FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO DANIEL KENDI OYA

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1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO DANIEL KENDI OYA ESTUDO SOBRE O RISCO DE UMA CARTEIRA DE OPÇÕES ATRAVÉS DA ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS SÃO PAULO

2 DANIEL KENDI OYA ESTUDO SOBRE O RISCO DE UMA CARTEIRA DE OPÇÕES ATRAVÉS DA ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS Dissertação apresentada à Escola de Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV/EESP) como requisito para obtenção do título de Mestre em Finanças e Economia Empresarial. Orientador: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto SÃO PAULO

3 DANIEL KENDI OYA ESTUDO SOBRE O RISCO DE UMA CARTEIRA DE OPÇÕES ATRAVÉS DA ANÁLISE DE COMPONENTES PRINCIPAIS Dissertação apresentada à Escola de Economia da Fundação Getúlio Vargas (FGV/EESP) como requisito para obtenção do título de Mestre em Finanças e Economia Empresarial. Data de aprovação: / / Banca Examinadora: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador) FGV-EAESP Prof. Dr. Ricardo Ratner Rochman FGV-EAESP Prof. Dr. Marcos Eugênio da Silva FEA-USP

4 Oya, Daniel Kendi. Estudo sobre o risco de uma carteira de opções através da análise de componentes principais / Daniel Kendi Oya f. Orientador: Afonso de Campos Pinto. Dissertação (mestrado) - Escola de Economia de São Paulo. 1. Mercado de opções.. Administração de risco. 3. Análise de componentes principais. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (mestrado) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título. CDU 33.7.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço ao meu orientador, Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto, pelo apoio, pela orientação e pela confiança depositada neste trabalho, sem os quais não seria possível concluí-lo com sucesso. Agradeço aos meus pais, pelo constante apoio e incentivo. Agradeço à Luciana, pelos conselhos, sua ajuda ao longo do trabalho e compreensão por todos os momentos em que não pudemos estar juntos e por tornar este período muito menos árduo com seu companheirismo e carinho. Por fim, agradeço a todos os meus amigos e familiares que, com suas palavras de incentivo, contribuíram para o resultado deste trabalho.

6 RESUMO A presente dissertação tem como objeto de estudo a superfície de volatilidade implícita de opções européias da paridade Real / Dólar no mercado brasileiro. Este trabalho não tenta explicar as deformações ou os desvios da volatilidade implícita com relação à hipótese de volatilidade constante do modelo de Black & Scholes (1973), mas trata a volatilidade implícita como uma variável financeira interessante por si só, procurando analisar a dinâmica de sua superfície. Para a análise desta superfície, o presente estudo propõe a utilização de uma ferramenta empregada em estudos empíricos de diversos ramos da ciência: a Análise de Componentes Principais ACP (Principal Component Analysis). As mudanças na superfície de volatilidade alteram o apreçamento das opções de uma carteira. Desta forma, constituem um fator de risco que precisa ser estudado e entendido para o desenvolvimento de estratégias de imunização e de técnicas de gerenciamento de risco, dentre elas o cálculo de Valor em Risco (V@R Value at Risk). De posse dos resultados obtidos com a análise de componentes principais da superfície de volatilidade implícita, o presente estudo tem por objetivo obter valores limite de variação desta volatilidade implícita, como forma de estimar as conseqüentes variações extremas nos valores de uma carteira de opções. Para tanto, baseia-se em estudos sobre a aplicação da análise de componentes principais da superfície de volatilidade implícita desenvolvidos por Alexander (1). Estes estudos, por sua vez, são derivados de estudo sobre a dinâmica de curvas de volatilidade proposto por Derman (1999). Para se verificar a eficiência da metodologia proposta, os valores extremos obtidos são testados de acordo com os critérios de teste retroativo propostos pela emenda ao comitê da Basiléia de 199.

7 ABSTRACT This dissertation is focused on the study of the implied volatility surface of european options on Real / US$ parity traded in the Brazilian market. This work doesn t try to explain the deformations or deviations of the implied volatility from to the hypothesis of constant volatility of Black & Scholes (1973) model. This work treats the implied volatility observed in the market as an interesting variable by its own, trying to analyze the dynamic of that surface. To analyze this surface, the present study proposes the use of a technique widely used to analyze empirical data: Principal Component Analysis. The changes on the implied volatility surfaces alter the pricing of the options in a portfolio. Therefore changes in implied volatility are a risk factor that should be studied and analyzed for the development of immunization techniques and for risk management purposes, such as Value at Risk (V@R). Using the output from the use of Principal Component Analysis on the implied volatility surface, the present study proposes a limit range of variation of the implied volatility as a way to estimate the limit range of variation of the price of an option portfolio. The technique used in this work to apply Principal Component Analysis on the implied volatility surface was developed by Alexander (1). Her study was based on a study made by Derman (1999) where he proposed some models to explain the dynamic of the volatility surface. To verify the effectiveness of the methodology proposed in this dissertation, the result was tested using criteria s proposed on Basel committee of 199..

8 1 Introdução... 1 Revisão bibliográfica Modelo de Black & Scholes As letras gregas Delta, Gama, Vega, Teta e Rô Delta Teta Gama Vega Rô Opções dentro do dinheiro, fora do dinheiro e no dinheiro Estrutura Temporal de Volatilidade Implícita (Sorriso) O Estudo da volatilidade dos ativos Sticky-Delta, Sticky Strike e Sticky Tree Sticky Strike Sticky Delta Sticky Tree.... Análise de componentes principais Fundamentação matemática Aplicação da análise de componentes principais à Estrutura a Termo de Volatilidade Implícita35. Modelos de cálculo de V@R Proposta para Basiléia II Cálculo de V@R para carteiras de opções Aproximação Delta-Gama-Vega-Teta..... Utilização de ACP para cálculo de V@R... 3 Metodologia Dados utilizados amostra Carteira para teste retroativo de resultados (backtesting) ACP das diferenças da volatilidade em relação ao ATM Teste retroativo (Backtesting) dos resultados...53 apresentação dos resultados....1 Aplicação de ACP para a estrutura a termo de volatilidade implícita.... Variância explicada dos três componentes principais nas diversas carteiras V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta somada a risco de variação de volatilidade calculada por ACP...7. V@R calculado através da expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama, teta e vega...7. V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta somado ao risco de variação de volatilidade sugerido pela Basiléia II Influência da variação da volatilidade implícita nos parâmetros delta, gama e teta utilizados na expansão de Taylor... 5 Conclusão... Bibliografia... 7 Apêndice 1 Resultados obtidos em todas as carteiras, em todos os métodos...9 Apêndice Efeitos da mudança da volatilidade nos parâmetros delta, gama e teta para a carteira de 3 meses...13

9 1 INTRODUÇÃO Em 1973, Fischer Black e Myron Scholes apresentaram um artigo propondo um modelo para o cálculo de preços teóricos de opções européias de ações sem dividendos. Este modelo é baseado em hipóteses rígidas e muitas vezes não observáveis no mercado. Deste então, muitos estudos têm sido feitos para relaxar estas hipóteses iniciais do modelo. No entanto, apesar de suas hipóteses, a fórmula de Black & Scholes (1973) e os desenvolvimentos posteriores elaborados por outros autores, são ainda amplamente empregada para o apreçamento de diversos tipos de opções sobre diversos ativos. A evolução do mercado de opções no mundo das finanças, acompanhada pela diversificação e sofisticação de instrumentos tais como opções exóticas, gera a necessidade de estudos sobre estes instrumentos financeiros, de forma a tornar seu entendimento mais claro e simples. Instituições financeiras, em especial, têm grande necessidade de acompanhar estes estudos de forma a incorporar estes instrumentos em sua carteira de produtos oferecidos. Estes novos produtos, por sua vez, geram demandas de estratégias de imunização e também do cálculo dos riscos envolvidos na negociação dos mesmos. Dentre as hipóteses assumidas por Black & Scholes (1973), uma se destaca para o estudo proposto por este trabalho: a hipótese de que a volatilidade do ativo é constante ao longo do tempo independentemente do preço de exercício ou do prazo para o vencimento da opção. Esta hipótese, inclusive, era, até a grande queda da bolsa de 197, muito bem aceita pelo mercado financeiro. Como descrito por Derman e Kani (199), antes de 197, a volatilidade implícita (volatilidade pela qual o prêmio teórico obtido através do modelo de Black & Scholes se iguala ao prêmio observado no mercado) apresentava pouca inclinação, isto é, as volatilidades implícitas das opções de um determinado vencimento eram independentes do preço de exercício. 1

10 O conceito de volatilidade implícita está muito ligado ao conceito de volatilidade histórica. A volatilidade histórica é a volatilidade que efetivamente realizada pelo ativo. Já a volatilidade implícita, segundo Alexander (1), pode ser interpretada como a expectativa do mercado para a volatilidade futura do ativo. Antes da grande queda da bolsa de 197, a volatilidade implícita das opções de diferentes preços de exercício apresentava pouca variação, isto é, para um mesmo vencimento, opções com preços de exercício abaixo do preço do ativo eram apreçadas utilizando-se volatilidades implícitas muito semelhantes das opções com preço de exercício acima do preço do ativo. A esta relação entre a volatilidade implícita e o preço de exercício, o mercado atribui o nome de assimetria. Após esta queda abrupta, os mercados começaram a apresentar uma assimetria negativa, como constatado por Das e Sundaram(1999), Rubinstein (199) e Jackwerth e Rubinstein (199), onde opções com preços de exercício abaixo do preço do ativo eram apreçadas com uma volatilidade superior em muitos pontos à volatilidade das opções com preço de exercício acima do preço do ativo. Este fenômeno é conhecido como Sorriso de Volatilidade Implícita ou Sorriso. Tal denominação deve-se ao formato da curva de volatilidade implícita em função do preço de exercício que lembra um sorriso. A relação tridimensional entre volatilidades implícitas, preços de exercício e prazo para o vencimento é chamada de estrutura a termo de volatilidade ou, ainda, superfície de volatilidade. Tendo como objeto de estudo a superfície de volatilidade implícita de opções européias da paridade Real / Dólar no mercado brasileiro, este trabalho não tenta explicar as deformações ou os desvios da volatilidade implícita com relação à hipótese de volatilidade constante do modelo de Black & Scholes (1973), mas trata a volatilidade implícita como uma variável financeira interessante por si só, procurando analisar a dinâmica de sua superfície. Existem muitas razões, especialmente de caráter prático, que justificam esta abordagem, como será demonstrado a seguir.

