8LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO 1

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1 8 8LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO Introdução Na teoria das estruturas, considera-se eleentos de superfície aqueles e que ua diensão, usualente chaada espessura, é relativaente pequena e face das deais, podendo receber as seguintes denoinações (Figura 8.1): placas: eleentos de superfície plana sujeitos principalente a ações norais ao seu plano; cascas: eleentos de superfície não plana; e chapas: eleentos de superfície plana sujeitos principalente a ações contidas e seu plano. placa casca chapa Figura 8.1 Estruturas lainares As lajes aciças de concreto arado constitue estruturas lainares, tipo placa. E casos especiais, onde se requer lajes co aior rigidez (aior altura), pode-se fazer uso de lajes nervuradas (Figura 8.). laje aciça laje nervurada Figura 8. Lajes aciças e nervuradas Quando for desejado que a superfície inferior das lajes nervuradas se torne contínua e plana, fecha-se os vazios co eleentos inertes (tijolos, blocos vazados de concreto, isopor, etc.), coo ostrado na Figura 8.3. Esta laje é denoinada ista. Figura 8.3 Lajes istas As lajes que se apóia diretaente sobre pilares são denoinadas lajes lisas e as lajes que se apóia sobre pilares co capitéis denoina-se lajes coguelo. Neste Capítulo soente serão abordadas as lajes aciças apoiadas e vigas. 1 Este capítulo é ua cópia adaptada da publicação LAJES USUAIS DE CONCRETO ARMADO de Roberto Dalledone Machado ufpr/tc405

2 8. Vãos efetivos de lajes Segundo a ABNT NBR 6118, ite , quando os apoios pudere ser considerados suficienteente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo (Figura 8.4) deve ser calculado pela seguinte expressão: co l l + a + a Equação 8.1 a ef ,5 t1 in 0,3h onde: l ef l 0 t h a 0,5 t in 0,3h vão efetivo da laje; distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos; copriento do apoio paralelo ao vão da laje analisada; espessura da laje. h laje t 1 l ef l 0 t viga Figura 8.4 Vão efetivo de laje 8.3 Curvaturas de lajes As lajes aciças de concreto arado (Figura 8.5) pode apresentar: curvatura e ua só direção; ou curvaturas e duas direções ortogonais. l y l y l x l x Figura 8.5 Curvaturas de lajes Quando a laje apresenta curvatura e ua só direção, seu coportaento é idêntico ao de ua viga de larga base e pouca altura. As lajes co curvaturas e duas direções ortogonais tê coportaento de placa ufpr/tc405

3 As lajes co curvatura e ua só direção são apoiadas nas bordas perpendiculares ao eixo da curvatura, ao passo que as lajes co curvaturas e duas direções ortogonais são apoiadas e todo seu contorno (Figura 8.5). Quando a relação entre o vão aior (l y ) e vão enor (l x ) superar dois, a critério do projetista, a curvatura na direção do vão aior pode ser desprezada. Nesta condição soente a curvatura (esforços) na direção do vão enor será considerada. As lajes consideradas coo de curvatura e ua só direção são tabé chaadas lajes aradas e ua só direção. As de curvaturas e duas direções ortogonais são denoinadas aradas e duas direções (Figura 8.6). l y l y l x l x Figura 8.6 Lajes aradas e ua ou duas direções 8.4 Lajes contínuas Assi coo as vigas, as lajes apresenta, tabé, condições de continuidade. Desta fora os apoios pode ser: apoio siples, onde a extreidade da laje é considerada rotulada, transitindo à viga suporte soente cargas verticais (reação de apoio); apoio contínuo, onde duas lajes contíguas transite soente cargas verticais (reação de apoio) para a viga suporte; e borda livre, onde a extreidade da laje é considerada e balanço. A consideração de apoios siples e lajes de extreidade evita que seja transitidos oentos torçores para as vigas suportes. Na deterinação dos esforços de u painel de laje, é prática cou considerar as lajes isoladaente. Coo e regiões de continuidade de lajes existe oento negativo, este pode ser representado, nas lajes isoladas, por u engaste (Figura 8.7). Nesta Figura 8.7, o apoio siples é representado por ua linha contínua; o engaste é representado pela hachura; e a borda livre é representada por ua linha tracejada. Ainda na Figura 8.7, a laje é considerada siplesente apoiada nas vigas V1 e V4, contínua na direção da laje L (apoiada sobre a V5) e contínua na direção da laje L3 (apoiada sobre a V); a laje L é considerada siplesente apoiada nas vigas V1 e V3, contínua na direção das lajes e L3 (apoiada sobre a V5) e co ua borda livre; e a laje L3 é considerada siplesente apoiada nas vigas V3 e V4, contínua na direção da laje (apoiada sobre a V) e contínua na direção da laje L (apoiada sobre a V5) ufpr/tc405

4 P1 V1 P V4 V L V5 L3 P3 V3 P4 V1 V1 V4 V5 V V V5 L V4 L3 V5 V3 V3 Figura 8.7 Lajes contínuas Quando sobre u apoio cou, duas lajes contíguas apresentare diferentes diensões, considera-se o engaste no vão aior se este for igual ou superior a /3 do vão enor (Figura 8.8). Deve ser observado na Figura 8.8 que a laje deverá sepre ser considerada coo engastada na direção da laje L ufpr/tc405

5 l 1 l 1 l 3 l L L l 1 l 1 < l 3 l L L Figura 8.8 Lajes contínuas de diferentes diensões 8.5 Espessura de lajes A fixação da espessura das lajes deve atender às exigências dos esforços solicitantes (oento fletor e força cortante) para o estado liite últio, be coo às verificações do estado liite de serviço (flechas, vibrações, fissuração, etc). Segundo a ABNT NBR 6118, ite , nas lajes aciças deve ser respeitados os seguintes liites ínios para as espessuras: 5 c para lajes de cobertura não e balanço; 7 c para lajes de piso ou de cobertura e balanço; 10 c para lajes que suporte veículos de peso total enor ou igual a 30 kn; e 1 c para lajes que suporte veículos de peso total aior que 30 kn. 8.6 Cargas atuantes nas lajes As cargas atuantes nas lajes pode ser: peranentes, devidas ao peso próprio, contra-piso, revestiento, paredes, etc.; e acidentais, decorrentes das condições de uso da laje (residência, escritório, escola, biblioteca, etc.) Cargas peranentes Segundo a ABNT NBR 610, os pesos específicos dos ateriais de construção que eventualente possa constituir carregaento e lajes pode ser toados coo sendo: argaassa de cal, ciento e areia... 19,0 kn/ 3 argaassa de ciento e areia... 1,0 kn/ 3 argaassa de gesso... 1,5 kn/ 3 reboco... 0,0 kn/ 3 concreto siples... 4,0 kn/ 3 concreto arado... 5,0 kn/ ufpr/tc405

6 O carregaento atuante na laje (peso por unidade de área) é dado pela expressão: g γ at h Equação 8. onde: g carga peranente uniforeente distribuída, geralente e kn/ ; γ at peso específico do aterial, geralente e kn/ 3 ; e h espessura do aterial, geralente e. Para ateriais de acabaento ou coberturas, pode ser adotados os seguintes valores, considerando pesos por unidade de área: cerâica... 0,70 kn/ tacos... 0,65 kn/ cobertura de telhas francesas (co vigaento)... 0,90 kn/ cobertura de telhas coloniais (co vigaento)... 1,0 kn/ cobertura de fibro-ciento (co vigaento)... 0,30 kn/ cobertura de aluínio (co vigaento)... 0,16 kn/ 8.6. Cargas acidentais A ABNT NBR 610 apresenta ua série de valores que pode ser assuidos para as cargas acidentais que venha a constituir carregaento e lajes. Alguns valores são reproduzidos a seguir: arquibancadas... 4,0 kn/ bibliotecas sala de leitura...,5 kn/ sala para depósito de livros... 4,0 kn/ sala co estantes... 6,0 kn/ cineas platéia co assentos fixos... 3,0 kn/ estúdio e platéia co assentos óveis... 4,0 kn/ banheiro...,0 kn/ corredores co acesso ao público... 3,0 kn/ se acesso ao público...,0 kn/ edifícios residenciais doritório, sala, copa, cozinha e banheiro... 1,5 kn/ dispensa, área de serviço e lavanderia...,0 kn/ escadas co acesso ao público... 3,0 kn/ se acesso ao público...,5 kn/ escolas anfiteatro, corredor e sala de aula... 3,0 kn/ outras salas...,0 kn/ escritórios...,0 kn/ forros se acesso de pessoas... 0,5 kn/ ginásio de esportes... 5,0 kn/ hospitais doritório, enferarias, sala de recuperação ou cirurgia, banheiro...,0 kn/ corredor... 3,0 kn/ lojas... 4,0 kn/ restaurantes... 3,0 kn/ teatros palco... 5,0 kn/ platéia co assentos fixos... 3,0 kn/ estúdio e platéia co assentos óveis... 4,0 kn/ banheiro...,0 kn/ ufpr/tc405

7 Exeplo 8.1: Deterinar o carregaento e ua laje de edifício coercial. A laje terá de 10 c de espessura, contra-piso (argaassa de ciento e areia) de 1 c, acabaento superior co tacos e acabaento inferior co forro de gesso co 1 c de espessura. Solução: As cargas peranentes (Equação 8.) e acidentais deverão ser deterinadas por unidade de área (kn/ ). Os pesos do concreto arado, conta-piso e gesso corresponde a 5 kn/ 3, 1 kn/ 3 e 1,5 kn/ 3, respectivaente. Os tacos pesa 0,65 kn/. A carga acidental de u edifício coercial deve ser considerada coo sendo kn/. a. Dados uniforização de unidades (kn e ) 3 γ 5kN / γ γ conc ar cont piso gesso 1kN / 1,5kN / g taco 0,65kN / h 10c 0,10 h conc ar cont piso 1c 3 3 0,01 h gesso 1c 0,01 q kn / edif co b. Carga peranente pp:... 5,0 x 0,10,50 kn/ contra-piso:... 1,0 x 0,01 0,1 kn/ gesso:... 1,5 x 0,01 0,13 kn/ tacos:... 0,65 kn/ c. Carga acidental d. Carga total g k 3,49 kn/ ( 3,50 kn/ ) q k,00 kn/ g k 3,50 kn/ q k,00 kn/ p k 5,50 kn/ Paredes O peso das paredes depende do tipo de tijolo (aciço ou furado) e da espessura do reboco. Este peso noralente é apresentado por etro quadrado de parede (parede de 1 de largura por 1 de altura), coo ostrado na Figura 8.9. O peso por unidade de área de ua parede rebocada e abas as faces pode ser representado por: onde p par γ e + γ e Equação 8.3 tij tij reb reb tacos contra-piso (1 c) concreto arado (10 c) gesso (1 c) p par peso da parede por unidade de área, geralente e kn/ ; γ tij peso específico do tijolo, geralente e kn/ 3 ; e tij espessura (enor diensão e planta) do tijolo, geralente e. γ reb peso específico do reboco, geralente e kn/ 3 ; e e reb espessura do reboco, geralente e ufpr/tc405

8 h par e 1 l par Figura 8.9 Carga de paredes Para ateriais coponentes de parede, pode ser usados os seguintes valores: tijolo de furado... 1 kn/ 3 tijolo de aciço kn/ 3 reboco... 0 kn/ 3 A Tabela 8.1 ostra alguns valores de peso de parede. Na Tabela foi considerado reboco de,5 c de espessura por face. tijolo (c) parede se reboco tijolo furado (kn/ ) tijolo aciço (kn/ ) parede (c) parede co reboco tijolo furado (kn/ ) tijolo aciço (kn/ ) 10 1,0 1,60 15,0,60 1 1,44 1,9 17,44,9 15 1,80,40 0,80 3,40 0,40 3,0 5 3,40 4,0 Tabela 8.1 Pesos de paredes Cargas de paredes e lajes de dupla curvatura As cargas de paredes apoiadas e lajes de dupla curvatura (Figura 8.10) pode ser consideradas coo equivalentes a ua carga uniforeente distribuída e toda esta laje. Para este caso, considera-se o peso total da parede e divide-se este valor pela área total da laje, coo apresentado a seguir: ppar lpar hpar gpar Equação 8.4 l x l y onde: g par carga uniforeente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando e toda laje, geralente e kn/ ; p par peso da parede por unidade de área, geralente e kn/ ; l par largura da parede, geralente e etro; altura da parede, geralente e etro; h par ufpr/tc405

9 l x l y enor diensão da laje, geralente e etro; e aior diensão da laje, geralente e etro. l par l x l y g par (kn por de laje) Figura 8.10 Parede sobre laje de dupla curvatura Exeplo 8.: Deterinar a carga das paredes atuantes na laje abaixo representada. A altura das paredes corresponde a,7 e são constituídas de tijolo furado de 10 c, reboco de 1,5 c e cada face.,5, 3,5 Solução: O peso por etro quadrado de parede é deterinado pela Equação 8.3 e a carga uniforeente distribuída sobre a laje é deterinada pele Equação 8.4. a. Dados uniforização de unidades (kn e ) 3 γ 1kN/ γ tij reb 0kN/ e tij 10c 0,10 e reb 1,5c l,5 +, 3 par h par,7 l x 3,5 l y 6,0 0,015 4,7 b. Curvatura da laje l y 6,0 1,71< duplacurvatura l 3,5 x c. Peso por etro quadrado de parede p γ e + γ e par par tij tij reb reb 6,0 ( 1 0,10) + ( 0 0,015) 1,80kN/ p ufpr/tc405

