A OBJETIVAÇÃO DO CONHECIMENTO EM ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA

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1 A OBJETIVAÇÃO DO CONHECIMENTO EM ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA Michele Regiane Dias Veronez Universidade Estadual do Paraná, Brasil Lourdes Maria Werle de Almeida Universidade Estadual de Londrina, Brasil RESUMO Considerando a Modelagem Matemática como uma atividade associada a processos de tradução de linguagens (da situação inicial para a final), à construção e à interpretação de modelos matemáticos que visam descrever e/ou analisar certo contexto, apresentamos, nesse trabalho, algumas relações entre a Modelagem Matemática e a perspectiva cultural da Semiótica, defendida por Luis Radford. Discutimos possíveis entrelaçamentos entre modelos matemáticos, produção de signos e o processo de objetivação do conhecimento. À luz desses referenciais teóricos analisamos algumas atividades de Modelagem Matemática em relação à seguinte questão: os signos produzidos e utilizados nas atividades de Modelagem Matemática revelam indícios de objetivação do conhecimento? As reflexões sinalizam que os processos de construção e interpretação dos modelos matemáticos associados às situações estudadas, bem como os signos utilizados nesses processos fornecem elementos para a objetivação do conhecimento. Palavras-chave: Modelagem Matemática, Signo, Objetivação do Conhecimento. ABSTRACT Considering Mathematical Modeling as an activity associated with language translation processes (baseline to final), the construction and interpretation of mathematical models which aim to describe and / or analyze certain

2 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 context, we present, in this paper, some relations between Mathematical Modeling and cultural perspective of Semiotics, defended by Luis Radford. We discuss possible entanglements between mathematical models, production of signs and the process of objectification of knowledge. In light of these theoretical references we analyze some mathematical modeling activities regarding the following question: Do signs produced and used in mathematical modeling activities reveal evidence of objectification of knowledge? Our reflections indicate that the processes of construction and interpretation of mathematical models associated with the situations studied, as well as the signs used in these processes, provide input for the objectification of knowledge. Keywords: Mathematical Modeling, Sign, Objectification of Knowledge. 1 Introdução A Modelagem Matemática, como atividade investigativa, visa propor soluções para situações-problema por meio de modelos matemáticos e da interpretação desses modelos. Neste sentido, atividades de modelagem requerem atitudes criativas e interpretativas dos alunos que podem conduzi-los a refletir sobre sua aprendizagem enquanto se envolvem com situações com referência na realidade. Considerando essas características de atividades de Modelagem Matemática e, se por um lado, a aprendizagem pode ser concebida como um processo dialético entre sujeito e objeto mediado pela cultura e associado à produção de significado, e, por outro lado, Modelagem Matemática um caminho para a sua efetivação, é possível falar em objetivação do conhecimento por meio de atividades de Modelagem? Luis Radford, em seus trabalhos, reconhece que a objetivação do conhecimento está relacionada com a produção de significado e que a mudança ou evolução da estrutura cognitiva é possível quando diversos meios semióticos são combinados. Para esse autor a objetivação do conhecimento é um processo de conscientização progressiva, isto é, algo diante de nós, qualquer objeto (concreto ou mental) é dotado gradualmente de significado o qual se revela em gestos, em procedimentos, em símbolos, palavras, ou seja, por meio de

3 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 3 signos. No estudo sobre a objetivação do conhecimento se faz necessário distinguir o objeto matemático de suas representações. No entanto, não há dúvidas de que existe uma complexa relação entre objetos e as representações que os referenciam, além disso, representações que possuem a mesma referência (se referenciam a um mesmo objeto) podem ser trocadas, umas pela outras, sem alterar o objeto matemático em foco. Como os objetos matemáticos são inacessíveis à percepção humana, eles necessitam de signos para torná-los presente. (DUVAL, 2011). Segundo Almeida (2010) o signo existe somente se puder representar, substituir algo diferente dele, pois o signo não é o objeto, ele está no lugar do objeto. A complexidade do processo de objetivação do conhecimento requer ampliar a noção de signo e ir além da discussão em torno do seu papel representacional. Estudos sobre o signo remetem-nos à Semiótica, buscando explicar os processos de representação no ato de conhecer. Neste trabalho, abordamos a perspectiva da semiótica cultural (RADFORD, 2004) de que a atividade humana produz significados sobre o objeto matemático e que os signos seriam as formas que representam o objeto. Nessa perspectiva signos como símbolos, gestos, gráficos, fórmulas, tabelas, desenhos, palavras, calculadoras, regras são reconhecidos como meios semióticos de objetivação. À luz dos referenciais teóricos, orientamos nossas discussões na análise da produção dos signos, como meios semióticos de objetivação em atividades de Modelagem Matemática quando o interesse dos envolvidos nessas atividades é encontrar soluções para o problema evidenciado num contexto amplo e não, necessariamente, matemático. 2 Modelagem Matemática Em termos gerais, a Modelagem Matemática pode ser entendida como uma atividade associada a processos de transição de linguagens. Almeida (2010) associa essa transição a situações -inicial e final- e que se realiza mediante a construção e a interpretação de modelos matemáticos que visam descrever e/ou analisar certo fenômeno. Neste sentido envolve um processo de busca por soluções para o problema evidenciado na situação inicial. Sriraman & Lesh (2006) consideram que a modelagem é uma atividade matemática intencional na busca de descrição, explicação ou conceituação de fenômenos, relacionados, de modo geral, com aspectos da realidade circundante. Na atividade de Modelagem Matemática, as ações do sujeito (aquele que desenvolve a

