TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MOMENTO 11

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 03 DE MAIO DE 2017 TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MOMENTO 11 Humberto José Bortolossi Universidade Federal Fluminense 1

2 AQUECIMENTO O que é conceito definição? O que é conceito imagem? Bingolbali e Monaghan (2008): Conceito definição é a forma de palavras/símbolos usados pelos professores/notas de aula/livros para definir um conceito matemático. Conceito imagem é a estrutura cognitiva total associada com um conceito na mente de um indivíduo. Ela inclui imagens mentais, processos e propriedades associadas como também sequências de palavras e símbolos. Ela é uma entidade dinâmica que desenvolve de forma diferente de estudante para estudante por meio de experiências múltiplas.

3 AQUECIMENTO

4 AQUECIMENTO

5 AQUECIMENTO História do Pedro Malagutti da UFSCar

6 AQUECIMENTO Vinner e Hershkowitz (1980)

7 AQUECIMENTO

8 AQUECIMENTO Por que 2 2 2? Bills e Tall (1998): definições precisam se tornar operacionais para um indivíduo, isto é, um estudante deveria ser capaz de focar nas propriedades necessárias para fazer deduções lógicas apropriadas em demonstrações.

9 AQUECIMENTO 3 2 é 2 vezes 2 vezes... 3 vezes...

10 AQUECIMENTO O que é um gráfico de uma função real? (Só conceito imagem, sem conceito definição)

11 AQUECIMENTO Poincaré (1908): O que é uma boa definição? Para o filósofo ou o cientista, é uma definição a qual se aplica a todos os objetos que serão definidos e somente a eles; é aquela que satisfaz as regras da lógica. Mas, em educação, não é isto; é aquela que pode ser entendida pelos alunos. Cornu (1981): Na atividade matemática, noções matemáticas não são usadas apenas de acordo com suas definições formais, mas também por meio de representações mentais as quais podem diferir de pessoa para pessoa. Estes modelos individuais são elaborados a partir de modelos espontâneos que interferem com a definição matemática.

12 RESUMO ANALÍTICO: ADVANCED MATHEMATICAL THINKING: SOME PME PERSPECTIVES por Guershon Harel, Annie Selden e John Selden

13 OBSERVAÇÕES E DESDOBRAMENTOS

14 Questão (PME, 1980): Matemática da Escola Básica que leva à Matemática Universitária e a maneira de pensar dos matemáticos. Significado inicial para Advanced Mathematical Thinking : Matemática Axiomática Formal baseada em axiomas e definições. Avançado é o pensamento, a Matemática ou ambos? O que é pensamento matemático? Tópicos-chaves: (a) distinção entre conceito imagem/conceito definição; (b) o papel das definições e o ato de definir; (c) o processo-objeto e os proceptos de aquisição/construção do conceito.

15 Cada pessoa tem um esquema ou um conjunto de exemplos para representar e identificar cada conceito que ele/ela conhece. Uma maneira de enriquecer os conceitos imagens do estudante é ajudá-lo a adquirir a habilidade de visualizar conceitos matemáticos. Processos visuais processos analíticos: os alunos preferem o último e, em geral, existe o senso comum que processos visuais são inferiores aos processos analíticos/algébricos. Dois modos de se lidar com definições formais: (1) dando significado por meio de considerações em exemplos (frequentemente visuais) [referencial] ou (2) extraindo significado por meio de manipulação e reflexão da própria definição [sintática].

16 O papel das definições e do ato de se definir: (a) a distinção entre definições matemáticas e definições do dia-a-dia; (b) a interrelação dialética entre definir e provar; (c) definir como uma maneira de organizar. Existe diferença entre a definição de um dicionário e a definição matemática? Freudenthal (1973): duas maneiras de se definir, a saber, (a) por meio de uma definição descritiva (a posteriori) que descreve um objeto conhecido destacando algumas de suas propriedades características (o conceito já é conhecido mas só é definido posteriormente); (2) por meio de uma definição construtiva que modela novos objetos a partir de objetos conhecidos.

