Insper Instituto de Ensino e Pesquisa Programa de Mestrado Profissional em Economia Daniel Gonçalves Eira da Silva

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1 Insper Instituto de Ensino e Pesquisa Programa de Mestrado Profissional em Economia Daniel Gonçalves Eira da Silva Diversificação otimizada ou Diversificação igualmente ponderada? São Paulo 2015

2 Daniel Gonçalves Eira da Silva Diversificação otimizada ou Diversificação igualmente ponderada? Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia do Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças Orientador: Prof. Dr. Michael Viriato Araujo Insper São Paulo 2015

3 Silva, Daniel Gonçalves Eira da Diversificação otimizada ou diversificação igualmente ponderada?/daniel Gonçalves Eira da Silva; orientador: Michael Viriato Araujo São Paulo: Insper, f. Dissertação (Mestrado Programa de Mestrado Profissional em Economia. Área de concentração: Finanças) Insper Instituto de Ensino e Pesquisa. 1. Portfólio 2. Finanças 3.Alocação de ativos

4 FOLHA DE APROVAÇÃO Daniel Gonçalves Eira da Silva Diversificação otimizada ou diversificação igualmente ponderada? Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia do Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Economia. Área de concentração: Finanças Aprovado em: Janeiro/2015 Banca Examinadora Prof. Dr. Michael Viriato Araujo Orientador Instituição: Insper Assinatura: Prof. Dr. Marco Lyrio Instituição: Insper Assinatura: Prof. Dr. Clemens Vinicius de Azevedo Nunes Instituição: FGV-ESSP Assinatura:

5 A minha família. DEDICATÓRIA

6 AGRADECIMENTOS Ao mestre e professor Michael Viriato, por acreditar no meu potencial e sua total disponibilidade ao longo do processo. vida. A minha família pela paciência, cuidado, carinho, suporte e amor ao longo da minha Aos meus amigos pela paciência e compreensão por todos os dias que estive ausente.

7 RESUMO SILVA, Daniel Gonçalves Eira da. Diversificação otimizada ou diversificação igualmente ponderada?, f. Dissertação (Mestrado) Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, São Paulo, O trabalho objetiva avaliar o desempenho de estratégias de otimização de Markowitz de um portfólio de ativos de risco em relação à diversificação igualmente ponderada (1/N) no mercado de ações brasileiro. Deste todo, analisaremos o desempenho fora da amostra ao longo de dez anos utilizando o Índice de Sharpe. Os resultados indicam que nenhuma das estratégias de Markowitz estudadas demonstram desempenho superior à diversificação igualmente ponderada em termos de Índice de Sharpe. Palavras-chave: otimização de carteiras; carteiras de variância mínima; alocação de ativos

8 ABSTRACT SILVA, Daniel Gonçalves Eira da. Optimized diversification VS equally weighted diversification, p. Dissertation (Mastership) Insper Instituto de Ensino e Pesquisa, São Paulo, The paper aims to evaluate the performance of portfolios optimization strategies in relation to naive 1/N portfolio in the Brazilian stock markets. In order to do that, we analyze the performance "out of sample over ten years using the Sharpe Ratio. The results indicate that no optimization strategy outperforms the equally weighted portfolio in terms of Sharpe ratio. Keywords: portfolio optimization; minimum variance portfolios; asset allocation

9 SUMÁRIO EXECUTIVO Nunca deposite todos os seus ovos em uma única cesta. Adaptado para o contexto de finanças, o antigo ditado popular poderia esclarecer a tarefa de investidores, preocupados em diversificar alocações de maneira a reduzir o risco global de carteiras compostas por ativos de alta volatilidade. Dessa forma, decisões, como por exemplo, a forma de alocação de recursos vem sendo abordada desde a antiguidade. A diversificação simples foi aprimorada a partir da década de 50, na qual o estudo de Markowitz (1952) foi o pioneiro em desenvolver uma teoria de alocação de investimentos sob condições de risco, propondo um método de alocação de ativos de risco que objetiva criar um portfólio com o risco minimizado para um determinado retorno que ficou conhecido como maximização de média-variância. Esse estudo desenvolveu a Moderna Teoria de Portfólio. Assim, surgiram muitas teorias derivadas do estudo de Markowitz; por exemplo: portfólios de mínima variância global, métodos de encolhimento da matriz de covariância e métodos bayesianos para dirimir o erro de estimação dos parâmetros. Entretanto apesar do desenvolvimento de novos métodos de alocação de ativos, existe certa resistência para a implementação de portfólios eficientes. Tal resistência pode ser relacionada a barreiras práticas e teóricas. Devemos nos ater que todos os modelos apresentam limitações que podem levar a erros de alocação e desempenho não esperado fora da amostra. Dessa maneira, muitos investidores e gestores de recursos optam por não utilizar estratégias de otimização de Markowitz, a fim de evitar os impactos negativos que erros de estimação (da volatilidade de retornos dos ativos) poderiam acarretar à alocação eficiente. Sabendo que o calculo dos erros de estimação da variância dos retornos dos ativos podem possuir erros, até que ponto existiria espaço para a utilização desses modelos de otimização? Portanto, ao investigar sobre o desempenho superior de estratégias de otimização de Markowitz, com relação a diversificação igualmente ponderada a luz dessas dificuldades, parece factível no contexto dos investidores. O estudo feito por DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009), no qual eles confrontaram a diversificação igualmente ponderada contra vários métodos de otimização para o mercado acionário norte americano, foram obtidos resultados surpreendentes. Tais resultados demonstravam a superioridade da diversificação igualmente ponderada ante as estratégias de otimização para portfólios. Porém, devemos nos ater ao fato de que o mercado norte americano possui características diferentes do mercado acionário brasileiro, logo é valido analisar o que já foi estudado no Brasil.

