Mestranda: Karina Alessandra Pessôa da Silva 1. Orientadora: Profª. Dra. Lourdes Maria Werle de Almeida 2

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1 Os Fenômenos de Congruência e Não-Congruência em Conversões entre Registros de Representação que Emergem em Atividades de Modelagem Matemática: um estudo Mestranda: Karina Alessandra Pessôa da Silva 1 Orientadora: Profª. Dra. Lourdes Maria Werle de Almeida 2 Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática, Universidade Estadual de Londrina UEL Resumo Para que ocorra a compreensão do objeto matemático que se está estudando é necessário, segundo Raymond Duval, a coordenação entre seus diferentes Registros de Representação. Nessa pesquisa estamos interessados em analisar atividades de Modelagem Matemática em que se faz presente o uso de diferentes registros de um mesmo objeto matemático e perceber que a complementaridade entre eles é essencial para que ocorra o entendimento do objeto matemático estudado. Além disso, levando em conta o fenômeno de congruência na conversão de um registro para outro, estamos percebendo a relação de sucessos e fracassos no desenvolvimento de conteúdos em atividades de modelagem 3. Deste modo, buscamos analisar atividades que fazem parte da literatura para perceber a existência ou não de incoerências entre o problema abordado e o modelo obtido e entre os diferentes registros de representação apresentados. A metodologia para a análise das atividades é baseada na Grounded Theory. Palavras-chave: Modelagem Matemática. Registros de Representação Semiótica. Grounded Theory. Fundamentação teórica e problemática da pesquisa Em função do desenvolvimento tecnológico pelo qual a sociedade passa, muitas decisões são subsidiadas por ferramentas oriundas da Matemática. Isso nos encaminha a reconhecer que a Matemática desempenha um papel fundamental, pois em muitas situações, ela se coloca como pano de fundo para o estudo de conteúdos matemáticos e extra-matemáticos. No âmbito da Educação Matemática, as pesquisas que tratam do papel da Matemática na sociedade, das relações da Matemática com a realidade e influências que estas relações exercem sobre o ensino e a aprendizagem têm crescido nas últimas décadas. Segundo Davis e Hersh (1998) para as aulas de Matemática é importante manter 1 karinapessoa@gmail.com 2 lourdes@uel.br 3 Em alguns momentos utilizaremos o termo modelagem para nos referirmos à Modelagem Matemática.

2 2 estas relações, pois [...] a Matemática provém da conexão da mente com o mundo externo... (p. 293). Uma forma de buscar interações com os conteúdos extra-matemáticos é estudar problemas baseados em situações da realidade. A Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica que possibilita relacionar a Matemática com essas situações. Existem investigações que tratam a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o estudo da Matemática. Almeida (2003), Borssoi (2003), Ferruzzi (2003), Brito (2003), Almeida & Dias (2003), Lesh & Doerr (2003), Mass (2006), Doerr (2006), Kaiser & Sriraman (2006), Ferri (2006), Lingefjärd (2006), Vertuan (2007), Santos (2008) são algumas dessas referências. A comunidade de Educação Matemática tem valorizado amplamente o trabalho de investigação (BORBA & PENTEADO, 2003). Contudo, há que se considerar que essa investigação esteja articulada com temas mais amplos, e não apenas numa perspectiva internalista da matemática (BORBA & PENTEADO, 2003, p. 41). A Modelagem Matemática apresenta-se como uma alternativa pedagógica adequada a esse fim. A modelagem, possibilita a oportunidade de a partir de um tema escolhido, desenvolver um trabalho de investigação. Outros aspectos ainda justificam o trabalho com a modelagem. um aspecto essencial da atividade matemática consiste em construir um modelo (matemático) da realidade que queremos estudar, trabalhar com tal modelo e interpretar os resultados obtidos nesse trabalho, para responder as questões inicialmente apresentadas. Grande parte da atividade matemática pode ser identificada, portanto, com uma atividade de modelagem matemática (CHEVALLARD et al. 2001, p. 50). aprendizagem, segundo Bassanezi, Utilizar Modelagem Matemática como estratégia de ensino e [...] motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transformá-la. Nesse sentido, é também um método científico que ajuda a preparar o indivíduo para assumir seu papel de cidadão [...] (2002, p. 17). Ao desenvolver atividades de Modelagem Matemática em um curso com

