Noções de ajustamento de redes fundamentais GA112 - Fundamentos em Geodesia

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1 Noções de ajustamento de redes fundamentais GA112 - Fundamentos em Geodesia Doutorando Henry D. Montecino C. Dra. Regiane Dalazoana henrymontecino@gmail.com Engenharia Cartográfica e de Agrimensura Universidade Federal do Paraná de Setembro de 2014

2 Definição de Rede Geodésica Uma rede geodésica é constituída por um conjunto de pontos materializados no terreno com suas posições definidas em relação a um sistema geodésico de referência. Para sua determinação são utilizadas medições geodésicas que podem ser observações de ângulos, direções, distâncias, diferenças de níveis associadas a observações gravimétricas e ainda por técnica astronômica ou por Geodésia espacial, por exemplo, observações do GPS (De Oliveira 2007). Definição de Rede Geodésica Uma rede geodésica pode ser considerado um objeto geométrico no qual os diferentes pontos da rede são definidas de forma única pelas suas coordenadas. As coordenadas não são diretamente observadas, mas são derivados através de alguns observáveis entre os vários pontos da rede. Usando as relações funcionais apropriadas, os observáveis são utilizados para calcular um conjunto homogéneo de coordenadas dos pontos da rede. Redes geodésicas estão intrinsecamente vinculados aos seus pontos de referência geodésicos, assim, as coordenadas dos pontos de rede podem, em determinadas condições, ser utilizados para recuperar os parâmetros utilizados para determinar a posição datum e orientação (Thomson 1976).

3 Algumas aplicações locais De acordo com Berné et al. (2002) as redes geodésicas são utilizadas em projetos de carácter local, como: Redes de controle para projetos de Engenharia Redes de controle de cartografia cadastral Redes para o controle de deformações, outros Algumas aplicações globais Redes geodésicas podem ser regionais ou globais, e estas podem ser usadas para estudos (Thomson 1976): Geofísicos Rastreamento de satélites artificiais Locação das fronteiras internacionais Elaboração de mapas ou a exploração de recursos naturais, e outras tarefas

4 Definição de Rede Geodésica Uma rede geodésica é desenvolvida a partir dos seguinte procedimentos: Planejamento da rede Medição da rede Ajustamento da rede Analise dos resultados Planejamento (Pre-Analise) No planejamento da uma rede geodésica, uma serie de variáveis devem ser levadas em conta, aspectos técnicos, ambientais e éconmicos estão envolvidos. Entre os aspectos técnicos podem ser salientados: Geometria da rede Número de observações Número de parâmetros (coordenadas) Número de parâmetros fixos Tipo de equipamento, etc. Entre as variáveis ambientais: condições de refração, chuva, condições da atmosfera, etc. Em relação aos aspectos económicos, pelo menos os seguintes deben ser considerados: Pessoal técnico

5 Medição das grandezas Nesta etapa são observadas todas as grandezas necessárias para a estimativa dos parâmetros de interesse, por exemplo: Distancias Direções Linhas de base GPS Gravidade, etc. Ajustamento da rede É a etapa onde são estimados os parâmetros (coordenadas, altitudes, gravidade, outro parâmetro). O ajustamento está geralmente baseado no princípio dos mínimos quadrados, porém este princípio deve ser aplicado por intermédio de um modelo de ajustamento, este pode ser: Gauss Markov ou Paramétrico (L a = F (ξ a)) Equações de condição ou correlatos (L a = 0) Combinado (F (ξ a, L a) = 0)

