José C. Fonseca Celestino A. Gonçalves

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5 Instituto Politécnico da Guarda Sebenta de Sistemas Digitais I ENGENHARIA INFORMÁTICA, José C. Fonseca Celestino A. Gonçalves JUNHO DE 005

6 Índice Sistemas de Numeração... Conversão de um número inteiro para a base 0... Conversão de um número inteiro da base 0 para outra base... 3 Conversão de uma base r qualquer para outra base s qualquer... 4 Conversão directa da base binária para as bases octal e hexadecimal... 5 Conversão de um número fraccionário para a base Conversão de um número fraccionário da base 0 para outra base... 8 Erro de Representação... 9 Complementos do Sistema de Numeração... 0 Cálculo de Complementos... Aritmética Operações fundamentais na base binária... Representações Bipolares... 5 Sinal e valor absoluto... 5 Complemento falso ou complemento de... 6 Complemento verdadeiro ou complemento de... 6 Binário deslocado... 8 Adições algébricas... 9 Adições algébricas por complemento verdadeiro... 9 Adições algébricas por complemento falso... 0 Adições algébricas por sinal e valor absoluto... Regras para adição, subtracção e detecção de transbordo... 3 Códigos Binários... 5 Códigos BCD - Decimal codificado em binário... 5 Adição e Subtracção binárias nos códigos BCD e BCD XS O Código de Gray... 3 Códigos BCD Gray e BCD XS3 Gray Códigos Binários Alfanuméricos Código de 7 Segmentos Códigos para detecção e correcção de erros Outros códigos BCD Fundamentos do Projecto Digital... 4 Tabelas de Verdade Funções Lógicas Formas mínimas Forma mínima soma de produtos Forma mínima produto de somas Ordem de mintermos e de maxtermos Relação entre mintermos, maxtermos e a tabela de verdade Estruturas de dois níveis de portas lógicas... 5 Estruturas usando um só tipo de portas lógicas... 5 Mapas de Karnaugh Simplificação com mapas de Karnaugh Projecto de Circuito Somador Circuitos Combinatórios Níveis de Integração Família TTL (Transistor Transistor Logic) Circuitos multiplexadores (multiplexers)... 7 Multiplexers como Geradores de Funções Lógicas Expansão de circuitos multiplexer Circuitos descodificadores (decoders) Descodificadores como Geradores de Funções Lógicas Expansão de circuitos descodificadores Circuitos desmultiplexadores (demultiplexers) Outros circuitos combinacionais... 8 Portas Tri-State Fundamentos dos Circuitos Sequenciais A Função de Memória Realização da Função de Memória Células de Memória Elementares Báscula estática com portas NOR Báscula estática com portas NAND... 9 Interruptor sem trepidação Báscula dinâmica Funcionamento Transparente de uma Báscula O Flip-Flop Mestre-Escravo Funcionamento Não Transparente de um Flop-Flop O Flip-Flop Mestre-Escravo com entradas assíncronas... 0 Outras configurações do Flip-Flop Mestre-Escravo... 0 O Problema do Flip-Flop Mestre-Escravo O Flip-Flop edge-triggered Requisitos de tempo num flip-flop Bibliografia... Engenharia Informática i ii Engenharia Informática

7 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Os sistemas de numeração permitem representar grandezas quantitativas, existindo sob variadíssimos formatos. O sistema de numeração mais usado no dia-a-dia é o sistema decimal, em que são utilizados dez símbolos diferentes na representação de todas as grandezas. Por ter dez símbolos diferentes o sistema diz-se decimal ou que utiliza a base 0. Imaginemos que sobre uma mesa, à nossa esquerda, se encontram um conjunto de fósforos de que pretendemos conhecer o número exacto. Vamos, pois, contá-los, ou seja, representar a sua quantidade no sistema decimal. Inicialmente não há fósforos à direita, ou melhor, há 0 fósforos. Se deslocarmos um da esquerda para a direita teremos fósforo. Efectuando a operação repetidamente haverá à direita, 3, 4,... fósforos. Ao atingirmos o número 9 e havendo mais fósforos a transferir diremos que, após a operação seguinte, teremos 0 fósforos à direita, depois,, 3,..., 9, 0,,... O que na realidade fizemos foi supor que, no princípio, o número de fósforos à direita (nenhum) seria representado por um conjunto de símbolos 0 que por simplicidade de notação reduzimos a um único. À medida que transferimos os fósforos, fomos substituindo o símbolo mais à direita pelo seguinte até não termos mais símbolos atingimos o 9. Neste ponto substituímo-lo pelo símbolo utilizado 0 novamente. Ao símbolo colocado na posição imediatamente mais à esquerda efectuámos a sua substituição igualmente pelo seguinte, segundo as regras já expostas. A base é o número de símbolos distintos usados para representar as quantidades. Para além deste sistema de numeração existem outros que também são muito utilizados. É necessário saber trabalhar com sistemas de numeração diferentes do decimal. Os sistemas de numeração mais importantes, para além do decimal (base 0), são o binário 0 Engenharia Informática Engenharia Informática

