A Morfologia Matemática e suas Aplicações em Processamento de Imagens

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1 Capítulo 2 A Morfologia Matemática e suas Aplicações em Processamento de Imagens Jacques Facon Resumo A Morfologia Matemática surgiu, a primeira vez, em 1964 das pesquisas conjuntas dos pesquisadores Franceses Georges Matheron e Jean Serra. Entre 1964 e 1968 foram estabelecidas as primeiras noções teóricas (Operação Hit-Miss, abertura, fechamento). Neste mesmo período foi criado o Centre de Morphologie Mathématique na École des Mines de Paris localizada em Fontainebleau (França). A força da Morfologia Matemática reside no fato de quantificar a intuição do pesquisador, analisando a estrutura geométrica das imagens a partir de um conjunto perfeitamente definido e conhecido pelo usuário chamado de Elemento Estruturante. Este vai interagir com cada entidade contida na imagem, modificando a sua aparência, a sua forma, o seu tamanho permitindo assim tirar algumas conclusões necessárias. A eficiência e também a dificuldade da morfologia matemática reside na escolha da deformação certa para transformar a intuição intelectual em aplicação prática. Outra grande vantagem da Morfologia Matemática é a sua simplicidade de implementação. Além do Elemento Estruturante, os dois outros pilares da Morfologia Matemática são as duas operações básicas, a erosão e a dilatação, a partir das quais, por composição, é possível realizar muitos outros operadores poderosos. O que faz que a Morfologia Matemática se destaca muito de outras técnicas de processamento de imagens onde, na maioria dos casos, as implementações não aproveitam das ferramentas já existentes. Por todas estas razões, a área da Morfologia Matemática foi e ainda é o centro de muitas atenções, de numerosas pesquisas que originaram descobertas sensacionais que revolucionaram a área de Processamento de Imagens. Pesquisadores do mundo inteiro usam e estudam novos rumos da Morfologia Matemática, principalmente da Morfologia Matemática para imagens coloridas. O que explica que emergeram várias escolas desta além da linha tradicional da École de Mines de Paris. Como por exemplo as esco- 61

2 las Americana e Holandesa, já estabelecidas faz já alguns anos. Mas também a escola Brasileira em plena expansão. As conseqüências destas diversas influências é a aparição de notações, de regras às vezes um pouco diferentes para cada escola. O que pode às vezes confundir o leitor. Para evitar ao máximo este tipo de confusões, o autor tentou seguir de forma mais fiel possível a linha tradicional da École de Mines de Paris. As notações adotadas seguem portando o formalismo de G. Matheron e de J. Serra. Com este capítulo, o autor pretende apresentar as definições das ferramentas básicas da Morfologia Matemática Binária e em Níveis de cinza, demonstrar como compor ferramentas mais complexas a partir destes operadores básicos e ilustrar suas aplicações através de exemplos didáticos, teóricos e práticos INTRODUÇÃO Preâmbulo Composta das palavras gregas morphê (forma) e logos (ciência), a morfologia trata das formas que a matéria pode tomar. Por exemplo, a morfologia vegetal refere-se ao estudo da estrutura dos organismos vegetais. Da mesma maneira, a morfologia social é o estudo das estruturas da vida social. O que é morfologia matemática? De fato, seguindo esses exemplos, a morfologia matemática, inicialmente elaborada por Georges Matheron e Jean Serra, concentra seu esforço no estudo de estruturas geométricas presentes numa imagem através de ferramentas matemáticas. O princípio básico da morfologia matemática consiste em extrair informações relativas à geometria e à topologia de conjuntos desconhecidos de uma imagem a partir do elemento estruturante. O que é um elemento estruturante? É um conjunto, completamente definido e conhecido pelo computador em forma e tamanho, que é comparado, a partir de uma transformação, aos conjuntos desconhecidos da imagem. O formato e o tamanho do elemento estruturante possibilitam testar e quantificar de que maneira o elemento estruturante está ou não está contido na imagem. O resultado dessa transformação permite avaliar estes conjuntos Elemento estruturante Para facilitar a interpretação do conteúdo das imagens, os elementos estruturantes devem ser os mais simples possíveis. Na maioria dos casos, os elementos estruturantes são escolhidos em função das propriedades de convexidade, não-convexidade, isotropia e anisotropia. Do ponto de vista digital, um elemento estruturante é definido pelos pixels que o formam. Na notação que será usada a seguir, os pixels que formam um elemento estruturante serão representados por. e por. Um pixel marcado. será um pixel do fundo, inativo ou neutro, que não interagirá com a imagem f. Este tipo de pixel simplesmente aparecerá no elemento estruturante para visualizar o seu aspecto geométrico. Um pixel marcado significará um pixel ativo que tem um papel a desenvolver na interação com a imagem f. Os pixels ativos do elemento estruturante criam um sub-conjunto 62

3 que vai agir com a imagem f. O resultado dessa interação será colocado numa posição específica, a do ponto central PC do elemento estruturante, na imagem no momento da ação. O símbolo () representará este ponto central PC no elemento estruturante. Por { ( ) } exemplo,. Na maioria dos exemplos apresentados, o ponto central do elemento estruturante correspondará a seu centro físico. Neste } caso, num} objetivo de simplificação, o símbolo () será omitido. Por exemplo, = {..... {.. (.).. Freqüentemente será necessário introduzir o elemento estruturante transposto B que representa o elemento estruturante obtido por simetria } central de B pela} origem {o } do sistema de referência. Por exemplo, Se B = então B = {... (.)... {... (.)... Nas diferentes transformações que serão abordadas, B x representará o elemento estruturante B centrado no pixel x. Em função do contexto e por necessidade de simplificação, B x será simplesmente notado B. Os elementos { estruturantes mais utilizados na morfologia matemática são o horizontal B H =, o vertical B... } {.. } {.. }... V =.., o cruz B.. C =, o quadrado B.. Q = { } e o Rhombus B R = Da mesma maneira, no caso de imagens binárias, a imagem digital f contêm dois tipos de informação, o fundo (representado por. ) e os pixels relevantes (representados por ). Na forma digital, a imagem f será representada entre [ ] da seguinte forma: Exemplo 2.1 : Representação da imagens binária f ] f = [ Operadores Elementares Um conceito fundamental em Morfologia Matemática é o de relação de ordem. Seja E um conjunto não vazio. A relação habitualmente usada no caso de sub-conjuntos de E é a de inclusão que permite comparar certos sub-conjuntos entre si. Seja P(E ) a coleção de todos os sub-conjuntos de E associada à relação de inclusão. P(E ) representa um conjunto parcialmente ordenado anotado (P(E ), ). [BB94] mostraram que o conjunto (P(E ), ), provido das operações de união e interseção estendidas às famílias em P(E ), forma um reticulado completo. Sejam ψ um operador sobre P e X uma subcoleção de P. [BB94] demonstraram que qualquer operador pode ser decomposto a partir de quatro classes fundamentais de operadores, chamados de operadores elementares, que são a erosão, a anti-erosão, a dilatação e a anti-dilatação. Definição 2.1 Um operador ψ é uma: dilatação se e somente se, para todo X P, ψ(supx)=sup(ψ(x)) 63

