FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

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1 FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO ANDRE TAKASHI KOBAYASHI OTIMIZAÇÃO DA MEDIDA OMEGA DE UM PORTFOLIO DE AÇÕES COM A UTILIZAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE IBOVESPA SÃO PAULO 2015

2 ANDRE TAKASHI KOBAYASHI OTIMIZAÇÃO DA MEDIDA OMEGA DE UM PORTFOLIO DE AÇÕES COM A UTILIZAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE IBOVESPA Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo, parte da Fundação Getulio Vargas, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças Quantitativas. Orientador: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto SÃO PAULO 2015

3 Takashi Kobayashi, Andre. Otimização da Medida Omega de um portfolio de ações com a utilização de Opções sobre IBOVESPA / Andre Takashi Kobayashi f. Orientador: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto. Dissertação (MPFE) Escola de Economia de São Paulo. 1. Mercado financeiro. 2. Bolsa de valores - Índices. 3. Ações (Finanças). 4. Monte Carlo, Método de. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (MPFE) Escola de Economia de São Paulo. III. Título. CDU

4 ANDRE TAKASHI KOBAYASHI OTIMIZAÇÃO DA MEDIDA OMEGA DE UM PORTFOLIO DE AÇÕES COM A UTILIZAÇÃO DE OPÇÕES SOBRE IBOVESPA Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional da Escola de Economia de São Paulo, parte da Fundação Getulio Vargas, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças Quantitativas. Data da Aprovação: 17 / 08 / 2015 Banca Examinadora: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador) Fundação Getulio Vargas Prof. Dr. André Cury Maialy Fundação Getulio Vargas Prof. Dr. Oswaldo Luiz do Valle Costa Universidade de São Paulo

5 Agradecimentos Aos meus pais, que me deram todo o apoio e todos os subsídios para que eu pudesse alcançar esta etapa acadêmica. Ao Prof. Dr.André Cury Maialy e Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto, que me transmitiram diversos níveis de conhecimentos durante todo o curso do mestrado. Aos meus amigos, que me apoiaram durante todo o curso. Ao Marco Cauduro, pelo apoio, suporte e compreensão nos momentos que precisei de tempo para me dedicar à dissertação. Ao Flavio Castilho Pinto, que foi quem me ensinou diversos conceitos básicos relacionados à este trabalho, os quais tenho interesse em me aprofundar cada vez mais.

6 I have not failed. I ve just found 10,000 ways that won t work. (Thomas A. Edison)

7 RESUMO O uso de opções no mercado financeiro tem ganhado relevância devido ao seu payoff não-linear e a possibilidade de alterar o perfil da distribuição de retornos de um portfolio. Existem diversas estratégias que são adequadas para cada cenário que o investidor acredita estar exposto, mas como o conjunto de cenários forma uma distribuição de retornos, devemos utilizar uma medida adequada para trabalhar com este tipo de informação. Assim, foi utilizada a medida Omega, que é uma medida capaz de capturar todos os momentos de uma distribuição, dado um limiar de retornos. Este trabalho se propõe a desenvolver uma metodologia que possibilite otimizar a medida Omega de um portfolio, através do uso de opções sobre o IBOVESPA. Para a geração das distribuições de retornos foi utilizada simulação de Monte Carlo, com jumps e volatilidade estocástica. Finalmente, foram feitas diversas análises sobre os resultados obtidos, afim de comparar a estratégia otimizada com diversas estratégias aleatórias, e também, realizado um backtest para avaliar a eficácia da implementação da estratégia otimizada. Palavras-chave: Mercado financeiro. Bolsa de valores - Índices. Ações (Finanças). Monte Carlo, Método de.

8 ABSTRACT The use of options in the financial market has gained importance because of its non-linear payoff and the ability to change the profile of the distribution of a portfolio returns. There are several strategies that are appropriate for each scenario the investor believes to be exposed, but as a set of scenarios forms a distribution of returns, we must use an appropriate measure to work with this type of information. Thus we used the Omega measure, which is a measure capable of capturing all moments of a distribution, given a threshold of returns. This study aims to develop a methodology that allows to optimize the Omega measure of a portfolio, through the use of options of IBOVESPA. To generate the distributions returns we used Monte Carlo simulation, with jumps and stochastic volatility. Finally, several analyzes were made on the results obtained in order to compare the optimal strategy with several random strategies, and also, a backtest to evaluate the effectiveness of the implementation of the optimized strategy. Keywords: Financial Markets. Stock Markets - Indexes. Stocks (Finance). Monte Carlo, Method.

9 Lista de ilustrações Figura 1 Exemplo da medida Omega Ω(70) - Razão das probabilidades ponderadas acima do limiar 70 (região preta), sobre as probabilidades ponderadas abaixo do limiar (região vermelha) Figura 2 Histograma de Distribuições - Exemplo 1 - Diferença entre a medida Omega e o índice Sharpe Figura 3 Distribuições acumuladas - Exemplo 1 - Diferença entre a medida Omega e o índice Sharpe Figura 4 Histograma de Distribuições - Exemplo 2 - Diferença entre a medida Omega e o índice Sharpe Figura 5 Distribuições acumuladas - Exemplo 2 - Diferença entre a medida Omega e o índice Sharpe Figura 6 Resumo percentis Figura 7 Histograma de retornos das estratégias 1, 2 e Figura 8 Distribuição acumulada de retornos Figura 9 Payoff da estratégia otimizada Figura 10 Payoff da estratégia Figura 11 Comparação do Payoff da estratégia 5 e otimizada Figura 12 Scatter chart entre o IBOVESPA e os retornos das estratégias - (a) Primeiro gráfico - Estratégia 1 (b) Segundo gráfico - Estratégia 2 (c) Terceiro gráfico - Estratégia Figura 13 Scatter chart entre os retornos das estratégias - (a) Primeiro gráfico - Retornos da estratégia 1 x estratégia 2 (b) Segundo gráfico - Retornos da estratégia 1 x e estratégia Figura 14 Scatter chart entre o valor do IBOVESPA e a diferença de retornos entre as estratégias - (a) Primeiro gráfico - Valor do IBOVESPA x Diferença de retornos entre a estratégia otimizada e os retornos da estratégia original (b) Segundo gráfico - Valor do IBOVESPA x Diferença de retornos entre a estratégia 5 e os retornos da estratégia original Figura 15 Histograma de retornos - Estratégia 1 e estratégia 2 (Volatilidade média de 28,00%) Figura 16 Retorno acumulado das estratégias e do IBOVESPA - Base Estratégia 2 com volatilidade média de 28,00% Figura 17 Histograma de retornos - Estratégia 1 e estratégia 2 (Volatilidade média de 22,50%) Figura 18 Retorno acumulado das estratégias e do IBOVESPA - Base Estratégia 2 com volatilidade média de 22,50%

