Estruturas de Dados II

Transcrição

1 Estruturas de Dados II Rodrigo Porfírio da Silva Sacchi Aula 2: Árvores

2 Árvores

3 Definição: Árvores Uma árvore T é um conjunto finito de elementos denominados nós ou vértices, tal que: T = 0 e a árvore é dita vazia; ou Existe um nó raiz de T, os nós restantes podem ser divididos em n subconjuntos disjuntos, que são as subárvores de T, e as quais, por sua vez, também são árvores.

4 Exemplo Raiz Isto é, um nó de uma árvore pode possuir n subárvores.

5 Definição: Árvores Binárias Uma árvore binária T é um conjunto finito de elementos denominados nós ou vértices, tal que: T = 0 e a árvore é dita vazia; ou Existe um nó raiz de T, os nós restantes podem ser divididos em dois subconjuntos disjuntos, árvore esquerda e árvore direita, que são as subárvores esquerda e direita de T, e as quais, por sua vez, também são árvores binárias.

6 Representação Raiz Árvore esquerda Árvore direita

7 Representação Raiz

8 Algumas definições A raiz de uma árvore é chamada de pai de suas subárvores; Pai subárvore esquerda subárvore direita

9 Algumas definições Como temos uma definição recursiva, todo nó é pai de duas árvores (pode ser vazia); Pai Pai (árvore direita vazia) Subárvore esquerda Subárvore direita Pai (duas árvores vazias)

10 Algumas definições Nós com o mesmo pai são denominados irmãos. Irmãos Irmãos

11 Algumas definições O grau de um nó é o número de subárvores de um nó

12 Algumas definições Um nó sem subárvores é denominado um nó folha, ou seja, um nó com grau igual a zero.

13 Algumas definições O comprimento de um caminho desde a raiz R até um nó N denomina-se o nível do nó N. Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4

14 Algumas definições O maior nível de uma árvore é denominado a altura ou profundidade da árvore. Nível 4

15 Propriedade de Árvores Binárias Seja x um nó em uma árvore de pesquisa binária; Se y é um nó na subárvore esquerda de x, então chave[y] <= chave[x]; Se y é um nó na subárvore direita de x, então chave[x] <= chave[y]. Esta propriedade nos permite imprimir todas as chaves de uma árvore binária em uma seqüência ordenada.

16 Definição da estrutura Chamaremos a estrutura de nó; Para uma variável do tipo nó referenciada por meuno tem-se: meuno Pai Ponteiro para o nó Pai; meuno Dado Informação armazenada; meuno Esq Ponteiro para a subárvore esquerda; meuno Dir Ponteiro para a subárvore direita.

17 Definição da Estrutura Dado Pai Esq Dir

18 Definição da Estrutura declare No registro { dado: inteiro; esq: ponteiro No; dir: ponteiro No; pai: ponteiro No; }; Cada elemento em uma árvore é representado basicamente por estes quatro campos. declare raiz: ponteiro No;

19 Operações em árvores binárias Se p é um ponteiro para o nó n de uma árvore binária, e sendo x do tipo do dado do nó e q do tipo ponteiro para nó: x = Dado(p): retorna o conteúdo de n. q = Esq(p)/Dir(p): retorna ponteiro para o filho esquerdo/direito de n; retorna NULL se Esq ou Dir não existir.

20 Operações em árvores binárias p = CriaArvore(x): cria nova árvore com um único nó com o campo informação valendo x, e retorna um ponteiro para aquele nó; CriaNoEsq(p,x)/CriaNoDir(p,x): recebe ponteiro para nó sem filho esquerdo/direito e cria novo nó, filho esquerdo/direito do nó apontado por p com Dado valendo x. Podemos criar uma única função para alocar um nó de uma árvore, ao invés de criar três funções.

21 Percurso em Árvores Binárias Três tipos de percursos: Percurso de árvore em ordem: A chave da raiz da subárvore é impressa entre os valores de sua subárvore esquerda e aqueles de sua subárvore direita. Percurso de árvore em pré-ordem: Imprime a raiz antes dos valores de uma ou outra subárvore. Percurso de árvore em pós-ordem: Imprime a raiz depois dos valores contidos em suas subárvores.