10 d. Carga uniforeente distribuída na laje ppar l par hpar gpar l x l y 1,80 4,70,70 g par 1,09kN/ 3,50 6, Cargas de paredes e lajes de ua só curvatura As cargas de paredes apoiadas e lajes de ua só curvatura se situa e duas condições: paredes paralelas ao lado aior da laje;e paredes paralelas ao lado enor da laje. A carga de parede paralela ao lado aior é considerada coo ua carga linear uniforeente distribuída ao longo de sua largura (Figura 8.11), cujo valor é dado por: g par ppar hpar Equação 8.5 onde: g par carga uniforeente distribuída, devida à parede, por unidade de copriento (linear), atuando ao longo da largura da parede, geralente e kn/; p par peso da parede por unidade de área, geralente e kn/ ; e altura da parede, geralente e etro. h par l par l y l x g par (kn por etro de laje) Figura 8.11 Parede paralela ao lado aior da laje A carga de parede paralela ao lado enor é considerada coo ua carga uniforeente distribuída na área de diensões l x por 0,5 l x (Figura 8.1), cujo valor é dado por: ppar lpar hpar gpar l x Equação 8.6 l x onde: g par carga uniforeente distribuída, devida à parede, por unidade de área, atuando na área de diensões l x por 0,5 l x, geralente e kn/ ; p par peso da parede por unidade de área, geralente e kn/ ; l par largura da parede, geralente e etro; h par altura da parede, geralente e etro; e enor diensão da laje, geralente e etro. l x ufpr/tc405

11 l y l x l par g par (kn por de laje) l x Figura 8.1 Parede paralela ao lado enor da laje Exeplo 8.3: Deterinar a carga das paredes atuantes nas lajes abaixo representadas. A altura das paredes corresponde a,7 e são constituídas de tijolo furado de 1 c, reboco de 1,5 c e cada face. 1,6,5 L 3,6 6, 6 1,7,4,4 Solução: O peso por etro quadrado de parede é deterinado pela Equação 8.3. A carga linear uniforeente distribuída sobre a laje é deterinada pela Equação 8.5 e a carga uniforeente distribuída na região l x por 0,5 l x da laje L é deterinada pela Equação 8.6. a. Dados uniforização de unidades (kn e ) 3 γ 1kN/ γ tij reb 0kN/ e tij 1c 0,1 e reb 1,5c l par1, 3 0,015 l par 1,7 h,7 hpar1 par ufpr/tc405

12 l l x1 l x y1 l y,4 6,0 b. Curvatura da laje l y 6,0,50 > ua só curvatura l,4 x c. Peso por etro quadrado de parede p γ e + γ e par par tij tij reb reb ( 1 0,1) + ( 0 0,015),04kN / p d. Laje - peso por etro linear de parede g p h par par par g par,04,70 5,51kN / e. Laje L peso por etro quadrado de parede ppar l par hpar gpar l x l x,04 1,70,70 g par 3,5kN /,40,40 f. Carregaentos 1,6,5 L 3 6, 6 1, 1,7,4 5,51 kn/,4 3,5 kn/ Parapeitos e balcões Ao longo dos parapeitos e balcões deve ser consideradas aplicadas, ua carga horizontal kn/ 0,8 kn/ de 0,8 kn/ na altura do corrião e ua carga vertical ínia de kn/ (ABNT NBR 610, ite..15), coo ostrado na Figura Figura 8.13 Parapeitos e balcões ufpr/tc405

13 8.6.5 Redução de cargas acidentais e pilares e fundações No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências e casas coerciais não destinadas a depósitos, as cargas acidentais pode ser reduzidas de acordo co os valores indicados na Tabela 8. (ABNT NBR 610, ite..1.8). Nº de pisos que atua sobre o eleento Redução percentual das cargas acidentais 1, e 3 0% 4 0% 5 40% 6 ou ais 60% Tabela 8. Redução de cargas acidentais Na aplicação da Tabela 8., o forro deve ser considerado coo piso (Figura 8.14). 1º (cob) º 3º 4º 5º 6º 7º iº g + 1,0 q g + 1,0 q g + 1,0 q g + 0,8 q g + 0,6 q g + 0,4 q g + 0,4 q g + 0,4 q Figura Redução de cargas acidentais 8.7 Deterinação de esforços e lajes Para a deterinação dos esforços e lajes aciças de concreto arado, duas siplificações são aditidas: existe ua separação virtual entre as lajes e as vigas que suporta o painel de lajes; e a reação de apoio das vigas suporte do painel de lajes se faz de fora uniforeente distribuída. Ebora concretadas de fora onolítica, adite-se que as lajes e vigas seja separadas virtualente, de tal fora que possa ser projetadas individualente (Figura 8.15). As vigas suporte das lajes são consideradas coo apoios indeslocáveis ufpr/tc405

14 Figura 8.15 Separação virtual entre lajes e vigas Ua vez que as vigas suportes das lajes são consideradas coo indeslocáveis, pode-se aditir que as reações de apoio existentes nas interfaces lajes/vigas seja consideradas coo uniforeente distribuídas (Figura 8.16). Rigorosaente isto não ocorre pois existe ua tendência de levantaento nos cantos das lajes. Figura 8.16 Reação de apoio de lajes Lajes isoladas A deterinação dos esforços e lajes isoladas pode ser feita por processos aproxiados bx l y y x (MARCUS), pela teoria das placas (BARES), pela teoria das charneiras plásticas (LANGENDONCK), etc.. Dentre o conjunto de soluções apresentadas na literatura undial, destaca-se as tabelas de CZERNY, para deterinação dos oentos fletores atuantes e lajes isoladas. A notação a ser usada para CZERNY está ostrada na Figura 8.17 e o conjunto de tabelas é apresentado e by Figura 8.17 Notação das tabelas de CZERNY As tabelas de CZERNY fora confeccionadas para varias condições de contorno e carga. Os oentos fletores são dados pelas seguintes expressões: x y pl α x x pl α l x x y bx by pl β x x pl β x y Equação ufpr/tc405

15 onde: l x l y enor vão; aior vão; x oento fletor positivo na direção x; y oento fletor positivo na direção y; bx oento fletor negativo (borda) na direção x; by oento fletor negativo (borda) na direção y; p carga uniforeente distribuída e toda laje; α x coeficiente para definição do oento fletor positivo na direção x; α y coeficiente para definição do oento fletor positivo na direção y; β x coeficiente para definição do oento fletor negativo (borda) na direção x; e β y coeficiente para definição do oento fletor negativo (borda) na direção y. Se a carga uniforeente distribuída corresponder a u valor característico (p k g k + q k ) os oentos fletores resultarão característicos ( k ). Se a carga corresponder a u valor de cálculo (p d γ g g k + γ q q k ), os oentos fletores resultarão de cálculo ( d ) Lajes contínuas Coo as tabelas de CZERNY deterina oentos fletores isolados e bordas que são contínuas e u painel de lajes, l xi Li bi bj Lj l yj torna-se necessário uniforizar estes oentos negativos atuantes nestas regiões de continuidade de lajes (Figura 8.18). i j l yi l xj Figura 8.18 Moentos fletores e lajes continuas O oento negativo de borda, atuante na junção das lajes Li e Lj, é dado pela seguinte expressão: bi + bj bij ax bj bi 0,8 > Equação 8.8 bj l xi A uniforização dos oentos fletores negativos atuantes na junção das lajes Li e Lj iplica e alterações (correções) nos oentos fletores positivos i e j Li bij bj Lj (Figura 8.19). O oento i te seu valor reduzido ao passo que o oento j te seu valor l yj auentado. i,cor j,cor l yi l xj Figura 8.19 Moentos fletores uniforizados e lajes continuas ufpr/tc405

16 O ajuste de oentos fletores positivos nas lajes Li e Lj corresponde a: i,cor j,cor i + j bj bij bj > bi Equação 8.9 Coo pode ser observado na Equação 8.9, a correção de oentos positivos só é feita para o oento j (oento que sofre acréscio). Caso bi seja aior que bj, os índices i e j deve ser invertidos na Equação 8.8 e na Equação 8.9. Deve ser observado tabé que na Figura 8.18 e na Figura 8.19, be coo na Equação 8.8 e na Equação 8.9, os índices x e y correspondentes as direções das lajes Li e Lj não fora considerados (aprece na Figura 8.17). A relação entre os valores apresentados se os índices x e y (direções) corresponde a: i yi oento fletor positivo na direção y da laje Li; j xj oento fletor positivo na direção x da laje Lj; bi byi oento fletor negativo na direção y da laje Li; e bj bxj oento fletor negativo na direção x da laje Lj. Exeplo 8.4: Deterinar os oentos fletores de cálculo atuantes no painel de lajes abaixo indicado. Considerar: estado liite últio, cobinações últias norais, edificação tipo (γ g 1,4 e γ q 1,4); carga peranente uniforeente distribuída (g k ): 4 kn/ : e carga acidental uniforeente distribuída (q k ): kn/. 1,8 3 5 L L3 4 1, L4 Solução: A solução do problea consiste na aplicação da Equação 8.7 para a deterinação dos oentos fletores e lajes isoladas. A uniforização dos oentos negativos nas regiões de continuidade de lajes é feita co a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos oentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. a. Carregaento das lajes (valores de cálculo) pd γ g gk + γ qqq p 1,4 4,0 + 1,4,0 8,4kN / y1 bx1 d b. Laje l x1 1,8 l y1 4,0 l l y1 x1 α 4,0 α, tab 1,8 β β x1 y1 x1 y1 14,0 40,0 8,00 1, ufpr/tc405 l y1 4 x1 by1 l x1 1,8

17 pd l x1 8,4 1,8 x 1,d αx1 14,0 pd l x1 8,4 1,8 y 1,d αy1 40,0 1,9kN / 0,68kN / bx1,d by1,d pd l β x1 x1 pd l β x1 y1 8,4 1,8 8,00 8,4 1,8 1,00 3,40kN /,7kN / c. Laje L l x 3,0 l y 4,0 l l y x α 4,0 α 1,33 tab 3,0 β β pd l x 8,4 3,0 x,d αx 7,87 x y x y pd l x 8,4 3,0 y,d αy 47,83 7,87 47,83 13,00 17,50,71kN / 1,58kN / l y 4 L x by y l x 3 bx bx,d by,d pd l β pd l β x x x y 8,4 3,0 13,00 8,4 3,0 17,50 5,8kN / 4,3kN / d. Laje L3 l x3 4,0 l y3 5,0 l l y3 x3 5,0 4,0 α α 1,5 tab β β pd l x3 8,4 4,0 x 3,d αx3 4,90 x3 y3 x3 y3 pd l x3 8,4 4,0 y 3,d αy3 34,40 4,90 34,40 11,10 1,90 5,40kN / 3,91kN / l x3 4 L3 by3 y3 bx3 l y3 5 x3 bx3,d by3,d pd l β pd l β x3 x3 x3 y3 8,4 4,0 11,10 8,4 4,0 1,90 1,11kN / 10,4kN / bx4 e. Laje L4 (laje isostática laje e balanço) l x4 1, bx4,d x4 pd l 8,4 1, 6,05kN / l x4 1, L ufpr/tc405

18 f. Uniforização de oentos fletores Lajes /L b1,d + b,d b1,d ax 0,8 b,d b,d > b1,d 3,40 + 5,8 b 1, d ax 0,8 5,8 4,61 b 1, d ax 4,66 b 1, d 4,66kN / b,d b1,d,d,cor,d + b,d > b1,d 5,8 4,66,d, cor,71+,d, cor 3,9kN / 1,9 3,40 4,66,71 5,8 L 5,8 L 5,8 1,9 3,9 g. Uniforização de oentos fletores Lajes L/L3 b,d + b3,d b3,d ax b3,d b,d 0,8 > L 5,8 10,4 b3,d 4,66 5,8 + 10,4 b 3, d ax 0,8 10,4 8,1 b 3, d ax 8,34 b 3, d 8,34kN / 3,9 3,91 b3,d b3,d 3,d,cor 3,d + b3,d > L b,d 8,34 4,66 10,4 8,34 3,d, cor 3,91+ 3,d, cor 4,95kN / L3 L3 3,9 4,95 h. Uniforização de oentos fletores Lajes /L4 Coo a laje L4 corresponde a u trecho isostático (laje e balanço), obrigatoriaente o oento fletor atuante na junção das lajes e L4 é o da laje L4 (6,05 kn/). Não há correção do oento positivo da laje pois o oento da borda desta laje (,7 kn/) é inferior ao oento da borda da laje L4 (6,05 kn/). 6,05kN / b 14,d b4, d, d 1 0,68kN / 0,68,7 0,68 L4 L4 6,05 6, ufpr/tc405

