Rejane Waiandt Schuwartz Faria *

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1 Resenha Resenha Rejane Waiandt Schuwartz Faria * DIAS, M. S. S. Um Estudo da Demonstração no Contexto da Licenciatura em Matemática: uma articulação entre os tipos de prova e os níveis de raciocínio geométrico f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, Esta resenha apresenta a síntese de uma pesquisa cujos objetivos consistiram em Fazer com que os alunos evoluam na construção do raciocínio hipotético-dedutivo a partir da interação com atividades de construção geométrica e demonstração e Estudar a suficiência dos níveis de raciocínio geométrico elaborados para compreensão das produções dos alunos (p.73). Nas considerações iniciais, a autora revela que a demonstração em geometria esteve presente desde suas primeiras experiências como docente na Licenciatura em Matemática, há mais de duas décadas. Contudo, desde o início de sua carreira, a maior parte de seus alunos apresenta resistência ao estudo de demonstrações em geometria. Visando entender os motivos para tal resistência, em 2002, a autora realizou atividades com alunos ingressantes da Licenciatura em Matemática, uma na sala de aula e outra no Laboratório de Informática, que levaram-na a perceber que um software de Geometria Dinâmica (GD) possibilita a construção de soluções para um problema de geometria. Esta pesquisa motivou a autora a investigar em sua tese se o software de GD também influencia no desenvolvimento da argumentação e elaboração de demonstrações por licenciandos em Matemática. No primeiro capítulo, Dias apresenta os referenciais teóricos que embasam a análise dos dados e a construção de deduções a respeito do desenvolvimento do raciocínio geométrico. Seu referencial teórico consiste na classificação das geometrias segundo Parzysz (2001, 2006) e os processos de validação e tipos de prova de Balacheff (1987). Parzysz constitui um quadro teórico para o estudo do raciocínio geométrico dos sujeitos, visando à articulação entre percepção e dedução, considerando dois tipos de geometrias, as não-axiomáticas e as axiomáticas. Balacheff destaca a importância de produzir provas nos processos de validação. Tais provas são por ele classificadas em pragmáticas, quando determinada conjectura é experimentada, e intelectuais, quando o discurso é teórico. Entre as provas pragmáticas e intelectuais são estabelecidas as provas dos tipos empirismo ingênuo, experiência crucial, exemplo genérico e experiência mental. * Licenciada em Matemática pelo Instituto Federal Fluminense campus Campos - Centro (ano de conclusão: 2009). Mestranda em Educação Matemática - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho - UNESP Rio Claro VÉRTICES, Campos dos Goytacazes/RJ, v. 13, n. 2, p , maio/ago

2 Rejane Waiandt Schuwartz Faria Por meio desses referenciais, Dias busca possíveis articulações entre eles e revela que Parzysz e Balacheff baseiam suas classificações nos tipos de objeto e de validação utilizadas, de modo que os elementos que caracterizam as provas pragmáticas parecem ser dos mesmos níveis das geometrias não-axiomáticas referentes à realidade e validação por observação e percepção enquanto que as geometrias axiomáticas e as provas intelectuais estão carregadas de abstrações e teoria. No segundo capítulo, a autora faz considerações sobre o papel das demonstrações, relata pesquisas brasileiras no ensino e aprendizagem de demonstrações, relaciona as tecnologias informáticas e a aprendizagem de geometria, aborda a importância de trabalhar as tecnologias e as demonstrações em geometria. Além disso, apresenta uma breve discussão dos resultados de pesquisas do Brasil e do exterior sobre o desenvolvimento do processo de argumentação e demonstração com o uso da tecnologia, e a demonstração na formação do professor de Matemática da Educação Básica. No capítulo três, é narrada a problemática da pesquisa, a metodologia para a elaboração dos instrumentos de pesquisa, da fase experimental e da coleta e análise dos dados. A autora afirma que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN s) orientam ao trabalho com demonstrações, dando importância ao exercício de indução e de dedução, visando ao desenvolvimento de ações matemáticas por alunos da Educação Básica. Numa reflexão sobre essas orientações e as ideias de alguns autores, Dias apresenta a seguinte questão: Os cursos de Licenciatura em Matemática estão preparando os futuros professores para trabalhar as demonstrações nos termos expressos nos PCN s? (p.73). Diante disso, a autora afirma que existe a necessidade de pesquisas que preparem o professor de Matemática em formação para realizar tarefas investigativas com seus futuros alunos. Perante esse questionamento, as questões norteadoras são apontadas: que articulações podemos inferir entre os níveis de raciocínio geométrico propostos por Parzysz (2001, 2006) e os tipos de prova propostos por Balacheff (1987), quando os alunos mobilizam seus conhecimentos para resolver problemas relativos à demonstração em Geometria? e Qual é a influência da utilização de softwares de GD na construção de argumentos por alunos dos cursos de Licenciatura em Matemática?. Ao delinear as questões norteadoras e os objetivos da pesquisa, Dias elegeu sua pesquisa como qualitativa, caracterizada como estudo de caso, cuja unidade de estudo foi um conjunto formado por três duplas de alunos do sexto período de um curso de licenciatura em Matemática e o fenômeno foi a realização das atividades propostas no ambiente da sala de aula. A autora realizou um estudo diagnóstico, pois submeteu os objetos de estudo à influência de certas variáveis, em condições controladas, no caso, os ambientes lápis e papel e o software GeoGebra. Os procedimentos metodológicos utilizados para coleta de dados foram entrevistas semiestruturadas, observação participante, registros escritos e eletrônicos dos alunos e gravação em áudio dos diálogos entre os alunos. Ainda neste capítulo estão descritas 208 VÉRTICES, Campos dos Goytacazes/RJ, v. 13, n. 2, p , maio/ago. 2011