4 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 4 atividade) se voltam inicialmente para o fenômeno analisado e para o problema que emergiu desse fenômeno. Nesse momento, o objetivo que permeia a atividade de Modelagem Matemática é a busca por soluções para esse problema. Do problema para a sua resolução, o sujeito se envolve em processos investigativos e interpretativos que, segundo Bassanezi (2003), conduzem à utilização de conceitos matemáticos na elaboração de uma estrutura matemática que represente de alguma forma a situação em estudo. Essa estrutura matemática que, carrega consigo relações matemáticas, recebe a denominação de modelo matemático. Segundo Lesh, Carmona e Hjalmarson (2006), um modelo matemático é um sistema conceitual, descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem ou uma estrutura matemática, com a finalidade de descrever o comportamento de outro sistema e, em alguns casos, permitir a realização de previsões sobre este. No ato de desenvolver uma atividade de Modelagem Matemática as discussões geradas acerca da situação ganham dimensões que extrapolam o simples fato de resolver o problema. No âmbito da situação inicial, diversas representações como textos, tabelas, diferentes formas de gráficos, etc. podem estar associadas. A situação final, por sua vez, pode ser melhor compreendida se consideradas diferentes representações do modelo matemático associadas as formas algébrica, gráfica, geométrica. Os diferentes procedimentos realizados pelo sujeito dizem respeito às ações no processo de simplificação dos dados, levantamento de hipóteses, definição de variáveis, dedução do modelo matemático. A construção e a interpretação de modelos matemáticos com atenção ao problema e, portanto à situação inicial favorece a integração entre realidade (origem da situação inicial) e Matemática (área em que os conceitos e os procedimentos estão fundamentados) e, em diferentes momentos, conhecimentos matemáticos e conhecimentos extramatemáticos são acionados e/ou produzidos e integrados. (ALMEIDA e SILVA, 2012). Esse processo, criativo e interpretativo, de dedução do modelo matemático permite que se estabeleça uma estrutura matemática que incorpora e carrega as características essenciais do objeto ou fenômeno que pretende representar. Nesse sentido, tanto a construção quanto a interpretação desses modelos vêm revestidas de intencionalidades e interesses. As produções, que constituem os modelos matemáticos, estão associadas aos processos de comunicação dos pensamentos mobilizados por aqueles que desenvolvem a atividade de Modelagem Matemática e, de alguma forma, são manifestadas por meio de signos utilizados nesse processo. É nesse enfoque que este trabalho está delineado.