3 3 alunos do 1º ano de Matemática, Vertuan (2007), percebeu que a utilização de diferentes registros de representação pode proporcionar a aprendizagem em Matemática. A pesquisa desenvolvida por Vertuan (2007) aponta que diferentes registros 4 associados a um objeto matemático tornam-se presentes em atividades de Modelagem Matemática, além de possibilitar o tratamento, a conversão e a coordenação entre os registros. Em Matemática, a comunicação é feita basicamente por meio de representações. Para ensinar conceitos, propriedades, estruturas e relações advindas dos objetos matemáticos, o professor precisa levar em consideração as diferentes formas de representação desse objeto. O que se estuda e se ensina são as representações dos objetos matemáticos e não os próprios objetos. Damm considera que a Matemática [...] trabalha com objetos abstratos. Ou seja, os objetos matemáticos não são diretamente acessíveis à percepção, necessitando para sua apreensão o uso de uma representação. Neste caso as representações através de símbolos, signos, códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos são bastante significativas, pois permitem a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do pensamento, permitindo registros de representação diferentes de um mesmo objeto matemático. Por exemplo, a função pode ser representada através da expressão algébrica, tabelas e/ou gráficos que são diferentes registros de representação (1999, p. 137). Para Duval (2003), o acesso aos objetos matemáticos passa necessariamente por representações semióticas. As representações semióticas são externas e conscientes da pessoa. Elas realizam uma função de tratamento intencional, fundamental para a aprendizagem humana. As representações semióticas desempenham o papel de comunicar, exteriorizar as representações mentais, a fim de torná-las acessíveis às outras pessoas. Segundo Duval (1993, apud DOMINONI, 2005), um sistema de representação semiótico é considerado um registro de representação quando ele permite três atividades cognitivas: a formação de uma representação identificável; o tratamento de um registro de representação; a conversão de um registro de representação. Para que uma representação seja identificável é necessário, a partir de 4 Quando utilizarmos o termo registros estaremos nos referindo aos registros de representação semiótica.

4 4 um registro de representação, saber qual é o objeto matemático que está sendo representado. Os tratamentos ocorrem quando há transformações de representações dentro de um mesmo registro. As conversões são transformações de representações onde há mudanças de registros conservando os objetos estudados. É importante transitar entre os diferentes tipos de representação, fazendo a conversão de um registro para outro. Para Duval (2003), [...] do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão que, ao contrário, aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão (p. 16). A análise da atividade de conversão envolve a comparação da representação no registro de partida com a representação no registro de chegada e isso envolve dois fenômenos o da congruência e o da não-congruência. Para verificar o fenômeno de congruência três critérios são utilizados (DUVAL, 2004). 1. Correspondência semântica entre os elementos significantes: correspondência uma a uma, para cada elemento simples no registro de saída, um elemento simples correspondente no registro de chegada. 2. Unicidade semântica terminal: cada unidade significante no registro de saída tem uma única unidade significante no registro de chegada. 3. Ordem que compõe cada uma das representações: diz respeito à forma de apresentação de cada uma das representações. Critério importante para comparar frases e fórmulas literais. As representações são congruentes quando há correspondência semântica entre suas unidades significantes, unicidade semântica terminal e a mesma ordem de apreensão. Caso contrário são ditas não-congruentes. Silva & Barolli (2006), fundamentadas em Duval, consideram que existe congruência na conversão quando a representação terminal (no registro de chegada) transparece na representação de saída (enunciado) e assemelha-se a uma situação de simples codificação. E consideram que se a representação terminal não transparece absolutamente a representação de saída, então há uma não-congruência na conversão. A dificuldade da conversão de um registro de representação para outro está relacionada com o grau de congruência entre o registro de saída e o registro de

5 5 chegada. Segundo Duval (2004), esse argumento é evidenciado em algumas situações: quando o registro de saída é estritamente congruente com as igualdades aritméticas, os problemas são rapidamente resolvidos pelos alunos; quando diminui o grau de congruência entre os registros, a taxa de êxito dos alunos também diminui e está relacionada com os balanços respectivos de cada um dos três critérios de congruência. Além disso, as dificuldades que se têm pela não-congruência da conversão, podem se agravar com o desconhecimento dos registros de representação. Segundo Duval (2003), para que ocorra a conceitualização do objeto matemático em estudo, além de se realizar conversões de um registro para outro, é necessário que exista uma coordenação entre os registros, ou seja, é preciso compreender que os diferentes registros referem-se ao mesmo objeto matemático e podem se complementar no sentido de que um registro pode expressar características ou propriedades do objeto matemático que não são expressas com clareza em outro registro. Como bem salienta Dominoni (2005), sendo parcial, um registro pode complementar o outro. No entanto, é preciso relacionar os diferentes registros de representação, com suas próprias especificidades para que se possa conceitualizar o objeto matemático. Segundo Giraldo e Carvalho (2002), dependendo do intervalo estabelecido para a construção de uma representação gráfica de uma função, pode ser que o objeto matemático relacionado não seja bem evidenciado necessitando para isso de uma conexão entre pelo menos dois registros de representação. Esses autores abordam também as limitações que programas computacionais podem apresentar quando se pede para construir o gráfico de uma função, por exemplo, e se desconhece o objeto matemático estudado. [...] Cada janela gráfica observada fornece um tipo específico de informação sobre a função em questão. A compreensão do comportamento global da função se desenvolverá a partir da conexão entre gráfico e fórmula, em conjunto com a correlação entre estas diferentes informações, e da crítica aos erros e limitações do programa. Neste processo, são evidenciadas propriedades qualitativas, através da conexão entre gráfico e fórmula (GIRALDO & CARVALHO, 2002, p. 116).