8 (base ), o octal (base 8) e o hexadecimal (base 6). Estes três últimos são especialmente importantes em sistemas digitais. Por exemplo: 0 3 A 34F Conversão de um número inteiro para a base 0 O valor de um número na base 0 depende dos símbolos utilizados e da posição que estes símbolos ocupam na representação do número. Associamos a uma dada posição um certo peso. Neste sistema um número pode decompor-se em potências de 0. O número 0 designa-se por base do sistema (representação abreviada) (representação explícita) A posição mais à direita tem peso 0 0 =, as seguintes têm respectivamente pesos 0 =0, 0 =00, etc. Num outro sistema de numeração (base b) teremos b símbolos diferentes. Seja b=4. Vamos utilizar quatro símbolos: 0,, e 3. Desta forma, na base 4: Se utilizarmos uma base de numeração superior à decimal, teremos de utilizar outros símbolos, para além dos dez algarismos. Normalmente utilizam-se as primeiras letras do alfabeto. Um exemplo é o sistema hexadecimal (base 6) onde são utilizados 6 símbolos diferentes, que são os dez algarismos e as seis primeiras letras do alfabeto: Base 6 Base A 0 B C D 3 E 4 F 5 Para converter para decimal um número inteiro N na base b basta indicar a sua representação explícita e efectuar o respectivo cálculo: N a... a k k i a0( b) ai. b i0 o que corresponde ao seguinte algoritmo: multiplicar o algarismo mais significativo por b; ao produto soma-se o dígito seguinte, e o resultado torna-se a multiplicar por b e soma-se ao dígito seguinte; e assim sucessivamente até que o algarismo menos significativo seja somado. O resultado obtido é a representação de N na base 0. Conversão de um número inteiro da base 0 para outra base Para converter um número inteiro da base decimal para uma base b utiliza-se o seguinte algoritmo (algoritmo das divisões sucessivas): Dado um número na base 0, fazem-se sucessivas divisões por b e em cada uma aproveita-se o resto da divisão inteira. Fazem-se tantas divisões quantas as necessárias até se obter um quociente menor que b. O resto da primeira divisão corresponde ao símbolo de menor peso (peso ) e o último quociente ao símbolo de maior peso na nova representação na base b. Exemplo: Converter 375 (0) para octal, Ou seja, 375 (0) = 567 (8) Engenharia Informática Engenharia Informática

9 Demonstração: Dado um número inteiro do sistema decimal, escrevê-lo no sistema de base b. Seja A o número na base 0. Suponhamos que A (0) = a...fgh (b) Temos que: n 0 L - A a b f b g b h - A b a b f b g h n 0 L Como numa base b os símbolos usados são valores inteiros menores que essa base, tem-se que h < b. De e vem que o símbolo h é o resto da divisão de A por b, cujo quociente é dado por: Q a b n L f b g. A b Os restantes símbolos da representação do número na base b calculam-se de forma análoga. h a b n L f b g Exemplo: Para converter 3 (4) para a base 3, vamos converter 3 (4) para a base 0 e o resultado para a base Ou seja, 3 (4) = 57 (0) = 00 (3) 0 Conversão directa da base binária para as bases octal e hexadecimal Conversão de uma base r qualquer para outra base s qualquer Podemos efectuar a conversão de um número de uma base r qualquer para uma base s qualquer da mesma forma que convertemos um número de uma base r qualquer para a base 0. Só que para isso necessitaríamos de saber as tabuadas da adição e da multiplicação nessa base s. Uma forma que se encontra ao nosso alcance é utilizar os conhecimentos já adquiridos. Sabendo converter um número de uma base qualquer para a base 0 e sabendo converter um número da base 0 para uma base qualquer, facilmente se chega à conclusão que se desejamos converter um número representado numa base r para a base s, genéricas, basta converter o número da base r para a base 0 e posteriormente da base 0 para a base s. A grande vantagem dos sistemas de numeração octal e hexadecimal é a possibilidade de se efectuar a conversão directa dessas bases com a base binária. Conversão binário-octal Seja N = 000 () Comecemos por agrupar N em grupos de três dígitos binários (bits) a começar no de menor peso e depois considere-se o seguinte: N Basta-nos pois agrupar os bits três a três a partir do de menor peso e a soma ponderada de cada um desses grupos de três dá o símbolo octal correspondente. 0 4 Engenharia Informática Engenharia Informática

10 Para realizar a conversão de forma directa pode-se utilizar a seguinte tabela: Para realizar estas conversões directas pode-se utilizar a seguinte tabela: Base Base A conversão octal-binário é imediata, bastando substituir cada dígito octal no seu correspondente binário (conjunto de três dígitos binários). Base Base A 0 B 00 C 0 D 0 E F Exemplo: 760 (8) = () O método de conversão binário-hexadecimal é análogo ao anterior, diferindo apenas nos agrupamentos que agora são de quatro dígitos. Assim: N = 0000 = = CD (6) Conversão de um número fraccionário para a base 0 Seja o número fraccionário e a respectiva notação explícita, ou polinómio equivalente: F 0, A conversão inversa também é imediata, bastando substituir cada símbolo hexadecimal no seu correspondente binário de quatro dígitos. Assim: Para converter para decimal um número fraccionário F na base b basta indicar a sua representação explícita e efectuar o respectivo cálculo: F 0, a k i... a( k) ak ( b) ai. b i N = C5A (6) = () Por exemplo: 3 F 0, , Engenharia Informática Engenharia Informática

11 Conversão de um número fraccionário da base 0 para outra base A parte fraccionária de um número decimal converte-se para outra base b utilizando o seguinte algoritmo (algoritmo das multiplicações sucessivas): Considera-se a parte fraccionária da base 0 e vão-se fazendo sucessivas multiplicações por b e em cada uma aproveita-se a parte inteira do resultado. Fazem-se tantas multiplicações quantas as necessárias até se obter uma parte fraccionária nula ou até cumprir outro critério de paragem do algoritmo. A parte inteira da primeira multiplicação corresponde ao símbolo da primeira posição da parte fraccionária e a última parte inteira ao símbolo da última posição na nova representação na base b. Por exemplo: Converter para a base o número 0,468 (0) x x.87 x.744 x.488 x x Ou seja 0,468 (0) = 0,00... () Erro de Representação Como se pode constatar, a representação de 0,468 (0) na base é infinita, pelo que se torna difícil arranjar um critério de paragem do algoritmo. Por outro lado, na conversão de uma quantidade fraccionária de um sistema de base r para um sistema de base s há um aspecto que não pode ser esquecido. Normalmente um número fraccionário num sistema de base r não pode ser representado exactamente num sistema de base s utilizando um número finito de dígitos. Além disso, nalguns casos onde é possível fazer a conversão com um número finito de dígitos, este procedimento não é muito correcto. Teremos de estabelecer um critério para saber onde parar a conversão. A parte fraccionária permite identificar a precisão com que a quantidade é representada num determinado sistema de numeração. Por exemplo, a grandeza da base decimal 0.37 tem um erro de representação igual ou inferior a 5 0 4, o que significa que todos os valores na gama x são representados por x se se utilizarem apenas 3 casas decimais, sendo o erro cometido nessa representação igual ou inferior a Para o caso geral temos que o erro de representação na base s é dado por s -m e s s, se forem utilizados m dígitos na parte fraccionária. Quando se converte de uma base r para outra base s o erro na base s vai ser igual ou superior ao erro na base r, pois não pode haver aumento de precisão com a conversão entre bases numéricas. Assim, r -n O erro na base inicial é r, onde são utilizadas n casas decimais; s -m O erro na base final é s, onde são utilizadas m casas decimais. Então tem-se r -n s -m r s -n m r s log n -m r logs 8 Engenharia Informática Engenharia Informática