5 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 5 3 Considerações sobre a Semiótica Peirceana Não há dúvida entre os pesquisadores que investigam sobre Semiótica de que esta tem conquistado espaço no âmbito da Educação Matemática. Esse crescente interesse está, de certo modo, ancorado no significado da palavra semiótica que, em grego (semeion), significa signo. A Semiótica, num contexto amplo, é considerada como a ciência que estuda as formas de linguagem que se utiliza de signos para representar os objetos. Com base na definição de signo apresentada por Peirce (2005) de que o signo é algo que para uma pessoa toma lugar de outra coisa (objeto), não em todos os aspectos dessa coisa, mas respeitando certa forma ou capacidade, o signo pode ser entendido como uma coisa que representa outra coisa o objeto. A noção de signo é, para Peirce (2005) considerada tão ampla, que o signo não precisa ter uma natureza plena de linguagem, podendo ser uma mera ação ou reação, que verbaliza uma emoção ou sentimento. Diferenciar o objeto de sua representação é tão nebuloso quanto distinguir o conceito de sua construção, se considerarmos que um conceito está continuamente em fase de construção. No entanto, esse processo de construção do conceito, conceitualização, como enfatizado por D Amore (2005) pode ser investigado sob a ótica do que é e como se dá a apreensão dos objetos matemáticos. Para esse autor, apropriar-se de um conceito, é mais que nomeá-lo e representá-lo, ideia também defendida por Radford (2002). Neste trabalho, abordamos a perspectiva da semiótica cultural (RADFORD, 2004) de que a atividade humana produz significados sobre o objeto matemático na conceitualização e que os signos seriam as formas que representam o objeto. Luis Radford embasa seu aporte teórico na ideia de praxis reflexiva e propõe uma teoria cultural de objetivação. Essa perspectiva sinaliza que o conhecimento não é uma simples representação da realidade externa, mas o resultado da interação entre o sujeito que aprende (suas estruturas cognitivas) e suas experiências sensoriais. Para Radford (2006a) a produção de significado está intimamente relacionada às bases ontológicas e epistemológicas da teoria de objetivação. A posição ontológica consiste em especificar a questão da natureza dos objetos matemáticos e a epistemológica na maneira como esses objetos podem (ou não) chegar a ser conhecidos. 3.1 Sobre a Objetivação do Conhecimento Radford, em seus trabalhos, reconhece que a objetivação do conhecimento está relacionada com a produção do significado e que a mudança ou evolução da estrutura cognitiva é possível quando diversos meios semióticos são combinados. Para Radford (2006a) objetivar conhecimento é tornar conscientes aspectos conceituais que, devido sua própria

6 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 6 generalidade, não podem ser completamente mencionados/indicados, no entanto, são revelados nos gestos, cálculos, símbolos, palavras, ou seja, nos signos. Na teoria da objetivação, a aprendizagem não consiste em construir ou reconstruir um conhecimento. Trata-se de dotar de sentido os objetos conceituais que se encontram na cultura do aluno. A construção do conhecimento é um processo de elaboração ativa de significados, ou seja, um processo de objetivação. (RADFORD, 2006a). Sendo assim, pode-se assumir que a construção de conhecimento se dá pela intervenção e pelo uso de signos. Quando um objeto do conhecimento entra em contato com um sujeito que aprende, se modifica e se reconstrói por meio dos instrumentos cognitivos do sujeito. A teoria da objetivação não vê a aprendizagem como uma simples imitação ou participação de uma prática estabelecida, mas como a fusão entre uma subjetividade que se busca perceber linguisticamente e os modos de reflexão desta, que só podem ser manifestados através da ação. Na abordagem semiótica cultural os símbolos, gestos, gráficos, fórmulas, tabelas, desenhos, palavras, cálculos, regras, entre outros, são reconhecidos como meios semióticos de objetivação. (RADFORD, 2003). A idéia de meios semióticos de objetivação se baseia no princípio antropológico de que a representação do conhecimento precisa ser estudada no contexto mais amplo dos processos culturais de produção de conhecimento e suas formas procedimentais de mediação. (RADFORD, 1998, 2002). Esses meios são considerados por Radford (2002) signos intencionalmente usados pelos alunos no processo de produção de significado, a fim de alcançar uma forma estável de sensibilização (consciência), para tornar aparentes suas intenções e justificar suas ações. Dois aspectos teóricos a respeito dos meios semióticos de objetivação são discutidos em Radford (2002). O primeiro, nomeado de procedimentos da atividade semiótica, considera que o conceito de meios semióticos de objetivação assenta-se na ideia de que estudar a produção de significado requer atenção para o uso de vários meios, tais como palavras, gestos, símbolos, gráficos e artefatos. Tal consideração está baseada na visão de que uma linguagem científica não pode tornar-se um sistema fechado, tem que permanecer aberto e incorporar diferentes representações. O segundo aspecto refere-se ao conceito fregeano de sentido e enfatiza a lacuna entre objeto e signo. O conceito fregeano de sentido relaciona-se com a faceta particular do objeto a ser apreendido intelectualmente. Radford (2002) ilustra o conceito fregeano de sentido a partir de um de seus mais conhecidos exemplos: o par "estrela da manhã" e "estrela da tarde". Essas expressões (ou signos) refere-se ao mesmo objeto (Vênus), mas seu sentido é diferente. Eles

