A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS E A DIALÉTICA FERRAMENTA-OBJETO: UM QUADRO COMPARATIVO

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1 1 A TEORIA DAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS E A DIALÉTICA FERRAMENTA-OBJETO: UM QUADRO COMPARATIVO Wagner Marcelo Pommer Doutor em Educação/FEUSP wmpommer@usp.br Resumo O objetivo deste texto é realizar uma comparação estrutural-conceitual entre a Teoria das Situações Didáticas, delineada por Brousseau (1986, 1996a, 1996b) e a Dialética ferramenta-objeto, estabelecida por Douady (1986). Neste intuito, fizemos uma relação e explicação dos principais elementos caracterizadores das duas vertentes teóricas, o que permite delimitar a estrutura intrínseca de cada aporte, assim como o campo de ação e abrangência frente a meta comum das duas concepções: a composição e análise de situações de aprendizagem. Como metodologia, realizamos os estudos através da descrição dos pontos de semelhanças e diferenças. A análise comparativa entre os dois aportes teóricos permite entender os papéis do professor, dos alunos e do saber nas situações de aprendizagem, assim como compor um quadro de compreensão da dimensão didática necessária e disponível para as indispensáveis transposições didáticas para aprimorar o ensino de Matemática na sala de aula. Palavras-chave: Teoria das Situações Didáticas, Brousseau, Dialética ferramenta-objeto, Douady. Introdução A Teoria das Situações Didáticas, de Guy Brousseau (1986, 1996a, 1996b) e a Dialética ferramenta-objeto, de Douady (1986), compõe um quadro teórico significativo dentro da Didática da Matemática e embasaram várias pesquisas em programas de Pós- Graduação em Educação e em Educação Matemática. Há alguns anos atrás, ao ingressar no Mestrado em Educação Matemática, cursamos a disciplina de Fundamentos da Didática da Matemática. O foco desta disciplina introdutória se situava na vertente francesa, onde realizamos estudos nos quais elaboramos alguns quadros comparativos entre diversos aportes teóricos.

2 2 A Didática da Matemática é uma área que estuda: [...] o processo de transmissão e aquisição de diferentes conteúdos desta ciência, particularmente na situação escolar e universitária. Propõe-se a descrever e explicar os fenômenos relativos às relações entre seu ensino e aprendizagem. Não se reduz somente a buscar uma boa maneira de ensinar uma noção fixa, mesmo quando espera, ao finalizar, ser capaz de oferecer resultados que lhe permitam melhorar o funcionamento do ensino (ENCICLOPAEDIA UNIVERSALIS, s/d apud PARRA; SAIZ, 1996, p. 4). Frente à importância atual destes dois aportes, nos dispusemos a revisitar alguns aspectos primordiais destas duas vertentes teóricas. Segundo Almouloud (2007), a Teoria das Situações Didáticas e a Dialética ferramenta-objeto são dois aportes da corrente de Didática da Matemática francesa denominada de construtivismo didático. O construtivismo didático foi uma proposta alternativa dentro da Psicologia Cognitiva que se baseou em alguns conceitos do construtivismo piagetiano como desequilíbrio, adaptação e acomodação, mas rejeita a idéia das fases de desenvolvimento infantil. Tanto a Teoria das Situações Didáticas como a Dialética ferramenta-objeto colocam como primordial que o conhecimento ocorra em função da efetivação de propostas de ensino adequadas, onde a intensa participação do aluno é vital. Deste modo, Brousseau (1996b) pondera que na Didática da Matemática, as propostas se direcionam a propor situações: (a) onde os alunos possam dar sentido ao conhecimento, através da contextualização e personalização do saber, num movimento de vivenciar do conhecimento pelo aluno; (b) ajudar seus alunos no sentido inverso, ou seja, descontextualizando e despersonalizando os conhecimentos como os matemáticos, de modo a tornar as produções dos alunos fatos universais e reutilizáveis. O objetivo deste texto é realizar uma comparação estrutural-conceitual entre a Teoria das Situações Didáticas, delineada por Brousseau (1986) e a Dialética ferramentaobjeto, estabelecida por Douady (1988).