10 No caso do mercado acionário brasileiro, desde 2000 existem trabalhos que propõem a análise das estratégias de Markowitz analisando se alocação dos pesos selecionados durante a janela amostral, iria demonstrar retornos superiores fora da amostra. Observando trabalhos que confrontam a diversificação igualmente ponderada contra essas estratégias de otimização e outros que confrontam o desempenho de fundos de investimentos brasileiros. A maioria desses trabalhos utiliza um período máximo de cinco anos que pode ser considerado um tempo de médio prazo, porém gera dúvidas acerca de como se comportaria a diversificação igualmente ponderada em um prazo maior, passando por diversas crises mundiais que a economia brasileira passou. O presente estudo visa preencher essa lacuna utilizando um período de quatorze anos ao confrontar a diversificação igualmente ponderada (DIP) ante ao índice Ibovespa Ibov e duas estratégias de otimização: Média Variância sujeita a restrição de pesos (somatório igual a 100%) MV e Média Variância sujeita a restrição de pesos e de vendas a descoberto MV- R. Iremos realizar testes empíricos com dados de retornos mensais no mercado acionário brasileiro no período compreendido entre janeiro de 2000 e outubro de Esses testes utilizam períodos de cinco anos para o cálculo da alocação de pesos das estratégias MV, MV- R, utilizando o ano posterior como fora da amostra de todo a avaliar a performance. No caso da diversificação igualmente ponderada iremos simular 500 carteiras com 10 ações escolhidas combinando o universo de ativos de modo que seriam selecionadas sem repetição a fim de garantir robustez aos dados. O Índice Ibovespa também será utilizado a fim de auxiliar na verificação, uma vez que o mesmo é amplamente utilizado pela indústria de fundos de investimento como um benchmark. Para analisar o desempenho ao longo desses dez ano, será utilizado o Índice de Sharpe, que mensura o quanto de retorno excedente em relação a um ativo livre de risco é compensado através de seu nível de risco. Os resultados mostram que a diversificação igualmente ponderada supera as outras carteiras em 50% dos casos. Nos outros 50% dos casos, se apresenta com o segundo melhor desempenho ao longo dos 10 anos analisados fora da amostra. Na média, a DIP é a que possui o maior Índice de Sharpe. As carteiras otimizadas, MV e MV-R ao longo de 10 anos, em apenas 10% se apresentaram com o melhor desempenho. O Índice Ibovespa apresentou uma performance superior às outras carteiras em 30% das vezes, sempre com uma diferença pequena em relação à diversificação igualmente ponderada. Testes de robustez foram

11 utilizados para verificar se de fato a diferença entre os Índices de Sharpe eram realmente significativos, em todos os testes executados observamos que há diferença significativa entre as performances. Consequentemente, o trabalho demonstra que apesar de avanços nos métodos de otimização de portfólio, modelos puramente matemáticos ainda não apresentam resultados consistentes. A diversificação igualmente ponderada poderia ser utilizada como um parâmetro a fim de se confrontar com as diversificações otimizadas.

12 LISTA DE TABELAS Tabela 1: Modelos Selecionados Tabela 2: Performance em Tabela 3: Performance em Tabela 4: Performance em Tabela 5: Performance em Tabela 6: Performance em Tabela 7: Performance em Tabela 8: Performance em Tabela 9: Performance em Tabela 10: Performance em Tabela 11: Performance em Tabela 12: Quantidade de anos como melhor estratégia Tabela 13: Médias dos Índices de Sharpe... 30

13 SUMÁRIO SUMÁRIO EXECUTIVO Introdução Revisão de literatura Descrição dos modelos Diversificação Igualmente Ponderada (DIP) Média-Variância (MV) Restrição de Venda a Descoberto (MV-R) Índice Ibovespa (Ibov) Metodologia para Avaliar o Desempenho Índice de Sharpe Descrição dos dados Análise dos resultados Conclusões REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Anexo... 36

14 11 1 Introdução O desafio de selecionar um portfólio otimizado está presente no cotidiano de investidores. Observa-se que os principais questionamentos feitos pelos investidores referemse às estratégias a serem empregadas para o controle e gestão do portfólio, como por exemplo: quais ativos devem ser alocados e suas proporções, e como rebalancear tudo isso em virtude da evolução dos preços e volatilidade dos ativos ao longo do tempo. O trabalho de Markowitz (1952) foi o primeiro a propor e desenvolver uma teoria de alocação de investimentos sob condições de risco. Seu modelo propõe selecionar um portfólio otimizado de ativos de riscos, baseado na minimização do risco para um retorno esperado, sendo este mensurado pela variância de retorno dos mesmos. Observa-se que, a partir do trabalho de Markowitz (1952), o estudo do problema de alocação de ativos se proliferou no meio acadêmico e profissional, conforme se denota em trabalhos sobre Finanças, Estatística e Pesquisa Operacional, uma vez que fundamenta conceitos e teorias que abrangem dessas áreas. Apesar do avanço acerca desse problema, ainda há dúvidas de quão eficiente são esses modelos se confrontados com um modelo de alocação igualmente ponderada. Inicialmente observa-se o estudo do portfólio de mínima variância global, de acordo com Clarke et al. (2006), pois o mesmo tem como principal vantagem a não dependência das estimativas de retornos futuros. Os métodos para encolhimento da matriz de variância-covariância, com o intuito de obter uma melhora na otimização do portfólio, tais como os criados por Jobson & Korkie (1981), e o modelo de correlação constante utilizado por Ledoit & Wolf (2004) na determinação da matriz de covariância, são exemplos de como a metodologia se diversificou ao longo do tempo. A carteira igualmente ponderada (1/N), utilizada por DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009), coloca à prova as metodologias de otimização de portfólio existentes, alegando que possui melhores retornos do que os modelos testados. O presente trabalho visa analisar, através de testes empíricos, se as estratégias de otimização propostas por Markowitz e seus modelos derivados apresentam um desempenho superior, fora da amostra em relação à diversificação igualmente ponderada para 10 ações. Ademais se pretende verificar se essa quantidade de ativos exerce alguma influência na otimização para períodos de 10 anos. Para tanto, serão utilizados prazos de cinco anos para a formação do portfólio e o ano posterior para avaliar o desempenho. É importante destacar o