17 EXEMPLO DE DEFINIÇÃO DESCRITIVA O que é um losango? (definições econômicas, definições incompletas) (de Villiers, 1998) Um número irracional é um número real que não é racional. EXEMPLO DE DEFINIÇÃO CONSTRUTIVA

18 Propriedades desejáveis de uma definição: (1) existência (um exemplo deve existir); (2) consistente (não contraditória); (3) não ambígua; (4) logicamente equivalente a outras definições do mesmo conceito; (5) hierárquica (depender somente de termos definidos anteriormente); (6) invariantes por mudanças de representação. Adicionalmente: definições devem (7) cumprir o propósito para o qual foram inventadas; (8) serem bem definidas (não depender de representantes); (9) estarem enunciadas de forma usável. Embora não haja consenso, definições deveriam ser: mínimas (sem condições supérfluas); (11) elegantes e (12) facilmente compreendidas por estudantes.

19 Lakatos (1961): existe uma interlocução entre a formação de um conceito, a construção de uma definição e prova. Lakatos (1961) e Ouvrier-Buffet (2004): definições-zero (ver a atividade de definição de uma thingummy ) e definições geradas por uma prova. Como é usualmente difícil para os estudantes apreciarem a precisão e a economia de uma prova formal, também é difícil que eles experimentem dificuldades análogas com definições, sejam elas descritivas ou construtivas. Exemplo: Vinner (1977) descobriu que metade dos calouros da Universidade da Califórnia em Berkeley identificaram três identidades sobre potências como definições em oposição a teoremas ou axiomas.

20 Ashghari (2004) e Freudenthal (1983): definições foram inventadas para organizar fenômenos... do mundo concreto como também da matemática. Além de definir, existem outras práticas matemáticas que são frequentemente consideradas avançadas: visualizar, representar, generalizar, abstrair, sintetizar, axiomatizar, simbolizar, algoritmizar e provar. Além de entender definições matemáticas formais e usá-las em atividades, existem outras maneiras de conhecer um conceito: por meio da comparação de várias definições equivalentes; por meio da conversão entre suas (múltiplas) representações (Duval, 1999) e por meio do estabelecimento de conexões com outros conceitos.

21 Visão de um conceito: operacional (processo, ação) e estrutural (objeto). Exemplo: a função f: A B como uma transformação como um subconjunto especial de A B. Sfard (1987, p. 163): a maioria das noções matemáticas foram concebidas operacionalmente antes que suas definições e representações estruturais fossem formuladas (o conceito de correspondência de Dirichlet e de pares ordenados de Bourbaki para funções levou cerca de 300 anos). Conjectura: o processo de aprendizagem deve seguir o mesmo caminho.

22 Sfard (1991): a formação de uma concepção estrutural é longa e dividida em três estágios, a saber, interiorização, condensação e reificação. Exemplo de funções: manipulações algébricas com várias funções (interiorização); pensar em funções como um todo sem precisar entrar em detalhes: funções em termos de entrada e saída (condensação); pensar em funções como objetos: espaços vetoriais de funções, por exemplo (reificação). Sfard (1989, 1992): dois princípios pedagógicos: (a) novos conceitos não deveriam ser introduzidos de forma estrutural; (b) uma abordagem estrutural não deve ser adotada enquanto o estudante não precisar dela. Nota: no ensino universitário a abordagem é predominantemente estrutural.

23 Dubinsky e colaboradores: teoria APOS (Action, Process, Object, Schema): Ação, Processo, Objeto, Esquema (quatro tipos de concepções mentais). Exemplo: a função y = f(x) = x Ação: dado um valor para x, primeiro elevamos ao quadrado para depois somar 1 para obter o valor de y. Processo: f como processo que transforma entradas (valores para x) em saídas (valores para y). Objeto: f como uma elemento, por exemplo, do espaço vetorial das funções reais. Esquema: construção mental individual que conecta ações e processos, em analogia a conceito imagem.

24 Dubinsky e colaboradores: teoria APOS (Action, Process, Object, Schema): Ação, Processo, Objeto, Esquema (quatro tipos de concepções mentais). Exemplo: a função y = f(x) = x Ação: dado um valor para x, primeiro elevamos ao quadrado para depois somar 1 para obter o valor de y. Processo: f como processo que transforma entradas (valores para x) em saídas (valores para y). Objeto: f como uma elemento, por exemplo, do espaço vetorial das funções reais. Esquema: construção mental individual que conecta ações e processos, em analogia a conceito imagem.