19 i. Uniforização de oentos fletores Lajes L/L4 Coo a laje L4 corresponde a u trecho isostático (laje e balanço), L obrigatoriaente o oento fletor atuante na junção das lajes L e L4 é o da laje L4 (6,05 kn/). Não há correção do oento positivo da laje L pois o oento da borda desta laje (4,3 kn/) é inferior ao oento da borda da laje L4 (6,05 kn/). 6,05kN / b 4,d b4, d, d 1,58kN / 4,3 1,58 L4 L 6,05 1,58 L4 6,05 j. Uniforização de oentos fletores Lajes L3/L4 Coo a laje L4 corresponde a u trecho isostático (laje e balanço), obrigatoriaente o oento fletor atuante na junção das lajes L3 e L4 é o da laje L4 (6,05 kn/). Há correção do oento positivo da laje L4 pois o oento da borda desta laje (10,4 kn/) é superior ao oento da borda da laje L4 (6,05 kn/). 6,05kN / b 34,d b4, d > 1,11 6,05 4,d, cor 5,40 + 4,d, cor 8,43kN / b3,d b34,d 4,d,cor 4,d + b3,d b4,d L3 L3 1,11 5,40 L4 L4 6,05 6,05 8,43 k. Moentos fletores (kn/) na direção /L/L3 L 8,34 L3 4,66 1,9 3,9 4,95 L ufpr/tc405

20 l. Moentos fletores (kn/) nas direções /L4, L/L4 e L3/L4 L L3 L4 6,05 6,05 6,05 0,68 1,58 8,43. Observação Ebora a relação entre o vão aior (4 ) e o vão enor (1,8 ) da laje supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada. Caso a curvatura na direção do vão aior fosse desprezada (consideração de laje arada e ua só direção), o resultado final praticaente não se alteraria pois o oento fletor positivo na direção do balanço resultou be próxio de zero (0,68 kn/) e o oento fletor negativo (6,05 kn/) foi definido pela laje e balanço. 8.8 Aradura de flexão Aradura principal e aradura secundária Para as lajes aradas e duas direções (curvatura e duas direções ortogonais), todas as araduras de flexão (araduras longitudinais) são consideradas coo principal. Para as lajes aradas e ua só direção (ua só curvatura na direção do vão enor), a aradura considerada coo principal é aquela posicionada na direção do vão enor. Na direção do vão aior deve-se, obrigatoriaente, colocar ua l y l y aradura de distribuição denoinada aradura secundária (Figura 8.0). l x l x aradura principal aradura secundária Figura 8.0 Aradura principal e secundária de lajes ufpr/tc405

21 8.8. Equações gerais Na deterinação da aradura de flexão (oentos fletores) de lajes deve ser seguidos os esos princípios estabelecidos no Capítulo [5]. A aradura será deterinada para cada Figura 8.1 Seção transversal de laje ( c + 1, ) φ l etro de laje (b w 1 ). Para a deterinação da altura útil é conveniente adotar-se a altura útil da aradura ais afastada da borda (Figura 8.1). tracionada d h no 5 Equação 8.10 Para as lajes de pouca altura, as araduras de copressão deve ser evitadas. Desta fora as equações para deterinação ou verificação da aradura longitudinal de lajes corresponde a: b A w s Rd1,li Sd Sd β ou β s c β β β x z s 0,7b 0,8b 100c z Rd1,li Rd b 1,0 Es fyd β dβ φ l h d h (c no + 1,5 φ l ) b w 100 c Rd1 w d fcd 1,5 1 0,4 β Rd1 s yd x 0,68bw df As fyd f Rd1 1 β βx x cd w w A d d s,in x cd cd 0,7 0,8 ck ck não há necessidade de aradura de copressão ck ck 1,565 0,7b f f Rd1 w 3,5 1,0 β f f f f 35MPa > 35MPa 35MPa > 35MPa d f β β cd x x β tab β 0,500 0,400 0,59 > 0,59 f f ck ck z s 35MPa > 35MPa Equação Aradura ínia Os valores das araduras ínias para lajes aciças de concreto arado estão estabelecidos no ite da ABNT NBR 6118 e corresponde a: aradura negativa f A cd A s,in 0,035 c (por etro de laje) Equação 8.1 fyd ufpr/tc405

22 aradura positiva de lajes aradas e duas direções f cd A s,in 0,03 Ac (por etro de laje) Equação 8.13 fyd aradura positiva (principal) de lajes aradas e ua direção f cd A s,in 0,035 Ac (por etro de laje) Equação 8.14 fyd aradura positiva (secundária) de lajes aradas e ua direção 0,0 A s,princ A s,in ax 0,9c (por etro de laje) Equação 8.15 fcd 0,018 Ac fyd Diâetro da aradura de flexão Segundo o ite 0.1 da ABNT NBR 6118, qualquer barra de aradura de flexão de lajes h φ l h φ l 8 Figura 8. Diâetro áxio da aradura de flexão φ l deve ter seu diâetro liitado a 1/8 da espessura da laje (Figura 8. e Equação 8.16). h φ l Equação Espaçaento da aradura de flexão ABNT NBR 6118, ite 0.1 As barras da aradura principal de flexão deve apresentar espaçaento no áxio igual h ou 0 c, prevalecendo o enor desses dois valores na região dos aiores oentos fletores. A aradura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 0% da aradura principal, antendo-se, ainda, u espaçaento entre barras de, no áxio, 33 c. A eenda dessas barras deve respeitar os esos critérios de eenda das barras da aradura principal. A Figura 8.3 ostra os espaçaentos áxios da aradura de flexão para lajes aciças 0c s in h s 33 c de concreto arado. aradura principal aradura secundária Figura Espaçaento áxio da aradura de flexão ufpr/tc405

23 Deve ser observado tabé que o ite 0.1 da ABNT NBR 6118 não faz referência ao espaçaento ínio entre as barras de flexão de lajes de concreto arado. Por razões construtivas, é conveniente não se posicionar barras co afastaentos inferiores a 7 c. De odo geral, pode-se estabelecer para as barras de flexão de lajes de concreto arado: aradura principal 0c 7 c s in Equação 8.17 h aradura secundária 10c s 33c Equação 8.18 Observar que na Equação 8.18 o espaçaento ínio para aradura secundária foi fixado e 10 c. Exeplo 8.5: Deterinar as araduras necessárias para o painel de lajes abaixo representada. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: estado liite últio, cobinações últias norais, edificação tipo (γ g 1,4 γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura das lajes (h): 1 c; cobriento noinal (c no ):,5 c; barras de flexão não alternadas; carga peranente uniforeente distribuída (g k ): 5 kn/ : e carga acidental uniforeente distribuída (q k ): 1,5 kn/. L L Solução: A solução do problea consiste na aplicação da Equação 8.7 para a deterinação dos oentos fletores e lajes isoladas. A uniforização dos oentos negativos na região de continuidade de lajes é feita co a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos oentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. As araduras deve ser deterinadas co a aplicação da Equação 8.10, Equação 8.11, Equação 8.1, Equação 8.13, Equação 8.14, Equação 8.15, Equação 8.16, Equação 8.17 e Equação a. Dados - uniforização de unidades (kn e c) f 5 MPa,5 kn/c ck γ c 1,40 f ck f cd γc 1,40 yk (ELU - cobinação noral),5 1,79 kn/c f 600 MPa 60 kn/c γ s 1,15 (ELU - cobinação noral) ufpr/tc405

24 fyk 60 f yd 5, kn/c γ 1,15 s b w 100 c h 1 c c no,5c ( c + 1, φ l ) (,5 + 1,5 1,0 ) 8c h 5 d no d 1 (assuido φ l 10 ) A c b w h c aradura negativa fcd A s,in 0,035 A c f yd 1,79 A s,in 0, ,44 c / 5, aradura positiva de lajes aradas e duas direções fcd A s,in 0,03 Ac f yd 1,79 As,in 0, ,95 c / 5, aradura positiva (principal) de lajes aradas e ua direção fcd A s,in 0,035 A c f yd 1,79 A s,in 0, ,44 c / 5, aradura positiva (secundária) de lajes aradas e ua direção 0,0 A s,princ A s,in ax 0,9c fcd 0,018 Ac fyd A h φ l 8 1 φl 8 s,in 0,0 A s,princ ax 0,9c 1,79 0, ,74 c 5, 0,0 A s,princ ax 0,90 c / A s,in 1,50 c φ l, ax 1,5 0c 7 c s in h 0c 7 c s in 1 4c 7c s 0c (aradura principal) 10c s 33c (aradura secundária) Rd1,li 0,7b w d f cd f ck 35MPa / ufpr/tc405

25 Rd 1,li 0, , kNc / Rd 1, li 31,16kN / áxio oento peritido na laje para que não haja aradura de copressão b. Carregaento das lajes (valores de cálculo) p γ g + γ q d d g k q q p 1,4 5,0 + 1,4 1,5 9,1kN/ c. Laje l x1,0 l y1 5,0 l l y1 x1 α 5,0,50 tab α,0 β pd l x1 9,1,0 x 1,d αx1 14,0 pd l x1 9,1,0 y 1,d αy1 4,50 bx1,d pd l β d. Laje L l x 4,0 l y 5,0 l l y x 5,0 4,0 x1 x1 x1 y1 x1 9,1,0 8,00 α 1,5 tab α β pd l x 9,1 4,0 x,d αx 6,40 pd l x 9,1 4,0 y,d αy 48,0 bx,d pd l β e. Laje L3 l x3 5,0 l y3 6,0 l l y3 x3 x x 14,0 4,50 8,00,56kN / 0,86kN / x y x 9,1 4,0 1,70 α 6,0 1,0 tab α 5,0 β pd l x3 9,1 5,0 x 3,d αx3,00 pd l x3 9,1 5,0 y 3,d αy3 3,80 by3,d pd l β x3 y3 4,55kN / 6,40 48,0 1,70 5,5kN / 3,0kN / y3 x3 y3 9,1 5,0 10,10 11,46kN /,00 3,80 10,10 10,34kN / 9,56kN /,5kN / y1 l y1 5 x1 bx l y 5 by3 l x3 5 l x1 L L3 x y l x 4 x3 y3 bx1 l y3 6 bx ufpr/tc405

26 f. Uniforização de oentos fletores Lajes /L b1,d + b,d b1,d ax 0,8 b,d b,d > b1,d 4, ,46 b 1, d ax 0,8 11,46 8,01 b 1, d ax 9,17 9,17kN / b 1, d > 11,46 9,17,d, cor 5,5 + 6,67kN / b,d b1,d,d,cor,d + b,d b1,d,d, cor 4,55 9,17 11,46 L 11,46,56 5,5 L 11,46,56 6,67 g. Uniforização de oentos fletores Lajes L/L3 b,d + b3,d b3,d ax 0,8 b3,d b3,d > b,d 11,46 +,5 b 3, d ax 0,8,5 16,99 b 3, d ax 18,0 18,0kN / b 3, d >,5 18,0 3,d, cor 9, ,81kN / b3,d b3,d 3,d,cor 3,d + b3,d b,d 3,d, cor L 9,17 L 9,17 11,46 6,67 6,67,5 18,0 L3 9,56 L3 11,81 h. Moentos fletores (kn/) na direção /L/L3 L L3 9,17 18,0,56 6,67 11, ufpr/tc405

27 i. Moentos fletores (kn/) das lajes se continuidades (, L e L3) L L3 3,0 10,34 0,86 j. Aradura para os oentos fletores na direção /L/L3 Sd,56 kn/ nãohánecessidade dearadura decopressão { Sd < Rd1,li 13,56kN / 31,16kN / Sd Rd Rd1 56kNc / Rd1 β c 0,7 fck 35MPa bw d fcd 56 β c 0,0 < 0,7 OK ,79 β z 0,987 βc 0,0 1 3 β s 1,000 A A A s β dβ z s,in Rd1 s tabela f yd 0,95 c A s,in / 56 0,6 c 0, ,000 5, s / < A s 0,95 c / 7c s 0c Sd -9,17 kn/ { Sd < Rd1,li 13 9,17kN / 31,16kN / 0,95 c / nãohánecessidadedearadura decopressão Sd Rd Rd1 917kNc / 917 β c 0,080 < 0,7 OK ,79 β z 0,950 βc 0, β s 1,000 A s,in tabela 1,44 c A s,bar φ s A s,ef () (c ) (c) (c /) 5 0, ,98 / 917 A s,31c / > 1,44 c 0, ,000 5, s c 0,196 c 100 c 0,95 c / OK ufpr/tc405

28 A s,31c / 7c s 0c Sd 6,67 kn/ { Sd < Rd1,li 13 6,67kN / 31,16kN / nãohánecessidadedearadura decopressão Sd Rd Rd1 667kNc / 667 β c 0,058 < 0,7 OK ,79 β z 0,964 βc 0, β s 1,000 A A s,in tabela 0,95 c / 667 1,66 c 0, ,000 5, s / > A s 1,66 c / 7c s 0c Sd -18,0 kn/ { Sd < Rd1,li 13 18,0kN / 31,16kN / Sd Rd Rd1 180kNc / 180 β c 0,157 < 0,7 OK ,79 β z 0,897 βc 0, β s 1,000 A φ () A s,bar (c ) s (c) A s,ef (c /) 5 0,196 8,45 6 0,83 1,36 7 0,385 16,41 s,in tabela 1,44 c / 0,95 c / OK nãohánecessidade dearadura decopressão 180 A s 4,81c / > 1,44 c 0, ,000 5, A s 4,81c / 7c s 0c Sd 11,81 kn/ { Sd < Rd1,li 13 11,81kN / A s,bar φ () (c ) s (c) A s,ef (c /) 5 0, ,78 6 0, ,66 φ () A s,bar (c ) s (c) A s,ef (c /) 8 0, , , ,91 31,16kN / Rd Rd1 Sd / OK nãohánecessidade de aradura decopressão 1181kNc / s c 0,196 c 100 c,31 c ufpr/tc405