11 Para a análise desta superfície, o presente estudo propõe a utilização de uma ferramenta empregada em estudos empíricos de diversos ramos da ciência: a Análise de Componentes Principais ACP (Principal Component Analysis). A análise de componentes principais busca identificar os principais fatores, chamados componentes principais, que afetam a dinâmica de determinado conjunto de dados, através da redução da dimensionalidade do mesmo. Os primeiros autores a utilizar a análise de componentes principais para entendimento da dinâmica do mercado financeiro foram Litterman e Scheinkman (1991), que aplicaram a técnica à estrutura temporal de taxas de juros de títulos norte americanos. Já com relação à aplicação específica da análise de componentes principais a estruturas de volatilidades implícitas de opções é possível encontrar diversos trabalhos, com destaque ao de Alexander (1). As mudanças na superfície de volatilidade alteram o apreçamento das opções de uma carteira. Desta forma, constituem um fator de risco que precisa ser estudado e entendido para o desenvolvimento de estratégias de imunização e de técnicas de gerenciamento de risco, dentre elas o cálculo de Valor em Risco (V@R Value at Risk). De posse dos resultados obtidos com a análise de componentes principais da superfície de volatilidade implícita, o presente estudo tem por objetivo obter valores limite de variação desta volatilidade implícita, como forma de estimar as conseqüentes variações extremas nos valores de uma carteira de opções. Para tanto, baseia-se em estudos sobre a aplicação da análise de componentes principais da superfície de volatilidade implícita desenvolvidos por Alexander (1). Estes estudos, por sua vez, são derivados de estudo sobre a dinâmica de curvas de volatilidade proposto por Derman (1999). Para se verificar a eficiência da metodologia proposta, os valores extremos obtidos serão testados de acordo com os critérios de teste retroativo propostos pela emenda ao comitê da Basiléia de

12 Os resultados obtidos serão também comparados àqueles obtidos a partir da aplicação das seguintes metodologias: proposta do acordo da Basiléia II, que propõe um critério para o cálculo do risco de uma carteira de opções através de um deslocamento proporcional da superfície de volatilidade; aproximação delta-gama-vega-teta, representada pela expansão de Taylor de segunda ordem da mudança do valor da carteira com relação a mudanças de preço do ativo base. Serão utilizados como amostra, dados de volatilidade implícita de opções européias da paridade Real / Dólar, de janeiro de 1 até março de negociadas na Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F). No próximo capítulo é apresentada a revisão bibliográfica dos modelos aqui aplicados. São apresentados trabalhos sobre o sorriso de volatilidade e posteriormente sobre a estrutura a termo da volatilidade implícita. Seguem-se uma apresentação sobre a teoria de análise de componentes principais, modelos de dinâmica de curva de volatilidade apresentados por Derman (1999) e finalmente a aplicação da análise de componentes principais na curva de volatilidade. No capítulo três, a amostra utilizada e o tratamento dos dados são apresentados, bem como a metodologia adotada para o cálculo do ACP, do teste retroativo e do cálculo da eficiência do teste. No capítulo quatro é realizada a apresentação e a análise dos resultados obtidos através da aplicação da metodologia descrita no capítulo três. Finalmente, no capítulo cinco, uma conclusão geral é apresentada, juntamente com sugestões para futuros desenvolvimentos.

13 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesta seção é inicialmente apresentado o modelo de Black & Scholes, com sua formulação e hipóteses, bem como os artigos que propõem a modificação e o aperfeiçoamento deste modelo. Posteriormente, são apresentadas as letras gregas delta, gama, vega, teta e rô e sua formulação de acordo com o modelo de Garman e Kohlhagen (193). Em seguida, são apresentados os conceitos relacionados à estrutura temporal de volatilidade implícita, assim como os estudos já realizados na tentativa de explicação da formação do sorriso de volatilidade. Também são apresentados estudos sobre volatilidade histórica, estudos sobre expectativa de volatilidade e estudos sobre a diferença entre dados empíricos e dados observados pela aplicação do modelo de Garman e Kohlhagen. Além destes, são apresentadas abordagens que se utilizam de volatilidade estocástica, de modelos de jump diffusion ou do processo de Lévy generalizado, bem como modelos que adaptam o apreçamento de opções exóticas e não líquidas ao sorriso de volatilidade. Finalmente também relacionados ao estudo da volatilidade são apresentados os modelos propostos por Derman (1999) para tentar explicar o comportamento do mercado sticky delta, sticky strike e sticky tree. Finalizando esta seção, é apresentado o modelo de análise de componentes principais, com suas vantagens e fundamentação matemática, bem como o estudo sobre a aplicação da análise de componentes principais à estrutura a termo de volatilidade. Também são apresentados modelos de cálculo de valor em risco (comumente chamados de modelos de value at risk V@R) com ênfase ao cálculo voltado a carteiras de opções. Por fim, apresentam-se estudos sobre a utilização da análise de componentes principais ao cálculo do V@R de uma carteira de opções..1 Modelo de Black & Scholes Fischer Black e Myron Scholes apresentaram em um artigo de 1973, publicado pelo Journal of Political Economy, um modelo que propunha o cálculo do preço teórico de 5

14 uma opção européia de ações sem dividendos. Este modelo apresenta muitas hipóteses: não há pagamentos de dividendos até o vencimento da opção; exercício é do tipo europeu isto é, somente no dia do vencimento da opção; mercado é eficiente isto é, as pessoas não podem prever consistentemente a direção do mercado ou de uma ação específica; mercado opera de forma contínua seguindo um processo de Itô; não existe custo de transação ou impostos; a taxa de juros se mantém constante durante a vida da opção e é conhecida; os investidores podem tomar emprestado ou emprestar à mesma taxa de juro livre de risco; os retornos dos ativos obedecem a uma distribuição lognormal; a volatilidade é constante ao longo do tempo independentemente do preço de exercício ou prazo de vencimento da opção. Desde sua publicação, o modelo hoje conhecido por Black & Scholes tem sido alvo de muitos estudos que, na sua maioria, têm por objetivo propor e implementar modificações para relaxar algumas de suas hipóteses. Para ilustrar alguns exemplos, em 1973 Robert Merton propôs uma modificação para apreçar opções sobre ativos que pagam uma taxa de dividendos constante. Em 197, Jonathan Ingersoll propôs um modelo relaxando a premissa de ausência de impostos e custos de transação. Em 197, Merton incorporou a estrutura a termo de taxa de juros ao modelo, relaxando a hipótese de taxas de juros constantes. Em 193, Garman & Kohhagen observaram que a fórmula desenvolvida por Merton (1973) poderia ser utilizada para apreçar opções européias de taxas de câmbio, sendo que esta fórmula é utilizada até hoje como padrão para conversão de volatilidades negociadas no mercado de balcão de opções de moedas para preços. Esta fórmula (a ser demonstrada posteriormente) será utilizada ao longo deste trabalho. As fórmulas de Black & Scholes para os preços de opções de compra call (c) e venda put (p) européias de ações sem dividendos são: rt c = S N( d ) X. e. N ( ) (1). 1 d

15 rt p = X. e. N ( d) S. N ( d1) () onde: d 1 S σ ln( ) + ( r + ). T = K (3) σ. T S σ ln( ) + ( r ). T d K = = d1 σ. T () σ. T onde: S: preço da ação; K: preço de exercício da opção; s: volatilidade da ação; r: taxa livre de risco; T: tempo para o vencimento; A função N(x) é a função de probabilidade cumulativa de uma variável normal padronizada. Segundo Hull (1991), tal função pode ser aproximada pela função polinomial: 3 N ( x) = 1 ( a. k + a. k + a. k ). N'( ),quando x >= (5) 1 3 x N ( x) = 1 N ( x), quando x < () onde: 1 k = 1 + α. x a =,337 a 1 =,313 a = -,117 a 3 =,93739 x 1 N '( x) =. e (7) Π 7

16 O modelo que é utilizado neste trabalho foi proposto por Garman e Kohlhagen (193), segundo o qual os preços de opções de compra call (c) e venda put (p) européias podem ser calculados como: r. f. T 1 rt c = S e. N( d ) X. e. N( d ) () r. T p = X. e rt. N ( d) S. e f N( d1) d d 1 ln( S ) + ( r rf K σ. T σ + ). T = (1) S σ ln( ) + ( r rf ). T = K = d1. T (11) σ. T σ (9) onde: r: taxa de juros livre de risco doméstica; r f : taxa de juros livre de risco estrangeira.. As letras gregas Delta, Gama, Vega, Teta e Rô A fim de aprofundar o estudo sobre o sorriso de volatilidade, faz-se necessário o conhecimento de algumas derivadas parciais da equação de Black & Scholes que representam a sensibilidade do preço da opção a pequenas variações dos seus parâmetros. Estas derivadas são chamadas de gregas, sendo que as mais importantes são o delta, o gama, o vega, o teta e o rô. Considerando-se: S: preço da ação; K: preço de exercício da opção; s: volatilidade da ação; r f : taxa livre de risco; T: tempo para o vencimento; E, N(x), uma função de probabilidade cumulativa de uma variável normal padronizada que, segundo Hull (1991), pode ser aproximada pela função polinomial apresentada nas fórmulas (5), () e (7).