4 erosão se e somente se, para todo X P, ψ(in f X)=in f (ψ(x)) anti-dilatação se e somente se, para todo X P, ψ(supx)=in f (ψ(x)) anti-erosão se e somente se, para todo X P, ψ(in f X)=sup(ψ(X)) 2.2. OPERADORES DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA BINÁRIA Erosão e Dilatação Binárias Serão apresentados aqui os dois operadores básicos que constituem os pilares da Morfologia Matemática binária, a erosão eadilatação, Erosão binária [Ser82] define a operação de erosão binária ε da seguinte maneira: Definição 2.2 A erosão de uma imagem f pelo elemento estruturante B é: ε B ( f ) = {x E : B x f } onde B x representa o elemento estruturante B transladado na posição x. Segunda a definição 2.2, deve-se deslizar o elemento estruturante B sobre a imagem f e para cada pixel x verificar a configuração de sua vizinhança em relação à estrutura do elemento estruturante B. Por ser binários, a imagem f e o elemento estruturante B contém dois tipos de informação, o fundo e os pixels relevantes. O significado da definição 2.2 é que o elemento estruturante B x, posicionado e centrado no pixel x de f, tenta aparelhar-se com a vizinhança de x. Entende-se que cada pixel relevante de B x deve encontrar-se na mesma posição na vizinhança de x. Caso seja verificado, o pixel x na imagem erodida será considerado um pixel relevante e será preservado. Caso contrário, ele será considerado como irrelevante e será apagado. [Ser82] e [BB94] demonstraram que a primeira definição 2.2 da erosão pode ser relacionada com a subtração de Minkowski [Min03]. Sejam dois conjuntos P e Q, a subtração de Minkowski do conjunto P em relação a Q, denotada P Q, é definida como sendo: P Q = {x E : b Q, a P : x = a b} = (b Q) P b (1) Seguindo o formalismo de [Ser82], tem-se uma segunda formulação da erosão: Definição 2.3 A erosão da imagem f pelo elemento estruturante B é: ε B ( f ) = (b B) f b = (b B) f b onde B representa o elemento estruturante obtido por simetria central de B pela origem {o} do sistema de referência, e é chamado de B transposto 64

5 Nesta nova definição, pode-se constatar que o elemento estruturante B não desliza mais na imagem f, mas que, ao contrário, é a imagem f que vai se deslocar em função das posições permitidas pelo elemento estruturante B. Entende-se que, na diferença da definição 2.2, tem-se que transladar f e não mais B. Os deslocamentos são realizados em relação ao ponto central de B. Qualquer que seja a definição de erosão, fica fácil adivinhar o que este operador faz. Veja na figura 2.1 um exemplo simples de uma imagem poluída por um leve ruído preto regular. Aplicando a erosão } nos conjuntos pretos da imagem, usando o elemento estruturante quadrado B Q =, percebe-se o que o ruído preto desaparece. { a) (b) Figura 2.1. Limpeza de uma imagem ruidosa: (a) Image Original, (b) Erosão dos conjuntos pretos. A figura 2.2 ilustra um exemplo mais complexo de uma imagem cujo fundo é poluída por um ruído preto e que contêm alguns conjuntos furados, outros conectados e ainda alguns prejudicados internamente por um ruído branco irregular. Aplicando a erosão nos conjuntos pretos da imagem, usando o mesmo elemento estruturante quadrado B Q, percebe-se o que o ruído preto quase desaparece na sua totalidade. Mas que o ruído branco regular se expande, prejudicando o conjunto circular. Aplicando a erosão com o elemento estruturante ainda maior 3 B Q, fica evidente que todo o ruído preto desaparece, que o ruído branco se expande, fazendo desparecer quase por completo o conjunto circular. Percebe-se portanto que, a medida que o elemento estruturante cresce, todos os conjuntos se modificam diminuindo de tamanho e sofrem desgastes maiores. Não somente a aparência externa muda, mas em caso de conjuntos apresentando cavidades internas, as mesmas aumentam de tamanho Dilatação Binária [Ser82] define a operação de dilatação binária δ da seguinte maneira: Definição 2.4 A dilatação de uma imagem f pelo elemento estruturante B é: δ B ( f ) = {x f : B x f 0} onde B x representa o elemento estruturante B transladado na posição x. 65

6 (a) (b) (c) Figura 2.2. Erosões de conjuntos pretos: (a) Image Original, (b) Com o elemento estruturante B Q, (c) Com o elemento estruturante 3 B Q. Segundo a definição 2.4, o elemento estruturante B x, posicionado e centrado em cada pixel x de f desliza na imagem f e verifica uma possível interseção com a vizinhança de x. Caso seja verdadeiro, o ponto central na imagem resultado será considerado um pixel relevante e será marcado como tal. Caso contrário, ele será considerado como irrelevante e será apagado. [Ser82] e [BB94] demonstraram que a primeira definição 2.4 da dilatação pode ser relacionada com a adição de Minkowski [Had50] [Had57]). Sejam dois conjuntos P e Q, a adição de Minkowski do conjunto P em relação a Q, denotada P Q, é definida como sendo: P Q = {x E : a Pe b Q : x = a + b} = b Q P b (2) Seguindo o formalismo de [Ser82], temos a seguinte formulação: Definição 2.5 A dilatação de uma imagem f pelo elemento estruturante B é: δ B ( f ) = f B = (b B) f b = (b B) f b onde B representa o elemento estruturante obtido por simetria central de B pela origem {o} do sistema de referência, e é chamado de B transposto Na definição 2.5, é possível constatar que a imagem f a ser dilatada é deslocada em função das posições permitidas pelo elemento estruturante B. Entende-se que, na diferença da definição 2.4, não é mais B que translada-se mas f. Os deslocamentos são realizados em relação ao ponto central de B. Novamente, qualquer que seja a definição, é fácil prever o que dilatar significa. Veja na figura 2.3 um exemplo simples de uma imagem com conjuntos prejudicados internamente por um leve ruído branco regular. Aplicando a dilatação nos conjuntos 66

