MATEMÁTICA DINÂMICA: UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO DE FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA A PARTIR DE SITUAÇÕES GEOMÉTRICAS

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1 MATEMÁTICA DINÂMICA: UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO DE FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA A PARTIR DE SITUAÇÕES GEOMÉTRICAS

2 Motivação para o trabalho Na escola há uma forte preocupação com o formal em detrimento da utilização da intuição. Os alunos veem nas diferentes representações de função objetos matemáticos distintos e não diferentes modos de representar o mesmo objeto. O interesse pelo assunto decorre de minha experiência como professora de Ensino Médio ao ensinar o conteúdo funções. A minha maior motivação foi o desafio em aprender a criar situações favoráveis à aprendizagem do conceito de

3 A questão de Pesquisa De que forma as articulações entre os diferentes registros de representação semiótica, aliadas a situações geométricas e a software de matemática dinâmica, podem facilitar o processo de aprendizagem das funções afim e quadrática?

4 De que forma desenvolveram esquemas de uso do software para produzir as articulações de tratamento e conversões entre os diferentes registros. Metodologia Análises prévias de Pesquisa -inspirada na Engenharia Didática Considerações sobre o tópico de interesse: funções. Aspectos teóricos : registros de representação e matemática dinâmica. Concepção e análise a priori do experimento A construção da sequência didática. As antecipações quanto as aprendizagens dos alunos Realização do experimento e análise a posteriori Aplicação da sequência didática. Análise de como os alunos lidaram com os registros numérico, algébrico e geométrico.

5 Análises Prévias: o tópico de interesse A evolução do conceito de função Os documentos oficiais (PCNEM,PCN+EM, OCEM) Os livros didáticos Dificuldades de aprendizagem e pesquisas

6 Análises Prévias: o tópico de interesse Sobre as dificuldades de aprendizagem Oliveira (1997), Kieran (1992),Rezende (2003) e Araújo (2002) Confundem função com equação Incompreensão de variáveis Dificuldade na articulação entre os registros de representação

7 Análises Prévias o tópico de interesse Sobre as pesquisas Maia (2007), Scano (2009) e Menk (2005) uso de recursos tecnológicos articulação de registros gráfico e algébrico explorando as variáveis visuais dos gráficos e os coeficientes da expressão algébrica. trabalhar atividades que envolvam noções ligadas ao conceito, tais como a noção de correspondência, de variável, de dependência, de regularidade e generalização. trabalhar funções em contexto geométrico.

8 Análises Prévias: aspectos teóricos Registros de Representação Semiótica de Duval A Matemática trabalha com objetos abstratos seus conceitos, suas propriedades, suas estruturas, suas relações não são palpáveis, necessitam para sua compreensão do uso de uma representação. Segundo Duval é através dos diferentes registros de representações semióticas e do trânsito entre eles que há compreensão matemática.

9 Análises Prévias: aspectos teóricos Os diferentes registros semióticos de função

10 Análises Prévias: aspectos teóricos

11 Análises Prévias: aspectos teóricos Conversão entre representações -transformação de uma representação que implica na mudança de registro; ou seja, é uma transformação que é exterior ao registro de partida.

12 Quanto ao software de matemática dinâmica GeoGebra: concordamos com Gravina (2001) que são ferramentas que desencadeiam alguma das primeiras ações mentais características do pensar matemático - o estabelecer relações e conjecturar. a dinâmica do ambiente possibilita estudar o comportamento das funções pois permite: a visualização simultânea de diferentes registros de representação de um mesmo objeto. a análise qualitativa das variáveis que estão relacionadas e que são evidenciadas no movimento dinâmico. a obtenção do gráfico antes mesmo de determinar a

13 Concepção e análise a priori do experimento Na realização das atividades a professora atuou como Escolhas didáticas na construção da sequência de atividades Propiciar análise qualitativa da variabilidade em situações geométricas. Utilizar as situações geométricas como um meio para a construção da ideia de variável independente e dependente. Trabalhar com as funções afim e quadrática diferentes representações. em

14 Razões para as escolhas didáticas Concepção e análise a priori do experimento Uma vez que o objetivo do ensino é a aquisição do conhecimento por parte do aluno realizamos um trabalho pedagógico a partir dos registros de representação semiótica que segundo Duval possibilita um real funcionamento cognitivo do aluno. Quanto a matemática dinâmica compreendemos que o seu uso se configura como uma estratégia viável na realização de experiências a partir das quais o aluno pode através do estudo da co-variação compreender uma função através dos padrões de mudança que se verificam em cada uma das variáveis.