3 Resenha as duas atividades investigativas, bem como os ambientes, o tempo de resolução, as justificativas para que as questões fossem desenvolvidas em grupo e como se deu o processo de análise dos dados. No quarto capítulo é apresentada a fase experimental da pesquisa e uma análise teórica das atividades subdivididas em análise matemática, composta da descrição da resolução das questões, e análise didática, que analisa as possíveis estratégias e dificuldades dos alunos na resolução. Duas questões compõem a atividade investigativa. A primeira indaga se é sempre possível construir uma circunferência tangenciando três lados de um quadrilátero convexo (p.81) e solicita que as repostas sejam justificadas. No ambiente lápis e papel, as três duplas construíram desenhos na expectativa de que soluções emergissem, contudo, tais desenhos apenas aproximaram-se do ponto de vista teórico. Contabilizando os resultados obtidos e a quantidade de desenhos por duplas, Dias concluiu que não há relação entre o número de desenhos e a resposta certa da questão, o que permitiu à pesquisadora inferir que as construções geométricas, nesse ambiente, contribuem pouco para o desencadeamento do processo de abstração, necessário a uma demonstração. No ambiente de GD, a expectativa era de que o aluno utiliza-se estratégias de resolução do problema no caso da não resolução do problema com lápis e papel. Contudo, nesta questão apenas uma dupla utilizou o GeoGebra para confirmar conjecturas e outra conseguiu alcançar soluções particulares. A segunda questão pede que o aluno considere um quadrilátero ABCD, o ponto médio M de CD e o ponto P, interseção da diagonal AC com o segmento BM (p.82), e diante disso, estude a relação entre as áreas dos triângulos ABP e MCP nos casos em que ABCD é (p.82) um paralelogramo, um trapézio e um quadrilátero convexo qualquer. No ambiente lápis e papel a autora notou que as construções com régua e compasso orientaram a resolução, mas não foram determinantes para a definição das respostas; todos realizaram experiências mentais no processo de prova, mas os níveis de raciocínio indicaram apenas possibilidades de um nível intermediário entre a Geometria spatiographique (G1) e a Geometria proto-axiomática (G2), de modo que as justificativas apresentadas foram compatíveis com o tipo de prova experiência mental. No ambiente de GD GeoGebra, afirma Dias, não houve contribuição para um avanço, funcionando como um instrumento de confirmação dos resultados obtidos e que as justificativas apresentadas foram do tipo experiência mental incompletas, pois embora houvesse no texto referência a propriedades, argumentações eram omitidas. Além disso, os alunos não se apropriaram das ferramentas oferecidas no GeoGebra, o que pôde ser observado, por exemplo, com o fato de os alunos não utilizarem a ferramenta área para calcular a área das figuras. A autora procurou elementos que a orientassem na busca de implicações entre os níveis de raciocínio geométrico propostos por Parzysz (2001, 2006) e os tipos de prova identificados por Balacheff (1987). De posse desses elementos, inferiu algumas VÉRTICES, Campos dos Goytacazes/RJ, v. 13, n. 2, p , maio/ago

