Influências do Fenômeno de Congruência e Não-Congruência para a Compreensão dos Objetos Matemáticos em Atividades de Modelagem Matemática: um estudo

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1 Influências do Fenômeno de Congruência e Não-Congruência para a Compreensão dos Objetos Matemáticos em Atividades de Modelagem Matemática: um estudo Mestranda: Claudia Carreira da Rosa 1 Orientadora: Prof. Dra. Lourdes Maria Werle de Almeida 2 Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual de Londrina UEL Resumo Nessa pesquisa, que constitui um trabalho em andamento, vamos analisar os Registros de Representação Semiótica que emergem em atividades de Modelagem Matemática, visando a atividade de conversão dos mesmos e o fenômeno de congruência dessas conversões. Logo, o objetivo principal dessa pesquisa é verificar se o fato das conversões realizadas nas atividades de Modelagem Matemática ser congruentes ou não influencia na apreensão do objeto matemático em estudo. Para isso usaremos como referencial teórico Modelagem Matemática e a teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval. Palavras-chave: Registros de Representação Semiótica. Modelagem Matemática. 1-Fundamentação teórica 1.1 Registros de Representação Semiótica A aprendizagem é um processo que depende de muitos fatores, dentre os quais, a relação interacionista entre estudantes, estudante e professor, estudante e o meio e entre estudantes e as ferramentas às quais os mesmos têm acesso. Entre essas ferramentas podemos tomar como exemplo os sistemas de representação externa, a escrita em língua natural, a escrita dos números e as representações gráficas. Diversas pesquisas relativas à avaliações internas e externas à escola, mostram que os estudantes apresentam baixo desempenho em matemática, (Amorim 1991, Turra 1985, Soares 2004). Inúmeras são as razões que contribuem para esse baixo desempenho, dentre elas, Duval (2003) destaca a dificuldade que os estudantes têm em diferenciar o objeto matemático estudado da representação que o torna acessível. 1 claudiacarreiradarosa@gmail.com 2 lourdes@uel.com.br

2 Neste sentido também Fonte (2005), argumenta que [...] compreender ou saber um objeto matemático consiste em ser capaz de reconhecer suas propriedades e representações características, relaciona-los com os restantes objetos matemáticos e usar esse objeto em toda a variedade de situações problemáticas prototípicas que lhes são propostas em aula. Deste ponto de vista a compreensão alcançada por um sujeito em um momento dado dificilmente será total ou nula, mas será parcial e progressiva (Apud, VERTUAN, 2007, p.18). Para que um estudante possa perceber e reconhecer um objeto matemático, ele precisa recorrer a uma representação desse objeto. A representação exprime idéias para que o indivíduo consiga ter atitudes representativas, ou seja, representa-se para tornar algo presente. Damm (1999) coloca que [...] não existe conhecimento matemático que possa ser mobilizado por uma pessoa, sem o auxílio de uma representação (p.137). Duval (2004) considera que existem três tipos de representações: as mentais, que são as concepções que uma pessoa pode ter sobre um objeto ou sobre uma situação; as representações internas ou computacionais, caracterizadas pela execução automática de uma tarefa; as representações semióticas, que são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento. Esse sistema de representação permite preencher as funções cognitivas de comunicação, objetivação e tratamento que são fundamentais para o funcionamento cognitivo. O acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações semióticas, que são externas e conscientes do indivíduo. O termo Registro de Representação Semiótica é usado para indicar diferentes tipos de representação, como por exemplo escrita em língua natural, escrita algébrica, tabelas, gráficos cartesianos e figuras. Segundo Duval (2003), os registros de representação semiótica são caracterizados por três atividades cognitivas: a primeira é a formação de uma representação identificável, ou seja, quando é possível reconhecer nesta representação aquilo que ela representa, dentro de um sistema de signos estabelecido socialmente; a segunda é o tratamento, que é uma transformação que se efetua no interior de um mesmo sistema de registros 3, como por exemplo, resolver um sistema de equações; a terceira é a conversão, que é a transformação da representação de um objeto matemático em uma outra representação deste mesmo 3 Utilizaremos o termo registro com o mesmo significado de Registro de Representação Semiótica