7 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 7 são diferentes porque as expressões referem-se a diferentes aspectos do objeto relatado - neste caso, aspectos relativos ao período do dia quando o objeto é percebido. Para Radford (2002) o que Frege está dizendo é que o sentido e o conhecimento estão profundamente interrelacionados. Ele também está dizendo que o que revela o conhecimento é a tomada de consciência de ligações inesperadas entre dois ou mais sentidos diferentes do mesmo objeto e na variedade semiótica através do qual o sentido é expresso. Na Figura 1 apresentamos uma descrição esquemática da objetivação do conhecimento matemático, considerando apenas o primeiro aspecto teórico sobre os meios semióticos de objetivação, uma vez que, nesse artigo, este aspecto é de nosso interesse. Observe que entre os indivíduos e o objeto do conhecimento não há nenhuma linha, ou seja, eles não estão diretamente relacionados. A ausência de uma ligação direta expressa a idéia essencial de que para se ter acesso aos objetos matemáticos necessita-se de signos. Figura 1: Diagrama da objetivação do conhecimento Numa perspectiva Semiótica que coloca o signo no centro de toda ação humana, é sustentado que o signo desempenha uma função mediadora entre o sujeito e seu contexto e, de certa forma, é ele que assegura a objetivação do conhecimento. Para Radford (1998) os signos funcionam como ferramentas culturais e são utilizados em comunicação com outras pessoas a fim de desenvolver conhecimento matemático. A comunicação, nesse contexto, pode ser considerada um mediador essencial das influências socioculturais e a linguagem, um sistema de signos que age nesta mediação. Considerando que os signos têm um papel importante no processo de produção de significado ou de familiarização com os objetos matemáticos, evidenciamos a necessidade de investigar os signos nesse processo: Os signos usados e produzidos pelos alunos durante o desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática revelam indícios de objetivação do conhecimento? No entanto, nesse trabalho, consideraremos apenas os signos manifestados na forma escrita.

8 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 8 4 Atividades de Modelagem Matemática: uma análise sobre a produção dos signos A partir das considerações de Semiótica numa perspectiva cultural defendida por Luis Radford e da noção de signo apresentada na seção anterior, trazemos à tona uma discussão com foco nos signos usados e produzidos pelos alunos quando desenvolvem atividades de Modelagem Matemática. Uma atividade de Modelagem Matemática envolve a transição de uma situação inicial para uma final (Figura 2), as ações envolvidas ou requeridas nessa transição são manifestadas por meio de linguagens, signos que de alguma forma representam o objeto em estudo. Esse objeto pode ser entendido, nesse contexto, não somente como a situação inicial (problemática), mas o problema originado dessa situação. Fonte: Almeida, Silva e Vertuan (2012, p.15). Figura 2 Fases da Modelagem Matemática Considerando a caracterização de Modelagem Matemática apresentada, ao desenvolvimento de uma atividade de Modelagem associa-se um objeto (situação inicial) que será dotado gradualmente de significado e revelado nas ações dos alunos através dos meios semióticos de objetivação (fases da Modelagem Matemática) e uma solução (uma resposta para o problema identificado). Nesse sentido, estabelecemos algumas aproximações desse desenvolvimento com a objetivação do conhecimento. As ações requeridas nas fases da Modelagem Matemática exigem dos alunos uma compreensão do objeto em estudo (inteiração), seguida de reflexões que os levam a olhar matematicamente para o objeto (matematização). Os modos de reflexão são manifestados nas atitudes dos alunos e podem ser identificados a partir dos meios semióticos de objetivação que, em certa medida, são usados intencionalmente por eles (resolução). Quando buscam justificar suas atitudes, os signos produzidos ou utilizados pelos alunos ganham uma forma estável de consciência e o objeto é compreendido a partir de processos de conscientização progressiva (interpreação de resultados e validação). Para proceder à análise atentamo-nos para os signos produzidos em algumas atividades de Modelagem Matemática a fim de obter indícios sobre a objetivação do conhecimento e, para tanto, consideramos alguns aspectos: a) os modelos matemáticos em si (os modelos que

