RIGIDEZ DE FIGURAS VERSUS PROPAGAÇÃO DE VARIÂNCIA

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1 RIGIDEZ DE FIGURAS VERSUS PROPAGAÇÃO DE VARIÂNIA Prof. Dr. Antonio Simões Silva 1 Profª Dr. Verônica Maria osta Romão Eng Agrimensor Elo de Souza Silva 1 1 Universidade Federal de Viçosa Departamento de Engenharia ivil Viçosa MG asimoes@ufv.br Universidade Federal de Pernambuco Departamento. de Engenharia artográfica Recife - PE vcosta@ufpe.br RESUMO A rigidez de figuras é uma importante ferramenta para avaliação da qualidade das triangulações. Entretanto a clássica rigidez de figuras que é usada desde o fator R desenvolvido pelo United States oast and Geodetic Surve. Não leva em conta a precisão (desvio padrão) das observações Este artigo mostra o calculo de rigidez de figuras usando propagação de variância. Ao longo do artigo são abordadas a clássica rigidez de figuras e a solução via propagação de variâncias para calcular a precisão do lado de chegada numa figura clássica de triangulação. Para isso o desvio padrão das observações é usado. omo as triangulações têm observações redundantes, há diferentes caminhos para o cálculo do lado de chegada do, lado a partir da base, num quadrilátero completo. As duas abordagens, rigidez de figuras e propagação de variâncias, comparam diferentes trajetórias para calcular o melhor caminho R1. Este artigo mostra também as fórmulas de cálculo da precisão do lado de chegada via propagação de variância. ABSTRAT The strength of figure is an important factor for assessing the qualit of triangulations. However the classical strength of figure that is used after United States oast and Geodetic Surve does not take into account the precision of the observations, both distances and angles. This paper shows the computation of the strength of figure b using the propagation of variances. Throughout the paper is made comparisons between the classical strength of figure and the propagation of variances approach to assess the propagation of the precision of the length of the base line to the closing side through the figure. For doing this standard deviations of the observations are used. As the triangulation has redundant observations there are different was for computing the closing side from the base line. Both approach, the classical strength of figure and the propagation of variance, compare through different was of computing which one is the best, the so called R1.This paper also shows the wa of computing the propagation of variance. 1. INTRODUÇÃO A proposta deste estudo é o cálculo do coeficiente de rigidez (R) de figuras através da propagação de variâncias. Ao longo do trabalho serão feitos cálculos de comparação entre o método já consagrado do coeficiente de rigidez e o método proposto de propagação de variância utilizando o desvio padrão σ. A determinação da rigidez é um importante instrumento de controle nas operações geodésicas, tanto na fase de projeto de uma triangulação quanto durante sua eecução. O coeficiente de rigidez, de emprego já consagrado, não considera, no entanto, a precisão alcançada nas operações de campo, representada pelo desvio padrão (σ) das observações lineares (linha-base) e angulares. omo um dos objetivos do cálculo de R é efetuar o controle da rede, é razoável que o mesmo seja determinado pela propagação de variância, um método preciso e com embasamento teórico consolidado.