3 3 Dentro desse contexto, este texto iniciará com a exposição dos principais elementos das tipificações presentes nas duas teorias a serem comparadas. Elementos da Teoria das Situações Didáticas e da Dialética ferramenta-objeto. Para iniciar o quadro de comparações, faz-se necessário descrever as fases das tipologias inerentes a Teoria das Situações Didáticas, delineada por Brousseau (1986) e a Dialética ferramenta-objeto, estabelecida por Douady (1986). Deste modo, a seguir, de modo sintético, apresentamos o Quadro I indicando as tipologias das duas teorias. Quadro I: Elementos da Teoria das Situações Didáticas, de Brousseau (1986) e Dialética ferramento-objeto, de Douady(1988). Teoria das Situações Didáticas Dialética ferramento-objeto - dialética da ação - Antigo Não há correspondente - dialética da formulação - dialética da validação - Pesquisa/ novo implícito - Explicitação/ institucionalização local - dialética da institucionalização - Institucionalização/novo implícito - Reutilização - Familiarização/ reutilização Não há correspondente - Complexificação da tarefa ou novo problema De acordo com Gálvez (1996), há quatro momentos dentro de uma situação didática aos moldes de Brousseau (1986): (1) situações de ação, onde ocorre interação do aluno com o milieu, através da ação do aluno e de suas tentativas de resolvê-la; (2) situações de formulação, onde são feitas escolhas e tentativas de utilização de uma linguagem em comum para comunicação entre os alunos; (3) situações de validação, onde se busca uma linguagem mais rigorosa para convencimento dos pares; (4) O professor procura não intervir diretamente nas três fases anteriores, limitando-se a orientações quando julgar necessário, para evitar possíveis bloqueios. Nas situações de institucionalização o professor reassume a ação, estabelecendo quais

4 4 conhecimentos obtidos nas etapas anteriores são relevantes e quais são descartáveis, configurando o estatuto de objeto aos conhecimento obtidos. Quanto ao aporte de Douady (1986 apud Maranhão, 2002), este possui seis fases. (1) Antigo: para a resolução da situação-problema, o aluno mobilizará (parte de) seus conhecimentos anteriores, que funcionam como ferramenta implícita; (2) Pesquisas ou Novo Implícito: frente a dificuldades para a resolução da situação-problema, os alunos buscam o novo conhecimento, que ainda não dispõem; (3) Explicitação ou Institucionalização local: os alunos colocam em evidência os conhecimentos que conseguiram (ou parte deles), num conflito entre os conhecimentos antigos e os que estão sendo criados. As contradições podem ser resolvidas com ou sem a intervenção do professor, dependendo do risco de bloqueio; (4) Novo implícito ou Institucionalização: O professor atribui o estatuto de objeto as ferramentas validadas, descontextualizando o conhecimento. (5) Familiarização ou reutilização numa situação nova: Os novos conhecimentos com o estatuto de objeto deverão ser operacionalizados, na forma de ferramenta, de modo que o aluno possa utilizá-los em outras situações; (6) Complexificação: Consiste em colocar problemas para ampliação e aquisição de outros novos conhecimentos, como os problemas da vida cotidiana, que são situações mais abrangentes e mais complexas. Diante dessas tipificações, passamos a delinear o quadro de comparação ressaltando as semelhanças entre os pressupostos teórico-conceituais, o que ambas compartilham. O contexto das semelhanças. De início, procuramos descrever o que estas propostas da didática da matemática têm em comum. A Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau e da Dialética ferramentaobjeto, de Régine Douady são utilizadas para compor o quadro teórico e o desenvolvimento de pesquisas. Observamos que os dois autores aparecem imbricados em aplicações de situações didáticas, em Engenharias Didáticas.