4 Rejane Waiandt Schuwartz Faria correlações de caráter hipotético (visto que investigou um número reduzido de sujeitos em ambos ambientes). Uma das inferências foi que as provas do tipo empirismo ingênuo e experiência crucial surgiram decorrentes do raciocínio geométrico no nível G1, e a experiência mental foi do tipo de prova derivada do raciocínio geométrico do nível G2. Sobre as provas do tipo exemplo genérico, afirmou que elas não estavam presentes nas justificativas apresentadas pelos alunos. Nas considerações finais, a pesquisadora relata que não identificou acontecimentos influenciáveis na construção da argumentação no ambiente de GD GeoGebra, identificou influência apenas na elaboração das conjecturas, e nesse sentido, os próprios alunos, destacaram que no software as figuras podem ser construídas com uma notável rapidez, que é possível visualizar várias figuras a partir de uma única construção inicial, que as medidas são obtidas com exatidão, e que este ambiente dinamiza as construções. Dias identificou que as melhores ideias e questionamentos surgiram no ambiente lápis e papel. No decorrer das questões, os alunos mostraram que a passagem do nível de raciocínio geométrico G1 para o nível G2 é revestido de grande complexidade, de modo que houve avanços e retrocessos. Um aluno, por exemplo, após ter validado teoricamente uma conjectura voltou a investigá-la no GeoGebra, assim como outro recorreu ao desenho no ambiente lápis e papel mesmo após estar no GeoGebra. Estes fatos levaram a autora a inferir a existência de um nível intermediário entre G1 e G2, pois os alunos estariam alternando suas experimentações. Assim, a instabilidade seria a principal marca neste nível proposto por Dias. A pesquisa é de extrema relevância no âmbito da Educação Matemática, pois a investigação traz contribuições à aprendizagem de professores de Matemática em formação, por meio da interação com atividades de construção geométrica e demonstração. Identificou-se, no desenvolver da tese, uma inconsistência entre os objetivos de pesquisa registrados no resumo e no terceiro capítulo, pois no resumo é afirmado que a pesquisa busca investigar a influência dos ambientes de GD na construção de argumentações, por alunos da licenciatura em matemática e estudar uma possível articulação entre os níveis de desenvolvimento geométrico existentes e os tipos de prova que ele produz, enquanto no terceiro capítulo é afirmado que os objetivos consistiram em Fazer com que os alunos evoluam na construção do raciocínio hipotético-dedutivo a partir da interação com atividades de construção geométrica e demonstração e Estudar a suficiência dos níveis de raciocínio geométrico elaborados para compreensão das produções dos alunos. Também no resumo é dito que os sujeitos de pesquisa não tinham familiarização com as ferramentas do software, contudo o sentido da palavra familiarização poderia ser melhor explicado, pois no capítulo três é afirmado que os alunos sabem utilizar os recursos do ambiente de GD indicando, inclusive, experiências desses alunos com o GeoGebra. 210 VÉRTICES, Campos dos Goytacazes/RJ, v. 13, n. 2, p , maio/ago. 2011

5 Resenha Concluindo a autora afirma que por meio da análise dos resultados obtidos, foi possível afirmar que o ambiente de GD influi pouco na construção da argumentação pelos alunos. Diante desse posicionamento, a questão recai sobre a influência do ambiente de GD na argumentação dos alunos se, na realização da atividade, primeiramente fosse proposta a experimentação no GeoGebra e depois no ambiente lápis e papel, invertendo então a ordem proposta pela autora. Por outro lado, este questionamento abre caminhos para vários outros, como por exemplo, quais seriam os resultados obtidos se fossem alterados os sujeitos pesquisados. Com a leitura da tese é perceptível um aprofundamento da autora em literaturas nacionais e internacionais que falam tanto sobre os ambientes de GD e de lápis e papel, quanto sobre a geometria e demonstrações. A amplitude das discussões sobre cada questão proposta deixa claro o empenho dos alunos na busca de resolver os problemas propostos, o que a meu ver, revela o quão interessante eram as atividades e suscita nos leitores o interesse em ver e até mesmo realizar outros trabalhos que investiguem: a aprendizagem matemática tanto no ambiente de GD, quanto no ambiente de lápis e papel; problemas investigativos que necessitem de demonstrações para justificar respostas; questões que trabalhem a visualização e outros aspectos em geometria. Com análises em ambientes distintos, num olhar qualitativo para os sujeitos investigados, a autora se posicionou no desenvolver da investigação de forma clara, concisa e objetiva, inferindo seus posicionamentos quanto aos enlaces teóricos dantes propostos. VÉRTICES, Campos dos Goytacazes/RJ, v. 13, n. 2, p , maio/ago

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