6 ... Ajustamento da rede O modelo de ajustamento está composto por um modelo funcional e um modelo estocástico. No modelo funcional estão envolvidas as relações matemáticas entre as observações e os parâmetros, exemplos são: Nivelamento n i=1 DV i = 0 Onde DV é o desnivel. Triângulo no plano α + β + γ = 180 Onde α, β e γ sao os ângulos internos do triângulo. Rede GPS AB + BC + CA = 0 Onde AB é o vetor do ponto A até o ponto B. Distancia no plano D AB = (X B X A ) 2 + (Y B Y A ) 2 Onde X A, Y A e X B, Y B sao as coordenadas planas dos pontos A e B respectivamente. O modelo estocástico está associado ás propriedades estadísticas das variáveis envolvidas no modelo funcional, exemplos são a matriz covariância, coeficiente de correlação, pesos das observações. Ao longo da historia os geodesistas e engenheiros tem usado diferentes modelos funcionais em função do requeremento, do equipamento, e das técnicas de observação disponíveis.

7 Na sequência são apresentados os modelos funcionais para as redes geodésicas fundamentais para o plano: Triangulação - Linearização da Equação de ângulo A linearização da equação 1 é: ˆα ij = arctan [ X i X j Y i Y j ] (1) ˆα ij = α 0 ij + α ij X i + α ij Y i + α ij X j + α ij Y j = αij + v αij (2) X i Y i X j Y j Agora o azimute ajustado é: ˆα ij = αij + v αij (3) Onde α ij : é o valor observado para o acimute, v ij : é o residuo Figura : Relação entre coordenadas cartesianas e azimutet

8 Trilateração - Linearização da Equação de Distancia Ŝ ij = (X j X i ) 2 + (Y j Y i ) 2 (4) Linearizando, tem-se: Ŝ ij = S 0 ij + [ S ij X i ] Xi + [ S ij Y i ] Yi + [ S ij X j ] Xj + [ S ij Y j ] Yj (5) Onde: Sij (X 0 = j 0 X0 i )2 + (Yj 0 Y i 0)2 Com (Xj 0, X0 i ) e (Y j 0, Y i 0 ) as coordenadas aproximadas dos pontos i e j respectivamente. Agora considerando uno dos dois pontos de controle com coordenadas conhecidas. Neste caso, a equação 5, contem só duas derivadas parciais Ŝ ij = S 0 ij + [ S ij X i ] Xi + [ S ij Y i ] Yi Onde:Sij (X 0 = j Xi 0)2 + (Y j Yi 0)2 Então a distância ajustada é: Figura : Relacao entre coordenadas cartesianas e azimute Ŝ ij = S ij + v ij (6) Onde S ij : é a distância observada, e v ij : o resíduo

9 Equações de observação em redes GNSS As equações de observação para as componentes de uma linha base GPS vinculada a um sistema cartesiano geocêntrico são (j > i): De maneira simplificada, X ij ε Xij = X j X i Y ij ε Yij = Y j Y i Z ij ε Zij = Z j Z i (7) Y = Aξ + ε (8) Onde, Y: é o vetor de observação de nx1, ε: é o vetor dos erros de observação de n 1, com E{ε} = 0, A: é a matriz de desenho (derivadas parciais das equações de observação em relação aos parâmetros), ξ: é o vetor dos parâmetros desconhecidos de n 1, n: é o número de observações=3 número de linhas base observadas, m: é o vetor de parâmetros desconhecidos=3 número de estacoes, assumindo que m n.

10 Motivação Etapas La Canoa in Venezuela. The astronomic position of this point had been modified Modelos by a gravity matemáticos survey within a radius of 75 km Modelo in hope of Parametrico achieving a well-fitting Exemplos Referencias reference datum. The purpose of this datum in 1956 had been to start computing the triangulation in the north. The word" Provisional" was attached to the name Published by Maney Publishing (c) Survey Review Ltd CAMPO INCHAUSPE ~ TRIANGULATION -- TRllATERATION ASTRO S1 A U HllO-XVIlI Fig. I. Figura : Redes geodésicas antigas na América do Sul

