Linguagem C: Árvores Binarias

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1 Instituto de C Linguagem C: Árvores Binarias Luis Martí Instituto de Computação Universidade Federal Fluminense [email protected] -

2 Tópicos Principais Introdução Árvores binárias Implementação em C Ordens de percurso Árvore binária de busca (ABB) Funções para ABBs Impressão Busca 23/04/14 Estrutura de Dados I 2

3 Tópicos Complementares Inserção em ABB Remoção em ABB 23/04/14 Estrutura de Dados I 3

4 Introdução Árvore um conjunto de nós tal que existe um nó r, denominado raiz, com zero ou mais sub-árvores, cujas raízes estão ligadas a r os nós raízes destas sub-árvores são os filhos de r os nós internos da árvore são os nós com filhos as folhas ou nós externos da árvore são os nós sem filhos nó raiz... sub-árvores 23/04/14 Estrutura de Dados I 4

5 Árvores binárias Árvore binária uma árvore em que cada nó tem zero, um ou dois filhos uma árvore binária é: uma árvore vazia; ou um nó raiz com duas sub-árvores: a sub-árvore da esquerda (sae) a sub-árvore da direita (sad) vazia sae raiz sad 23/04/14 Estrutura de Dados I 5

6 Árvores binárias Exemplo árvores binárias representando expressões aritméticas: nós folhas representam operandos nós internos operadores + exemplo: (3+6)*(4-1)+5 * /04/14 Estrutura de Dados I 6

7 Implementação em C Representação de uma árvore: através de um ponteiro para o nó raiz Representação de um nó da árvore: estrutura em C contendo a informação propriamente dita (exemplo: um caractere) dois ponteiros para as sub-árvores, à esquerda e à direita struct noarv { int info; struct noarv* esq; struct noarv* dir; }; 23/04/14 Estrutura de Dados I 7

8 Implementação em C Interface do tipo abstrato Árvore Binária: arv.h typedef struct noarv NoArv; NoArv* arv_cria (int x, NoArv* e, NoArv* d); void arv_libera (NoArv* a); int arv_contem (NoArv* a, int x); void arv_imprime (NoArv* a); 23/04/14 Estrutura de Dados I 8

9 Implementação em C Implementação das funções: implementação recursiva, em geral usa a definição recursiva da estrutura Uma árvore binária é: uma árvore vazia; ou um nó raiz com duas sub-árvores: raiz a sub-árvore da direita (sad) a sub-árvore da esquerda (sae) vazia sae sad 23/04/14 Estrutura de Dados I 9

10 Implementação em C função arv_cria cria um nó raiz dadas a informação e as duas sub-árvores, a da esquerda e a da direita retorna o endereço do nó raiz criado NoArv* arv_cria (int x, NoArv* sae, NoArv* sad) { NoArv* p=(noarv*)malloc(sizeof(noarv)); p->info = x; p->esq = sae; p->dir = sad; return p; } 23/04/14 Estrutura de Dados I 10

11 Implementação em C função arv_libera libera memória alocada pela estrutura da árvore as sub-árvores devem ser liberadas antes de se liberar o nó raiz retorna uma árvore vazia, representada por NULL void arv_libera (NoArv* a){ if (a!= NULL){ arv_libera(a->esq); /* libera sae */ arv_libera(a->dir); /* libera sad */ free(a); /* libera raiz */ } } 23/04/14 Estrutura de Dados I 11

12 Implementação em C função arv_contem verifica se uma árvore contém um dado inteiro retorna um valor inteiro (1 ou 0) indicando a ocorrência ou não do inteiro na árvore int arv_contem (NoArv* a, int x){ if (a == NULL) return 0; /* árvore vazia: não encontrou */ if (a->info==x) return 1; else return (arv_contem(a->esq, x) arv_contem(a->dir, x)); } 23/04/14 Estrutura de Dados I 12

13 Implementação em C função arv_imprime percorre recursivamente a árvore, visitando todos os nós e imprimindo sua informação void arv_imprime (NoArv* a) { if (a!= NULL){ printf("%d ", a->info); /* mostra raiz */ arv_imprime(a->esq); /* mostra sae */ arv_imprime(a->dir); /* mostra sad */ } } 23/04/14 Estrutura de Dados I 13