7 a) (b) Figura 2.3. Limpeza de uma imagem ruidosa: (a) Image Original, (b) Dilatação dos conjuntos pretos. { } pretos da imagem, usando o elemento estruturante quadrado B Q =, percebe-se o que o ruído branco desaparece e que os conjuntos são preenchidos. A figura 2.4 ilustra um exemplo mais complexo de uma imagem apresentando um fundo poluída por um ruído preto e que contêm alguns conjuntos furados, outros conectados e ainda alguns prejudicados internamente por um ruído branco irregular. Aplicando a dilatação nos conjuntos pretos da imagem, usando o elemento estruturante quadrado B Q, percebe-se o que o ruído branco quase desaparece na sua totalidade, que os conjuntos prejudicados internamente recuperam o aspecto original. Mas que o ruído preto regular se expande. Aplicando a dilatação com o elemento estruturante ainda maior 3 B Q, fica evidente que todo o ruído branco desaparece, que o ruído preto regular se expande mais, chegando a grudar em alguns conjuntos, criando deformações. Percebe-se portanto que, a medida que o elemento estruturante cresce, todos os conjuntos aumentam gradativamente de tamanho e todas as cavidades internas diminuem. Não somente as aparências interna e externa mudam, mas em caso de conjuntos próximos, os mesmos podem ficar conectados. (a) (b) (c) Figura 2.4. Dilatações de conjuntos pretos: (a) Image Original, (b) Com o elemento estruturante B Q, (c) Com o elemento estruturante 3 B Q. 67

8 Implementação avançada da Erosão e da Dilatação binárias As erosão e dilatação binárias podem ser programadas de duas maneiras, seguindo as definições 2.2 ou 2.3, e as definições 2.4 ou 2.5, respectivamente. Qual é a forma mais eficiente de programar erosão e dilatação binárias rápidas? Uma primeira diferença importante se situa na ausência de verificação quando são aplicadas as definições empregando a subtração e adição de Minkowski (definições 2.3 e 2.5). Enquanto nas definições baseadas no deslocamento do elemento estruturante B em cada pixel da imagem, se deve verificar o resultado da interação de B com a imagem f (o que consome tempo), nas definições pelos operadores de Minkowski, as operações são simplesmente realizadas. Uma segunda grande diferença se situa no fato que as definições baseadas nos operadores de Minkowski podem ser implementadas usando a instrução BIT BLT da linguagem C, C ++ ou ainda Delphi. Também existe uma instrução parecida no Linux. A grande vantagem de utilizar este tipo de instrução é que ela emprega a memória do monitor do computador para agilizar a erosão e e dilatação em tempo real. Portanto uma forma de erodir e dilatar de forma veloz imagens binárias é empregar tal instrução para agilizar a subtração e adição de Minkowski Efeitos do elemento estruturante, da Erosão e da Dilatação binárias A figura 2.5 ilustra o impacto de vários elementos estruturantes (ver parágrafo 2.1.2) Cruz B C (em azul), Quadrado B Q (em verde) e Rhombus B R (em vermelho) em conjuntos de geometrias diversas. É óbvio que maior for o elemento estruturante, mais agressivas serão a erosão e a dilatação. Mas os elementos estruturantes não imprimem a sua marca somente na quantidade de pixels removidos ou adicionados, mas também no formato que os conjuntos atingem. Um conjunto circular erodido pelo Cruz B C (em azul) ou Quadrado B Q (em verde) perde progressivamente o seu aspecto redondo a medida que o tamanho do elemento estruturante aumenta. Um conjunto quadrado dilatado pelo Cruz B C (em azul) ou Rhombus B R (em vermelho) perde progressivamente o seu aspecto quadrado a medida que o tamanho do elemento estruturante cresce. O que significa que a geometria pode variar e se deformar com uso de um elemento estruturante inapropriado. Pelos exemplos anteriores (figuras 2.1, 2.2, 2.3, 2.4), pode ser constatado que a erosão e dilatação modificam todos os conjuntos. Em todos os casos, enquanto que esses ficam menores após a erosão, os mesmos ficam maiores após a dilatação. Agrupando os resultados apresentados nesses exemplos, pode-se concluir que, por erosão, os efeitos obtidos são: Diminuir conjuntos, desconectá-los e eventualmente eliminá-los caso o tamanho do elemento estruturante for maior; Aumentar e abrir cavidades. Enquanto que, por dilatação, os efeitos obtidos são: Aumentar conjuntos e eventualmente conectá-los caso o tamanho do elemento estruturante for maior que o espaço entre eles; 68

9 (a) (b) Figura 2.5. Influência dos elementos estruturantes Cruz, Quadrado e Rhombus: (a) Imagem Original (b) Na erosão (c) Na dilatação. (c) Diminuir e preencher cavidades Propriedades da Erosão e da Dilatação binárias Vale a pena esclarecer que as operações de erosão e de dilatação são ditas duais e que a interpretação da dilatação é complementar da interpretação da erosão. O complemento da proposição B x está incluído em f é a proposta a interseção de B x e f não é vazia. Propriedade 2.1 Enquanto a erosão é uma transformação não comutativa, a dilatação é comutativa: ε B ( f ) ε f (B) δ B ( f ) = δ f (B) (3) Propriedade 2.2 A erosão e a dilatação por um ponto reduzem-se a uma translação. Como conseqüência, a dilatação e a erosão são invariantes por translação. ε x ( f )=δ x ( f )= f x (4) Propriedade 2.3 A erosão e a dilatação tem comportamentos interessantes em relação à interseção e à união. 69

10 δ B B ( f )=δ B ( f ) δ B ( f ) (5) Pelo uso da dualidade que existe entre a erosão e a dilatação, tem-se: ε B B ( f )=ε B ( f ) ε B ( f ) (6) e ε B ( f g)=ε B ( f ) ε B (g) (7) Propriedade 2.4 A erosão e a dilatação têm duas propriedades interessantes relativas à repetição. A primeira é: ε B (ε B ( f )) = ε δ B ( B) ( f ) (8) A segunda é: δ B (δ B ( f )) = δ δ B ( B) ( f ) (9) Essas propriedades são fundamentais porque mostram que: Erosões e dilatações com elementos estruturantes grandes podem ser decompostas em seqüências de erosões e dilatações com elementos estruturantes menores. Essa propriedade é particularmente interessante para elementos estruturantes convexos. O que explica que, novamente, os elementos estruturantes mais usados são simples, como B H, B V, B C. Veja o exemplo 2.2 da erosão da imagem f = pelo elemento es- truturante B R. A erosão de f pode ser realizada diretamente ou ainda por duas erosões sucessivas, a primeira pelo elemento estruturante B C seguida da segunda pelo elemento estruturante B Q. Ou ainda o inverso. Exemplo 2.2 ε ( ) = ε = { } (ε {.... } ( )) 70