9 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9 os alunos construíram), b) as relações dos modelos com referência ao problema, c) a variedade de signos utilizados pelos alunos. As atividades de Modelagem Matemática que subsidiam nossa análise foram desenvolvidas em grupos constituídos por três participantes, porém em contextos distintos. As atividades uso de MP3 player e água consumida foram desenvolvidas num projeto de Modelagem Matemática por alunos do curso de Licenciatura em Matemática. O interesse em estudar o uso de MP3 player surgiu da percepção dos alunos de que esses aparelhos são usados por um grande número de pessoas, às vezes, com certa frequência e, inclusive, em volume alto. Uma discussão sobre a conscientização da população no que se refere ao desperdício de água foi responsável pelo desenvolvimento da atividade água consumida. A terceira atividade, crescimento de uma árvore, foi desenvolvida na disciplina de Introdução à Modelagem Matemática de um curso de Licenciatura em Matemática e está pautada no interesse dos alunos em investigar como se dá o crescimento do Pinnus elliotti. 4.1 O uso de MP3 player A iniciativa de estudar as consequências de se ouvir música em volume alto durante certo intervalo de tempo foi baseada na percepção dos alunos de que muitas pessoas têm hábito de utilizar, com frequência e num volume inadequado, MP3 players e, em informações que retratam que ouvir música alta nesses aparelhos tem trazido graves problemas para a audição. Essa iniciativa levou-os a pesquisar sobre essa temática e, consequentemente, encontrar uma relação entre o volume do som e o tempo que uma pessoa pode ficar submetida a esse volume. Por quantas horas uma pessoa pode utilizar o fone de ouvido em determinado volume, sem prejudicar sua audição? foi a questão que orientou o desenvolvimento dessa atividade. Nessa fase da atividade os alunos transitam na fase da inteiração e da matematização, pois reconhecem um problema a ser investigado e identificam que na busca por respostas para essa questão (transitar da situação inicial para a final) precisam ter acesso a informações sobre os níveis de ruído permissíveis ao ouvido humano (o limiar da audição do ser humano é de 0 db e o limiar de dor é de 120 db, ou seja, máximo nível de intensidade de audição, sem causar danos fisiológicos ou dor) e a quantidade de decibéis emitida pelos MP3 players. Nessa coleta de informações os alunos também encontram as normas (NR-15) que regulamentam que o tempo de exposição diária permissível de acordo com o nível de ruído e o limite máximo de exposição diário permitido (Tabela 1), segundo a Sociedade Brasileira de Otologia (SOB), sem grandes consequências, é de 85 decibéis.

10 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 10 Tabela 1: Exposição diária permissível ao nível de ruído Nível de ruído Db (a) Máxima exposição diária permissível Nível de ruído Db (a) Máxima exposição diária permissível 85 8 horas 98 1 hora e 15 minutos 86 7 horas hora 87 6 horas minutos 88 5 horas minutos 89 4 horas e 30 minutos minutos 90 4 horas minutos 91 3 horas e 30 minutos minutos 92 3 horas minutos 93 2 horas 40 minutos minutos 94 2 horas 15 minutos minutos 95 2 horas minutos 96 1 horas 45 minutos Fonte: BRASIL LEIS, 2005 Na tentativa de resolver o problema enunciado (transitar da matematização para a resolução) e, considerando as informações coletadas, os alunos estabelecem a hipótese de que o valor dos decibéis não depende do estilo musical e nem da qualidade do formato da gravação do arquivo e assumem que esses aparelhos emitem, em média, no seu volume máximo, 114 decibéis. A Figura 3 traz uma representação gráfica produzida pelos alunos, esse signo produzido pelo aluno pode ser interpretada como um modelo matemático e, portanto, uma forma de relacionar os elementos que esse modelo apresenta e o problema investigado. 9 S = r = tempo máximo de exposição (horas) nível do ruído (decibéis) Figura 3: Representação dos alunos para a relação entre à máxima exposição diária permissível e o nível de ruído

11 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 11 Esse primeiro signo produzido pelos alunos, carrega consigo algumas especifidades da situação analisada. Segundo Radford (2006b) o signo desempenha uma função mediadora entre indivíduo e objeto e permite essa passagem entre o conhecer e o representar. Sendo assim, o signo não é simplesmente uma representação, mas o resultado de uma interação entre o sujeito (suas estruturas cognitivas) e suas experiências. O signo da Figura 3 leva os alunos a buscar outro signo que favorecesse, aos seus olhos, encontrar a solução para o problema. Aqui evidencia-se que os alunos não conseguem relacionar a representação gráfica à situação analisada (esse modelo matemático não diz muita coisa para os alunos) e, portanto, necessitam de outro signo para compreender o objeto em estudo. Radford (2005) ressalta que, muitas vezes, um signo não é suficiente para alcançar a objetivação do conhecimento, há a necessidade de diversos signos trabalhando juntos, pois eles estão associados com as camadas de objetivação (p.144), ou seja, relacionados com o processo de tomada de consciência do objeto do conhecimento. Como os alunos buscam compreender a situação, eles utilizam e produzem signos (tabela e gráfico, respectivamente) com esse objetivo, no entanto, a combinação desses dois signos não lhes são suficiente, então, recorrem à produção de outro signo. A partir da representação gráfica (Figura 3) os alunos aproximam a curva encontrada a uma função exponencial obtendo, portanto, outro signo. O modelo matemático, H ,8 e 0,1404n, em que (H) corresponde o número de horas de máxima exposição e (n) o nível de ruído medido em decibéis, para a situação uso de MP3 player, agora, aparece escrito em linguagem algébrica. Enquanto os alunos transitam por esses signos, deixam implícito que estes, considerados isoladamente, são limitados (Radford, 2005 p.143), ou seja, os alunos precisam de todos os signos que produziram para descrever a situação analisada, compreendêla e fazer possíveis previsões. É na relação entre esses modelos matemáticos (signos utilizados e produzidos pelos alunos) que a objetivação do conhecimento está associada. Combinando estas representações tabela, gráfico, expressão algébrica os alunos buscam compreender a situação, contudo, utilizam-se apenas da expressão algébrica para realizar a validação (Tabela 2). Eles realizam os cálculos (outro signo produzido pelos alunos) e verificam que os valores obtidos a partir do modelo matemático (representação algébrica), são bem próximos dos dados coletados (Tabela 1).

