Ordenamento por Borbulhagem (Bubble Sort)

Transcrição

1 Operações sobre Estruturas de Dados Ordenamento de Listas Objectivo: ordenar listas de acordo com a relação gt(x, Y) Ordenamento por Borbulhagem (Bubble Sort) borbulhagem(lista, ListaOrd):- faz_trocas(lista, Lista1),!, borbulhagem(lista1, ListaOrd). borbulhagem(listaord, ListaOrd). % Alguma troca? % Se não, lista ordenada faz_trocas(lista, Lista1):- faz_trocas1(lista, Lista1, T), not var(t). faz_trocas1([ ], [ ], _). faz_trocas1([x, Y Resto], [Y Resto1], trocou):- gt(x, Y), faz_trocas1([x Resto], Resto1, _). faz_trocas1([x Resto], [X Resto1], T):- faz_trocas1(resto, Resto1, T). Amílcar Cardoso, DEI-UC P-129

2 Ordenamento por Insersão Para ordenar uma lista não-vazia [X R], (i) ordenar a cauda R e (ii) inserir X numa posição da cauda que faça [X R] ordenada ord_insersao([ ], [ ]). ord_insersao([x R], ListaOrd):- ord_insersao(r, ROrd), insere_em_ordem(x, ROrd, ListaOrd). insere_em_ordem(x, [Y R], [Y R1]):- gt(x, Y),!, insere_em_ordem(x, R, R1). insere_em_ordem(x, R, [X R]). Amílcar Cardoso, DEI-UC P-130

3 Quicksort Para ordenar uma lista não-vazia L, (i) apagar um elemento X de L e partir o resto de L em duas listas: Pequenos, contendo os elementos de L menores ou iguais a X, e Grandes, contendo os elementos de L maiores que X; (ii) ordenar Pequenos e Grandes, obtendo respectivamente PeqOrd e GrandOrd; (iii) a concatenação de PeqOrd com [X GrandOrd] resulta na lista L ordenada Apaga elemento Partição Ordenação Ordenação Concatenação Amílcar Cardoso, DEI-UC P-131

4 Um programa para o quicksort: Partição: partir(x, R, Pequena, Grande) é verdade se a Pequena é a lista contendo os elementos de R de valor inferior a X e Grande é a lista que contém os restantes elementos de R partir(_, [ ], [ ], [ ]). partir(x, [Y R], [Y Pequena], Grande):- gt(x, Y),!, partir(x, R, Pequena, Grande). partir(x, [Y R], Pequena, [Y Grande]):- partir(x, R, Pequena, Grande). Predicado central: quicksort(lista, ListaOrd). quicksort([ ], [ ]). quicksort([x R], LOrd):- partir(x, R, Pequena, Grande), quicksort(pequena, PeqOrd), quicksort(grande, GrandOrd), conc(peqord, [X GrandOrd], LOrd). Amílcar Cardoso, DEI-UC P-132

5 Recorrendo a diferença de listas: Substituições: [ ] L-L PeqOrd P-P1 GrandOrd G-G1 A concatenação de PeqOrd com [X GrandOrd] corresponde à concatenação de P-P1 com [X G]-G1, resultando P-G1, com P1 = [X G] Substituindo sistematicamente: quicksort(lista, ListaOrd):- quicksort_dl(lista, ListaOrd-[ ]). quicksort_dl([ ], L-L). quicksort_dl([x R], P-G1):- partir(x, R, Pequena, Grande), quicksort_dl(pequena, P-[X G]), quicksort_dl(grande, G-G1). Amílcar Cardoso, DEI-UC P-133

6 Mergesort Para ordenar uma lista não-vazia L, (i) dividir L em duas listas L1 e L2, de tamanhos aproximadamente iguais; (ii) ordenar L1 e L2, obtendo respectivamente Ord1 e Ord2; (iii) fundir as listas ordenadas Ord1 e Ord2, obtendo a lista L ordenada Partição Ordenação Ordenação Fusão Amílcar Cardoso, DEI-UC P-134

7 Representação de Conjuntos: Árvores Binárias Inconveniente da representação por Listas: relação de pertença ineficiente Árvore binária: ➎ composta por uma raíz, uma sub-árvore esquerda (árvore binária) e uma sub-árvore direita (árvore binária) sub-árvore esquerda b raíz a c sub-árvore direita d Necessário: um símbolo especial para representar a árvore vazia e um functor especial para construir uma árvore não-vazia a partir dos seus três componentes ➂ árvore vazia: átomo nil ➂ árvore não-vazia: t(e, R, D) representa a árvore de raíz R, subárvore esquerda E e sub-árvore direita D Exemplo, para a árvore da figura: t( t( nil, b, nil ), a, t( t( nil, d, nil ), c, nil ) ) Amílcar Cardoso, DEI-UC P-13

8 Relação de pertença - in/2: in(x, t(_, X, _)). in(x, t(e, _, _)):- in(x, E). in(x, t(_, _, D)):- in(x, D). Problema: tão ineficiente como para a representação por listas Solução: impôr uma relação de ordem aos elementos do conjunto e representá-lo por um Dicionário Binário Dicionário Binário É uma árvore binária que, se fôr não-vazia, verifica as seguintes propriedades: ➎ todos os elementos da sub-árvore esquerda são menores que a raíz ➎ todos os elementos da sub-árvore direita são maiores que a raíz ➎ ambas as sub-árvores são dicionários binários Vantagem: relação de pertença mais eficiente ❸ basta pesquisar uma das sub-árvores Amílcar Cardoso, DEI-UC P-136