29 β β A , ,79 β z 0,935 0,103 1 β s 1,000 c < c 3 tabela s,in 0,95 c / 0,7 OK 1181 A s 3,0 c / > 0,95 c 0, ,000 5, A 3,0 c / 7c s 0c s / OK k. Aradura para os oentos fletores na direção das lajes se continuidades (, L e L3) Sd 0,86 kn/ nãohánecessidade de aradura de copressão { Sd < Rd1,li 13 0,86kN / 31,16kN / Sd Rd Rd1 86kNc / 86 β c 0,008 < 0,7 OK ,79 β z 0,996 βc 0, β s 1,000 A s,in tabela 0,95 c / 86 A s 0,1c / < 0,95 c 0, ,000 5, A 0,95 c / 7c s 0c s Sd 3,0 kn/ { Sd < Rd1,li 13 3,0kN / 31,16kN / / nãohánecessidade dearadura decopressão Sd Rd Rd1 30kNc / 30 β c 0,06 < 0,7 OK ,79 β z 0,984 βc 0, β s 1,000 A A s,in tabela 0,95 c A s,bar φ () (c ) s (c) A s,ef (c /) 6 0,83 9 3,14 8 0, ,14 φ A s,bar s A s,ef () (c ) (c) (c /) 5 0, ,98 / 30 0,73 c 0, ,000 5, s / < 0,95 c / ufpr/tc405

30 A s 0,95 c / 7c s 0c Sd 10,34 kn/ { Sd < Rd1,li 13 10,34kN / 31,16kN / Sd Rd Rd1 1034kNc / 1034 β c 0,090 < 0,7 OK ,79 β z 0,944 βc 0, β s 1,000 A A s,in tabela 0,95 c / nãohánecessidade dearadura decopressão 1034,6 c 0, ,000 5, s / > A s,6 c / 7c s 0c l. Aradura positiva φ A s,bar s A s,ef () (c ) (c) (c /) 5 0, ,98 φ () A s,bar (c ) s (c) A s,ef (c /) 5 0,196 7,80 6 0,83 10,83 7 0,385 14,75 0,95 c / OK φ 0 c φ 0 c φ 10 c L L3 φ 0 c φ 11 c φ 9 c ufpr/tc405

31 . Aradura negativa L L3 φ 1 c φ 10 c n. Consideração da laje co curvatura e ua só direção Ebora a relação entre o vão aior (5 ) e o vão enor ( ) da laje supere dois, a dupla curvatura desta laje foi considerada, resultando na aradura ostrada no ite (todas araduras consideradas coo principais). Caso a curvatura na direção do vão aior fosse desprezada (consideração de laje arada e ua só direção), os oentos fletores da laje resultaria: l x1,0 l y1 5,0 p l l y1 x1 5,0,50 >,0,0 l y1 5 x1 bx1 A B AB l pl 8 pl + 14, B x 1,d pd l x1 14, x1 9,1,0 14,,56kN / l x1 pd l 9,1,0 bx1,d 4,55kN / 8,0 8,0 Coo não houve odificações nos oentos fletores na direção /L, a distribuição de oentos e aradura nesta direção peranecerá inalterada para todo o painel de laje. L L3 9,17 18,0,56 6,67 11, ufpr/tc405

32 A única odificação deverá ser feita para a laje, na direção do aior vão (5 ), onde não haverá oento positivo atuando e deverá ser posicionada apenas ua aradura de distribuição, função do oento positivo na outra direção (,56 kn/). L L3 3,0 10,34 É iportante observar que a aradura positiva para o oento fletor positivo da laje (,56 kn/) resultou e 0,95 c /, correspondente ao valor de aradura ínia para laje arada e duas direções. Coo agora a laje será arada e ua só direção, o valor da aradura ínia deve ser alterado para 1,44 c / (1 φ de 13 c). Para a aradura de distribuição, te-se: 0,0 A s,princ A s,in ax 0,90 c / A A s,princ 1,44 c / Sd s,in 0,0 1,44 0,9 c ax 0,90 c / A s,in 0,90 c / 10c s 33c,56 kn / / φ () A s,bar (c ) s (c) A s,ef (c /) 5 0, ,93 6,3 0, ,95 A distribuição de araduras do painel de lajes fica coo a seguir indicado. aradura positiva φ 1 c φ 0 c φ 10 c L L3 φ 13 c φ 11 c φ 9 c ufpr/tc405

33 aradura negativa (inalterada) L L3 φ 1 c φ 10 c Copriento de barras Aradura positiva Barras não alternadas Os coprientos horizontais das araduras positivas (c bx e c by ) de barras não alternadas deve seguir o indicado na Figura 8.4. O copriento total das barras, antes das dobras, será igual ao copriento horizontal soado aos coprientos dos ganchos das extreidades. c by c bx l0y bwy1 bwy cby l0y + bwy1 + bwy cno - φ l φ l c no c no c no l 0x b wx1 b wx c bx l 0x + b wx1 + b wx c no - φ l b w Figura 8.4 Copriento de barras não alternadas aradura positiva Observar na Figura 8.4 que as barras que constitue a aradura positiva das lajes aciças de concreto deve terinar e gancho. Isto deve ser feito para elhorar as condições de ancorage. O gancho de 90, coo ostrado na Figura 8.4, é o ais conveniente, ebora ne sepre possa ser usado. A ponta superior deste gancho deve, tabé, respeitar o cobriento noinal, o que ne sepre é possível. Quando o gancho de 90º não puder ser utilizado, pode-se fazer uso dos ganchos de 135 ou 180º, coo ostrado na Figura [7.7] e na Figura ufpr/tc405

34 φ 4φ 8φ D φ D φ D φ a) b) c) Figura 8.5 Ganchos da aradura positiva O diâetro interno da curvatura (D) dos ganchos das araduras longitudinais de tração deve ser pelo enos igual ao estabelecido na Tabela [7.4] e na Tabela 8.3. Tipo de Aço Bitola () CA-5 CA-50 CA-60 <0 4φ 5φ 6φ 0 5φ 8φ - Tabela 8.3 Diâetro dos pinos de dobraento Barras alternadas Os coprientos horizontais das araduras positivas (c bx e c by ) de barras alternadas, para lajes contínuas, deve seguir o indicado na Figura 8.6. O copriento total das barras, antes das dobras, será igual ao copriento horizontal soado ao copriento do gancho da extreidade que chega ao apoio. c by c bx l0y bwy1 bwy cby l0y + bwy1 + bwy - 0, lx l 0x b wx1 b wx c bx l 0x + b wx1 + b wx 0, l x b w Figura 8.6 Copriento de barras alternadas aradura positiva para lajes contínuas ufpr/tc405

35 Os coprientos horizontais das araduras positivas (c bx e c by ) de barras alternadas, para lajes se continuidade, deve seguir o indicado na Figura 8.7. O copriento total das barras, antes das dobras, será igual ao copriento horizontal soado ao copriento do gancho da extreidade que chega ao apoio. c by c bx l0y bwy1 bwy cby l0y + bwy1 + bwy 0,1 lx φ l c no c no c no l 0x b wx1 b wx c bx l 0x + b wx1 + b wx 0,1 l x b w Figura 8.7 Copriento de barras alternadas aradura positiva para lajes se continuidade Para as lajes que apresenta continuidade e ua só direção, os coprientos horizontais das araduras positivas (c bx e c by ) de barras alternadas, deve ser deterinados de tal fora que: na direção da continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.6; e na direção onde não existe continuidade, seja seguido o indicado na Figura 8.7. É iportante observar que a ABNT NBR 6118, ite 0.1, não faz referência aos 17 c s in h espaçaentos áxio e ínio da aradura de flexão de lajes aciças de concreto constituídas por barras alternadas. Coo o ínio de três barras por etro de laje deve ser antido, o espaçaento áxio das barras alternadas deve seguir o indicado na Figura 8.8 {[3 bar x ( x 17 c )] 10 c 1 }. aradura principal Figura 8.8 Espaçaento áxio da aradura de flexão barras alternadas ufpr/tc405

36 Quanto ao espaçaento ínio deve-se ser antido o estabelecido na Equação Desta fora, pode-se estabelecer para aradura de flexão de lajes aciças de concreto constituídas por barras alternadas: 17c 7 c s in Equação 8.19 h Aradura negativa Lajes contínuas - barras não alternadas Os coprientos horizontais das araduras negativas (c b ) de barras não alternadas de lajes contínuas deve seguir o indicado na Figura 8.9. O copriento total das barras, antes das dobras, será igual ao copriento horizontal soado aos coprientos dos ganchos das extreidades. 0,5 l x,aior 0,5 l x,aior c no lxi c b c no l xj c b 0,5 l x,aior l xk lxli Figura Copriento de barras não alternadas de lajes contínuas aradura negativa As barras que constitue a aradura negativa das lajes continuas deve terinar e gancho de 90, co ostrado na Figura 8.9. Os detalhes do gancho deve respeitar o indicado na Figura 8.5 e na Tabela Lajes contínuas - barras alternadas Os coprientos horizontais das araduras negativas (c b ) de barras alternadas de lajes contínuas deve seguir o indicado na Figura O copriento total das barras, antes das dobras, será igual ao copriento horizontal soado aos coprientos dos ganchos das extreidades ufpr/tc405

37 0,5 l x,aior 0,5 l x,aior c no lxi c b c no l xj c b 0,375 l x,aior Figura Copriento de barras alternadas de lajes contínuas aradura negativa Lajes e balanço barras não alternadas Os coprientos horizontais das araduras negativas (c b ) de barras não alternadas de lajes e balanço deve seguir o indicado na Figura O copriento total das barras, antes das dobras, será igual ao copriento horizontal soado aos coprientos dos ganchos das extreidades. As barras que constitue a aradura negativa das lajes e balanço deve terinar e gancho de 90, co ostrado na Figura Os detalhes do gancho deve respeitar o indicado na Figura 8.5 e na Tabela ,5l ax l bal x l bal c no c no c b l x c no l bal c b 0,5l ax lbal + l x bal Figura 8.31 Copriento de barras não alternadas de lajes e balanço aradura negativa Lajes e balanço barras alternadas Os coprientos horizontais das araduras negativas (c b,aior e c b,enor ) de barras alternadas de lajes e balanço deve seguir o indicado na Figura 8.3. O copriento total das barras, antes das dobras, será igual ao copriento horizontal soado aos coprientos dos ganchos das extreidades ufpr/tc405

38 0,5l ax l bal x l bal c no c b,aior c no l x c b,enor c no l bal c b,aior 0,5l ax lbal + l x bal c b,enor 0,5l 0,5 ax lbal + l x bal Figura 8.3 Copriento de barras alternadas de lajes e balanço aradura negativa Aradura de fissuração vigas de contorno Nas vigas de contorno, ebora consideradas coo apoio siples (se oento negativo), é sepre conveniente colocar ua aradura de fissuração coo indicado na Figura , l xi 0, l xi c no lxi A sy,fiss c b Asx,fiss c b c no L i c b 8φ lb φ c b 0, l xi + 0,5 b w b w Figura 8.33 Vigas de contorno aradura de fissuração ufpr/tc405

39 A aradura de fissuração, coo ostrada na Figura 8.33, deverá corresponder a: 0,5 A sx,pos A sx,fiss ax 0,9c (por etro de laje) fcd 0,018 Ac fyd 0,5 A sy,pos A sy,fiss ax 0,9c (por etro de laje) fcd 0,018 Ac fyd Equação Reações de apoio Segundo a ABNT NBR 6118, ite , as reações de apoio das lajes aciças retangulares co carga uniforeente distribuída, e cada apoio, são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios deterinados por retas inclinadas, a partir dos vértices co os seguintes ângulos: 45 entre dois apoios do eso tipo; 60 a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado siplesente apoiado; e 90 a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. A Figura 8.34 ostra o esquea para cálculo de reações de apoio de lajes A n A n 45 V n V n 90 l i l i Figura 8.34 Reações de apoio de lajes Para a viga V n, sobre a qual as lajes ostradas na Figura 8.34 estão apoiadas, a reação de apoio será dada por: r p A k n Vn Equação 8.1 l i onde: r Vn reação de apoio na viga V n ; p k valor característico da carga uniforeente distribuída na laje; A n área n definida pelo trapézio de base l i da Figura 8.34; l i vão da laje e da viga V n, correspondente a base do trapézio da Figura A Equação 8.1 é válida para qualquer trapézio ou triângulo ostrado na Figura A reação de apoio e qualquer viga suporte das lajes ostradas na Figura será sepre dada pelo produto da carga uniforeente distribuída pela área do triângulo ou trapézio onde atua esta carga, dividido pela base do trapézio ou triângulo (vão da viga suporte) ufpr/tc405