17 Assim, as letras gregas podem ser calculadas das maneiras apresentadas nas subseções seguintes...1 Delta O delta de uma opção é definido como a taxa de variação do preço (P) de uma P opção em relação ao preço do ativo objeto (S),. Pode ser descrito para uma S opção de compra de uma ação sem dividendos como: = N C ( d 1 ) (1) onde: d 1 : definido na equação (3);? C : delta da opção de compra Já para uma opção de venda, o delta pode ser definido por: V = N( d 1 ) 1 (13) onde: d 1 : definido na equação (3);? V : delta da opção de venda. No caso da fórmula de Garman e Kohlhagen (193) a opção de compra e de venda tem deltas respectivamente iguais a: r. T. 1 f = e N( d ) (1) C onde:? C : delta da opção de compra; 9

18 V = e r. T f.( N( d1) 1) (15) onde: d 1 : definido na equação (1)? V : delta da opção de venda... Teta O teta de uma opção representa a taxa de variação de seu valor (P) ao longo do tempo (t), P. Ela pode ser expressa para a fórmula de Garman e Kohlhagen t (193) para opções de compra e venda européia, respectivamente, por: r. T f S. N'( d ). σ. e 1 r f. T r. T θ r. S. N( d1 ). e r. X. e. N( ). T d C = + f (1) Onde: d 1 e d : são definidos na equação (1)? C : teta da opção de compra; r. T f S. N'( d ). σ. e 1 rf. T r. T θ r. S. N( d1). e r. X. e. N( ). T d V = f + (17) Onde: d 1 e d : são definidos na equação (1)? V : teta da opção de venda. 1

19 ..3 Gama O gama de uma opção representa a taxa de variação de seu delta com relação ao P preço do ativo objeto (S),. O gama é o mesmo para opções de compra e S venda. Para a fórmula de Garman e Kohlhagen (193) tem-se: r N d e f. T ' ( 1). Γ = (1) S. σ. T Onde: d 1 : é definido na equação (1) G: é o gama da opção de compra e de venda... Vega O vega de uma opção representa a taxa de variação do valor da opção (P) com relação a mudanças na volatilidade do ativo objeto ( ) P σ,. O vega é o mesmo σ para opções de compra e venda, e segundo Garman e Kohlhagen (193), é calculado de acordo com a seguinte fórmula: r f T S. T.. N ' ( Λ = d e (19) 1 ). Onde: d 1 : é definido na equação (1)?: é o vega da opção de compra e de venda. 11

20 ..5 Rô O rô representa a taxa de variação do valor da opção (P) com relação à taxa de P juros (r f ),, e pode ser descrito de acordo com Garman e Kohlhagen (193), r f para opções de compra e venda, respectivamente: rô C r. T. 1 f = T e. S. N( d ) () Onde: d 1 : é definido na equação (1) rô C : é o rô da opção de compra; rô V r. T. 1 f = T e. S. N( d ) (1) Onde: d 1 : é definido na equação (1) rô V : é o rô da opção de venda... Opções dentro do dinheiro, fora do dinheiro e no dinheiro Segundo Hull (1991), as opções podem ser classificadas conforme a relação entre o seu preço de exercício e o preço atual do ativo. Uma opção dentro do dinheiro geralmente chamada pela sua sigla em inglês ITM (in the money) é aquela que, no caso de exercício imediato, proporciona a seu titular ou detentor um fluxo de caixa positivo. Para tanto, o preço do ativo deve ser maior que o preço de exercício, no caso de uma opção de compra. Já com relação à opção de venda, o preço do ativo deve ser inferior ao preço de exercício. As opções chamadas no dinheiro ou ATM (at the money) são aquelas que, no caso de exercício imediato, produzem fluxo de caixa zero, ou seja, quando o preço de exercício da opção se iguala ao preço do ativo para opções de compra ou de venda. No caso onde o preço de exercício da 1

21 opção for maior que o preço do ativo para opções de compra e, analogamente, o preço de exercício for menor que o preço do ativo para opções de venda, as opções são ditas fora do dinheiro ou OTM (out of the money)..3 Estrutura Temporal de Volatilidade Implícita (Sorriso) No modelo de Garman e Kohlhagen (193), o preço de uma opção de câmbio é função do preço do ativo, do preço de exercício, do tempo para vencimento, das taxas de juros interna e externa, e da volatilidade dos retornos dos ativos. No mercado de câmbio da BM&F, as opções são negociadas pelo valor do seu prêmio, tornando a volatilidade o único parâmetro não observável diretamente no mercado. A volatilidade pela qual o prêmio teórico obtido através do modelo de Black & Scholes se iguala ao prêmio observado no mercado chama-se volatilidade implícita. Segundo Alexander (1), a volatilidade implícita é uma previsão da volatilidade do processo. No caso da volatilidade do processo ser estocástica, então a volatilidade implícita pode ser entendida como a volatilidade média do preço do ativo que está implícita no prêmio de mercado da opção. No entanto, observa-se empiricamente que o mercado apreça, para um mesmo ativo, opções com volatilidades implícitas diferentes dependendo de suas características como preço de exercício ou prazo para o vencimento, independentemente da hipótese feita sobre a volatilidade do processo. Segundo Derman e Kani (199), após a queda abrupta de 197, passou-se a observar no mercado, uma inclinação negativa das volatilidades implícitas com relação ao preço de exercício. Ou seja, as volatilidades implícitas das opções de venda fora do dinheiro do S&P 5 eram superiores em muitos pontos percentuais às volatilidades implícitas das opções de compra ou venda no dinheiro e às volatilidades implícitas das opções de compra fora do dinheiro, considerando opções sobre o mesmo ativo e com mesmo vencimento. A esta relação entre a volatilidade implícita e o preço de exercício, o mercado atribui o nome de assimetria. No gráfico 13

22 1, observam-se duas curvas de volatilidade em relação ao preço de exercício. A curva azul representa uma relação entre a volatilidade e o preço de exercício na qual é possível observar pouca inclinação. Já na curva rosa é possível observar uma grande inclinação negativa na relação entre a volatilidade e o preço de exercício (assimetria). Comparação das curvas de volatilidade com e sem skew 1,% 17,% 17,% 1,% 15,5% Volatilidade 15,% 1,% 13,% 1,% 1,5% 1,% 1,7% 1,15% 1,1% 1,1% 1,5% 13,% 1,% 11,5% 13,95% 1,% 11,% 1,% 9,% Preços de exercício Curva com skew Curva sem skew Gráfico 1: Gráfico ilustrativo da curva de volatilidade com e sem assimetria Esta variabilidade de volatilidades implícitas para opções sobre o mesmo ativo, com mesmo vencimento mas com diferentes preços de exercício, é também observada para opções sobre o mesmo ativo, com mesmo preço de exercício mas com vencimentos diferentes. Dado o formato do gráfico que representa a relação entre as volatilidades implícitas e os preços de exercício para um mesmo vencimento, esta curva passou a ser conhecida pelos participantes de mercado financeiro e posteriormente pelo meio acadêmico como Sorriso de Volatilidade (Smile). Já o gráfico que representa a relação tridimensional entre volatilidades implícitas, preços de exercício e prazo para o vencimento é chamado de estrutura a termo de volatilidade ou, ainda, superfície de volatilidade. Segundo Alexander (1), a superfície de volatilidade pode ser entendida como a expectativa do mercado para a volatilidade futura do ativo. Desta forma, esta superfície se altera de acordo com o 1