5 5 Esta finalidade enquadra no que Gálvez (1996) cita como fator primeiro da Didática da Matemática Francesa, que foi de [...] averiguar como funcionam as situações didáticas, quer dizer, quais das características de cada situação são determinantes para a evolução do comportamento dos alunos e, conseqüentemente, de seus objetivos (p. 29). Outra contribuição em comum provém de Piaget. No momento histórico da proposta piagetiana, a visão dominante no campo da Educação era essencialmente cognitivo. Piaget e colaboradores evidenciaram o papel central da ação no desenvolvimento, a originalidade do pensamento matemático e as etapas de seu desenvolvimento nas crianças, mas não observou a particularidade da aprendizagem de cada conhecimento matemático ao considerar a estrutura formal e a função da lógica como fundamentais. A Teoria das Situações Didáticas e a Dialética ferramenta-objeto aceitam a importância da interação entre o sujeito e o objeto, onde a construção do conhecimento ocorre através de situações de desequilíbrio, que promovem a adaptação e a acomodação frente às situações, ocorrendo novo equilíbrio. Segundo Brousseau (1996), para se promover situações de aprendizagem nos alunos, é necessário que o professor coloque o aluno frente a situações onde ocorra o desequilíbrio, ou seja, situações que seus esquemas cognitivos inicialmente não são capazes de resolver, mas que se articulam com o meio para que favoreçam a aprendizagem. Outra semelhança com relação às ideias de Piaget se faz com a rejeição a proposta de aquisição de conhecimento baseada em estruturas gerais do pensamento, característica esta comum a Didática da Matemática. Machado (2008) aponta que [...] Douady rejeita a parte da teoria piagetiana que explica o desenvolvimento cognitivo por estágios de desenvolvimento (p. 161). Ainda, a autora aponta que a Teoria das Situações Didáticas proposta por Brousseau (1986) tem como [...] referência objetos de saber matemático, ao invés de estruturas gerais de pensamento, como fazia Piaget (p. 161).

6 6 Tanto os estudos de Douady (1988 apud Maranhão, 2001) como os de Brousseau (1986, 1996a, 1996b) apontam que a aquisição de conhecimentos matemáticos deve ser estudada em termos de como se processa o conhecimento dos objetos matemáticos e de que forma estes devem ser apresentados aos alunos, ressaltando como o social é inserido na construção do conhecimento. Um objetivo primordial em ambas é a intenção de construir um sentido para o aluno na aprendizagem dos objetos matemáticos. Para tal, é necessário que o aluno esteja presente e atuando em favor de sua aprendizagem, bem como no fato do professor permitir, incentivar e promover situações para que o aluno atue, através de jogos ou resolução de problemas utilizando-se de ferramentas que ele já dispõe anterioremente. A interação do professor-aluno em ambas as teorias é caracterizada e descrita pelo contrato didático. Quando Brousseau (1986) explica sobre o contrato didático, ele o coloca como estratégia para regular as ações do professor e aluno dentro das situações didáticas. O contrato rege as regras do jogo, explicitando os comportamentos do professor e aluno. Ao professor compete prover situações didáticas para o aluno interagir, de forma autônoma, para aprender. Quanto ao aluno, cabe uma responsabilidade em se empenhar para resolver as situações e daí aprender os conteúdos matemáticos, estando ciente que o professor lhe passou uma situação que, pelo menos, em parte é possível de ser resolvida pelas ferramentas implícitas ou pela lógica. Porém, a situação demanda que o aluno aja, investigue, formule, dialogue com os pares e com os conhecimentos anteriores, mobilizando ferramentas, para encaminhar a solução frente a jogos ou problemas. Brousseau (2008) aponta que os contratos favoráveis a intenções fortemente didáticas são aqueles baseados na transformação dos saberes antigos, o que se aproxima dos conceitos de ferramenta implícita apontados em Douady (1986). Brousseau (2008) destaca que este tipo de contrato requer uma memória didática. Este tipo de memória demanda [...] uma extensão dos saberes a novos domínios, a aplicações que exigem uma adaptação da ferramenta aplicada; a análise das mudanças de estatuto dos saberes, isto é, das transformações dos saberes escolares ensinados (p. 112).

