Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática. Geodésicas e o Teorema de Hopf-Rinow

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Geodésicas e o Teorema de Hopf-Rinow Carlos Eduardo Ladeira Vidigal dut@ufmg.br Orientador: Alberto Berly Sarmiento Vera Belo Horizonte, Junho de 2006

2 Agradecimentos Agradeço a Deus e aos meus pais, pois sem eles não estaria aqui. ao meu irmão, pelo apoio incondicional. à todos os colegas que participaram da minha vida acadêmica, em especial: Audrey, Cristiano, Elaine, Fernando e Érika. à Érika, exemplo de mulher e amiga, por ter me ensinado muito mais que matemática. ao Prof. Alberto Berly Sarmiento Vera pela eficaz transmissão de conhecimento, pela preocupação e atenção. Não poderia esperar orientador melhor.

3 Sumário Introdução ii 1 Preliminares Curvas e Superfícies Primeira Forma Fundamental Propriedades Intrínsecas Teoremas de EDO Geodésicas e a Aplicação exponencial Campos Paralelos e Geodésicas Derivada Covariante Geodésicas Aplicação Exponencial e Vizinhanças Convexas Vizinhanças totalmente normal Vizinhanças Convexas Geodésicas e Maple O Teorema de Hopf-Rinow 25 Bibliografia 34 i

4 Introdução A Geometria diferencial é um resultado natural do cálculo infinitesimal. De fato, a diferenciação é o mesmo que a construção de retas tangentes a uma curva e a integração é o estudo de áreas e volumes. Já nos trabalhos de Newton, Liebnitz e dos irmãos Bernoulli, o cálculo foi uma ferramenta efetiva no tratamento de problemas geométricos e físicos. As primeiras contribuições nas teorias de superfície foram feitas por Euler e Monge. Este escreveu o primeiro livro especificamente de geometria diferencial: Application de l analyse à la géométrie Na geometria euclidiana, os axiomas caracterizam os objetos fundamentais: pontos e linhas. Então o que seria a noção de linha na geometria diferencial? Sabemos que uma linha reta no plano nos dá a menor distância entre dois pontos. Mas, não basta tomarmos uma curva α sobre uma superfície S em R 3 ligando dois pontos para que esta seja a menor distância entre esses dois pontos. Veremos que as curvas que atendem a esse requisito são as geodésicas. O objetivo principal desse trabalho é demonstrar o teorema de Hopf-Rinow. Para isso vamos devemos mostrar e compreender todos os pré-requisitos necessários para a sua demonstração, entre eles a derivada covariante, as geodésicas e aplicação exponencial. Através do teorema de Hopf-Rinow é possível concluir que a hipótese de completude em uma superfície é essencial para podermos garantir que dados quaisquer dois pontos nesta superfície existe uma geodésica minimizante que os une. O nosso teorema principal leva o nome do matemático alemão Heinz Hopf ( ) e seu aluno Willi Rinow. ii

5 Capítulo 1 Preliminares 1.1 Curvas e Superfícies Definição 1.1. Uma curva é uma função vetorial α : I R 3, de um intervalo I = (a, b) da reta real R em R 3. Dizemos que uma curva α = (x(t), y(t), z(t)) é diferenciável se as funções reais x(t), y(t) e z(t) são diferenciáveis. Neste caso, a derivada da curva é α (t) = (x (t), y (t), z (t)) Além disso, dizemos que uma curva parametrizada α : [a, b] S ligando α(a) a α(b) é diferenciável por partes se existe uma partição finita de [a, b] por pontos a = t 0 < t 1 <... < t k < t k+1 = b tal que α é diferenciável em [t i, ti + 1], i = 0...k. Se α : I R 3 é uma curva diferenciável parametrizada então para cada t I tal que α (t) 0, há uma reta bem definida contendo o ponto α(t) na direção do vetor α (t) chamada reta tangente à curva no ponto α(t). Definição 1.2. Uma curva diferenciável parametrizada α : I R n é chamada regular se α (t) 0 para todo t I. Isto é, possui reta tangente em todos seus pontos. Definição 1.3 (Comprimento de arco). O comprimento de arco de uma curva parametrizada regular α : I R n a partir de um ponto t 0 I até t I é s(t) = t t 0 α (t) dt onde α (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2 é o comprimento do vetor α (t) em R 3. Se a curva é diferenciável por partes, temos então: l(α) = t i+1 α (t) dt Isso nos motiva a dar uma nova definição. t i Definição 1.4 (Curva p.p.c.a.). Dizemos que uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco (p.p.c.a) se para todo par de pontos {t 0, t 1 } I, com t 0 < t 1 tem-se que t 1 t 0 α (t) dt = t 1 t 0. 1

6 1.1 Curvas e Superfícies Vejamos agora uma maneira de verificar se uma curva está parametrizada pelo comprimento de arco: Teorema 1.1. Uma curva regular α : I R n está parametrizada pelo comprimento de arco se, e somente se, α (t) = 1 para todo t I. Demonstração. ( = ) Dados t 0, t 1 I de modo que que t 0 < t 1 podemos calcular t1 t1 α (t) dt = dt = t 1 t 0 t 0 t 0 Logo, pela definição 1.4, α é p.p.c.a. ( = ) Seja t 0 tal que t > t 0 t t 0 α (t) dt = t t 0 Derivando ambos os lados da igualdade ds(t) dt = α (t) dt = 1 O próximo teorema nos garante que sempre podemos encontrar uma parametrização pelo comprimento de arco para qualquer parametrização da curva dada, não importando o método de encontrar essa parametrização, o que se torna útil em muitos casos. Teorema 1.2. Seja α : I R n uma curva parametrizada regular. Então sempre existe mudança de parâmetro γ : J I(t = γ(s)) tal que β = α γ é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Demonstração. Dado t 0 I podemos calcular o comprimento de arco l t s(t) = α (t) dt t 0 Como s é estritamente crescente, possui inversa. Seja t = γ(s) a inversa e seja β(s) = (α γ)(s). Vamos mostrar que β é p.p.c.a. Para isto basta calcular: β (s) = dα(t) dγ(s) dt ds β (s) = dα(t) dt 1 ds dt β (s) = α 1 (t) α = 1, s. (t) Pelo teorema anterior temos que β(s) é p.p.c.a. 2

7 1.1 Curvas e Superfícies Definição 1.5. Uma superfíe regular é um subconjunto S R 3 tal que para cada p S, existe uma vizinhança aberta V de p em R 3 e uma aplicação ϕ : U V S definida em um aberto U de R 2 sobre V S R 3 que satisfaz 1. ϕ é diferenciável. Isto é, se escrevemos ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) U, as funções x(u, v), y(u, v), z(u, v) têm derivadas parciais contínuas de todas as ordens em U. 2. ϕ é injetiva, ou seja, se q 1 q 2 então ϕ(q 1 ) ϕ(q 2 ) { } 3. Para todo q U, ϕ u, ϕ v são linearmente independentes, isto é, as ϕ ϕ derivadas parciais u (q) e v (q) são tais que o produto vetorial ϕ ϕ u (q) v (q) 0 É comum utilizarmos a seguinte notação ϕ u (q) = ϕ u(q), ϕ v (q) = ϕ v(q). Dada α : ( ε, ε) S uma curva diferenciável, com α(0) = p, então α (0) é um vetor tangente a S no ponto p. O conjunto de todos os vetores tangentes a S no ponto p é chamado de espaço tangente e denotamos por T p S. Dessa maneira, dada ϕ : U R 2 R 3 uma parametrização de uma superfície regular S com ϕ(q) = p, a derivada Dϕ (q) : R 2 R 3 é uma transformação linear injetiva. Então Dϕ q (R 2 ) é um subespaço vetorial de dimensão 2 que coincide com T p S, ou seja, Dϕ q (R 2 ) = T p S. Figura 1.1: Como ϕ u (q) e ϕ v (q) são linearmente independentes, ϕ u (q) ϕ v (q) 0 e é ortogonal ao T p S em p, representamos por N(u, v) o vetor normal unitário de S em p que é dado então por 3