40 Exeplo 8.6: Deterinar os esqueas de carregaento das vigas do painel abaixo representado. Deterinar, tabé, os carregaentos nos pilares. Dados: carga peranente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kn/ ; carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kn/ ; paredes atuantes sobre as vigas de contorno (tijolo furado de 10 c, reboco de 1,5 c e,5 de altura): 4,5 kn/; e peso próprio das vigas (0 c x 50 c):,5 kn/. Solução: A solução do problea consiste na deterinação, para as lajes, dos triângulos e trapézios confore o ite da ABNT NBR Os carregaentos sobre as vigas são deterinados pela aplicação da Equação 8.1. Os carregaentos nos pilares são deterinados pelo cálculo das reações de apoio das vigas. P1 V1A V1B P V3 V4 L 5 P3 VA VB P4 4 7 a. Laje - carga peranente (g k 3,5 kn/ ) 4 V1A 1, A 1A 60 1,464,07 V3 45 A 3 A 4 A A 60 V4 5 A 4 x 5 0 P 0 x 3,5 kn/ 70 kn 1,464 VA, ,464 A 1A,98 5 +,07 A 3 1,464 5, ,07 A 4,536 8, ,464 A A,98 A,98 + 5, ,967 +,98 n ufpr/tc405 OK

41 r Vn pka l i n 3,5,98 r V1A,56 kn/ 4 3,5 5,177 r V3 3,64 kn/ 5 3,5 8,967 r V4 6,77 kn/ 5 3,5,98 r VA,56 kn/ 4 4 V1A,56 kn/ V3 3,64 kn/ 6,77 kn/ V4 5,56 kn/ VA P n (4,56) + (5 3,64) + (5 6,77) + (4,56) 70kN b. Laje L - carga peranente (g k 3,5 kn/ ) OK 7 V1B 5 V4 60 A 4 A 1B 90,500 A L 5 x 7 35 P L 35 x 3,5 kn/ 1,5 kn 60 4,330 VB A B,670 90, ,670 A 1B,500 1, ,330 A 4 10,85 7 +,670 A B,500 1,088 A n 1, ,85 + 1, OK ufpr/tc405

42 r Vn pka l i n 3,5 1,088 r V1B 6,044 kn/ 7 3,5 10,85 r V4 7,578 kn/ 5 3,5 1,088 r VB 6,044 kn/ 7 7 V1B 6,044 kn/ 5 V4 7,578 kn/ 6,044 kn/ VB P n (7 6,044) + (5 7,578) + (7 6,044) 1,5 kn c. Painel de lajes - carga peranente (g k 3,5 kn/ ) OK P1 V1A V1B P,56 kn/ 6,044 kn/ V3 3,64 kn/ 06,77 kn/ 07,578 kn/ 13,855 kn/ L 5 P3 V4,56 kn/ 6,044 kn/ VA VB 4 7 P ufpr/tc405

43 d. Painel de lajes - carga acidental (q k 1,5 kn/ ) P1 V1A V1B P 1,098 kn/,590 kn/ V3 1,553 kn/,690 kn/ 3,48 kn/ 5,938 kn/ L 5 P3 V4 1,098 kn/,590 kn/ VA VB 4 7 P4 Os procedientos para a obtenção dos valores ostrados no painel de carga acidental são os esos efetuados para o painel de cargas peranentes (itens a, b e c). Trocou-se a carga peranente (g k 3,5 kn/ ) pela carga acidental (q k 1,5 kn/ ). Coo não há variação de cargas de ua laje para a outra, o painel ostrado neste ite foi obtido do painel ostrado no ite c, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga peranente). e. V3 carregaento e reações de apoio carga acidental: q k 1,553 kn/ carga peranente: reação da laje: 03,64 kn/ parede: peso próprio da viga: 04,500 kn/ 0,500 kn/ g k 10,64 kn/ q k 1,553 kn/ g k 10,64 kn/ V3 P3 5 P1 G k,p3 G k,p1 6,560 kn Q k,p3 Q k,p1 3,883 kn 10,64 5 Gk, P1 Gk,P3 6,560kN 1,553 5 Qk, P1 Qk,P3 3,883kN f. V4 carregaento e reações de apoio carga acidental: q k 5,938 kn/ carga peranente: reação da laje: 13,855 kn/ peso próprio da viga: 0,500 kn/ g k 16,355 kn/ ufpr/tc405

44 q k 5,938 kn/ g k 16,355 kn/ V4 V 5 V1 G k,v G k,v1 40,888 kn Q k,v Q k,v1 14,845 kn 16,355 5 Gk, V1 Gk,V 40,888kN 5,938 5 Qk, V1 Qk,V 14,845kN g. V1 V carregaento e reações de apoio V1A carga acidental: q k 1,098 kn/ carga peranente: reação da laje: 0,56 kn/ parede: 04,500 kn/ peso próprio da viga: 0,500 kn/ g k 9,56 kn/ V1B carga acidental: q k,590 kn/ carga peranente: reação da laje: 06,044 kn/ parede: 04,500 kn/ peso próprio da viga: 0,500 kn/ g k 13,044 kn/ Q k 3,883 kn Q k 14,845 kn G k 6,560 kn G k 40,888 kn q k 1,098 kn/ q k,590 kn/ g k 9,56 kn/ g k 13,044 kn/ P1 V1A 4 V1B 7 P G k,p1 11,96 kn G k,p 84,078 kn Q k,p1,69 kn Q k,p 18,558 kn G P1 Gk,P3 9 3,5 7 6, , , ,888 11,96kN ,5 4 9, , ,888 84,078kN ,5 7 3, , , ,845,69kN k, G P Gk,P4 k, Q P1 Qk,P3 k, ufpr/tc405

45 Q P Qk,P4 7,5 4 1, , , k, 18,558kN h. Verificação carga peranente: lajes: ( ) x 3,5 kn/... 19,5 kn pp das vigas: [ x ( )] x,5 kn/... 80,0 kn paredes: {[ x (4 + 7 )] + 5 } x 4,5 kn/... 11,5 kn total: ,0 kn carga acidental: lajes: ( ) x 1,5 kn/... 8,5 kn carga peranente (V1 + V): x (G k,p1 + G k,p ) x (11, ,078) ,0 kn OK carga acidental (V1 + V): x (Q k,p1 + Q k,p ) x (, ,558)... 8,5 kn OK i. Observação Neste exeplo fora usados núeros co três casas deciais, o que não é necessário para cálculos norais de estruturas de concreto. Este núero exagerado de casas deciais foi usado para deonstrar a precisão da verificação apresentada no ite h Força cortante e lajes aciças de concreto arado Segundo o ite da ABNT NBR 6118, as lajes aciças pode prescindir de aradura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante, quando a força cortante solicitante de cálculo obedecer à expressão 1 : vsd v Rd1 Equação 8. onde: v Sd força cortante solicitante de cálculo (por etro de laje), podendo ser assuidas as reações de apoio coo ostrado e 8.9; e v Rd1 força cortante resistente de cálculo (por etro de laje). A força cortante resistente de cálculo é dada por: vrd1 [ τrd k ( 1, + 40ρ1) ]d Equação 8.3 onde: τ Rd tensão resistente de cálculo ao cisalhaento; k coeficiente função da taxa de aradura existente na região próxia ao apoio onde está sendo considerada a força cortante; ρ 1 taxa de aradura existente na região próxia ao apoio onde está sendo considerada a força cortante; e d altura útil da laje. A tensão resistente de cálculo ao cisalhaento é dada por: 0,055 3 τ Rd fck fck e MPa Equação 8.4 γ c 1 A ABNT NBR 6118 apresenta a equação de verificação de força cortante coo sendo V Sd V Rd1, ou seja, verificação de forças pontuais (kn). A Equação 8. faz a verificação de forças cortantes por unidade de copriento (kn/). A expressão apresentada pela ABNT NBR 6118 corresponde a VRd1 [ τrd k ( 1, + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwd. Nesta expressão estão incluídos o valor de b w, para que a expressão resulte e força pontual (kn), e o valor σ cp, relativo à força de protensão. A Equação 8.3 não te b w (resulta e força cortante por unidade de copriento - kn/) e não te σ cp (não considera força de protensão) ufpr/tc405

46 O coeficiente k deve ser deterinado da seguinte fora: a. para eleentos onde 50% da aradura inferior não chega até o apoio: 1,0 k Equação 8.5 b. para os deais casos: 1,6 d k ax d e etros Equação 8.6 1,0 A taxa de aradura ρ 1, na região próxia ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, é dada pela expressão: A s1 b w d ρ1 in Equação 8.7 % onde: A s1 b w d área da aradura de tração que se estende até não enos de d + l b,nec alé da seção considerada (Figura 8.35) 1 ; largura ínia da seção ao longo da altura útil d (1 etro); e altura útil da laje. d + l b,nec d + l b,nec A s1 A s d A s1 A s d seção considerada seção considerada Figura 8.35 Aradura a ser considerada na verificação de força cortante e lajes De odo geral pode-se adotar para valores de A s1 : a. 100% da aradura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, para o caso de aradura não alternada; e b. 50% da aradura principal que chega ao apoio onde está sendo considerada a força cortante, para o caso de aradura alternada. Exeplo 8.7: Verificar, para o painel abaixo representado, se as lajes pode prescindir de aradura transversal para resistir aos esforços de tração oriundos da força cortante. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: - estado liite últio, cobinações últias norais, edificação tipo (γ g 1,4 γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura das lajes (h): 10 c; cobriento noinal (c no ):,5 c; barras de flexão alternadas; carga peranente atuante nas lajes (peso próprio incluído): 3,5 kn/ ; e carga acidental atuante nas lajes: 1,5 kn/. 1 Alguns autores prefere considerar, sepre, a aradura positiva que chega ao apoio, ignorando as araduras tracionadas negativas ufpr/tc405

47 Solução: A solução do problea consiste na aplicação da Equação 8.7 para a deterinação dos oentos fletores e lajes isoladas. A uniforização dos oentos negativos na região de continuidade de lajes é feita co a utilização da Equação 8.8. Para a correção dos oentos positivos deve-se usar a Equação 8.9. As araduras deve ser deterinadas co a aplicação da Equação 8.10 a Equação A deterinação das reações de apoio das lajes (força cortante) deve ser feita confore o ite da ABNT NBR 6118, co a aplicação da Equação 8.1. A verificação da força cortante é feita co o uso da Equação 8. a Equação 8.7. P1 V1A V1B P V3 V4 L V5 5 P3 VA VB P4 a. Dados - uniforização de unidades (kn e c) f 5 MPa,5 kn/c ck γ c 1,40 f ck f cd γc 1,40 yk (ELU - cobinação noral),5 1,79 kn/c f 600 MPa 60 kn/c γ s 1,15 (ELU - cobinação noral) fyk 60 f yd 5, kn/c γ 1,15 s b w 100 c h 10 c c no,5c ( c + 1, φ l ) (,5 + 1,5 0,8 ) 6,3 c h 5 d no d 10 (assuido φ l 8 ) A c bw h c aradura negativa fcd A s,in 0,035 A c f yd 1,79 A s,in 0, ,0 c / 5, aradura positiva de lajes aradas e duas direções fcd A s,in 0,03 Ac f A 4 4 yd 1,79 0, , s,in 0,79 c / ufpr/tc405

48 aradura positiva (principal) de lajes aradas e ua direção fcd A s,in 0,035 A c f yd 1,79 A s,in 0, ,0 c / 5, aradura positiva (secundária) de lajes aradas e ua direção 0,0 A s,princ A s,in ax 0,9c fcd 0,018 Ac fyd 0,0 A s,princ A s,in ax 0,9c 1,79 0, ,6 c / 5, 0,0 A s,princ A s,in ax 0,90 c / h φ l 8 10 φl 1,5 c φl, ax 1,5 8 17c 7 c s in (barras alternadas) h 17c 7 c s in 10 0c 7c s 17c (aradura principal, barras alternadas) 10c s 33c (aradura secundária) Rd1,li 0,7b w d f cd f ck 35MPa Rd 1,li 0, ,3 1,79 193kNc / Rd 1, li 19,3kN / áxio oento peritido na laje para que não haja aradura de copressão b. Carregaento das lajes (valores de cálculo) p γ g + γ q d d g k q q p 1,4 3,5 + 1,4 1,5 7,0kN / c. Laje l 4,0 x1 l y1 5,0 l l y1 x1 5,0 4,0 α 1,5 tab α β pd l x1 7,0 4,0 x 1,d αx1 1,4 pd l x1 7,0 4,0 y 1,d αy1 35, x1 y1 x1 1,4 35, 9,9 5,3kN / 3,18kN / ly1 5 x1 y1 l x1 4 bx ufpr/tc405