10 Figura 19 Distribuição de retornos das estratégias 1 e 2 (t = 10, t = 20, t = 30, t = 42 dias) Figura 20 Medida Omega das estratégias 1 e 2, calculadas diariamente

11 Lista de tabelas Tabela 1 Momentos das distribuições do Exemplo Tabela 2 Medida Omega das distribuições 1 e 2 - Exemplo Tabela 3 Momentos das distribuições do Exemplo Tabela 4 Medida Omega das distribuições 1 e 2 - Exemplo Tabela 5 Composição Inicial do Portfolio Tabela 6 Coeficientes da Regressão Linear Tabela 7 Matriz de Correlação - Bull Market Tabela 8 Matriz de Correlação - Bear Market Tabela 9 Matriz de Correlação - Mercado Normal Tabela 10 Matriz de Correlação - Mercado Normal Tabela 11 Curva de volatilidade utilizada Tabela 12 Quantidade de opções de cada uma das estratégias Tabela 13 Medidas estatísticas de cada uma das estratégias Tabela 14 Posição ocupada pelas estratégias 1 e 2 em comparação às estratégias aleatórias Tabela 15 Correlação dos retornos de cada opção com o portfolio otimizado Tabela 16 Medidas estatísticas - alterando opções da estrategia otimizada Tabela 17 Retornos da estratégias 1, 2 e IBOVESPA - Estratégia 2 com volatilidade média de 28,00% Tabela 18 Retornos da estratégias 1, 2 e IBOVESPA - Estratégia 2 com volatilidade média de 22,50% Tabela 19 Medidas estatísticas (t = 10, t = 20, t = 30, t = 42 dias)

12 Sumário 1 Introdução Motivação Objetivos Estrutura do trabalho Referências Bibliográficas Desenvolvimento do Modelo / Teoria Caracterização do problema Abordagem do problema Simulação de Monte Carlo Movimento Browniano Geométrico Volatilidade Estocástica Jumps Correlação dos Ativos Drift Aleatório Estratégia com Opções Métricas de performance Medida Omega Modelagem Obtenção dos Resultados Aplicação prática da Metodologia Descrição e Coleta de Dados Drifts Matriz de Correlação Jumps dos ativos Volatilidade Estocástica Opções Apresentação e Discussão dos Resultados Análise da distribuição final Medidas Estatísticas Estratégias aleatórias Payoff das estratégias isoladas Payoff das Estratégias nos Portfolios Intervalos críticos Efeito individual das opções

13 SUMÁRIO Backtest da estratégia Análise das distribuições intermediárias Conclusão Pesquisas Futuras Referências Apêndices 62 APÊNDICE A Simulação de Monte Carlo APÊNDICE B Rotina de Otimização da Medida Omega APÊNDICE C Função Auxiliar - Cálculo da Medida Omega

14 13 1 Introdução 1.1 Motivação Análise fundamentalista é uma filosofia de investimento na qual os investidores realizam uma análise detalhada das companhias, não se atendo apenas aos números apresentados nos balanços, mas também, em fatores que possam influenciar a saúde financeira da empresa, e assim, determinar o valor intrínseco da mesma. Por se tratar de uma análise que considera projeções futuras, os investimentos que seguem esta técnica são de longo prazo, podendo no curto prazo, estar expostos à variações significativas em seu preço devido a fatores externos à companhia, mesmo que os seus fundamentos não tenham se alterado. Essa variação nos preços das ações devido a eventos externos da companhia (e.g., resultados eleitorais, mudanças na política econômica de outro país, fenômenos naturais) é chamado de risco sistêmico, a qual todas as ações estão expostas e que não é possível anular com a diversificação de ações no portfólio. Dessa forma, para se proteger do risco sistêmico e gerar α no portfolio, os gestores de investimento em ações contam com diversos instrumentos no mercado brasileiro, como por exemplo: operações envolvendo o futuro do índice BOVESPA, posições vendidas em ações e operações com opções. As opções levam vantagem sobre os dois primeiros instrumentos por terem um custo menor e terem um payoff não-linear, o que possibilita aos investidores uma maior flexibilidade para atingir a distribuição de retornos desejada, através de um único tipo de opção ou uma combinação de opções. Para os investidores que buscam gerar α no portfolio, (Leland (1980)) concluiu que o formato da distribuição de retornos deve ser tal que, seja possível de se proteger de eventuais cenários de baixa de mercado e participar de possíveis movimentos de alta, ou seja, criar uma estratégia de seguro cujo objetivo é garantir que o valor investido seja uma função convexa em relação a um ativo de referência. Para isso, os praticantes do mercado já utilizam algumas estratégias com opções que atendem a situações específicas de mercado, como: bull or bear spread, butterfly, straddle e collar. Porém, apesar de estas estratégias serem bastante populares, elas ainda são bastante limitadas, pois não utilizam todo o mercado de opções disponível. Assim, como existem diversas combinações possíveis de opções disponíveis no mercado, o investidor pode buscar encontrar a combinação cujo payoff seja o mais adequado para a sua proposta de investimento pois, de acordo com Ross (1976), o investidor será capaz de gerar qualquer perfil de retornos sobre o ativo de referência, caso tenha um