3 objeto em outro registro. Para Duval (2004) [...] as conversões são transformações de representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma função à sua representação gráfica (p.16). Para Damm (1999), A conversão é um passo fundamental no trabalho com representações semióticas, pois a transformação de um registro em outro, conservando a totalidade ou uma parte do objeto matemático que está sendo representado, não pode ser confundida com o tratamento. O tratamento é interno ao registro, já a conversão se dá entre os registros, ou seja, é exterior ao registro de partida ( p.147). Segundo Duval (2004), na resolução de um problema, um registro pode aparecer mais privilegiado do que o outro, mas o importante, é existir a possibilidade de mobilizar ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou a possibilidade de trocar constantemente de registro e enxergar nos diferentes registros o mesmo objeto matemático representado, ou seja, ter a coordenação entre os registros. Para o auator é a articulação e a coordenação de pelo menos dois registros que constitui uma condição de acesso a compreensão em matemática. Geralmente, considera-se a conversão uma operação simples, cuja finalidade consiste em encontrar um registro no qual o tratamento seja mais econômico. No entanto, de modo geral isso não acontece. Para realização de conversões é necessário fazer articulações entre as variáveis cognitivas que podem ser específicas do funcionamento de cada um dos sistemas de registros. São essas variáveis que permitem determinar quais as unidades de significado pertinentes que devem ser levadas em consideração em cada um deles. Para Duval (2004), um fenômeno relacionado com as dificuldades da realização de conversões, diz respeito à congruência ou não-congruência dessas conversões. Assim, as conversões podem ser mais ou menos complexas, dependendo desse fenômeno. Segundo o autor, para analisar a atividade de conversão é necessário comparar a representação no registro de partida com a representação no registro de chegada. Duas situações podem ocorrer: a representação de chegada deixa transparecer a representação de saída e a conversão está próxima de uma simples codificação, que denominamos conversão congruente; ou a representação de chegada não transparece absolutamente a representação

4 de saída, neste caso denominamos conversão de não-congruente. Para verificar o fenômeno de congruência Duval (2004) dispõe de três critérios: 1. correspondência semântica entre os elementos significantes, ou seja, correspondência uma a uma, para cada elemento simples no registro de saída tem um elemento simples correspondente no registro de chegada. 2. unicidade semântica terminal, cada unidade significante no registro de saída tem uma única unidade significante no registro de chegada. 3. ordem que compõe cada uma das representações. (Diz respeito à forma de apresentação de cada uma das representações) Existem muitos fatores que influenciam congruência ou a não-congruência de uma conversão, além disso, é possível falar em grau de congruência de uma conversão. Um desses fatores consiste na natureza do registro. Neste contexto, Duval (2003), classifica os registros em multifuncionais e monofuncionais e as representações em discursiva e não-discursiva. Esses registros são caracterizados pela sua forma de tratamento, os monofuncionais possuem tratamentos algoritimizáveis, enquanto os multifuncionais não. Por exemplo, escrita em língua natural é um registro multifuncional de representação não-discursiva e uma fração é um registro monofuncional de representação discursiva. Nossa pesquisa pretende investigar as conversões realizadas por estudantes em registros obtidos no âmbito das aulas de matemática. Para tanto, precisamos colocar para os mesmos, situações ricas em registros, de forma a propiciar a eles a possibilidade da realização de conversões. Para isso utilizaremos Modelagem Matemática como uma alternativa pedagógica. 1.2 Modelagem Matemática na Educação Matemática A modelagem matemática tem sido apontada por diversos educadores matemáticos como uma alternativa pedagógica que visa relacionar matemática escolar com questões extra-matemáticas, configurando uma atividade que se desenvolve segundo um esquema - um ciclo de modelagem - na qual a escolha do problema a ser investigado tem a participação direta dos sujeitos envolvidos. Neste trabalho, assumimos o entendimento de modelagem já apresentado em Almeida e Brito (2005), como sendo uma alternativa

5 pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de um problema não essencialmente matemático. São muitos os pesquisadores e educadores matemáticos que defendem a incorporação de atividades de modelagem matemática às aulas. Uma hipótese subjacente à proposta de modelagem na Educação Matemática é que a abordagem de questões reais, oriundas do âmbito de interesses dos alunos, pode motivar e apoiar a compreensão de métodos e conteúdos da matemática escolar, promovendo a construção de conhecimentos (Almeida e Brito 2005) bem como pode servir para mostrar aplicações da matemática em outras áreas de conhecimento. De modo geral, as atividades de Modelagem Matemática envolvem várias etapas. A primeira começa quando o indivíduo se depara com uma situação-problema que deseja investigar. Depois, segue a identificação das características e variáveis que influenciam diretamente no problema, é a segunda etapa, a de simplificação de variáveis. Após, vem a etapa onde são introduzidos os conceitos matemáticos formais e as notações, esta etapa é a etapa de abstração, que envolve a seleção dos objetos matemáticos necessários para representar a situação em estudo. A próxima etapa envolve a manipulação com as representações dos objetos matemáticos a fim de se obter um modelo. Finalmente, a última etapa é a validação do modelo e interpretação da resposta encontrada, levando em consideração a situação-problema inicial. Para Bassanezi (2002), mais importante que a resposta para o problema e o modelo matemático, são as discussões realizadas no decorrer do desenvolvimento da atividade, tanto sobre os objetos matemáticos quanto sobre a situação real em si. As atividades de Modelagem Matemática podem ser introduzidas às aulas de matemática usando os três momentos propostos por Almeida & Dias (2004) e Barbosa (2003): Em um primeiro momento o professor desenvolve com os estudantes um trabalho de Modelagem Matemática já estruturado, cabe aos estudantes a resolução do problema e o professor orientar o trabalho de resolução. No segundo momento o professor traz para sala de aula uma situação-problema já estruturada no contexto não matemático e informações sobre a mesma. Neste caso cabe aos estudantes, em grupo, a seleção das variáveis, a formulação das hipóteses, a dedução do modelo, a validação e a interpretação das respostas encontradas diante da situação real e ao professor colaborar com trabalho.