8 1.1 Curvas e Superfícies N : S R 3 N(u, v) = φ u(q) φ v (q) φ u (q) φ v (q) Portanto, a equação do plano tangente a S passando pelo ponto p é é dada por ((x, y, z) φ(u 0, v 0 )) N(u 0, v 0 ) = Primeira Forma Fundamental Seja ϕ : U R 2 R 3 uma parametrização de S e sejam q U e p = φ(q). Definição 1.6 (Primeira Forma Fundamental). Chamamos de 1 a. forma fundamental de S em p a função I p : T p S R definida por I p (w) =< w, w >, w T p S. Isto é, restringimos o produto escalar de R 3 ao espaço tangente T p S. Como dϕ q : T q U T p S é um isomorfismo, existe um único vetor a = (a 1 (q), a 2 (q)) T q U tal que dϕ q (a) = w = a 1 (q)ϕ u (q) + a 2 (q)ϕ v (q). Consequentemente, I p (w) = I p (dϕ q (a)) = I p (ϕ u (q)a 1 (q) + ϕ v (q)a 2 (q)) =< ϕ u (q)a 1 (q) + ϕ v (q)a 2 (q), ϕ u (q)a 1 (q) + ϕ v (q)a 2 (q) > =< ϕ u (q), ϕ u (q) > (a 1 (q)) 2 +2 < ϕ u (q), ϕ v (q) > a 1 (q)a 2 (q)+ < ϕ v (q), ϕ v (q) > (a 2 (q)) 2 Podemos assim, definir as seguintes funções: E, F, G : U R E(q) =< ϕ u (q), ϕ u (q) > F (q) =< ϕ u (q), ϕ v (q) > G(q) =< ϕ v (q), ϕ v (q) > E,F e G são chamados de coeficientes da 1 a. forma fundamental. Logo, podemos escrever (1.1) I p (w) =< w, w >= E(q)(a 1 (q)) 2 +2F (q)a 1 (q)a 2 (q) + G(q)(a 2 (q)) 2 (1.2) Dessa forma, dada uma curva regular α(t) = (u (t), v (t)) sobre uma superfície regular S podemos calcular o comprimento de arco dessa curva sobre S usando a primeira forma fundamental: t t s(t) = α (t) dt = I p (α (t))dt t 0 t 0 Substituindo, temos que s(t) = t t 0 E(u ) 2 + 2F (u )(v ) + G(v ) 2 dt 4

9 1.1 Curvas e Superfícies Notemos que a 1 a forma fundamental também pode ser escrita da seguinte maneira: ( ) ( ) (u, v E F u ).. F G v ( ) E F onde é chamada matriz da primeira forma fundamental. F G Notemos que o determinante desta matriz é positivo: EG F 2 > Propriedades Intrínsecas Definição 1.7. Uma função φ : S S é uma isometria, se os coeficientes da 1 a. forma fundamental em todo ponto p S coincidem com os respectivos coeficientes em φ(p) = p S. Já mostramos que podemos calcular os comprimentos de curvas usando a 1 a. forma fundamental, assim podemos dizer que uma isometria preserva comprimentos. Aliás, as propriedades das superfícies que dependem apenas da 1 a. forma fundamental são preservadas por isometria. Dizemos então que uma propriedade de uma superfície S é intrínseca se esta for preservada para toda superfície isométrica a S. Temos que se ϕ : U S é uma parametrização local de S então em cada ponto fica definido uma base {ϕ u, ϕ v, N}. Então as derivadas parciais ϕ uv, ϕ uu, etc.,são combinações lineares de elementos desta base, ou seja, ϕ uu = Γ 1 11ϕ u + Γ 2 11ϕ v + L 1 N, ϕ uv = Γ 1 12ϕ u + Γ 2 12ϕ v + L 2 N, ϕ vu = Γ 1 21ϕ u + Γ 2 21ϕ v + M 2 N, ϕ vv = Γ 1 22ϕ u + Γ 2 12ϕ v + L 3 N, N u = r1ϕ 1 u + r1ϕ 2 v, N v = r2ϕ 1 u + r2ϕ 2 v. (1.3) As funções Γ k ij : U R são chamadas de símbolos de Christoffel de S na parametrização ϕ. Notemos que sendo N = 1 temos que N u N e N v N. Assim, N u e N v não possuem componentes normal. Proposição 1.1. Os símbolos de Christoffel dependem apenas da 1 a. forma fundamental. Demonstração. Derivando E,F e G, com respeito aos parâmetros u e v, tem-se: 1 2 E u =< ϕ uu, ϕ u > 1 2 E v =< ϕ uv, ϕ u > F u =< ϕ uu, ϕ v > + < ϕ u, ϕ uv > F v =< ϕ uv, ϕ v > + < ϕ u, ϕ vv > 1 2 G u =< ϕ uv, ϕ v > 1 2 G v =< ϕ vv, ϕ v > Substituindo os símbolos de Christoffel na primeira igualdade temos: 1 2 E u =< ϕ uu, ϕ u >=< Γ 1 11ϕ u + Γ 2 11ϕ v + L 1 N, ϕ u >= Γ 1 11 < ϕ u, ϕ u > +Γ 2 11 < ϕ v, ϕ u > +L 1 < N, ϕ u > Como N ϕ u, então < N, ϕ u >= 0. Logo, temos 5

10 1.2 Teoremas de EDO 1 2 E u = Γ 1 11E + Γ 2 11F De modo semelhante calculamos e obtemos os seguintes sistemas: { Γ 1 11E + Γ 2 11F = 1 2 E u Γ 1 11F + Γ 2 11G = F u 1 2 E v { Γ 1 12 E + Γ 2 12F = 1 2 E v Γ 1 12F + Γ 2 12G = 1 2 G u { Γ 1 22 E + Γ 2 22F = F v 1 2 G u Γ 1 22F + Γ 2 22G = 1 2 G v Estas igualdades podem ser expressas em matrizes, respectivamente, da seguinte forma: ( ) ( ) ( E F Γ F G Γ 2 = 2 E ) u 11 F u 1 2 E, v ( ) ( ) ( E F Γ F G Γ 2 = 2 E ) v G, u ( ) ( ) ( E F Γ 1 22 Fv 1 F G Γ 2 = 2 G ) u G v Como EG F 2 > 0, podemos calcular os valores das funções Γ k ij pela regra de Cramer: Γ 1 11 = GE u 2F F u + F E v 2(EG F 2 ) Γ 2 11 = 2EF u EE v + F E u 2(EG F 2 ) Γ 1 12 = GE v F G u 2(EG F 2 ) Γ 2 12 = EG u F E v 2(EG F 2 ) Γ 1 22 = 2GF v GG u + F G v 2(EG F 2 ) Γ 2 22 = EG v 2F F v + F G u 2(EG F 2 ) Fica mostrado então que os símbolos de Christoffel se expressam apenas em termos dos coeficientes da 1 a. forma fundamental e de suas derivadas, o que mostra também que são invariantes por isometria. 1.2 Teoremas de EDO Seja f : A R 2 um campo de vetores contínuo que a cada (x, y) A associa um vetor f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). A equação diferencial associada ao campo é: 6

11 1.2 Teoremas de EDO { ẋ = P (x, y) ẏ = Q(x, y) (1.4) Uma solução de ( 1.3 ) é uma curva diferenciável ϕ(t) = (x(t), y(t)) tal que ẋ = P (x(t), y(t)) ẏ = Q(x(t), y(t)) Logo, ϕ(t) = f(ϕ(t)) onde ϕ(t) é o vetor tangente à curva ϕ no ponto t. Esta igualdade acima diz que o vetor tangente à curva é exatamente o vetor dado pelo campo de vetores. De modo geral para um campo de vetores contínuo F : A R n definido no aberto A R n (F (x) = (F 1 (x), F 2 (x),..., F n (x)); x = (x 1, x 2,..., x n ) A), associamos a equação diferencial ẋ = F (x) que corresponde a n-equações (i = 1, 2,..., n) da forma ẋ i = F i (x 1, x 2,..., x n ) Uma solução desta equação diferencial com condição inicial p 0 A é uma curva diferenciável ϕ( ε, ε) A com ϕ(0) = p 0 e ϕ = F (ϕ(t)), t ( ε, ε). O seguinte teorema é um caso particular do Teorema de Picard, que nos garante a existência de soluções de uma equação diferencial ordinária com condição inicial. A prova deste teorema pode ser encontrada em [1]. Teorema 1.3 (Teorema de existência e unicidade das soluções de uma equação diferencial ordinária). Seja F : U R n um campo de vetores definido sobre o aberto U R n de classe C 1. Para todo x 0 = (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n) U existe ε > 0 e curva diferenciável ϕ : ( ε, ε) U com ϕ(0) = x 0 que é a solução da equação diferencial ordinária ẋ = F (x). Além disso, se ϕ e ψ são duas soluções que coincidem num ponto, digamos ϕ(t 0 ) = ψ(t 0 ), então elas são iguais para todo t no domínio comum. Suponhamos que para todo x U a solução da equação diferencial ordinária ẋ = F (x), ϕ : ( ε, ε) U está definida no intervalo ( ε, ε). Então fica bem definida a função γ : ( ε, ε) U U (t, x) Φ(t, x) = ϕ x (t) O seguinte teorema, cuja demonstração também pode ser encontrada em [1], é um caso particular do teorema de dependência contínua e diferenciável das soluções de uma E.D.O. com relação às condições iniciais e parâmetro. Teorema 1.4. Seja F nas condições acima. 1. Se F é uma função contínua, então γ também é contínua; 2. se F é uma função de classe C 1, então γ é de classe C 1. 7