15 12 fato que o retorno esperado para cada ação é calculado utilizando a média histórica do período amostral e não utiliza nenhum modelo de precificação. O estudo confrontará o desempenho da diversificação igualmente ponderada com outras três estratégias de alocação de portfólio utilizando o Índice de Sharpe como critério de análise. As estratégias são: Média Variância sujeita a restrição de pesos (somatório igual a 100%) MV; Média Variância sujeita a restrição de pesos e de vendas a descoberto MV-R; Índice Ibovespa Ibov. Vale destacar que em relação ao trabalho de DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009), estaremos utilizando uma quantidade menor de estratégias, devido a alguns fatores. As estratégias de combinação de portfólios não foram utilizadas, pois iremos analisar apenas ações e no trabalho de DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009), eles utilizaram além de ações, portfólios para seu estudo. A estratégia de mínima variância, é um caso específico e como a ideia do trabalho é maximizar o Índice de Sharpe, não faria sentido utilizá-la. A estratégia de alocação baseada apenas em valor de mercado é uma estratégia utilizada pelo CAPM, que entende que não iria agregar no estudo. O presente estudo visa englobar, tanto em investidores não profissionais quanto em gestores de recursos, relacionados principalmente a facilidade de implementação da diversificação igualmente ponderada. Para critério de análise, este estudo utilizará o indicador de Sharpe para comparar o desempenho entre as estratégias de alocação. O Índice de Sharpe (1966) consiste em um método de estimar o retorno esperado por unidade de risco. A utilização desse indicador, leva em conta a tarefa de prever o risco e o retorno dos ativos. Os resultados do teste entre a carteira igualmente ponderada e as demais estratégias de alocação de portfólio demonstraram que há evidencias de diferença de desempenho entre elas, ao utilizarmos o Índice de Sharpe. Os resultados dos testes denotam que a carteira igualmente ponderada possui o melhor desempenho em cinco dos dez anos estudados. Em apenas dois anos ela possui um desempenho inferior as estratégias MV e MV-R, em relação à estratégia Ibov em três ocasiões a estratégia igualmente ponderada apresenta um desempenho inferior. Vale ressaltar que em nenhum dos dez anos estudados nesse trabalho, a estratégia igualmente ponderada demonstrou um desempenho inferior as três estratégias concomitantemente. Esta dissertação está dividida em sete seções: a segunda seção faz uma revisão de literatura, a terceira seção trata da descrição dos modelos, a quarta etapa descreve metodologia utilizada e da elaboração de hipóteses, a quinta seção descreve os dados

16 13 coletados, a sexta seção comenta os resultados encontrados e, por fim, a sétima seção apresenta uma breve conclusão.

17 14 2 Revisão de literatura O trabalho seminal de Markowitz (1952) propôs uma metodologia de alocação de ativos de risco que objetiva de criar um portfólio com o risco minimizado para um determinado retorno que ficou conhecido como maximização de média-variância (MMV), que se baseia nos retornos dos ativos, sua variância e na matriz de covariância entre o retorno desses ativos. Determinam-se por meio de otimização, os pesos ideais de cada ativo no portfólio, de forma a minimizar o risco para o nível de retorno determinado. A teoria moderna de portfólio (Modern Porfolio Theory MPT), cujo pioneiro foi Markowitz (1952), apresentou fundamento teórico para o conceito de alocação de ativos. O autor alegou que, se o objetivo do investidor fosse apenas a maximizar os retornos esperados, este deveria alocar todos seus recursos no ativo de maior retorno, indo contra o principio de diversificação. Markowitz (1952), ao propor que o investidor maximize o retorno de seus ativos para um determinado nível de risco, estabelece um fundamental teórico para esse método. Entretanto, diversos gestores apresentam resistência ao modelo de Markowitz, apesar de ter se tornado um clássico para a literatura de finanças. Michaud (1989), por exemplo, alega que a dificuldade está no nível de sofisticação matemática para o algoritmo de otimização é muito maior do que o nível de informação nas previsões de entrada. Os estimadores do modelo de média-variância levam Michaud (1989) a sugerir que quando o erro de cálculo do retorno dos ativos for exacerbado, o erro de estimação irá gerar alocações indevidas. Observam-se inúmeros avanços a partir do trabalho de Markowitz (1952). O portfólio de mínima variância global (Global Minimum Variance Portfolio MVP) tem características únicas dentre os portfólios de fronteira eficiente. Clarke et al. (2006) afirmam que sua principal vantagem é a não dependência das estimativas de retornos futuros. O portfólio é determinado exclusivamente em função da matriz de covariâncias entre os ativos e, dessa maneira, é menos subjetiva do que as demais carteiras na fronteira eficiente. DeMiguel et al. (2009) destacam que a MVP se enquadra na estrutura geral da utilidade esperada de média variância quando se supõe que todos os retornos esperados em todos os estados da natureza são iguais. A abordagem bayesiana é utilizada no problema para aperfeiçoar a estimação dos parâmetros. Os estimadores de encolhimento para a média dos retornos foram inicialmente utilizados por Stein (1955), alegando que para expressar uma média de retornos globais os

18 15 parâmetros deveriam ser reduzidos. O estimador James-Stein, desenvolvido por Stein (1955) e aperfeiçoado por James & Stein (1961), é composto pela média das médias históricas dos retornos de cada ativo, este estimador é utilizado quando não é possível afirmar que o retorno esperado de um ativo é de fato diferente do retorno esperado de outro ativo qualquer. Ele tem uma particularidade de que em média possui o menor erro quadrado médio. Jobson & Korkie (1981) concluem que quando esse fato ocorre, a carteira ótima é MVP e os retornos esperados são encolhidos a um único número, sendo a média das médias. Já Disatnik & Benninga (2007) afirmam que os resultados obtidos através dos métodos mais simples de encolhimento, tais como o uso da MVP amostral sugerido por Jobson & Korkie (1981), não possuem distinção de métodos mais complexos. Observam-se também modelos de correlação constante, utilizados por Ledoit & Wolf (2004) no qual fazem uso do método de encolhimento. Esse método consiste em combinar a matriz de covariâncias amostral, com uma matriz de covariâncias estimada utilizando a correlação média de todas as correlações para o calculo das novas covariâncias. Ledoit & Wolf (2004) criaram um algoritmo a fim de determinar a constante de proporção ótima para a combinação entre as duas matrizes e concluem que seu método apresenta vantagens em relação a métodos mais completos de encolhimento e sobre o método de Markowitz (1952), e alegam que quanto menor o número de ativos no problema, melhor é o desempenho de seu método. Almeida (2012) realizou a análise de diversas metodologias a fim de definir o modelo mais adequado ao mercado brasileiro e concluiu que o método de encolhimento possui o melhor desempenho ao estimar as covariâncias dos ativos negociados no Brasil. A estratégia igualmente ponderada (1/N), presente em diversos estudos, tais como Neto, Leal e Almeida (2011) levou os autores a concluir, que o desempenho das mesmas era equivalente àquele de portfólios de mínima variância global com pesos positivos limitados a 10%. Santos e Tessari (2012) afirmaram que técnicas mais avançadas de seleção de portfólio apresentam desempenhos superiores a carteiras com alocação de ativos igualmente ponderados (1/N). Os portfólios com restrição de venda a descoberto propostos por Frost & Savarino (1988), Chopra (1993) e Jagannathan & Ma (2003) demonstram que a restrição de venda a descoberto diminui a variância do portfólio, o que seria equivalente a encolher os elementos extremos da matriz de covariância a fim de obter uma melhor estimação. A apresentação de uma evidência controversa por DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009) para os métodos de alocação de portfólio criou diversos questionamentos sobre os métodos de otimização de portfólio. Eles testaram o desempenho de 14 modelos diferentes de alocação de portfólio e compararam contra o desempenho da carteira igualmente ponderada (1/N), além de