7 7 Quanto ao objeto de estudo, ambos utilizam as situações a-didáticas. Estas situações geralmente têm a finalidade de introduzir um novo objeto, que o professor escolheu para aprendizagem. Porém, o objeto não será utilizado explicitamente para resolver a situação, pois é justamente o que o professor pretende que o aluno adquira. Mas, como decorrência das interações na fase a-didática, tal novo conhecimento pode ser encaminhado ou validade, de acordo com as dialéticas iniciais envolvidas no processo. Douady (1986) incorpora as idéias de situações didáticas e situações a-didáticas de Brousseau (1986), bem como o sistema didático estrito sensu, onde os três pólos são compostos pelo saber, professor e aluno. Para modelar a Teoria das Situações Didáticas, Brousseau (1996a,b) propõe o sistema didático stricto sensu ou triângulo didático (figura 1), que comporta três elementos - o aluno, o professor e o saber - que são partes constitutivas de uma relação dinâmica e complexa - a relação didática - que leva em consideração as interações entre professor e alunos (elementos humanos), mediadas pelo saber (elemento não-humano), que determina a forma como tais relações irão se estabelecer. Porém, Menezes, Lessa e Menezes (2006) destacam que o professor e o aluno possuem uma relação assimétrica em relação ao saber. Nesse sentido, o que se espera da relação didática é mudar este quadro inicial do aluno face ao saber. E isto confere ao professor um papel fundamental: iniciar o aluno no novo saber científico, que Brousseau (1996a) postula como possível de viabilizar através de situações de ensino propícias. Figura 1: Triângulo Didático [Fonte: Brousseau (1986)]

8 8 Ambos os aportes se apóiam na transposição didática como fonte geradora de situações a-didáticas adequadas, colocando como o saber deverá ser apresentado ao aluno. No Quadro II sintetizamos os principais conceitos em comum utilizados tanto na Teoria das Situações Didáticas, delineada por Brousseau (1986) quanto na Dialética ferramenta-objeto, estabelecida por Douady (1988 apud Maranhão, 2002), assim como estabelecemos uma comparação entre os conceitos utilizados por ambos os autores. Quadro II Comparação de conceitos semelhantes envolvidos nas duas teorias. Teoria das Situações Didáticas Autor: Brousseau (1986) Situações-didáticas (autor) Situação adidática (autor) Contrato didático (autor) Sistema didático (estrito sensu e lato sensu) Construção e gestão de engenharias didáticas Dialética ferramenta-objeto Autora: Douady (1988) Situações-didáticas (adotou de Brousseau) Situação a-didática (adotou de Brousseau) Contrato didático (adotou de Brousseau) Sistema didático (estrito sensu e lato sensu) Construção e gestão de engenharias didáticas Convém destacar que alguns conceitos propostos por Brousseau, conseqüências da tese de Doutorado desenvolvido por este autor, foram aceitos por Douady. Passamos, a seguir, a delinear o quadro de comparação ressaltando as diferenças observadas pela leitura e análise de textos acadêmicos. O contexto das diferenças Como apontamos, as teorias das Situações Didáticas de Brousseau e da Dialética ferramenta-objeto de Douady são fundamentais e foram desenvolvidas no início do desenvolvimento da Didática da Matemática, tendo muitos elementos em comum. Porém, ambas apresentam diferenças, em termos de alguns elementos conceituais, apresentados no quadro II. Estas diferenças podem parecer diferir ligeiramente em grau, devido ao forte imbricamento de alguns elementos. Porém, alertamos que tais diferenças são um pouco mais acentuadas, em nível estrutural e conceitual.