15 Capítulo 1. Introdução 14 mercado completo de opções. 1.2 Objetivos O objetivo deste trabalho é comparar a distribuição de retornos de um portfólio de ações, obtida através de simulações de Monte Carlo, com outras distribuições deste mesmo portfólio, combinadas com diversas estratégias de opções sobre o IBOVESPA. A principal comparação das distribuições obtidas será através da medida Omega, que é um índice capaz de capturar todos os momentos da distribuição de retornos e que será a função objetivo a ser otimizada no problema. Além da medida Omega, serão calculadas outras medidas estatísticas, como a média, mínimo, máximo e desvio padrão, para verificar a consistência da medida Omega, e também, determinar em quais condições a utilização de mais opções pode ser benéfica para o investidor. Além dos resultados das simulações, realizaremos testes utilizando valores históricos, para entender o comportamento da metodologia estudada em condições reais. Os detalhes das simulações e fundamentos teóricos de cada uma das etapas do modelo serão explorados mais adiante nesse trabalho. 1.3 Estrutura do trabalho Em resumo, esse trabalho será dividido em sete capítulos, incluindo este introdutório. No segundo capítulo, será apresentada uma revisão bibliográfica sobre temas relacionados à estratégias de opções para criação de seguros para o portfolio. O terceiro capítulo discute os fundamentos teóricos e a metodologia utilizada para a solução do problema. Os capítulos quatro e cinco apresentarão um exemplo aplicado do modelo e a análise dos resultados obtidos. Por fim, as conclusões e futuras implementações serão apresentadas nos dois últimos capítulos.

16 15 2 Referências Bibliográficas O estudo mais conhecido sobre o processo de otimização de carteiras é o de Markowitz (1952), onde ele avalia o conjunto de alocações de ativos que maximizam o retorno dado um nível de risco, ou minimizam o risco dado um nível de retorno, formando uma fronteira eficiente de alocações. Apesar de sua notoriedade, o trabalho de Markowitz possui algumas limitações em suas premissas que o distanciam do mundo real, principalmente no que diz respeito a distribuição de retornos dos ativos, que ele considera que seguem uma distribuição normal, e que a função utilidade dos investidores é baseada na média e variância da distribuição. Estudos como Scott e Horvath (1980) discutem a importância de se considerar momentos de ordens maiores da distribuição para aprimorar a função de utilidade do investidor. Assim, Scott e Harvash demonstram que os investidores preferem valores positivos para os momentos centrais ímpares e valores negativos para os momentos centrais pares, ou seja, eles entendem que distribuições com caudas pesadas à direita são mais desejáveis aos investidores. As limitações do trabalho de Markowitz, também são consideradas por Leland (1999), onde ele discute a ineficiência da utilização da medida de média-variância sobre um portfolio que não possui distribuição normal, e conclui que os investidores dão mais importância para os riscos de downside do que para os riscos de upside. Em seu trabalho, Bookstaber e Clarke (1984) analisam o efeito da utilização de estratégias de opções sobre o perfil da distribuição de retornos, gerado por um algoritmo que é explicado em Bookstaber e Clarke (1983). Os resultados obtidos mostram que com a utilização de estratégias simples de opções (comprar call ou comprar put), é possível gerar distribuições com caudas pesadas à direita da distribuição. Além deste resultado, o trabalho deles também apresentou uma avaliação das métricas de performance de média-variância sobre os portfolios com opções. Por se tratar de distribuições não-normais, a métrica não capturou todos os momentos da distribuição e se mostrou ineficiente para a avaliação de performance. O estudo de Bookstaber e Clarke também concluiu que a forma da distribuição de retornos dos portfolios com opções não sofrem alterações caso as opções estejam precificadas incorretamente, desde que o preço das opções não tenha uma diferença de 20% do preço correto. Bollen (1999) utilizou simulações de Monte Carlo para comparar a distribuição de retornos entre um portfolio com e sem opções, obtendo resultados compatíveis com os

17 Capítulo 2. Referências Bibliográficas 16 resultados apresentados por Bookstaber e Clarke. Bollen comenta em seu trabalho que nas simulações realizadas, apenas uma variável foi utilizada para calcular o valor do portfolio, não levando em consideração as correlações entre os ativos. Santa-Clara e Saretto (2009) analisaram a utilização de estratégias com diversas opções sobre a perspectiva de riscos de chamada de margem e custos de transação. Apesar de ter verificado retornos maiores com a utilização de estratégias de opções, os custos de transação podem gerar retornos bem menores do que os obtidos anteriormente. As chamadas de margem também possuem efeitos negativos sobre as estratégias com opções. Neste caso, as perdas podem ser maiores, pois o investidor pode ser forçado a fechar uma posição justamente em cenários que ele já perdeu uma grande quantia do seu investimento. A capacidade das opções em alterarem o perfil das distribuições de retornos levou a criação de estratégias de seguro, que são estratégias cujo objetivo é garantir que o valor investido seja uma função convexa em relação a um ativo de referência (Leland (1980)). Uma estratégia de seguro bastante estudada é a OBPI (Option Based Portfolio Insurance), proposta por Leland e Rubinstein (1976). A estratégia consiste em comprar um ativo e uma put deste mesmo ativo, resultando em um portfolio cujo valor final no vencimento da opção, sempre será maior que o strike da opção, independente das flutuações do mercado. Annaert, Osselaer e Verstraete (2009) realizaram um estudo onde compararam a estratégia OBPI com uma posição comprada no ativo objeto. Neste estudo, eles calcularam o VaR e o Expected Shortfall (ES) sobre as distribuições de retornos obtidas pelo método de bootstrap, que consiste em retirar uma amostra da série histórica de retornos. Os resultados obtidos demonstram que a estratégia de seguro gera portfolios com duas características importantes: um portfolio com menor risco e com skewness positivo. Porém, em troca dessas duas características, os retornos médios foram menores para a estratégia. Utilizando medidas como VaR e Expected Shortfall, o estudo de Annaert, Osselaer e Verstraete (2009) obteve conclusões apenas da cauda da esquerda da distribuição, mas não caracterizou a cauda dos retornos positivos. Bertrand e Prigent (2011) concluíram que para avaliar portfolios que possuem distribuição de retornos não-normais, como os portfolios com seguro, a medida Omega é uma métrica adequada por ela considerar todos os momentos da distribuição. Além disso, eles comentam que o threshold utilizado para calcular a medida Omega, deve estar entre 0% e a taxa livre de risco, pois assim a noção de preservação de capital fará sentido. Na literatura encontrada, apenas estratégias comuns foram analisadas, como por

