Le rouge et le noir: probabilidades com cartas

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1 Le rouge et le noir: probabilidades com cartas Prof. Luiz T. F. Eleno 22 de fevereiro de 207 O baralho comum Vamos considerar um baralho comum no Ocidente, dito francês, que é aquele usado nos jogos de cartas mais comuns: pôquer, buraco, canastra, etc. Esse baralho tem 52 cartas, categorizadas em 4 naipes (espadas, ouros, paus e copas ) com 3 cartas cada, numeradas de ás () a 0, seguidas por valete (), dama (2) e rei (3). As cartas de espadas e paus são usualmente pretas, ao passo que as de ouros e copas são vermelhas. Obviamente, as costas das cartas são todas idênticas, de modo que só podemos identificá-las quando vemos as suas faces. Claro que, para alguns, estas informações são supérfluas, porque já estão familiarizados com o baralho comum. Elas servem apenas para garantir que todos saibam do que falamos ao nos referir a um baralho. 2 Combinações de cartas A seguir, vamos abordar uma série de problemas, de crescente dificuldade, para ilustrar a Análise Combinatória aplicada a situações que podemos encontrar ao investigar um baralho. Imaginamos um leitor com os rudimentos de teoria de probabilidades e distribuições, discretas e contínuas, que não se espante ao encontrar fatoriais e permutações e combinações e coeficientes binomiais. 2. Baralho bem embaralhado Quando dizemos que o baralho está bem embaralhado, queremos dizer que não sabemos a ordem em que as cartas se encontram. Em outras palavras, quando todas as cartas estão de costas, não temos a menor possibilidade de prever a identidade de nenhuma delas. Uma pergunta que podemos nos fazer é: de quantos modos podemos ordenar o baralho com as 52 cartas empilhadas sobre a mesa num único maço? A solução deste problema é praticamente imediata. A primeira carta pode ser qualquer uma de 52 possibilidades. Uma vez definida a primeira, sobram 5 possibilidades para a segunda, e 50 para a terceira, e assim por diante, até que temos apenas uma possibilidade para a última. Então, se chamarmos o número total de possibilidades de Ω tot, podemos escrever que Ω tot = = 52!. Este é um número altíssimo, da ordem de É esse fato, aliás, que garante a enorme variedade de situações inusitadas e empolgantes de uma sessão de pôquer ou assim dizem os aficionados pelo jogo. 2.2 Desordem bicolor Vamos imaginar por um momento que não nos importamos com os valores ou naipes das cartas, mas apenas com as cores, isto é, só nos interessa saber se uma carta é vermelha ou preta. Quantas são as combinações possíveis? No exemplo 2., cada carta tinha uma identidade única, dada por seu naipe e seu valor. Todas eram distinguíveis. Neste caso, por outro lado, podemos separar as cartas em dois grupos, conforme as suas cores: as vermelhas e as pretas. Carta de mesma cor são indistinguíveis umas das outras por exemplo, o ás de ouros tem o mesmo efeito de um rei de copas, por serem ambas

2 2.3 PARES DE CARTAS vermelhas. Com isso, de todas as 52! combinações possíveis do baralho, como calculamos na seção 2., algumas passam a ser equivalentes. Por exemplo, imagine que uma dada configuração tem o ás de ouros na posição 32 a partir do topo e o rei de copas na posição 48. Se trocarmos essas duas cartas de posição uma com outra (sem mexer na ordem das cartas restantes), teremos uma nova configuração, mas, se apenas a cor importa, nada muda podemos dizer que, para o nosso problema, é a mesma configuração. Mas o baralho tem 26 cartas pretas e 26 cartas vermelhas. Então, em princípio, podemos recombinar simultaneamente a posição das 26 cartas vermelhas entre si, e também das 26 cartas pretas entre si, e mesmo assim manter a configuração (ou sequência) de cores. A maneira de arranjar 26 cartas distintas é, em analogia ao problema da seção 2.. Portanto, chamando agora o número total de configurações de Ω cor, podemos escrever Ω cor = 52! (2.) Este número é algo em torno de 5 0 4, muitas e muitas ordens de grandeza menor que Ω tot, mas, ainda assim, enorme. 2.3 Pares de cartas Complicando um pouco mais: vamos agora começar de um baralho bem embaralhado e formar 26 pares de cartas, aleatoriamente. Novamente, vamos nos concentrar apenas nas cores das cartas, desprezando os naipes e os valores. Vamos indicar uma carta preta por P e uma vermelha por V. Usando essa notação, podemos formar quatro tipos de pares: P P, V V, P V e V P. Repare que pares dos tipos P P ou V V são de cartas de mesma cor, enquanto os pares P V e V P tem uma carta de cada cor. Além disso, tente se convencer de que o número de pares P P é necessariamente igual ao número de pares V V e, portanto, sempre vai haver um número par de pares de mesma cor (por outro lado, pode ser que, entre os pares com cartas de cores diferentes, todos sejam P V, ou todos V P mas, geralmente, os dois estarão presentes em diferentes quantidades). Pois bem, a pergunta agora é: nestas condições, qual o número total de situações possíveis? A resposta é simples: é igual à resposta da seção anterior! De fato, nada mudou, apenas estamos separando as cartas em pares. 2.4 Pares de mesma cor Por outro lado, vamos pensar em um problema um pouco diferente. De todas as configurações possíveis da seção 2.3, vamos pensar apenas naquelas em que só temos pares P P e V V, ou seja, um subconjunto do total. Quantas são? Nesse caso, temos 26 pares, 3 P P e 3 V V (lembre-se que o número de pares P P é necessariamente igual ao número de pares V V ). Pensando em cada par como uma entidade (e não como duas cartas), e usando um raciocínio similar ao usado na seção 2.2, calculamos o número total de configurações Ω pares como sendo Ω pares = 3!3! (2.2) que é aproximadamente igual a 0 7, ou algo em torno de dez milhões. Com isso, podemos também calcular a probabilidade de embaralhar as cartas e conseguir formar 26 pares de mesma cor: Pr(26 pares de mesma cor) = Ω pares 0, (2.3) Ω cor que é, para todos os efeitos, desprezível. Praticamente sempre haverá pares de cores distintas (P V ou V P). 2