19 16 utilizarem a otimização clássica que não leva em consideração o erro de estimação dos parâmetros, utilizaram três estratégias com tratamento Bayesiano para o erro de estimação, quatro estratégias com restrição de portfólio e combinação otimizada de portfólios. A estratégia 1/N apresentou desempenho superior aos três critérios selecionados (Índice de Sharpe, equivalente certeza e turnover). Para determinar o motivo que levou o método de otimização clássica a apresentar um desempenho inferior à estratégia 1/N, DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009) derivaram uma expressão analítica que correlaciona os ativos (N) e uma janela de estimação (M), com o desempenho dos portfólios, e chegam à conclusão de que a medida que o N aumenta, maior deve ser M para que a média-variância supere o desempenho do portfólio 1/N. Por exemplo, para 50 ativos, seria preciso uma janela de estimação dos parâmetros para 6000 meses. DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009) também realizaram testes de robustez, dentre eles: tamanho da janela de estimação, opção de investir em ativo livre de risco e intervalo entre rebalanceamentos e encontraram a estratégia 1/N com o melhor desempenho dentre as testadas. Chega-se a conclusão, a partir dos resultados, que apesar dos inúmeros avanços nas técnicas de otimização de portfólio, as técnicas de estimação para os parâmetros ainda precisam ser aprimoradas e que a estratégia 1/N deve ser utilizada como um dos benchmarks para estudo de desempenho de otimização de portfólio. O trabalho de Duchin e Levy (2009) corrobora com o estudo de DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009) ao perceber que o desempenho de portfólios 1/N com até 25 ativos possui desempenho melhor do que os modelos de otimização de média-variância. Entretanto, os resultados sobre os desempenhos favoráveis de portfólios 1/N não ficaram muito tempo sem serem confrontados. O trabalho de Kritzman, Page e Turkington (2010) reconhece as características positivas do portfólio 1/N, tais como: evitar posições concentradas, comprar ações na baixa e vender na alta quando ocorrer o rebalanceamento do portfólio. Porém, eles defendem que os métodos de otimização deveriam possuir um desempenho superior à alocação igualmente ponderada, devido ao fato de que seria usada alguma informação da amostra, pois, mesmo que a mesma não seja muito confiável, é melhor do que ignorá-la completamente. Os autores interpretam que o desempenho da otimização abaixo do esperado em estudos anteriores é consequência do emprego de janelas de estimação muito curtas, conforme sugerido por DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009). Dessa maneira, em testes com janelas de estimação maiores, eles obtiveram resultados contrários aos de DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009) e Dunchin e Levy (2009). Os estudos de Kritzman, Page

20 17 e Turkington (2010) também afirmam e verificam empiricamente que parâmetros estimados a partir de julgamento podem levar a desempenho superior. O trabalho de Tu e Zhou (2011) também reconhece as características positivas da estratégia 1/N e verifica se sua combinação com outras estratégias derivadas de teoria financeira teria uma melhora no desempenho da carteira. Os autores afirmam que a combinação das estratégias poderia alcançar um desempenho superior e se assemelharia ao estimador de shrinkage com a regra 1/N como meta. Entretanto, no mercado de ações brasileiro, poucos estudos empíricos se dedicaram a estudar o desempenho de estratégias de otimização de Markowitz. O estudo de Bruni e Famá (1999) utiliza a estratégia de otimização proposta por Markowitz (1952) a fim de averiguar se a diversificação proposta ex-ante realmente iria gerar retornos superiores ex-post. Nesse trabalho, foi utilizada uma amostra de retornos mensais das 20 ações mais líquidas da Bovespa entre o período de julho de 1993 e julho de Os autores utilizaram quatro portfólios: carteira igualmente ponderada, em que cada ativo tem peso igual a 5% ao longo de todo o período analisado e mais três carteiras, conforme a estratégia anterior, variando apenas a janela amostral para o período de 12 meses, 24 meses e 36 meses. A estimação do portfólio utilizou janelas de estimações atualizadas a cada período, tendo seu início entre julho de 1993 e junho de O estudo demonstra que o desempenho da carteira igualmente ponderada ante a otimização de Markowitz depende da janela amostral, com o período de 12 meses favorável a carteira igualmente ponderada e períodos de 24 e 36 meses evidenciando a superioridade da otimização de Markowitz. O trabalho não analisa nenhuma outra estratégia de otimização além da empregada, o que poderia complementar o estudo do mesmo. O trabalho de Figueiredo et al (2000) comparou os desempenhos de otimização de portfólio para o mercado acionário brasileiro utilizando a otimização de Markowitz com uma janela amostral de 12 meses, composta de duas maneiras: retornos mensais observados nos últimos 12 meses e retornos mensais obtidos através de uma regressão. O modelo que utiliza as observações é denominado como o modelo de Markowitz, o modelo que utiliza a regressão é identificado como modelo de Índice Único, pois esse assume a ausência de correlação entre os retornos dos ativos e utiliza um índice único que representa o retorno do índice de mercado. O estudo utilizou dados das 10 ações principais do índice Bovespa, no ano de 1999, que correspondia a 75,7% do índice na época. A janela amostral utilizou dados entre o período de janeiro de 1998 e dezembro de 1998 e era atualizada utilizando uma janela móvel. O resultado do trabalho apresentou que ambos os modelos, Markowitz e do Índice Único

