TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MOMENTO 13. Universidade Federal Fluminense

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 6 DE JUNHO DE 2017 TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MOMENTO 13 Humberto José Bortolossi Universidade Federal Fluminense 1

2 AQUECIMENTO: REPRESENTAÇÕES, SIGNIFICANTE SIGNIFICADO

3 Faz sentido?

4 Paris tem 5 letras. Um número inteiro é par se ele termina em 0, 2, 4, 6 e 8. Faz sentido?

5 Qual número é maior? 5, 8, 3, 1, 7, 9, 2, 4, 6 Resposta: 3. Faz sentido?

6 Qual é o numerador do número racional 2/3? Faz sentido?

7 La Trahison des Images ( ) por René Magritte Faz sentido?

8 MÚLTIPLAS: A LEI DE HOOKE Ut tensio sic vis.

9 MÚLTIPLAS: SOM

10 RESUMO ANALÍTICO: REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E FUNCIONAMENTO COGNITIVO DO PENSAMENTO por Raymond Duval

11 RESUMO ANALÍTICO 6. DESCRIÇÃO DO TRABALHO: A descrição deve ser impessoal. O relator deve fazer uma síntese objetiva e descritiva, evitando emitir comentários pessoais. Dez linhas no máximo. 7. OBJETIVOS DO TRABALHO: Cinco linhas no máximo, preferivelmente começando com um verbo. 10. CONCLUSÕES DO AUTOR: Dez linhas no máximo. Deve-se relatar de forma objetiva e imparcial as conclusões do autor.

12 RESUMO ANALÍTICO 11. COMENTÁRIOS DO RELATOR: Essencialmente, uma opinião crítica sobre o trabalho. Agora é a hora de expressar a sua opinião. Inclua pontos de concordância e discordância! Indique também se o texto que você analisou trouxe algum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prática ou atitude como professor em sala de aula. Mínimo de dez linhas.

13 OBSERVAÇÕES E DESDOBRAMENTOS

14 Há uma palavra às vezes importante e marginal em matemática, é a palavra representação. Uma escrita, uma notação, um símbolo representam um objeto matemático: um número, uma função, um vetor... Do mesmo modo, os traçados e figuras representam objetos matemáticos: um segmento, um ponto, um círculo. Isto quer dizer que os objetos matemáticos não devem ser jamais confundidos com a representação que se faz dele. A distinção entre um objeto e sua representação é, portanto, um ponto estratégico para a compreensão da matemática. Basta considerar o caso do cálculo numérico para se convencer disso: os procedimentos, o seu custo, dependem do sistema de escrita escolhido.

15 Isto pode ser considerado, portanto, um paradoxo cognitivo do pensamento matemático: de um lado, a apreensão dos objetos matemáticos não pode ser mais do que uma apreensão conceitual e, de outro, é somente por meio de representações semióticas que a atividade sobre objetos matemáticos se torna possível. Este paradoxo pode constituir-se num grande círculo para a aprendizagem. Representações mentais representações semióticas: as representações mentais lembram o conceito-imagem de Tall; as representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representações. As representações não são somente necessárias para fins de comunicação, elas são igualmente essenciais à atividade cognitiva do pensamento.

16 Papeis das representações semióticas: no desenvolvimento das representações mentais; na realização de diferentes funções cognitivas; na produção de conhecimentos. Semiose: apreensão ou produção de uma representação semiótica. Noesis: apreensão conceitual de um objeto. Noesis é inseparável da semiose.

17 O paradoxo cognitivo do pensamento matemático e as dificuldades que resultam para sua aprendizagem se dão pelo fato de que não há noesis sem semiose enquanto houver vontade de ensinar matemática, como se a semiose fosse uma operação desprezível em relação a noesis. No entanto, é essencial, na atividade matemática, poder mobilizar muitos registros de representação semiótica (figuras, gráficos, escrituras simbólicas, língua natural, etc...) no decorrer de um mesmo passo, poder escolher um registro no lugar de outro. E, independentemente de toda comodidade de tratamento, o recurso a muitos registros parece mesmo uma condição necessária para que os objetos matemáticos não sejam confundidos com suas representações e que possam também ser reconhecidos em cada uma de suas representações.

18 Para que um sistema semiótico possa ser um registro de representação, deve permitir as três atividades cognitivas fundamentais ligadas a semiose: a formação de uma representação identificável; o tratamento de uma representação (paráfrase, inferência, reconfiguração, anamorfose); a conversão de uma representação (ilustração, tradução). A conversão é uma atividade cognitiva diferente e independente do tratamento. A conversão não deve ser confundida com duas atividades que estão, no entanto, próximas: a codificação e a interpretação. O que é geralmente chamado de interpretação requer uma mudança de quadro teórico ou uma mudança de contexto. Esta mudança não implica mudança de registro.