15 Concepção e análise a priori do experimento A sequência didática

16 Concepção e análise a priori do experimento A sequência didática

17 Concepção e análise a priori do experimento Etapa 1: trabalho dos alunos Momento 1: interpretar o enunciado do problema, dado na forma de texto; analisar o que é dado e o que é solicitado; fazer um esboço da situação geométrica usando lápis e papel. ØQuer-se aqui provocar a conversão do registro da linguagem natural para o registro geométrico (figura).

18 Concepção e análise a priori do experimento Etapa 1 Momento 2- abrir o arquivo do GeoGebra, com a construção da situação geométrica; usar o dinamismo da figura, para estabelecer relações entre variáveis; comparar com aquelas relações identificadas no Momento 1; construir o gráfico da função dada pelas variáveis da situação geométrica. Perguntas provocativas são colocadas para que o aluno avance na análise qualitativa das relações entre variáveis.

19 Concepção e análise a priori do experimento Etapa 1: trabalho dos alunos Momento 3: obter a lei da função usando linguagem algébrica. Ø Quer-se aqui provocar a conversão do registro geométrico para o algébrico.

20 Concepção e análise a priori do experimento

21 Realização do experimento e análise a posteriori Os participantes 28 alunos do 1º ano do Ensino Médio de escola estadual. turma de perfil heterogêneo no que se refere à formação em matemática. a turma já conhecia o software GeoGebra. segundo semestre de 2013 Procedimentos gerais e coleta de dados

22 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 1- O problema da chapa Metálica Da chapa metálica quadrada ABCD, com área 16m², deseja-se retirar a região triangular IMN, a fim de se obter uma chapa vazada. O corte será feito de modo que o vértice I coincida com o ponto médio do segmento AB, e tal que AM = DN. Onde devemos colocar M, para que o triângulo IMN tenha área mínima?

23 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 1- O problema da chapa Metálica Momento 1:Usando o lápis e o papel, faça um desenho que representa a chapa metálica ABCD e o triângulo IMN. O grupo 5 conseguiu visualizar as variáveis do problema, como vemos na seguinte frase transcrita do vídeo: Quem muda nesse problema é a área em função de M que é o ponto móvel que anda sobre o lado da chapa. Momento 2: Na figura dinâmica e no gráfico construído os alunos observaram:

24 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 1- O problema da chapa Metálica A resposta dos alunos no momento 2:

25 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 1- O problema da chapa Metálica Momento 3: Obtenção da expressão algébrica

26 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 2: Estudo das propriedades da função quadrática (grupo 2)

27 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 2: Estudo das propriedades da função quadrática (grupo 2)

28 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 2: Estudo das propriedades da função quadrática

29 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 2: Estudo das propriedades da função quadrática

30 Realização do experimento e análise a posteriori Etapa 2: Estudo das propriedades da função quadrática

31 Realização do experimento e análise a posteriori

32 Realização do experimento e análise a posteriori Análise a posteriori da Etapa 1 No momento 1- O esboço feito mostra que interpretaram corretamente o problema. No momento2- manipulando o ponto M, no GeoGebra, confirmaram que o triângulo IMN mudava a sua área. Determinaram corretamente a variação do segmento azul(h) fazendo o registro em língua natural. Perceberam que o valor da área era 4 quando o segmento azul(h) era muito pequeno ; E quando o segmento azul(h) era igual ao lado do quadrado a área do triângulo IMN era igual a metade desse valor. Determinaram corretamente as variáveis do problema e reconheceram que o menor ponto no gráfico representava a menor área. Encontraram os intervalos onde a função crescia e decrescia. No momento 3 - Obtiveram a expressão algébrica corretamente e de uma maneira diferente a que a professora tinha pensado. Através das análises podemos dizer que eles compreenderam a definição de função e gráfico através de aspectos intuitivos de variação e dependência, dados nos diferentes registros dinâmicos de representação.

