O uso de um software de geometria dinâmica como elemento facilitador no aprendizado de provas e demonstrações das identidades trigonométricas

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1 O uso de um software de geometria dinâmica como elemento facilitador no aprendizado de provas e demonstrações das identidades trigonométricas Mário Barbosa da Silva 1 GD3 Educação Matemática no Ensino Médio O ensino de provas e demonstrações parece negligenciado nas aulas de Matemática. Desejando contribuir com a melhoria do ensino de provas e demonstrações na Educação Básica, a nossa pesquisa tem por objetivo verificar e analisar se um software de geometria dinâmica auxiliará no aprendizado das demonstrações das identidades trigonométricas para alunos do segundo ano do Ensino Médio. Será elaborado e aplicado um conjunto de atividades, a fim de verificar se o software facilitará o aprendizado do aluno. A questão que norteará a nossa pesquisa é: O trabalho com o software GeoGebra pode facilitar o aprendizado de demonstrações das Identidades Trigonométricas? Os dados a serem coletados serão analisados à luz do quadro teórico dos Três Mundo da Matemática (Tall, 2013). Palavras-chave: Demonstração, Identidade Trigonométrica, Geogebra, Três Mundo da Matemática INTRODUÇÃO O presente estudo tem por objetivo verificar e analisar se um software de geometria dinâmica auxiliará na compreensão de demonstrações das identidades trigonométricas para alunos do Ensino Médio. Será elaborado um conjunto de atividades para verificar se o software facilitará ou não o aprendizado do aluno. A questão que norteará a nossa pesquisa é: O trabalho com o software GeoGebra pode facilitar o aprendizado de demonstrações da Identidades Trigonométricas? Em 1999, o Ministério da Educação e a Secretaria de Educação Média e Tecnológica, desenvolveram os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), com a finalidade de melhorar a qualidade do Ensino Médio das escolas públicas na sociedade brasileira, e também auxiliar o trabalho do professor que atua nessas séries. Pretende-se que esse documento possibilite ao professor refletir sobre a própria prática pedagógica e contribuir para o desenvolvimento do currículo da escola que venha a lecionar. Esse documento 1 Universidade Anhanguera de São Paulo, prof.mariodasilva@gmail.com, orientador: Profª. Drª. Rosana Nogueira de Lima.

2 enfatiza a importância de se trabalhar no Ensino Médio as demonstrações nas aulas de Matemática. Contudo, a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com as características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. (BRASIL, 1999, p. 252) Nesse sentido, utilizando a recomendação dos Parâmetros Curriculares Nacionais, pretendemos realizar a nossa pesquisa, visando proporcionar uma aprendizagem que ajude o aluno a desenvolver habilidades de argumentação e de demonstração para construir novos conceitos e também relacioná-los ao meio em que está inserido. Diante desses fatos, procuramos verificar uma bibliografia que narrasse a história do desenvolvimento da Matemática desde a Antiguidade até os tempos modernos para entender como surgiram as provas e demonstrações. Eves (2004) descreve como isso aconteceu desde das civilizações antigas (Babilônia, Egito) até os tempos moderno, com o desenvolvimento da Matemática Moderna e o Grupo Bourbaki no século XX. Segundo o autor, o início dessa prática de realizar demonstrações geométricas ocorreu na Grécia, por volta da segunda metade do século VI a.c. com Tales de Mileto. Esse trabalho contribuiu para o desenvolvimento de uma geometria demonstrativa, e atingiu o seu ápice com o trabalho de Euclides de Alexandria (por volta de 300 a.c.), denominado Os Elementos. Com o passar dos séculos, os conceitos geométricos e algébricos foram desenvolvidos e a sua aceitação pela comunidade científica de Matemática precisava ter uma justificativa utilizando uma escrita própria, ou seja, um desenvolvimento lógico e formal desses conceitos, que passou a ser conhecidos como provas e demonstrações. Movidos por essas inquietações, pretendemos realizar a nossa pesquisa, pois percebemos que o ensino de demonstrações na Educação Básica tem sido omitido, o que é também considerado por Pietropaolo (2005), que relata que poucas pesquisas foram realizadas nessa área, e o professor da Educação Básica não parece estar preparado para trabalhar com esses conceitos em sala de aula. Com intuito de que o nosso trabalho venha a ajudar o professor que for trabalhar com a demonstração das identidades trigonométricas utilizando o recurso das novas tecnologias e buscando aprimoramento da nossa prática pedagógica em demonstração com o auxílio das novas tecnologias no ensino de Matemática, pretendemos buscar respostas para a nossa questão de pesquisa. JUSTIFICATIVA