49 bx1,d pd l β x1 x1 7,0 4,0 9,9 11,31kN / d. Moentos fletores das lajes co continuidade (/L) A uniforização de oentos é feita pela própria sietria do painel de lajes. 11,31 kn/ L 5,3 kn/ 5,3 kn/ e. Moentos fletores das lajes se continuidades ( e L) L 3,18 kn/ 3,18 kn/ f. Aradura para os oentos fletores Sd 5,3 kn/ nãohánecessidadedearadura decopressão { Sd < Rd1,li 13 5,3kN / 19,3kN / Sd Rd Rd 1 53kNc / Rd1 β c 0,7 fck 35MPa b d f w cd 53 β c 0,074 < 100 6,3 1,79 βz 0,954 βc 0, βs 1,000 A A A A s β dβ z s,in Rd1 s tabela f yd 0,79 c A / s,in 0,7 OK 53 1,67 c 0,954 6,3 1,000 5, s / > s 1,67 c / 0,79 c / OK ufpr/tc405

50 7c s 17 c Sd -11,31 kn/ { Sd < Rd1,li 13 11,31kN / 19,3kN / nãohánecessidadedearadura decopressão Sd Rd Rd1 1131kNc / 1131 β c 0,159 < 0,7 OK 100 6,3 1,79 βz 0,896 βc 0, βs 1,000 A A s,in tabela 1,0 c / ,84 c 0,896 6,3 1,000 5, s / > As 3,84 c / 7c s 17c Sd 3,18 kn/ { Sd < Rd1,li 13 3,18kN / 19,3kN / 1,0 c / OK nãohánecessidade dearadura decopressão Sd Rd Rd1 318kNc/ 318 β c 0,045 < 0,7 OK 100 6,3 1,79 β z 0,973 βc 0, βs 1,000 A A φ () A s,bar (c ) s (c) A s,ef (c /) 5 0, ,78 6 0, ,77 7 0,385 17,6 φ () A s,bar (c ) s (c) A s,ef (c /) 6 0,83 7 4,04 7 0, ,85 8 0, ,87 s,in tabela 0,79 c / 318 0,99 c 0,973 6,3 1,000 5, s / > A 0,99 c / 7c s 17c s A s,bar φ () (c ) s (c) A s,ef (c /) 5 0, ,15 6 0, ,66 0,79 c s c 0,196 c 100 c 1,67 c s c 0,83 c 100 c 3,84 c / OK ufpr/tc405

51 g. Aradura φ 13 c 3,87 c / L φ 17 c 1,15 c / φ 11 c 1,78 c / h. Reação de apoio - laje - carga peranente (g k 3,5 kn/ ) - valores característicos 4 V1A 1, A 1A 60 1,464,07 V3 45 A 3 A 4 A A 60 V4 5 A 4 x 5 0 P 0 x 3,5 kn/ 70 kn 1,464 VA, ,464 A 1A,98 5 +,07 A 3 1,464 5, ,07 A 4,536 8, ,464 A A,98 A,98 + 5, ,967 +,98 r Vn n pka l i n 3,5,98 r V1A,56 kn/ 4 3,5 5,177 r V3 3,64 kn/ 5 3,5 8,967 r V4 6,77 kn/ 5 3,5,98 r VA,56 kn/ 4 0 OK ufpr/tc405

52 4 V1A,56 kn/ V3 3,64 kn/ 6,77 kn/ V4 5,56 kn/ VA P n (4,56) + (5 3,64) + (5 6,77) + (4,56) 70kN OK i. Painel de lajes - carga peranente (g k 3,5 kn/ ) - valores característicos P1 V1A V1B P,56 kn/,56 kn/ V3 3,64 kn/ 06,77 kn/ 06,77 kn/ L 3,64 kn/ 5 V4 V5,56 kn/,56 kn/ P3 VA VB 4 4 P4 j. Painel de lajes - carga acidental (q k 1,5 kn/ ) valores característicos P1 V1A V1B P 1,098 kn/ 1,098 kn/ V3 1,553 kn/ 0,690 kn/ 0,690 kn/ L V4 1,553 kn/ 5 V5 1,098 kn/ 1,098 kn/ P3 VA VB 4 4 P4 Os procedientos para a obtenção dos valores ostrados no painel de carga acidental são os esos efetuados para o painel de cargas peranentes (itens h e i). Trocou-se a carga peranente (g k 3,5 kn/ ) pela carga acidental (q k 1,5 kn/ ). Coo ufpr/tc405

53 não há variação de cargas de ua laje para a outra, o painel ostrado neste ite foi obtido do painel ostrado no ite i, na proporção 1,5/3,5 (carga acidental / carga peranente). k. Apoio V1A verificação da força cortante (igual para V1B, VA e VB) v 1,4r + 1,4 r r Sd gk,v1a r qk,v1a gk qk,56kn / 1,098kN / v Sd 1,4,56 + 1,4 1,098 τ Rd 0,055 γ c 3 fck f ck e MPa 5,1kN / 0,055 3 τ Rd 5 0,31MPa 0,03kN / c 1,4 k 1,0 (barras alternadas) A s,ef A s 1 (barras alternadas) A s,ef 1,15 c / (1 φ 17 c) aradura positiva que chega na V1A ρ ρ 1 A s1 b d in w % 1, ,3 0,091% in in % % [ τ k ( 1, + 40ρ )]d 1 vrd1 Rd 1 0,091% 0,091 v 1 0,03 1,0 1, ,3 0,49kN / c 100 v Rd Sd v Rd1 v Sd < v Rd1 5,1kN / 4,9kN / { { OK l. Apoio V3 verificação da força cortante (igual para V5) 3,64kN / rgk,v3 rqk,v3 1,553kN / v Sd 1,4 3,64 + 1,4 1,553 τ Rd 0,03kN / c k 1,0 (barras alternadas) 7,kN / 4,9kN / A s,ef 1,78 c / (1 φ 11 c) aradura positiva que chega na V3 (V5) 1, ,3 0,141% ρ in in % % 1 0,141% ufpr/tc405

54 0,141 0,03 1,0 1, ,3 0,53kN / c 100 v { Sd < v { Rd1 OK v Rd 1 7,kN / 5,3kN /. Apoio V4 verificação da força cortante rgk,v4 6,77kN / rqk,v4,690kn / v Sd 1,4 6,77 + 1,4,690 1,6kN / τ Rd 0,03kN / c k 1,0 (barras alternadas) 5,3kN / A s,ef 3,87 c / (1 φ 13 c) aradura negativa sobre a V4 1 ρ 3, ,3 0,307% in in % % 1 0,307% 0,307 0,03 1,0 1, ,3 0,67kN / c 100 v { Sd < v { Rd1 OK v Rd 1 1,6kN / 6,7kN / 6,7kN / 8.11 Tabelas de CZERNY As tabelas as seguir apresentadas são válidas para lajes retangulares apoiadas e todas as suas bordas, co carregaento uniforeente distribuído. Estas tabelas apresentadas por CZERNY no volue I do Beton Kalender de 1976 fora adaptadas por BURKE para coeficiente de Poisson (ν) igual a 0,0. Nas tabelas que se segue vale as seguintes notações: l x enor vão da laje; l y aior vão da laje; x oento fletor positivo na direção x; y oento fletor positivo na direção na y; bx oento fletor negativo (borda) na direção x; by oento fletor negativo (borda) na direção y; a flecha áxia da laje; p carga uniforeente distribuída e toda laje; α x coeficiente para definição do oento fletor positivo na direção x; α y coeficiente para definição do oento fletor positivo na direção y; β x coeficiente para definição do oento fletor negativo (borda) na direção x; β y coeficiente para definição do oento fletor negativo (borda) na direção y; α a coeficiente para definição da flecha; E c ódulo de elasticidade secante do concreto (E cs ); e h espessura da laje. x p x l p x y l pl bx αx αy βx x by pl β x y c 4 x 3 pl a E h α a 1 Alguns autores considera as araduras positivas que chega ao apoio (1,78 c / 1 φ de 11 c) ufpr/tc405

55 Quatro bordas co apoios siples l y /l x α x α y β x β y α a 1,00,7,7 1,4 1,05 0,8,5 19,4 1,10 19,3,3 17,8 1,15 18,1,3 16,5 1,0 16,9,3 15,4 1,5 15,9,4 14,3 1,30 15,,7 13,6 1,35 14,4,9 1,9 1,40 13,8 3,1 1,3 1,45 13, 3,3 11,7 1,50 1,7 3,5 11, 1,55 1,3 3,5 10,8 1,60 11,9 3,5 10,4 1,65 11,5 3,5 10,1 1,70 11, 3,5 9,8 1,75 10,8 3,5 9,5 1,80 10,7 3,5 9,3 1,85 10,4 3,5 9,1 1,90 10, 3,5 8,9 1,95 10,1 3,5 8,7,00 9,9 3,5 8,6 > 8,0 3,5 6,7 l y y l x x Três bordas co apoios siples e u engaste e l x l y /l x α x α y β x β y α a 1,00 3,4 6,5 11,9 31, 1,05 9, 5,0 11,3 7,6 1,10 6,1 4,4 10,9 4,7 1,15 3,7 3,9 10,4,3 1,0,0 3,8 10,1 0,3 1,5 0, 3,6 9,8 18,7 1,30 19,0 3,7 9,6 17,3 1,35 17,8 3,7 9,3 16,1 1,40 16,8 3,8 9, 15,1 1,45 15,8 3,9 9,0 14, 1,50 15,1 4,0 8,9 13,5 1,55 14,3 4,0 8,8 1,8 1,60 13,8 4,0 8,7 1, 1,65 13, 4,0 8,6 11,7 1,70 1,8 4,0 8,5 11, 1,75 1,3 4,0 8,45 10,8 1,80 1,0 4,0 8,4 10,5 1,85 11,5 4,0 8,35 10,1 1,90 11,3 4,0 8,3 9,9 1,95 10,9 4,0 8,5 9,6,00 10,8 4,0 8, 9,4 > 8,0 4,0 8,0 6,7 l y by y l x x ufpr/tc405

56 Três bordas co apoios siples e u engaste e l y l y /l x α x α y β x β y α a 1,00 6,5 3,4 11,9 31, 1,05 5,7 33,3 11,3 9, 1,10 4,4 33,9 10,9 7,4 1,15 3,3 34,5 10,5 6,0 1,0,3 34,9 10, 4,8 1,5 1,4 35, 9,9 3,8 1,30 0,7 35,4 9,7,9 1,35 0,1 37,8 9,4,1 1,40 19,7 39,9 9,3 1,5 1,45 19, 41,1 9,1 0,9 1,50 18,8 4,5 9,0 0,4 1,55 18,3 4,5 8,9 0,0 1,60 17,8 4,5 8,8 19,6 1,65 17,5 4,5 8,7 19,3 1,70 17, 4,5 8,6 19,0 1,75 17,0 4,5 8,5 18,7 1,80 16,8 4,5 8,4 18,5 1,85 16,5 4,5 8,3 18,3 1,90 16,4 4,5 8,3 18,1 1,95 16,3 4,5 8,3 18,0,00 16, 4,5 8,3 17,8 > 14, 4,5 8,0 16,7 bx l y y l x x Duas bordas co apoios siples e dois engastes e l x l y /l x α x α y β x β y α a 1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 9,8 13,4 39, 1,10 36,0 8,8 1,7 34,4 1,15 31,9 7,9 1,0 30,4 1,0 9,0 6,9 11,5 7, 1,5 6, 6,1 11,1 4,5 1,30 4,1 5,6 10,7,3 1,35,1 5,1 10,3 0,4 1,40 0,6 4,8 10,0 18,8 1,45 19,3 4,6 9,75 17,5 1,50 18,1 4,4 9,5 16,3 1,55 17,0 4,3 9,3 15,3 1,60 16, 4,3 9, 14,4 1,65 15,4 4,3 9,05 13,7 1,70 14,7 4,3 8,9 13,0 1,75 14,0 4,3 8,8 1,4 1,80 13,5 4,3 8,7 11,9 1,85 13,0 4,3 8,6 11,4 1,90 1,6 4,3 8,5 11,0 1,95 1,1 4,3 8,4 10,6,00 11,8 4,3 8,4 10,3 > 8,0 4,3 8,0 6,7 l y by l x y x ufpr/tc405

57 Duas bordas co apoios siples e dois engastes e l y l y /l x α x α y β x β y α a 1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 9,9 46,4 13,8 43, 1,10 9,0 47, 13,5 41,5 1,15 8,0 47,7 13, 40,1 1,0 7, 48,1 13,0 39,0 1,5 6,4 48, 1,7 37,9 1,30 5,8 48,1 1,6 37, 1,35 5,3 47,9 1,4 36,5 1,40 4,8 47,8 1,3 36,0 1,45 4,4 47,7 1, 35,6 1,50 4, 47,6 1, 35,1 1,55 4,0 47,6 1,1 34,7 1,60 4,0 47,6 1,0 34,5 1,65 4,0 47,6 1,0 34, 1,70 4,0 47,4 1,0 33,9 1,75 4,0 47,3 1,0 33,8 1,80 4,0 47, 1,0 33,7 1,85 4,0 47,1 1,0 33,6 1,90 4,0 47,1 1,0 33,5 1,95 4,0 47,1 1,0 33,4,00 4,0 47,0 1,0 33,3 > 4,0 47,0 1,0 3,0 l y y l x bx x Duas bordas co apoios siples, u engaste e l x e outro e l y l y /l x α x α y β x β y α a 1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 3,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 1,7 13,6 34,5 1,15 8,0 33,9 1,0 13,3 31,7 1,0 6,4 34,0 11,5 13,1 9,9 1,5 4,9 34,4 11,1 1,9 8, 1,30 3,8 35,0 10,7 1,8 6,8 1,35 3,0 36,6 10,3 1,7 5,5 1,40, 37,8 10,0 1,6 4,5 1,45 1,4 39,1 9,8 1,5 3,5 1,50 0,7 40, 9,6 1,4,7 1,55 0, 40, 9,4 1,3,1 1,60 19,7 40, 9, 1,3 1,5 1,65 19, 40, 9,1 1, 1,0 1,70 18,8 40, 8,9 1, 0,5 1,75 18,4 40, 8,8 1, 0,1 1,80 18,1 40, 8,7 1, 19,7 1,85 17,8 40, 8,6 1, 19,4 1,90 17,5 40, 8,5 1, 19,0 1,95 17, 40, 8,4 1, 18,8,00 17,1 40, 8,4 1, 18,5 > 14, 40, 8,0 1,0 16,7 bx l y by y l x x ufpr/tc405