3 2.5 n PARES DE MESMA COR 2.5 n pares de mesma cor Para complicar de vez: vamos dizer que embaralhamos bem as cartas e formamos pares. Qual é a probabilidade de conseguir exatamente n pares de mesma cor (n/2 do tipo P P e n/2 do tipo V V )? Na seção 2.4, vimos a resposta para n = 26. O que precisamos fazer agora é generalizar para n = 0, 2, 4, 6,..., 24, 26. Se temos n pares de mesma cor, teremos 26 n pares de cor diferente (P V ou V P). No entanto, como observamos na seção 2.3, qualquer combinação de 26 n pares V P e P V é condizente com n pares P P e V V. Digamos, para fixar as ideias, que temos q pares P V e, consequentemente, 26 n q pares V P. Temos então que achar o número de possibilidades de arranjar n/2 pares P P, n/2 pares V V, q pares P V e 26 n q pares V P. Com o mesmo raciocínio empregado na seção 2.2, este número (vamos chamá-lo de Ω q,n ) é igual a Ω q,n = (n/2)! (n/2)! q! (26 n q)! (2.4) Mas q pode assumir qualquer valor entre 0 e 26 n. Então temos que somar os Ω q,n para todos os possíveis valores de q se quisermos obter Ω n, que é o número total de possibilidades de formar n pares: Ω q,n = (n/2)! (n/2)! q! (26 n q)! Vamos tentar simplificar essa expressão. Vamos começar reescrevendo-a como (n/2)! (n/2)! (26 n)! q! (26 n q)! (26 n)! (2.5) (2.6) Note que apenas colocamos em evidência os termos que não dependem de q e multiplicamos e dividimos as parcelas da soma por (26 n)!, rearranjando um pouco. Continuando, podemos simplificar um pouco mais: 26 n (26 n)! (n/2)! (n/2)! (26 n)! q! (26 n q)! (2.7) Vamos lembrar agora que podemos escrever a soma (a + b) p como uma expansão binomial na forma p (a + b) p p! = q! (p q)! aq b p q, (2.8) com a e b reais e p inteiro não-nulo. No caso particular em que a = b =, temos p 2 p p! = q! (p q)! (2.9) Se agora fizermos p = 26 n, ficamos com (26 n)! q! (26 n q)! = 226 n (2.0) Finalmente, usando o resultado da Eq. (2.0), reescrevemos Ω n como (n/2)! (n/2)! (26 n)! 226 n (2.) 3