3 Em minha 2 prática pedagógica, ao abordar os conceitos em trigonometria, principalmente as relações fundamentais da trigonometria, percebo a falta de compreensão desses conceitos por parte do aluno, possivelmente devido a nunca terem aprendido a fazer algum tipo de demonstração nas séries iniciais, acarretando, assim, uma lacuna no seu aprendizado quando se necessita que o mesmo faça alguma conjectura no Ensino Médio. Os PCN recomendam que o aprendizado em Matemática no terceiro ciclo do Ensino Fundamental estimule o aluno a analisar diferentes processos de resolução de problemas e a reconhecer a necessidade de utilizar argumentos e justificativas pertinentes, e mencionam o processo de argumentação no Ensino Fundamental. Se por um lado a prática da argumentação tem como contexto natural o plano das discussões, na qual se podem defender pontos de vista, por outro ela também pode ser um caminho que conduz à demonstração. Assim, é desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode-se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns teoremas. (BRASIL, 1998, p ) Apesar da sugestão dos PCN de que provas deveriam se iniciar no terceiro ciclo do Ensino Fundamental, isso não parece acontecer, talvez devido à falta de preparo do professor que vai trabalhar com esses conceitos em suas aulas (Pietropaolo, 2005). Com o intuito de saber quais eram as pesquisa em Educação Matemática que utilizaram a demonstração na tentativa de resgatar essa prática nas aulas de Matemática, Pietropaolo (2005) aponta que, apesar de haver consenso entre os sujeitos de sua pesquisa, de que a prova é um conteúdo e um recurso pedagógico bastante rico nas aulas de Matemática, é bastante reduzido o número de pesquisas brasileiras relacionadas à demonstração, segundo o pesquisador, estamos diante de um universo inexplorado de pesquisas e práticas. Portanto, nossa pesquisa pretende explorar esse universo, pois acreditamos que a utilização de provas e demonstrações nas aulas de Matemática favorecerá o desenvolvimento do pensamento dedutivo do aluno. Gravina (2001) apresenta sua pesquisa mencionando como o ambiente de geometria dinâmica pode favorecer aos alunos do curso de Licenciatura em Matemática a elevar seus conhecimentos em geometria de empírico a hipotético dedutivo. Concordamos com Gravina (2001), e acreditamos que a utilização de um ambiente de geometria dinâmica 2 Neste trabalho, usaremos a primeira pessoa do singular quando nos referirmos à experiência pessoal do autor

4 poderá proporcionar uma visualização do objeto a ser manipulado, então o aluno poderá fazer conjecturas para demonstrar as Identidades Trigonométricas. Já Cassol (2012), em sua pesquisa, analisou as vantagens e as desvantagens da utilização de recursos tecnológicos no ensino e na aprendizagem de Trigonometria em dissertações e teses brasileiras realizadas nos últimos cinco anos em Educação Matemática. As pesquisas por ela analisadas apresentaram que uma boa opção é a utilização de um software de geometria dinâmica, que poderá auxiliar a compreensão de conceitos trigonométricos a serem ensinados. Portanto, acreditamos na importância da nossa pesquisa, devido à carência de pesquisas nessas áreas, pois abordaremos os temas demonstração, identidades trigonométricas e uso de tecnologia em sala de aula; percebemos que esses temas receberam uma forte recomendação da pesquisa de Pietropaolo (2005) indicando que as provas é um rico conteúdo a ser trabalhado nas aulas de Matemática; Gravina (2001) comprovou que o ambiente de geometria dinâmica pode ajudar o aluno a desenvolver as ideias sobre demonstração em geometria; e Cassol (2012) aponta que o uso de um ambiente de geometria dinâmica contribui para a compreensão dos conceitos trigonométricos. REVISÃO DE LITERATURA Buscamos, na literatura em Educação Matemática, trabalhos relacionados com o nosso tema de pesquisa. Nesse sentido, para compor a nossa revisão de literatura, analisamos trabalhos relacionados ao ensino de demonstração e ao uso da tecnologia no ensino de Matemática. Pietropaolo (2005) realizou uma pesquisa que teve por objetivo compreender as necessidades de implantar provas e demonstrações nos currículos de Matemática da Educação Básica. Investigou as implicações que esse tema traz ao currículo de formação inicial de professores. Trata-se de uma pesquisa bibliográfica e documental, inserida numa abordagem qualitativa. Foram realizadas entrevistas com dois grupos de professores, sendo o primeiro formado por pesquisadores em Educação Matemática e o segundo por professores da Educação Básica. Foi constatada pelo pesquisador a existência de várias pesquisas envolvendo provas na Educação Básica fora do Brasil, porém não existe um projeto envolvendo os diferentes níveis de ensino. Entre os sujeitos da pesquisa, houve um consenso de que a prova é um importante conteúdo e recurso pedagógico nas aulas de Matemática nos Ensinos Fundamental e