25 O que há de comum entre as visões operacional (processo) e estrutural (objeto) de um conceito? Resposta dada por Dubinsky: o simbolismo matemático. Proceito: amálgama entre processo e objeto. Exemplo: a simbologia representa, ao mesmo tempo, o processo de adição como também o objeto soma (o resultado da operação). Gray e Tall (1994): um proceito elementar é um processo que produz um objeto matemático e um símbolo que representa tanto processo quando objeto. Um proceito consiste de uma coleção de proceitos elementares que tem o mesmo objeto.

26 Outra definição: um proceito é um constructo cognitivo no qual o símbolo age como um elemento pivô, mudando o foco no processo de calcular e manipular para um conceito que pode ser pensado como uma entidade manipulável.

27 Tall et al. (2001, p. 97): O movimento da matemática elementar para a matemática avançada requer uma reconstrução significante no pensamento.... um redirecionamento completo no foco da existência de objetos e símbolos percebidos representando ações em objetos para novas teorias baseadas nas propriedades específicas de estruturas matemáticas definidas anteriormente... Imagens são úteis, até mesmo são essenciais, para sugerir que tipos de definições serão mais úteis ou quais teoremas provas. Contudo, a qualidade essencial que faz o pensamento matemático avançado diferente da matemática elementar é a introdução de definições e provas formais.

28 Misfeldt (2003): cinco funções da escrita na prática dos matemáticos, a saber, (1) para experimentar com ideias e ver conexões, frequentemente em uma escrita não linear usando principalmente notação simbólica; (2) para investigar mais profundamente e precisamente de modo linear para verificar detalhes usando uma combinação de linguagem natural e notação simbólica; (3) para registrar informação e ideias linearmente em um documento para acesso posterior; (4) para comunicar ideias desenvolvidas com colegas; (5) para produzir um artigo final para publicação.

29 Schoenfeld e sua estrutura para a resolução de problemas (1985): (a) recursos (habilidades, intuições, fatos e procedimentos sobre o domínio do problema); (b) heurística (desenhar figuras, introduzir notação, reformular o problema, pensar de trás para frente); (c) controle (atos metacognitivos como planejamento, monitoramento e avaliação de progresso); (d) sistemas de crenças (sobre si, sobre o tópico e a matemática que influencia o comportamento).

30 Outra estrutura para a resolução de problemas: (a) orientação (dar sentido, organizar, construir uma representação pessoal do problema); (b) planejamento (conjecturar, imaginar, avaliar); (c) executar (construir, calcular); (d) checar (verificar, tomar decisões).

31 RESUMO ANALÍTICO 6. DESCRIÇÃO DO TRABALHO: A descrição deve ser impessoal. O relator deve fazer uma síntese objetiva e descritiva, evitando emitir comentários pessoais. Dez linhas no máximo. 7. OBJETIVOS DO TRABALHO: Cinco linhas no máximo, preferivelmente começando com um verbo. 10. CONCLUSÕES DO AUTOR: Dez linhas no máximo. Deve-se relatar de forma objetiva e imparcial as conclusões do autor.

32 RESUMO ANALÍTICO 11. COMENTÁRIOS DO RELATOR: Essencialmente, uma opinião crítica sobre o trabalho. Agora é a hora de expressar a sua opinião. Inclua pontos de concordância e discordância! Indique também se o texto que você analisou trouxe algum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prática ou atitude como professor em sala de aula. Mínimo de dez linhas.

33 RESUMO ANALÍTICO: A CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO AVANÇADO: O CASO DO CONCEITO DE SUCESSÃO por António Domingos

34 OBSERVAÇÕES E DESDOBRAMENTOS

35 Na construção do pensamento matemático avançado, as definições surgem como a primeira ferramenta disponível para a sua construção. Pressupostos usados por muitos autores e livros: Os conceitos são principalmente adquiridos por meio das suas definições. Os alunos devem usar as definições para resolver problemas e provar teoremas quando necessário do ponto de vista matemático. Definições devem ser mínimas, isto é, não devem conter partes que podem ser inferidas de outras partes de definições. É desejável que as definições sejam elegantes, é o caso da definição de módulo de x que fica mais elegante se se representar por x. Definições são arbitrárias. Definir corresponde a dar um nome e podem ser feitas várias formulações.