23 comportamento passado do ativo ou com a mudança de expectativa de volatilidade futura do ativo. Um exemplo de superfície de volatilidade é apresentada no gráfico. Esta característica da superfície de volatilidade foi descrita por Das e Sundaram (1999), Rubinstein (199) e Jackwerth e Rubinstein (199). Superfície de Volatilidade de 1 de fevereiro de 1 1,% 1,% 1,% 1,% Volatilidade 1,%,% 1,%-1,% 1,%-1,% 1,%-1,% 1,%-1,%,%-1,%,%-,%,%-,%,% 1% Delta Call,% 1 mês meses 3 meses meses Tempo para vencimento 9 meses 1 meses 5% Delta Call ATM Delta 5% Delta Put 1% Delta Put Gráfico : Superfície de volatilidade apresentando assimetria e diferentes níveis de volatilidade dependente do prazo de vencimento Segundo Alexander (5), grande parte das opções hoje negociadas no mercado de ações e câmbio utiliza a fórmula de Garman e Kohlhagen (193). Mas, como visto anteriormente, as hipóteses sob as quais essa fórmula está baseada não são justificadas empiricamente. Duas delas ajudam a explicar a existência de assimetria para apreçar opções de diferentes preços de exercício: i. a distribuição dos retornos pode exibir caudas pesadas ; ii. sua volatilidade não é constante. 15

24 Portanto, não é apropriado modelar-se o preço do ativo subjacente como um movimento browniano geométrico pois este modelo assume ditribuição normal e volatilidade constante. Desta forma, por não se tratar de um movimento geométrico browniano, grandes mudanças de preços podem ser observadas empiricamente com uma freqüência maior do que aquela assumida no modelo de Garman e Kohlhagen. Assim, se a distribuição dos retornos é normal, mas a volatilidade é estocástica, ou se a volatilidade é constante, mas os retornos exibem caudas pesadas ou se, de fato, as duas coisas ocorrem, grandes oscilações de preço são mais prováveis de ocorrer que o previsto pela distribuição normal e, conseqüentemente, uma opção OTM (para o caso de opções de bolsa de valores) tem maior chance de se tornar ITM do que aquela assumida no modelo Garman e Kohlhagen. Como conseqüência, o prêmio que se obtém utilizando Garman e Kohlhagen para uma opção de venda OTM, utilizando-se a volatilidade implícita da Put ATM, é menor que o observado no mercado. Como foi dito anteriormente, o único parâmetro que pode ser alterado, e que não é observado diretamente no mercado, é a volatilidade. Assim, a volatilidade implícita das Put s OTM é maior que a volatilidade implícita das Put s ATM. Desta forma vê-se que o mercado contesta a premissa de volatilidade do ativo constante ao longo do tempo e ao longo dos preços de exercícios. Muitos estudos foram feitos para tentar explicar a formação de sorrisos de volatilidade: Fama (195) e Corrado e Su (1997) verificaram que os retornos não são normalmente distribuídos; Jarrow e Rudd (19) sugerem a excessiva assimetria e curtose nas distribuições históricas dos retornos; Longstaff (1995), Dumas (199) e Peña (1999) apresentam os custos de transação e liquidez; Merton (197) destaca os saltos nos preços dos ativos; Hull & White (197), Johnson e Shanmo (197), Scott (197) e Wiggins (197) ressaltam o comportamento estocástico da volatilidade. 1

25 Podem-se observar no mercado diferentes tipos de sorrisos de volatilidade. Podemse observar aqueles simétricos, em que as opções de compra e opções de venda OTM têm volatilidades implícitas maiores que as opções ATM. Estes sorrisos de volatilidade são geralmente observados nos mercados de câmbio de países desenvolvidos. Sorrisos de volatilidade com assimetria negativa, em que opções de venda OTM têm volatilidade implícita maior que as ATM, que por sua vez têm volatilidades maiores que as opções de compra OTM. Este é o caso de opções de bolsa de valores. Esta assimetria pode ser positiva em alguns mercados como o de opções sobre a paridade Real / Dólar. A assimetria pode ser explicada por diversas razões. No mercado de ações, por exemplo, uma queda de preços é uma má notícia para os acionistas. Assim, a assimetria negativa pode ser explicada pela demanda existente de proteção por parte destes investidores para put s OTM. Desta forma, o mercado utiliza volatilidade elevada para apreçar estas opções. E freqüentemente, como ressalta Alexander (1), o mercado de ações torna-se muito mais turbulento (mais volátil) após uma grande queda de preço do que após uma elevação de preços de mesma magnitude. Assim, o prêmio de uma opção de compra ITM reflete o fato de que, se ocorrer uma grande queda de preço, a volatilidade do preço do ativo subjacente permanecerá elevada por algum tempo. Então, os prêmios de todas as opções aumentam em virtude do aumento da expectativa de volatilidade futura. A assimetria positiva observada no mercado de opções sobre a paridade Real / Dólar negociadas na BM&F também pode ser explicada, como no caso da bolsa, pelo fato de uma alta do dólar representar má notícia para aqueles que possuem dívidas em dólar, ou para investidores estrangeiros que possuem investimentos no país. E, semelhante ao mercado de ações, uma alta do dólar em grande magnitude torna o mercado mais turbulento. Este fenômeno de sorriso de volatilidade implícita está presente em diversos tipos de mercados: moedas, ações, commodities, juros, energia, etc. No mercado de commodities, por exemplo, as quedas de preços são boas notícias, enquanto que os aumentos de preços são más notícias. Assim, por analogia, o comportamento da 17

26 assimetria do sorriso de volatilidade é inverso ao observado no mercado de ações. O mercado de juros, por sua vez, se aproxima mais do mercado de opções de moedas.. O Estudo da volatilidade dos ativos Segundo Desterro (3), o estudo da volatilidade dos ativos financeiros tem se tornado o ponto mais importante da teoria financeira moderna. O entendimento da volatilidade e da expectativa do mercado sobre ela é imprescindível tanto para controle de risco, quanto para a imunização de carteiras ou para o apreçamento de opções. Um investidor racional utiliza proposições de Markowitz (1959), Sharpe (19) e Lintner (195) para balancear seu perfil de aversão ao risco (e portanto de variância que aceita em sua carteira de investimentos) com o retorno esperado. Muitos estudos foram realizados sobre a volatilidade histórica, ou seja, a volatilidade efetivamente realizada, calculada a partir do histórico dos retornos do preço do ativo objeto (Roll, 1977). Mas os dados históricos explicam de forma limitada a volatilidade futura, e existe no mercado uma expectativa de volatilidade futura que é aquela implícita nos preços das opções negociadas. Esta expectativa de volatilidade foi alvo de estudos de Dumas, Fleming, e Whaley (199). Os autores utilizaram um modelo de GARCH e através de um teste fora da amostra, empírico, obtiveram bons resultados. Mas muita literatura tem sido desenvolvida para tentar explicar as diferenças entre os dados empíricos que se observa no mercado e aqueles previstos pelo modelo de Black & Scholes. Jarrow e Rudd (19) buscaram modelar o sorriso de volatilidade através da distribuição histórica dos retornos. Dupire (19) empregou equações diferenciais estocásticas para tentar ajustar o sorriso observado no mercado. As abordagens mais proeminentes acrescentam um novo grau de liberdade na modelagem de opções. Hull e White (197), Johnson e Sanno (197), Scott (197), Wiggins (197), Hafner (), Stein e Stein (1991), Heston (1993) e Bates (199) 1

27 assumem que a volatilidade é uma variável estocástica. Outros autores propõem a modelagem através de modelos de saltos descontínuos (jump diffusion), como Merton (197) e Prigent, Renault e Scaillet (1). Outra abordagem consiste em utilizar modelos baseados no processo de Lévy generalizado (como o hiperbólico desenvolvido por Bibby and Sørensen em 1997). No entanto, conforme apresentado por Das e Sundaran (1999) e Bakshi (1997), nenhum desses modelos de volatilidade estocástica ou saltos foi capaz de apresentar explicação completa para as anomalias. Tendo como objeto de estudo a superfície de volatilidade implícita de opções européias da paridade Real / Dólar, este trabalho não tenta explicar as deformações ou os desvios da volatilidade implícita com relação à hipótese de volatilidade constante do modelo de Garman e Kohlhagen (1973), mas trata a volatilidade implícita como uma variável financeira interessante por si só, procurando analisar a dinâmica de sua superfície. Existem muitas razões que justificam esta abordagem. As volatilidades de Garman e Kohlhagen são amplamente utilizadas como parâmetro único para mapeamento entre preço, preço de exercício, taxa de juros e vencimentos. A análise deste parâmetro permite que tomadores de decisão de investimento e gestores de risco reduzam o número de informações necessárias para a tomada de decisão de investimento e análise de risco. Além disso, com o aumento da liquidez dos mercados de opção tanto em bolsa como em balcão, a volatilidade tem ganhado importância como alternativa de ativo financeiro fazendo com que muitas instituições desejem construir carteiras com exposições em gama e vega. O exemplo deste interesse do mercado pela volatilidade implícita é a criação de índices de volatilidade implícita como o VIX (calculado pela CME 1, reflete a volatilidade implícita dos ativos do S&P 5), VIMEX (calculado no Mercado Mexicano de Derivados refletindo a volatilidade implícita das ações da Bolsa do México), VXN (Calculado pelo CME, reflete a volatilidade implícita dos papéis do Nasdaq 1). 1 CME Chicago Mercantile Exchange 19