12 uma vez que as bases de numeração têm de ser superiores à unidade. Deste modo, nlog r r nlog e então, mlog log m n log mlog r s s s que nos fornece um valor máximo para o número de casas decimais a considerar na representação na base final. Exemplos: Base 0 - complemento de 0 - complemento de 9 Base - complemento de - complemento de A título de exemplo, suponha que se pretende converter para a base binária a grandeza (0). O número de dígitos da parte fraccionária na nova base é dado por m pelo que log log Como vamos usar 9 dígitos vai-se perder precisão com a nova representação. Se utilizássemos 0 dígitos estaríamos a introduzir ruído. Complementos do Sistema de Numeração Os complementos de um sistema de numeração são utilizados pelos computadores digitais para simplificação das operações de subtracção. Existem dois tipos de complementos para cada sistema de numeração de base r: Complemento de r (ou complemento verdadeiro) Complemento de r- (ou complemento falso) Cálculo de Complementos Complemento de r-: r n N r: base de numeração n: número de dígitos utilizados para representar uma determinada grandeza N: grandeza considerada Exemplos: compl9 compl9 compl compl Regra (base 0): Subtrair todos os algarismos, um a um, a 9. Regra (base ): Trocar 0 s por s e s por 0 s. r n N Complemento de r: 0 ( N 0) ( N 0) 0 Engenharia Informática Engenharia Informática

13 Exemplos: compl0 compl0 compl compl A subtracção binária é efectuada de acordo com a seguinte tabela de verdade Exemplo: Subtracção binária Empréstimo Diferença =30 0 Regra (base 0): Começando pelo algarismo menos significativo, manter todos os eventuais zeros até encontrar primeiro algarismo diferente de zero, que deverá ser subtraído a 0; A partir daí, subtrair os restantes algarismos, um a um, a 9. Regra (base ): Começando pelo algarismo menos significativo, manter todos os eventuais zeros e o primeiro um; A partir daí, trocar 0 s por s e s por 0 s. Alternativamente, Regra (todas as bases): adicionar ao complemento de r-. Empréstimo A multiplicação binária é efectuada com recurso a adições sucessivas Exemplo: 55 0 x 0 =605 0 Aritmética Operações fundamentais na base binária As operações aritméticas fundamentais na base binária obedecem a um procedimento que é semelhante ao verificado em qualquer outra base numérica, como por exemplo a base decimal. A adição binária é efectuada de acordo com a seguinte tabela de verdade Exemplo: =76 0 Adição binária Transporte Soma x A divisão binária é efectuada com recurso a subtracções sucessivas Exemplo: 30 0 : 5 0 = Transporte Engenharia Informática Engenharia Informática

14 REPRESENTAÇÕES BIPOLARES As representações binárias que permitem representar tanto quantidades positivas como quantidades negativas denominam-se representações (ou códigos) bipolares. Analisam-se de seguida as mais utilizadas: Representação por sinal e valor absoluto, representação por complemento falso (ou complemento de ), representação por complemento verdadeiro (ou complemento de ) e representação por código binário deslocado. Sinal e valor absoluto Nesta representação bipolar, a codificação de uma determinada quantidade numa palavra de n bits reserva o bit mais significativo (mais à esquerda) para exprimir o sinal e os restantes n- bits para representar o respectivo valor absoluto em binário natural. O bit de sinal terá o valor 0 se se pretender representar uma grandeza positiva, e o valor caso se pretenda a representação de grandeza negativa. Como exemplo, considere as representações das quantidades +5 (0) e 5 (0), numa palavra de 6 bits 5 ( 0) 000 e 5 ( 0) Engenharia Informática Engenharia Informática