11 Modelo Gauss Markov O modelo GaussMarkov consiste basicamente no estabelecimento de um modelo matemático, no qual devem-se relacionar n observações com u parâmetros, ou seja as observações se escolhem de tal maneira que contenham informação como seja possível em relação aos parâmetros (Sunkel 1998). Uma característica fundamental deste método, é que devem-se formular um número de equações de observação idêntico ao número de observações, ou seja n. O objetivo deste método é estimar as observações ajustadas a partir dos parâmetros ajustados. Modelo Matemático Regularmente, o modelo Gauss Markov é presentado como (Schaffrin 1999; Teunissen 2000): L b = Aξ V, rank(a) = m, V (0, σ 2 0P 1 ) (9) L b : vetor das observações (n 1); V : vetor dos residuos (n 1); L a: vetor das observações ajustadas (n 1); L a = L b + V (10)

12 Modelo Gauss Markov ξ 0 : vetor dos parâmetros aproximados (u 1); ξ: vetor das correcciones (u 1); ξ a: vetor dos parâmetros ajustados (u 1); ξ a = ξ 0 + ξ (11) O modelo Gauss Markov estima as observações ajustadas em função dos parâmetros ajustados, o seja: Sustituindo as eq. 10 e eq. 11 em eq. 12, tem-se, L a = F (ξ a) (12) L b + V = F (ξ 0 + ξ) (13) Além disso, muitas vezes a função definida em 12 é não linear porém é conveniente fazer uma aproximação linear por desenvolvimento em série de Taylor resultando o seguinte: L b + V = F (ξ 0 ) + F ξ ξ (14) a ξa=ξ0 Cabe salientar que o fato de considerar solo o primeiro termo da série, é devido que regularmente tem-se bons parâmetros aproximados, além disso é necessário fazer um processo iterativo até obter um vetor das correções (ξ) menor do que alguma tolerância (δ) estabelecida.

13 Modelo Gauss Markov Agora, definindo A como a matriz jacobiana, L 0 as observações obtidas a partir dos parâmetros aproximados, obtém-se a seguinte expressão matricial: Fazendo L = L 0 L b tem-se o seguinte: L b + V = L 0 + Aξ (15) V = Aξ + L (16) Retornando à função de Mínimos Quadrados 17 e substituindo 16, tem-se: Φ = (Aξ + L) T P (Aξ + L) (17) Agora, derivando em relação ao vetor dos parâmetros (correções) e igualando a zero: Fazendo N = A T P A y U = A T P L, então: Φ ξ = AT P Aξ + A T P L = 0 (18) Nξ + U = 0 (19)

14 Modelo Gauss Markov A eq.19 representa o sistema de equacoes normais, cuja solução é dada por: ξ = N 1 U (20) Com eq.20 são estimadas as correções para os parâmetros aproximados, e usando 16 e 10 são determinadas as observações ajustadas. Varianza a posteriori ( ˆ σ 2 0 ) Assumindo n observações y u parâmetros, então o valor esperado E{V T P V } = σ2 0 (Hamilton 1964), desde o qual a variância a priori de peso n u unitário é obtida: σ 2 0 = V T P V n u Onde r = n u são os graus de liberdade. (21) Matriz Variância Covariância dos parâmetros ajustados Aplicando propagação de covariâncias sobre o vetor dos parâmetros ajustados tem-se a matriz variância covariância dos parâmetros ajustados: = G G T (22) L b ξ

15 Matriz Variância Covariância dos parâmetros ajustados Além disso P e N 1 são simétricas, então G T = (N 1 A T P ) T = P AN 1 = (N 1 A T P ) (N 1 A T P ) T = (N 1 A T P ) (P AN 1 ) (23) ξ L b L b Como L b = σ0 2P 1 = (N 1 A T P )(σ0p 2 1 )(P AN 1 ) = σ0n 2 1 A T P P 1 P AN 1 = σ0n 2 1 NN 1 ξ Então, = σ0 2 N 1 (24) ξ