5 Médio, admitindo um sentido amplo. Não é indicada a reprodução por parte do aluno e nem do professor, visando um aprendizado que desperte a argumentação, experimentação, ou seja, o fazer Matemática durante as aulas. Porém, o professor precisaria ter uma formação adequada, para que essa prática possa ser desenvolvida em suas aulas. As perguntas que nortearam a pesquisa foram: É desejável e possível desenvolver um trabalho com demonstrações nas aulas de Matemática em escolas de Educação Básica? Em caso de afirmativo, qual deve ser o significado desse trabalho? Como professores da Educação Básica interpretam produções de provas de alunos do Ensino Fundamental e as avaliam? Que implicações o desenvolvimento desse trabalho demonstração em Educação Básica deveria trazer para o curso de formação de professores de Matemática? (PIETROPAOLO, 2005, p 37.) O Grupo I era formado por nove professores, sendo sete doutores em Educação Matemática e dois em Matemática. Os critérios adotados para a seleção desses professores foram estar desenvolvendo pesquisa em Educação Matemática e trabalhar na formação inicial de professores da Educação Básica. Já o Grupo II era formado por sete professores experientes da Educação Básica. Os critérios para selecioná-los envolveram: domínio do conteúdo, experiência de docência nos Ensinos Fundamental e Médio, tempo para participar da pesquisa, desenvolver algum trabalho envolvendo provas. Foi constatado entre pesquisadores e professores a importância de realizar trabalhos com provas nas aulas de Matemática da Educação Básica, pois os objetivos fundamentais do ensino da Matemática são proporcionar aos alunos uma compreensão do que é a Matemática, fazendo com que ele desenvolva o pensamento dedutivo. Os sujeitos de pesquisa são favoráveis que no curso de licenciatura haja uma disciplina que ensine o futuro professor de Matemática a demonstrar utilizando a linguagem formal e uma linguagem a ser aplicada na Educação Básica. Gravina (2001) descreve que a demonstração é uns dos principais eixos para o desenvolvimento matemático, ele é um aspecto que apresenta imensa dificuldade para o aluno quando começa a trabalhar com a geometria euclidiana. A dificuldade está relacionada com a transição do conhecimento empírico ao conhecimento organizado pela lógica, axioma e teoremas. O objetivo de pesquisa baseia-se na conjectura de que uma engenharia didática em um ambiente de geometria dinâmica favoreça a ascensão do aluno do empirismo ao conhecimento hipotético dedutivo. O referencial teórico utilizado foi a Teoria de Piaget e as teorias da didática da Matemática desenvolvida pela escola francesa.