22 Percurso em Árvores Binárias Percurso de árvore em ordem: procedimento emordem(ptr: ponteiro No) início se ( ptr!= null ) então emordem(ptr esq); escreva ptr dado; emordem(ptr dir); fim_se fim

23 Percurso em Árvores Binárias Percurso de árvore em pré ordem: procedimento preordem(ptr: ponteiro No) início se ( ptr!= null ) então escreva ptr dado; preordem(ptr esq); preordem(ptr dir); fim_se fim

24 Percurso em Árvores Binárias Percurso de árvore em pós ordem: procedimento posordem(ptr: ponteiro No) início se ( ptr!= null ) então posordem(ptr esq); posordem(ptr dir); escreva ptr dado; fim_se fim

25 Percurso em Árvores Binárias Complexidade: Dado n o número de nós em uma árvore binária de busca, os três algoritmos gastam Θ(n); Por que? Após a chamada inicial, o procedimento é chamado de forma recursiva exatamente duas vezes para cada nó na árvore, uma vez para seu filho da esquerda e uma vez para seu filho da direita.

26 Busca em uma Árvore Binária Operação mais comum a ser executada por uma chave armazenada na árvore: função ponteiro No buscaarvore(ptr: ponteiro No, k, inteiro) início se ( ptr = null k = ptr dado ) então retorne ptr; fim_se se ( k < ptr dado ) então retorne buscaarvore(ptr esq, k); senão retorne buscaarvore(ptr dir, k); fim_se fim

27 Busca em uma Árvore Binária

28 Busca em uma Árvore Binária Os nós encontrados durante a recursão formam um caminho descendente na árvore, a partir da raiz; Portanto, o tempo de execução de buscaarvore é O(h), onde h é a altura da árvore. Exercício: Como podemos transformar esta função em uma função iterativa?

29 Mínimo e Máximo O menor elemento em uma árvore binária pode ser encontrado percorrendo a mesma usando ponteiros para os filhos da esquerda desde a raiz até o elemento ser encontrado. De forma análoga, o maior elemento em uma árvore binária pode ser encontrado percorrendo a mesma usando ponteiros para os filhos da direita desde a raiz até o elemento ser encontrado.

30 Mínimo e Máximo A função a seguir retorna um ponteiro para o elemento mínimo na subárvore com raiz em um determinado nó ptr. função ponteiro No minimo(ptr: ponteiro No) início enquanto ( ptr esq!= null ) faça ptr ptr esq; fim_enquanto retorne ptr; fim

31 Mínimo e Máximo Exercício: Implemente uma função que retorne um ponteiro para o maior elemento em uma árvore binária. Ambos são executados em um tempo O(h) em uma árvore de altura h.

32 Sucessor e Predecessor Dado um nó de uma árvore binária, às vezes é importante ser capaz de encontrar seu sucessor na seqüência ordenada determinada por um percurso de árvore em ordem; Se todas as chaves são distintas, o sucessor de um nó ptr é o nó com a menor chave maior que a chave de ptr.

33 Sucessor e Predecessor A estrutura de uma árvore binária nos permite descobrir o sucessor de um nó sem sequer comparar chaves; A função Sucessor retorna um ponteiro para o sucessor de ptr ou NULL se ptr tem a maior chave na árvore.

34 Sucessor e Predecessor função ponteiro No sucessor(ptr: ponteiro No) declare aux: ponteiro No; início se ( ptr dir!= null ) então retorne minimo(ptr dir); fim_se aux ptr pai; enquanto ( aux!= null && ptr = aux dir ) faça ptr aux; aux aux Pai; fim_enquanto retorne aux; fim

35 Sucessor e Predecessor Primeiro caso: Se a subárvore direita do nó ptr for não vazia, o sucessor de ptr será exatamente o nó da extremidade esquerda na subárvore direita.

36 Sucessor e Predecessor Segundo caso: Se a subárvore direita do nó ptr for vazia e ptr tiver um sucessor aux, então aux será o ancestral mais baixo de ptr cujo filho da esquerda também é um ancestral de ptr; Na Figura a seguir, o sucessor de 15 é 17, enquanto o sucessor de 13 é 15

37 Sucessor e Predecessor

38 Sucessor e Predecessor Complexidade: Tempo de execução de Sucessor em uma árvore de altura h é O(h), pois segue-se um caminho para cima na árvore, ou um caminho para baixo na árvore. Predecessor é simétrico de Sucessor e também é executado em um tempo O(h).