2 Eistem, porém, alguns impedimentos ao emprego generalizado da propagação de variâncias na determinação de R, a falta de uma norma que regulamente os valores de σ associados às especificações de 1ª, ª e 3ª ordem, bem como o limite de σ que obriga a determinação de uma nova linha-base e de pontos de Laplace. Esse assunto deve constitui-se um ponto de muitas discussões e estudos específicos. O desenvolvimento aqui apresentado e as propostas decorrentes são apenas uma contribuição, muito ainda pode e deve ser feito. O processo geodésico da triangulação baseia-se na resolução dos sucessivos triângulos, justapostos ou sobrepostos, que compõem uma rede. A triangulação brasileira é constituída por cadeias meridianas com espaçamento aproimado de e interligadas por cadeias paralelas com este mesmo espaçamento, conta com grande quantidade de vértices e se estende por todas as regiões do Brasil, eceto na região norte. A triangulação necessita das chamadas observações superabundantes, elas são imprescindíveis para que a cadeia de triangulação possa ser ajustada através do método dos mínimos quadrados. om essa redundância de observações surge uma multiplicidade de caminhos para condução dos cálculos, cada um fornecendo um valor diferente, evidentemente apenas um valor deve ser adotado; outro aspecto importante é que os triângulos são interdependentes, ou seja, cada triângulo resolvido fornece os elementos que permitem a resolução do seguinte, pode-se ver claramente que nesse processo há uma propagação de erros ao longo da cadeia. Isso é demonstrado através do aumento das dimensões das elipses de erros dos vértices da cadeia à medida que nos afastamos do datum. Surge então a necessidade de estabelecer até que ponto esse acúmulo de erros é aceitável e quando é necessário estabelecer bases e pontos de controle ao longo da cadeia (pontos de Laplace e bases de verificação). Temos então dois problemas para resolver: qual o melhor caminho para condução dos cálculos? Qual o espaçamento entre as bases, ou seja, em que momento o acúmulo de erros é tal que se faça necessária a medição de uma nova base e o estabelecimento de pontos de Laplace? Para responder a essas perguntas o U.S.oast and Geodetic Surve criou o oeficiente de Rigidez (R). A rigidez é uma propriedade da figura geodésica que depende do número de vértices, do número de direções observadas, do número de equações de condição necessárias para sua resolução e da conformação angular dos triângulos que a compõem. A lei de propagação de erros propaga variâncias admitindo que as observações são estatisticamente independentes; ela procura associar, através de um modelo matemático, como a incerteza associada a uma grandeza irá afetar a precisão de outra grandeza que dela é dependente direta ou indiretamente (dependência funcional). Há muitos casos em que podemos aplicar a propagação de variância, como poderemos ver, é possível utilizá-la no cálculo da rigidez de figuras como uma alternativa ao método do U.S. Geodetic Surve. A propagação de variâncias permite que monitoremos o acúmulo de erros na obtenção de grandezas indiretas com base no modelo matemático que representa a realidade observável. Uma vez resolvida a questão do melhor caminho, temos agora que fazer uma coneão entre a propagação de variância e o estabelecimento de bases de verificação e pontos de Laplace. omo já eiste toda uma norma vinculada ao coeficiente R é coerente que amarremos os σ obtidos por propagação de variância a este coeficiente. É esperado que haja alguma correlação entre os valores de R e σ calculados para as mesmas condições, visto que os valores angulares empregados em seus cálculos são os mesmos. Dessa forma uma análise de regressão resultaria numa equação que eplicasse a relação funcional entre R e σ e assim poderíamos estabelecer, usando os limites constantes na norma, valores de σ para as triangulações de 1ª, ª e 3ª ordem (figura isolada e Σ entre bases) que determinariam quando a propagação de erros atingiu o limite aceitável, sugerindo medidas para uma possível correção de rumos. Note-se que o objetivo não é a determinação eata da precisão de um lado do triângulo e sim um ranqueamento dos erros associados a cada caminho escolhido.. ÁLULO DE RIGIDEZ POR PROPAGAÇÃO DE VARIÂNIA A propagação de variâncias permite que monitoremos o acúmulo de erros na obtenção de grandezas indiretas com base no modelo matemático que representa a relação entre parâmetros e observações. Trata-se então de uma ferramenta ideal para o controle das grandes cadeias geodésicas onde há uma grande relação de dependência entre os elementos, afinal como já vimos anteriormente, a triangulação baseia-se na resolução de sucessivos triângulos em que cada figura calculada fornece subsídios para o cálculo da subseqüente. onsideremos o quadrilátero completo (figura básica da rede geodésica brasileira): FIGURA 01 QUADRILÁTERO OMPLETO