6 No terceiro momento, também em grupos, os estudantes desenvolvem uma atividade de Modelagem Matemática desde a escolha do problema até a obtenção de uma resposta para o mesmo. O professor atua como colaborador do trabalho. Assim, segundo Almeida e Dias (2004), [...] na medida em que o aluno vai realizando as atividades nos diferentes momentos [...] a sua compreensão acerca do processo de Modelagem, da resolução dos problemas em estudo e da reflexão sobre as soluções encontradas vai se consolidando (p.26). Na literatura encontramos diferentes perspectivas para Modelagem Matemática, mas é consenso de que as atividades de Modelagem Matemática podem trazer contribuições para os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática. Kaiser e Sriraman (2006) sistematizam cinco perspectivas para o desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática na sala de aula, a perspectiva realística, a epistemológica, a educacional, a sócio-crítica e a contextual. Nossa pesquisa aborda a perspectiva educacional, que integra situações-problema autênticas nas aulas de matemática com a finalidade de desenvolver os conteúdos curriculares. Ao desenvolver atividades de Modelagem Matemática em um curso com alunos do 1º ano de Matemática, Vertuan (2007), percebeu que diferentes registros associados a um objeto matemático tornam-se presentes em atividades de Modelagem Matemática, além de possibilitar o tratamento, a conversão e a coordenação entre os registros. A partir destes resultados, nossa pesquisa se encaminha no sentido de buscar novas relações entre modelagem matemática e o uso de registros de representação semiótica. 2-Problemática da pesquisa Levando em consideração que, ao se envolver com atividades de modelagem matemática o aluno tem a oportunidade deter acesso e fazer uso de diferentes registros de representação semiótica associados a um objeto matemático, nossa pesquisa pretende investigar como os estudantes lidam com a congruência e a não-congruência das conversões de registros de objetos matemáticos que emergem nestas atividades. Pretendemos investigar se o fenômeno de congruência e o grau de congruência das conversões influenciam na compreensão do objeto matemático.

7 3. Metodologia da pesquisa A natureza da metodologia adotada para esta pesquisa pode ser caracterizada como qualitativa, pois enfatiza o processo das atividades e o produto das mesmas sendo que o pesquisador é um observador direto da realidade pesquisada. Os dados para o desenvolvimento da nossa pesquisa estão sendo coletados durante o desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática com uma turma de estudantes do primeiro ano do Ensino Médio em horário normal de aula em um colégio público no interior do Paraná. O envolvimento dos estudantes com as atividades de Modelagem Matemática, segue as etapas e os três momentos conforme descrevemos na seção anterior deste texto. Para registrar as observações da coleta de dados, usamos filmadora e gravadores. Além disso, a partir da observação direta dos alunos, um diário de campo rigoroso é preenchido durante as aulas. Também formam um material rico em dados para análise as anotações e os registros dos alunos durante o desenvolvimento das atividades, os quais estão sendo recolhidos em cada aula. Os dados serão analisados à luz da Teoria dos Registros de Representação de Raymond Duval. Categorias de irão se formando na medida em que os dados forem sendo analisados. 4. Referências bibliográficas ALMEIDA, L. M. W. Modelagem Matemática em sala de aula: em direção à educação matemática crítica. In: Conferência Nacional de Modelagem e Educação Matemática, 3. Piracicaba SP. Anais... Piracicaba, ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, ano 17, n. 22, p.19 35, AMORIM, A. Avaliação Institucional da Universidade, Cortez, 1991 BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, BORSSOI, A. H. A aprendizagem significativa em atividades de Modelagem Matemática como estratégia de ensino Dissertação (Mestrado) Ensino de Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina.

8 BRITO, D. S. Atribuição de sentido e construção de significados em situações de Modelagem Matemática Dissertação (Mestrado) Ensino de Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina. D AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. 2ª edição.campinas: Papirus, DAMM, R. F. Registro de Representação. In: MACHADO, Sílvia Dias Alcântara et al. Educação Matemática: Uma introdução. São Paulo, Educ, 1999, p DUVAL, R. Registros de Representação Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D.A. Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas, SP: Papirus, 2003, p DUVAL, R. Semiosis y pensamiento humano: registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Tradução de Myriam Veja Restrepo. Colômbia: Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogi, Grupo de Educacion Matemática, KAISER, G.; SRIRAMAN, H. B. A global survey of international perspectives on modelling in mathematics education. Zentralblatt Fur Didaktik der Mathematik, v. 38, n.3, p SOARES, J.F. Reice, Revista Electronica Iberoamericana, SILVA, A. G. O. Modelagem Matemática: Uma perspectiva voltada para a Educação Matemática Crítica Dissertação (Mestrado) Ensino de Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina. TURRA, P. RIBEIRO, N.P. Planejamento de Ensino e Avaliação. Emma, VERTUAN, R. E. Um olhar sobre a Modelagem Matemática à luz da Teoria dos Registros de Representação Semiótica Dissertação (Mestrado) Ensino de Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual de Londrina, Londrina.