21 18 quando confrontados com o desempenho do índice Ibovespa durante o período estudado demonstram retornos superiores em relação ao mesmo. Ainda no mercado brasileiro, Neto, Leal e Almeida (2011) verificaram se um portfólio eficiente, utilizando um limitado número de ações, poderia ser utilizado como referência de desempenho superior aos índices tradicionais e, com isso, compararam o desempenho da MVP global com outros portfólios otimizados. Para isto, os autores utilizaram a MVP com restrições de alocação por ativo de 10%, 25%, 50%, 75% e um portfólio sem restrições. O estudo constatou que o desempenho com as MVPs são superiores ao índice Ibovespa, em relação aos retornos, à variância e ao VaR. O portfólio com pesos limitados a 10% (MVP10%) foi o portfólio que apresentou o melhor Índice de Sharpe e foi o único que apresentou um retorno estatisticamente diferente dos retornos do índice Ibovespa. Neto, Leal e Almeida (2011) compararam esse portfólio a 56 fundos de investimentos que visam acompanhar o índice Ibovespa. Esta comparação, pelo fato de estar sujeita ao viés da sobrevivência, seria um desafio ainda mais difícil para a MVP10%, dado que a mesma apresenta resultados medianos, superando apenas alguns fundos, em determinadas janelas amostrais, porém sem apresentar consistência nos seus resultados. Ao comparar, o portfólio MVP10% e um portfólio 1/N utilizando as mesmas ações, os autores constatam que ambos os portfólios resultam no mesmo índice de Sharpe, contudo, o portfólio 1/N apresentou retorno e variância superiores à MVP10%, sem significância estatística. Os autores declararam que o desempenho do portfólio 1/N poderia ser difícil de ser superado, entretanto faz a ressalva que este foi um caso especial, na qual, o portfólio foi composto por ações previamente selecionadas pela MMV. O trabalho de Santos e Tessari (2012) comparou o desempenho de portfólios selecionados utilizando estratégias de MMV e MVPs, calculadas com cinco abordagens diferentes para estimar a matriz de covariância, com portfólios 1/N e com o índice Ibovespa. Os autores utilizaram retornos diários de 45 ações, no período de 33 meses e calcularam os seguintes indicadores de desempenho: média do excesso de retorno em relação ao CDI diário (ativo livre de risco); desvio padrão do excesso de retorno; índice de Sharpe; retorno acumulado do CDI e giro da carteira. Foi considerada a restrição de venda à descoberto e utilizadas diferentes frequências de rebalanceamento (diária, semanal e mensal) para o portfólio, entretanto, de maneira geral não tiveram impactos expressivos nos resultados. Os testes de Santos e Tessari (2012) contrariam os encontrados no estudo de Neto, Leal e Almeida (2011) e inferem que, independente da metodologia utilizada para estimar a matriz de covariância, as estratégias de otimização atingem índice de Sharpe superiores ao índice

22 19 Ibovespa e ao portfólio 1/N, com esses dois possuindo excesso de retornos médios negativos. Esses resultados podem ser explicados pelo período utilizado na amostra e pela maior quantidade de ativos incluídos no portfólio e nos rebalanceamentos mais curtos. Entretanto, as ações utilizadas no portfólio 1/N por Neto, Leal e Almeida (2011) foram às mesmas da MVP sem restrições sobre os pesos e ela demanda que o investidor tenha conhecimento da MMV. Por fim, o trabalho de Battaglia (2013) propôs analisar o desempenho de portfólios 1/N selecionados de maneira aleatória e verificar se os mesmos obteriam o mesmo desempenho que os obtidos por investidores profissionais. O autor utilizou 500 carteiras diferentes, formadas de maneira aleatória, utilizando o portfólio 1/N, cada um composto por 10 ativos e rebalanceadas a cada três meses, enquanto os investidores profissionais foram representados por 224 fundos de investimento em ações (FIA). O prazo utilizado foi de 60 meses. Para efeito de comparação, Battaglia (2013) também considerou o investimento em ativos individuais (AIs) e um índice de ações. O autor conclui que um investidor sem informação, ao selecionar um portfólio aleatório de 10 ações com rebalanceamento trimestral, obteria uma maior probabilidade de ter retornos melhores do que se escolhesse um FIA ou um ativo individual aleatório e afirma que os testes de robustez não indicaram que a quantidade de ativos na estratégia 1/N ou no intervalo de rebalanceamento teriam efeitos significativos. Observa-se que evidências a favor de portfólios 1/N, mesmo no mercado acionário brasileiro, ainda não são conclusivas. Este trabalho se propõe a estender essa análise ao verificar se a estratégia 1/N implementada para diversos tamanho de portfólios para as ações mais líquidas. Serão utilizadas 10 janelas amostrais, cada uma composta pelo período de 120 meses para calcular a alocação dos pesos das estratégias de otimização e iremos calcular o desempenho das mesmas para o período de um ano a frente, ou seja, o rebalanceamento da carteira será anual. Face ao exposto, iremos utilizar o índice de Sharpe para mensurar o desempenho entre os diferentes portfólios selecionados.