11 Elementos estruturantes grandes podem ser decompostos em elementos estruturantes menores. O que explica que os elementos estruturantes mais usados são simples, como B H, B V, B C (ver parágrafo 2.1.2). O exemplo a seguir 2.3 mostra o significado dessa propriedade. O elemento estruturante Rhombus B R (que simula o menor elemento estruturante circular) pode ser decomposto a partir do elemento estruturante cruz B C dilatado pelo elemento estruturante quadrado transposto B Q, ou ainda o inverso. Onde B representa o transposto de B obtido por simetria central pela origem do sistema de referência. Como ambos B C e B Q são simétricos, B C = B C e B Q = B Q. Seja portanto: Exemplo 2.3 B R = δ B Q ( B C ) = δ B C ( B Q )= = δ {. }... ( { } )=δ { } ( {.... } ) Ou ainda no exemplo 2.4 do grande elemento estruturante { convexo a seguir que.. } pode ser composto a partir de outro bem menor B C = por 7 dilatações.. sucessivas da seguinte maneira: Exemplo = δ {.... } {.... } {.... ( δ (... δ } {{ } 7 vezes } {.. (.. } ))) Propriedade 2.5 A erosão e a dilatação são operações crescentes. f f = ε B ( f ) ε B ( f ) = δ B ( f ) δ B ( f ) (10) E pela dualidade: B B = ε B ( f ) ε B ( f ) = δ B ( f ) δ B ( f ) (11) 71

12 Propriedade 2.6 Enquanto que a erosão é uma operação anti-extensiva, a dilatação é uma operação extensiva. ε B ( f ) f δ B ( f ) (12) Propriedade 2.7 As erosão e dilatação são transformações contínuas Detecção de bordas O contorno é um dos conceitos mais importantes da área de Processamento de Imagens. A obtenção morfológica do contorno de conjuntos em imagens binárias é uma tarefa muito fácil. Uma maneira simples consiste em comparar imagem original com a versão erodida ou dilatada, como segue: Contorno por erosão: = f ε B ( f ) (13) Contorno por dilatação: = δ B ( f ) f (14) Foi comprovado que o melhor elemento } estruturante para obter contornos de um pixel de espessura e sem falha é B C = {.... A figura 2.6 exemplifica a obtenção do contorno de conjuntos pretos numa imagem por erosão com o elemento estruturante B C (a) (b) Figura 2.6. Obtenção do contorno: (a) Imagem original (b) Contorno por erosão Abertura e Fechamento Binários Foi visto anteriormente que a erosão e a dilatação podem corrigir defeitos numa imagem com desconectar e eliminar conjuntos ou ainda preencher cavidades etc... Porém, nenhum conjunto retocado por essas operações mantém o tamanho original. A erosão reduz enquanto que a dilatação engorda. A partir das propriedades de iteratividade e de dualidade da erosão e dilatação, é possível filtrar reduzindo o impacto às características geométricas dos conjuntos processados. 72

13 Abertura binária Como eliminar as partículas indesejáveis sem modificar o tamanho dos outros conjuntos? Intituivamente, pode-se prever que esta operação consiste em erodir e depois dilatar o resultado da erosão. Define-se assim uma nova operação morfológica chamada de abertura binária e o novo conjunto processado pelo elemento estruturante B chamar-se-á de conjunto aberto por B Definida por [Ser82], a abertura binária γ escreve-se como sendo: Definição 2.6 é: A abertura γ de uma imagem f pelo elemento estruturante B γ B ( f ) = δ B (ε B ( f )) onde B representa o transposto de B obtido por simetria central pela origem {o} do sistema de referência Veja novamente o exemplo da figura 2.1. Por erosão dos } conjuntos pretos da imagem, usando o elemento estruturante quadrado B Q =, foi possível remover { o ruído preto. Mas, como já explicado anteriormente, o tamanho original do conjunto filtrado não foi mantido. Aplicando em seguida uma dilatação com o mesmo elemento estruturante, tem-se o re-estabelecimento do tamanho original. A figura 2.7 ilustra tal resultado. a) (b) (c) Figura 2.7. Limpeza de uma imagem pouco ruidosa: (a) Image Original, (b) Erosão dos conjuntos pretos seguida de (c) Dilatação dos conjuntos pretos. A figura 2.8 exemplifica a limpeza de uma imagem pesadamente contaminada por partículas pretas indesejáveis usando o processo de abertura com os elementos estruturantes 5 B Q e4 B R. Percebe-se que a escolha do elemento estruturante modifica o resultado final. Conforme explicado no parágrafo , os elementos estruturantes imprimem o seu formato. Na figura 2.8-(b), onde é usado o elemento estruturante quadrado 5 B Q, o formato do conjunto quadrado é mantido enquanto o conjunto circular fica imperfeito. Na figura 2.8-(c), onde é usado o elemento estruturante arredondado 4 B R,o formato do conjunto circular é mantido enquanto o conjunto quadrado perde os cantos. 73

14 a) (b) (c) Figura 2.8. Limpeza de uma imagem muito ruidosa: (a) Image Original, (b) Abertura com B Q, (b) Abertura com B R. A figura 2.9 exemplifica a limpeza de uma imagem poluída por um ruído preto e que contêm conjuntos furados, conjuntos conectados e conjuntos prejudicados internamente por um ruído branco irregular. Usando o processo de abertura com o elemento estruturante 2 B Q, percebe-se que o ruído preto desaparece, que o ruído branco permanece e se expande prejudicando os conjuntos contaminados por tal ruído. a) (b) (c) Figura 2.9. Limpeza de uma imagem ruidosa: (a) Image Original, (b) Erosão dos conjuntos pretos seguida de (c) Dilatação dos conjuntos pretos Fechamento binário Como preencher cavidades sem modificar o tamanho dos outros conjuntos? Intituivamente, pode-se prever que esta operação consiste em dilatar e depois erodir o resultado da dilatação. Define-se assim uma nova operação morfológica chamada de fechamento binário e o novo conjunto processado pelo elemento estruturante B chamar-se-á de conjunto fechado por B Definido por [Ser82], o fechamento binário φ escreve-se como sendo: Definição 2.7 Bé: O fechamento φ de uma imagem f pelo elemento estruturante φ B ( f ) = ε B (δ B ( f )) 74