18 Capítulo 2. Referências Bibliográficas 17 exemplo, compra de put, venda de call e outras estratégias padrões que atendem a condições específicas do mercado. Assim, a importância deste trabalho para a literatura é realizar um estudo que considere uma maior quantidade de opções, com o objetivo de obter uma distribuição de retornos que seja mais eficiente para o investidor, do ponto de vista da medida Omega.

19 18 3 Desenvolvimento do Modelo / Teoria O objetivo deste capítulo é descrever com maiores detalhes a metodologia apresentada brevemente no primeiro capítulo. Para isso, o capítulo será dividido em quatro partes. Na primeira parte, apresentaremos o problema a ser resolvido, seguido pelos conceitos teóricos utilizados no trabalho. Na terceira seção, definiremos a forma como o problema será resolvido, e por fim, detalharemos a forma como os resultados serão avaliados. 3.1 Caracterização do problema Seja um portfolio composto por n ações, com Q = (q 1, q 2,..., q n ) quantidades cada uma, que serão constantes durante o período de análise, e por um financeiro em caixa (X), que se valorizará a uma taxa r ao ano. No instante t=0, o preço de cada ação será igual à S 0 = (s 0 1, s 0 2,..., s 0 n) e todos os preços seguirão um processo estocástico ao longo do período. Dessa forma, o valor do portfolio de ações será igual à: V t = QS t + X(1 + r) t/252 (3.1) Além das ações, o investidor poderá compor o seu portfolio por c = (c 1, c 2,..., c o ) opções de compra e p = (p 1, p 2,..., p o ) opções de venda disponíveis no mercado. Todas estas opções terão como ativo base o futuro do IBOVESPA, serão do tipo européia e terão o mesmo vencimento, que nesse caso ocorrerá 42 dias após o início da análise. O preço de cada opção (C para as calls e P para as Puts) e os deltas ( C para calls e P para puts) serão definidos pelas fórmulas de Black-Scholes que serão descritas adiante. Dessa forma, caso o investidor decida incluir alguma das opções em seu portfolio, o valor do mesmo poderá ser calculado da seguinte forma V t = QS t + (cc t + pp t ) + (X (cc 0 + pp 0 ) ( cc 0 + pp 0 )B)((1 + r) (t/252) ) (3.2) onde B é a taxa de corretagem que será aplicada sobre o financeiro absoluto das operações com as opções. Assim, a equação 3.20 é composta por três sub-portfolios: ações, opções e o caixa, que ao serem avaliados em conjunto, definirão uma trajetória do portfolio. O valor final da trajetória será a variável aleatória de interesse do investidor, sendo que diversas variáveis aleatórias podem ser obtidas através de simulações numéricas.

20 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 19 Ao final das simulações, as diversas trajetórias definirão uma distribuição de probabilidades de retornos, sendo que para cada combinação de opções, existirá uma distribuição distinta. Dessa forma, o investidor terá diversas distribuições de probabilidades possíveis e para que ele possa escolher a mais adequada, dado os parâmetros de risco e retorno que ele acreditar ser a mais adequada, deverá definir uma métrica para comparar estas distribuições. 3.2 Abordagem do problema Como vimos na seção anterior, o problema é composto basicamente por três partes: simulações numéricas, estratégias com opções e métricas de performance. Nesta seção, iremos detalhar os conceitos teóricos de cada uma delas Simulação de Monte Carlo Como não é possível determinar com exatidão o valor que um portfolio terá ao final de um intervalo de tempo, é usual a utilização da distribuição de retornos deste portfolio para a realização de estudos e tomadas de decisões. Dessa forma, ao invés de trabalharmos com apenas um valor, a análise é feita sobre diversos cenários que o portfolio pode seguir, e assim, será possível medir a probabilidade de cada intervalo de valores do portfolio. Para a geração da distribuição de retornos, podemos utilizar a simulação de Monte Carlo, que é uma técnica matemática amplamente utilizada no mercado financeiro, principalmente para a geração de trajetórias de preços dos ativos. O princípio básico da simulação de Monte Carlo é a geração de diversas variáveis aleatórias que serão utilizadas em um modelo escolhido para a simulação dos preços dos ativos. Como veremos adiante, a simulação de Monte Carlo é uma técnica bastante flexível, por possibilitar a inclusão de diversos fatores que podem afetar a trajetória do preço do ativo Movimento Browniano Geométrico Para a simulação dos preços dos ativos, consideraremos que eles seguem um movimento geométrico browniano, cuja formulação é dada pela seguinte equação diferencial estocástica: ds t = µs t dt + σs t dw t (3.3)