12 Capítulo 2 Geodésicas e a Aplicação exponencial As geodésicas sobre superfícies são curvas que merecem destaque por sua propriedade de minimizar distâncias sobre as superfícies. São análogas às retas no plano Euclideano. Já sobre uma esfera os círculos máximos são as geodésicas. O menor caminho entre dois pontos A e B é dado pela menor parte do círculo máximo que passa por A e B. A existência e unicidade das geodésicas seguem do teorema de Picard para as soluções de equações diferenciais ordinárias. Para definirmos geodésicas, temos que entender primeiro a noção de derivada covariante. Iremos ainda introduzir alguns sistemas de coordenadas especiais tendo em vista suas aplicações geométricas e para isso vamos descrever a aplicação exponencial. 2.1 Campos Paralelos e Geodésicas Derivada Covariante Seja U S um conjunto aberto sobre a superfície regular S. Um campo de vetores tangentes a S definido sobre U é uma aplicação w : U R 3 tal que para todo ponto p U têm-se que o vetor w(p) T p S. Se X : V R 2 U é uma parametrização de S então w se escreve como w = a(u, v)x u + b(u, v)x v, onde as funções a e b são chamadas de coordenadas do campo na base {X u, X v }. Dizemos que w é um campo diferenciável (o mesmo C r, r 1) se as coordenadas a e b são diferenciáveis (respectivamente, de classe C r ). Um exemplo de um campo de vetores (diferenciável) ao longo de α é dado pelo campo α (t) de vetores tangentes de α. A derivada covariante é o análogo para superfícies da derivação usual de vetores no plano. Consideremos uma curva α e seja w(t), t ( ε, ε) a restrição do campo de vetores w à curva α. A derivada usual w (t) não necessariamente é um vetor tangente à superfície. Então, como {X u, X v, N} é uma base de R 3, podemos escrever de modo único w (t) = (w (t)) tg + (w (t)) N T p S N. 8

13 2.1 Campos Paralelos e Geodésicas Assim, (w (t)) tg T p S é chamado de derivada covariante de w em t, mais exatamente temos a seguinte definição Figura 2.1: Definição 2.1. Seja w : U R 3 um campo diferenciável de vetores definido sobre o conjunto aberto U S e p U. Seja η T p S. Considere uma curva parametrizada α : ( ɛ, ɛ) U com α(0) = p e α (0) = η. Denotamos por w(t), t ( ɛ, ɛ) a restrição do campo de vetores w à curva α. A projeção de dw dt (0) sobre o plano T ps é chamado a derivada covariante em p do campo de vetores w em relação ao vetor η. Esta derivada covariante é denotada por Dw dt (0) ou (D ηw)(p) Nesta situação temos que dw Dw (0) = dt dt (0) + αn p A definição anterior faz uso do vetor normal de S e de uma curva particular α, cujo vetor tangente em p é η. Poderíamos pensar então que a derivada covariantes depende dessa curva. Vejamos uma proposição que mostra que ela só depende do vetor η. Proposição 2.1. A derivada covariante não depende da escolha da curva α de S Demonstração. Vamos obter uma expressão para a curva α em termos da parametrização x(u, v) de S em p. Seja x(u(t), v(t)) = α(t) a expressão da curva α e seja w(t) = a(u(t), v(t))x u + b(u(t), v(t))x v = a(t)x u + b(t)x x, a expressão de w(t) na parametrização x(u(t), v(t)). Derivando w em relação a t, temos dw dt = a(x uuu + x uv v ) + b(x vu u + x vv v ) + a x u + b x v. 9

14 2.1 Campos Paralelos e Geodésicas Como Dw/dt é a componente de dw/dt no plano tangente, utilizando os símbolos de Christoffel e desprezando a componente normal, obtemos: Dw dt = (a + Γ 1 11au + Γ 1 12av + Γ 1 12bu + Γ 1 22bv )x u + (b + Γ 2 11au + Γ 2 12av + Γ 2 12bu + Γ 2 22bv )x v. (2.1) A expressão acima mostra que Dw/dt depende apenas do vetor (u, v ) = η e não da curva α e, além disso, a é dada através dos símbolos de Christoffel, isto é, através da primeira forma fundamental, que não depende da escolha de α, apenas da superfície S. Exemplo 2.1. Se a superfície S é um plano, podemos encontrar uma parametrização tal que E = G = 1 e F = 0. Substituindo nas equações que nos fornecem os símbolos de Christoffel, obtemos todos os Γ k ij nulos. Assim a equação 2.1 nos fornecerá a derivada usual de vetores no plano. A derivada covariante é, portanto, uma generalização para superfícies da derivada usual de vetores no plano. Definição 2.2. Um campo de vetores w ao longo de uma curva parametrizada α : I S é chamado campo paralelo se Dw dt = 0 para todo t I. Tomando como exemplo o caso particular do plano, temos que o campo paralelo ao longo de uma curva parametrizada é o campo constante ao longo da curva, ou seja, o comprimento do vetor e o ângulo que ele faz com uma direção são constantes. Proposição 2.2. Sejam v e w campos de vetores paralelos ao longo de uma curva α : I S. Então < v(t), w(t) > é constante. Demonstração. Como o campo w é paralelo ao longo de α temos que dw/dt é normal ao plano tangente à superfície em α(t), ou seja, < v(t), w (t) >= 0, t I Por outro lado, v (t) também é normal ao plano tangente em α(t). Assim, < v(t), w(t) > =< v(t), w (t) > + < v (t), w(t) >= 0; o que implica que < v(t), w(t) > é constante. Em particular, temos que o ângulo entre v(t) e w(t) é constante. Segue ainda que w(t) e v(t) também são constantes Geodésicas Definição 2.3. Uma curva parametrizada, não constante, γ : I S é chamada geodésica em t I se o seu campo de vetores tangentes γ (t) é paralelo ao longo de γ em t, ou seja, Dγ (t) = 0. dt Dizemos que γ é uma geodésica parametrizada se é geodésica para todo t I. 10

15 2.1 Campos Paralelos e Geodésicas Seja X(u, v) uma parametrização de S em uma vizinhança V e seja γ : I V uma curva parametrizada com γ(t) = X(u(t), v(t)), t I. Então o campo de vetores tangentes à curva γ (t) é da forma Se γ é geodésica então Dγ (t) dt γ (t) = w = u (t)x u + v (t)x v. = 0. Logo, da equação 2.1 temos u + Γ 1 11(u ) 2 + 2Γ 1 12(u v ) + Γ 1 22(v ) 2 = 0 v + Γ 2 11(u ) 2 + 2Γ 2 12(u v ) + Γ 2 22(v ) 2 = 0 (2.2) que é chamada de equação diferencial da geodésica. O seguinte teorema é uma conseqüência direta do teorema de existência e unicidade das soluções das EDO s (1.3). Teorema 2.1. Seja S uma superfície. Dado p S e η 0 T p S com η 0 0 então existe γ : ( ε, ε) S única geodésica satisfazendo γ(0) = p e γ (0) = η 0. Demonstração. Seja X(u, v) uma parametrização de S em uma vizinhança V com p V. Neste sistema de coordenadas, procurar a geodésica γ com as condições iniciais p e η 0 é equivalente a resolver a equação 2.2 com condições iniciais X(u(0), v(0)) = p e u (0)X u + v (0)X v = η 0. Introduzimos a mudança de variáveis x = du dt e y = dv dt Desse modo, temos que x = u e y = v. Logo, x = Γ 1 11(u ) 2 2Γ 1 12(u v ) Γ 1 22(v ) 2 y = Γ 2 11(u ) 2 2Γ 2 12(u v ) Γ 2 22(v ) 2 (2.3) E pelo teorema (1.3) de existência e unicidade das soluções de EDO s fica provado que existe uma única geodésica γ que satisfaz as condições iniciais. Observação 2.1. O parâmetro da geodésica é proporcional ao comprimento de arco. Uma conseqüência importante do fato de que as geodésicas são caracterizadas pelo sistema anterior é a seguinte: Corolário 2.1. Dado um ponto p S e um vetor w T p S, w 0, existe um ε > 0 e uma única geodésica parametrizada γ : ( ε, ε) S tal que γ(0) = p, γ (0) = w. Figura 2.2: Existência de geodésicas 11