15 onde B representa o transposto de B obtido por simetria central pela origem {o} do sistema de referência Veja novamente o exemplo da figura 2.3. Por dilatação} dos conjuntos pretos da imagem, usando o elemento estruturante quadrado B Q =, foi possível eliminar o { ruído branco, resultando no preenchimento dos conjuntos pretos. Mas, como já explicado anteriormente, o tamanho original do conjunto filtrado não foi mantido. Aplicando em seguida uma erosão com o mesmo elemento estruturante, tem-se o re-estabelecimento do tamanho original. A figura 2.10 ilustra tal resultado. a) (b) (c) Figura Limpeza de uma imagem pouco ruidosa: (a) Image Original, (b) Dilatação dos conjuntos pretos seguida de (b) Erosão dos conjuntos pretos. A figura 2.11 ilustra um exemplo mais complexo de uma imagem poluída por um ruído preto que contém conjuntos furados, conjuntos conectados e conjuntos prejudicados internamente por um ruído branco irregular. Usando o processo de fechamento com o elemento estruturante 2 B Q, percebe-se que o ruído preto permanece cuja partes ficaram grudadas a conjuntos e que os conjuntos contaminados por partículas brancas são corrigidos. a) (b) (c) Figura Limpeza de uma imagem ruidosa: (a) Image Original, (b) Dilatação dos conjuntos pretos seguida de cb) Erosão dos conjuntos pretos. 75

16 Efeitos da Abertura e do Fechamento binários Agrupando os resultados apresentados nos exemplos anteriores (figuras 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11 ), pode-se concluir que, a abertura: Pode separar conjuntos conectados. Para isto, é preciso usar elementos estruturantes de tamanho maior que a conexão: Pode eliminar conjuntos. Para isto, faz-se necessário usar elementos estruturantes de tamanho maior que os conjuntos: Nivela os contornos pelo interior; Devolve conjuntos abertos mais regulares que os conjuntos originais; Gera imagens menos ricas em detalhes que as imagens originais. Enquanto que o fechamento: Pode conectar conjuntos separadas. Para isto, é preciso usar elementos estruturantes de tamanho maior que o intervalo que os separa: Pode preencher buracos e cavidades. Para isto, faz-se necessário usar elementos estruturantes de tamanho maior que os buracos e cavidades: Nivela os contornos pelo exterior; Devolve conjuntos fechados mais regulares que os conjuntos originais; Gera imagens menos ricas em detalhes que as imagens originais. A figura 2.12 exemplifica o exemplo de filtragem de uma imagem contaminada por um ruído preto e branco intenso ( ruído sal pimenta). Percebe-se que a filtragem do fundo pelo processo de abertura permite limpá-lo, mas danificando ainda mais os conjuntos. Pelo processo dual de fechamento, percebe-se que a integridade desses conjuntos é restaurada. A seqüência abertura-fechamento permite uma filtragem quase perfeita da imagem. Aqui a abertura é realizada com o elemento estruturante B Q. O fechamento é realizado com dois elementos estruturantes diferentes, os 4 B Q e3 B R. É possível notar que o elemento estruturante 4 B Q restaura melhor a geometria do conjunto quadrado enquanto que o elemento estruturante 3 B R restaura melhor a geometria do conjunto arredondado. A figura 2.13 exemplifica o exemplo real de filtragem de uma imagem contendo a letra R danificada por partículas pretas e brancas. A seqüência usada para restaurar a letra R é um fechamento com o elemento estruturante 2 B C seguido de uma abertura com o elemento estruturante 4 B C por fim seguido de um fechamento com o elemento estruturante 4 B C. 76

17 a) (b) (c) (d) Figura Limpeza de uma imagem ruidosa: (a) Image Original, (b) Limpeza do fundo com B Q, (c) Filtragem dos conjuntos com B Q,(d) Filtragem dos conjuntos com B R. a) (b) (c) (d) Figura Exemplo complexo de filtragem: (a) Image Original, (b) Limpeza parcial do fundo, (c) Filtragem do "R",(d) Unificação do fundo Propriedades da Abertura e do Fechamento binários Propriedade 2.8 A abertura e o fechamento são transformações crescentes: f g = γ B ( f ) γ B (g) f g = φ B ( f ) φ B (g) (15) Propriedade 2.9 Enquanto a abertura é uma transformação anti-extensiva, o fechamento é uma transformação extensiva: γ B ( f ) f f φ B ( f ) (16) Propriedade 2.10 A abertura e o fechamento apresentam a importante propriedade de idempotência. γ B (γ B ( f )) = γ B ( f ) φ B (φ B ( f )) = φ B ( f ) (17) 77

18 A abertura e o fechamento diferem da erosão e da dilatação pela propriedade da idempotência. Esta propriedade é crucial nos processos de filtragem. Imagine que durante um certo tratamento, o processo de abertura ou fechamento com um certo elemento estruturante dado B não resolveu o problema. Um modo de pensar seria reiterar o processo com o mesmo elemento estruturante B. No caso da abertura e do fechamento, a propriedade da idempotência faz com que o resultado seja idêntico. O que significa que a obtenção de novos resultados será somente possível com o uso de outros elementos estruturantes que o empregado na experiência anterior Afinamento e Espessamento Binários Transformação Hit miss Testar ao mesmo tempo as partes internas e externas de conjuntos de uma imagem, pode ser realizado pela transformação Hit miss que consiste em testar o conteúdo de uma imagem f e seu conteúdo complementário f c a partir de dois elementos estruturantes diferentes disjuntos. Para realizar isso, é preciso de dois elementos estruturantes B i e B e que formam um par V =(B i,b e ), um para testar o interior e o outro o exterior da imagem. Definição 2.8 Aplicar uma transformação Hit miss hom em uma imagem f a partir de um par de elementos estruturantes V =(B i,b e ) é: hom V ( f )={x : B i x f ;B e x f c } Pode-se dizer que um ponto da imagem f pertence à imagem transformada por Hit miss se e somente se B i cabe em f eseb e cabe em f c. Isso supõe obrigatoriamente que B i e B e sejam disjuntos, senão é impossível definir o operador Hit miss. Na prática, a transformação Hit miss pode ser expressa a partir da definição da erosão da seguinte maneira: Definição 2.9 Aplicar uma transformação Hit-miss hom sobre a imagem f a partir de um par de elementos estruturantes V =(B i,b e ) é: hom V ( f )=ε Bi ( f ) ε Be ( f c ) Afinamento Uma transformação homotópica é uma transformação que não modifica o número de conectividade. Isso quer dizer que a imagem inicial e a transformada têm o mesmo número de partes. Uma primeira transformação homotópica é a operação de afinamento afi de uma imagem f que consiste em reduzir a espessura dos componentes conexos de f até um valor infinitamente pequeno sem mudar o número nem o tipo. Ela opera retirando de f pontos que correspondem a uma configuração dada. 78