58 Três bordas engastadas e u apoio siples e l x l y /l x α x α y β x β y α a 1,00 38,1 44,6 16, 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 3,0 47,1 14, 17,6 46,1 1,0 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,5 9,5 47,7 13,5 17,5 4,5 1,30 8,4 47,7 13, 17,5 41, 1,35 7,6 47,9 1,9 17,5 39,9 1,40 6,8 48,1 1,7 17,5 38,9 1,45 6, 48,3 1,6 17,5 38,0 1,50 5,7 48,7 1,5 17,5 37, 1,55 5, 49,0 1,4 17,5 36,5 1,60 4,8 49,4 1,3 17,5 36,0 1,65 4,5 49,8 1, 17,5 35,4 1,70 4, 50, 1, 17,5 35,0 1,75 4,0 50,7 1,1 17,5 34,6 1,80 4,0 51,3 1,1 17,5 34,4 1,85 4,0 5,0 1,0 17,5 34, 1,90 4,0 5,6 1,0 17,5 33,9 1,95 4,0 53,4 1,0 17,5 33,8,00 4,0 54,1 1,0 17,5 33,7 > 4,0 54,0 1,0 17,5 3,0 l y by y l x bx x Três bordas engastadas e u apoio siples e l y l y /l x α x α y β x β y α a 1,00 44,6 38,1 18,3 16, 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,0 3,1 36, 13,5 13,9 36,7 1,5 9,8 36,1 1,7 13,5 33,8 1,30 8,0 36, 1, 13,3 31,7 1,35 6,4 36,6 11,6 13,1 9,7 1,40 5, 37,0 11, 13,0 8,1 1,45 4,0 37,5 10,9 1,8 6,6 1,50 3,1 38,3 10,6 1,7 5,5 1,55,3 39,3 10,3 1,6 4,5 1,60 1,7 40,3 10,1 1,6 3,6 1,65 1,1 41,4 9,9 1,5,8 1,70 0,4 4,7 9,7 1,5,1 1,75 0,0 43,8 9,5 1,4 1,5 1,80 19,5 44,8 9,4 1,4 1,0 1,85 19,1 45,9 9, 1,3 0,5 1,90 18,7 46,7 9,0 1,3 0,1 1,95 18,4 47,7 8,9 1,3 19,7,00 18,0 48,6 8,8 1,3 19,3 > 14, 48,6 8,0 1,0 16,7 bx l y by l x y x ufpr/tc405

59 Quatro bordas engastadas l y /l x α x α y β x β y α a by y 1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18, 18,8 6,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,0 35, 49,3 15,5 17,9 50,3 1,5 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 9,6 54,8 13,7 17,5 4,0 1,45 8,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 7,8 57,3 13, 17,5 39,5 1,55 7, 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 6,6 57,8 1,8 17,5 37,6 1,65 6,1 57,9 1,7 17,5 36,9 1,70 5,5 57,8 1,5 17,5 36,3 1,75 5,1 57,7 1,4 17,5 35,8 1,80 4,8 57,6 1,3 17,5 35,4 1,85 4,5 57,5 1, 17,5 35,1 1,90 4, 57,4 1,1 17,5 34,7 1,95 4,0 57, 1,0 17,5 33,8,00 4,0 57,1 1,0 17,5 34,5 > 4,0 57,0 1,0 17,5 34,3 l y l x bx x 8.1 Sibologia específica Síbolos base a b w b wxi b wxj b wyi b wyj c b c b,aior c b,enor c bx c by c no d e reb e tij f cd f ck f yd f yk g g k g par g taco diensão flecha largura da laje largura ínia da seção ao longo da altura útil d largura da viga i na direção x largura da viga j na direção x largura da viga i na direção y largura da viga j na direção y copriento horizontal de barra copriento horizontal aior de barra copriento horizontal enor de barra copriento horizontal de barra na direção x copriento horizontal de barra na direção y cobriento noinal altura útil da laje espessura do reboco espessura (enor diensão e planta) do tijolo resistência à copressão do concreto de cálculo resistência à copressão do concreto característica resistência ao escoaento do aço de cálculo resistência ao escoaento do aço característica carga peranente uniforeente distribuída valor característico da carga peranente carga uniforeente distribuída, devida à parede, por unidade de área carga uniforeente distribuída, devida à parede, por unidade de copriento peso do taco por etro quadrado ufpr/tc405

60 h espessura da laje espessura do aterial h conc ar espessura do concreto arado h cont piso espessura do contra-piso h gesso espessura do gesso h par altura da parede k coeficiente função da taxa de aradura existente na região próxia ao apoio l vão de laje vão de viga l b copriento de ancorage l b,nec copriento de ancorage necessário l bal vão de laje e balanço l ef vão efetivo da laje l i vão de laje vão de viga l par largura da parede l x enor diensão da laje l x,aior aior dos vãos l x l xi enor diensão da laje L i l xj enor diensão da laje L j l y aior diensão da laje l yi aior diensão da laje L i l yj aior diensão da laje L j l 0 distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos l 0x distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção x l 0y distância entre faces de dois apoios (vigas) consecutivos na direção y bi oento fletor negativo (borda) da laje L i bi,d oento fletor negativo (borda) de cálculo da laje L i bij oento fletor negativo (borda) na junção das lajes L i e L j bij,d oento fletor negativo (borda) de cálculo na junção das lajes L i e L j bj oento fletor negativo (borda) da laje L j bj,d oento fletor negativo (borda) de cálculo da laje L j bx oento fletor negativo (borda) na direção x bxi,d oento fletor negativo (borda) de cálculo na direção x da laje L i by oento fletor negativo (borda) na direção y byi,d oento fletor negativo (borda) de cálculo na direção y da laje L i i oento fletor positivo da laje L i i,cor oento fletor positivo corrigido da laje L i i,d,cor oento fletor positivo corrigido de cálculo da laje L i j oento fletor positivo da laje L j j,cor oento fletor positivo corrigido da laje L j x oento fletor positivo na direção x xi,d oento fletor positivo de cálculo na direção x da laje L i y oento fletor positivo na direção y yi,d oento fletor positivo de cálculo na direção y da laje L i AB oento fletor positivo no vão AB B oento fletor negativo (engaste) no apoio B Rd oento fletor resistente de cálculo Rd1 oento fletor resistente de cálculo se a consideração de aradura copriida Rd1,li oento fletor resistente de cálculo corresponde ao liite de dutilidade da seção Rd1,li transversal (β x β x,li ) Sd oento fletor solicitante de cálculo p carga uniforeente distribuída correspondente à soatória da carga peranente ais a carga acidental carga uniforeente distribuída na laje carga uniforeente distribuída na viga ufpr/tc405

61 p d valor de cálculo da soatória carga peranente ais carga acidental p k valor característico da carga uniforeente distribuída na laje valor característico da soatória carga peranente ais carga acidental p par peso da parede por unidade de área peso da parede por unidade de área q carga acidental uniforeente distribuída q edif co carga acidental de edifícios coerciais q k valor característico da carga acidental r gk reação de apoio característica devida à carga peranente r gk,vi reação de apoio característica devida à carga peranente na viga V i r qk reação de apoio característica devida à carga acidental r qk,vi reação de apoio característica devida à carga acidental na viga V i r Vn reação de apoio na viga s espaçaento entre as barras que constitue a aradura longitudinal t copriento do apoio v Rd1 força cortante resistente de cálculo v Sd força cortante solicitante de cálculo A s1 área da aradura de tração que se estende até não enos de d + l b,nec alé da seção considerada A c área de concreto A n área de triângulo ou trapézio A s área da seção transversal da aradura longitudinal tracionada A s,bar área da seção transversal da aradura longitudinal tracionada de ua barra A s,in área da seção transversal ínia da aradura longitudinal tracionada A s,princ área da seção transversal principal da aradura longitudinal tracionada A s,ef área da seção transversal efetiva da aradura longitudinal tracionada A sx,fiss aradura de fissuração na direção x A sx,pos aradura positiva na direção x A sy,fiss aradura de fissuração na direção y A sy,pos aradura positiva na direção y A Li área da laje L i D diâetro interno da curvatura E s ódulo de elasticidade do aço E c ódulo de elasticidade secante do concreto G k,pi Reação de apoio devida à carga peranente no pilar P i G k,vi Reação de apoio devida à carga peranente na viga V i P Li força resultante atuante na laje L i Q k,pi Reação de apoio devida à carga acidental no pilar P i Q k,vi Reação de apoio devida à carga acidental na viga V i α a coeficiente para definição da flecha α x coeficiente para definição do oento fletor positivo na direção x α y coeficiente para definição do oento fletor positivo na direção y β c valor adiensional auxiliar β s valor adiensional que define a tensão de tração referente à aradura A s β x coeficiente para definição do oento fletor negativo (borda) na direção x β x valor adiensional que define a posição da linha neutra β y coeficiente para definição do oento fletor negativo (borda) na direção y β z valor adiensional que define o braço de alavanca do binário de forças R cd1, R sd1 φ diâetro das barras da aradura φ l diâetro da barra longitudinal γ c coeficiente de ponderação da resistência do concreto γ conc ar peso específico do concreto arado γ cont piso peso específico do contra-piso γ g coeficiente de ponderação para ações peranentes diretas γ gesso peso específico do gesso γ at peso específico do aterial coeficiente de ponderação para ações variáveis diretas γ q ufpr/tc405

62 γ reb γ s γ tij ρ 1 τ Rd peso específico do reboco coeficiente de ponderação da resistência do aço peso específico do tijolo taxa de aradura existente na região próxia ao apoio tensão resistente de cálculo ao cisalhaento 8.1. Síbolos subscritos bal bar conc ar cont piso cor edif co ef fiss gesso li aior at enor in nec par pos princ reb taco tij balanço barra concreto arado contra-piso corrigido edifício coercial efetivo fissuração gesso liite aior aterial enor ínio necessário parede positivo principal reboco taco tijolo 8.13 Exercícios Ex. 8.1: Diensionar e detalhar as araduras positivas e negativas do painel de lajes abaixo representado. Dados: concreto: C0; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 11 c; altura útil da laje (d): 8 c; carga peranente (g k ): 4,5 kn/ (peso próprio incluído); e carga acidental (q k ):,0 kn/. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas duas lajes; as araduras das lajes deve ser alternadas; e as diensões da figura corresponde a centíetros ufpr/tc405

63 15 L Ex. 8.: Para o painel abaixo indicado, deterinar o valor da carga acidental uniforeente distribuída (q k ) que as lajes pode suportar. Dados: concreto: C0; e aço: CA-50. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 1 c; altura útil da laje (d): 9 c; aradura positiva: 1 φ de 15 c nas duas direções; aradura negativa: 1 φ de 10 c; e carga peranente (g k ): 5 kn/ (peso próprio incluído). Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas duas lajes Ex. 8.3: Diensionar e detalhar as araduras positivas e negativas do painel de lajes abaixo representado. Dados: concreto: C5; e aço: CA ufpr/tc405

64 Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); e carga acidental (q k ): kn/. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas duas lajes; as araduras das lajes deve ser alternadas; e as diensões da figura corresponde a centíetros L Ex. 8.4: A figura abaixo representa a fora de u paviento de u edifício. Sabendo-se que as lajes serão carregadas, alé do peso próprio, por ua carga de revestientos de 1,50 kn/ e por ua carga acidental igual a,0 kn/, pede-se deterinar e detalhar as araduras positivas e negativas do painel de lajes. Dados: concreto: C5; e aço: CA-50. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas três lajes; e as araduras das lajes deve ser alternadas ufpr/tc405

65 3 3 4 L,4 L3 Ex. 8.5: A figura abaixo representa u painel de lajes de u paviento de u edifício. Sabendo-se que as lajes estão carregadas, alé do peso próprio, por ua carga de revestientos de 1,50 kn/ e por ua carga acidental igual a,0 kn/, pede-se deterinar as araduras positivas e negativas da laje L3. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 11 c; altura útil da laje (d): 8 c; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas três lajes; e as araduras das lajes deve ser alternadas.,5 L L3 4,0 6,0 4, ufpr/tc405