36 Na procura de uma abordagem que melhor possa traduzir a forma como estes conceitos devem ser investigados, Vinner recorre às noções de conceito imagem e de conceito definição. O termo conceito imagem é assim usado para descrever a estrutura cognitiva total que é associada ao conceito e que inclui todas as imagens mentais, propriedades que lhe estão associadas e processos. Ele é construído ao longo dos anos através de experiências de todas as espécies, mudando quando os indivíduos são confrontados com novos estímulos. Por conceito definição entende-se a definição verbal que explica o conceito de modo exato e de uma forma não circular (Vinner, 1983).

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42 Recomendações didáticas de Vienner (1991): evitar, aos alunos, conflitos cognitivosdesnecessários; iniciar os conflitos cognitivos apenas quando for necessário motivar os alunos para um estado intelectual mais elevado. A importância do simbolismo na transição do pensamento processual para o pensamento conceptual:

43 O papel dos símbolos: de uma forma simples eles servem de conexão entre pensar o símbolo como um conceito (como um número) ou como um processo (como contar). Isto permite-nos pensar sobre os símbolos como entidades manipuláveis para fazer Matemática.

44 Proceito (procept): conjunto de conceito e processo representados pelo mesmo símbolo. Um proceito elementar será pois uma amálgama de três componentes: um processo que produz um objeto matemático, e um símbolo que representa ao mesmo tempo o processo e o objeto. Extensão da definição: Um proceito consiste numa coleção de proceitos elementares que têm o mesmo objeto.

45 Teoria APOS (Action-Process-Object-Schema): As ações são transformações mentais ou físicas de objetos para obter outros objetos. Quando o indivíduo reflete sobre uma ação deve começar a estabelecer um controle consciente sobre ela, podendo dizer-se que a ação foi interiorizada e passou a ser um processo. Um processo é a transformação de um objeto (ou objetos) cuja característica importante é o controle da transformação pelo indivíduo, no sentido em que ele é capaz de descrever, ou refletir sobre todos os passos da transformação sem ter que os realizar. Com a reflexão do indivíduo sobre o ato de transformar processos, estes começam a tornar-se objetos. Um objeto é construído através do capsular (encapsulation) de um processo. Esta capsulação é alcançada quando o indivíduo está atento à totalidade do processo, percebe que transformações podem agir sobre ele e é capaz de construir tais transformações. Os objetos podem ser descapsulados para obter os processos dos quais eles provêm. Um esquema é uma coleção coerente de ações, processos, objetos e outros esquemas que estão de alguma forma ligados e permitem suportar a resolução de um dado problema. A expansão dos esquemas pode ser representada por uma espiral de ações, processos e objetos.

46 Segundo Dubinsky (1991), a Teoria APOS serve não só para descrever a construção dos vários conceitos matemáticos como pode sugerir explicações de algumas das dificuldades que os alunos têm com muitos destes conceitos ou mesmo influenciar na elaboração dos currículos. Decomposição genética: os esquemas são decompostos em termos de ações, processos e objetos, com o objetivo de confrontar o aluno com o ciclo da teoria descrito acima e assim melhorar a compreensão do conceito.

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48 RESUMO ANALÍTICO 6. DESCRIÇÃO DO TRABALHO: A descrição deve ser impessoal. O relator deve fazer uma síntese objetiva e descritiva, evitando emitir comentários pessoais. Dez linhas no máximo. 7. OBJETIVOS DO TRABALHO: Cinco linhas no máximo, preferivelmente começando com um verbo. 10. CONCLUSÕES DO AUTOR: Dez linhas no máximo. Deve-se relatar de forma objetiva e imparcial as conclusões do autor.

49 RESUMO ANALÍTICO 11. COMENTÁRIOS DO RELATOR: Essencialmente, uma opinião crítica sobre o trabalho. Agora é a hora de expressar a sua opinião. Inclua pontos de concordância e discordância! Indique também se o texto que você analisou trouxe algum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prática ou atitude como professor em sala de aula. Mínimo de dez linhas.