15 Com este tipo de representação uma palavra de n bits consegue exprimir todos os n inteiros compreendidos entre n e n representações diferentes (Porquê?), num total de Complemento falso ou complemento de, incluindo o zero, que tem duas quantidades distintas. Na representação por complemento falso, ou complemento de, as quantidades positivas representam-se tal como na representação por sinal e valor absoluto. A representação de quantidades negativas obtém-se complementando a representação da quantidade positiva que lhe corresponde complemento falso do número na base binária original. Regra da complementação falsa: considerando a representação do número positivo, substituem-se todos os zeros por uns e todos os uns por zeros. 5 (0) : Seja a representação binária, em complemento falso, das grandezas +5 (0) e 5 ( 0) 000 e 5 ( 0) 000. É de salientar que a complementação da representação neste código de um número negativo resulta na representação do número positivo que lhe corresponde. Esta representação bipolar, tal como a anterior, permite representar numa palavra n de n bits representações diferentes. quantidades distintas, incluindo o zero, que também tem duas Complemento verdadeiro ou complemento de Na representação binária por complemento verdadeiro, ou complemento de, representam-se os números positivos tal como nas duas representações anteriores. A representação de quantidades negativas obtém-se adicionando o valor ao complemento falso da representação do número positivo que lhe corresponde complementação verdadeira do número binário original. Alternativamente, também se pode definir a seguinte regra da complementação verdadeira: considerando a representação do número positivo, copiam-se todos os dígitos, começando pelo menos significativo, até se encontrar um, que também se copia; a partir daí, substituem-se os zeros por uns e os uns por zeros. verdadeiro As grandezas +5 (0) e 5 (0) têm as seguintes representações em complemento 5 ( 0) 000 e 5 ( 0) 00. Nesta representação também se verifica que a complementação de de um número negativo resulta no número positivo que lhe corresponde, enquanto que o zero tem agora uma representação única (Porquê?). De facto, numa palavra de n bits representam-se n números algébricos distintos, com a particularidade de representar um número negativo a mais do que os números positivos: O maior positivo representável com 4 bits: 0 7 (0 ) ; O mais negativo representável com 4 bits: (0 ), que não tem correspondente positivo representável em 4 bits (com 5 bits seria: (0) ), constituindo uma excepção à regra da complementação verdadeira. A tabela seguinte reúne todas as codificações de 4 bits para as três representações bipolares descritas anteriormente. Grandeza a representar Sinal e valor absoluto Complemento falso Complemento verdadeiro Engenharia Informática Engenharia Informática

16 Nota: As representações bipolares por complemento falso e por complemento verdadeiro também nos dão indicação de sinal por intermédio do respectivo bit mais significativo. Binário deslocado Para representar em n bits uma grandeza positiva ou negativa por intermédio do código binário deslocado, torna-se necessário adicionar o resultado em código binário natural. bits n a essa grandeza e exprimir As grandezas +5 (0) e 5 (0) têm neste código as seguintes representações de 6 6 ( 5 0) 57(0) 6 ( 5 0) 7 (0) 00 e 000. Tal como para a representação por complemento verdadeiro, a representação por código binário deslocado tem uma representação única para o zero e permite que uma palavra de n bits represente n n e representação a mais do que para as positivas). n quantidades algébricas distintas compreendidas entre (também aqui existirá para as grandezas negativas uma A tabela seguinte apresenta as representações de 3 bits para este código, em conjunto com as representações por complemento verdadeiro. Grandeza a Complemento representar verdadeiro Binário deslocado As representações são iguais nos dois casos, com a excepção do bit mais significativo, que é complementado de um para o outro. Adições algébricas A representação por complemento verdadeiro é a mais vantajosa por fornecer uma representação única para o zero e por permitir efectuar subtracções à custa de circuitos adicionadores. A representação por complemento falso só tem a segunda daquelas vantagens e a representação por sinal e valor absoluto não tem nenhuma das vantagens referidas. Adições algébricas por complemento verdadeiro Exemplos: = +8 0 Transporte Adicionou-se a parcela aditiva ao complementar (complemento verdadeiro) da parcela subtractiva e desprezou-se o transporte final. Como os dois últimos transportes são iguais não ocorreu transbordo (overflow), isto é, ultrapassagem da capacidade de representação, pelo que o resultado da operação é válido. 0-0 = -9 0 Transporte Adicionou-se a parcela aditiva ao complementar (complemento verdadeiro) da parcela subtractiva. Como os dois últimos transportes são iguais não ocorreu transbordo, pelo que o resultado da operação é válido. O resultado é negativo e encontra-se representado em complemento verdadeiro. 8 Engenharia Informática Engenharia Informática

17 = -4 0 Transporte Inválido Adicionou-se a parcela aditiva ao complementar (complemento falso) da parcela subtractiva. Como os dois últimos transportes são iguais não ocorreu transbordo, pelo que o resultado da operação é válido. O resultado é negativo e encontra-se representado em complemento falso. Adicionou-se o complementar de cada parcela e desprezou-se o transporte final. Como os dois últimos transportes são diferentes, ocorreu transbordo, pelo que o resultado da operação é inválido: não é possível representar o resultado (-4 0 ) em 6 bits. O bit desprezado era importante para o resultado. Adições algébricas por complemento falso Exemplos: = +8 0 Transporte = Inválido Adicionou-se o complementar de cada parcela e desprezou-se o transporte final, depois de o adicionar ao resultado final. Como os dois últimos transportes são diferentes, ocorreu transbordo, pelo que o resultado da operação é inválido: não é possível representar o resultado (-4 0 ) em 6 bits. O bit desprezado era importante para o resultado. Adições algébricas por sinal e valor absoluto Adicionou-se a parcela aditiva ao complementar (complemento falso) da parcela subtractiva e desprezou-se o transporte final, depois de o adicionar ao resultado final. Como os dois últimos transportes são iguais não ocorreu transbordo, isto é, ultrapassagem da capacidade de representação, pelo que o resultado da operação é válido. 0-0 = -9 0 Transporte Exemplos: = +8 0 Resultado: 0000 Empréstimo Subtraiu-se o menor valor absoluto ao maior e deu-se ao resultado o sinal deste. Nesta operação nunca ocorre transbordo, uma vez que o resultado é sempre inferior, em módulo, ao aditivo. 0 Engenharia Informática Engenharia Informática