14 Implementação em C Exemplo: /* sub-árvore 'd' */ NoArv* a1= arv_cria(9,null, NULL); /* sub-árvore 'b' */ NoArv* a2= arv_cria(5, NULL, a1); /* sub-árvore 'e' */ NoArv* a3= arv_cria(3, NULL, NULL); /* sub-árvore 'f' */ NoArv* a4= arv_cria(6, NULL, NULL); /* sub-árvore 'c' */ NoArv* a5= arv_cria(8, a3, a4); /* árvore 'a' */ NoArv* a = arv_cria(7, a2, a5 ); /04/14 Estrutura de Dados I 14

15 Implementação em C Exemplo: NoArv* a = arv_cria(7, arv_cria(5, NULL, arv_cria(9, NULL, NULL) ), arv_cria(8, arv_cria(3, NULL, NULL), arv_cria(6, NULL, NULL) ) ); /04/14 Estrutura de Dados I 15

16 Implementação em C Exemplo - acrescenta nós a->esq->esq = arv_cria(2, arv_cria(4, ), arv_cria(1, ); ) NULL, NULL NULL, NULL /04/14 Estrutura de Dados I 16

17 Implementação em C Exemplo - libera nós a->dir->esq = libera(a->dir->esq); /04/14 Estrutura de Dados I 17

18 Ordens de percurso Ordens de percurso: pré-ordem: trata raiz, percorre sae, percorre sad exemplo: ordem simétrica: percorre sae, trata raiz, percorre sad exemplo: pós-ordem: percorre sae, percorre sad, trata raiz exemplo: /04/14 Estrutura de Dados I 18

19 Imprime em Ordem Simétrica função arv_imprime_sim percorre recursivamente a árvore, visitando todos os nós e imprimindo sua informação em ordem simétrica void arv_imprime_sim (NoArv* a) { if (a!= NULL){ arv_imprime_sim(a->esq); /* mostra sae */ printf("%d ", a->info); /* mostra raiz */ arv_imprime_sim(a->dir); /* mostra sad */ } } 23/04/14 Estrutura de Dados I 19

20 Imprime em Pós-ordem função arv_imprime_pos percorre recursivamente a árvore, visitando todos os nós e imprimindo sua informação em pós-ordem void arv_imprime_pos (NoArv* a) { if (a!= NULL){ arv_imprime_pos(a->esq); /* mostra sae */ arv_imprime_pos(a->dir); /* mostra sad */ printf("%d ", a->info); /* mostra raiz */ } } 23/04/14 Estrutura de Dados I 20

21 Tipos de Árvores Binárias Árvores Estritamente Binárias Árvores Binárias Completas Árvores Binárias Cheias 23/04/14 Estrutura de Dados I 21

22 Árvores Estritamente Binárias Ocorre quando todo nó que não é folha tiver sub-árvores esquerda e direita não vazias. Ou seja: todo nó tem 0 ou 2 filhos. Número de nós em uma árvore estritamente binária com n folhas: 2n /04/14 Estrutura de Dados I 22

23 Árvores Binárias Completas É uma árvore estritamente binária, na qual todos os nós folha estão ou no penúltimo ou no último nível Todas as sub-árvores vazias são filhas de nós do último ou penúltimo nível /04/14 Estrutura de Dados I 23

24 Árvores Binárias Cheias É uma árvore estritamente binária, na qual todos os nós folha estão no último nível 7 Todas as subárvores vazias são filhas de nós do último nível Embora possua muitos nós, a distância da raiz até os nós é relativamente baixa /04/14 Estrutura de Dados I 24

25 Nível de um nó da Árvore Os vértices da árvore estão classificados em níveis. O nível pode ser calculado como o número de nós no caminho entre o vértice e a raiz nível da raiz é zero B A D C E nível de B e C é 1 nível de F e G é 3 nível de H é 4 nível de um nó = nível de seu pai + 1 F G H I 23/04/14 Estrutura de Dados I 25

26 Altura de uma Árvore Existe um único caminho da raiz para qualquer nó da árvore. A altura de uma árvore pode ser definida como sendo o comprimento do caminho mais longo da raiz até uma das folhas. Por definição, a altura de uma árvore que possui somente o nó raiz é zero. A altura de uma árvore é igual a maior altura de uma das suas sub-árvores +1 23/04/14 Estrutura de Dados I 26