28 Do ponto de vista teórico, muitos modelos de mercado de volatilidade têm sido criados adaptando-se o apreçamento das opções, principalmente as exóticas e não líquidas, ao sorriso de volatilidade. Modelos inicialmente desenvolvidos para mercado de taxas de juros por Milterse et al (1997) e Jamshidian (1997), foram aprimorados por Ledoit e Santa-Clara (199) e Schönbucher (1999), entre outros. Estes modelos assumem que existem opções líquidas em número suficiente para que seus parâmetros sejam utilizados como dados de entradas em modelos de apreçamento de opções consistentes com o sorriso de volatilidade. Um importante ponto a favor da modelagem da volatilidade implícita de Garman e Kohlhagen é de ordem pragmática: modelos complexos ganham em acurácia, mas perdem nas defasagens das atualizações, uma vez que ativos intensamente negociados requerem constantes atualizações dos preços teóricos. Desta forma modelos complexos têm a desvantagem da lentidão nas atualizações, como ressalta Desterro (3). A análise da dinâmica da volatilidade implícita deve refletir corretamente as suas movimentações, ou seja deve identificar e quantificar os choques e as mudanças da curva de volatilidade com o passar do tempo. Para a análise desta dinâmica, propõese neste trabalho a utilização da técnica de análise de componentes principais (ACP). Esta técnica é comumente utilizada para a análise da estrutura a termo de taxas de juros (Litterman e Scheikman, 1991) e já foi aplicada para a análise da estrutura a termo de volatilidade. Avellaneda e Zhu (1997); Härdle e Schimidt (); Sylla e Villa (); são exemplos de aplicação desta técnica para a análise de opções ATM para diferentes prazos. Já Alexander (1) aplicou a mesma técnica com outro enfoque, análise do sorriso para um determinado vencimento. Existe, no entanto, uma importante diferença entre a utilização de componentes principais para a análise das taxas de juros e sua utilização para a análise da volatilidade implícita, como cita Alexander (1): a estrutura a termo de juros possui somente taxas e vencimentos, sendo assim uma estrutura com duas dimensões. Já a volatilidade implícita tem preço de exercício e também um prazo para vencimento, constituindo-se em uma estrutura tridimensional.

29 .5 Sticky-Delta, Sticky Strike e Sticky Tree Em 1999 Emanuel Derman apresentou um artigo propondo a explicação da curvatura existente na superfície de volatilidade do mercado de opções de S&P 5 após a grande queda da bolsa de 197. Analisando mais de um ano de dados de opções do S&P 5 ele os separou em sete períodos diferentes onde alguns padrões de mudanças pareciam se manter constantes. Analisando estes dados ele propôs três diferentes modelos para tentar explicar o comportamento do mercado: Sticky Delta, Sticky Strike e Sticky Tree. Derman (1999) propõe a criação de um modelo descrevendo aquilo que não varia e excluindo sua influência. Assim ocorre na física e matemática, onde estes termos são chamados invariantes. No mercado de opções estas invariantes são comumente chamadas de sticky. Derman afirma que existem ao menos três abordagens sobre qual variável no sorriso de volatilidade não varia. Segundo o autor existem duas abordagens baseadas em algum tipo de intuição de mercado ou senso comum e uma terceira com embasamento formal teórico. No entanto, o autor ressalta que, apesar de sua base teórica, esta visão não necessariamente é a correta. Derman verificou a existência de uma correlação negativa entre a volatilidade de opções ATM e o valor do índice S&P 5. No entanto, uma mudança na volatilidade implícita de uma opção ao longo do tempo altera diretamente o seu apreçamento, conseqüentemente alterando o resultado financeiro obtido. Outro ponto a se destacar é o fato de que no mercado, quando se negocia uma opção de compra ou venda, o seu preço de exercício é fixo, ou seja, as opções negociadas não necessariamente são sempre ATM. Desta forma, a análise da dinâmica deve se concentrar nas opções existentes no mercado, ou seja, com preço de exercício fixo e não necessariamente ATM. A dependência da volatilidade em relação ao nível de preço, dado um preço de exercício K, é muito importante para a definição da carteira de imunização e a correta determinação do valor da opção. No seu trabalho, Derman investiga as 1

30 relações existentes entre mudanças no nível do ativo base e a volatilidade implícita do ponto de vista de um modelo de um fator (como explicado a seguir). Derman ainda ressalta que assim como mudanças estocásticas na volatilidade podem acontecer, a volatilidade ATM e a inclinação de sua curvatura podem mudar de maneira randômica, mesmo dentro de um regime em particular. Como as mudanças dentro destes regimes não são tão grandes, a sua análise pode ainda ser válida. Para encontrarmos a melhor árvore que descreva a assimetria atual, é necessário saber como ele vai se comportar com a movimentação do ativo base. A seguir são apresentadas em detalhes as proposições feitas por Derman (1999), respectivamente Sticky Strike, Sticky Delta, Sticky Tree, que são apresentados a seguir..5.1 Sticky Strike Segundo Derman (1999), em uma tentativa fraca de preservar o modelo de Black and Scholes, alguns operadores acreditam que, independentemente do nível do ativo base, a volatilidade daquele preço de exercício será a mesma. O modelo que parte desta premissa é chamado sticky strike, pois a cada preço de exercício devese construir uma determinada árvore binomial com volatilidade constante, ou seja, cada opção é apreçada de forma independente. Assim, quando o preço do ativo base sobe, a volatilidade das opções ATM cai, uma vez que mudam os preços de exercícios das opções ATM. O delta neste modelo é exatamente igual ao delta de Black and Scholes. Derman associou estas características a mercados que estão operando lateralmente, isto é, sem uma tendência definida. Matematicamente pode-se expressar esta característica como: K ( τ ) = σ b( τ )( K ) σ () S

31 Onde σ K ( τ ) denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma opção de preço de exercício K e vencimento τ quando o preço do ativo base vale S e sua volatilidade tem valor σ. O parâmetro b(t) é a inclinação da assimetria expressa em pontos percentuais de volatilidade por ponto de preço de exercício e é positivo quando a assimetria é negativa. Se o preço do ativo base muda, as volatilidades de preços de exercícios fixos não vão se modificar, mas a volatilidade do ATM ( σ ATM ) vai subir se o preço do ativo base cair e vice-versa. Vemos isso simplesmente substituindo K por S na equação (). ATM ( τ ) = σ b( τ )( S ) σ (3) S Figura 1: No modelo Sticky Strike, a coluna central demonstra as diferentes volatilidades para diferentes preços de exercício, cada qual com sua árvore binomial. Esta volatilidade se mantém constante independente do nível do ativo base que estão representadas nas colunas da direita e da esquerda. 3

32 Observa-se, na figura 1, que a volatilidade com que são apreçadas as diferentes opções não se altera com mudanças no nível de preço do ativo base, isto é, a volatilidade se mantém constante nas linhas da figura 1. Na coluna central, com o ativo base com preço 1, as opções de diferentes preços de exercício possuíam cada qual sua volatilidade implícita. Com a mudança do preço do ativo base para 11 ou para 9 (primeira e terceira coluna), a volatilidade implícita utilizada para se apreçar as opções de diferentes preços de exercício não muda..5. Sticky Delta A premissa de que o nível da volatilidade ATM atual se manterá constante à medida que o ativo base se move sustenta esta segunda proposição de Derman. Desta forma as opções com delta 5%, ou seja, ATM, permaneceriam com volatilidade constante, sendo este o motivo do nome sticky delta. Este modelo é também chamado de sticky moneyness, pois a volatilidade também é constante com respeito ao moneyness (relação entre o preço de exercício e o valor do ativo base K/S). O conceito de moneyness é equivalente ao delta de Garman e Kohlhagen, pois depende das mesmas variáveis, K e S. Isto significa que o moneyness determina a volatilidade local e esta terá uma determinada árvore binomial com volatilidade constante. Ou seja, sticky moneyness é equivalente a sticky delta. Sticky Moneyness K σ K ( τ ) = σ b( τ ) 1 S () S Sticky Delta σ τ = σ b τ K S (5) K ( ) ( )( )

33 E, para o caso de assimetria negativo, o delta das opções usando-se este modelo é maior que o delta Garman e Kohlhagen dado um mesmo preço de opção. Derman observou que este tipo de comportamento pode ser observado em mercados que exibem uma tendência. Neste modelo a volatilidade do preço de exercício K vai subir com o nível de preço do ativo base, mas a volatilidade do ATM será igual a inicial e independente do preço do ativo base. Figura : No modelo Sticky Delta, a coluna central demonstra as diferentes volatilidades para diferentes preços de exercício, cada qual com sua árvore binomial. À medida que ocorre uma variação no preço do ativo base, sua árvore de ATM se mantém constante, isto é, a árvore binomial do preço de exercício 11 quando o preço do ativo base está em 11 é a mesma que a árvore do preço de exercício 1 quando o preço do ativo base vale 1 Na figura, a coluna central exemplifica o estado inicial onde o ativo base possuía um preço de 1 e as opções de preço de exercício 9, 1 e 11 possuíam diferentes volatilidades implícitas (primeira a terceira linha). Neste modelo, com mudanças do preço do ativo base para 9 ou 11 (primeira e terceira coluna), as volatilidades implícitas ATM se mantiveram constante isto é, a volatilidade se mantém constante na diagonal. Assim, a volatilidade da opção de preço de exercício 5