18 0-0 = -9 0 Regras para adição, subtracção e detecção de transbordo Empréstimo Representação numérica Regras para adição Regras para complementação Regras para subtracção Resultado: 000 Subtraiu-se o menor valor absoluto ao maior e deu-se ao resultado o sinal deste. Nesta operação nunca ocorre transbordo, uma vez que o resultado é sempre inferior, em módulo, ao aditivo. Sem sinal Adicionar números Ocorre transbordo se houver transporte final (transporte no MSB bit mais significativo) Não aplicável Subtrair números Ocorre transbordo se houver empréstimo final (empréstimo no MSB) = -4 0 Transporte Inválido Sinal e valor absoluto Números com o mesmo sinal: adicionar módulos; Ocorre transbordo se houver transporte final (no MSB); Resultado tem o mesmo sinal. Números com sinal oposto: subtrair menor módulo ao maior; não é possível ocorrer transbordo; Resultado tem o sinal do maior módulo. Complementar bit de sinal Ver regras para adição Resultado: 000 Adicionaram-se os valores absolutos das duas grandezas e deu-se ao resultado o sinal comum. Como ocorreu transporte final, ocorreu transbordo, pelo que o resultado da operação é inválido: não é possível representar o resultado (-4 0 ) em 6 bits. Complemento verdadeiro ou complemento de Adicionar números, ignorando qualquer transporte final (no MSB); Ocorre transbordo se os dois últimos transportes forem diferentes. Complementar todos os bits e adicionar ao resultado (ver regra alternativa para a complementação verdadeira). Adicionar o aditivo ao complemento verdadeiro do subtractivo (ver regras para adição). Complemento falso ou complemento de Adicionar números; Se houver transporte final (no MSB), adicioná-lo ao resultado; Ocorre transbordo se os dois últimos transportes forem diferentes. Complementar todos os bits. Adicionar o aditivo ao complemento falso do subtractivo (ver regras para adição). Engenharia Informática Engenharia Informática

19 CÓDIGOS BINÁRIOS Vimos já em parágrafos anteriores como representar um determinado número no sistema binário. Mas nem sempre se torna fácil o tratamento da informação no sistema binário puro, uma vez que não é possível uma conversão directa para o sistema decimal. Além disso, nos dispositivos digitais também é necessário representar outro tipo de informação não numérica, como por exemplo letras, símbolos, sinais, etc. Nos parágrafos seguintes serão analisados alguns códigos binários que permitem representar informação não numérica e outros que, representando informação numérica, permitem uma conversão directa para o sistema decimal. Códigos BCD - Decimal codificado em binário Para representar os dez dígitos do sistema de numeração decimal são necessários pelo menos 4 bits, uma vez que Mas como um conjunto de 4 bits permite a representação de 6 grandezas distintas, podemos considerar diversos códigos para as diferentes combinações possíveis com 4 bits para a representação dos dez dígitos decimais. Mais, se forem utilizados mais de 4 bits para representar cada dígito decimal, o número de códigos que é possível definir será ainda maior. Na tabela da página seguinte apresentam-se algumas possibilidades para esta codificação binária da informação decimal, recorrendo a 4 bits. 4 Engenharia Informática Engenharia Informática

20 Códigos BCD Dígito Decimal BCD (84) BCD 4 BCD Aiken (4) BCD 84-- BCD XS As combinações de 4 bits que para cada código não correspondem a nenhum dos 0 dígitos decimais não são utilizadas e designam-se combinações inválidas. De todos os códigos BCD, iniciais de "Binary Coded Decimal" que significa "decimal codificado em binário", o mais popular é o código BCD 84 (ou simplesmente código BCD, ou código BCD natural). Neste código os dígitos decimais representam-se à custa dos seus equivalentes binários naturais de 4 bits, sendo por isso um código ponderado, já que todas as codificações são definidas a partir dos pesos associados aos diferentes bits, e denominado natural, uma vez que os pesos utilizados têm a sequência decrescente das potências da base : 8, 4, e. Nos restantes códigos BCD ponderados, não naturais, os pesos dos diferentes bits já não têm a mesma sequência. 4 a 4: Por exemplo: Para representar neste código o número 459 0, são necessários bits, agrupados = BCD No código BCD 4 o bit mais significativo de cada grupo de 4 bits tem peso em vez do 8 habitual. A representação do número é Neste código, porém, não existem combinações binárias de 4 bits únicas para a representação dos dígitos decimais, em virtude da sua definição como código ponderado. Os dígitos decimais, 3, 4, 5, 6 e 7 admitem, para além das combinações binárias indicadas na tabela, as combinações 000, 00, 00, 0, 00 e 0, respectivamente. Para essas combinações, a representação do número seria = 00 0 outro BCD 4 O código BCD Aiken resulta da situação anterior, uma vez que se trata de um BCD 4. A representação do número seria = BCD Aiken O código BCD Aiken tem a particularidade de permitir determinar facilmente o complemento falso (ou complemento para 9) de cada dígito decimal, bastando para tal complementar os bits da respectiva codificação. De facto, se invertermos os bits da representação neste código do número 459 0, obtemos = o número que é precisamente o complemento falso do número Um código com esta característica de permitir determinar o complemento falso de um número do sistema decimal por simples complementação de todos os seus bits designa-se por código autocomplementar. Também é possível definir códigos com pesos negativos, como por exemplo o código BCD A combinação de 4 bits 0 representa o dígito decimal 5, uma vez que x8 + 0x4 + x(-) + x(-) = 5. Este também é um código autocomplementar e o número tem a seguinte representação = BCD = BCD 4 6 Engenharia Informática Engenharia Informática

21 Um código muito utilizado por alguns computadores antigos e que, Subtracção no código BCD natural contrariamente aos anteriores, não é um código ponderado, é o código BCD de Excesso 3, ou BCD XS3. As codificações de 4 bits para cada dígito decimal obtêm-se adicionando 3 à correspondente codificação BCD. A título exemplificativo, apresenta-se a representação do número neste código, que também é autocomplementar Na subtracção toma-se o complemento verdadeiro ou falso do subtractivo, representa-se em BCD natural e procede-se como se de uma adição normal se tratasse. Torna-se ainda necessário acrescentar um bit de sinal a cada representação BCD. Se entretanto o resultado for negativo, o valor BCD obtido representará o resultado na sua = BCD XS3 forma de complemento. Exemplos: Adição e Subtracção binárias nos códigos BCD e BCD XS =78 0 compl.9 (47) = 85 Adição no código BCD natural A adição de dígitos BCD não é mais do que a adição de números binários de 4 bits, em que se torna necessária uma correcção se o resultado for superior a 9 (00), ou se tiver ocorrido transporte: adicionar 6 (00) ao resultado, por forma a obter um valor válido no código BCD natural. De salientar que poderá haver transporte para o dígito BCD da posição seguinte devido à adição inicial ou à adição correctiva. Exemplos: =94 0 Transporte Correcção Transporte Correcção Transporte final =-80 0 compl.9 (00) = 799 Transporte Correcção Compl =87 0 Transporte Correcção Engenharia Informática Engenharia Informática