27 Árvore Binária - altura mínima nível 0 (somente a raiz) contém um nó nível 1 contém no máximo 2 nós nível 2 contém no máximo 4 nós... no nível L - pode conter no máximo 2 L nós Uma árvore binária cheia de altura d tem exatamente 2 L nós em cada nível 0 L d 27 23/04/14 Estrutura de Dados I 27

28 Árvore Binária - altura mínima O total de nós n em uma árvore binária cheia (que seria o máximo) de altura d é a soma do número de nós a cada nível d n = d = Σ 2 j j=0 n = 2 d+1-1 à d = log (n+1) 1 pode-se mostrar também por indução! OBS.: número de folhas de uma árvore cheia com n nós 2 d = 2 log(n+1)-1 = 2 log(n+1) = n /04/14 Estrutura de Dados I 28

29 Árvore Binária - altura mínima Árvore Binária Cheia de altura 3 à = 15 nós 29 23/04/14 Estrutura de Dados I 29

30 Árvore Binária - altura mínima A árvore binária cheia é a árvore binária com o máximo de nós para uma dada altura, mas a distância da raiz é pequena Lema: Seja T uma árvore binária completa com n>0 nós. Então, T possui altura h mínima. Além disso, h = log n 30 23/04/14 Estrutura de Dados I 30

31 Árvore Binária de Busca (ABB) o valor associado à raiz é sempre maior que o valor associado a qualquer nó da sub-árvore à esquerda (sae) e o valor associado à raiz é sempre menor ou igual (para permitir repetições) que o valor associado a qualquer nó da sub-árvore à direita (sad) quando a árvore é percorrida em ordem simétrica (sae - raiz - sad), os valores são encontrados em ordem não decrescente 23/04/14 Estrutura de Dados I 31

32 Pesquisa em Árvore Binária de Busca compare o valor dado com o valor associado à raiz se for igual, o valor foi encontrado se for menor, a busca continua na sae se for maior, a busca continua na sad 23/04/14 Estrutura de Dados I 32

33 Pesquisa em Árvore Binária de Busca Em árvores balanceadas os nós internos têm todos, ou quase todos, 2 filhos Qualquer nó pode ser alcançado a partir da raiz em O(log n) passos /04/14 Estrutura de Dados I 33

34 Pesquisa em Árvore Binária de Busca 1 2 Em árvores degeneradas todos os nós têm apenas 1 filho, com exceção da (única) folha Qualquer nó pode ser alcançado a partir da raiz em O(n) passos /04/14 Estrutura de Dados I 34

35 Tipo Árvore Binária de Busca árvore é representada pelo ponteiro para o nó raiz struct noarv { int info; struct noarv* esq; struct noarv* dir; }; typedef struct noarv NoArv; 23/04/14 Estrutura de Dados I 35

36 Implementação em C Extensão da interface do tipo abstrato Árvore Binária para uma árvore binária de busca: arvbb.h typedef struct noarv NoArv; NoArv* arv_cria (int x, NoArv* e, NoArv* d); NoArv* arv_libera (NoArv* a); void abb_imprime (NoArv* a); int abb_busca (NoArv* a, int x); NoArv* abb_insere (NoArv* a, int x); NoArv* abb_retira (NoArv* a, int x); 23/04/14 Estrutura de Dados I 36

37 ABB: Impressão imprime os valores da árvore em ordem crescente, percorrendo os nós em ordem simétrica void abb_imprime (NoArv* a) { if (a!= NULL) { abb_imprime(a->esq); printf("%d\n",a->info); abb_imprime(a->dir); } } 23/04/14 Estrutura de Dados I 37

38 ABB: Busca explora a propriedade de ordenação da árvore possui desempenho computacional proporcional à altura (O(lg n) para o caso de árvore balanceada) NoArv* abb_busca (NoArv* a, int v) { if (a == NULL) return NULL; else if (a->info > v) return abb_busca (a->esq, v); else if (a->info < v) return abb_busca (a->dir, v); else return a; } 23/04/14 Estrutura de Dados I 38

39 ABB: Inserção recebe um valor v a ser inserido retorna o eventual novo nó raiz da (sub-)árvore para adicionar v na posição correta, faça: se a (sub-)árvore for vazia crie uma árvore cuja raiz contém v se a (sub-)árvore não for vazia compare v com o valor na raiz insira v na sae ou na sad, conforme o resultado da comparação 23/04/14 Estrutura de Dados I 39