19 Definição 2.10 Afinar uma imagem f é: afi V ( f )= f /(hom V ( f )) = f /(ε Bi ( f ) ε Be ( f c )) Onde a expressão C 1 /C 2 exprime a diferença pixel a pixel entre os conjuntos C 1 e C 2, definida, em termos de operações entre conjuntos da seguinte maneira C 1 /C 2 = C 1 C c Espessamento Uma transformação homotópica dual do afinamento é a operação de espessamento esp de uma imagem f que consiste em adicionar a f pontos que correspondem a uma configuração dada. Definição 2.11 Espessar uma imagem f é: esp V ( f )= f (hom V ( f )) = f (ε Bi ( f ) ε Be ( f c )) Afinar e Espessar até convergência Afinar e espessar representam processos homotópicos e portanto não destrõem as propriedades da conectividade e preservam a propriedade da homotopia. Os processos afinamento e de espessamento podem ser iterados até atingir a convergência. Nesse nível, as transformações morfológicas de afinamento e de espessamento tornam-se idempotentes. A escolha do par de elementos estruturantes V =(B i,b e ) é crucial. Nesse par de elementos estruturantes, nenhum ponto válido deve pertencer aos dois elementos estruturantes ao mesmo tempo. Por exemplo, este par B i e B e descrito como segue: } } B i = B e = {..... { Na literatura, existe uma outra maneira de representação do par de elementos estruturantes V =(B i,b e ) de forma matricial, onde B i é representado com pixels pretos, B e com pixels brancos. Os pixels que não interagem, chamados de don t care são representados com o símbolo. O precedente exemplo de V =(B i,b e ) é portanto representado assim: { } V =(B i,b e )= X X No lugar de afinar uma imagem através de um par de dois elementos estruturantes, as operações podem ser efetuadas de forma simétrica a partir de famílias de pares de elementos estruturantes, permitindo assim um processo simétrico. É descrita a seguir uma família de pares de elementos estruturantes M permitindo um processo simétrico: M = (M 1,M 2,M 3,M 4,M 5,M 6,M 7,M 8 ) ({ = X X }{ X X }{ X X }{ X X }{ X X }{ X X }{ X X }{ }) X X 79

20 Da mesma maneira, espessar uma imagem pode ser efetuado de forma simétrica a partir da família de pares de elementos estruturantes L abaixo representada: L = (L 1,L 2,L 3,L 4,L 5,L 6,L 7,L 8 ) ({ X }{ X X = X X X }{ X X X X X X }{ X X X X }{ X X X X }{ X X X X }{ X X X X A figura 2.14 exemplifica o afinamento e o espessamento de conjuntos. }{ X X }) X X (a) b) (c) Figura Afinamento e espessamento: (a) Image Original, (b) Afinamento, (c) Espessamento Pruning Freqüentemente os processos de afinamento fazem aparecer nas imagens finais as linhas genéricas procuradas para permitir uma futura pesquisa mas também segmentos de tamanho reduzido chamados de rebarbas ou ainda pés de galinha que são o resultado do processo sobre extremidades. Quando essas rebarbas são relativamente espessas, é possível tirá-las com um processo de abertura a partir de um elemento estruturante adequado do tipo quadrado B Q. Caso as rebarbas sejam finas demais, um processo de abertura não pode ser usado sob pena de destruição excessiva. É possível utilizar nesse caso uma variante do afinamento, o pruning. O objetivo desse processo é tirar, a partir de uma imagem já afinada, os pontos extremos. Para isso, é possível empregar uma das duas seguintes famílias de elementos estruturantes: { }{ }{ X }{ X X }{ X X X }{ X X }{ }{ } X X X X X X X X X X X X X X X X ou { }{ }{ }{ }{ }{ }{ }{ } A grande diferença com o processo de afinamento reside no número de ciclos de supressão de pontos extremos (figura 2.15). Ao contrário do afinamento, o pruning não é um processo idempotente e o fato de continuar o processo pode resultar em uma redução ou grande diminuição ou até destruição parcial da imagem afinada (figuras 2.15-(b) e (c)). Por isso, o número de ciclos no processo de pruning deve ser predeterminado. 80

21 Figura Exemplos de pruning Pontos Extremos e Pontos Múltiplos As entidades afinadas têm uma espessura de um pixel na imagem. Cada pixel possui, em geral, dois vizinhos exceto para alguns pixels particulares que são: Os pixels isolados e as extremidades do conjunto afinado que são os pixels extremos. Duas famílias permitindo extrair os pixels extremos são ilustradas a seguir: { X X X X X X X }{ X X X X X X X }{ X X X X X X X ou { X X X X X }{ X }{ X X X X X X X }{ X X X X X X X X X }{ X X X X X X X }{ X X X X X X X }{ X X X X X X X }{ X X }{ X X X X X X X X } }{ X X X } X X X X As ligações que representam os pixels múltiplos. O número de ligações pode variar entre 3 e 8 (qualquer configuração ao redor do ponto central, tendo pelo menos três pontos brancos, pode representar estes pontos múltiplos), o que corresponde a 56 possibilidades em configurações de vizinhança. Uma forma mais simples de detectar os pontos múltiplos consiste em definir uma função de vizinhança cujo centro seja 1 e onde haja no mínimo mais de dois vizinhos a 1. Dois exemplos de configuração seguem abaixo: em uma { X X X X X ou { X X X X X }{ X X X X X }{ X X X X X }{ X X X X X }{ X X X X X }{ X X } X X X }{ X X } X X X 81