9 9 Passamos, a seguir, a discorrer sequencialmente estas diferenças. Quadro II Conceitos não-correspondentes envolvidos nas duas teorias Teoria das Situações Didáticas Autor: Brousseau (1986) ênfase no jogo milieu Modelagem (situações reprodutíveis) Dialética ferramenta-objeto Autora: Douady ênfase em situações-problema quadros Jogo de quadro (interação entre de domínios) A teoria de Brousseau, quando nos referimos ao texto Fundamentos y Métodos de la Didática de las Matemática do próprio autor, este trabalho inicial se baseava principalmente na teoria dos jogos. Posteriormente, no decorrer das pesquisas, Brousseau (1996a, b) insere as situações-problemas como passíveis de serem incorporadas na Teoria das Situações Didáticas. A teoria de Brousseau pode também ser aplicada a resolução de problemas, principalmente no imbricamento com as idéias de Douady que permitem aplicações de situações didáticas em engenharias didáticas. Em nosso parecer, a teoria de Douady é mais direcionada para a resolução de situações-problema, onde na fase a-didática utiliza os conhecimentos antigos dos alunos como ferramenta implícita para se mostrar a necessidade do novo objeto, podendo introduzir e descartar alguns conceitos elaborados pelos alunos, algo que Brousseau não considera na fase a-didática. Na dialética ferramenta-objeto de Douady (1986), os conceitos de ferramenta, objeto, quadro e mudança de quadros são fundamentais. Segundo Maranhão (2002), o conceito de quadro se refere ao conjunto de conhecimentos, em parte ou no todo, que pertence a um domínio de conhecimento, que compreendem aos diversos saberes da matemática que tem conceituações, propriedades e procedimentos matemáticos bem definidos, caracterizando elementos e representações que dão sentido aos objetos. Douady (1986) cita que no mínimo deve haver dois quadros e retroações constantes entre estes durante as diversas etapas. Porém, na Teoria das Situações Didáticas, Brousseau (1986) aponta que o jogo ou a resolução de problemas pode ser realizado dentro de um mesmo quadro. Deste modo, a noção de quadro não tem função na Teoria das Situações Didáticas, ou seja, não se faz necessária para este aporte.

10 10 Por outro lado, a Teoria das Situações Didáticas faz menção ao milieu. Segundo Brousseau (1996a), o milieu indica o meio a-didático, um sistema antagonista, sem intenção didática explícita e exterior ao aluno, que pode abranger, dentre outros, situaçõesproblema, jogos, os conhecimentos dos colegas e professor. Brousseau (1996a,b) aponta que o milieu deve possibilitar a interação autônoma do aluno em relação às situações que interage e em relação ao professor, podendo gerar uma modelagem. Ainda, o milieu deve ser organizado para a aprendizagem numa interação feita de desequilíbrios. Porém, Douady não faz menção ao milieu na Dialética ferramenta-objeto. Acreditamos que o milieu é parte obrigatória não somente da Teoria das Situações Didáticas, mas de qualquer intenção de se propor situações de aprendizagem onde o aluno tenha uma atuação ativa e produtiva do próprio conhecimento, dentro das Engenharias Didáticas. Deste modo, a omissão do milieu na Dialética ferramenta-objeto não deveria ser um contexto de diferenças, mas de semelhanças. Por último, destacamos que nas três fases iniciais das duas teorias o papel do saber é o de ferramenta implícita, conforme destaca Almouloud (2007). Já na 4ª etapa de ambas o estatuto muda para objeto, pois a etapa de institucionalização o saber é descontextualizado e despersonalizado, diante das comunicações e validações da comunidade de alunos, o que caracteriza um novo conhecimento para os alunos. Conclusões e Considerações Finais. As diferenças entre as abordagens de Brousseau e Douady inicialmente se revelam em uma tipificação com diferente número de fases. Porém, além desse fator óbvio, a abordagem de Brousseau (1986, 1996a, 1996b) incorpora somente uma etapa de institucionalização. Em contraponto, a teoria de Douady (1986) incorpora duas etapas de institucionalização na 3ª etapa (Explicitação/ institucionalização local) e na 4ª etapas (Institucionalização/novo implícito).