23 20 3 Descrição dos modelos Nesta seção iremos descrever as estratégias de alocação propostas no presente estudo. Cada estratégia utilizou um subconjunto de ativos do conjunto universo de ativos, esse subconjunto será discriminado na seção Diversificação Igualmente Ponderada (DIP) A diversificação igualmente ponderada é uma maneira heurística nos métodos de alocação de ativos de risco, no qual todos os ativos têm o mesmo peso. Essa alocação de ativos não apresenta otimização envolvida e os dados amostrais não são considerados. O portfólio igualmente ponderado possui pesos iguais para todos seus ativos de risco. Se existem N ativos de risco disponíveis, os pesos que definem a CIP são: x t = 1 N 1 Onde: x t = vetor dos pesos do portfólio investidos nos ativos de risco 3.2 Média-Variância (MV) O modelo de Markowitz (1952) consiste em otimizar o portfólio entre a média de retorno dos ativos e a variância dos mesmos, relacionando risco com retorno. A definição de risco é dada pela sua variância, ou seja, um menor risco significa uma variância menor. Os pesos otimizados são obtidos através da equação abaixo: min x t x t T Σx t 2 Restrições: x t T µ = µ p 3 x t T 1 N = 1 4

24 21 Onde: x t = vetor dos pesos do portfólio investidos nos ativos de risco Σ = matriz estimada de variância-covariância dos retornos µ = vetor dos retornos médios estimado dos ativo µ p = retorno médio do portfólio 1 N = vetor N-dimensional de 1 Iremos obter um conjunto de portfólios ótimos ao alternar o vetor de retorno médio do portfólio para os ativos de risco, esse conjunto forma a fronteira eficiente de Markowitz. A fronteira é considerada eficiente por conter portfólios de variância mínima, dado um retorno esperado. Para esta análise empírica iremos utilizar o portfolio que maximiza o Índice de Sharpe. A restrição de pesos, de acordo com a Equação 4 demonstra que a soma dos pesos é igual a Restrição de Venda a Descoberto (MV-R) Iremos considerar a estratégia Média-Variância, com restrição de venda a descoberto. Assim, iremos impor uma constante de não negatividade nos pesos dos ativos na hora de otimizarmos o problema. Para interpretarmos o efeito da restrição de venda a descoberto, faremos w t 0, t = 1,, N na otimização da média-variância. A Equação (5) produz o seguinte Lagrangeano: L = x t T µ t γ 2 x t T Σx t + x t T λ t 5 Aonde λ t e o N x 1 vetor dos multiplicadores de Lagrange para as constantes de shortselling. Reformulando a Equação (5), podemos ver que as restrições dos pesos do portfólio de média-variância são equivalentes aos pesos sem restrição, porém comum vetor médio ajustado: µ t = µ t + λ t. 3.4 Índice Ibovespa (Ibov) O Ibovespa é uma carteira teórica composta por ações listadas na BM&FBOVESPA, elaborada com os critérios estabelecidos em sua metodologia. Possui como objetivo ser um indicador do desempenho médio das cotações dos ativos mais negociados e com maior representatividade no mercado brasileiro.

25 22 Tabela 1: Modelos Selecionados # Modelo Abreviação 1 Diversificação Igualmente Ponderada CIP 2 Média Variância sujeita a restrição de pesos (somatório igual a 1) MV 3 Média Variância sujeita a restrição de pesos e de vendas a descoberto MV-R 4 Ibovespa Ibov

26 23 4 Metodologia para Avaliar o Desempenho Nosso estudo se baseia em analisar o retorno dos ativos fora da amostra ao longo de vários anos. Iremos utilizar uma janela de estimação de 60 meses. Para cada janela de estimação, faremos a otimização o portfólio e utilizaremos os pesos ótimos para averiguar o desempenho do portfólio otimizado nos 12 meses posteriores. Esse processo de cálculo é repetido ao longo de 120 meses, sempre retirando os últimos 12 meses e adicionando os 12 meses posteriores e refazendo os cálculos. Para analisar comparativamente o desempenho entre as estratégias utilizaremos o Índice de Sharpe 4.1 Índice de Sharpe Para comparar o desempenho de cada estratégia de alocação k para os N ativos de risco selecionados é possível avaliar as diferenças entre os Índices de Sharpe estimados fora da amostra, sendo representados por SR kn. O índice é definido como a média dos excessos de retorno da carteiraµ kn (sobre o ativo livre de risco), dividido pelo desvio padrão estimado do portfólio, σ kn. = µ kn SR kn σ kn 6 As diferenças de desempenho entre as estratégias de alocação serão analisadas duas a duas através de um teste de hipótese. A estatística teste será calculada para determinar se a hipótese nula, ou seja, se pode rejeitar que a diferença entre os índices de Sharpe seja igual a zero, dado um nível de significância. H 0 : SR kn SR jn = 0 7 Onde: SR kn = série de índices de Sharpe estimados fora da amostra para a estratégia k e N ativos SR hn = série de índices de Sharpe estimados fora da amostra para a estratégia h e N ativos

27 24 Sharpe: A estatística t de Student será utilizada para comparar as diferenças entre os índices de t = (µ SRkN µ SRjN ) σ SRkN SRjN 8 σ SRkN SRjN = σ k 2 N + σ 2 j M 9 Onde: µ SRkN = média dos índice de Sharpe do portfólio k para N ativos µ SRjN = média dos índice de Sharpe do portfólio j para M ativos σ SRkN SRjN = desvio padrão da diferença entre os índice de Sharpe dos portfólios k e j O nível de significância utilizado para esse teste de hipótese é de 5%.

28 25 5 Descrição dos dados O trabalho utilizou uma amostra de dados a partir dos retornos mensais de 30 empresas listadas na Bolsa de Valores de São Paulo (BM&F Bovespa) negociadas no período amostral, compreendido entre janeiro de 2000 e outubro de Neste estudo, somente ações que foram negociadas em pelo menos um dos três primeiros dias úteis de cada mês foram consideradas para o conjunto amostral. No caso de ações preferenciais e ordinárias, optamos por utilizar somente as ações ordinárias de cada empresa, pois o uso de ambas criaria distorções ao utilizarmos a estratégia MV. Essas distorções se devem ao fato das ações ordinárias e preferenciais de cada empresa possuírem uma correlação acima de 98%. Logo quando formos utilizar a estratégia MV, iríamos selecionar praticamente o mesmo peso para e com isso possivelmente iríamos ter uma exposição maior do que a que gostaríamos. Deve-se lembrar para que a ação possa fazer parte da amostra, deve ter ocorrido negociação durante o mês anterior, ou seja, em dezembro de Para simular os portfólios, iremos criar portfólios com 10 ações aleatórias dentre a amostra previamente escolhida. Os trabalhos de Ceretta e Costa Jr. (2000) e Oliveira e Paula (2008) consideram que portfólios com 12 ações captam a maior parte dos benefícios de diversificação no mercado acionário brasileiro, enquanto o estudo de Brito (1989) alega que se obtém o mesmo resultado com carteiras contendo entre 8 a 15 ações em um período mais antigo. O ativo livre de risco considerado pelo trabalho será o Certificado de Depósito Interbancário (CDI). Os preços dos ativos de risco e livre de risco foram obtidos utilizando um terminal Bloomberg. A lista as ações selecionadas para compor o portfólio de cada estratégia está em Anexo.