22 Esqueletização Um problema comum quando se processa uma imagem binária é determinar uma réplica estruturada dessa imagem que seja fiel à imagem original. Uma réplica que reflete todas as características da imagem, porém mais econômica em termos de memória, consiste em esqueletizar essa imagem. O interesse desse processo reside na compressão dos dados para permitir análises mais rápidas Definições da Esqueletização Uma primeira definição ( 2.12) do esqueleto da imagem f leva em consideração a fronteira de f. Definição 2.12 Sejam um conjunto f e sua fronteira Δ f, um ponto de f pertence ao esqueleto esq( f ) se a distância euclidiana de f até Δ f for atingida no mínimo em dois pontos distintos de f. x esq( f ) = y1, y2 Δ f, y1 y2 d(x,δ f ) = d(x,y1)=d(x,y2) A noção de esqueleto pode ser ilustrada pela idéia da propagação do fogo no campo: o fogo aceso em todos os pontos do contorno de um campo propaga-se de uma forma isotrópica. Quando duas propagações de fogo encontram-se, esse acaba pela falta de combustível. Os pontos de extinção constituem então o esqueleto. O esqueleto pode ser igualmente definido a partir do conceito de discos máximos contidos em f. Para um ponto pertencente à figura da imagem, existem vários discos centrados nesse ponto completamente contidos na figura. Entretanto, existe um único disco de raio máximo contido na figura e centrado nesse ponto. Qualquer disco que satisfaça essa condição é chamado de disco máximo. O conjunto dos centros de todos os discos máximos constituem o esqueleto da figura da imagem (figura 2.16). Uma segunda definição permite expressar o esqueleto em termos de erosão e de dilatação (figura 2.17): esq (λb,μb) ( f )= λ>0 μ>0 [δ λb ( f )/γ μb (δ λb ( f ))] (18) O esqueleto é a união, segundo todos os λ positivos, da interseção, segundo todos os μ positivos, da diferença da imagem f erodida por λb com o resultado da abertura pelo elemento estruturante μb da imagem f erodida por λb. O termo x μ>0 [δ λb ( f )/γ μb (δ λb ( f ))] na definição 18, traduz a idéia que x representa o centro de um disco máximo de raio λ. Onde a expressão C 1 /C 2 exprime a diferença pixel a pixel entre os conjuntos C 1 e C 2, definida, em termos de operações entre conjuntos da seguinte maneira C 1 /C 2 = C 1 C2 c. Os discos de tamanho superior a λ podem ser eliminados manipulando a operação interseção do termo γ μb (δ λb ( f )). Uma terceira definição 2.13, mais acessível em termos 82

23 Figura Esqueleto pela noção de disco máximo. Figura Erosão e abertura de um conjunto X: geração de um esqueleto. 83

24 de implementação, preconiza a decomposição do esqueleto morfológico em sub-esqueletos da seguinte forma ([Dou92]): cada sub-esqueleto sesq B ( f,n) é associado a um disco máximo nb (n 0) e representa o conjunto de todos os centros de f do disco máximo nb contido em f. Desta maneira, pode afirmar que o esqueleto esq( f ) representa a união dos sub-esqueletos sesq( f,n) (n 0). esq B ( f )= n sesq B ( f,n) O sub-esqueleto sesq B ( f,n) pode ser definido da seguinte maneira: sesq B ( f,n)=δ nb ( f )/γ B (δ nb ( f )) Onde a expressão C 1 /C 2 exprime a diferença pixel a pixel entre os conjuntos C 1 e C 2, definida, em termos de operações entre conjuntos da seguinte maneira C 1 /C 2 = C 1 C2 c. O esqueleto esq B ( f ) da imagem f a partir do elemento es- Definição 2.13 truturante B é: esq B ( f )= n sesq B ( f,n)= n [δ nb ( f )/γ B (δ nb ( f ))] A figura 2.18 ilustra o resultado da obtenção do esqueleto pelo processo de esqueletização dos conjuntos pretos da imagem original com o elemento estruturante B Q. (a) (b) Figura Esqueleto por esqueletização: (a) Image Original, (b) Esqueleto. A figura 2.19 ilustra as diferenças entre o esqueleto por afinamento e por esqueletização. No segundo, as estruturas obtidas ficam mais descontínuas e compactadas que no primeiro onde não há presença de descontinuidades nas estruturas geradas. Isto constitui a grande diferença entre os processos de afinamento e de esqueletização. No primeiro caso, as estruturas obtidas são contínuas e refletem a geometria dos conjuntos. No segundo caso, as estruturas obtidas são quase sempre descontínuas e podem apresentar geometrias muito diferentes dos conjuntos. Essas diferenças nos resultados de afinamento e esqueletização têm na realidade aplicações diferentes. 84

25 (a) (b) Figura (a) Esqueleto por afinamento versus (b) Esqueleto por esqueletização Reconstrução do conjunto inicial a partir do seu Esqueleto O conhecimento do esqueleto esq B ( f ) permite a geração ou a reconstrução da imagem inicial f. Uma primeira definição formula este conceito: X = ρ>0 (δ ρ B (esq B ( f ))) (19) onde ρ representa o raio máximo associado a cada ponto do esqueleto esq B ( f ). O esqueleto obtido pelo método acima, no caso de imagens digitais não tem obrigatoriamente as propriedades do esqueleto não digital por causa dos valores discretos de λ ou de μ. Uma segunda definição formula uma reconstrução implementável da imagem inicial f a partir do esqueleto esq B ( f ), [Dou92]. Definição 2.14 A reconstrução da imagem inicial f a partir de seu esqueleto esq B ( f ) com o elemento estruturante B é: f = n [δ n B (sesq B ( f,n))] (20) Essa propriedade de reconstrução a imagem f é muito interessante sabendo que pode-se reduzir a imagem f sabendo retornar a ela e que a memorização do esqueleto do conjunto requer menos espaço. Essa técnica constitui então uma ferramenta de compressão Propriedades da Esqueletização A esqueletização tem as seguintes propriedades: 85

26 Propriedade 2.11 A esqueletização não é uma transformação crescente: f g = esq B ( f ) esq B (g) (21) Propriedade 2.12 A esqueletização é uma transformação anti-extensiva: esq B ( f ) f (22) Esqueletização (SKIZ) por regiões de influência Outra tarefa comum quando se processa uma imagem binária contendo vários conjuntos consiste em determinar a região de influência de cada um deles para, futuramente, ter um meio de separá-los. Um processo comumente usado consiste em definir o esqueleto por regiões de influência (SKIZ) da imagem ([CC89], [Pré93]). Seja uma imagem f constituída de f 1, f 2,.., f n, n conjuntos individuais conexos. Para cada conjunto f i pode ser associada uma região de influência IZ( f i ) que representa o conjunto de todos os pontos do plano que estão mais próximos de f i que de qualquer outro f j, j i [Vin91]. Tem-se então: IZ( f i )= [y : d(y,x i ) < d(y,x j ), j i] (23) Definição 2.15 O esqueleto por regiões de influência SKIZ da imagem f, anotado SKIZ( f ), é por definição o complementário da união de todos os IZ( f i ): SKIZ( f )=[ i IZ( f i )] c Esse esqueleto por regiões de influência divide a imagem f no mesmo número de regiões que o número de conjuntos f i.oskiz constitui um sub-conjunto do esqueleto do complementário f c. Portanto, esse esqueleto pode ser obtido por espessamentos homotóticos de f (ver a equação 24). Um primeiro passo consiste em empregar a família de elementos estruturantes L anteriormente apresentada. O esqueleto por regiões de influência SKIZ não deve conter nenhum ponto extremo, enquanto o esqueleto do complementário f c obtido por espessamento homotótico de f pela precedente família de elementos estruturantes, (esp L ( f )) c, tem ramos apresentando pontos extremos. Para eliminar esses ramos que constitui o segundo passo, basta efetuar um espessamento com a família E de elementos estruturantes abaixo ilustrada: ({ }{ }{ }{ X X X }{ X X }{ X }{ }{ }) E = X X X X X X X Um maneira de definir o esqueleto por regiões de influência logo é: X X X SKIZ( f )=(esp E (esp L ( f ))) c (24) A figura 2.20 ilustra o resultado da esqueletização por regiões de influência SKIZ sobreposto à imagem original. Percebe-se claramente o assentamento de cada conjunto em relação aos conjuntos vizinhos. 86