16 2.2 Aplicação Exponencial e Vizinhanças Convexas 2.2 Aplicação Exponencial e Vizinhanças Convexas A partir de então, para indicar a dependência de uma geodésica em relação ao vetor v, convém denotá-la por γ(t, v) = γ Lema 2.1. Se a geodésica γ(t, v) é definida para t ( ε, ε), então a geodésica γ(t, λv), λ R, λ > 0, é definida para t ( ε/λ, ε/λ) e γ(t, λv) = γ(λt, v). Demonstração. Chamemos de α : ( ε/λ, ε/λ) S a curva parametrizada definida por α(t) = γ(at, P, v) com α(0) = γ(0, P, v) = P. Temos então α (t) = a.γ (at, P, V ) e ainda α (0) = a.γ (0, P, v) = a.v Logo, D(α ) = D dt dt (a.γ (at, P, v)) = a. D dt (γ (at, P, v)) Fazendo at = s temos que Dγ Dγ (s, P, v) = dt ds.ds dt = Dγ ds.a Substituindo esse resultado na primeira expressão, ficamos com a. D dt (γ (at, P, v)) = a 2. D ds (γ (s, P, v)) 0 Portanto, α é geodésica com condições iniciais α(0) = P e α (0) = av. Por unicidade, γ(at, P, v) α(t) = γ(t, P, av). Se v T p S, v 0, é tal que γ( v, v/ v ) = γ(1, v) está definido, usamos a seguinte notação exp p (v) = γ(1, v) e exp p (0) = p. Geometricamente, a construção corresponde a percorrer, se possível, um comprimento igual v ao longo da geodésica passando por p na direção de v e, assim, obtendo o ponto denotado por exp p (v). Proposição 2.3. Dado p S existe um ε > 0 tal que a aplicação exp p é definida e diferenciável no interior de um disco de raio ε de T p S, com centro na origem. Demonstração. Pelo Lema 2.1, para cada direção de T p S podemos tomar v suficientemente pequeno de modo que o intervalo da definição de γ(t, v) contenha 1. Dessa maneira, γ(1, v) = exp p (v) está definida. Seja B[0, 1] = {v T p S; v 1}. Como B[0, 1] é compacto, então existe V 1 V 2... V k B[0, 1]. Tome ε tal que 0 < ε = min{ε 1, ε 2,..., ε k }. Assim, para todo v B[0, 1], está definida a geodésica γ(t, p, v), ε < t < ε. Fixamos então r, 0 < r < ε. Tomando v B[0, 1] temos: γ(t, p, v) = γ(t, p, 1 r (rv)) = γ(1 t, p, (rv)) com rv B[0, r]. Como ε < t < r ε, logo ε r < t r < ε r. Fazendo t r = s, obtemos que γ(s, p, w) está definida para todo w B[0, w].portanto, definimos exp p : B[0, r] S v γ(1, p, v) ou seja, exp p (v) = γ(1, p, v) está definida. Mais ainda, exp p (v) = γ(1, p, v) = γ( v v, p, v) = γ( v, p, v v ) A diferenciabilidade de exp p segue do fato de que γ é diferenciável. 12

17 2.2 Aplicação Exponencial e Vizinhanças Convexas Figura 2.3: Um fato importante que segue dessa proposição é: Teorema 2.2. Dado p S, existe r > 0 tal que exp p : B(0, r) T p S S é um difeomorfismo de B(0, r) sobre um aberto U S com p U. Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que exp p : B(0ε) S é diferenciável. Mas γ(t, p, v) é uma solução de uma equação diferencial ordinária. Do teorema de dependência diferenciável das soluções com relação aos parâmetros, temos que γ varia diferenciavelmente (com a mesma classe) que a equação original, o que prova nossa afirmação. Agora, basta mostra que exp p(0) = D exp p (0) = I (aplicação identidade). Seja D exp p (v) v=0 a derivada direcional da função exp p no ponto v = 0 na direção w B(0, ε). De fato, temos, d dt (exp p(tw)) t=0 = d dt (γ(1, p, tw)) t=0= d dt (γ(t, p, w)) t=0= γ (t, p, w) t=0 = w Por outro lado, temos D exp p(0).w = d dt (exp p(tw)) t=0 = w, w o que implica que D exp p(0) = I. Definição 2.4. Chamamos V S uma vizinhança normal de p S se V é a imagem V = exp p (U) de uma vizinhança U da origem no T p S restrita a qual exp p é um difeomorfismo. Um sistema de coordenadas retangulares no plano tangente T p S, p S pode ser obtido através da escolha neste plano de dois vetores ortogonais e 1 e e 2. Observe que como exp p : U V S é um difeomorfismo, ela satisfaz as condições para uma parametrização em p. Isto é, se que q V, então q = exp p (w), para algum w = ue 1 + ve 2 U. Chamamos (u, v) de coordenadas de q. Nas mesmas condições, podemos escolher um sistema de coordenadas polares (ρ, θ), onde ρ é o raio polar e θ, 0 < θ < 2π, o ângulo polar cujo pólo é a origem do T p S. Devemos notar que as coordenadas polares no plano não são definidas na semi-reta fechada r que corresponde a θ = 0. Fazendo exp p (r) = R temos exp p : U r V R que ainda é um difeomorfismo. As coordenadas 13

18 2.2 Aplicação Exponencial e Vizinhanças Convexas (ρ, θ), parametrizando os pontos de V R são chamadas coordenadas polares geodésicas Denotamos por círculos geodésicos de V as imagens por exp p : U V de círculos em U centrados na origem, que em V R são as curvas ρ = const.. E as imagens por exp p de retas passando pela origem serão chamadas geodésicas radias, que em V R são as curvas θ = const.. Lema 2.2. Seja um ponto p S. Seja v B(0, r) T p S e w T v (T p S) = T p S. Então < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w >=< v, w > p. Em outras palavras, exp p (v) é uma transformação linear ortogonal. Demonstração. Seja {v, v } uma base para o T p S. Então podemos escrever w = w 1.v + w 2.v = w T + w N. Logo, (exp p (v)).w = (exp p (v)).w T + (exp p (v)).w N Portanto, < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w >= < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w T > + < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w N > Basta provarmos que 1. < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w T >=< v, w T > e 2. < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w N >=< v, w N > pois, sendo válido, teremos < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w >=< v, w T > + < v, w N >=< v, w > Para provar (1) façamos w T = λv. Logo, < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w T >=< (exp p (v)).v, (exp p (v)).λv >= λ < (exp p (v)).v, (exp p (v)).v >= λ (exp p (v)).v 2 = λ( d dt (γ(1, p, tv)) t=1) 2 = λ d dt (γ(1, p, tv)) t=1 2 = λ v 2 = λ < v, v >= < v, λv >=< v, w T > O item (2) se reduz ao fato de que v e w N são ortogonais por construção, e assim, < (exp p (v)).v, (exp p (v)).w N >= 0 =< v, w N > Se α : [a, b] S é uma curva diferenciável (por partes), dizemos que α é minimizante (entre α(a) e α(b)) se o comprimento de α é o menor possível entre todos os comprimentos das curvas diferenciáveis (por partes) que ligam α(a) e α(b).em particular, as geodésicas tem algumas propriedades minimizantes. Uma propriedade fundamental de uma geodésica é o fato de que, localmente, ela minimiza o comprimento de arco. Mais precisamente, temos Proposição 2.4. Seja p um ponto em uma superfície S. Então existe uma vizinhança W S de p tal que se γ : I W é uma geodésica parametrizada com γ(0) = p, γ(t 1 ) = q, t 1 I, e seja α : [0, t 1 ] S uma curva qualquer parametrizada regular ligando p a q, temos l γ l α 14

19 2.2 Aplicação Exponencial e Vizinhanças Convexas onde (l) α denota o comprimento da curva α. Além disso, se (l) γ = (l) α, então o traço de γ coincide com o traço de α entre p e q. Demonstração. Seja V uma vizinhança normal de p, e seja W a região fechada limitada por um círculo geodésico de raio r contido em V. Sejam (ρ, θ) coordenadas polares geodésicas em W L centradas em p. Primeiramente vamos analisar o caso em que α([0, t 1 ]) W. Seja então o < β 0 < β 1 < t 1. Como α tem comprimento finito, podemos escolher L de modo que α([β 0, β 1 ]) interesecta L em apenas um número finito de pontos, digamos τ 1 < τ 2 <... < τ k 1. Fazendo β 0 = τ 0 e β 1 = τ k,e escrevendo α(t) = (ρ(t), θ(t)) em cada intervalo (τ i, τ i+1,i = 0,..., k 1. Note que (ρ ) 2 + G.(θ ) 2 (ρ ) 2 e a igualdade se ocorrerá apenas no caso em que θ 0, ou seja, quando θ for constante em (τ i, τ i+1 ). Figura 2.4: Afirmamos que o comprimento de α entre β 0 e β 1 é maior ou igual do que ρ(β 1 ) ρ(β 0 ) e que a igualdade se verifica apenas no caso em que α for a geodésica radial com uma parametrização ρ(t), com ρ (t) > 0. Para provar esta afirmação, vamos calcular o comprimento referido, que é dado por τ i+1 (ρ ) 2 + G.(θ ) 2 dt τi+1 (ρ ) 2 dt τ i τi+1 = (ρ ) dt = ρ(β 1 ) ρ(β 0 ), τ i onde a integral entre τ i e τ i+1 é obtida tomando o limite, quando ε 0, da integral entre τ i + ε e τ i+1 ε, ε > 0. Além disto, a igualdade se verifica na desigualdade acima se, e somente se, ρ(t) > 0 e θ(t) = const. em cada intervalo τ i, τ i+1, ou seja, α(τ i ) e α(τ i+1 ) pertencem a uma geodésica radial, o que prova a afirmação feita. A prova da proposição para o caso em que α([0, t 1 ]) W segue da afirmação acima, tomando β 0 0 e β 1 t 1. τ i 15