6 6 Para Damm (1999), a complementaridade de registros surge diante da existência de limitações representativas específicas a cada registro para expressar idéias e para promover interpretações acerca da situação investigada. Neste contexto, a problemática que estamos investigando nessa pesquisa diz respeito a observar nos diferentes registros de representação dos objetos matemáticos que emergem em atividades de Modelagem Matemática: o fenômeno de congruência e sua relação com a caracterização do objeto matemático; a existência de congruência ou não-congruência nas conversões entre os registros como são colocados nas diferentes etapas da atividade de Modelagem Matemática; a complementaridade entre os registros de representação semiótica e sua influência sobre o problema matemático em estudo na atividade de Modelagem Matemática. Dessa forma, a estruturação da nossa pesquisa está fundamentada nos pressupostos teóricos da teoria dos Registros de Representação Semiótica, abordados no contexto relativo à atividades de Modelagem Matemática desenvolvidas na literatura. Metodologia do estudo Para o desenvolvimento da nossa pesquisa, buscamos na literatura atividades de Modelagem Matemática que possibilitam o uso de diferentes registros de representação. A escolha das atividades pertencentes ao estudo não seguiu critérios rigorosos. O critério de seleção está vinculado ao uso de diferentes registros de representação de diversos conteúdos matemáticos. O desenvolvimento de nossa investigação conta com a seleção de 15 atividades de Modelagem Matemática presentes em diferentes trabalhos. Das 15 atividades selecionadas, duas abordam conteúdos do Ensino Fundamental e Médio e, o restante, conteúdos do Ensino Superior. Trata-se de uma pesquisa teórica, cujo foco da análise é o fenômeno de

7 7 congruência das conversões entre os registros de representação em atividades de Modelagem Matemática. Nesse contexto, podemos perceber se possíveis limitações que diferentes registros podem apresentar em relação à características e propriedades do objeto e sua relação com o problema em estudo. Os instrumentos adotados para a obtenção de informações seguem tendências da pesquisa predominantemente qualitativa, cuja preocupação incide mais no processo do que no produto, e as análises baseiam-se nas indicações de Kathy Charmaz (2006) que aborda a Grounded Theory. A grounded theory é uma metodologia para se desenvolver teoria fundamentada em dados que são sistematicamente coletados e analisados. De modo geral, essa metodologia segue um processo em que se define a questão da pesquisa, os elementos de estudo e se desenvolve o trabalho baseado em comparações contínuas e sucessivas. Segundo Bianchi & Ikeda (2006) para a definição da questão de pesquisa é preciso formular questões abertas que induzam a análise dos dados com certo rigor que se faz necessário no uso deste método. No entanto, ao longo da pesquisa novas questões podem surgir para suprir a evolução e até mesmo a configuração do problema. A definição dos elementos de estudo, tratada na grounded theory como Theoretical Sampling corresponde ao que Bianchi e Ikeda (2006) denominaram como um subgrupo de dados que representa o principal interesse de estudo. Intencionalmente é formado um grupo foco para realizar o estudo e, ao longo do trabalho, o grupo se torna teórico à medida que suporta a criação de hipóteses e desenvolve teorias. O grupo foco pode se ajustar intencionalmente ao longo do processo. Isso pode acontecer com o surgimento e incorporação de novos grupos ao processo. Em nosso estudo, o theoretical sampling são as atividades de modelagem selecionadas para a análise. Para a realização do trabalho é preciso desmembrar, analisar e comparar os dados coletados. No uso da grounded theory, uma boa maneira de entender o processo de comparação e obtenção da teoria está no procedimento descrito em Charmaz (2006, p. 57) no qual os dados são codificados em etapas: codificação aberta, codificação axial e codificação seletiva. A codificação aberta é a primeira etapa do processo de análise de dados. Nela todo o trabalho é analisado e são selecionadas palavras-chave que geram conceitos.

8 8 Esses conceitos são abstraídos pelo pesquisador. A codificação axial é a etapa seguinte do processo. Ela é necessária devido à existência do grande volume de conceitos originários da etapa anterior. Nessa etapa analisam-se os conceitos selecionados, faz-se uma reorganização de tais conceitos e destes extrai-se uma idéia central e suas subordinações. Com esta etapa, deduz-se codificação e busca-se validar ou não o processo. A etapa final corresponde a codificação seletiva que na grounded theory recebe o nome de core categorization. Nesta etapa, faz-se uma revisão e avaliação das categorias, na qual o processo é validado e assume-se um compromisso com a categoria central definida na codificação axial. A grounded theory é uma metodologia que parece adequada ao nosso estudo, levando em consideração o fenômeno de congruência na conversão dos registros em atividades de Modelagem Matemática. Referências bibliográficas ALMEIDA, L. M. W. Modelagem Matemática em sala de aula: em direção à educação matemática crítica. In: Conferência Nacional de Modelagem e Educação Matemática, 3., Piracicaba SP. Anais... Piracicaba, ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. Bolema, ano 17, n. 22, p , BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, BIANCHI, E. M. P. G.; IKEDA, A. Analisando a grounded theory em administração. In: Seminários em Administração FEA USP, 9., São Paulo. Anais eletrônicos... São Paulo, BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2003.

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