5 Métricas de Risco: aplicação e resultados
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- Amadeu Arantes de Sequeira
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1 70 5 Métricas de Risco: aplicação e resultados 5.1 O ativo objeto Para a análise comparativa das métricas foram construídas 15 estratégias, todas elas compostas por opções de WTI com prazo para vencimento de um mês. 5.2 As estratégias As seguintes estratégias foram consideradas: 1) Compra de call at-the-money 2) Compra de call 5% in-the-money 3) Compra de call 10% in-the-money 4) Compra de call 5% out-of-the-money 5) Compra de call 10% out-of-the-money 6) Compra de put at-the-money 7) Compra de put 5% in-the-money 8) Compra de put 10% in-the-money 9) Compra de put 5% out-of-the-money 10) Compra de put 10% out-of-the-money 11) Compra de bull spread in-the-money 12) Compra de bull spread in-the-money/out-of-the-money 13) Compra de bull spread out-of-the-money 14) Compra de butterfly 15) Compra de straddle
2 Metodologias aplicadas Para cada uma destas estratégias foi calculado o VaR de 1 dia com intervalo de confiança de 95% de acordo com as seguintes metodologias: 1) Full Monte-Carlo 2) Delta-VaR analítico 3) Delta-Gamma-VaR analítico 4) Vega-VaR 5) VaR com inclusão de derivadas de ordens superiores Full Monte Carlo No caso do Full Monte-Carlo é preciso apresentar os parâmetros utilizados na simulação. Foram utilizadas séries históricas de dois anos, conforme recomendação do RiskMetrics, de preços de contratos futuros de WTI e volatilidade implícita de opções at-the-money. Foram considerados os valores de fechamento dos contratos futuros de WTI e opções com menor tempo de expiração em cada data da série. A série de dados utilizada é apresentada no Anexo I. Como descrito no item , optou-se pela simulação dos dois parâmetros preço futuro e volatilidade via movimento geométrico browniano, cujos parâmetros baseados nas séries históricas são apresentados na Tabela 3. Tabela 3 - Parâmetros do Movimento Geométrico Browniano $% &%'()*'*+(+#,')*-%.&('%" $%% &'$%# /"*0) (((((((((((((("$""! "$""" /#12*%34(+"5% (((((((((((((("$"&" (((((((((((((("$"%& Além disso para que as simulações fossem feitas de forma correlacionada foi utilizada a fatoração de Cholesky (Tabela 5), calculada através da matriz de correlação apresentada na Tabela 4.
3 72 Tabela 4 - Matriz de Correlação $% &%' $% ### $#"%!%!& &%' $#"%!%!& ### Tabela 5 - Matriz de Cholesky $% ### $% &%' &%' $#"%!%!& #"'('% Com estes parâmetros foram calculados cenários de preço futuro e volatilidade correlacionados. O valor de cada uma das opções consideradas nas estratégias em análise foram recalculados para cada um dos cenários simulados de forma a obter o VaR. No entanto, mais um detalhe precisa ser destacado no cálculo do VaR Full Monte-Carlo: o smile. Através do MGB foram simulados valores para a volatilidade de uma opção ATM. As volatilidades para os demais strikes foram estimadas através de um ajuste polinomial, realizado da seguinte forma: 1. Selecionadas opções 10% OTM, 5% OTM, ATM, 5% ITM e 10% ITM. 2. Calculadas média das volatilidades implícitas para cada uma dos strikes considerados. 3. Calculado percentual de cada uma das volatilidades em relação à volatilidade da opção ATM. 4. Realizado ajuste polinomial destes pontos, conforme apresentado no Gráfico 31. y corresponde ao percentual da volatilidade em relação à volatilidade ATM (referencia=1), enquanto x corresponde à razão strike/futuro.
4 73 $%$$&'($ $-18$$ $-13$$ $-1.$$ $.1:$$ #$-.&$'()$ *+($-.&$,()$ #$%&$'()$ *+($%&$,()$ /$0$-% $5$631%.%4$7$-2128$ "()$ $#$-.&$,()$ $#$%&$,()$ *+($-.&$'()$ *+($%&$'()$ $ $.19$$ $.18$$ $.13$$ $5$$$$ Gráfico 31 - Smile: ajuste polinomial Assim, ao reavaliar o preço de cada opção através da aplicação da fórmula de Black, os seguintes passos são realizados. 1. O preço do contrato futuro considerado é o simulado via MGB, 2. Calcula-se a relação strike/futuro de forma a se determinar o fator de ajuste do smile, 3. Aplica-se o fator de ajuste à volatilidade ATM simulada. 4. Aplica-se a fórmula de Black. Os resultados obtidos para cada uma das opções encontra-se no Gráfico 32.