21 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 20 Na equação 3.3, o primeiro termo corresponde ao drift ou valor esperado do retorno do ativo e o segundo termo é o choque sofrido pelo mesmo, sendo que o termo W t refere-se ao processo de Wiener, com média zero e variância t e é dado por W t = ɛ t (3.4) onde ɛ representa uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Essa variável é simulada a cada passo da simulação de Monte Carlo para gerar o efeito aleatório do preço do ativo. A solução da equação 3.3 é dada por S t = S 0 exp ((µ σ2 2 )t + σw t) (3.5) O movimento geométrico browniano apresentado nesta seção é a forma mais simples para as simulações de Monte Carlo, porém diversos estudos como de Andersen, Benzoni e Lund (2002), fazem críticas a este modelo, por gerar uma distribuição de retornos que não se adequa à observada historicamente. Dessa forma, Andersen, Benzoni e Lund (2002), identificaram que o modelo que melhor se adequa para a simulação dos preços dos ativos é o que incorpora volatilidade estocástica e jumps ao modelo desta seção Volatilidade Estocástica Na equação 3.3, o segundo termo contém a volatilidade do ativo (σ), que em muitos casos é considerada como constante, como na equação de Black-Scholes para a precificação de opções. Porém, assim como o preço do ativo, a volatilidade também segue um processo geométrico browniano, que varia ao longo do tempo, conforme observado por Andersen, Benzoni e Lund (2002). Existem diversos modelos para simular a volatilidade estocástica dos ativos, sendo que o mais utilizado é o modelo de Heston (1993), no qual a equação 3.3 toma a seguinte forma: onde ν t é a variância instantânea, dada por ds t = µs t dt + ν t S t dw S t (3.6) dν t = κ(θ ν t )dt + ξ ν t dw ν t (3.7) As variáveis utilizadas na equação 3.7 são as seguintes: θ é a variância de referência, para a qual a variância instantânea (ν t ) tende a convergir no longo prazo;

22 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 21 κ é a taxa de convergência, que indica a velocidade com que ν t convergirá para θ; ξ é volatilidade da volatilidade simulada; dwt S e dwt ν são dois processos de Wiener com distribuição normal padrão e que possuem correlação ϱ entre si. O modelo de Heston assume que a volatilidade instantânea é um processo aleatório que possui as seguintes características: 1. Tendência a retornar para a variância de longo prazo θ a uma taxa de convergência κ; 2. Apresenta uma volatilidade proporcional a raiz quadrada do seu nível atual; 3. A aleatoriedade do processo estocástico da variância está correlacionada com a aleatoriedade do preço do ativo Jumps Os jumps podem ser interpretados como eventos que ocorrem em tempos discretos e fazem com que o preço dos ativos sofram mudanças abruptas, como por exemplo: divulgação de resultados da companhia, fenômenos naturais e liquidez dos ativos. Em conjunto com a volatilidade estocástica, os jumps explicam a presença de curtose e assimetria das distribuições de retornos dos ativos. Dessa forma, como definido por Merton (1976), a trajetória do ativo pode ser descrita pela equação diferencial estocástica 3.8 N t S t = S 0 exp ((µ σ2 2 )t + σw t) exp(y i ) (3.8) onde N t é uma variável aleatória que representa a frequência de jumps e segue uma distribuição de Poison, e a variável Y possui uma distribuição normal com média β Y e variância σy 2. i= Correlação dos Ativos Diversos estudos (Longin e Solnik, 2001, e Ang e Bekaert, 2002) apontam que as correlações entre os ativos se alteram em períodos de bear markets ou bull markets, em relação aos períodos de baixa volatilidade (estado normal). Assim, para a simulação de um portfolio que contém n ativos, devemos considerar o efeito da correlação entre eles. Ou seja, os números aleatórios (ɛ) gerados na simulação

23 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 22 de Monte Carlo para cada um dos ativos, devem apresentar a mesma correlação existente entre os ativos. Para transformamos um conjunto de variáveis aletórias não-correlacionadas em um conjunto que apresente a correlação desejada, podemos utilizar a Decomposição de Cholesky, que decompõe uma matriz ρ em duas matrizes L (matriz triangular inferior) e L (matriz cojungada transposta da matriz L), ou seja ρ = LL (3.9) Para que a Decomposição de Cholesky tenha solução única, a matriz ρ deve ser simétrica e positiva definida. Assim, se quisermos transformar um vetor de variáveis aleatórias não-correlacionadas ɛ em um vetor x que segue a mesma correlação da matriz ρ, basta realizar a multiplicação da matriz triangular inferior L pelo primeiro vetor: expressões são x = Lɛ (3.10) No caso mais simples, para correlacionar duas variáveis não-correlacionadas, as x 1 = ɛ 1 x 2 = ρɛ ρ 2 ɛ 2 (3.11) Com a utilização desta técnica é possível melhorar os resultados da simulações pois para cada estado do mercado, podemos utilizar uma matriz de correlação diferente, capturando o risco de correlação entre os ativos Drift Aleatório Apesar de a equação do movimento geométrico browniano (3.3) possuir um fator aleatório, as trajetórias seguirão a mesma tendência se mantivermos o drift (µ) constante. Essa tendência pode prejudicar a avaliação dos resultados pois o investidor deseja analisar de forma ampla o comportamento do portfolio em diversos cenários que ele possa estar exposto. Uma forma de se realizar a aleatorização do drift é, a cada nova simulação, gerar um número aleatório que esteja contido em uma determinada distribuição pré-estabelecida e que definirá a tendência a ser seguida pela trajetória do ativo naquela simulação. O simples fato de aleatorizar o drift, permite que a distribuição de retornos contemple mais cenários e que seja possível capturar movimentos extremos, tanto positivos, quanto negativos.

