MORFOLOGIA MATEMÁTICA. Adair Santa Catarina Curso de Ciência da Computação Unioeste Campus de Cascavel PR

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1 MORFOLOGIA MATEMÁTICA Adair Santa Catarina Curso de Ciência da Computação Unioeste Campus de Cascavel PR Outubro/2015

2 Morfologia Matemática Morfologia na Biologia Estudo da estrutura dos animais e plantas; Morfologia Matemática: Elaborada por Georges Matheron e Jean Serra; Estudo da estrutura geométrica das entidades presentes em uma imagem; Diversas aplicações no processamento e análise de imagens: realce, filtragem, segmentação, detecção de bordas, esqueletização, afinamento, etc; Base matemática Teoria de conjuntos. 2

3 Morfologia Matemática Princípio básico: extrair informações relativas à geometria e à topologia de um conjunto desconhecido (uma imagem), pela transformação através de outro conjunto completamente definido, chamado elemento estruturante. Representação: Imagens binárias Z 2 : Pixels pretos (x, y). Imagens monocromáticas Z 3 : Pixels (x, y, cor). 3

4 Definições Básicas Sejam A e B conjuntos em Z 2 : Componentes são a = (a 1, a 2 ) e b = (b 1, b 2 ). Translação (A) x x = (x 1, x 2 ); (A) x = {c c = a + x, para a A} x 2 A x 1 (A) x 4

5 Definições Básicas Reflexão de B Bˆ Bˆ = {x x = -b, para b B} B BˆBˆBˆ 5

6 Definições Básicas Complemento de A A c A c = {x x A} A A c Diferença entre A e B A B A B = {x x A, x B} = A B c B (A B) 6

7 Dilatação A B = {x ( Bˆ ) x A φ} A B = {x [( Bˆ ) x A] A} A A A B = Bˆ B = Bˆ B = Bˆ A B A B A B 7

8 Erosão A ΘB = {x (B) x A} A A A B = Bˆ B = Bˆ B = Bˆ A ΘB A ΘB A ΘB 8

9 Considerações A dilatação expande uma imagem; A erosão reduz uma imagem; Erosão e dilatação não são operações complementares. Erosão e dilatação são duais entre si com respeito à complementação e reflexão: (A Θ B) c = A c Bˆ 9

10 Abertura Suaviza contornos, quebra istmos estreitos e elimina proeminências delgadas. A B = (A Θ B) B 10

11 Fechamento Funde pequenas quebras, alarga golfos estreitos, elimina pequenos orifícios e preenche falhas no contorno. A B = (A B) Θ B 11

12 Interpretação Geométrica da Abertura A Bécomposta pela união de todas as translações de B que caibam em A. A B = {(B) x (B) x A} 12

13 Interpretação Geométrica do Fechamento um ponto z é um elemento de A Bse, e somente se, (B) x A φpara qualquer translação de (B)que contenha z. 13

14 Propriedades A abertura e o fechamento são operações duais em relação à complementação e reflexão. (A B) c = (A Bˆ ) Propriedades da abertura: A B é um subconjunto (sub-imagem) dea; Se C é um subconjunto de D, então C Bé um subconjunto de D B; (A B) B = A B. Propriedades do fechamento: Aé um subconjunto A B; Se C é um subconjunto de D, então C Bé um subconjunto de D B; (A B) B = A B. 14

15 Exemplo de Filtro Morfológico Remoção de ruídos 15

16 Transformação Hit-or-Miss Reconhecimento de padrões. A hom B = (A Θ Y) [A c Θ (W Y)] B 1 = Y e B 2 = (W Y) A hom B = (A Θ B 1 ) [A c Θ B 2 ] 16

17 Extração de Contornos β(a) = A (A Θ B) 17

18 Preenchimento de Regiões X k = (X k-1 B) A c k = 1, 2, 3, X 0 = p pé um ponto interno à borda Ap = X k A 18

19 Extração de Componentes Conectados X k = (X k-1 B) A k = 1, 2, 3, X 0 = p Y é um conjunto conectado em A pé um ponto de Y Y = X k 19

20 Casco Convexo X i k = (X hom B i ) A i = 1, 2, 3 e 4 k = 1, 2, 3, X i 0 = A D i = X iconv X i k = Xi k-1 4 ( ) i =UD C A i= 1 20

21 Afinamento A B = A (A hom B) ou A B = A (A hom B) c A {B} = ((...((A B1) B2)...) Bn) 21

22 Conectividade Dois pixels são conectados se: São vizinhos segundo algum critério de vizinhança; Existe um critério de similaridade entre estes pixels. Critério de conectivadade: 4-conectividade: p e q satisfazem critério de similaridade e q é 4- vizinho de p; 8-conectividade: p e q satisfazem critério de similaridade e q é 8- vizinho de p; m-conectivade: p e q satisfazem critério de similaridade e: q N4(p) ou q Nd(p) e N4(p) N4(q) = 22

23 Conectividade m-conectividade: q N4(p) ou q Nd(p) e N4(p) N4(q) =. Imagens monocromáticas: Seja V = {32, 33, 34, 35,..., 63, 64}; p = 34 e q = 54 estão 4-conectados. 23

24 m-conectividade m-conectividade é o último passo do algoritmo de afinamento; seu objetivo é descartar os múltiplos caminhos possíveis entre dois pixels. Para se obter uma imagem em m-conectividade aplica-se a transformação hit-or-miss com as imagens abaixo. Em cada hit elimina-se o pixel analisado. 24

25 Espessamento A thi B = A (A hom B) A thi {B} = ((...((A thi B 1 ) thi B 2 )...) thi B n ) 25

26 Esqueletos EsqueletoTransformação do Eixo Médio (MAT); MAT de uma região R com fronteira B: Para cada ponto pem R, encontra-se seu vizinho mais próximo em B. Se ptem mais de um vizinho à mesma distância mínima, diz-se que ppertence ao eixo médio (esqueleto) de R. 26

27 Esqueleto S(A) S K ( A) = US (A) k= 0 S ( A K k ) = U{ ( AΘkB) [ ( AΘkB) ob] } k= 0 K A= U( S (A) kb) k=0= k (A Θ kb) indica k erosões sucessivas de A, ou seja: (A ΘkB) = ((...(A ΘB) ΘB)...) ΘB; Ké o último passo iterativo antes de A resultar, por erosão, em um conjunto vazio; K = Max{k (A ΘkB) }. k 27

28 Esqueleto S(A) Não traz resultados perfeitos; Pode-se reconstruir A a partir de S k (A). 28

29 Poda Remove pixels parasitas da imagem, como aqueles que surgem após uma operação de afinamento. Aplicam-se a expressões X 1 e X 3 i vezes; onde i é o comprimento do ramo parasita. X X 1 = A {B} 8 = U B 2 1 k= 1 ( k X hom ) X 3 = (X 2 H) A X 4 = X 1 X 3 H = Elemento estruturante 3x3 29

30 Poda 30