40 NoArv* abb_insere (NoArv* a, int v) { int hesq =-1, hdir =-1; if (a==null) { a = (NoArv*)malloc(sizeof(NoArv)); a->info = v; a->esq = a->dir = NULL; a->h = 0; } else { if (v < a->info) a->esq = abb_insere(a->esq,v); else /* v >= a->info */ a->dir = abb_insere(a->dir,v); if (a->esq!=null) hesq = a->esq->h if (a->dir!=null) hdir = a->dir->h if(hesq>hadir) a->h = hesq+1; else a->h = hdir+1; } return a; 23/04/14 Estrutura de Dados I 40

41 Exemplo cria insere 6 insere 4 insere 8 insere 2 insere 5 insere 1 insere 3 insere 7 insere 9 Arv /04/14 Estrutura de Dados I 41

42 Exemplo (c/ repetição de valores) cria insere 6 insere 4 insere 8 insere 2 insere 5 insere 1 insere 3 insere 7 insere 9 insere /04/14 Estrutura de Dados I 42

43 ABB: Remoção recebe um valor v a ser inserido retorna a eventual nova raiz da árvore para remover v, faça: se a árvore for vazia nada tem que ser feito se a árvore não for vazia compare o valor armazenado no nó raiz com v se for maior que v, retire o elemento da sub-árvore à esquerda se for menor do que v, retire o elemento da sub-árvore à direita se for igual a v, retire a raiz da árvore 23/04/14 Estrutura de Dados I 43

44 ABB: Remoção para retirar a raiz da árvore, há 3 casos: caso 1: a raiz que é folha caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos 23/04/14 Estrutura de Dados I 44

45 ABB: Remoção de folha Caso 1: a raiz da sub-árvore é folha da árvore original libere a memória alocada pela raiz retorne a raiz atualizada, que passa a ser NULL retirar 3 23/04/14 Estrutura de Dados I 45

46 ABB: Remoção de pai de filho único Caso 2: a raiz a ser retirada possui um único filho libere a memória alocada pela raiz a raiz da árvore passa a ser o único filho da raiz retirar 4 23/04/14 Estrutura de Dados I 46

47 ABB: remoção de pai de dois filhos Caso 3: a raiz a ser retirada tem dois filhos encontre o nó N que precede a raiz na ordenação (o elemento mais à direita da sub-árvore à esquerda) troque o dado da raiz com o dado de N retire N da sub-árvore à esquerda (que agora contém o dado da raiz que se deseja retirar) retirar 6 retirar o nó N mais à direita é trivial, pois N é um nó folha ou N é um nó com um único filho (no caso, o filho da direita nunca existe) 23/04/14 Estrutura de Dados I 47

48 NoArv* abb_retira (NoArv* a, int v) { if (a == NULL) return NULL; else if (a->info > v) a->esq = abb_retira(a->esq, v); else if (a->info < v) a->dir = abb_retira(a->dir, v); else { /* achou o nó a remover */ /* nó sem filhos */ if (a->esq == NULL && a->dir == NULL) { free (a); a = NULL; } /* nó só tem filho à direita */ else if (a->esq == NULL) { NoArv* t = a; a = a->dir; free (t); } 23/04/14 Estrutura de Dados I 48

49 } /* só tem filho à esquerda */ else if (r->dir == NULL) { NoArv* t = r; r = r->esq; free (t); } /* nó tem os dois filhos */ else { NoArv* f = r->esq; while (f->dir!= NULL) { f = f->dir; } r->info = f->info; /* troca as informações */ f->info = v; r->esq = abb_retira(r->esq,v); } } return r; 23/04/14 Estrutura de Dados I 49

50 Referências Waldemar Celes, Renato Cerqueira, José Lucas Rangel, Introdução a Estruturas de Dados, Editora Campus (2004) Capítulo 13 Árvores Capítulo 17 Busca 23/04/14 Estrutura de Dados I 50

51 Material adaptado por Luis Martí a partir dos slides de José Viterbo Filho que forem elaborados por Marco Antonio Casanova e Marcelo Gattas para o curso de Estrutura de Dados para Engenharia da PUC-Rio, com base no livro Introdução a Estrutura de Dados, de Waldemar Celes, Renato Cerqueira e José Lucas Rangel, Editora Campus (2004).