Algoritmos e Estruturas de Dados 2

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1 Algoritmos e Estruturas de Dados 2 Unidade 1: Árvores binárias Rafael Beserra Gomes Universidade Federal do Rio Grande do Norte Material compilado em 21 de fevereiro de 201. Licença desta apresentação:

2 Nó de uma árvore binária Um nó de uma árvore binária contém: chave, filho esquerdo, filho direito e pai. pai ch e d

3 Exemplo Exemplo 8 6 7

4 Árvore binária de busca Na árvore binária de busca: a chave do nó atual é maior ou igual à chave esquerda e menor ou igual à chave direita Operações: buscar, mínimo, máximo, sucesso e predecessor

5 Percurso 1. Percurso em ordem 1 v i s i t a r ( node n ) { 2 v i s i t a r ( n. esq ) escreva ( n. chave ) 4 v i s i t a r ( n. d i r ) } 7 6 9

6 Percurso 2. Percurso pré-ordem 1 v i s i t a r ( node n ) { 2 escreva ( n. chave ) v i s i t a r ( n. esq ) 4 v i s i t a r ( n. d i r ) } 7 6 9

7 Percurso. Percurso pós-ordem 1 v i s i t a r ( node n ) { 2 v i s i t a r ( n. esq ) v i s i t a r ( n. d i r ) 4 escreva ( n. chave ) } 7 6 9

8 Introdução : Como encontrar um nó com uma chave específica? Suponha que estamos em busca do nó com chave 6. Iniciamos a busca pela raiz. Não está na raiz. Como 6 é maior que esta chave, caso exista, deve estar na subárvore direita

9 Introdução : Como encontrar um nó com uma chave específica? Suponha que estamos em busca do nó com chave A raiz da subárvore direita tem chave 7. Não é a chave que procuramos. Então, caso exista, deve estar na subárvore esquerda.

10 Introdução : Como encontrar um nó com uma chave específica? Suponha que estamos em busca do nó com chave 6. 7 A raiz da subárvore esquerda tem a chave

11 Introdução Mínimo: Como encontrar a menor chave da árvore? Começamos pela raiz. Como temos uma subárvore esquerda, esta chave não é a menor. O mínimo está na subárvore esquerda

12 Introdução Mínimo: Como encontrar a menor chave da árvore? Ainda temos uma subárvore esquerda, esta não é chave mínima. O mínimo está na subárvore esquerda

13 Introdução Mínimo: Como encontrar a menor chave da árvore? 7 Por fim, não temos mais uma subárvore esquerda, então esta é chave mínima. 6 9

14 Como encontrar o predecessor e sucessor de uma chave na árvore? Considerando que existe uma ordem crescente de chaves: Sucessor é a chave que segue a chave atual na ordem crescente das chaves. Predecessor é a chave que antecede a chave atual na ordem crescente das chaves.

15 20 Exemplo: vamos encontrar o sucessor de

16 20 Quais chaves são maiores que 20? Somente a subárvore direita, pois este nó não tem pai. Quem é o sucessor?

17 Exemplo: vamos encontrar o sucessor de 18. O sucessor não é nenhum dos filhos.

18 O sucessor está nessa subárvore?

19 O sucessor está nessa subárvore?

20 O sucessor está nessa subárvore?

21 20 O sucessor está nessa subárvore? Já descartamos a subárvore esquerda. Então quem é o sucessor?

22 Introdução : caso a árvore esteja vazia, o nó adicionado é único. Caso tenha algum nó, o novo nó é adicionado como filho de algum nó existente. Vamos inserir o nó 8. Começamos pela raiz. O nó deve estar na subárvore direita

23 Introdução 7 O novo nó deve estar na subárvore direita. 6 9

24 Introdução O novo nó deve estar na subárvore esquerda. 8

25 Introdução Como realizar a eliminação de um nó na árvore binária? Se o nó não tem filho, a remoção é imediata 16 18

26 Introdução Se o nó tem apenas um filho. Esse filho substitui o pai

27 Introdução 20 Se o nó contém 2 filhos, é substituido pelo seu sucessor E o filho único (se houver) do sucessor substitui seu pai