12 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 12 Tabela 2: Validação do modelo matemático obtido Nível de Máxima Validação Nível de Máxima Validação ruído exposição diária 0,1404 H ,8 e ruído exposição diária H ,8 db (A) permissível db (A) permissível (horas) (horas) , ,25 1, , , , ,75 0, , ,58 0, ,5 4, ,5 0, , ,41 0, ,5 3, ,33 0, , ,25 0, ,5 2, ,16 0, ,25 2, ,13 0, , ,11 0, ,75 1,77600 e 0,1404n Nessa fase da atividade (interpretação dos resultados e validação) os alunos voltam à situação inicial e utilizam-se de outro signo, V 1,4 10. Vm 6 H 1, e, em que (V) corresponde o volume que a pessoa está ouvindo o MP3 e (Vm) o volume máximo do MP3 utilizado, para responder ao problema originado da situação inicial. Do ponto de vista matemático, esse modelo é o que proporciona uma resposta mais direta, ou seja, responde satisfatoriamente ao problema enunciado. 4.2 Água consumida Essa atividade de Modelagem Matemática foi desenvolvida a partir das informações (coletadas pelos alunos) da Agência Nacional de Águas ANA de que a quantidade de água disponível para consumo no Brasil é suficiente para as necessidades do país, se a população for consciente quanto ao uso. Para iniciar o estudo sobre a água consumida os alunos levaram em consideração as informações apresentadas na Tabela 3 que revelam que o total de água utilizada pelas pessoas vem aumentando com o decorrer dos anos.

13 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 13 Tabela 3: Estimativas e projeções de água retirada e consumida por Continente Continente Histórico de Estimativas Projeção de consumo (Km3 /ano) (km 3 /ano) Europa 37,5 a 71 93, ,6 b 29,8 38,4 53,9 81, América do Norte 29,2 83, África Ásia América do 15,2 27,7 59,4 68,5 85, Sul 11,3 20,6 41,7 44,4 57, ,4 97, Austrália e 1,6 6,8 10,3 17,4 23,3 29,4 28,5 30,5 32,6 35,6 39,6 Oceania 0,6 3,4 5,1 9 11,9 14,6 16,4 17,6 18, ,1 Total (aprox.) a Números sublinhados referem-se à estimativa de água retirada. b Números itálicos referem-se à estimativa de água consumida. Fonte: (Oliveira, apud Gleick, 2009) Ao observar a tabela, os alunos reconhecem um signo, que representa algo em lugar de outra coisa e, a partir desse signo formulam o seguinte problema: qual quantidade de água já foi consumida? Embora a pergunta seja objetiva qual os alunos sentem necessidade de buscar uma expressão matemática que descreva a situação água consumida. Sendo assim, com base nas informações da Tabela 3, os alunos organizam os dados que lhes interessam para resolver o problema em uma tabela (Tabela 4) e assumem a hipótese de que o consumo inicial de água é determinado pelo ano Esse signo produzido pelos alunos leva-os a construírem outro signo (Figura 4). Os signos produzidos até o momento seriam uma primeira tradução das informações coletadas pelos alunos, iniciando assim o processo de matematização. Tabela 4: Água consumida - estimativas. N ANO Consumo km³/ano consumo km³/ano CONSUMO TOTAL DE ÁGUA n Figura 4: Tendência dos dados