24 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria Estratégia com Opções Opções são instrumentos que dão o direito ao detentor da opção de comprar, no caso de uma call, ou vender, no caso de uma put, o ativo objeto, a um determinado preço, em um período de tempo pré-especificado (no caso de opções européias, que o exercício somente pode ocorrer no vencimento da opção). Claramente, existem diversas combinações possíveis com essas variáveis (call ou put, ativo objeto, preço de exercício ou strike (K) e vencimento (T)), possibilitando a existência de diversas opções no mercado. Para a determinação do preço de uma opção européia é utilizado o modelo de Black-Scholes, que além das variáveis citadas no parágrafo anterior, tem como variáveis de entrada o preço atual do ativo objeto (S), a volatilidade dele (σ) e a taxa de juros anualizada (r). As fórmulas de Black-Scholes para calcular o preço de uma Call (C) e de uma Put (P) são: C(S, t) = SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) P (S, t) = Ke r(t t) N( d 2 ) SN( d 1 ) onde d 1 = ln(s/k)+(r+σ2 /2)(T t) σ (T t d 2 = d1 σ (T t) (3.12) Como possuem um payoff assimétrico, as opções são muito utilizada para proteção de carteiras (hedge), de modo análogo a um seguro de carro. O detentor do seguro paga um prêmio que lhe dará o direito de receber um valor, caso ocorra um evento adverso ao seu bem, como por exemplo, o carro ser roubado. A mesma lógica pode ser utilizada para as opções. Caso o investidor tenha uma ação e queira proteger contra a queda do preço da mesma, ele pode comprar uma opção de venda a um determinado strike. Se o preço da ação cair abaixo do strike, o investidor poderá exercer a opção e vender a um preço maior do que o praticado no mercado, tendo assegurado assim, uma proteção contra o movimento adverso do preço da ação. O exemplo citado é apenas uma das possíveis estratégias para proteger o portfolio contra um movimento de queda no preço do ativo objeto. Porém, o investidor pode desejar criar um payoff que o proteja em movimentos de queda, mas que também lhe possibilite ter resultados positivos, caso o preço do ativo seja maior que um determinado valor. Dessa forma, existem diversas estratégias que combinam as opções disponíveis no mercado, gerando payoffs conforme a expectativa do investidor. Na sequência, são destacadas algumas estratégias bastante utilizadas no mercado (Hauser e Eales (1987)), com opções de mesmo vencimento e que serão base de comparação com a estratégia otimizada por este trabalho.

25 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 24 Comprar Put; Vender Call; Comprar Straddle - Comprar uma mesma quantidade de call e put, no mesmo strike; Comprar Strangle - Comprar uma mesma quantidade de call e put, com strike diferentes; Bear Spread - Vender uma quantidade de call de um determinado strike e comprar a mesma quantidade de outra call de um strike maior; Vender Butterfly - Comprar uma quantidade de call de um determinado strike e vender a metade da quantidade em duas calls, uma com strike maior e outra com strike menor, mas equidistantes do strike da primeira; Além de serem utilizadas como um seguro para o portfolio, as opções também podem ser úteis para gerar alavancagem no portfolio. Por exemplo, a ação de uma companhia é negociada à R$ 1,00, enquanto que uma call desta mesma companhia é negociada à R$ 0,10. Caso o investidor tenha R$ 100,00, ele pode comprar 100 ações ou opções, que no vencimento podem ser equivalentes à ações. Ou seja, com um mesmo financeiro, o investidor pode ter exposição 10 vezes maior sobre à ação da companhia. Essa razão de equivalência entre quantidade de opções por quantidade de ações é equivalente ao (Delta) da opção e é calculada da seguinte forma = N(d 1 ) (3.13) Assim, por ter um efeito de alavancagem no portfolio que pode causar perdas de todo o patrimônio do fundo, o investidor deve controlar a posição que ele está exposto em uma determinada opção através do cálculo do da opção. Neste trabalho o cálculo do será utilizado como uma restrição do problema de otimização para controlar a alavancagem do portfolio durante o período de análise, e evitar que o portfolio tenha perdas maiores que o seu patrimônio Métricas de performance Para que um investidor seja capaz de comparar a qualidade dos diversos investimentos à sua disposição, é necessário que ele utilize alguma métrica de performance que lhe possibilite escolher o que melhor se adequa ao seu perfil. Sendo assim, existem três métricas de performance que são bastante utilizadas no mercado: índice Sharpe, medida de Treynor e medida de Jensen.

26 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 25 O índice Sharpe (Sharpe (1994)) é a razão do excesso de retorno do investimento em relação a um benchmark, ou ao ativo livre de risco, sobre o risco total do investimento (desvio-padrão). Sharpe = R P R f σ(r P ) (3.14) A medida de Treynor (Treynor (1965)) também compara o excesso de retorno do portfolio sobre uma medida de risco. Porém, neste caso, o risco considerado é apenas o risco sistemático, ou seja, o risco não-diversificável do portfolio. Treynor = R R f β P (3.15) Essas duas medidas podem ser interpretadas como o retorno obtido pelo portfolio para cada unidade de risco tomado pelo investidor. Uma terceira medida bastante utilizada para avaliar portfolios é a medida Jensen. Nesse caso, o investidor irá avaliar o excesso de retorno obtido pelos investimentos sobre o retorno teórico, que pode ser definido por um modelo de mercado como por exemplo, o CAPM (Capital Asset Pricing Model). Jensen = R p [R f + β P (R M R f )] (3.16) Apesar dessas três medidas serem bastante utilizadas no mercado, elas somente terão um valor significativo se a distribuição de retornos for normal, ou se a função utilidade do investidor for baseada apenas nos dois primeiros momentos da distribuição, como estudado por Leland (1999). Assim, a análise de distribuições assimétricas, geradas principalmente pela utilização de opções no portfolio, deve ser avaliada com uma métrica de performance que vá além dos dois primeiros momentos da distribuição, como por exemplo, a medida Omega, que será analisada na próxima seção Medida Omega A medida Omega foi proposta por Keating e Shadwick (2002) com a intenção de criar uma medida que fosse capaz de capturar todos os momentos de uma distribuição de retornos, sendo mais completa que o índice Sharpe, que captura apenas os dois primeiros momentos, a média e a variância da distribuição. A importância de capturar todos os momentos de uma distribuição, reside no fato de que os retornos dos ativos não são normalmente distribuídos, ou seja, uma distribuição não pode ser descrita apenas por sua média e variância. A adição de opções ao portfolio