20 2.3 Vizinhanças totalmente normal Suponha agora que α([0, t 1 ]) não esteja inteiramente contida na região W. Então existe um t 0 [0, t 1 ] tal que t 0 é o primeiro valor para o qual α(t 0 ) = x pertence à fronteira de W. Seja γ a geodésica radial px e seja ᾱ a restrição da curva α ao intervalo [0, t 0 ]. É claro então que l α lᾱ. Mas do argumento anterior temos que lᾱ l γ. Ou seja, l α lᾱ l γ l γ, o que conclui a demonstração. Figura 2.5: As proposições mostradas até agora não são válidas globalmente. Um exemplo é se tomarmos dois pontos em uma uma esfera eles podem ser ligados por duas curvas geodésicas de comprimentos diferentes. É claro que apenas a menor satisfaz as conclusões da proposiçao. Isto é, não é certo que uma geodésica, se suficientemente estendida, seja o menor caminho entre seus pontos extremos. No entanto, mostraremos agora que se uma curva regular é o menor caminho entre dois pontos de uma superfície, então necessariamente esta curva é uma geodésica. Proposição 2.5. Seja α : I S uma curva parametrizada regular com um parâmetro proporcional ao comprimento de arco. Suponha que o comprimento de α entre dois pontos quaiquer t, τ I é menor ou igual ao comprimento de qualquer curva parametrizada ligando α(t) a α(τ). Então α é uma geodésica. Demonstração. Seja t 0 I um ponto arbitrário de I e W a vizinhança normal de α(t 0 ) dada pela proposição anterior. Seja q = α(t 1 ) W. Da desigualdade da proposição anterior segue que α é uma geodésica em (t 0, t 1 ). Caso contrário teríamos, entre t 0 e t 1 um comprimento maior do que o da geodésica radial ligando α(t 0 ) a α(t 1 ), o que contradiz a hipótese. Como α é regular, temos, por continuidade, que α também é uma geodésica em t Vizinhanças totalmente normal Já vimos que as geodésicas em uma parametrização (u, v) são dadas pelo sistema 16

21 2.3 Vizinhanças totalmente normal u + Γ 1 11(u ) 2 + 2Γ 1 12(u v ) + Γ 1 22(v ) 2 = 0 v + Γ 2 11(u ) 2 + 2Γ 2 12(u v ) + Γ 2 22(v ) 2 = 0 onde Γ k ij são funções das coordenadas locais u e v que dependem apenas da primeira forma fundamental. Fazendo u = ξ e v = η podemos escrever o sistema acima na forma ξ = F 1 (u, v, ξ, η) η = F 2 (u, v, ξ, η) u = F 3 (u, v, ξ, η) = ξ v = F 4 (u, v, ξ, η) = η (2.4) Considerando R 4 = R 2 R 2, utilizaremos a notação (u, v, ξ, η), em que (u, v) denotará um ponto no primeiro fator e (ξ, η) um ponto no segundo fator. O sistema anterior é equivalente a um campo vetorial em um conjunto aberto do R 4. O teorema de existência e unicidade das trajetórias vale nesse caso, mas para aplicá-lo devemos observar que, dada uma parametrização x(u, v) em p S, com vizinhança coordenada V, o conjunto de pares (q, v), q V, v T q S, pode ser identificado a um conjunto aberto V R 2 = U R 4. Para isto, identificamos cada T q S, q V, com R 2 por meio da base {x u, x v }. Lembrando que as equações das geodésicas na parametrização x(u, v) em p S fornecem um sistema na forma acima em U R 4 temos que o teorema implica então que dado um ponto q = (u 0, v 0 ) V e um vetor não-nulo v = (ξ 0, η 0 ) T q S existe uma única geodésica parametrizada γ = π α : ( ε, ε) V onde π(q, v) = q é a projeção V R 2 V. Podemos aplicar o teorema da dependência em relação às condições iniciais para o campo de vetores definido pela Eq. (2.4) para uma superfície regular S. Assim, introduzimos uma parametrização p S, com vizinhança coordenada V, e identificamos o conjunto de pares (q, v), q V, v T q S, com V R 2. Se tomarmos como condição inicial o par (p, 0),obtemos um intervalo ( ε 2, ε 2 ), uma vizinhança V 1 V de p em S, uma vizinhança V 2 da origem em R 2, e uma aplicação diferenciável γ : ( ε 2, ε 2 ) V 1 V 2 V tal que se (q, v) V 1 V 2, com v 0, a curva t γ(t, q, v), t ( ε 2, ε 2 ), é a geodésica de S satisfazendo γ(0, q, v) = q e γ (0, q, v, ) = v, e, se v = 0, esta curva se reduz ao ponto q. Aqui γ = π α, onde π(q, v) = q é a projeçao U = V R 2 V e α é a aplicação dada acima. Na superfície S, o conjunto V 1 V 2 tem a seguinte forma {(q, v), q V, v V q (0) T q S}, onde V q (0) denota uma vizinhança da origem em T q S. Assim, restringindo γ a ( ε 2, ε 2 ) {p} V 2, podemos escolher {p} V 2 = B ε1 T p S. Denotemos por B r (q) o domínio limitado por um círculo geodésico (pequeno) de raio r e centro q, e por B r (q) a união de B r (q) com a sua fronteira. Seja ε > 0 tal que B ε (q) V. Seja B δ(q) (0) V q (0) o maior disco aberto no 17

22 2.3 Vizinhanças totalmente normal conjunto V q (0) formado pela união de V q com seus pontos de acumulação, e tome ε 1 = infδ(q), q B ε (q). É claro que ε 1 > 0. Assim, o conjunto U = {(q, v); q B ε (p), v B ε1 (0) T q S} está contido em V 1 V 2, e obtemos Teorema 2.3. Dados p S existem números positivos ε, ε 1, ε 2 e uma aplicação diferenciável onde γ : ( ε 2, ε 2 ) U S, U = (q, v); q B ε (p), v B ε1 (0) T q S tal que γ(t, q, 0) = q, e para v 0 a curva t γ(t, q, v), t ( ε 2, ε 2 ) é a geodésica de S com γ(0, q, v) = q e γ (0, v) = v Observação 2.2. Este resultado foi usado na demonstração da proposição 2.3 usando o caso no qual p está fixo. Temos então a seguinte proposição Proposição 2.6. Dado p S existe uma vizinhança W de p em S e um número δ > 0 tais que para todo q W, exp q é um difeomorfismos em B δ (0) T q S e exp q (B δ (0)) W ; isto é, W é uma vizinhança normal de todos os seus pontos. Demonstração. Seja V uma vizinhança coordenada de p e sejam ε, ε 1, ε 2 e γ : ( ε 2, ε 2 ) U V como no teorema anterior. Escolhendo ε 1 < ε 2, podemos garantir que, para (q, v) U, exp q (v) = γ( v, q, v/ v ) está bem definida. Assim, podemos definir uma aplicação diferenciável ϕ : U V V por ϕ(q, v) = (q, exp q (v)). Mostraremos primeiro que dϕ é não singular em (p, 0). Para isto, investigamos como ϕ transforma as curvas em U dadas por t (p, tw), t (α(t), 0), onde w T p S e α(t) é uma curva em S com α(0) = p. Observe que os vetores tangentes a estas curvas em t = 0 são (0, w) e (α (0), 0), respectivamente. Assim, d ϕ(p,0) (0, w) = d dt (p, exp p(tw)) t=0 = (0, w) d ϕ(p,0) (α (0), 0) = d dt (α(t), exp α(t)(0)) t=0 = (α (0), α (0)), e d ϕ(p,0) leva vetores linearmente independentes em vetores linearmente independentes. Logo, d ϕ(p,0) é não singular. Aplicando o teorema da função inversa podemos concluir a existência de uma vizinhança V de (p, 0) em U tal que ϕ aplica V difeomorficamente sobre uma vizinhança de (p, p) em V V. Sejam U B ε (p) e δ > 0 tais que V = (q, v) U; q U, v B ε (p) T q S. Finalmente, seja W U uma vizinhança de p tal que W W ϕ(v). Afirmamos que δ e W assim obtidos satisfazem o enunciado do teorema. De fato, 18