29 26 6 Análise dos resultados Na seção 4, foi descrito o método para comparar a eficiência de alocações de ativos de risco. Nesta seção, o Índice de Sharpe será utilizado a fim de mensurar as possíveis diferenças entre a diversificação igualmente ponderada e as demais estratégias selecionadas. Nas tabelas abaixo iremos analisar o desempenho de cada estratégia ao longo de 10 anos. Cada tabela apresentada expõe o período compreendido e ao seu lado o ano em que o resultado é analisado. As diferenças foram analisadas entre os Índice de Sharpe de da estratégia K presente na primeira coluna e os mesmos Índice de Sharpe para cada estratégia J presente na primeira linha. As tabelas também apresentam abaixo de cada diferença entre os Índice de Sharpe, a estatística teste, de acordo com a Equação 8. Lembrando que ao rejeitar a hipótese nula, estaremos rejeitando a diferença entre os índices de Sharpe seja igual a zero, dado o nível de significância de 5%. Assim, poderemos afirmar, após analisar quais performances fora da amostra possuem desempenho superior em relação à outra. Tabela 2: Desempenho em 2005 Período: 2000/2004 Desempenho: 2005 J Ibov MV MV-R K Diferença 0,411 0,508 0,083 CIP10 t-stat 61,997 76,498 12,467 Tabela 3: Desempenho em 2006 Período: 2001/2005 Desempenho: 2006 J Ibov MV MV-R K Diferença 0,357 0,629 0,055 CIP10 t-stat 39,172 68,939 6,078 Tabela 4: Desempenho em 2007 Período: 2002/2006 Desempenho: 2007 J Ibov MV MV-R K Diferença 0,520 0,811 0,339 CIP10 t-stat 59,942 93,530 39,152 Comparando a diferença dos Índices de Sharpe entre a Diversificação Igualmente Ponderada para 10 ativos (CIP10), e as demais estratégias demonstram que a CIP10 possui desempenho superior que as estratégias Ibov, MV e MV-R. Ao analisar o desempenho fora da

30 27 amostra, os anos de 2005, 2006 e 2007 demonstram que a CIP10 possui desempenho superior do que as estratégias Ibov, MV e MV-R. Observa-se pelo teste de hipóteses que a hipótese nula é rejeitada em todos os 3 anos para todos os testes. Tabela 5: Desempenho em 2008 Período: 2003/2007 Desempenho: 2008 J Ibov MV MV-R K Diferença -0,075 0,423 0,181 CIP10 t-stat -13,792 78,242 33,489 Analisando o desempenho no ano de 2008, esse é o primeiro ano que o desempenho da CIP não é o melhor dentre as estratégias propostas. Nesse período a estratégia Ibov tem um desempenho levemente superior em relação às outras estratégias. Porém no comparativo direto entre as estratégias de otimização, o CIP10 é o melhor. A rejeição da hipótese nula é mais uma vez observada, conforme demonstrado na tabela. Tabela 6: Desempenho em 2009 Período: 2004/2008 Desempenho: 2009 J Ibov MV MV-R K Diferença 0,167 0,258 0,191 CIP10 t-stat 10,501 16,169 11,998 O desempenho no ano de 2009 volta a apresentar a CIP10 como melhor estratégia de alocação de ativos. Continuamos a observar a rejeição da hipótese nula para todos os testes. Tabela 7: Desempenho em 2010 Período: 2005/2009 Desempenho: 2010 J Ibov MV MV-R K Diferença -0,073 0,616 0,240 CIP10 t-stat -11,362 96,094 37,416 O desempenho no ano de 2010, apresenta novamente a estratégia Ibov como a melhor, seguida pela CIP10. Entretanto no comparativo direto entre as estratégias de otimização, o CIP10 é o melhor. A rejeição da hipótese nula é mais uma vez observada, conforme demonstrado na tabela.

31 28 Tabela 8: Desempenho em 2011 Período: 2006/2010 Desempenho: 2011 J Ibov MV MV-R K Diferença 0,081-0,112-0,297 CIP10 t-stat 12,552-17,325-45,764 Tabela 9: Desempenho em 2012 Período: 2007/2011 Desempenho: 2012 J Ibov MV MV-R K Diferença 0,863-0,415-0,298 CIP10 t-stat 111,309-53,489-38,396 Observa-se que o desempenho nos anos de 2011 e 2012 são os primeiros que apresentam tanto MV quanto MV-R superiores à CIP10. Porém, mais uma vez a CIP não é a pior estratégia dentre as selecionadas para o estudo. Em todos os testes a hipótese nula é rejeitada. Tabela 10: Desempenho em 2013 Período: 2008/2012 Desempenho: 2013 J Ibov MV MV-R K Diferença -0,019 0,157 0,463 CIP10 t-stat -2,268 18,838 55,721 Pela terceira vez a estratégia Ibov se apresenta com o melhor desempenho. A CIP10 apesar de ficar abaixo da Ibov, ainda apresenta desempenho superior as estratégias MV e MV- R. A hipótese nula é rejeitada para todos os teste. Tabela 11: Desempenho em 2014 Período: 2009/2013 Desempenho: 2014 J Ibov MV MV-R K Diferença 0,075 0,137 0,200 CIP10 t-stat 17,783 32,383 47,511

