MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais

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1 MP-208: Filtragem Ótima com Aplicações Aeroespaciais Capítulo 1: Introdução Davi Antônio dos Santos Departamento de Mecatrônica Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos, Brasil Agosto de / 15

2 Sumário 1 Definições Preliminares 2 História 3 Aplicações Aeroespaciais 4 Exemplo 2 / 15

3 Definições Preliminares: O que é filtragem? Em processamento clássico de sinais: Filtragem consiste em separar sinal de ruído pelas suas frequências. s(t) + r(t) Filtro ~s(t) Exemplos: Filtros passa-baixa, passa-alta, passa-faixa e rejeita-faixa. 3 / 15

4 Definições Preliminares: O que é filtragem? Em processamento estatístico de sinais: Filtragem consiste em separar sinal de ruído pelas suas propriedades estatísticas. Nos dedicaremos a esse tipo de filtragem! s(t) + r(t) Filtro ~s(t) h(s(t), r(t)) Filtro ~s(t) Exemplos: Filtros de Wiener, Kolmogorov, Kalman, Bucy, etc. 4 / 15

5 Definições Preliminares: O que é filtragem? Três tipos de estimação de estados: predição, filtragem e suavização: tempo tempo tempo 5 / 15

6 Definições Preliminares: Por que ótima? Projeto ótimo de filtros: Em engenharia, há sempre interesse pela solução ótima. Buscaremos otimalidade nos sentidos: Mínimo erro quadrático médio. Máxima probabilidade a posteriori. Mínimos quadrados. Máxima verossimilhança. 6 / 15

7 História A Filtragem Ótima se construiu mais ou menos na seguinte sequência: 1795: Johann Carl Friedrich Gauss inventou o método de mínimos quadrados para estimar a órbita de Ceres s: Filtro de Wiener/Kolmogorov para separação entre sinal e ruído usando como critério o mínimo erro quadrático médio s: Tentativas de extensão dos filtros de Wiener/Kolmogorov para sistemas não estacionários e multivariáveis. 1960: Filtro de Kalman-Bucy como uma nova abordagem para tratar e estender os problemas de Wiener e Kolmogorov : Inúmeras aplicações em determinação de órbita de satélites, navegação de aeronaves, navios e lançadores de satélites, determinação de atitude, etc. 7 / 15

8 História : Filtragem não linear ótima desenvolvida a partir dos trabalhos de Stratonovich (Rússia) e consolidada a partir dos trabalhos de Kushner (EUA) : Filtros de partículas ou métodos de Monte Carlo sequenciais : Mais aproximações do filtro de Kalman para sistemas não lineares:unscented Kalman filter, cubature Kalman filter, ensemble Kalman filter, etc. 8 / 15

9 Aplicações Aeroespaciais Em relação à natureza dinâmica da grandeza que se deseja estimar, pode-se diferenciar dois tipos de estimação: Estimação de parâmetros: Os parâmetros são grandezas que caracterizam o sistema em questão. Seus valores são considerados constantes ou com pouca variação ao longo do tempo. Estimação de estados: Os estados são sinais (variantes no tempo) que descrevem a dinâmica do sistema. 9 / 15

10 Aplicações Aeroespaciais Determinação de atitude por imagens: A atitude 3D de um veículo aeroespacial pode ser determinada por filtragem ótima a partir de: (1) um modelo de cinemática de atitude em conjunto com medidas de girômetros; (2) um conjunto de medidas vetoriais. O 10 / 15

11 Aplicações Aeroespaciais Navegação por imagens: A navegação (estimação de posição, velocidade e atitude) de um veículo aeroespacial pode ser realizada por filtragem ótima a partir de: (1) modelos de cinemática de posição, velocidade e atitude em conjunto com medidas de girômetros e acelerômetros; (2) um conjunto de medidas de posições relativas de landmarks. r P/G z P y P P x P ψ v P/G z G y G G x G 11 / 15

12 Aplicações Aeroespaciais Rastreio de objeto em imagens: Um objeto pode ser rastreado por filtragem ótima a partir de um veículo aéreo dotado de sistema de navegação e uma câmera. Para tal, é necessário saber: (1) um modelo de cinemática do objeto; (2) uma medida vetorial do objeto relativamente ao veículo aéreo. r C/B r B/G r C/G G z G y G x G 12 / 15

13 Aplicações Aeroespaciais As aplicações de estimação de parâmetros que interessam a este curso são: Calibração de sensores de navegação/determinação de atitude. Identificação de parâmetros de modelos dinâmicos de veículos. 13 / 15

14 Exemplo: Estimação de altura e velocidade vertical: Seja um MAV para voo indoor, equipado com um sensor ultrassônico para medição de sua altura h k em cada instante discreto k. Considere que o sensor esteja livre de ruídos e denote sua medida no instante discreto arbitrário k > 0 pela variável y k. 1 Obtenha um modelo dinâmico em espaço de estados discreto no tempo para a planta em questão. 2 Projete um observador de Luenberger com autovalores em λ 1 = 0, 1 e λ 2 = 0, 1 para estimar a altura h k e a velocidade vertical ḣ k usando as medidas y k, k > 0. 3 Implementar o observador projetado em script MATLAB e testá-lo. 14 / 15

15 Referências Bar-Shalom, Y.; Li, X.R.; Kirubarajan, T. Estimation with Applications to Tracking and Navigation. New York: John Wiley & Sons, Markley, F. L.; Crassidis, J. L. Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control. Springer, Gelb, A. (Ed) Applied Optimal Estimation. Cambridge: MIT Press, Jazwinski, A. H. Stochastic Processes and Filtering Theory. New York: Dover, / 15