34 11, quando o ativo base vale 11 é a mesma da volatilidade da opção de 1 quando o ativo base vale Sticky Tree Em 199 Derman e Kani propuseram a construção de uma única árvore para o ativo base de forma tal que ela seja consistente com os preços observados no mercado e as expectativas de volatilidade futura implícitas no mercado, chamada de árvore implícita. À volatilidade escolhida de forma a se adaptar a assimetria observada no mercado, dá-se o nome de volatilidade local, que varia tanto com o nível futuro de preço do ativo base como também com o tempo. Este conceito contrasta-se com os apresentados nos dois itens anteriores, pois nestes cada opção demandava uma árvore diferente para o mesmo ativo base. Este modelo é chamado sticky tree. Neste modelo a volatilidade local não é mais constante. No entanto, existe uma única árvore para apreçar todas as opções que são determinadas pela assimetria da curva de volatilidade no momento. Em um modelo de um fator para o cálculo de opção, o apreçamento é fruto das expectativas sobre a volatilidade instantânea futura. No caso de opções sobre índices de bolsas, assume-se que a volatilidade sobe quando o índice cai. Como conseqüência, as volatilidades locais para altos valores de índice têm menores volatilidades instantâneas. Derman observou que o modelo de sticky tree é o mais adequado para mercados com descontinuidades, principalmente com quedas abruptas (no caso do Índice S&P 5) sem que haja negócios no intervalo. Pode-se expressá-lo como:

35 K ( τ ) σ b( τ )( K + S ) b ( τ ) S σ = + () Onde: σ K ( τ ) denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma opção de preço de exercício K e vencimento τ quando o ativo base vale S ; σ denota a volatilidade implícita inicial; b ( τ ) é a inclinação da assimetria expressa em pontos percentuais de volatilidade por ponto de preço de exercício e é positivo quando a assimetria é negativa. Assim, a volatilidade do preço de exercício fixo K vai cair quando o preço do ativo base se valorizar e cair quando o preço do ativo base se desvalorizar e também: ( τ ) = σ b( τ )( S ) σ ATM S (7) onde: σ ATM ( τ ) denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma opção ATM. A volatilidade do ATM vai cair quando o preço do ativo base se valorizar ou se desvalorizar duas vezes mais rápido que a volatilidade de preço de exercício fixo. 7

36 Figura 3: No modelo Sticky Tree, a coluna central demonstra a árvore que corresponde ao corrente sorriso de volatilidade. À medida que o preço do ativo base se move, apenas desloca-se para o nó referente ao valor atual do preço do ativo base. Na figura 3, a coluna central identifica o estado inicial onde o mercado apreça diferentes opções, com diferentes volatilidades implícitas. No entanto, este modelo utiliza uma mesma árvore binomial, chamada árvore implícita, para apreçar todas as opções, de diferentes preços de exercício. Assim, quando o preço do ativo base se move, a mesma árvore é utilizada, apenas deslocando-se para o nó correspondente. Resumidamente podemos apresentar os modelos propostos por Derman: Modelo Volatilidade Preço de exercício Fixo Volatilidade ATM Sticky Strike Independente do nível de preço do ativo base Decai com a alta do preço do ativo base Sticky Delta Sobe com a alta do Independente do preço do ativo base nível de preço do ativo base Sticky Tree Cai com a alta de preço Cai duas vezes do ativo base mais rápido com a alta do preço do ativo base Quadro 1: Resumo dos modelos propostos por Derman (1999) Exposição Delta (Considerando Skew Negativo) Igual ao Garman e Kohlhagen Maior que o de Garman e Kohlhagen Menor que o de Garman e Kohlhagen

37 No quadro observamos que o modelo Sticky Tree mantém a volatilidade implícita constante para todos os preços de exercícios, a volatilidade implícita da opção ATM cai com a alta do preço do ativo base para ativos que apresentam uma assimetria negativa para a curva de volatilidade implícita e o delta equivale ao delta obtido através da fórmula de Garman e Kohlhagen. Já o modelo de Sticky Delta, a volatilidade de uma opção de preço de exercício fixo sobe com a alta do preço do ativo base para ativos que apresentam assimetria negativa na sua curva de volatilidade implícita, a volatilidade implícita da opção ATM se mantém constante independente do nível do preço do ativo base e o delta é maior que o delta obtido pela fórmula de Garman e Kohlhagen. No modelo Sticky Tree, a volatilidade de uma opção de preço de exercício fixo cai com a alta do preço do ativo para ativos que apresentam uma assimetria negativa da curva de volatilidade implícita, a volatilidade da opção ATM cai duas vezes mais rápido com a alta do preço do ativo base e o delta é menor que o delta obtido através da fórmula de Garman e Kohlhagen.. Análise de componentes principais A dinâmica da estrutura a termo da volatilidade implícita muito se assemelha à dinâmica da estrutura a termo de taxas de juros, uma vez que ambas apresentam alto grau de colinearidade entre os retornos. Estruturas a termo como as de taxas de juros de diferentes vencimentos exibem alto grau de correlação. Este tipo de característica é geralmente observado quando existem informações comuns a várias variáveis. No caso da taxa de juros, por exemplo, a taxa overnight impacta toda a estrutura a termo. No caso da volatilidade implícita, variações do ativo base também altera toda a sua estrutura a termo. A análise de componentes principais é um método de extração das principais fontes não correlacionadas de variação de um sistema multivariado. Ela reduz a dimensionalidade de um conjunto de dados que possui um grande número de variáveis colineares, preservando o máximo possível da variação presente no Overnight refere-se à taxa de retorno de um dia. 9

38 conjunto original. Desta forma, como destaca Alexander (1), apenas as fontes mais importantes de informação são utilizadas. Em resumo, para diminuir a dimensionalidade de um conjunto de dados, faz-se uma transformação ortogonal dos dados originais para um novo conjunto de variáveis não-correlacionados, e que são ordenados de maneira que os primeiros contenham grande parte da variação presente em todas as variáveis originais. A esse novo conjunto de dados dá-se o nome de componentes principais. Alexander (1) lembra que outra vantagem da metodologia é que a técnica constrói grandes matrizes de covariância positivas definidas. Nesse caso, a vantagem da ACP não se encontra tanto na redução da dimensionalidade, mas na ortogonalização das variáveis. Dado que os componentes principais são ortogonais, então sua matriz de covariância não condicional é diagonal. Geralmente, somente os m-primeiros componentes principais são utilizados, trazendo uma grande vantagem à análise de cenários. Alexander (1) também enfatiza o fato de que, na administração de risco, medidas de risco e os modelos de apreçamento geralmente precisam ser aplicados a vários cenários baseados nos movimentos de diversos fatores de risco. Isso torna sua execução muito complexa e computacionalmente pouco eficaz. Esse tipo de barreira costuma levar a elaboração de cenários simplistas, como no caso de análise de livros de opção, onde o risco de variações na volatilidade implícita (vega) costuma não ser contemplado ou utiliza-se uma movimentação paralela (e no caso da Basiléia II, movimentação proporcional ao nível da volatilidade)...1 Fundamentação matemática Sendo X a matriz de p variáveis de dados estacionários e normalizados. De acordo com Alexander (1), os componentes principais de X e suas cargas fatoriais são escolhidos de maneira que: 3

39 o primeiro componente principal explique a maior parcela da variação total de X, o segundo componente explique a maior parcela da variação remanescente e assim por diante; - os componentes principais não tenham correlação entre si. Desta forma, a ACP tem como primeiro objetivo buscar uma função linear (primeiro componente principal) que possua a máxima variância. z 1 1 = a X Sendo V a matriz de covariância de X: var ( z 1) z 1z1 = a 1Va1 = () A resolução do problema se da pela maximização da variância de var( z 1) sujeito a a a 1. Utilizando-se de um escalar lagrangeano λ 1: 1 1 = Max a Va λ ( a a 1) Diferenciando com relação a a 1 : Va λ 1 1a1 = Va 1 λ1a1 = (9) Da equação (9), acima, é possível observar que λ1 é um autovalor de V e a 1 é o autovetor correspondente. Substituindo (9) em () tem-se que: var ( z 1) = a 1λ1a1 = a 1a1λ 1 Como a a = 31

40 var ( 1) = λ1 z (3) Desta forma, é possível observar que a maior variância é obtida com o maior autovalor de V. O segundo componente principal é escolhido de forma a obter a maior variância, sujeito a não ser correlacionado com o primeiro componente principal. Assim, a resolução do problema se dá pela maximização da variância de var( z ) sujeito a a 1 a e (, z ) = cov z 1 =. cov z 1, z = a Va = a Va = a λ a = λ a a = λ a a Sendo ( ) E utilizando-se dos escalares lagrangeanos λ e θ : Max a Va λ ( a a ) θ( a ) 1 a1 Diferenciando com relação a a : Va λ a θa (31) 1 = Multiplicando todos os termos por a : 1 a a 1 Va a1λ a θa1 1 = θ a a 1 1 = θ = (3) Substituindo (3) em (31): 3

41 Va λa = (33) var Como ( ) z = a Va (3) Substituindo (33) em (3) tem-se que: var ( z ) = a λ a = a aλ = λ Desta forma, é possível observar que a maior variância para o segundo componente principal, sujeito à restrição deste não ser correlacionado com o primeiro componente principal, é obtida com o segundo maior autovalor de V. Os demais componentes principais são escolhidos de maneira análoga, sempre sujeitos a restrição de não serem correlacionados com os componentes principais anteriores. Por resolução matricial: V.A = A.? Onde: λ1 Λ =... λ λ n E A representa a matriz que contem os autovetores de V. A solução para o k-ésimo componente principal é dada por: 33