33 Realização do experimento e análise a posteriori

34 Considerações sobre o experimento compreenderam os conceito de variáveis e dependência entre variáveis. apesar de algumas dificuldades particulares determinaram os intervalos de crescimento e decrescimento (aproximadamente). Em alguns problemas tiveram dificuldade para determinar o domínio e imagem. compreenderam que os movimentos de gráficos são determinados pelo coeficientes da função quadrática.

35 Considerações finais Para tratar nosso problema de pesquisa, diferentes fontes de informação, acompanhadas de muitas reflexões, se fizeram necessárias. foi necessário considerar os

36 Considerações finais as variações qualitativas presentes no dinamismo das construções geométricas exploradas no GeoGebra, juntamente com a possibilidade de visualizar diferentes registros de representação de um mesmo objeto matemático foi um dos grandes pilares na construção do conceito de função. o confronto entre as análises a priori e a posteriori, das diferentes atividades realizadas, constatamos que os alunos, de um modo geral, se apropriaram do conceito de função, em particular das características de uma função quadrática. O que nos permite responder positivamente a questão de pesquisa colocada. esperamos que a leitura deste trabalho apresentado possa contribuir para a reflexão da prática docente dos colegas professores de Matemática e para novas pesquisas na Educação Matemática.

37 ARAÚJO, J. L. Cálculo, Referências Tecnologias e Modelagem: As discussões dos alunos Tese de Doutorado. Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002.

38 Referências CARNEIRO, V. C. G. Engenharia didática: um referencial para ação investigativa e para formação de professores de matemática. Zetetiké. FE-Unicamp, v.13, n.23, jan/jun 2005, p COLOMBO. J. A. A.; FLORES, C. R.; MORETTI, M. T. (2008). Registros de representação semiótica nas pesquisas brasileiras em Educação Matemática: pontuando tendências. Zetetiké, v.16, p DUVAL, R. Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. p Strasbourg: IREM - ULP, Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: Aprendizagem em Matemática. Machado, S. D. A.(org). Campinas, SP: Papirus, Semiosis y pensamiento humano: Registros semióticos y aprendizajes intelectuales. Tradução de Myriam Vega Restrepo.Colômbia: Universidad Del Valle, 2004a.. Graphiques et équations: l articulation de deux registres, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. IREM de Strasbourg, 1988, p.235 a 253..Ver e Ensinar a Matemática de outra forma. Entrar no modo matemático de pensar: os registros de representações semióticas. Organização de Tânia M. M. Campos. Tradução de Marlene Alves Dias. São Paulo:

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40 Referências REZENDE, W.M. O Ensino de Cálculo: Dificuldades de Natureza Epistemológicas. Tese (doutorado). Programa de Pós-Graduação em Educação. Universidade de São Paulo Faculdade de Educação, SCANNO,FABIO C. Função Afim: uma sequência didática envolvendo atividades com o Geogebra p. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo, SILVA, José Roberto Damasceno da. Um estudo de registros de representação semiótica na aprendizagem dos conceitos de máximos e mínimos de funções p. Dissertação de mestrado- Universidade Federal do Mato Grosso do Sul, Campo Grande. SCHWARTZ, B. ; DREYFUS, T. Transfer between function representations: A computational model. In: G. Vergnaud, J. Rogalski e M. Artigue (Eds.). Proceedings of the International Conference for the Psycology of Mathematics Education, Paris, France. G.R. Didactique, v.3, p News actions upon old objects: a new ontological perspective on functions Revista Educational in Mathematics. v. 29, n.3, p