66 Ex. 8.6: Apresenta-se, na figura abaixo, o esquea estrutural de u paviento constituído por três lajes aciças de concreto arado. Deterinar as araduras necessárias nas posições N1, N e N3 (c /). Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); e carga acidental (q k ): kn/. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas três lajes; e as diensões da figura corresponde a centíetros N1 L N N3 L Ex. 8.7: Deterinar a áxia carga acidental (q k ) que o painel de laje abaixo representado pode suportar. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 11 c; altura útil da laje (d): 8 c; aradura positiva: 1 φ de 15 c nas duas direções; aradura negativa: 1 φ de 10 c; e carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído). Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas duas lajes ufpr/tc405

67 5,0 L, 5,0 Ex. 8.8: Deterinar, para o painel de lajes abaixo representado: a. o diagraa de oentos fletores (valores de cálculo) na direção x; b. a aradura negativa necessária na borda (encontro) das lajes /L; e c. a aradura positiva, na direção x, da laje L3. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 1 c; altura útil da laje (d): 9 c; revestiento: 1 kn/ ; carga acidental (q k ): 6 kn/ ; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas três lajes; e as araduras das lajes deve ser alternadas. 6,0 L 4, 9,0 y x L3 6,0 3,0 7, ufpr/tc405

68 Ex. 8.9: Deterinar o diagraa de oentos fletores de cálculo sobre os eixos u e v do painel de lajes abaixo representado. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); carga peranente nas lajes (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); carga acidental nas lajes (q k ): kn/ ; e peso da parede (p par ): 4,8 kn/. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente e todas as lajes. v u L L L parede 4 vazado Ex. 8.10: Deterinar a áxia carga acidental (q k ) que o painel de lajes abaixo representado pode suportar. Dados: concreto: C5; e aço: CA-50. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; aradura positiva: 1 φ de 1 c nas duas direções; aradura negativa: 1 φ de 10 c; e carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído). Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas duas lajes ufpr/tc405

69 4,0 L 5,0 3, Ex. 8.11: Deterinar o espaçaento necessário para as barras N1 e N do painel de laje abaixo representado. Dados: concreto: C0; e aço: CA-50. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); carga acidental (q k ): kn/ ; aradura positiva (N): φ de 6,3 ; e aradura negativa (N1): φ de 8. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas duas lajes. N1 N 4,0 L 5,0 3, Ex. 8.1: Para a laje abaixo indicada, deterinar: a. o diagraa de oentos fletores de calculo das lajes, L e L3, na direção x; b. a aradura positiva (c²/) da laje L, na direção y; e c. a aradura negativa (c²/) entre as lajes L e L3, na direção x. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; ufpr/tc405

70 carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); e carga acidental (q k ): kn/. y L L3 4,0 L4 3,0 x 1,5 4,0,0,0 parede pilar vazado Obs.: a laje é e balanço, apoiada apenas na sua borda direita (ligação co a laje L); as deais lajes são suportadas por vigas; a região entre as lajes L e L4 não te laje (vazio); a laje L3 te ua parede co peso de,5 kn/ e altura,8 (área hachureada); e as cargas acidentais atua siultaneaente e todas as lajes. Ex. 8.13: Deterinar as araduras positivas e negativas (c /) na direção x do conjunto de lajes abaixo representado. Dados: concreto: C5; e aço: CA-50. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 1 c; altura útil da laje (d): 9 c; carga peranente (g k ): 5 kn/ (peso próprio incluído); e carga acidental (q k ): 3 kn/. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas duas lajes; as araduras das lajes deve ser alternadas; e apresentar, ao final dos cálculos, o esquea das araduras, co as indicações das áreas (c /) ufpr/tc405

71 6,0 4,0 P1 V1A P V1B P3 V4 y V5A V5B P4 L V V6 P5 4,0 5,0 x V3 P6 P7 Ex. 8.14: Deterinar, para a laje abaixo representada, a altura h ínia (últiplo de 5 c), de tal odo que a resistência aos oentos fletores ocorra se a necessidade de aradura de copressão. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo 1 (γ g 1,35, γ q 1,5, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje: h d + 4 c; revestiento: 1 kn/ ; carga acidental (q k ): 10 kn/ ; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ ufpr/tc405

72 Ex. 8.15: A planta de foras abaixo indicada representa u conjunto de quatro lajes aciças de concreto arado. Levando-se e consideração que na extreidade livre das lajes e balanço L3 e L4 atua ua carga de kn/ na vertical e ua carga horizontal de 0,8 kn/ posicionada a 80 c do piso, deterinar: a. as araduras positivas (c /) para a laje ; e b. as araduras negativas (c /) para as lajes L e L3. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); e carga acidental (q k ): 3 kn/. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas lajes; e as diensões da figura corresponde a centíetros. V1A V1B P1 P 0 P3 V4 0 P5 355 V3 L4 V5 P L 580 V V6 0 P4 L3 110 Ex. 8.16: Para o painel de laje abaixo representado, deterinar: a. o esquea de carga atuante na viga V; e b. as condições de segurança quanto ao estado liite últio, solicitações tangenciais. Sobre todas as vigas do paviento existe parede de peso equivalente a, kn/ e altura,. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações tangenciais (força cortante); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; ufpr/tc405

73 acabaento dos pisos:! regularização: 0,5 kn/ ;! revestiento: 0,7 kn/ ; carga acidental (q k ): 3 kn/ ; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: as diensões da figura corresponde a centíetros; e as vigas deve ser aditas coo siplesente apoiada nos pilares. P1 V1 15 x 60 P 85 V3 15 x 60 h 10 c V4 15 x 60 L h 10 c V5 15 x 60 P3 V 15 x P4 Ex. 8.17: Para o painel de laje abaixo representado, deterinar: a. o esquea de cargas (peranente e acidental) atuantes na viga V5; e b. as condições de segurança quanto ao estado liite últio, solicitações tangenciais. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações tangenciais (força cortante); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura das lajes (h):! : 1 c;! L: 8 c; altura útil das lajes: d h 3 c; acabaento dos pisos:! regularização: 0,5 kn/ ;! revestiento: 1,0 kn/ ; carga acidental (q k ):,0 kn/ ; diensões das vigas: 0 c x 50 c; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: as vigas deve ser aditas coo siplesente apoiada nos pilares ufpr/tc405

74 6,0 4,0 P1 V1A P V1B P3 V4 h 1 c V5A V5B P4 L h 8 c V V6 P5 4,0 5,0 V3 P6 P7 Ex. 8.18: O condoínio de u certo edifício pretende aproveitar a laje de cobertura para construir u depósito e decidiu consultar u especialista para opinar sobre a viabilidade da proposta. O depósito a ser construído será e alvenaria de tijolos furados, 15 c de espessura (tijolos de 10 c + reboco de,5 c por face) co,8 de altura. Possuirá laje de cobertura (L) ipereabilizada co carga total (valor característico) de 3,0 kn/. Levantando inforações do projeto estrutural a época da construção, soube-se que: a laje de cobertura existente () foi diensionada para suportar u oento fletor solicitante de cálculo igual a 10 kn/ na direção x e 0 kn/ na direção y. A viga V1 foi diensionada para suportar u oento fletor solicitante de cálculo igual a 10 kn. Considerando as inforações fornecidas, você autorizaria ou não a construção do depósito? Justifique sua resposta. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje : 10 c; acabaento do piso da laje :! regularização: 0,5 kn/ ;! ipereabilização: 0,5 kn/ ; carga acidental da laje : 0,5 kn/ ; diensões da viga V1: 0 c x 50 c; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: para o levantaento de cargas, desprezar as aberturas de portas e janelas; a viga V1 só recebe carga da laje () existente (não existe parede sobre ela); a viga V1 pode ser considerada coo siplesente apoiada nos pilares; e ignorar as verificações de força cortante nas lajes e vigas ufpr/tc405

75 V1 8,0 5,0 Área prevista para o depósito (no eio da laje de cobertura) y Laje de cobertura (existente) h 10 c x L Laje ipereabilizada co carga total igual a 3,0 kn/ 3,0,80 3,0 Vista frontal do depósito Ex. 8.19: No projeto de lajes couns de edifícios de concreto arado (lajes se aradura de copressão), após o pré-diensionaento (fixação da altura da laje), deve-se: a. verificar os esforços de cisalhaento; b. diensionar a aradura de flexão; e c. verificar as deforações (flechas). Considerando apenas os itens a e b acia (ignorar as deforações), deterine o áxio valor possível de l x para a laje abaixo representada. Dados: concreto: C0; e aço: CA-50. Considerar: solicitações norais (oento fletor) e solicitações tangenciais (força cortante); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 1 c; altura útil da laje (d): 9,5 c; relação entre vãos (l y / l x ); 1,5; carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); e carga acidental (q k ): 1,5 kn/. Obs.: adotar para l x u valor últiplo de 5 c ufpr/tc405

76 l x l y Ex. 8.0: Para a estrutura abaixo representada, deterinar: a. o esquea de carga atuante na viga V7; e b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado liite últio, solicitações tangenciais. Sobre todas as vigas do paviento existe parede de peso equivalente a, kn/ e altura,3. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações tangenciais (força cortante); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; carga peranente nas lajes (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); carga acidental nas lajes (q k ): kn/ ; e peso próprio das vigas: 3 kn/. Obs.: as vigas deve ser aditas coo siplesente apoiada nos pilares. V1 1, P V V7C P3 P1 3, 4,0 V6 L V7B V3 V8 V4 3, L3 1, P4 P5 V7A V5 P6 4,0 4, ufpr/tc405

77 Ex. 8.1: Para a estrutura abaixo representada, deterinar: a. o esquea de carga atuante na viga V; e b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado liite últio, solicitações tangenciais. Sobre todas as vigas do paviento existe parede de peso equivalente a,8 kn/ e altura,. Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações tangenciais (força cortante); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; acabaento dos pisos (revestiento + regularização): 1,5 kn/ ; carga acidental (q k ): kn/ ; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: as vigas deve ser aditas coo siplesente apoiada nos pilares. 3,0 3,0 V1 P1 P 4,0 V4B V5 L V6B V P3 P4 3,0 V4A L3 V6A V3 P5 6,0 P6 Ex. 8.: Para a estrutura abaixo representada, deterinar: a. o áxio oento fletor solicitante de cálculo atuante na viga V4; e b. as condições de segurança das lajes quanto ao estado liite últio, solicitações tangenciais. Sobre todas as vigas do paviento existe parede de peso equivalente a 8 kn/ ufpr/tc405

78 Dados: concreto: C5; e aço: CA-60. Considerar: soente solicitações tangenciais (força cortante); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; acabaento dos pisos (revestiento + regularização): 1,5 kn/ ; carga acidental (q k ): kn/ ; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: as diensões da figura corresponde a centíetros; e as vigas deve ser aditas coo siplesente apoiada nos pilares P1 0X0 V1 0X50 h 10 c P 0X0 0 V 0X50 80 V4 0X50 L h 10 c V5 0X50 0 P3 0X0 V3 0X P4 0X0 Ex. 8.3: Deterinar o carregaento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada. Sobre todas as vigas do paviento existe parede de peso equivalente a 9 kn/. Considerar: estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; acabaento dos pisos:! regularização: 0,5 kn/ ;! revestiento: 1,0 kn/ ; carga acidental (q k ): 3,0 kn/ ; diensões das vigas: 0 c x 50 c; e peso específico do concreto arado: 5 kn/ 3. Obs.: as diensões da figura corresponde a centíetros; e as vigas deve ser aditas coo siplesente apoiada nos pilares ufpr/tc405

79 P V P3 V1 P1 0 L V7 580 V6 580 V5 0 P4 V4 P5 V3 P Ex. 8.4: Deterinar o carregaento atuante nos pilares da estrutura abaixo representada. Considerar: estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); carga peranente nas lajes (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); carga acidental nas lajes (q k ): kn/ ; e peso próprio das vigas: 3 kn/. Obs.: as vigas deve ser aditas coo siplesente apoiada nos pilares. P1 V1 P V4 V6 4 3 V P3 P4 V5 L V7 4 P5 V3 P ufpr/tc405

80 Ex. 8.5: Deterinar a áxia carga acidental q k que as lajes e L são capazes de suportar, sabendo-se que: as araduras positivas (N1, N, N3 e N4) são constituídas por barras de 5 espaçadas a cada 10 c; a aradura negativa (N5) é constituída por barras de 8 espaçadas a cada 10 c; e o carregaento áxio que a viga V4 é capaz de suportar, decorrente das reações das lajes e de seu peso próprio, é igual a 5 kn/ (valor característico). Dados: concreto: C0; e aço: CA-50. Considerar: soente solicitações norais (oento fletor); estado liite últio, cobinações norais, edificação tipo (γ g 1,4, γ q 1,4, γ c 1,4 e γ s 1,15); espessura da laje (h): 10 c; altura útil da laje (d): 7 c; carga peranente (g k ): 4 kn/ (peso próprio incluído); peso próprio das vigas: 1,5 kn/. Obs.: a carga acidental atua siultaneaente nas duas lajes. V1 480 c N N5 L N4 N1 N3 V3 V4 V5 V 400 c 400 c ufpr/tc405