27 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 26 amplifica ainda mais a distorção da distribuição de retornos em relação à distribuição normal, já que as opções possuem um payoff não-linear. A fórmula para o cálculo da medida Omega é dada pela seguinte expressão: Ω(L) = I 2(L) I 1 (L) (3.17) onde I 1 (L) = L a F (x) dx e I 2(L) = b L (1 F (x)) dx F (x) é a função distribuição acumulada dos retornos definida no intervalo [a, b] e L é o limiar de retorno desejado pelo investidor. Dessa forma, a equação 3.17 pode ser entendida como a razão entre as probabilidades ponderadas dos ganhos e perdas, relativos ao limiar de retorno L (threshold). Figura 1 Exemplo da medida Omega Ω(70) - Razão das probabilidades ponderadas acima do limiar 70 (região preta), sobre as probabilidades ponderadas abaixo do limiar (região vermelha) A medida Omega também pode ser interpretada como a razão do valor esperado de uma call sobre o valor esperado de uma put, as duas com o mesmo strike, L. Ω(L) = E(X L)+ E(L X) + (3.18) Como principais características da medida Omega, podemos citar:

28 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 27 não requer a função utilidade do investidor para ser calculada; mesmo para distribuições normais, a medida Omega pode dar mais informações para a análise de média-variância, incorporando a percepção do investidor em relação a perdas e ganhos; a medida Omega possibilita detalhar com mais precisão a propriedades estatísticas de distribuições históricas, já que a medida é calculada sobre a própria distribuição. Para entendermos melhor a importância de considerarmos todos os momentos de uma distribuição, vamos analisar dois exemplos que mostram a diferença entre a análise utilizando o Índice Sharpe (IS) e a Medida Omega. Exemplo 1 Consideramos duas distribuições com as características apresentadas na tabela 1: Distribuição 1 Distribuição 2 Média 7,0 7,0 Desvio-Padrão 1,2 1,5 Assimetria 0,0 0,0 Curtose 2,0 0,0 Tabela 1 Momentos das distribuições do Exemplo 1 Se calcularmos o índice Sharpe das duas distribuições, obtemos os seguintes valores: IS 1 = 5, 83 e IS 2 = 4, 67. Assim, se considerarmos apenas os dois primeiros momentos das distribuições, temos que a Distribuição 1 sempre terá a melhor relação risco-retorno. Porém, como podemos observar na figura 2, a distribuição 2 tem uma cauda mais pesada que a distribuição 1, devido à menor curtose.

29 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 28 Figura 2 Histograma de Distribuições - Exemplo 1 - Diferença entre a medida Omega e o índice Sharpe Se utilizarmos a medida Omega para avaliar as duas distribuições, os resultados podem ser distintos, dependendo do threshold escolhido na análise. Nos dois gráficos da figura 3, estão as distribuições acumuladas dos valores do exemplo 1 e a linha vertical representa o threshold em cada caso. No gráfico da esquerda, o threshold escolhido foi igual à L = 6, 0 e no da direita, igual à L = 8, 0, ou seja, o gráfico da esquerda aceita valores menores como resultados positivos. Figura 3 Distribuições acumuladas - Exemplo 1 - Diferença entre a medida Omega e o índice Sharpe Se calcularmos a medida Omega para as distribuições 1 e 2, utilizando thresholds iguais à L = 6, 0 e L = 8, 0, obtemos os valores da tabela 2:

30 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 29 Distribuição 1 Distribuição 2 L = 6, 0 8,9202 5,3744 L = 8, 0 0,1164 0,1819 Tabela 2 Medida Omega das distribuições 1 e 2 - Exemplo 1 Assim, ao contrário do índice Sharpe, a medida Omega pode resultar em decisões diferentes, dependendo do limiar escolhido pelo investidor. Exemplo 2 Como no exemplo anterior, iremos comparar duas distribuições com as propriedades apresentadas na tabela 3: Distribuição 1 Distribuição 2 Média 7,0 7,0 Desvio-Padrão 2,0 2,0 Assimetria -0,5 0,5 Curtose 0,0 0,0 Tabela 3 Momentos das distribuições do Exemplo 2 Neste caso, as duas distribuições possuem a mesma média e o mesmo desvio-padrão, o que resulta num mesmo índice Sharpe para os dois casos (IS = 3, 5), não sendo possível distinguir qual das duas distribuições possui a melhor relação risco-retorno no caso de um investidor que não considera apenas os dois primeiros momentos da distribuição. Figura 4 Histograma de Distribuições - Exemplo 2 - Diferença entre a medida Omega e o índice Sharpe

31 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 30 Porém, se calcularmos a medida Omega, teremos mais uma vez que os resultados evidenciam todos os momentos das distribuições, sendo possível escolher uma das duas como sendo melhor, dependendo do limiar escolhido. Figura 5 Distribuições acumuladas - Exemplo 2 - Diferença entre a medida Omega e o índice Sharpe Distribuição 1 Distribuição 2 L = 6, 0 3,7537 3,3147 L = 8, 0 0,3024 0,2679 Tabela 4 Medida Omega das distribuições 1 e 2 - Exemplo 2 Neste exemplo, para os dois valores de threshold, a distribuição 1 teve um resultado melhor que a 2, por possuir uma cauda à direita mais pesada que a primeira distribuição. Com estes dois exemplos, fica explícito que a medida Omega é um medida mais completa que o índice Sharpe, por utilizar todos os momentos da distribuição e permitir que seja definido um limiar de retorno, que determina os valores que serão considerados como positivos e negativos para o investidor. 3.3 Modelagem O problema a ser otimizado é o seguinte Maximizar c 0,p 0 Ω(V T (c 0, p 0, C T, P T, S T ), L) sujeito à 500 c 0 500, c 0 R, 500 p 0 500, p 0 R, V T 0, 50V 0, (3.19) c 0 C 0 + p 0 P 0 0, 50X 0, (c 0 C + p 0 P )S 0 IBOV 0, 2V 0