4 3. BARALHO COM N CARTAS Pr(n) n Figura : As probabilidades Pr(n), ou seja, as probabilidades de n pares de mesma cor num baralho comum com 52 cartas, para todos os valores possíveis de n. Lembremos o significado de Ω n : o número de possibilidades de distribuir 26 pares de cartas, sendo que n deles com duas cartas de mesma cor. Queremos saber a probabilidade de que isso aconteça. Para isso, basta dividir Ω n pelo número de modos de distribuir 26 pares de cartas, que, como vimos, é igual a Ω cor. Portanto, ou, de forma explícita: Pr(n pares de mesma cor) = Pr(n pares de mesma cor) = Ω n Ω cor (2.2) 52! (n/2)! (n/2)! (26 n)! 226 n (2.3) Podemos agora calcular a probabilidade de não termos pares de mesma cor, ou seja, com n = 0: Pr(n = 0) = , (2.4) 52! Usando a probabilidade complementar, a probabilidade de termos algum par de mesma cor é Pr(n = 0) = Pr(n = 0) (2.5) ou seja, teremos pares de mesma cor com uma certeza quase absoluta, assim como teremos pares de cores distintas, o que havíamos visto no final da seção 2.4. A Figura é um gráfico com as probabilidades para todos os valores possíveis de n. A linha tracejada é uma curva gaussiana com a mesma média e desvio padrão que a distribuição de probabilidades dada pela Eq. (2.3), que vamos calcular mais adiante na seção 3. Da Figura, vemos que a probabilidade para n = 2 é ligeiramente maior que para n = 4, um resultado interessante que mostra a ligeira assimetria do problema. 3 Baralho com N cartas Podemos generalizar o problema da seção 2.5 para o caso de um super-barallho com N cartas. Vamos considerar que N é um inteiro múltiplo de dois, com as cartas divididas igualmente em 4

5 3. BARALHO COM N CARTAS duas cores, metade vermelhas, metade pretas. É fácil generalizar a Eq. (2.3): Pr(N, n) = (N/2)! (N/2)! N! (N/2)! (n/2)! (n/2)! (N/2 n)! 2N/2 n (3.) Para tentar simplificar a notação e o uso posterior que faremos da Eq. (3.), vamos introduzir as seguintes variáveis auxiliares: P = N/2 e c = n/2. Assim, P é o número total de pares em um baralho com N cartas (com P cartas pretas e P cartas vermelhas) e c é o número de pares V V, que é necessariamente igual ao número de pares P P. Com isso, reescrevemos a Eq. (3.) como Pr(P, c) = P! P! (2P)! P! c! c! (P 2c)! 2P 2c (3.2) Como os valores de n se restringem aos números pares do intervalo 0 n N/2, segue que 0 c P/2 (mas c pode ser tanto par quanto ímpar). Vamos agora verificar que as probabilidades, dadas pela Eq. (3.2) estão normalizadas, ou seja, P/2 Pr(P, c) = (3.3) c=0 Não é nada fácil fazer isso, e, por este motivo, vamos usar um código computacional de manipulação algébrica, o Mathematica []. Os comandos fornecidos abaixo fazem exatamente isso, quando fornecidos como entrada ao código: Pr[c_, P_] := P! P!/(2P)! P!/(c!c!(P-2c)!) 2^(P-2c) Sum[Pr[c, P], {c, 0, P/2}] O resultado, como esperado, é igual a. Usando a definição, podemos também calcular o valor médio de c, que é dado por No Mathematica, usamos o comando avc = Sum[c Pr[c, P], {c, 0, P/2}] e o código fornece o resultado P/2 c = c Pr(P, c) (3.4) c = c=0 P(P ) 2(2P ) (3.5) O desvio padrão σ também pode ser calculado a partir da definição, σ c = c 2 c 2 (3.6) sendo que P/2 c 2 = c 2 Pr(P, c) (3.7) No Mathematica, os comandos abaixo nos permitem calcular o desvio padrão: c=0 avc2 = Sum[c^2 Pr[c, P], {c, 0, P/2}]; sigc = Sqrt[avc2 - avc^2]//simplify que fornece σ c = P(P ) 2P 2(2P 3) (3.8) 5

6 REFERÊNCIAS Usando agora a definição, c = n/2, podemos imediatamente calcular a média de n: e também seu desvio padrão: n = 2 c = σ n = 2σ c = P(P ) 2P P(P ) 2P 2 2P 3 (3.9) (3.0) Para P, podemos esperar que a distribuição se aproxime de uma curva normal, dada por: Pr(P, n) exp n n 2 (3.) σ c 2π 2 Na prática, como podemos verificar na Figura, a concordância da Eq. (3.) aos pontos calculados usando a Eq. (3.) com N = 52 (ou seja, P = 26) é marcante. É interessante agora observar o desvio relativo, ou seja, o valor da relação σ n / n, que é simplesmente dado por: σ n n = 2 2P 3 σ n (3.2) O desvio relativo tende a zero para P, e a distribuição se torna cada vez mais estreita, formando um pico ao redor do valor médio. Referências [] Wolfram Research, Inc. Mathematica. v Champaign, Illinois, 205. URL: wolfram.com/mathematica. 6