23 2.3 Vizinhanças totalmente normal como ϕ é um difeomorfismo em V, exp q é um difeomorfismo em B δ (0), q W. Além disto, se q W, então ϕ({q} B δ (0)) {q} W, e, por definição de ϕ, exp q (B δ (0)) W. Segue então que dados dois pontos quaisquer q 1, q 2, W existe uma única geodésica γ de comprimento menor que δ ligando q 1 a q 2. Uma das aplicações do resultado anterior é a seguinte proposição. Proposição 2.7. Seja α : I S uma curva parametrizada, regular por partes tal que em cada arco regular o parâmetro é proporcional ao comprimento de arco. Suponha que o comprimento de arco entre quaisquer dois de seus pontos seja menor ou igual ao comprimento de arco de qualquer curva parametrizada regular ligando estes pontos. Então α é uma geodésica; em particular, α é regular por toda a parte. Demonstração. Seja 0 = t 0 t 1... t k t k+1 = l uma partição do intervalo I = [0, l] tal que α ti,t i+1, i = 0,..., k, seja regular. Pela prop. 2.5, α é geodésica em ponto de (t i, t i+1 ). Então, basta provar que α é geodésica em t i. Para isto, considere a vizinhança W, dada pela prop.2.6, de α(t i ).Tome dois pontos de W da seguinte maneira: q 1 = α(t i ε), q 2 = α(t i + ε), ε > 0. Seja γ a geodésica radial de B δ (q 1 ) ligando q 1 a q 2. Pela prop. 2.4, temos que l(γ) l(α) entre q 1 e q 2. Mas pela hipótese, o comprimento de α é menor ou igual ao comprimento de arco de qualquer outra curva ligando q 1 a q 2. Isso implica na igualdade l(γ) = l(α), e, pela mesma proposição 2.4, os traços de γ e α coincidem, o que mostra que α é geodésica (em particular, regular), também em t i. Logo, α é geodésica (e regular) em todo I. Figura 2.6: Vizinhanças Convexas A proposição anterior garante que existe uma geodésica ligando dois pontos q 1, q 2 de W. Porém, não garante que a geodésica está contida em W. 19

24 2.3 Vizinhanças totalmente normal Se isto ocorrer, diremos então que W é convexa. Além disso, chamaremos de (geodésica) minimizante a geodésica parametrizada ligando dois pontos quaisquer que tem o comprimento menor ou igual ao comprimento de qualquer outra curva parametrizada regular (por partes) ligando estes dois pontos. Pela prop. 2.4 temos que uma geodésica γ ligando q 1 W a q 2 W é minimizante se γ W. Assim, se W é convexa, podemos dizer que quaisquer dois pontos de W podem ser ligados por uma (única) geodésica minimizante. Em geral, uma vizinhança W não é convexa. Vamos então mostrar que sempre podemos escolher uma vizinhança de modo que ela seja convexa. Vejamos, antes, a seguinte proposição: Proposição 2.8. Para cada ponto p S existe um número positivo ε com a seguinte propriedade: Se uma geodésica γ(t) é tangente a um círculo geodésico (de raio r e centro em p) S r (p), r < ε, em γ(0), então, para t 0 pequeno, γ(t) está fora de B r (p) (o interior da região limitada por S r (p)). Demonstração. Seja a vizinhança W como dada pela prop Para cada par (q, v), q W, v T p S, v = 1, considere a geodésica γ(t, q, v) e faça, para um par fixo (q, v) exp 1 p γ(t, q, v) = u(t) F (t, q, v) = u(t) 2 = F (t). Dessa maneira, F (t) é o quadrado da distância do ponto γ(t, q, v) a p, e portanto, temos F (t, p, v) = vt 2. Denotamos por U 1 o conjunto U 1 = (q, v); q W, v T q S, v = 1, e definimos a função Q : U 1 R por Q(q, v) = 2 F t 2 t=0. Devemos notar que F é diferenciável e, conseqüentemente, Q é contínua. Assim: F t = 2 < u(t), u (t) >, 2 F t 2 = 2 < u(t), u (t) > +2 < u (t), u (t) >, Além disso, em (p, v), temos Substituindo, temos u (t) = v, u (t) = 0, Q(p, v) = 2 v 2 = 2 > 0, v T p S, v = 1. Por continuidade da função Q segue que dado δ > 0 existe uma vizinhança B δ W de p tal que Q(q, v) para todo q V δ, v T p S, v = 1. 20

25 2.4 Geodésicas e Maple Tome ε > 0 tal que B ε (p) V δ. Vamos mostrar que ε satisfaz o enunciado da proposição. De fato, seja r < ε e seja γ(t, q, v) uma geodésica tangente a S r (p) em γ(0) = q. Introduzindo coordenadas polares geodésicas em torno de p, vê-se que < u(0), u (0) >= 0. Ou seja, que F t (0) = 0. Como F (0, q, v) é a distância do ponto q ao centro r de S r (p), obtemos F (0, q, v) = r 2. Mas 2 F t (0) > 0, portanto q é ponto de mínimo e, conseqüentemente, F (t) > r 2 para t 0 pequeno. Tudo isso, implica que a geodésica γ(t) 2 está fora de B r (p). Podemos mostrar agora a seguinte proposição sobre vizinhanças convexas: Proposição 2.9 (Existência de Vizinhanças Convexas). Para cada ponto p S existe um número c > 0 tal que B c (p) é convexa, isto é, quaisquer dois pontos de B c (p) podem ser ligados por uma única geodésica minimizante contida em B c (p). Demonstração. Seja ε dado como na proposição anterior. Tome δ e W como na prop. 2.6 de tal maneira que δ < ε/2. Escolha c < δ e tal que B c (p) W. Devemos então provar que B c (p) é convexa. Sejam q 1, q 2 B c (p) e seja γ : I S a geodésica com comprimento menor do que δ < ε/2 ligando q 1 a q 2. Como tomamos δ < ε/2, γ(i) está contida em B ε (p) pois o raio de B ε (p) é ε > 2δ. Para mostrar que γ(i) está contida em B c (p), suponha, por absurdo, o contrário. Dessa maneira, γ(i) não está contida em B c (p) implica que existe um ponto m B ε (p) onde a distância máxima r de γ(i) a p é atingida. Isto implica, que em uma vizinhança de m, os pontos de γ(i) estarão em B r (p). Mas, pela proposição anterior, os pontos dessa vizinhança deveriam estar fora de B r (p), o que é uma contradição. Portanto, fica provado que γ(i) está contida em B c (p). 2.4 Geodésicas e Maple Na seção deduzimos a equação diferencial das geodésicas e provamos que sempre sempre existe uma solução dessa equação dadas as condições iniciais. Porém, não é raro acontecer dessas soluções serem obtidas numericamente. Reproduziremos abaixo alguns procedimentos que, em conjunto, servem para plotar geodésicas sobre a superfície usando o software MAPLE. Tais procedimentos são uma adaptação do procedimento encontrado em [2]. Primeiramente, temos um procedimento que permite calcular o produto interno e um procedimento para calcular os coeficientes da 1 a. forma fundamental a partir de uma parametrização da superfície a ser estudada. > dp := proc(x,y) #Produto Interno > X[1]*Y[1]+X[2]*Y[2]+X[3]*Y[3] > end: > with(plots): > EFG := proc(x) #Cálculo dos coeficiente da 1 a Forma Fundamental > local E,F,G,Xu,Xv; 21

26 2.4 Geodésicas e Maple > Xu :=[diff(x[1],u),diff(x[2],u),diff(x[3],u)]; > Xv := [diff(x[1],v),diff(x[2],v),diff(x[3],v)]; > E := dp(xu,xu); > F := dp(xu,xv); > G := dp(xv,xv); > simplify([e,f,g]); > end: Em seguida podemos escrever um procedimento que nos dê a equação diferencial da geodésica usando os coeficientes calculados no procedimento EFG acima. >geoeq:=proc(x) #Equaç~ao diferencial das geodésicas > local M,G,E,F,D,Eu,Ev,Fu,Fv,Gu,Gv,eq1,eq2; > M:=EFG(X); > E:=M[1]; F:=M[2]; G:=M[3]; > D:=E*G-F*F; > Eu:=diff(M[1],u); Ev:=diff(M[1],v); > Fu:=diff(M[2],u); Fv:=diff(M[2],v); > Gu:=diff(M[3],u); Gv:=diff(M[3],v); > eq1:=diff(u(t),t$2)+subs({u=u(t),v=v(t)},(g*eu-f*(2*fu-ev))/(2*d))*diff(u(t),t)^2 > + subs( {u=u(t),v=v(t)},(g*ev-f*gu)/d )*diff(u(t),t)*diff(v(t),t) > + subs( {u=u(t),v=v(t)},(g*(2*fv-gu)-f*gv)/(2*d))*diff(v(t),t)^2=0; > eq2:=diff(v(t),t$2)+ subs({u=u(t),v=v(t)},(e*(2*fu-ev)-f*eu)/(2*d))*diff(u(t),t)^2 > + subs( {u=u(t),v=v(t)},(e*gu-f*ev)/(d))*diff(u(t),t)*diff(v(t),t) > + subs( {u=u(t),v=v(t)},(e*gv-f*(2*fv-gu))/(2*d))*diff(v(t),t)^2=0; > eq1,eq2; > end: Com isso, podemos escrever um procedimento que plote a geodésica com as equações obtidas através do procedimento anterior. >plotgeodesic:=proc(x,ustart,uend,vstart,vend,u0,v0,du0,dv0,t1,t2,n,gr,theta,phi) > local sys,desys,u1,v1,listp,geo,plotx; > sys:=geoeq(x); > desys:=dsolve({sys,u(0)=u0,v(0)=v0,d(u)(0)=du0,d(v)(0)=dv0},{u(t),v(t)}, > type=numeric, output=listprocedure); > u1:=subs(desys,u(t)); v1:=subs(desys,v(t)); > geo:=spacecurve(subs(u= u1 (t),v= v1 (t),x),t=t1..t2, color=black, thickness=2,numpoints=n): > plotx:=plot3d(x,u=ustart..uend,v=vstart..vend,grid=[gr[1],gr[2]],shading=xy): > display({geo,plotx},style=wireframe,scaling=constrained,orientation=[theta,phi]); > end: O procedimento para plotar as geodésicas possui uma grande quantidade de entradas. Veremos então seus significados: X - é a parametrização para a superfície em questão ustart,uend,vstart,vend - descrevem o intervalo para os parâmetros u e v da parametrização da superfície. u0,v0,du0,dv0 - são as condições iniciais: o ponto p = (u 0, v 0 ) e o vetor na direção (Du 0, Dv 0 ) 22

