a introdução a uma figura geométrica necessariamente é discursiva. A respeito dessa pertinência na introdução de uma figura, Dorier, et al. (2009, p. 3) afirmam: Na verdade, nenhuma propriedade geométrica é, em sentido estrito, visível em um desenho (pode-se medir se duas linhas são paralelos, mas a incerteza sobre a precisão da medição é inevitável), tem que ser dada na hipótese ou codificada ou provada por deduções. Apreensão sequencial é mobilizada em atividades de construção: as etapas e ordem segundo a qual uma figura deve ser construída; situa-se nas propriedades da figura, bem como o tipo de instrumento e condições impostas. Apreensão operatória a mais complexa centra-se nas modificações possíveis de uma figura de partida e sua reorganização com vista a mostrar a ideia da solução de um problema proposto. 3. Método, sujeitos e problema da pesquisa Em Moçambique a formação de professores para o ensino secundário escola que envolve alunos dos 13 17/18 anos está a cargo de instituições de ensino superior, Livro 3 - p

6 6 enquanto a formação de professores para as classes até sétima classe alunos até 12 anos está a cargo de Institutos do Magistério primário (IMAP). O presente artigo reporta uma pesquisa levada a cabo com alunos do 1º Ano em formação para o magistério do ensino secundário e decorreu no âmbito das aulas da disciplina Geometria Euclidiana em 2010 e Geometria Euclidiana, é uma das disciplinas da grade das disciplinas previstas para o currículo do curso oferecido na UP para a Licenciatura em Ensino de Matemática e visa, segundo consta do programa dessa disciplina, que os futuros professores dominem suficientemente os conteúdos dos ciclos 1 e 2 do Ensino secundário (14 17/18 anos). O objetivo da pesquisa foi investigar as capacidades dos estudantes em formação para o magistério de produzir uma demonstração envolvendo conceitos da geometria plana. Especificamente, incluiu dois aspectos: (i) compreensão de uma organização dedutiva correta; e, (ii) levantamento de uma conjectura e sua validação por meio de uma demonstração. Os dois aspectos foco de nosso problema visavam responder à seguinte questão: Que aspectos os estudantes do primeiro ano do curso de licenciatura em ensino de matemática na Beira, consideram relevantes no processo da organização e/ou produção de uma cadeia dedutiva de uma propriedade geométrica? Ao levantarmos essa questão para o nosso problema, entendemos que ela é pertinente o proposito que se quer desenhar para o projeto de doutorado, pois segundo Dorier et al. (2003, p. 8) uma das questões críticas quanto à formação de professores de matemática dos níveis primário e secundário é decidir sobre a extensão do conhecimento matemático que os professores devem dominar e a qualidade do raciocínio matemático que elese devem ser capazes de mostrar. A coleta dos dados foi na base dos trabalhos de casa marcados no âmbito da disciplina supra-citada; notas em sala da aula e teste diagnóstico. Foram sujeitos da pesquisa estudantes do primeiro ano do curso de Licenciatura em ensino de matemática, e a pesquisa decorreu na Universidade Pedagógica, Delegação da Beira, em Moçambique. A amostra incluiu alunos que concluiram a 12ª classe e sem experiência de ensino; professores em exercício no ensino primário (1ª a 7ª classes) e sujeito vindos de outros segmentos sociais em formação para o magistério. As idades variaram entre os intervalos anos (a maioria) seguidos das faixas etárias 23 28; 29 34; e apenas um Livro 3 - p

7 7 com mais de 40 anos de idade. Os dados apresentados neste trabalho resultam da análise do material recolhido e não se usou nenhum tratamento estatístico especial. Os dados foram coletados em duas fases distintas: em 2010, com a participação de 23 alunos; e, em 2011 com 36 alunos. Nos dois anos, a coleta de dados decorreu no segundo semestre, entre os messes de setembro e outubro, pelo fato de ser esse o período em que se leciona essa disciplina. 4. Atividades e resultados Em 2010, os participantes individualmente ou em grupos de 3 a 4 pessoas foram convidados a realizar a seguinte atividade em ambiente de geometria dinâmica (Geogebra): (1) Construa um quadrilátero à sua escolha e marque os pontos médios dos seus lados. Una os pontos médios de seus lados consecutivos. Que quadrilátero obteve? Arraste os pontos do quadrilátero que construiu inicialmente. O que observa no quadrilátero obtido pela união dos pontos médios? - Formule uma conjectura sobre o que está a observar e demonstre-a. (2) Investigue o que se passa se o quadrilátero inicial for um quadrado, um losango, um paralelogramo, - Para cada um dos quadriláteros especiais, observe o mesmo procedimento do intem 1. Formule a respectiva conjectura e tente demonstrá-la. Em 2011 a atividade consistiu de um teste que pedia aos sujeitos que organizassem os passos de uma demonstração, segundo o quadro Resultados Neste artigo apresentamos os resultados da parte 1 de 2010 e da atividade de Dos 23 envolvidos em 2010, 10 realizaram a tarefa individualmente e os restantes em grupo. A análise das resoluções mostrou que os alunos chegaram à conjectura de que unindo os pontos médios de qualquer quadrilátero, obtem-se um paralelogramo. Contudo, a tentativa de validar a conjectura baseou-se apenas nas hipóteses dos pontos médios obtidos, com o paralelismo dos lados opostos do quadrilátero especial argumentado com base na evidência da figura por meio da expressão como mostra a figura, logo [.] é um paralelogramo. Isso observou-se em todas as resoluções. Livro 3 - p