16 Rede de Nivelamento Uma rede de nivelamento tem sido medida como indica a figura e deseja-se ajustar usando o método dos mínimos quadrados por intermédio do modelo Gauss Markov. As altitudes sob o Nível Médio do Mar de duas RNs A e B são: H A = 237,150 m; H B = 246,050 m Linha Desnível (m) Distancia (Km) AD CB BE ED CE CA CD Figura : Ajustamento de uma rede de nivelamento por Gauss Markov

17 Equaciones de observação (L + V = Aξ) l AD + v AD + H A = HD a l CB + v CB H B = HC a l BE + v BE + H B = HE a l ED + v ED = HD a Ha E l CE + v CE = HE a Ha C l CA + v CA H A = HC a l AD H C A =. l CD H C l AD H D. l CD H D l AD H E. l CD H E = l CD + v CD = H a D Ha C

18 Equaciones de observação (L + V = Aξ) l AD + v AD + H A = HD a l CB + v CB H B = HC a l BE + v BE + H B = HE a l ED + v ED = HD a Ha E l CE + v CE = HE a Ha C l CA + v CA H A = HC a l AD H C A =. l CD H C l AD H D. l CD H D l AD H E. l CD H E = l CD + v CD = H a D Ha C Matriz dos pesos Considerando o peso dos desníveis como inverso á distancia, a matriz dos pesos é: P = 1 D =

19 Estimativa dos parâmetros e observações ajustados ξ = (A T P A) 1 A T P L b = 219, ,002 Caso Linear! 224,889 23,060 0,087 23,148 27,070 0,108 26,962 21,250 0,088 21,161 L a = L b + V = 10, ,053 = 10,887 5,780 0,020 5,801 18,000 0,061 18,062 5,110 0,023 5,086

20 Estimativa dos parâmetros e observações ajustados ξ = (A T P A) 1 A T P L b = 219, ,002 Caso Linear! 224,889 23,060 0,087 23,148 27,070 0,108 26,962 21,250 0,088 21,161 L a = L b + V = 10, ,053 = 10,887 5,780 0,020 5,801 18,000 0,061 18,062 5,110 0,023 5,086 Cálculo de la varianza de peso unitario a posteriori ˆσ 2 0 = V T P V n u = 0,

21 Estimativa dos parâmetros e observações ajustados ξ = (A T P A) 1 A T P L b = 219, ,002 Caso Linear! 224,889 23,060 0,087 23,148 27,070 0,108 26,962 21,250 0,088 21,161 L a = L b + V = 10, ,053 = 10,887 5,780 0,020 5,801 18,000 0,061 18,062 5,110 0,023 5,086 Cálculo de la varianza de peso unitario a posteriori ˆσ 2 0 = V T P V n u = 0, Estimativa da MVC dos parâmetros ajustados (precisão das altitudes) 0, , , = 0, , , ξ 0, , , H C = 219,088m ± 0,051m H D = 214,002m ± 0,064m H E = 224,889m ± 0,070m

22 Referencias I Berné, J. L., Anquela, A., and Baselga, S. (2002). Microgeodesia y redes locales. De Oliveira, R. (2007). Otimização dos pesos das observações geodésicas pelo problema de valor próprio inverso com considerações sobre o planejamento da confiabilidade da observação. PhD thesis, Departamento de Geociências, Universidade Federal do Paraná. Hamilton, W. (1964). Statistics in physical science: estimation, hypothesis testing, and least squares. Ronald Press Co. Schaffrin, B. (1999). Softly unbiased estimation, part 1: The gauss-markov model. Linear Algebra and its Applications, 289(1 3): Sunkel, H. (1998). Adjustment computations i. Technical Report No., Department for Civil and Environmental Engineering and Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, Ohio, USA. Lecture Notes. Teunissen, P. (2000). Adjustment Theory: An Introducction. Series on Mathematical Geodesy and Positioning. Delft University of Technology. Thomson, D. B. (1976). Combination of geodetic networks. Technical Report No. 30, Department of Surveying Engineering, University of New Brunswick. Lecture Notes.