32 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 31 onde o valor do portfolio (V t ) no período t é calculado da seguinte forma: V t = QS t +(c 0 C t +p 0 P t )+(X (c 0 C 0 +p 0 P 0 ) ( c 0 C 0 + p 0 P 0 )B)((1+r) (t/252) ) (3.20) Assim, o problema de otimização deve considerar as quantidades que maximizam a medida Omega dos valores do portfolio no período t = T, dado os vetores de preços das calls (C T ), puts (P T ) e dos ativos (S T ), e o limiar de retornos L, respeitando as seguintes restrições: o investidor poderá comprar ou vender, no máximo, 500 quantidades de cada opção disponível; o valor final do portfolio com as opções, deve ser maior ou igual à 50% do valor do portfolio original; o financeiro total que o investidor podetá utilizar para comprar ou vender as opções deve ser menor ou igual à metade do valor inicial do caixa; o delta financeiro das opções, no início do período, deve ser menor que 20% do patrimônio original. Esta restrição é útil para o controle de alavancagem do portfolio. No problema de otimização, as variáveis de decisão serão as quantidade iniciais de cada uma das calls (c 0 ) e puts (p 0 ) e que, após definidas, serão fixas durante todo o processo de análise. Consideramos que os preços dos ativos seguirão um movimento geométrico browniano, com jumps e volatilidade estocástica, e que as opções serão precificadas utilizando-se o modelo de Black-Scholes (3.12), com uma curva de volatilidade constante por todo o período. O fato de mantermos a curva de volatilidade constante não terá influencia no resultado da análise, pois só estamos interessados em avaliar a distribuição do portfolio no final do período. Para que o problema seja simplificado, adotaremos que o investidor somente irá realizar operações no início do período de análise, mantendo as quantidades de ações e opções fixas, até o vencimento das opções. Uma questão que não estamos considerando é o comportamento do valor do portfolio durante o período de análise. Este ponto é importante pois o investidor pode perder todo o patrimônio antes do vencimento das opções. Porém, esse risco é minimizado através da restrição de alavancagem imposta no problema de otimização. A metodologia completa para a obtenção dos resultado é definida da seguinte forma:

33 Capítulo 3. Desenvolvimento do Modelo / Teoria 32 Definição dos nomes e quantindades (Q) dos ativos que irão compor a carteira, sendo que estes permanercerão constantes por todo o período de análise e também, o valor do caixa (X) que pode ser utilizado para a compra e venda de opções no início do processo de análise; Coleta dos dados históricos de cada um dos ativos para que seja possível a calibragem da simulação de Monte Carlo; Através de simulações de Monte Carlo, gera-se N trajetórias para cada um dos ativos, sendo que a união das trajetórias de cada um dos ativos definirá N trajetórias de um portfolio composto por esses ativos; Por fim, executamos o problema de otimização da equação 3.19, onde será definido o portfolio de opções que irá compor, junto com o portfolio de ações, a carteira que terá a medida Omega otimizada, dados os parâmetros definidos no problema. 3.4 Obtenção dos Resultados Para a avaliação do resultado da metodologia proposta no trabalho, iremos comparar a distribuição de retornos do portfolio com as opções otimizadas, com o portfolio original, com estratégias de opções citadas na seção e com portfolios aleatórios de opções. A primeira comparação será através da medida Omega das distribuições. Na sequência, analisaremos outras medidas estatísticas, como: média, desvio-padrão, mediana, mínimo, máximo, 10% percentil, 25% percentil, 75% percentil e 90% percentil. Dessa forma, poderemos visualizar se alguma distribuição é dominante sobre as demais. Além das medidas estatísticas, iremos analisar o efeito que a estratégia de opções otimizada teve sobre o portfolio original em cada uma das simulações. Também iremos avaliar em quais cenários o portfolio otimizado é mais eficiente que o original e que possibilita que o investidor seja capaz de tomar as decisões de acordo com suas expectativas. Como forma de avaliar a eficiência da metodologia, iremos realizar um backtest para verificar se com a utilização dos retornos reais, a estratégia teria sido eficiente para o investidor. Por fim, faremos uma análise do comportamento do portfolio original e do otimizado durante o período analisado. Apesar de o interesse do trabalho ser otimizar a medida Omega no final do período, é importante entender se o portfolio tem algum comportamento inesperado antes do vencimento das opções, como por exemplo, perda total do patrimônio.

34 33 4 Aplicação prática da Metodologia Neste capítulo, iremos aplicar a metodologia apresentada no capítulo anterior à um exemplo prático. Para isso, iniciaremos o processo definindo os papéis e as quantidades de cada uma das ações que irão compor o portfolio e que serão constantes por todo o processo de análise. Após a seleção do portfolio, o próximo passo é a calibragem de cada um dos ativos para que seja possível simular a trajetória dos preços e assim, definir o valor do portfolio de ações. Neste exemplo, simularemos trajetórias para cada ativo, que irão compor valores de portfolios no instante T = 42 dias. Após a simulação das trajetórias, iremos otimizar a medida Omega da distribuição de retornos dos portfolios simulados, considerando um limiar de retorno L = 2, 15%, e cujas variáveis de decisões serão as quantidades de calls e puts disponíveis para o investidor. A continução deste capítulo terá como foco a definição do portfolio e a calibragem dos parâmetros que compõem a simulação de Monte Carlo para a determinação das trajetórias dos preços dos ativos. 4.1 Descrição e Coleta de Dados O portfolio utilizado como exemplo será constiuído por n = 9 ações negociadas na BOVESPA, com quantidades fixas durante o período de análise, conforme Tabela 5. Adicionalmente às ações, o investidor terá em seu portfolio, um financeiro em caixa de X 0 = R$ ,00, que será valorizado diariamente à uma taxa r = 13, 62% a.a. e que poderá ser utilizado para as operações com as opções. A data-base do período de análise será o dia 08/06/2015, quando o valor do IBOVESPA foi de pontos. O período de duração da análise foi igual à T = 42 dias úteis, que é equivalente ao prazo de vencimento padrão para as opções do IBOVESPA.