8 8 Quanto aos 36 estudantes que participaram do teste de 2011, os resultados veem assim escalonados: 11 colocaram bem os passos da demonstração, e 25 não. Dos 25 que não conseguiram acertar os passos da dedução: - 14 não conseguiram reunir as três condições mínimas que satisfazem a congruentes dos dois triângulos dados, condição sem a qual não se consegue deduzir a conclusão da demonstração- objeto da atividade. Ilustra esse tipo de erro a figura nº 1 da resolução de um aluno: - 11 dipuseram primeiro as condições que garantem a congruência dos triângulos, mas antes de formalizarem isso, apresentaram a conclusão que deviam deduzir (tese) e depois, no último passo afirmaram que os dois triângulos eram congruentes. É exemplo desse procedimento a figura nº 2 de um dos estudantes. 5. Discussão dos resultados Neste trabalho apresentamos algumas constatações preliminares sobre algumas práticas dos estudantes em formação para o magistério que, a princípio, se supõe que deveriam situar-se em níveis que se espera que começariam a ver provas como parte essencial da matemática [escolar]. A interpretação dos resultados na base das teorias que fundamentaram o estudo, leva-nos a concluir que: (i) os alunos envolvidos no estudo enquadram-se na Geometria I (Geometria natural) na qual a fonte primária de validação das propriedades geométricas são açoes e manipulação de instrumentos. Constatamos que para validar a propriedade dos pontos médios de um quadrilátero foram incapazes de utilizar argumentos matematicamente válidos, senão a alegação de evidências no desenho. A respeito desse procedimento, Fetissov (1994, p.29) em um dos itens dedicados a uma boa demonstração, afirma que Para uma demostração bem estruturada não podemos nos basear senão em proposições já estabelecidas, sendo inadmissível qualquer alegação de evidência. Constatamos que o feedback que foram obtendo da tela do computador e a visão foram as únicas fontes utilizadas por eles para fundamentarem o paralelismo dos lados opostos do quadrilátero obtido. Porém, já mencionamos autores que defendem que a introdução de qualquer figura é necessariamente discursiva, que nenhuma propriedade geométrica é visível em um desenho, devendo ser dada na hipótese ou codificada ou provada por deduções. Constatamos que foram incapazes de utilizar algum mecanismo de Livro 3 - p

9 9 reconfiguração e, por conseguinte servirem-se da apreensão operatória para validar a conjectura que levantaram. Quanto à atividade levada a cabo em 2011 os resultados mostram que entre os que não acertaram a ordenação dos passos da dedução, os erros mais frequentes foram (i) ou apresentar nos passos iniciais conclusões que careciam inicialmente de outros passos; (ii) ou usar a tese (conclusão) como um dos dados a usar na argumentação. Em relação a este aspecto, Fetissov afirma que Com bastante frequência, ao se fazer uma demonstrasção, comete-se outro tipo de erro: a utilização de resultados ainda não provados. E, embora seja menos frequente recorre-se às vezes ao próprio teorema objeto da demonstração (FETISSOV, 1994, p. 43). Os 25 sujeitos que não cnoseguiram ordenar os passos convenientemente, mostraram que não entenderam que para estabelecer a conclusão necessariamente precisavam assegurar a congruência dos triângulos e, daí, deduzir a conclusão como decorrência de uma das propriedades da geometria plana que estabelece a relação entre elementos correspondentes em triângulos congruentes. Pode dizer-se que o problema dado situa-se em Geometria II (Geometria natural axiomática), mas também foram incapazes de ir além da Geometrai I (Geometria natural). Eles manifestaram a contaminação do sabido pelo percebido, segundo Parzysz (2006) pois foi notório o uso de propriedades aparentemente visíveis em seus desenhos mas não dadas no enunciado, nem demonstradas antes. As repostas parecem revelar que eles não veem a demonstração como um discurso em que as definições e os teoremas são regras de substituição como defende Duval (2004), portanto eles situam-se na sua maioria deles em Geometria I, natural. Parece que o que constatamos com os sujeitos da presente pesquisa não foge muito do que alguns autores constataram em seus estudos. Kuzniak et al. (2007) reportam pesquisas que mostram que alunos no final do ensino secundário e com um bom conhecimento em geometria euclidiana, resolvem alguns problemas geométricos por meio de estratégias visuais ou medição por compasso e régua. Para esses autores isso mostra que esses alunos pensam em outros contextos, isto é, que em geometria o problema depende do seu paradigma. Portanto,entendemos que um projeto de intervenção que visa levar esses alnos para paradigmas geométricos para além de I, pode justificar-se. Livro 3 - p