22 Adição no código BCD XS3 Exemplo: =-80 0 compl.9 (00) = 799 Quando se adicionam dois números no código BCD XS3 é sempre necessário efectuar uma correcção, de cada vez que se adicionam 4 bits:.º Caso: Se da adição não resultar transporte torna-se necessário subtrair 3 ao resultado (subtrair 00, ou adicionar o seu complemento de : 0), uma vez que fica representado em excesso 6; se desta correcção resultar transporte, deverá ser desprezado;.º Caso: Se da adição resultar transporte torna-se necessário adicionar 3 Transporte Correcção Compl. 9 (00) ao resultado, uma vez que fica representado em BCD natural. Exemplo: O Código de Gray =90 0 Transporte Correcção O código de Gray é um código não ponderado com a particularidade de cada uma das suas codificações diferir das que lhe são adjacentes num único bit (inclusivamente entre a primeira codificação e a última, para um determinado número de bits): diz-se que é um código contínuo e cíclico, respectivamente. Na tabela seguinte apresentam-se as 6 codificações de 4 bits deste código, bem como do código binário natural, para efeitos de comparação. Subtracção no código BCD XS3 Para esta operação toma-se o complemento verdadeiro ou falso do subtractivo, que se representará em BCD XS3. Acrescenta-se um bit de sinal a cada representação e procede-se como se de uma adição em BCD XS3 se tratasse. Se entretanto o resultado for negativo, o respectivo valor BCD XS3 representará o resultado na sua forma de complemento. Número no sistema decimal Código binário natural de 4 bits Código de Gray de 4 bits Engenharia Informática Engenharia Informática

23 Na coluna reservada ao código de Gray assinalou-se em cada codificação o único bit a sofrer alteração para a codificação da grandeza seguinte, incluindo a passagem da última codificação para a primeira. Exemplo: A representação 000 do código de Gray de bits tem como correspondente binária natural a seguinte representação O código de Gray é um código reflectido, conforme se pode verificar por análise da tabela anterior, uma vez que se pode obter a.ª metade da tabela por reflexão da.ª 000 Gray metade, com a excepção do bit mais significativo, que se complementa de uma para a outra. Conversão Binário Gray A conversão de um determinado valor do sistema binário na sua representação no código de Gray é relativamente simples: o bit mais significativo é igual; a partir daí, e continuando a ler do bit mais significativo para o menos significativo, cada mudança 0 ou 0 vai corresponder a um '' na representação Gray, enquanto que cada ausência de mudança ( 0 0 ou ) vai corresponder a um '0'. Exemplo: Códigos BCD Gray e BCD XS3 Gray O código de Gray também pode ser utilizado como um código BCD. Continua a ter, relativamente aos outros códigos BCD, a vantagem de ser um código contínuo - para passar da representação de um dígito para a seguinte, basta mudar o valor de um único bit. Todavia, não é um código autocomplementar. Para usufruir desta característica, é necessário recorrer ao código XS3 Gray, que se obtém do Gray tal como o BCD XS3 se obtinha do BCD natural: deslocando 3 posições o código de Gray. A tabela seguinte ilustra as codificações destes dois códigos BCD O número de bits do sistema binário tem a seguinte representação no código de Gray Códigos BCD Dígito Decimal BCD Gray BCD XS3 Gray Gray Conversão Gray Binário A conversão de uma representação Gray para o sistema binário processa-se de forma inversa: o bit mais significativo é igual; a partir daí, e continuando a ler a representação no código de Gray do bit mais significativo para o menos significativo, cada bit a '' que se encontre vai corresponder a uma complementação na representação binária natural, relativamente ao bit da posição imediatamente anterior, enquanto que cada bit a '0' vai corresponder a uma manutenção do bit na representação binária, relativamente ao bit da posição imediatamente anterior O código BCD XS3 Gray é, assim, um código autocomplementar, mas com a seguinte particularidade: só é necessário complementar o bit mais significativo. Exemplo: o complemento falso (complemento para 9) do dígito 3 é 6 (9-3=6), bastando complementar o bit mais significativo da codificação do dígito 3 (00) para obter a codificação do dígito 6: 0. 3 Engenharia Informática Engenharia Informática