42 z k = a' k X onde z k é o k-ésimo componente principal e a k é um autovetor de V correspondente ao seu k-ésimo autovalor, λ k. Desta forma, tem-se que: Z = A' X onde A é a matriz ortogonal cuja k-ésima coluna, a k, é o k-ésimo autovetor de V e contém as cargas fatoriais do k-ésimo componente principal. Como observado por Santos (5), os autovalores da matriz V representam a variância dos dados originais projetada nos autovetores. A variância total dos dados originais é equivalente à somatória dos autovalores. Desta forma, é possível se observar que a variância explicada pelo k-ésimo componente principal é representada por: λk λk Var exp licada( z ) = = k p Var( X ) λ i= 1 i (35) Contudo a soma dos autovalores é p, isto é, o número de variáveis do sistema. Kreinin et al (199) sugerem a utilização do seguinte critério para escolha do número de componentes principais a ser utilizado: seja e* uma proporção aceitável de variância não explicada dos diversos fatores de risco. Desta forma, escolhe-se um valor mínimo - h - de componentes principais, de forma a satisfazer a seguinte inequação: λ λh λ λ 1 p > 1 ε * (3) 3

43 Assim, os componentes principais j > h tem um efeito pequeno na explicação da variância dado que sua variância explicada é pequena..7 Aplicação da análise de componentes principais à Estrutura a Termo de Volatilidade Implícita A análise da dinâmica da volatilidade implícita deve refletir corretamente as suas movimentações, ou seja, deve identificar e quantificar os choques e as mudanças da curva de volatilidade com o passar do tempo. A técnica de análise de componentes principais (ACP), comumente utilizada para a análise de estrutura a termo de taxas de juros (Litterman e Scheikman, 1991) pode ser aplicada para a análise da estrutura a termo de volatilidade. Avellaneda e Zhu (1997); Härdle e Schimidt (); Sylla e Villa (); são exemplos de aplicação desta técnica para a análise de opções ATM para diferentes prazos. Já Alexander (1) aplicou a mesma técnica com outro enfoque, a análise do sorriso de volatilidade para um determinado vencimento. O grande diferencial do artigo de Alexander (1) é que a autora aplica o método de ACP utilizando a diferença entre a volatilidade das opções de preço de exercício fixo e a volatilidade das opções ATM como variável a ser modelada. A autora adota esta metodologia em detrimento da metodologia adotada pelos autores anteriores, que utiliza as variações diárias da volatilidade implícita. Ela demonstra que existem vantagens empíricas e teóricas para a utilização deste procedimento. Empiricamente Alexander (1) observa uma autocorrelação negativa na série de tempo da volatilidade implícita tanto de preço de exercício fixo como delta fixo. No entanto, a diferença entre a volatilidade do preço de exercício fixo e a volatilidade ATM tem muito menos ruído. Assim a aplicação de ACP baseada nas diferenças entre as volatilidades das opções de preço de exercício fixo e as volatilidades das opções ATM tem resultados mais robustos. 35

44 Teoricamente, a autora demonstra que os três cenários de movimentação da curva de volatilidade propostos por Derman (1999), quando analisados do ponto de vista de diferença de um preço de exercício fixo para um ATM, produzem resultados teoricamente mais robustos. A relação da diferença entre o preço de exercício fixo e o ATM e o preço do ativo base é a mesmo em todos os modelos de Derman (1999). Assim, em mercados sem tendência (comumente chamado de lateral pelos seus participantes), Derman propõe a utilização do modelo de sticky strike, a seguir. Sendo: S: preço da ativo base; S : preço inicial do ativo base; K: preço de exercício da opção; σ ATM ( τ ) denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma opção ATM. σ K ( τ ) denota a volatilidade implícita calculada por Garman e Kohlhagen de uma opção de preço de exercício K e vencimento τ quando o ativo base vale S ; σ denota a volatilidade implícita inicial; b ( τ ) é a inclinação da assimetria expressa em pontos percentuais de volatilidade por ponto de preço de exercício e é positivo quando a assimetria é negativa. Tem-se: K ( τ ) = σ b( τ )( K ) σ (3) S σ ATM ( τ ) = σ b( τ )( S ) S σ K ( τ ) σ ( τ ) = σ b( τ )( K S ) σ + b( τ )( S ) ATM S K ( τ ) σ ( τ ) = b( τ )( K S) σ (39) ATM Já em mercados com tendência, Derman propõe a utilização do modelo de sticky delta onde: 3

45 ( τ ) = σ b( τ )( K S ) σ K ( τ ) σ σ = ATM σ K ( τ ) σ ATM ( τ ) = σ b( τ )( K S ) σ K ( τ ) σ ( τ ) = b( τ )( K S) σ () ATM Em mercados com descontinuidade: K ( τ ) = σ b( τ )( K + S ) b ( τ ) S σ + σ ATM ( τ ) = σ b( τ )( S ) S σ K ( τ ) σ ( τ ) = σ b( τ )( K + S ) + b ( τ ) S σ + b( τ )( S S ) ATM K ( τ ) σ ( τ ) = b( τ )( K + S) + b( τ )( S) σ ATM K ( τ ) σ ( τ ) = b( τ )( K S) σ (1) ATM É possível observar, assim, que a diferença entre a volatilidade de preço de exercício fixo e a volatilidade do ATM se mantém constante em todos os modelos propostos por Derman: σ τ () K ( ) σ ATM ( τ ) = b( τ )( K S ) Para cada um dos tipos de resposta da curva de volatilidade à variação do ativo, Alexander demonstra que esta diferença será de b(τ ) para variações do ativo base. 37

46 Desta forma, uma maneira de testar os modelos sticky propostas por Derman, seria fazer um ACP sobre ( σ ) K σ ATM. De acordo com Alexander (1), uma análise do ACP desta diferença deve demonstrar que somente o primeiro componente principal tem significância. Se ocorrer de encontrarmos outros componentes, de ordens maiores e significantes, será apropriado utilizar movimentos não paralelos de assimetria quando o ativo base se move. O gráfico 3 mostra tanto os valores de volatilidade implícita de opções com vencimento em um mês e preços de exercício que variam entre R$,1 e R$ 3,5 (linhas coloridas, utilizando a escala da esquerda), quanto os valores da paridade Real / Dólar (em linha preta, utilizando a escala da direita) para o período de janeiro de 1 até março de. Observa-se que existe uma correlação positiva entre as volatilidades implícitas e o nível da paridade Real / Dólar. Já no gráfico, além dos valores da paridade Real / Dólar (linha preta, utilizando a escala da direita) é exibida também a diferença entre a volatilidade implícita de opções com um determinado preço de exercício e a volatilidade implícita das opções ATM com vencimento em um mês (linhas coloridas, utilizando a escala da esquerda). Observa-se que este último exibe menos correlação entre as diferenças de volatilidade e o valor do preço do ativo base e que as diferenças são, entre elas, mais correlacionadas e ordenadas do que as volatilidades em si. Desta forma, os dados da diferença da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício em relação ao ATM, mostram-se estacionários e com baixa correlação em relação ao ativo base. Assim a aplicação da técnica de análise de componentes principais sobre esta diferença (que exige dados estacionários) torna-se possível para este conjunto de dados. As volatilidade implícitas para os gráficos 3 a foram calculadas utilizando a fórmula de Garman e Kohlhagen. 3

47 Gráfico 3: Gráfico da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício das opções da paridade Real / Dólar de um mês, associado ao gráfico da paridade do Real / Dólar. Pode-se notar grande correlação entre os gráficos. Gráfico : Gráfico da diferença da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício em relação ao ATM das opções da paridade Real / Dólar de um mês, associado ao gráfico da paridade Real / Dólar. Pode-se observar que a correlação entre os dados diminui consideravelmente. Esta relação pode ser observada para qualquer prazo de vencimento. Seguem os gráficos das opções com vencimento de 3 meses (gráficos 5 e ) e 1 meses (gráficos 7 e ): 39

48 Gráfico 5: Gráfico da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício das opções da paridade Real / Dólar de três meses, associado ao gráfico da paridade do Real / Dólar. Pode-se notar grande correlação entre os gráficos. Gráfico : Gráfico da diferença da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício em relação ao ATM das opções da paridade Real / Dólar de três meses, associado ao gráfico da paridade Real / Dólar. Pode-se observar que a correlação entre os dados diminui consideravelmente.

