UFSC-CTC-INE INE Estruturas de Dados. Árvores. Prof. Ronaldo S. Mello 2002/2. Árvore

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1 US-T-IN IN struturas de ados Árvores Prof. Ronaldo S. Mello 2002/2 Árvore Uma árvore é uma estrutura que mantém uma relação de hierarquia ou composição entre os dados 1

2 xemplo João (P) Paulo () na () Pedro () Maria () Marcos () láudia () Iara () arlos () Márcia () ntônio () Vitor () xemplo Livro x apítulo 1 apítulo 2... apítulo n Seção 1.1 Seção Seção 1.m Sub-seção Sub-seção Sub-seção 1.1.k 2

3 efinição de Árvore Uma árvore é uma tal que: existe um nodo raiz r existem outros nodos n 1, n 2,..., n m, m >= 0, associados a r que são raízes de subárvores disjuntas 1, 2,..., m efinição de Árvore Uma árvore é uma tal que: existe um nodo raiz r existem outros nodos n 1, n 2,..., n m, m >= 0, associados a r que são raízes de subárvores disjuntas 1, 2,..., m r n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 3

4 rau de um nodo Terminologia Nodo folha e nodo interno aminho Profundidade ou Nível de um nodo Nodo pai, nodo filho e nodo irmão Nodo ancestral e nodo descendente ltura de uma árvore Árvore ordenada e árvore orientada loresta enotado por g(n) rau de um Nodo É o número de subárvores de um nodo 4

5 Nodo olha e Nodo Interno n é um nodo folha se g(n) = 0 m é um nodo interno se g(m) > 0 aminho Um caminho em uma árvore é uma seqüência de nodos relacionados na forma = n 1, n 2,..., n m, m > 0, sendo n i hierarquicamente superior a n i+1 lenght() = m 1 (comprimento de ) 5

6 Profundidade de um Nodo enotado por p(n) p(n) = lenght(), sendo = r,..., n Nodo Pai e Nodo ilho dados 2 nodos n i e n j, se existe um caminho a partir da raiz que passa por n i e n j e p(n j ) = p(n i ) + 1, então n i é nodo pai de n j e, conseqüentemente, n j é nodo filho de n i 6

7 Nodo Irmão ois nodos n i e n j são irmãos se possuem o mesmo nodo pai Nodos ncestral e escendente dados 2 nodos n i e n j, se existe um caminho a partir da raiz que passa por n i e n j e p(n j ) <= p(n i ), então n i é ancestral de n j e, conseqüentemente, n j é descendente de n i 7

8 ltura de uma Árvore enotado por h() h() = max(p(n i )), para n i Árvore Ordenada Árvore na qual a ordem das subárvores é significativa 8

9 Árvore Orientada Árvore na qual a ordem das subárvores não é significativa = loresta Uma floresta = { 1, 2,..., n } é um conjunto de n >= 0 árvores disjuntas 9

10 Árvore N-ária Uma árvore é dita N-ária se n i (g(n i ) [0,N]) xemplo: N = 3 Propriedade (P1) m uma árvore N-ária com altura h(), o número máximo de nodos folha é N h() N = 3 10

11 Árvore heia Árvore N-ária cujo número de nodos folha é N h() H I J K L M Árvore inária Uma árvore binária é uma árvore N-ária com N = 2 Uma árvore binária é ordenada por default subárvore à esquerda subárvore à direita H 11

12 Propriedade (P2) O número máximo de nodos em uma árvore binária com altura h() é 2 h(a)+1-1 Propriedade (P3) altura h() de uma árvore binária com n nodos é log 2 n 12

13 aminhamento em Árvores Métodos de pesquisa em uma árvore para fins de consulta e/ou atualização de dados xistem dois métodos: busca em largura (breadth-first-traversal) busca em profundidade (depth-first-traversal) usca em Largura Percorre a árvore por ordem de profundidade de nodo p() = p() = p() = p() = 1 p() = p() = p() =

14 usca em Largura Percorre a árvore por ordem de profundidade de nodo 2 0 busca pela SQ: usca em Profundidade Percorre a árvore por ordem de subárvore (recursivamente)

15 usca em Profundidade xistem 3 tipos de pesquisa: pré-ordem (ou pré-fixada) pós-ordem (ou pós-fixada) in-orem (ou in-fixada ou central) Pesquisa em Pré-Ordem Passos: Visita o nodo raiz Pesquisa em pré-ordem cada uma das subárvores (pela SQ (default) ou pela IR) 15

16 Pré-Ordem em Árvore inária Passos: Visita o nodo raiz Pesquisa em pré-ordem a subárvore à SQ Pesquisa em pré-ordem a subárvore à IR H Pesquisa em Pós-Ordem Passos: Pesquisa em pós-ordem cada uma das subárvores (pela SQ (default) ou pela IR) Visita o nodo raiz 16

17 Pós-Ordem em Árvore inária Passos: Pesquisa em pós-ordem a subárvore à SQ Pesquisa em pós-ordem a subárvore à IR Visita o nodo raiz H Pesquisa em In-Ordem plica-se apenas a árvores binárias Passos: Pesquisa em in-ordem a subárvore à SQ Visita o nodo raiz Pesquisa em in-ordem a subárvore à IR H 17

18 Pesquisa em Árvores O método de pesquisa a ser utilizado depende da intenção da aplicação xemplo: : rquivoseprogramas... Temp Usuários dobecrobat... Office João Maria ccess... Word : (rquivoseprogramas (dobecrobat;...; Office (ccess;...; Word)); Temp; Usuários (João; Maria)) Pesquisa em Árvores xemplo2: + * / a b c + d e a * b + c / (d + e) 18