6 Os sujeitos de pesquisa foram alunos cursando a disciplina de geometria plana do primeiro semestre do curso de licenciatura de uma universidade pública. De acordo com Gravina (2001), o uso de um software de geometria dinâmica pode desenvolver habilidades cognitivas, e escolheu o Cabri Geometry II, por ser o mais versátil para realizar a construção e a manipulação dos objetos geométricos e possibilita a interface em português. Ao trabalhar com esse software em sua pesquisa, a pesquisadora pretendia investigar as seguintes questões: 1ª Como os ambientes de geometria dinâmica podem contribuir para que os alunos entendam o significado de demonstração? 2ª Como os ambientes de geometria dinâmica podem contribuir para que os alunos construam suas próprias demonstrações? (GRAVINA, 2001, p.7) Para Gravina (2001), foi possível acompanhar o progresso do aluno em relação ao ambiente de geometria dinâmica e o processo de pensamento na construção do conhecimento, conforme recomenda a teoria piagetiana, a qual coloca sob a responsabilidade dos alunos as ações, formulações, validações, exigindo deles o funcionamento cognitivo. No início os alunos apresentaram hábitos adquiridos em sua trajetória escolar, conforme os alunos foram desenvolvendo esses hábitos no decorrer da pesquisa, mais abstrações reflexionantes tornaram-se subordinadoras das abstrações empíricas. Os alunos concentraram-se em encontrar razões que explicassem suas descobertas empíricas e produzissem com autonomia a demonstração. Gravina, detectou o progresso dos sujeitos que participaram de sua pesquisa, dizendo que: - passara a tratar o desenho como instância de representação de um objeto; - compreenderam o propósito e a necessidade da demonstração, entendendo que imposições de construção, a partir de um certo momento, necessariamente acarretam relações geométricas que não dependem mais de escolha e que revelam nos desenhos em movimento ; - mostraram atitudes que caracterizam o pensar matemático formular conjeturas, errar, realizar muitos experimentos de pensamento e então avançar no processo de demonstração; desenvolveram competências para o tratamento do desenho suporte à argumentação dedutiva; reinterpretações / reconstruções / extensões de desenho que, com crescente grau de exigência, foram bem trabalhadas na identificação das sub-configurações suporte às argumentações dedutivas.

7 Para Gravina (2001), nem sempre a produção final de demonstrações se apresentou satisfatória; mas tentativas e insucessos são aspectos que participam do processo de criação em matemática, o que também foi experimentado pelos alunos. No processo vivenciado pelos alunos, observou-se pela pesquisadora, uma crescente desenvoltura na produção de demonstrações, levando em conta o perfil apresentado pelos sujeitos que iniciaram a pesquisa, onde tinham acabo de entrar na Universidade sem as habilidades cognitivas indispensáveis ao processo de construção do conhecimento matemático. A pesquisadora retorna as perguntas que nortearam sua pesquisa enfatizando que: - a utilização do ambiente de geometria dinâmica favoreceu a ascensão de patamar de conhecimento geométrico; a partir do patamar de conhecimento ainda empírico, os alunos ascenderam àquele em que a geometria é entendida como um modelo teórico; - neste novo patamar, com os desenhos em movimento os alunos desenvolveram progressivamente habilidades para construir suas próprias demonstrações; a utilização do ambiente também favoreceu os pensamentos de natureza visual, fonte de insights para a construção de demonstrações. Gravina (2001) afirma que o uso da tecnologia informática no cotidiano da sala de aula é recente, portanto faz a recomendação que outras pesquisas sejam realizadas para definir como adequado o uso dos ambientes de geometria dinâmica. Cassol (2012), relata que a tecnologia está cada vez mais presente fazendo com que nos tornemos cada vez mais dependente dela. Nesse contexto, cresce sua utilização no ensino, especialmente o de Matemática, ou seja, cabe aos professores de Matemática buscar novas formas de ensinar e aprender que possibilitem a construção de práticas coerentes usando essas tecnologias. A pesquisadora percebeu em sua prática pedagógica, que o ensino de Trigonometria não é compreendido pelo aluno, geralmente quando o professor não faz uma ligação com a vida cotidiana. Para Cassol (2012), uma alternativa para superar as dificuldades enumeradas é o uso das tecnologias em sala de aula, fazendo com que a ordem de ensino se inverta, o aluno é levado a fazer a investigação até chegar a formalização dos conceitos. A pesquisadora cita Ponte (2000) e Borba e Penteado (2001) para enfatizar que o uso da tecnologia no