32 29 No último período analisado, a CIP10 volta a demonstrar superioridade ante as outras estratégias. Todos os testes apresentam a rejeição da hipótese nula. Podemos afirmar após analisar o desempenho das estratégias MV, MV-R e Ibov confrontadas ante a CIP10, observamos que todos os testes de hipótese nula serão rejeitados. A rejeição do teste de hipóteses significa que todos esses aplicados têm significância. Assim, podemos afirmar quais performances fora da amostra possuem desempenho superior em relação à outra. Ao longo dos dez anos estudados, utilizando o Índice de Sharpe como benchmark observamos que a CIP10 possui desempenho superior que as estratégias Ibov, MV e MV-R. Ao analisar o desempenho fora da amostra, os anos de 2005, 2006, 2007, 2009 e 2014 demonstram que a CIP10 é melhor do que qualquer outra estratégia utilizada no estudo. Somente nos anos de 2011 e 2012, a CIP10 possui desempenho pior do que a MV e da MV-R. Em relação à estratégia Ibov, nos anos de 2008, 2010 e 2013, a estratégia CIP10 apresenta um desempenho inferior, e mesmo assim a diferença não chega a um décimo, ao contrário da CIP10 que apresenta em alguns anos um desempenho superior em até quatro décimos. Vale ressaltar que a CIP10 em nenhum dos anos estudados, apresenta um desempenho inferior as 3 estratégias durante o mesmo período analisado. A tabela a seguir, demonstra a quantidade de anos que cada estratégia foi a melhor ao longo do estudo: Tabela 12: Quantidade de anos como melhor estratégia Quantidade de anos como a melhor estratégia CIP10 5 MV 1 MV-R 1 Ibov 3

33 30 Tabela 13: Ranking por ano Ranking Ano DIP MV MV-R Ibov A estratégia CIP10 apresentou ao longo dos dez anos, como a melhor em 50% do tempo. A estratégia Ibov, em 30% dos anos estudados foi a melhor dentre as estratégias estudadas, enquanto a MV e MV-R se apresentaram empatadas como a melhor estratégia em 10% dos anos. A tabela a seguir calcula a diferença da média do Índice de Sharpe fora da amostra ao longo dos 10 anos estudados, entre a CIP10 e as demais estratégias: Tabela 14: Médias dos Índices de Sharpe J Ibov MV MV-R K CIP10 média 0,231 0,301 0,116 Observa-se que CIP10 possui, na média, um desempenho superior a quaisquer outras estratégias estudadas. Deve se atentar ao fato de que apesar da estratégia MV-R tenha tido apenas um ano com o melhor desempenho, a mesma apresenta na média a menor diferença em relação à CIP10. Porém devemos relembrar que DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009) a fim de determinar o motivo que levou o método de otimização clássica a apresentar um desempenho inferior à estratégia 1/N, derivaram uma expressão analítica que correlaciona os ativos (N) e uma janela de estimação (M), com o desempenho dos portfólios. Logo, chegaram à conclusão de que a medida que o N aumenta, maior deve ser M para que a média-variância supere o desempenho do portfólio 1/N. Por exemplo, para 50 ativos, seria preciso uma janela de

34 31 estimação dos parâmetros para 6000 meses. DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009) também realizaram testes de robustez, dentre eles: tamanho da janela de estimação, opção de investir em ativo livre de risco e intervalo entre rebalanceamentos e encontraram a estratégia 1/N com o melhor desempenho dentre as testadas.

35 32 7 Conclusões Este estudo comparou o desempenho de 3 estratégias de alocação de ativos confrontadas à diversificação igualmente ponderada, também conhecida como estratégia 1/N. A análise foi realizada através de testes empíricos com dados de retornos mensais no mercado acionário no Brasil no período compreendido entre janeiro de 2000 e outubro de O estudo utilizou períodos amostrais de 5 anos para o cálculo da MV, MV-R e Ibov, utilizando o ano posterior como fora da amostra utilizado para avaliar a performance. Dessa maneira teremos o rebalanceamento da carteira anualmente. Os resultados demonstraram que a estratégia de diversificação igualmente ponderada apresentou um desempenho significantemente diferente em relação as estratégias MV, MV-R e Ibov em pelo menos 5 dos 10 anos e em nenhum dos anos estudados, apresentou uma performance pior que as três estratégias durante o mesmo ano. A CIP ao longo do período analisado fora da amostra, na média é a que possui o maior Índice de Sharpe. O teste de robustez consolidou a analise dos dados e afirma há diferenças significativas entre os Índices de Sharpe das estratégias. Observou-se, a partir dessas informações, conforme apontado desde o estudo de DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009), que apesar do progresso no processo de otimização de portfólio as performances não superam a estratégia igualmente ponderada. Os autores também sugerem que a diversificação igualmente ponderada deveria ser o benchmark para os gestores de ativos para avaliar o desempenho das estratégias de otimização. Entende-se que apesar dos avanços nesse campo de estudo, ainda existem novos métodos a se desenvolver.

36 33 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Almeida, V. S. (2012), Are betas best? the correlation structure on brazilian equity market., Journal of International Finance and Economics. forthcoming. Battaglia, Theo Katz. Desempenho das carteiras selecionadas aleatoriamente. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2013 Bonferroni, C. E., Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità, Pubblicazioni del R Istituto Superiore di Scienze Economiche e Commerciali di Firenze 1936 Brito, N. R. O. O efeito da diversificação de risco no mercado acionário brasileiro. In: Brito, N. R. O. (Org.), Gestão de Investimentos, São Paulo: Atlas, P BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Moderna Teoria de Portfolios: É possível captar, na prática, os benefícios decorrentes de sua utilização? Resenha BM& F, São Paulo, n. 128, p , Chopra, V. K Improving Optimization.Journal of Investing 8: Clarke, R., de Silva, H. & Thorley, S. (2006), Minimum-variance portfoliosin the u.s. equity market, The Journal of Portfolio Management 33(1), Constantinides, G. M. &Malliaris, A. G. (1995), Portfolio theory, in R. A. Jarrow, V. Maksimovic&W. T. Ziemba, eds, Handbooks in operations research and management science: Finance, Vol. 9, North-Holland: Elsevier. DeMiguel, V., Garlappi, L. &Uppal, R. (2009), Optimal versus naive diversification:how inefficient is the 1/n portfolio strategy?,the Review of Financial Studies 22(5), Fama, EugeneF.Efficient capital markets: A review of theory and empirical work. Journal of Finance. v. 25, n. 2, p , Fama, Eugene F. Efficient capital markets: II. Journal of Finance. v. 46, n.5, p , 1991.

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