9 Exemplo: Relação de pertença - in/2: in(x, t(_, X, _)). in(x, t(e, R, _)):- gt(r, X), in(x, E). in(x, t(_, _, D)):- gt(x, R), in(x, D). A relação in/2 pode também ser usada para construir um dicionário binário:?- in(, D), in(3, D), in(8, D). D = t( t( D1, 3, D2 ),, t( D3, 8, D4 ) ) 3 8 Árvore equilibrada D1 D2 D3 D4 Amílcar Cardoso, DEI-UC P-137

10 Eficiência na procura: ➂ O tempo de procura de um elemento numa árvore equilibrada com n elementos é proporcional a log n ➂ O tempo de procura de um elemento numa lista com n elementos é proporcional a n mas ➂ se a árvore não fôr equilibrada o tempo de procura aumenta ➂ na situação extrema de a árvore ser totalmente desequilibrada o tempo de procura é proporcional a n Exemplo:?- in(3, D), in(, D), in(8, D). D = t( D1, 3, t( D2,, t( D3, 8, D4 ) ) ) 3 D1 D2 8 D3 D4 Interessa garantir que as árvores são construídas de forma a manterem-se aproximadamente equilibradas Amílcar Cardoso, DEI-UC P-138

11 Insersão e Remoção num Dicionário Binário Insersão A forma de insersão mais simples é aquela em que cada novo elemento passa a constituir uma folha da árvore addleaf(d, X, D1) Configuração inicial: addleaf(d1, 6, D2) D1 D addleaf(d2, 7, D3) addleaf(d3, 4, D4) D3 D addleaf(nil, X, t(nil, X, nil)). addleaf(t(esq, X, Dir), X, t(esq, X, Dir)). addleaf(t(esq, Raiz, Dir), X, t(esq1, Raiz, Dir)):- gt(raiz, X), addleaf(esq, X, Esq1). addleaf(t(esq, Raiz, Dir), X, t(esq, Raiz, Dir1)):- gt(x, Raiz), addleaf(dir, X, Dir1). Amílcar Cardoso, DEI-UC P-139

12 Remoção A remoção de uma folha é a operação inversa da de insersão de uma folha: delleaf(d1, X, D2) :- addleaf(d2, X, D1) Remoção de um nó interno: A remover X A X? Esq Dir Esq Dir Possível solução: remover X mover Y X Y Esq Dir Esq Y Dir Esq Dir1 Se uma das sub-árvores fôr vazia: A remover X A X Esq Esq Amílcar Cardoso, DEI-UC P-140

13 Remoção de elemento de um dicionário binário: del(arvore, X, NovaArvore) del( t(nil, X, Dir), X, Dir ). del( t(esq, X, nil), X, Esq ). del( t(esq, X, Dir), X, t(esq, Y, Dir1) ):- delmin(dir, Y, Dir1). del( t(esq, Raiz, Dir), X, t(esq1, Raiz, Dir) ):- gt(raiz, X), del(esq, X, Esq1). del( t(esq, Raiz, Dir), X, t(esq, Raiz, Dir1) ):- gt(x, Raiz), del(dir, X, Dir1). Remoção do menor elemento de um dicionário binário: delmin(arvore, Y, NovaArvore) delmin( t(nil, Y, Dir), Y, Dir ). delmin( t(esq, Raiz, Dir), Y, t(esq1, Raiz, Dir) ):- delmin(esq, Y, Esq1). Amílcar Cardoso, DEI-UC P-141

14 Insersão não-determinística: O novo nó é inserido num nível qualquer da árvore Para inserir X num dicionário binário D, (i) inserir X na raíz de D (X passa a ser a nova raíz de D) ou (ii) se a raíz de D é maior que X, insere X na sub-árvore esquerda de D; caso contrário, insere X na sub-árvore direita de D Problema: insersão na raíz ❸ addroot(arvore, X NovaArvore) Y inserir X, X < Y Esq Dir inserir X, Y < X X X Esq1 Y Y Dir2 Esq2 Dir Esq Dir1 addroot( nil, X, t(nil, X, nil) ). addroot( t(esq, Y, Dir), X, t(esq1, X, t(esq2, Y, Dir)) ):- gt(y, X), addroot(esq, X, t(esq1, X, Esq2)). addroot( t(esq, Y, Dir), X, t( t(esq, Y, Dir1), X, Dir2) ):- gt(x, Y), addroot(dir, X, t(dir1, X, Dir2)). Amílcar Cardoso, DEI-UC P-142

15 Insersão não-determinística num dicionário binário: add(arvore, X, NovaArvore) add(arvore, X, NovaArvore):- addroot(arvore, X, NovaArvore). add( t(esq, Raiz, Dir), X, t(esq1, Raiz, Dir) ):- gt(raiz, X), add(esq, X, Esq1). add( t(esq, Raiz, Dir), X, t(esq, Raiz, Dir1) ):- gt(x, Raiz), add(dir, X, Dir1). Notar a semelhança com del/3, para remoção de elemento de um dicionário binário Na verdade, este predicado pode ser utilizado na direcção inversa, para apagar um elemento do dicionário Por exemplo: add(nil, 3, D1), add(d1,, D2), add(d2, 1, D), add(dd,, D) constrói uma árvore D contendo os elementos 1, 3 e, removendo depois para produzir a árvore DD Amílcar Cardoso, DEI-UC P-143