19 Leis de agrupamento da Gestalt (para mais informações:

20 Leis de agrupamento da Gestalt (para mais informações:

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24 A conversão das representações semióticas é a primeira fonte de dificuldade à compreensão em matemática. A utilização de muitos registros de representação parece ser característica do pensamento humano, se comparado com a inteligência animal ou com a inteligência artificial. [...] E, no que concerne a inteligência artificial, sublinha-se que um de seus limites é a dificuldade em ultrapassar a rigidez funcional que impede a especialização do modo de representação (LEISER, 1987, p. 1869). O progresso dos conhecimentos é sempre acompanhado da criação e do desenvolvimento de sistemas semióticos novos e específicos que mais ou menos coexistem com o primeiro entre eles, o sistema da língua natural (GRANGER, 1979).

25 Mudança de registro: a economia de tratamento (a linguagem natural se mostra logo inapropriada para cálculos mais longos); complementaridade dos registros; a conceitualização implica coordenação de registros de representação. Pode-se observar, em todos os níveis de ensino, na grande maioria dos alunos, um isolamento de registros de representação. Se a conceitualização implica coordenação de registros de representação, o principal caminho das aprendizagens de base matemática não pode ser somente a automatização de certos tratamentos ou a compreensão de noções, mas deve ser a coordenação de diferentes registros de representação, necessariamente mobilizados por estes tratamentos ou por esta compreensão.

26 Definitivamente, o que é importante não é a mudança de registro a ser efetuada, mas os tratamentos que poderão ser realizados na representação obtida após a mudança de registro. Atividades de variações comparativas relativas a significação das representações: o único modo de discriminar as unidades significantes de uma representação é realizar a observação, por um lado, variações de representações sistematicamente efetuadas em um registro e, por outro lado, as variações concomitantes de representação em outro registro.

27 Pode-se, então, considerar o registro em língua natural como um registro de partida no que concerne o raciocínio? A importância da semiose na noesis convida a responder afirmativamente. A língua natural deve ser considerada, ao mesmo tempo, um registro de partida e um registro de chegada. Mas, é aí que está o ponto importante: esta conversão interna não é feita diretamente, ela passa por representações intermediárias. As representações semióticas constituem um aspecto irredutível do conhecimento matemático e querer subordiná-las aos conceitos leva a falsos problemas de aprendizagem.

28 Qualquer conversão de registros pode ser congruente ou não congruente. Quando uma conversão é congruente a representação do registro inicial é transparente para a representação do registro final. Em outras palavras, a conversão pode ser vista como uma translação unidade a unidade. Análises muito precisas do caráter da conversão congruente ou não congruente de uma representação em outra pode ser feita sistematicamente. E elas explicam de uma maneira precisa muitos erros, falhas, equívocos e bloqueios mentais.

29 Para determinar de dois registros são congruentes, três critérios são utilizados: (1) existe correspondência semântica (os símbolos têm o mesmo significado entre as unidades significantes do registro de partida e o de chegada; (2) existe a mesma ordem de apreensão das unidades significantes nas duas representações; (3) existe a univocidade semântica (cada unidade significante do registro de partida corresponde a uma só unidade significante no registro de chegada, e vice-versa).

30 Para determinar de dois registros são congruentes, três critérios são utilizados: (1) existe correspondência semântica (os símbolos têm o mesmo significado entre as unidades significantes do registro de partida e o de chegada; (2) existe a mesma ordem de apreensão das unidades significantes nas duas representações; (3) existe a univocidade semântica (cada unidade significante do registro de partida corresponde a uma só unidade significante no registro de chegada, e vice-versa).

31 A coordenação de registros não é a consequência de entendimento em matemática; ao contrário, ela é uma condição essencial.

32 São todas estas questões que vamos retomar e desenvolver neste artigo. Elas mostram a complexidade particular, muito frequentemente subestimada, das pesquisas sobre o ensino da matemática. Esta complexidade está ligada ao fato de que este campo de pesquisas provoca vários pontos de vista totalmente diferentes e que não devem jamais ser confundidos: ponto de vista matemático, ponto de vista epistemológico, ponto de vista cognitivo, ponto de vista dos alunos, ponto de vista dos professores, ponto de vista institucional, etc. Do ponto de vista matemático, a compreensão deve responder à exigência epistemológica de prova que é comum a todo conhecimento científico.

33 De um ponto de vista cognitivo, a compreensão é guiada pelo modo de acesso aos objetos estudados. Do ponto de vista cognitivo, compreender em matemática é, antes de tudo, reconhecer os objetos matemáticos representados. Do ponto de vista cognitivo, fazer matemática exige atitudes intelectuais que não estão ligadas a um conteúdo matemático particular e que, além disso, não são nunca solicitadas em outras disciplinas. Isto se deve a que as maneiras de raciocinar, de definir, de ver e de propor problemas não são os mesmos da matemática e fora dela. O que ocorre com mais frequência é esta diferença incompreensível, e nunca explicada, quando os estudantes dizem eu não entendi ou eu não entendi nada.

34 Estrutura triádica: linguagem natural, representações de formas 2D e 3D. Estrutura diádica: notações simbólicas, linguagens formais, diagramas.