27 2.4 Geodésicas e Maple T1, T2 - intervalo do parâmetro da geodésica N - número de pontos a serem plotados: quanto maior o número mais suave é a curva (e mais demorado será o processo de renderização) gr - é um vetor de duas coordenadas que permite alterar o tamanho da grade (o padrão é 25 por 25) theta e phi - os ângulos sobre os quais a figura vai ser vista Vejamos então algumas geodésicas de superfícies plotadas com os procedimentos acima. Exemplo 2.2. Geodésicas na esfera > geo1:= plotgeodesic(sphere,0,2*pi,0,2*pi,0,0,0,1,0,10,100,[20,30],30,98): > geo2:= plotgeodesic(sphere,0,2*pi,0,2*pi,0,0,1,0,0,10,100,[20,30],30,98): > display(geo1,geo2); Figura 2.7: Geodésicas na esfera 23

28 2.4 Geodésicas e Maple Exemplo 2.3. Geodésica no toro > plotgeodesic(torus,0,2*pi,0,2*pi,8,10,8,1,3,10,100,[20,30],45,120); Figura 2.8: Geodésicas no Toro Exemplo 2.4. Geodésicas no cilindro > cyl1:=plotgeodesic(cyl,0,2*pi,0,2*pi,1,1,0,1,4,10,100,[20,30],-30,68): > cyl2:=plotgeodesic(cyl,0,2*pi,0,2*pi,0,0,-1,0,-5,0,100,[20,30],-30,68): > display(cyl1,cyl2,scaling=unconstrained ); > cyl3:=plotgeodesic(cyl,0,2*pi,0,2*pi,0,0,1,2,0,5,100,[20,30],-30,68): > display(cyl3, scaling=unconstrained); Figura 2.9: Geodésicas no Cilindro 24

29 Capítulo 3 O Teorema de Hopf-Rinow O objetivo desse capítulo é provar o teorema de Hopf-Rinow que afirma que dados dois pontos p, q em uma superfície completa S, existe uma geodésica ligando p a q que é minimizante. Definição 3.1 (Conexa). Um conjunto C R n é dito conexo quando não é possível escrever C = U 1 U 2 onde U 1, U 2 são subconjuntos abertos não vazios de S e U 1 U 2 =. Proposição 3.1. Seja um conjunto C R n conexo e seja A C ao mesmo tempo aberto e fechado em C. Então ou A = ou A = C. Demonstração. Suponha que A = ou A = C e escreva C = A (C A). Como A é fechado em C, C A é aberto em C. Assim, C é a união de conjuntos aberto, não-vazios e disjuntos, a saber, C e C A. Isso contradiz a conexidade de C. Definição 3.2 (Superfície estendível). Uma superfície regular (conexa) S é dita estendível se existe uma superfície regular (conexa) S tal que S S como um subconjunto próprio, isto é, S S. Se não existir tal superfície S, então diremos que S é não-estendível. Contudo, a classe de superfícies não-estendíveis é muito grande de tal maneira que precisaremos de uma hipótese mais adequada para conseguirmos resultados mais interessantes. Para isso, vamos definir uma superfície completa. Definição 3.3 (Superfície Completa). Uma superfície regular S é chamada completa quando para qualquer ponto p S, qualquer geodésica parametrizada γ : [0, ε) S de S, começando em p = γ(0), pode ser estendida em uma geodésica parametrizada γ : R S, definida sobre toda a reta real R. Evidentemente o plano é uma superfície completa (já que suas geodésicas são as retas, que podem ser definidas sobre toda a reta real). Já o cone menos o vértice não é uma superfície completa, pois quando estendemos suficientemente uma geratriz (que é uma geodésica) atingimos o vértice que não pertence à superfície. Outros exemplos de superfícies completas são a esfera e o cone. As geodésicas na esfera são curvas cujos traços correspondem aos círculos máximos, e claramente podem ser definidas para qualquer valor real. As geodésicas no cilindro são círculos, retas e hélices, que também estão definidas para todos os valores reais. 25

30 3 O Teorema de Hopf-Rinow Generalizando, uma superfície S {p} obtida removendo um ponto {p} de uma superfície completa S, não é completa. Dado um ponto q próximo a p, existe uma geodésica γ de S, começando por q que não pode ser estendida até p. Dessa maneira, uma esfera ou um cilindro menos um ponto não são superfícies completas. Nosso próximo passo será mostrar que qualquer superfície completa é nãoestendível e que existem superfícies não-estendíveis que não são completas. Dessa maneira, a hipótese de completitude é mais forte do que a de nãoestendibilidade. Proposição 3.2. Uma superfície completa S é não-estendível. Demonstração. Para mostrar a proposição, vamos supor que S é estendível e então chegar a uma contradição. Supor que S é estendível implica que existe uma superfície regular (conexa) S com S S. Como S é uma superfície regular, S é aberta em S. Afirmamos que a fronteira F rs de S em S é não-vazia. Isso é verdade, pois se fosse vazia teríamos S = S ( S S) seria a união de dois conjuntos abertos disjuntos S e S S, e assim, S não seria conexa. Logo, existe um ponto p F rs, e como S é aberto em S, p S. Tome uma vizinhança V S de p tal que todo q V pode ser ligado a p por uma única geodésica de S. Como p F rs, algum q 0 V pertence a S. Seja γ : [0, 1] S uma geodésica de S, com γ(0) = p e γ(1) = q. Seja α : [0, ε] S definida por α(t) = γ(1 t). É claro que α é uma geodésica de S e ainda α(0) = q 0. Uma extensão à reta real R de α passaria por p em t = 1. Como p S, esta geodésica não pode ser estendida, o que contradiz a hipótese de completitude e conclui a demonstração. Notemos que o recíproco não vale: Exemplo 3.1. Seja o cone de uma folha dado por z = x 2 + y 2, (x, y) R 2. A superfície S obtida quando removemos o vértice p 0 deste cone é regular porém não é completa, pois as geratrizes não podem ser estendidas para todo R sem atingir o vértice. Suponha que S S, onde S S é uma superfície regular. Observe que a única geodésica de S, começando em um ponto p S, que não pode ser estendida para todo valor do parâmetro é a geratriz que passa por p. Seja p F r S, onde F r S denota a fronteira de S em S (como vimos na proposição anterior, F r S 0). Como S é um conjunto aberto em S, então p S. Seja V S uma vizinhaça de p em S tal que todo ponto de V pode ser ligado a p por uma única geodésica de S em V. Como p F r S, existe q V S. Seja γ uma geodésica de S ligando p a q. Como S é um conjunto aberto em S, γ coincide com a geodésica γ de S em uma vizinhança de q. Seja p 0 o primeiro ponto de γ que não pertence a S. Pela observação inicial, γ é um meridiano (geratriz) e p 0 é o vértice. Além disto, p 0 = p; caso contrário, existiria uma vizinhança de p que não conteria p 0. Repetindo o argumento para esta vizinhança, obteríamos um vértice diferente de p 0, o que é uma contradição. Logo a F r S reduz-se ao vértice p 0. 26