8 ensino de Matemática é significativo, pois vai valorizar a realização de projetos, atividades de modelação, exploração e investigação. A pesquisadora analisou as vantagens e desvantagens a utilização de novas tecnologias, ou seja, um software de geometria dinâmica traz para o ensino e aprendizagem de Trigonometria, em pesquisas de mestrado e doutorado realizados nos últimos cinco anos em Educação Matemática. As perguntas feitas pela pesquisadora foram: Que características apresentam as dissertações e teses encontradas? Para que objetivo as dissertações e teses se voltam? Eles são respondidos? Há alguma convergência no emprego de referenciais teóricos? Que tecnologia da informação e comunicação são empregadas? Há alguma privilegiada? As dissertações e teses se pautam em referenciais teóricos-metodológicos, ou apresentam procedimentos de pesquisa sem explicitarem referenciais teóricosmetodológicos? As dissertações e teses analisadas apresentam vantagens e/ou desvantagens no uso da tecnologia para o aprendiz no ensino e aprendizagem de Trigonometria? Quais as vantagens apresentadas? Quais as desvantagens apresentadas? A pesquisadora acredita que é necessário investir em estratégia de ensino, de modo que os alunos sejam capazes de organizar e administrar o seu aprendizado. A pesquisadora considera indispensável criar novos processos e métodos para o trabalho pedagógico, investindo nas TIC, utilizando-as especialmente como ferramenta a serviço da formação permanente e continuada das pessoas na busca do conhecimento. Cassol (2012) cita Moran e Mesetto (2007) dizendo que o ensino com tecnologias não resolve os problemas da educação, porém quando o professor faz uso das TIC passa a ter uma garantia adicional pertinente em suas aulas, o recurso possibilita e contribui para que o aluno torne-se mais crítico, reflexivo no mundo digital. Para Demo (2000), por si só, o uso das TIC já configura como algo que chama a atenção do educando. Cassol (2012) aponta outro aspecto importante e positivo no uso da tecnologia na sala de aula, percebe-se uma motivação maior tanto do professor como do aluno. O aluno conquista uma independência diante do seu professor, esse agora, tornou-se o seu mediador na aprendizagem. As atividades utilizadas nesse processo, precisa ser de caráter descoberta e investigativa, para que o aluno possa perceber que o computador proporciona momentos riquíssimos de estudo e lazer. A pesquisadora, acredita que hoje, o ensino de

9 Matemática deve aproveitar ao máximo os recursos tecnológicos, tanto pela sua receptividade social como para melhorar a linguagem expressiva e comunicativa dos alunos. As pesquisas selecionadas foram coletadas do banco de teses e dissertações da CAPES 2, e foram selecionadas as seguintes dissertações: DISSERTAÇÕES 1 FERNANDES, R. U. Estratégias pedagógicas com uso de tecnologias para o ensino de Trigonometria na circunferência p. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) PUC SP, São Paulo (SP) 2 LOPES, M. M. Construção e aplicação de uma sequência didática para o ensino de Trigonometria usando o software Geogebra p. Dissertação (Mestrado em Ension de Ciências Naturais e Matemática) UFRN, Natan (RN). 3 MOREIRA, M. W. L. A geometria dinâmica como ferramenta para o ensino de funções trigonométricas em um ambiente virtual de aprendizagem p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) UFC, Fortaleza (CE) 4 NETO, J. R. D. Registros de Representação Semiótica e o Geogebra: um ensaio para o ensino de funções trigonométricas p. Dissertação (Mestrado em Educação Científica e Tecnológica) UFSC, Florianópolis (SC). 5 OLIVEIRA, T. Trigonometria: a mudança da prática docente mediante novos conhecimentos p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências Exatas) UFSCAR, São Carlos (SP). 6 PEDROSO, L. W. Uma proposta de ensino da Trigonometria com uso do software Geogebra p. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Matemática) UFRGS, Porto Alegre (RS) 7 SOUZA, E. P. As funções seno e cosseno: diagnóstico de dificuldades de aprendizagem através de sequências didáticas com diferentes mídias p. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) PUC São Paulo (SP).