24 Códigos Binários Alfanuméricos Os códigos que se destinam a representar informação não só numérica, mas também os caracteres do alfabeto, sinais, símbolos, entre outros, denominam-se códigos alfanuméricos. Na tabela seguinte apresentam-se algumas codificações de um destes códigos: o código ASCII de 7 bits (American Standard Code for Information Interchange) Muitos computadores utilizam caracteres ASCII de 8 bits. As 8 representações adicionais (em que o bit mais significativo está a '') representam caracteres adicionais, como por exemplo caracteres gregos, itálicos, etc. Quando em comunicação de dados, o 8.º bit costuma ser usado como bit de paridade (ver mais à frente "Detecção e correcção de erros"). Outro exemplo deste tipo de códigos é o EBCDIC (Extended BCD Interchange Code), de 8 bits, que foi vulgarizado pela IBM. Caracter Código ASCII Caracter Código ASCII Caracter Código ASCII NUL V 0 00 SOH , W 0 0 STX X ETX Y 0 00 EOT / 00 Z 0 00 ENQ [ 0 0 ACK \ 0 00 BEL ] 0 0 BS ^ 0 0 HT _ 0 LF ` VT a FF b CR c 0 00 SO d SI 000 : 0 00 e 0 00 DLE ; 0 0 f 0 00 DC < 0 00 g 0 0 DC = 0 0 h DC > 0 0 i 0 00 DC ? 0 j 0 00 NAK k 0 0 SYN A l 0 00 ETB 00 0 B m 0 0 CAN C n 0 0 EM D o 0 SUB E p 0000 ESC 00 0 F q 000 FS G 00 0 r 000 GS 00 0 H s 00 RS 00 0 I t 000 US 00 J u 00 SP K 00 0 v 00! L w M 00 0 x 000 # N 00 0 y 00 $ O 00 z 00 % P { 0 & Q R } 0 ( S 0 00 ~ 0 ) T DEL * U 0 00 Código de 7 Segmentos Este código tem utilização em dispositivos com indicadores numéricos luminosos de 7 Segmentos, como instrumentos de medida digitais, calculadoras, relógios, etc. Nestes dispositivos a informação numérica é normalmente tratada em BCD que, antes de ser apresentada nos indicadores numéricos luminosos, é convertida no código de 7 Segmentos. Com os sete segmentos dispostos como indicado na figura, é de facto possível representar todos os dígitos do sistema decimal. a f b g e c d A forma mais vulgar do código de 7 Segmentos é a apresentada na tabela seguinte, que corresponde a associar um a cada segmento que é iluminado. Outra forma corresponde à associação de um 0 a cada segmento que é iluminado. 34 Engenharia Informática Engenharia Informática

25 Segmentos Dígito decimal a b c d e f g Exemplo: Na tabela seguinte apresentam-se os valores de um oitavo bit, o bit de paridade, para algumas codificações ASCII, para sistemas de paridade par e paridade ímpar Paridade ímpar Paridade par P Mensagem P Mensagem Códigos para detecção e correcção de erros Bit de paridade Quando de um dispositivo para outro se transmite informação, existe sempre a possibilidade de, por motivo de ruído eléctrico ou outros, ocorrerem erros. O método mais simples e mais utilizado para a detecção de erros é o método da paridade. Este método consiste em acrescentar um bit extra à informação que se vai transmitir: o bit de paridade, que vai levar a que a palavra a transmitir tenha um número par ou um número ímpar de 's, consoante se convencione trabalhar com paridade par ou paridade ímpar, respectivamente. Este bit é geralmente acrescentado à esquerda do bit mais significativo, passando a fazer parte do código da palavra a ser transmitida. Quando a mensagem é recebida, a respectiva consistência é verificada: o número de 's tem de ser o apropriado - par ou ímpar, consoante se esteja a lidar com paridade par ou ímpar. Se a paridade da informação recebida não estiver de acordo com a paridade convencionada, isso significa que durante a transmissão ocorreu algum erro. Este método permite a detecção de um, três ou qualquer número ímpar de erros, não detectando a ocorrência de um número par de bits errados. Código de Hamming O código de Hamming é um código detector e corrector de erros únicos. Consiste num conjunto de k bits de paridade que se juntam aos n bits de dados, formando uma palavra de n+k bits: a palavra de Hamming. Serão necessários tantos mais bits de paridade, k, quantos mais bits de dados, n, houver. Esta relação é regida pela expressão k n k da qual resultam os seguintes valores Bits de teste Gama de bits de dados K n Engenharia Informática Engenharia Informática

26 Para construir a palavra de Hamming, começa-se por numerar os respectivos bits de a n+k, da esquerda para a direita. As posições correspondentes a potências de (, Assim,, 4, 8, 6,...) reservam-se para os bits de paridade, enquanto que as restantes serão ocupadas pelos n bits de dados. Os valores dos bits de paridade são calculados de modo a estabelecer a paridade par dos bits localizados num determinado conjunto de posições pré-estabelecidas. Por exemplo, para o primeiro bit de paridade, P, cuja posição em binário se expressa por 000, vamos considerar todas as posições que em binário também se expressem com um na posição menos significativa (xxx). Para o P : bits 3, 5, 7, 9 e P : bits 3, 6, 7, 0 e P 4 : bits 5, 6, 7 e P 8 : bits 9, 0, e P =P(,,,,0)=0 P =P(,0,,0,0)=0 P 4 =P(,0,,)= P 8 =P(,0,0,)=0 segundo bit de paridade, P, 000 em binário, consideram-se todas as restantes posições que também se expressem em binário com um no.º bit menos significativo (xxx), e assim sucessivamente para os restantes bits de paridade. sendo a palavra de Hamming final, a transmitir. Após a transmissão, os bits recebidos são testados para verificar se houve erros. Para o caso anterior, haveria que verificar 4 bits de teste, por determinação da paridade das seguintes posições Exemplo: Construir a palavra de Hamming para a seguinte palavra de dados de 8 bits: 000. Para 8 bits de dados serão necessários 4 bits de paridade, num total de 8+4= bits. Os bits de paridade vão ocupar as posições,, 4 e 8, enquanto que as restantes posições serão ocupadas pelos bits de dados. T : bits, 3, 5, 7, 9 e T : bits, 3, 6, 7, 0 e T 4 : bits 4, 5, 6, 7 e T 8 : bits 8, 9, 0, e Se não houver erros, o resultado deste teste será T=T 8 T 4 T T =0000. Se T 0, Posição bit P P P 4 0 P então é porque ocorreu algum erro. O valor de T indicará, nesse caso, a posição correspondente ao bit onde ocorreu o erro, que poderá ser automaticamente corrigido. O primeiro bit de paridade, P (000),deverá estabelecer a paridade par Alguns exemplos: juntamente com os valores dos bits das posições 3 (00), 5 (00), 7 (0), 9 (00) e (0) todos têm um na.ª posição. O segundo bit de paridade, P (000), deverá estabelecer a paridade par juntamente com os bits das posições 3 (00), 6 (00), 7 (0), 0 (00) e (0) todos têm um na.ª posição. O terceiro bit de paridade, P4 (000), deverá estabelecer a paridade par das Posição T 8 T 4 T T teste Bit sem erro Bit erro no bit Bit erro no bit 7 posições 5 (00), 6 (00), 7 (0) e (00) todos têm um na 3.ª posição. O quarto bit de paridade, P8 (000), deverá estabelecer a paridade par das posições 9 (00), 0 (00), (0) e (00) todos têm um na 4.ª posição. 38 Engenharia Informática Engenharia Informática