10 10 6. Referências bibliográficas Alain, K. et al. (2009). Introduction Geometrical Thinking. Proceedings of CERME 6, Lyon, France, 2009, p Disponível em: < Acesso em 28 de Junho de Balacheff, N. Processus de prevuve ET situations de validation. Educational Studies in Mathematics, vol, 18: p , BALACHEFF, N. The role of the researcher s epistemology in mathematics education: an essay on the case of proof. In ZDM Mathematics Education, n. 40, p , Boero, P. Argumentation and proof: discussing a successful classroom discussion. Disponível em < Acesso em 28 junho de Dorier, J.L; et al. Thematic working group 7. European Research in Mthematics Education III, Bellaria, Italy, Disponível em Acesso em Duval, R. Semiosis y Pensamento Humano. Registros semióticos y aprendizajes intelectuais. 2.edicion. Universidad Del Valle, Instituto de Educacion e pedagogia, Fetissov, A. I. A demonstração em geometria; Tradução Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, Coleção Matemática: Aprendendo e Ensinando. Hanna, G. e de Villier, M. ICMI Study 19: Proof and proving in Mathematics Education: Discussion. In: Lin, F.L. et al. (Editores). Proceedings of ICMI Study conference: Proving in Mathematics Education, vol. 1. Taiwan, Disponível em < Acesso em 23 de Fevereiro de Houdement, C.; Kuzniak, A. Elementary geometry split into different geometrical paradigms. CERME 3: Third Conference of the European Society for Research in Mathematics Education. Bellaria, Italy, Disponível em < Acesso em > Niss, M. Aspects of the Nature and the State of Research in Mathematics Education. In Educational Studies in Mathematics, n. 40, p. 1-24, Parzysz, B. La géométrie dans l enseignement secondaire et en formation de professeurs des écoles: de quoi s agit-il? In: Quaderni di Ricerca in Didattica, n17. G.R.I.M. (Department of Mathematics, University of Palermo, Italy), Livro 3 - p

11 11 Retamal, I. G. Actividades geométricas en la ensiñanza. Análisis desde El punto de vista cognitivo. In: UNIÓN: Revista Iberoamericana de Educación Matemática. Nº 19, Septiembre de 2009, p Weber, K.; Meja-Ramos, J. P. Why and how mathematicians read proofs: an exploratory study. Educational Studies in Mathematics, vol.76, Nº 3, p , Disponível em < Acesso em Quadros, figuras e anexos Figura 1: Uma ilustração de um tipo de erro cometido na organização dos passos Fonte: Próprio autor Figura 2: Ilustração de outro tipo de erro cometido Fonte: Próprio autor Figura 1: Quadro resumo de como os principais aspectos são tratados em cada paradigma Geometria (Geometria natural I Geometria II (Geometria axiomática natural Geometria III (Geometria axiomática formal) Livro 3 - p

12 12 Intuição Sensível, ligada à percepção, enriquecida pela experiência Experiência Relacionada com o espaço mensurável Dedução Perto do experimento real e ligado a experimentos Tipo de espaço Espaço intuitivo e Estatuto do desenho físico Objeto de estudo e de validação Aspecto privilegiado Auto-evidência e construção Fonte: Houdement, C. & Kuzniak, A. (2003) Ligada às figuras Ligada a esquemas da realidade Demonstração com base em axiomas Espaço físico e geométrico Suporte de raciocínio e conceito figural Propriedades demonstração e Interna à matemática Lógico Demonstração com base em um sistema completo de axiomas Espaço euclidiano abstrato Esquema de um objeto teórico, ferramenta heurística Demonstração e ligações entre os objetos. Estrutura Anexo 1: Atividade proposta aos alunos em Um aluno fez uma demonstração como trabalho de casa, mas enganou-se ao passá-lo para o caderno e baralhou tudo. Figura 2: Quadro dos dados. Hipótese: M é ponto médio de AB e de CD. Tese: ang(cam) ang(dbm Demonstração: AMC BMD porque ângulos verticalmente opostos são congruentes CAM DBM porque em triângulos congruentes a lados congruentes opoem-se ângulos congruentes porque M é ponto médio de AMC BMD porque têm, de um para outro, dois lados e o ângulo por eles formado congruentes. porque M é ponto médio de. Reescreva todos os passos por ordem correta. Fonte: Próprio autor adaptado de: Lopes, A. V. et al. Actividades matemáticas na sala de aula. 2.edição. Texto Editora, Lisboa, 1992). Livro 3 - p