5 74 Call ITM 10% VaR = 8.81 Call ITM 5% VaR = 4.89 #)*+###+*!###'*%###,*+##((*!## #($*-## #(-*&## #()*!## #(&*-## #(+*&## /)-0"*.)*01230* ($ (! ' & % $ $%&'()*)'+,+-).)* #$)'###*)+###,)!###&)(###-)$###')*###+)%##(!)%## #((),## #($)&## ($ (! ' & % $ $%&'()*+*(,-,.*/*+ Call ATM VaR = 2.31 Call OTM 5% VaR = 1.08 #()%###$)(###$)'###*)&###%)*###+)(###+)'###&)&###,)*###')(## ($ (! ' & % $ $%&'()*+*(,-,.*/*+ #!)'###()$###()&###$)!###$)%###$)'###*)$###*)&###%)!###%)%## ($ (! ' & % $ $%&'()*+*(,-,.*/*+ Call OTM 10% VaR = 0.63 Put OTM 10% VaR = 0.62 #!)&###!)*###!)'###!)+###()!###()(###()$###(),###()%###()-## ($ (! ' & % $ $%&'()*+*(,-,.*/*+ #!)%###!)&###!)*###()(###()+###(),###()'###$)!###$)$###$)%## ($ (! ' & % $ $%&'()*+*(,-,.*/*+ Put OTM 5% VaR = 1.05 Put ATM VaR = 2.31 #!)&###()(###()&###$)!###$)*###$)+###,)%###,)'###%),###%)-## ($ (! ' & % $ $%&'()*+*(,-,.*/*+ #()%###$)(###$)'###*)&###%)*###+)(###+)'###&)&###,)*###')(## ($ (! ' & % $ $%&'()*+*(,-,.*/*+ Put ITM 5% VaR = 4.51 Put ITM 10% VaR = 8.27 #$)*###+)'###,)!###&)(###*)+###')%###-)&##(!)*## #(()-## #(+)!## ($ (! ' & % $ Gráfico 32 - Resultado VaR Full Monte Carlo $%&'()*+*(,-,.*/*+ #)*)###&*+###'*,###+*-##((*(## #($*)## #(,*+## #()*,## #(&*-## #('*(## ($ (! ' & % $ $%&'()*+*(,-,.*/*+
6 Resultados obtidos: análise comparativa Os resultados obtidos pela aplicação de fórmulas analíticas das demais metodologias foram comparados com os resultados da Full Monte Carlo, de forma a determinar a acurácia de cada uma delas. Na Tabela 6 são apresentados os resultados de todas as metodologias para cada uma das estratégias, enquanto na Tabela 7 são apresentados os resultados relativos, ou seja, a proporção que cada resultado representa daquele obtido pela avaliação plena. A comparação das metodologias é facilitada pela análise do Gráfico 33, Gráfico 34, Gráfico 35, Gráfico 36 e Gráfico 37. Tabela 6 - Resultado da avaliação de risco (valores absolutos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
7 76 Tabela 7 Resultado da avaliação de risco (valores relativos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ráfico 33 - Resultado da avaliação de risco (valores relativos) $$% #&% '(%!"')*%!"(*)%!"(+,%!"(,*%!"(,(%!"('(%!"((&% *"!!,% *"!),% *"!,)% *"!,'% *"!,(% -233%*!4% -233%&4% 8933% :01;2<% =9>%*!4% =9>%&4% =A6%?67% -233%&4% -233%*!4% 8933% :01;2<% C9D;1EF% =9>%*!4% Gráfico 34 - Média das 5 metodologias (valor relativo) =9>%&4% 8933% :01;2<% B67G
8 77 $%&!)#!%& '(#)%& '*#+%& '"#!%& $#*%& *#!%& +#"%& -#+%& -#*%&!#)%& '#"%& '#'%&!#(%& "#,%&.344&',%&.344&-%& 8944& :12;3<& =9>&',%& =A6&?67&.344&-%&.344&',%& 8944& :12;3<& C9D;2EF& =9>&',%& Gráfico 35 - Desvio-padrão das 5 metodologias (valor relativo) =9>&-%& 8944& :12;3<& B67G!)$%!!!)$#!! ;<:=.! *+>?=@"A.:9B@!!#$(!!!#$'!!!#$&!!!#$%!!!"!!!! *+,-."/.00."1.2! 34! *+,-."/.00."1.2! 567"89:+9"1.2! *+,-."1.2! 1+6."1.2! Gráfico 36 - Média e desvio-padrão de cada metodologia (valores relativos)
9 78 Call OTM 10% Call OTM 5% Call ATM 23$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$ Call ITM 5% Call ITM 10% Put ITM 10% 23$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$ Put ITM 5% Put ATM Put OTM 5% 23$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$ Put OTM 10% Bull Spread ITM Bull Spread ITM/OTM 23$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$ Bull Spread OTM Butterfly Straddle 23$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$!!$!"%#!$ &"!!!$ &"'#!$ &"#!!$ Gráfico 37 - Resultado da avaliação de risco (valores relativos)
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