27 Outros códigos BCD Alguns códigos BCD têm propriedades de detecção de erros, sendo utilizados quando se pretende reduzir ao mínimo a ocorrência desses eventuais erros. A tabela seguinte ilustra dois exemplos de códigos BCD de 7 bits com estas características: os códigos two-out-of-seven (dois em sete) bi-quinário e qui-binário, códigos ponderados em que todas as codificações são constituídas por bits a e por 5 bits a zero, num total de 7 bits. FUNDAMENTOS DO PROJECTO DIGITAL Códigos BCD -out-of-7 ( em 7) Dígito Decimal BCD bi-quinário (50 430) BCD qui-binário (8640 0) A tabela seguinte ilustra outros exemplos de códigos BCD com estas propriedades: dois códigos two-out-of-five (dois em cinco), códigos em que todas as codificações são constituídas por bits a e por 3 bits a zero, num total de 5 bits, e o código BCD Contador em Anel, código ponderado em que todas as codificações são constituídas por apenas bit a e por 9 bits a zero, num total de 0 bits. Dígito Decimal BCD -out-of-5 BCD -out-of-5 (630) BCD Contador em Anel ( ) O formato destes códigos é preferível à existência de um só bit de paridade em cada palavra binária. Variáveis e funções lógicas Uma variável lógica, ou variável binária, é uma variável que tem por domínio valores lógicos distintos, normalmente representados por 0 e ou por F e V. O conceito de variável lógica foi apresentado pela primeira vez em 850 pelo matemático George Boole, pelo que é também comum designar-se por variável de Boole ou variável Booleana. Função lógica, ou função de Boole, é uma função de variáveis lógicas que tem por contradomínio o conjunto lógico 0 ;. Funções lógicas elementares. Negação (ou complementação) F( A) A ou F ( A) ~ A. Produto lógico (ou intersecção) F( A, B) A B ou F( A, B) AB A A 0 0 A B A B Engenharia Informática Engenharia Informática

28 3. Soma lógica (ou reunião) F( A, B) A B Expressões lógicas A B A B Expressão lógica, ou expressão de Boole, é um conjunto de variáveis e constantes lógicas ligadas entre si pelos sinais das funções lógicas elementares. Exemplo: F ( A, B) A B A B 0 Expressões lógicas equivalentes Duas expressões lógicas são equivalentes quando uma delas só for igual a quando a outra também for igual a, e igual a 0 quando a outra também for igual a 0. Expressões lógicas complementares Duas expressões lógicas são complementares se uma delas for quando a outra for 0, e vice-versa. Expressões lógicas duais Duas expressões lógicas são duais quando de uma se pode obter a outra: - transformando todos os. em +, - transformando todos os + em., - transformando todos os 0 em, - transformando todos os em 0, - e mantendo as ocorrências das variáveis. Exemplo: A B A B 0 é dual de Duas identidades lógicas duais têm a propriedade de que quando uma é verdadeira, a outra também o é. Exemplo: 0, identidade verdadeira, é dual de 0 0, identidade igualmente verdadeira. Postulados da Álgebra de Variáveis Lógicas ou. X 0 X Teoremas da Álgebra de Variáveis Lógicas. A 0 0 A. A A A 0 A 3. A A A A A A 4. A A 0 A A 5. Dupla negação A A 6. Lei comutativa A B B A A B B A 7. Lei associativa A B C A B C A B C A B C A B C A B C 8. Lei distributiva A B A C A B C A B A C A B C 9. Lei de DeMorgan A B A B A B A B 0. A A B A A A B A. A A B A B A A B A B. A B A B A A B A B A B A C B C A B A A B A C B C A B A C 3. A C Nota: para cada teorema apresenta-se a identidade lógica dual. ( A B) ( A 0) B 4 Engenharia Informática Engenharia Informática

29 Funções Lógicas Tabelas de Verdade Interessa-nos saber como passar de uma representação algébrica de uma dada As tabelas de verdade, tal como as expressões lógicas, constituem outro processo de representar funções lógicas. Consiste numa tabela onde se indica de forma exaustiva o valor assumido pela função lógica para cada combinação das suas variáveis. Seja a tabela de verdade da função lógica F das 3 variáveis lógicas A, B e C: A B C F Esta função lógica assume o valor lógico 0 para as combinações função booleana para a sua tabela de verdade. Essa passagem é imediata, bastando para isso substituir na expressão algébrica, os valores das variáveis para as diversas combinações de entrada. Seja a função lógica Z das variáveis A e B: Z( A, B) A B A B A B A B A B A B A B A B Calculou-se o número designativo (conjunto de zeros e uns que representam o valor de uma dada função para todas as diferentes combinações das entradas) de cada uma das parcelas e depois somam-se esses números designativos para obter o número designativo da função. A BC, A BC e A BC e assume o valor lógico para as restantes combinações Quantas funções possíveis existem de duas variáveis? Resposta: 6. A BC, A BC, A BC, A BC e A BC Logigramas ou diagramas lógicos Assim, podemos escrever Z( A) A NOT A B CA B CA B C F( A, B, C), ou Z( A, B) A B OR F( A, B, C) A BC A BC A BC A BC A BC Z( A, B) A B AND que constituem duas expressões algébricas especiais de uma função lógica: a Forma Canónica Produto de Somas (FCPS) e a Forma Canónica Soma de Produtos (FCSP), respectivamente. Z( A, B) A B NOR 44 Engenharia Informática Engenharia Informática