31 3 O Teorema de Hopf-Rinow Seja agora W uma vizinhança de p 0 em S tal que quaisquer dois pontos de W possam ser ligados por uma geodésica de S. Vamos provar que W p 0 S. De fato, os pontos de γ pertencem a S. Por outro, lado, um ponto r W que não pertence a γ nem a nenhuma de suas extensões pode ser ligado a um ponto t de γ,t p 0, t W, por uma geodésica α, diferente de γ. Pela observação inicial, todo ponto de α, em particular r, pertence a S. Finalmente, os pontos da extensão de γ, exceto p 0, também pertencem a S; caso contrário, eles pertenceriam à fronteira de S, que promamos ser constituída apenas de p 0. Assim, S é não-estendível e verificamos que o recíproco da proposição é falso. Vamos introduzir agora uma noção de distância intrínseca de S. Poderíamos definir a distância entre dois pontos de S como a distância entre estes pontos em R 3. Porém, isso não seria conveniente, já que essa distância depende da segunda forma fundamental. Vejamos então a esta proposição: Proposição 3.3. Dados dois pontos p, q S superfície regular (conexa), existe uma curva parametrizada diferenciável por partes ligando p a q. Demonstração. O fato de S ser conexa garante a existência de uma curva contínua α : [ab] S com α(a) = p e α(b) = q. Seja t [a, b] e seja I t um intervalo aberto em [a, b], contendo o ponto t, tal que α(i t ) esteja contido em uma curva α(t). Podemos então tomar t i [a, b] tal que α(t i ) U i U i+1. Assim, para todo ponto t [a, b] temos que α(t) U t onde U t são vizinhanças convexas. Logo existem (U t, ϕ t ) tal que ϕ t : U t R 2. Mas como {U t } t [a,b] cobre o conjunto compacto α[a, b], existem U 1, U 2,..., U n tais que U j cobre α[a, b]. Podemos decompor [a, b] por pontos a = t 0 < t 1 <... < t k < t k+1 = b de tal modo que [t i, ti + 1] esteja contido em algum U j, = 1,..., n. Assim, α(t i, ti + 1) está contido em uma vizinhança coordenada. Como p = α(t 0 ) e α(t 1 ) estão na mesma vizinhança x(u) S é possível ligá-los por uma curva diferenciável, a saber, a imagem por x de uma curva diferenciável em U R 2 ligando x 1 (α(t 0 )) e x 1 (α(t 1 )). Figura 3.1: Por esse processo ligamos α(t i ) a α(t i+1 ),i = 0,..., k por curvas diferenciáveis. Isso nos dá uma curva diferenciável por partes ligando p = α(t 0 ) a q = α(t k+1 ). Como acabamos de provar que sempre existe uma curva diferenciável ligando os pontos p e q da superfície S, podemos dar a seguinte definição: 27

32 3 O Teorema de Hopf-Rinow Definição 3.4. Denote por α p,q uma curva parametrizada regular por partes ligando p a q, e por l(α p,q ) o seu comprimento. A distância (intrínseca) d(p, q) do ponto p S ao ponto q S é o número d(p, q) = inf l (α p,q ) onde o inf é tomado sobre todas as curvas α p,q ligando p a q. diferenciáveis por partes Vamos provar agora, algumas propriedades que podem ser úteis. Proposição 3.4. A distância d definida acima tem as seguintes propriedades 1. d(p, q) = d(q, p) 2. d(p, q) + d(q, r) d(p, r) 3. d(p, q) 0 4. d(p, q) = 0se, esomentese, p = q. onde p, q, r são pontos arbitrários de S. Demonstração. (1) Observe que cada curva parametrizada α : [a, b] S, com α(a) = p e α(b) = p nos fornece uma curva parametrizada α : [a, b] S, definida por α(t) = α(a t + b). Temos então que α(a) = α(a a + b) = α(b) e α(b) = α(a b + b) = α(a). Portanto, l(α p,q ) = l( α p,q ). (2) Sejam A = {l(α p,r )}, B = {l(α p,q )} e C = {l(α q,r )}. Dessa maneira, {l(α p,q ) + l(α q,r )} = B + C A. Segue das propriedades dos conjuntos de números reais, inf(a) inf(b + C) = inf(b) + inf(c). E pela definição da distância (intrínseca), d(p, r) d(p, q) + d(q, r). (3) l(α p,q ) denotam o comprimento de α p,q, e por isso, l(α p,r ) 0. Mas o ínfimo de números não-negatios é positivo ou nulo. Logo, l(α p,q ) = d(p, q) 0. (4)(= ) Seja p = q. Tomando a curva constante α : [a, b] S, dada por α(t) = p, t [a, b], temos que l(α) = 0. Pelo item anterior segue que d(p, q) = 0. ( =) Suponha que d(p, q) = infl(α p,q ) = 0 e p q. Seja V uma vizinhança de p em S, com q V, e tal que todo ponto de V possa ser ligado a p por uma única geodésica em V. Seja B r (p) V a região limitada por um círculo geodésico de raio r, centrado em p, e contido em V. Dado ε > 0, 0 < ε < r, existe uma curva parametrizada regular por partes α : [a, b] S ligando p a q e com l(α) < ε. Mas α([a, b]) é conexo e q B r (p), então existe um ponto t 0 [a, b] tal que α(t 0 ) pertence à fronteira de B r (p). Se isso acontecer, teremos que l(α) rε, o que é uma contradição. Portanto, p = q. Observando das propriedades anteriores que e d(p, r) d(p, q) + d(q, r) d(r, q) d(r, p) + d(p, q) 28

33 3 O Teorema de Hopf-Rinow temos donde segue que d(p, q) d(p, r) + d(r, q) d(p, q), Corolário 3.1. d(p, r) d(r, q) d(p, q). Proposição 3.5. Seja p 0 S um ponto de S. Então a função f : S R dada por f(p) = d(p 0, p), p S, é contínua em S. Demonstração. Vamos usar a definição de contínua e mostrar que para cada p S, dado ε > 0 existe um δ > 0 tal que se q B δ (q) S, então f(p) f(q) = d(p 0, p) d(p 0, q) < ε. A notação B δ (p) R 3 define uma bola aberta de R 3 centrada em p e com raio δ. Tome ε < ε tal que exp p T p S S é um difeomorfismo no disco B ε (0) T p S. Façamos exp p (B ε (0)) = V. Como B ε (0) é aberto, V também é aberto (em S).Logo existe uma bola aberta B δ (p) R 3 tal que B δ (p) S V. Para q B δ (p) S, temos pelo corolário da proposição anterior que d(p 0, p) d(p 0, q) d(p, q) Mas p é o centro de B δ (p) e q B δ (p) S. Assim, d(p, q) < ε, e portanto, d(p 0, p) d(p 0, q) d(p, q) < ε ε. Definição 3.5. Uma superfície S R 3 é fechada se todo ponto de acumulação de S pertence a S. Intuitivamente, S é fechado se ele contém os limites de todas as suas seqüências convergentes. Proposição 3.6. Uma superfície fechada S R 3 é completa. Demonstração. Seja γ : [0, ε) S uma geodésica p.p.c.a. tal que γ(0) = p S. Para mostrar que S é completa, devemos mostrar que é possível estender γ a uma geodésica γ : R S. Pela existência e unicidade de geodésicas, se γ(s 0 ), s 0 R está definida, então é possível estender γ a uma vizinhança de s 0. Supondo que γ está definida em [0, s 0 ) vamos mostrar que está definida em s = s 0. Considere a seqüência {s n } s 0, s n < s 0, n = 1, 2,.... Como s n converge a s 0 então {s n } é uma seqüência de Cauchy, isto é, dado ε > 0, existe n 0 tal que se n, m > n 0 então s n s m < ε. Denote por d a distância usual em R 3. Temos que d( γ(s n ), γ(s m )) l(γ sn,s m ) = s n s m < ε. Segue que { γ(s n )} é seqüência de Cauchy em R 3 e portanto converge para algum ponto q R 3. Mas como q é um ponto de acumulação de { γ(s n )} e (pela hipótese) S é fechada, concluímos que q S. De fato, { γ(s n )} converge em S. Agora, seja W vizinhança normal (em todos seus pontos) de centro em q, e seja δ R. Assim, { γ(s n )}, { γ(s m )} W para n e m suficientemente grandes 29

34 3 O Teorema de Hopf-Rinow tais que s n s m < δ. Seja então γ a única geodésica ligando { γ(s n )} a { γ(s m )} que satisfaça l(γ) < δ. Isso implica que o traço de γ { γ(s n )}, { γ(s m )} coincide com γ. Temos que exp { γ(sn)} é um difeomorfismo em B δ (0) e exp γ(sn)(b δ (0)) W. Dessa forma, γ estende γ além de q, e assim γ está definida em s = s 0. Segue direto dessa proposição que Corolário 3.2. Uma superfície compacta é completa. Exemplo 3.2. O recíproco da proposição 3.6 é falso. Por exemplo, um cilindro reto (infinito) erguido sobre uma curva plana que é assintótica a um círculo é completo, pois toda geodésica pode ser estendida para todo R, mas não é fechado, pois podemos tomar uma seqüência de pontos sobre o cilindro que converge para um ponto sobre o círculo. Figura 3.2: Superfície Completa mas não compacta Como vimos anteriormente, uma geodésica ligando dois pontos p, q S é dita minimizante se o seu comprimento l(γ) é menor do que ou igual ao comprimento de qualquer curva regular por partes ligando p a q. Isto equivale a dizer que l(γ) = d(p, q) = inf l(α p,q ). Mas uma geodésica minimizante pode não existir. O principal resultado do capítulo é que tal geodésica sempre existe se a superfície é completa. Teorema 3.1 (Hopf-Rinow). Seja S uma superfície completa. Dados dois pontos p, q S, existe uma geodésica minimizante ligando p a q. Demonstração. Seja B δ (0) T p S um disco de raio δ centrado na origem contido numa vizinhança U T p S, onde a exp p é um difeomorfismo. Denotemos B δ (p) = exp(b δ (0)). Como a fronteira B δ (0) é um conjunto compacto, sua imagem pela aplicação exponencial, que é contínua, também é um conjunto compacto que denotaremos B δ (p) = Σ. 30