3 O alinhamento medido, cujo azimute é conhecido e que possui o Datum em um dos seus etremos é chamado Base de Saída, o lado oposto, que se pretende calcular é chamado Base de hegada. O quadrilátero pode ser decomposto em quatro diferentes triângulos, que podem ser agrupados em duas classes: Triângulos Primários: possuem como um dos lados a base de saída. Triângulos Secundários: possuem como um dos lados a base de chegada. A resolução dos triângulos primários usando a lei dos senos fornece os elementos que permitem a resolução dos triângulos secundários e conseqüentemente a determinação da base de chegada. L é o lado do triângulo que se pretende calcular. é o lado dado ou conhecido (base geodésica). é o ângulo oposto ao lado calculado. é o ângulo oposto ao lado dado. Para uma maior simplificação do modelo, admitimos que (a base geodésica) não será uma variável; isso possibilitará que lidemos apenas com grandezas angulares, homogeneizando a matriz de variância-covariância. Isso não afetará de modo incisivo os nossos cálculos uma vez que a medição da base serve apenas para que se dê uma escala à triangulação. omo o modelo é não linear devemos utilizar a Série de Talor, para tanto é preciso conhecer as derivadas parciais: sen cos = cos () (3) FIG. 0 TRIANGULO PRIMARIO Estas derivadas irão compor a matriz Jacobiana J, a matriz de variância-covariância das observações ( obs ) será diagonal (observações não correlacionadas) e será composta pelas variâncias das grandezas (variáveis) que definem a função (σ² e σ²). Assim temos: J = sen cos = cos sen (4) σ 0 = (5) 0 σ FIG. 03 TRIANGULO PRIMARIO 3. TRIÂNGULOS PRIMÁRIOS E podemos aplicar a lei de propagação de variâncias: Y =J obs J T Efetuando os cálculos matriciais: De um modo geral o lado de um triângulo pode ser definido pelo seguinte modelo matemático: sen L = F(,, ) (1) Em que: L = σ L cos σ sen cos = (6)

4 Esta é a forma algébrica para o cálculo da precisão de qualquer lado dos triângulos que compõem o quadrilátero, mas como veremos adiante a utilizaremos apenas no cálculo dos triângulos primários. Outro aspecto importante que devemos ressaltar é que nosso objetivo não é a determinação eata da precisão de um lado do triângulo e sim a determinação, ou melhor, um ranqueamento dos erros associados a cada caminho escolhido, dessa forma o lado que propaga menos erros é o escolhido para o cálculo da base de chegada. Partindo do raciocínio acima podemos tornar igual a 1 na equação (6) Aplicando a analogia dos senos e desenvolvendo a propagação de variâncias sobre nosso modelo simplificado (tomando o quadrilátero do início deste tópico como referência) chegamos as variâncias dos lados que compõem os triângulos primários. Depois de efetuar os cálculos sobre os triângulos primários chegamos à fase final, que é envolve a determinação da base de chegada por intermédio dos triângulos secundários, sen z sen F (,, z, w) (7) Onde e são os ângulos que entraram no cálculo do triângulo primário associado e z e w são respectivamente o ângulo oposto à base de chegada e o ângulo oposto ao lado determinado pela resolução do triângulo primário. O desenvolvimento matemático de agora em diante é idêntico ao aplicado nos triângulos primários, no entanto o acréscimo de duas novas variáveis (z e w) irá alterar as dimensões das matrizes J e obs. omeçando com as derivadas parciais: sen z sen cos sen z cos (8) (9) cos z sen z (10) FIG 05 TRIANGULO SEUNDARIO sen z cos w cos (11) w om estas derivadas montamos as matrizes J e J T, novamente a matriz de variância-covariância das observações será diagonal e composta por σ², σ², σ²z e σ²w. Efetuando os cálculos matriciais, chegamos à forma algébrica da propagação de variância para os triângulos secundários L z = σ σ z σ w w σ (1) FIG 06 TRIANGULO SEUNDARIO omo pretendemos lidar apenas com grandezas angulares devemos escrever os quatro caminhos possíveis para determinação de D como funções de (base de saída), isso permitirá que a comparação entre as variâncias seja feita sem a necessidade de conhecer o valor da base geodésica (que é apenas um fator de escala). Assim o modelo matemático adaptado para resolução dos triângulos secundários será: Em que as derivadas entre parênteses são aquelas das equações 8 a BIBILIOGRAFIA BRASIL, Presidência da República, Secretaria do Planejamento. Informativo OAR número especial. Brasília,1976. FERNANDES, R.A. Geodésia (volume I). Niterói: DHN, FERNANDES, R.A. Geodésia (volume II). Niterói: DHN, 001. GEMAEL,. Introdução ao ajustamento de observações: aplicações geodésicas. uritiba: Editora UFPR, 1994.

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