10 De posse do material, a pesquisadora realizou uma leitura integral de cada dissertação e fez a análise por meio de fichamento segundo o modelo de Fiorentini (2002), conforme a tabela a seguir. Sobrenome do autor (ano); Autor: Título: Instituição: Orientador (a): Resumo: Palavras-Chaves: Objetivo: Fundamentação Teórica: Metodologia: Tecnologia: Conclusão: Referências: Cassol (2012) faz uma síntese parcial por meio dos resultados obtidos pelos fichamentos realizados, isto caracterizou as comparações em busca de convergências, divergências entre os trabalhos analisados. Ela destaca que a maioria das dissertações selecionadas se volta para conceitos básicos da Trigonometria, especialmente aos conceitos seno, cosseno e suas representações no plano cartesiano. Foi observado nessa meta-análise, os principais objetivos das pesquisas analisadas sugerem, direta ou indiretamente, para professores utilizarem em seus planos de aula softwares de geometria dinâmica. A pesquisadora constatou que houve uma convergência entre as pesquisas analisadas em que o uso de um software ajudou a aprendizagem do aluno no conceito de Trigonometria. REFERENCIAL TEÓRICO

11 Pretendemos apresentar o quadro teórico desenvolvido por David Tall (2013), denominado Os Três Mundo da Matemática. Faremos uso desse quadro teórico para elaboração dos instrumentos de coleta de dados e também para analisar os dados coletados visando responder a questão da nossa pesquisa. Os Três Mundos da Matemática é o quadro teórico desenvolvido por David Tall (2013), caracterizado pelos mundos: Mundo Conceitual Corporificado, Mundo Operacional Simbólico e Mundo Formal Axiomático. Esse quadro teórico descreve a existência de três diferentes tipos de conceitos matemáticos, Objetos corporificados, tais como, os elementos da Geometria, gráficos e outros, podem, inicialmente, ser fisicamente manipulados e, posteriormente, concebidos como objetos mentais. Os proceitos simbólicos são conceitos matemáticos que necessitam de símbolos para serem representados, como números ou equações algébricas. Por fim, os conceitos axiomáticos são axiomas, definições, teoremas, usados para servir de base para o sistema axiomático com o qual desenvolvemos a Matemática formal. (LIMA, 2007, p. 70) Lima (2007) descreve cada um dos Três Mundo da Matemática, o Mundo Corporificado se refere a observações, ações e reflexões, ou seja, o indivíduo manipula um objeto (física ou mentalmente), fazendo suas reflexões. Por exemplo, figuras geométricas podem ser desenhadas ou construídas com ajuda de softwares em geometria dinâmica permitindo a sua visualização e manipulação. O Mundo Proceitual Simbólico, segundo Lima (2007), quando se lida com os símbolos que existem nesse mundo, é preciso que se realize cálculos com números ou manipule símbolo para mostra que algo é verdadeiro. Já o Mundo Formal Axiomático, é caracterizado pelo uso de linguagem formal, o uso de definições formais para conceitos, permitindo assim, fazer deduções e demonstrações. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Para atingirmos o objetivo de nossa pesquisa, elaboraremos um conjunto de atividades envolvendo a demonstração das Identidades Trigonométricas com o auxílio do software Geogebra. A escolha desse software foi devido a ser de livre domínio, tornando assim um instrumento de fácil acesso para alunos, professores e instituições de ensino. Pretendemos realizar alguns encontros que serão gravados, nos quais os alunos trabalharam estas atividades. Depois de realizarmos a coleta de dados, entrevistaremos alguns alunos, a fim de entender os procedimentos que eles utilizaram para responder as atividades propostas, apoiados no quadro teórico que adotamos. Pretendemos, durante esses encontros, ser apenas observadores, visando auxiliar o professor colaborador quando necessário.

12 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª ed. 2. reimp. Belo Horizonte: Autêntica, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino Médio. Matemática. Brasília: Ministério da Educação, CASSOL, V. J. Tecnologias no ensino e aprendizagem de Trigonometria: uma metaanálise de dissertações e teses brasileiras nos últimos cinco anos f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, EVES, H. Introdução à história da matemática / Howard Eves; tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da Unicamp, GRAVINA, M. A. Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotéticodedutivo f. Tese (Doutorado em Informática na Educação) Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, LIMA, R. N. de. Equações Algébricas no ensino médio: uma jornada por Diferentes Mundos da Matemática f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, PIETROPAOLO, R. C. (Re) significar a demonstração nos currículos da Educação Básica e da formação de professores de Matemática f. Tese (Doutorado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.