11 11 A nosso ver, esta separação da institucionalização em duas etapas não pode ser considerada como uma simples separação de partes disjuntas, que reunidas perfazem o mesmo efeito. Em nossa opinião, a intenção de Douady foi permitir um papel mais incisivo do professor durante a sequência de aprendizagem, de modo a antecipar possíveis bloqueios por parte dos alunos. Nossa experiência em sala de aula nos permite diagnosticar que certos assuntos da Matemática são mais complexos que outros. Em vista disso, a possibilidade do professor efetivar interferências em momentos distintos e retomar com os alunos certos encaminhamentos aumenta a possibilidade da etapa de comunicação entre o meio a- didático ( milieu ) e os alunos, de modo a melhorar a eficiência do processo e permitir que certos elementos da matemática possam ser desenvolvidos. Em contrapartida, o próprio Brousseau (1996a) afirma que as dialéticas da Teoria das Situações Didáticas estão conectadas e favorecidas em relação a aspectos metacognitivos. Deste modo, acreditamos que os aportes de uma única institucionalização, ao final do processo, são mais favoráveis e propicias para assuntos onde as ferramentas a serem mobilizadas se situam prioritariamente em uma intenção de mobilizar competências. Os conhecimentos novos fazem parte da institucionalização ao final do processo, o que requer que as ferramentas disponíveis dos alunos durante as três fases iniciais da Teoria das Situações Didáticas se refiram mais a mobilização de estratégias de base, descritas inicialmente em Brousseau (1996b). Aliás, acreditamos que pesquisas realizando um mapeamento envolvendo uma matriz compondo um quadro dos possíveis conhecimentos mobilizados em função de uma caracterização de estratégias de base seria um importante acréscimo a massa de conhecimentos para futura aplicação em sala de aula. Com relação à sala de aula, em conformidade com o que destacamos neste texto, se um professor ou um pesquisador desejar construir situações de aprendizagem terá ao seu dispor dois referenciais: a Teoria das Situações Didáticas e a Dialética ferramenta-objeto.

12 12 Um primeiro critério de escolha entre as duas teorias se faz com base na previsão das variáveis didáticas envolvidas nas situações de aprendizagem que desejemos propor. Se na etapa de previsão a participação do professor for mais relevante, a escolha se efetiva pela Dialética ferramenta-objeto. Se, a participação do professor puder ser prevista como a de mínima intervenção, então a Teoria das Situações Didáticas deve ser a boa escolha Outro ponto a ser levado em consideração em uma eventual construção de situações de aprendizagem é com relação aos quadros. Se não houver previsão de mudanças de quadros há um fator de obstáculo decisivo para a utilização da Dialética ferramenta-objeto. No caso da Teoria das Situações Didáticas, a noção de um ou mais quadros não tem peso, o que amplia a atuação desta proposta de Brousseau. Referências Bibliográficas ALMOULOUD, S. Ag. Estudo da articulação entre abordagens teóricas. In: ALMOULOUD, S Ag. Fundamentos da Didática da Matemática. Curitiba: Editora da UFPR, Cap IX, p BROUSSEAU, G. Fundamentos e Métodos da Didáctica da Matemática. In: BRUN, Jean. Didática das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, 1996a. Cap. 1, p Fundamentos y métodos de la didáctica de las matemáticas. Trad. de Foundaments et méthods de la didactique des Mathematiques. Researches en Didactique, v. 7, n. 2, p , Introdução ao Estudo das Situações Didáticas. São Paulo: Ática, Os diferentes papéis do professor. In: PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996b. CHEVALLARD, Y.; BOSH, M.; GASCÓN, J. Estudar matemáticas: o elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed, p. DOUADY, R. Jeux de Quadres et dialectique outil object. Recherches en didactique des mathématiques. v. 7. n. 2, p FREITAS, J. L. M. Situações Didáticas. In: MACHADO, S. D. A. (org). Educação Matemática: uma introdução. 2 ed. São Paulo: Educ, p. Cap. 4, p GÁLVEZ, G. A Didática da Matemática. In: PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, Cap 2, p

13 13 MACHADO, S. D. A. (org.). Educação Matemática: Uma (Nova) Introdução. 3. ed. São Paulo: EDUC, MARANHÃO, M. C. S. A. Dialética ferramenta-objeto. MACHADO, S. D. A. (org). Educação Matemática: uma introdução. 2 ed. São Paulo: Educ, p. Capítulo 6, p MENEZES, M. B; LESSA, M. M. L; MENEZES, A. P. A. B. A Emergência de Fenômenos Didáticos em Sala de Aula: a Negociação de uma Seqüência Didática em Álgebra Inicial Disponível em: < Acesso em 15 jul PARRA, C.; SAIZ, I. Prefácio. In: PARRA, C.; SAIZ, I. Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, p