27 (a) (b) Figura Esqueleto por regiões de influência: (a) Image Original, (b) Esqueleto SKIZ Reconstrução binária Introdução Os operadores apresentados anteriormente consideram as imagens como sendo conjuntos indivisíveis. Porém, pode surgir a necessidade de restringir os processos em regiões específicas de uma imagem. A seguir será mostrado que as transformações morfológicas podem ser modificadas de maneira a trabalhar somente em subconjuntos da imagem. Serão apresentados aqui operadores morfológicos condicionais que, iterados, poderão atingir a idempotência, propriedade normalmente válida somente para abertura e fechamento euclidianos Erosão e Dilatação condicionais binárias Uma primeira possibilidade de processar parcialmente uma imagem consiste em definir um subconjunto da imagem onde as operações são válidas, por exemplo, tratar um conjunto particular de uma imagem. Operadores erosão e dilatação ditos condicionais permitem realizar esse tipo de processamento. Definição 2.16 A erosão condicional do subconjunto z da imagem f, pelo elemento estruturante B, condicionada à imagem f, sendo que z f, é definida por εcf B : εcf B (z)=εb (z) f De maneira equivalente: Definição 2.17 A dilatação condicional do subconjunto z da imagem f, pelo elemento estruturante B condicionada à imagem f, sendo que z f, é definida por δcf B : 87

28 δ B cf (z)=δ B (z) f A figura 2.21 ilustra as possibilidades que oferece a dilatação condicional comparada à dilatação tradicional. A imagem da figura 2.21-(a) representa o subconjunto z citado na definição Dilatando iterativamente 40 vezes o subconjunto z pela dilatação tradicional com o elemento estruturante quadrado B Q, obtêm-se a imagem de um simples quadrado maior (figura 2.21-(d)). Agora, aplicando a dilatação condicional no subconjunto z iterativamente 40 vezes com o mesmo elemento estruturante condicionada à imagem f do gato da figura 2.21-(b), percebe-se que o resultado obtido é uma parte da imagem do gato (figura 2.21-(e)). Aplicando a dilatação condicional no subconjunto z nas mesmas condições, mas agora condicionada à imagem f da máscara (figura 2.21-(c)), percebe-se que o resultado obtido é uma parte da imagem da máscara (figura 2.21-(f)). O que demonstra que o processo de dilatação no caso condicional não mais é dominado pela geometria do elemento estruturante, mas pela geometria da imagem f. O que também se verifica no caso da erosão condicional. (a) (b) (c) (d) (e) (f) Figura Dilatação condicional versus dilatação tradicional: (a) Subconjunto z, (b) Imagem f do gato, (c) Imagem f da máscara, (e) Dilatação tradicional, (b) Dilatação condicionada à imagem do gato, (c) Dilatação condicionada à imagem da máscara. Percebe-se claramente as novas perspectivas oferecidas pelas dilatação e erosão condicionais detalhadas no parágrafo Definição da reconstrução binária Os conceitos e operadores apresentados anteriormente mostraram que é possível, através de transformações condicionais, processar somente alguns conjuntos S de uma imagem f. Essa característica abre novos horizontes na área de reconstrução. 88

29 Sejam uma imagem binária f contendo um conjunto S e outra imagem binária Z contendo z um subconjunto de S, z S. Pode-se dizer que o conjunto S é marcado pelo subconjunto z. A dilatação condicional permite recuperar o conjunto S a partir do subconjunto z. Esse processo chama-se reconstrução onde a imagem binária Z chamase imagem marcadora ou simplesmente marcador e a imagem binária f de imagem máscara ou simplesmente máscara. Sob algumas restrições, [LM84] mostram que a reconstrução binária pode expressarse a partir da dilatação condicional por um elemento estruturante disco unidade da seguinte maneira: Definição 2.18 A reconstrução binária ρ f (Z) de f a partir do marcador Z, Z f usando o elemento estruturante unidade B é: ρ f (z)=lim n + δcf B (...δ cf B (z)) } {{ } n A figura 2.22 ilustra um exemplo de potencialidade da reconstrução binária. A imagem da figura 2.22-(a) representa a imagem Page 5 corrompida por ruído intenso. A eliminação desse ruído exige uma filtragem agressiva ilustrada na figura 2.22-(b), onde permanecem resíduos das letras Page e do número 5. A tentativa de recuperar Page 5 por dilatação tradicional só permite obter uma versão aproximada (figura (c)), onde as letras Page e o número 5 aparecem danificados. Empregando a imagem resultante da filtragem agressiva (figura 2.22-(b)) como marcador e a imagem original ruidosa (figura 2.22-(a)) como máscara, o processo de reconstrução permite regenerar perfeitamente Page 5 conforme aparece na figura 2.22-(d), sem nenhuma distorção. (a) (b) (c) (d) Figura Filtragem por reconstrução binária: (a) Imagem ruidosa, (b) Eliminação do ruído, (c) Tentativa de recuperação por dilatação tradicional, (d) Reconstrução. A figura 2.23 ilustra outro exemplo das potencialidades da reconstrução binária. A imagem da figura 2.23-(a) representa a imagem das letras Sbf circundadas por uma margem ruidosa e irregular. Por uma filtragem agressiva, elimina-se as letras Sbf e desgasta-se a margem (figura 2.23-(b)). Por reconstrução dessa margem desgastada empregando a imagem original como máscara, gera-se uma imagem da margem completa ruidosa e irregular (figura 2.23-(c)). Basta subtraí-la da imagem original para obter as letras Sbf conforme aparecem na (figura 2.23-(d)), sem nenhuma distorção. 89