14 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 14 Esses signos permitem aos alunos identificar o que está acontecendo em relação ao consumo da água, tanto que eles analisam o comportamento dos pontos e avançam na investigação do problema. Uma análise desses signos os leva a buscar outros signos (Figura 5) que relacionam o consumo de água em relação ao tempo, tomando a quantidade total de água consumida por ano. Eles consideram, portanto, uma aproximação para a função do 2º grau e outra para a função exponencial. Conforme Hoffman (2006) uma atividade matemática é realizada por meio de signos, pela interpretação e transformação dos signos se tem acesso ao objeto do conhecimento. Para esse autor, se por um lado os signos são meios para pensar sobre os objetos matemáticos e suas relações, por outro, eles são produtos de tais pensamentos. (HOFFMANN, 2006, p.279). Ao assumir essas duas aproximações (função do 2º grau e função exponencial) os alunos utilizam um software para obter os modelos matemáticos (Figura 5). CONSUMO TOTAL DE ÁGUA CONSUMO TOTAL DE ÁGUA consumo km³/ano consumo km³/ano C 1 = 0,2077n 2 + 1,1314n + 388, C 2 = 377,5e 0,0193n n n Figura 5: Aproximação da situação para uma função quadrática e para uma função exponencial. Nessa fase de resolução do problema, os alunos analisam os modelos matemáticos obtidos e consideram os dois modelos como boas aproximações para a situação, contudo, para responder ao problema inicial, reescrevem esses modelos assumindo n=a Logo, C 1 = 0,2077a² 788,1286a ,77 e C 2 = (4, ) e 0, 0193 a Essa necessidade de produzir signos com a finalidade de melhor compreender a situação e responder ao problema inicial é enfatizada por Radford (2006a) ao ressaltar que os signos são uma fonte importante no processo de conscientização do objeto em estudo, ou seja, para a objetivação do conhecimento. Na discussão sobre os modelos obtidos os alunos consideram que ambos os modelos.

15 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 15 podem ser ajustados aos valores de referência, no entanto, evidenciam que se a intenção for utilizar esses modelos para fazer previsões cabe uma discussão sobre o período de tempo analisado. Cientes de que não haviam respondido ao problema, eles retomam à pergunta inicial e aos modelos obtidos e concluem que a quantidade de água consumida até 2010 é ,89 km³, se considerado a aproximação à função quadrática e ,96 km³, se considerado a função exponencial ajustada. 4.3 Crescimento de uma árvore Nessa atividade os alunos buscam compreender como se dá o crescimento do Pinus elliotti. Os primeiros signos utilizados por eles são informações sobre o crescimento dessa árvore ser determinado por anéis de crescimento de secções transversais e que cada anel do disco analisado determina um ano de crescimento da espécie, sendo que a parte mais clara do anel determina seu crescimento durante a estação do verão e a parte escura do anel representa o crescimento durante a estação do inverno. Um segundo, é um disco de tronco de uma árvore dessa espécie (Figura 6). A partir desses signos, eles produzem outros signos. Na tabela 5 eles colocam os valores obtidos a partir de medições realizadas no disco e na Figura 7 uma representação gráfica para o crescimento dessa árvore. Tabela 5 Dados coletados do Pinus ellioti Figura 6 Disco do tronco de Pinus elliotti Figura 7 Incremento anual acumulado Ano Incremento anual (média) Incremento anual acumulado 1 1,775 1, ,275 3,05 3 1,8 4,85 4 1,3 6,15 5 1,525 7, ,5 9, ,2 10, ,25 11, ,2 12, ,775 13,6 11 0,85 14, ,725 15, , ,6 16,6 15 0,65 17, ,425 17, ,45 18, ,475 18,6 19 0,425 19, ,45 19, ,325 19,8