39 Sucessor e Predecessor Exercício: Implemente a função Predecessor, a qual retorna um ponteiro para um tipo No e passa como argumento um ponteiro para No.

40 Inserção Assim como feito para listas encadeadas, para inserir um nó em uma árvore binária, este novo nó deve ser alocado dinamicamente usando a função malloc. Deve existir uma função para alocar um nó em uma árvore.

41 Inserção Para alocar um nó de uma árvore binária: procedimento aloca(novo: ponteiro No, dado: inteiro) início novo new No(); // Misturando com Java novo pai null; novo esq null; novo dir null; novo dado dado; fim

42 Inserção Para inserir um valor v, utilizamos a função abaixo, a qual insere um novo nó na árvore, mantendo suas propriedades A função passa como argumento um ponteiro para a raiz da árvore e um valor do tipo int, para ser colocado como campo chave do novo nó.

43 Inserção função lógico insere(ptr: ponteiro No, valor: inteiro, pai: ponteiro No) início se ( ptr = null ) então // Árvore inicialmente vazia. aloca(ptr, valor); ptr pai pai; senão // Arvore não está vazia. se ( valor < ptr dado ) então insere(ptr esq, valor, ptr); senão se ( valor > ptr dado ) então insere(ptr dir, valor, ptr); senão escreva Elemento já existe"; fim_se fim_se fim_se fim

44 Inserção Qual o tempo de execução desta função?

45 Remoção Devem ser considerados três casos: Se o nó a ser removido não tem filhos, modifica o pai para apontar para NULL

46 Remoção Devem ser considerados três casos: Se o nó tem um único filho, extraí o nó criando um novo vínculo entre sei pai e seu filho

47 Remoção Devem ser considerados três casos: Finalmente, se o nó z (a ser removido) tem dois filhos, extrai-se y, o sucessor do nó, que não tem nenhum filho da esquerda e substitui-se dados e ponteiros de z pelos de y.

48 Remoção Qual o tempo de execução desta função?

49 Desaloca Crie uma função recursiva que desaloque todos os nós da árvore. procedimento desaloca(ptr: ponteiro No) início se ( ptr!= null ) então desaloca(ptr esq); desaloca(ptr dir); delete ptr; ptr null; fim_se fim

50 Exercício 1 Implemente a uma função para imprimir, no vídeo, os elementos de uma árvore binária, mantendo as características de representação de uma árvore binária.

51 Exercício 2 Implemente a remoção em uma árvore binária. Fica apenas como exercício, visto que implementações de árvores mais importantes estão por vir. Realize uma pesquisa sobre altura de uma árvore e implemente uma função que calcule a altura de uma árvore.

52 Imprime em Nível procedimento imprime (ptr: ponteiro No, nivel: inteiro) início declare k: inteiro; se ( ptr!= null ) então imprime (ptr dir, nivel +1); para k de 0 até k < 3 + nivel faça escreva " "; // Imprima espaço em branco. escreva ptr -> dado; // Pule uma linha antes. imprime (ptr esq, nivel +1); fim_se fim

53 Algoritmo da Remoção função ponteiro No remover(ptr: ponteiro No, x: inteiro) início se( ptr == null ) então return null; senão se( k < ptr chave ) então retorne remover(ptr esq, x); senão se( k > ptr chave ) então retorne remover(ptr dir, x); senão retorne delete(ptr, x); fim_se fim_se fim_se fim

54 Algoritmo da Remoção Função ponteiro No delete(ptr: ponteiro No, x: inteiro) início se( ptr esq == null ou ptr dir == null ) então pty ptr; senão pty sucessor(ptr); fim_se se( pty esq!= null ) então ptx pty esq; senão ptx pty dir; fim_se se( ptx!= null ) então ptx pai pty pai; fim_se

55 Algoritmo da Remoção //... continuação se( pty pai == null ) então // Faça ptx ser raiz da árvore. senão se( pty == pty pai esq ) então pty pai esq ptx; senão pty pai dir ptx; fim_se fim_se se( pty!= ptr ) então ptr chave pty chave; // Se tiver mais dados, copiar. fim_se return pty; fim