16 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 16 Para Radford (2006a) os signos precisam acomodar diferentes pontos de vista ao mesmo tempo, de modo que o uso de vários meios semióticos de objetivação podem ser integrado no ato de conhecer. Por considerar que o crescimento da espécie tende a se estabilizar (hipótese assumida pelos alunos), eles utilizam o Método de Ford-Walford para encontrar o ponto de estabilidade e escrevem o modelo matemático: y 24,81 24,94e 0,0782 x, como solução para o problema. Esse modelo matemático (outro signo produzido pelos alunos) é aceito por todos do grupo como uma solução para o problema inicial, principalmente depois de terem confrontado os dados obtidos pelo modelo com os apresentados na Tabela 5. 5 Considerações finais A aproximação que alinhavamos entre a perspectiva da Semiótica cultural e a Modelagem Matemática apoia-se na importância de um olhar mais atento aos signos utilizados e produzidos pelos alunos no processo de objetivação do conhecimento. Na análise que esboçamos, a função representativa do signo está numa relação do signo com o pensamento e aparece em consonância com as ações dos alunos durante o desenvolvimento das atividades de Modelagem Matemática. Um olhar semiótico para o desenvolvimento das atividades de Modelagem Matemática analisadas possibilita-nos inferir que elas viabilizam produções de signos, isto é, a organização do pensamento dos alunos é revelada nos meios semióticos de objetivação que fazem uso. Nesse sentido, o olhar do aluno sobre um signo está carregado de interpretações, de análises, tanto que os signos, além de serem intencionalmente usados, justificam as ações dos alunos e assumem uma forma estável de consciência. Ainda, a transição entre os signos não é simplesmente passar de um signo a outro, é caminhar gradualmente para o significado do objeto. Ao analisar os signos utilizados ou produzidos pelos alunos no desenvolvimento das atividades de Modelagem Matemática, entendemos que, de certa forma, os alunos buscam em seus conhecimentos formas que lhes possibilitem estruturar soluções para os problemas e que os três aspectos mencionados anteriormente podem ser observados: os modelos matemáticos (signos produzidos pelos alunos) guardam características das situações e por meio deles, conhecimentos dos alunos são manifestados, nas três atividades os alunos utilizam e produzem uma variedade de signos com o intuito de encontrar soluções para os problemas, as soluções obtidas são analisadas com referência à situação em estudo.

17 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 17 Sendo assim, é possível inferir que as ações dos alunos reveladas nos signos que produzem ou utilizam refletem os seus modos de produção de significado e fornecem elementos para a objetivação do conhecimento. Agradecimentos À Fundação Araucária pelo apoio financeiro. Referências ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de. Um olhar semiótico sobre modelos e modelagem: metáforas como foco de análise. Zetetikè. FE Unicamp. V.18, número temático, p ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de, SILVA, Karina Alessandra Pessôa da. VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, ALMEIDA, Lourdes Maria Werle de, SILVA, Karina Alessandra Pessôa da. Semiótica e as ações cognitivas dos alunos em atividades de Modelagem Matemática: algumas relações. Ciência e Educação BASSANEZI, Rodney Carlos. Sobre a Modelagem Matemática. In: CONFERÊNCIA NACIONAL DE MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3., 2003, Piracicaba. Anais... Piracicaba: UNIMEO, D AMORE, Bruno. Conclusiones y perspectivas de investigación futura. Relime. número especial pp D AMORE, Bruno. Epistemologia e didática da Matemática. Tradução de Maria Cristina Bonomi Barufi. São Paulo: Escrituras, DUVAL, Raymond. Ver e ensinar a matemática de outra forma: entrar no modo matemático de pensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: PROEM, HOFFMANN, Michael H. G. What is a semiotic perspective, and what could it be? Some comments on the contributions to this special issue. Education Studies in Mathematics. Vol. 61, pp LESH, Richard; CARMONA, Guadalupe; HJALMARSON, Margret. Working group: models and modeling. In: PME-NA, 2006, Mérida. Proceedings Mérida, p. 1-4.

18 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 18 PEIRCE, Charles Sanders. Semiótica. Tradução de José Teixeira Coelho Neto. 2. Reimp. da 3. ed. de v. 46. São Paulo: Perspectiva RADFORD, Luis. Elementos de uma teoria cultural de la objetivación. Relime. número especial. 2006a. pp RADFORD, Luis. Semiótica y Educación Matemática. Relime. número especial. 2006b. pp RADFORD, Luis. Why do gestures matter? Gestures as semiotic means of objectification. In: H. Chick e J. Vincent (Eds.) Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Vol. 1. University of Melbourne, Austrália pp RADFORD, Luis. Semiótica Cultural y Cognição. In: DECIMOCTAVA REUNIÓN LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA, Tuxtla Gutiérrez. Luis Radford s Web Page, Disponível em: < 06BAFF87B51B/0/Tuxtla3.pdf > Acesso em: 15 fev RADFORD, Luis. Gestures, speech, and the sprouting of signs. Mathematical Thinking and Learning 5(1), p RADFORD, Luis. The Seen, the Spoken and the Written: a Semiotic Approach to the Problem of Objectification of Mathematical Knowledge. For the Learning of Mathematics 22. July, p RADFORD, Luis. On signs and representation: a cultural account. Scientia Paedagogica Experimentalis 35(1), p SRIRAMAN. Bharath; LESH, Richard. Modeling conceptions revisited. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik ZDM The International Journal on Mathematics Education, v. 38, n. 3, p