49 Gráfico 7: Gráfico da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício das opções da paridade Real / Dólar de doze meses, associado ao gráfico da paridade do Real / Dólar. Pode-se notar grande correlação entre os gráficos. Gráfico : Gráfico da diferença da volatilidade implícita dos diferentes preços de exercício em relação ao ATM das opções da paridade Real / Dólar de doze meses, associado ao gráfico da paridade Real / Dólar. Pode-se observar que a correlação entre os dados diminui consideravelmente. Alexander, em seu estudo, aplica esta técnica para as volatilidades implícitas de um mês, dois meses e três meses do FTSE-1. O ACP da volatilidade de três meses não apresenta bons resultados. No entanto, o ACP da diferença entre a volatilidade das opções com preço de exercício fixo e a volatilidade das opções ATM para três meses mostra bons resultados. Nesta análise, o primeiro componente explica 7% do movimento e o segundo componente, 1%. A autora demonstra que estes 1

50 componentes representam respectivamente movimentos paralelo e de inclinação. O terceiro componente, com menor poder explicativo, explica mudanças na convexidade. Alexander observou que, aplicando-se o ACP para as diferenças de volatilidade nos prazos de um, dois e três meses, os três primeiros componentes explicam em geral a 9% do movimento da curva, sendo que o primeiro componente explica cerca de 5 a %, o segundo 5 a 15% e o terceiro 5%. As variações no poder explicativo dos componentes dependem principalmente do prazo (1, ou 3 meses). A conclusão imediata é que a parametrização linear da assimetria e a conseqüente análise da dinâmica da superfície de volatilidade apenas por movimentos paralelos é uma simplificação grosseira do que realmente acontece nos mercados de opções. O modelo desenvolvido por Alexander (1) contempla não apenas as mudanças paralelas, como também mudanças na inclinação e na curvatura. Este será o modelo empregado neste trabalho para a análise da curva de volatilidade implícita das opções da paridade Real / US$. Fengler, M., Härdle, W. e Villa, C. (Jun 1) fazem a análise de componentes principais comuns para diferentes vencimentos. Inicialmente os autores estimam de maneira não paramétrica a superfície de volatilidade implícita dia-a-dia utilizando um procedimento feito por Härdle e Vieu (199); Härdle e Tsybakov (1997); Aït-Sahalia e Lo (199, ). Obtêm, assim, uma superfície de volatilidade dado um moneyness e um vencimento. Posteriormente, aplicam uma técnica de análise multivariada na superfície de volatilidade: a análise de componentes principais. Este método parece ser o melhor para a análise de volatilidade implícita, pois explora a natural estrutura de grupo nos dados e não depende de metodologia de recombinação. Em terceiro lugar, os autores testam as especificações do modelo.

51 . Modelos de cálculo de Como afirma Alexander (1), modelos de avaliação de risco têm sido alvo de muitos estudos, não somente no campo acadêmico, mas também por parte das instituições financeiras. A regulação, no intuito de relacionar o capital regulatório que deve estar disponível dados os riscos a que as empresas estão expostas, tem desempenhado um papel muito importante. O Comitê da Basiléia de Supervisão Bancária em 199 recomendou a utilização de dois tipos de modelos: uma baseada em cenários dos diversos fatores de risco ao longo de um determinado período de tempo e o outro baseado na atribuição de probabilidades aos cenários e à avaliação do nível de perda para uma dada probabilidade, em um determinado período de tempo. Este último modelo é conhecido como V@R (Value-at-Risk ou Valor em Risco). O objetivo deste trabalho se concentra na mensuração do valor em risco decorrente somente de movimentos de preços de mercado, não envolvendo outros riscos inerentes à operação de ativos como o risco operacional ou de crédito...1 Proposta para Basiléia II A proposta de novo acordo da Basiléia atualizada em Junho de contém uma sugestão de movimentação proporcional de 5% na superfície de volatilidade para o cálculo do V@R. Isto significa aplicar um choque proporcional de 5% sobre a superfície de volatilidade implícita original das opções. Esta metodologia será empregada nos testes deste trabalho para verificar seu grau de eficiência perante a metodologia proposta. 3

52 .. Cálculo de para carteiras de opções Dadas as características de não-linearidade das carteiras de opções, métodos de simulação como o de Monte Carlo são geralmente recomendados. O cálculo do V@R através da simulação de Monte Carlo foi resumido por Alexander (1) em três etapas. Sendo k fatores de risco correlacionados; R 1,..., R k os retornos de h-dias destes fatores; e V sua matriz de covariância: i. Obter uma amostra aleatória de k variáveis normais padronizadas independentes; ii. utilizar a matriz de covariância dos fatores de risco para transformar a amostra em retornos de h-dias correlacionados; iii. aplicar o modelo de apreçamento aos retornos estimados dos fatores de risco correlacionados de h-dias. Repetem-se então estes três passos milhares de vezes para obter-se uma distribuição das perdas de h-dias. Para garantir a robustez das estimativas de V@R, Alexander afirma que são necessárias milhares de simulações e para cada simulação, é necessário a reavaliação da carteira. E é nesta etapa que reside o problema para uma carteira de opções, pois muitas vezes esta reavaliação gasta tanto tempo que se torna inviável em tempo hábil. Neste caso são empregadas funções de apreçamento aproximadas, incluindo-se aproximações de Taylor para as mudanças do valor da carteira...3 Aproximação Delta-Gama-Vega-Teta A expansão de Taylor da mudança do valor de uma carteira de opções ( ) do ativo base de preço S considerando-se um intervalo pequeno de variações do tempo ( δ t ), do preço do ativo base ( δ S ) e da volatilidade (δσ ) permite representar a

53 variação do valor da carteira de opções como função de suas diferentes letras gregas. Pode-se representar a expansão de Taylor, simplificadamente, como sendo: δ S σ t 1 S * δs + δσ + * δt + * * δs (3a) De acordo com as descrições de delta, gama, vega e teta apresentadas na seção., a equação (3), acima pode ser reescrita da maneira a seguir: δ 1 * δs + Λ * δσ + θ * δt +. Γ. δs (3b) onde: S : preço do ativo base;?: delta?: teta;?: delta; G: gama: s: vega: Quando esta metodologia é aplicada para o cálculo dos riscos de variação de uma carteira de opções, nota-se que uma mesma variação de volatilidade (δσ) é aplicada para todas as opções da carteira, independentemente do seu prazo de vencimento ou preço de exercício. Este trabalho pretende oferecer uma sugestão para cálculo de risco de variações na volatilidade implícita, ou seja, de vega de uma carteira. Ela se somaria à aproximação de Taylor considerando-se componentes de delta, gama e teta no cálculo do V@R de uma carteira de opções. 5

54 .. Utilização de ACP para cálculo de Frye (199) e Loretan (1997) propõem em seus trabalhos a utilização de componentes principais para o cálculo do valor em risco de uma carteira contendo diferentes ativos. Dada a ortogonalidade dos componentes principais, eles utilizam uma combinação linear da variância dos componentes principais para produzir cenários extremos para reavaliação da carteira. Kreinin (199) salienta que é possível gerar cenários utilizando o vetor de variáveis randômicas normalmente distribuídas da equação ξ ˆ = η U +. U. Assim, Frye (199) utiliza todos os cenários 1. λ η. λ. U +... ηh. λh h possíveis de combinação linear entre os componentes principais para obter curvas de juros que oferecem os maiores resultados positivos ou negativos à carteira. Ele ressalta que em instrumentos lineares, essa combinação linear pode ser reduzida para alguns cenários limites. Após encontrar as combinações lineares limites, Frye (199) multiplica essa mudança por,33 desvios padrão, de forma a obter um intervalo com 99% de confiança. Tendo como objeto de estudo a superfície de volatilidade implícita de opções européias da paridade Real / Dólar, este trabalho não tenta explicar as deformações ou os desvios da volatilidade implícita com relação à hipótese de volatilidade constante do modelo de Garman e Kohlhagen (1973), mas trata a volatilidade implícita como uma variável financeira interessante por si só, procurando analisar a dinâmica de sua superfície. Existem muitas razões que justificam esta abordagem, como será demonstrado a seguir.

55 3 METODOLOGIA Neste capítulo, primeiramente são apresentados a amostra, os métodos de interpolação e de construção da superfície de volatilidade e as carteiras utilizadas para o teste retroativo (backtesting) dos resultados. Em seguida, é demonstrada a análise de componentes principais das diferenças das volatilidades implícitas obtidas em relação às volatilidades ATM. Por fim, é apresentada a metodologia utilizada para o teste retroativo dos resultados. 3.1 Dados utilizados amostra Foram utilizados dados diários de volatilidade implícita das opções européias da paridade Real / Dólar que são negociadas na BM&F, com vencimentos em cada primeiro dia útil de cada mês, com prazo de vencimento até um ano. A amostra contempla dados de fechamento de de janeiro de 1 até de março de (1 observações). As volatilidades implícitas foram obtidas através do método de Newton-Raphson com precisão de,1, utilizando-se a fórmula de Garman e Kohlhagen. Os strikes são fixos e com intervalos de R$,5, numa faixa de R$,1 até R$ 3,5. Os dados foram então interpolados e apresentados separados por vencimento e delta, sendo que foram calculados dados para os seguintes preços de exercício: i. Opções com preços de exercício ATM; ii. opções de compra com preço de exercício equivalente a opções com um delta de,5 (call com 5% de delta); iii. opção de venda com preço de exercício equivalente a opções com um delta de -,5 (put com 5% de delta); iv. opção de compra com preço de exercício equivalente a opções com um delta de,1 (call com 1% de delta) e; v. opção de venda com preço de exercício equivalente a opções com um delta de -,1 (put com 1% de delta). 7

56 Então, para cada dia temos uma superfície apresentada da seguinte forma: Tabela 1: Dados interpolados de volatilidade implícita das opções da paridade Real / Dólar para o dia 19 de maio de 1. A interpolação dos dados se faz necessária pois os prazos que serão analisados não são exatamente os prazos obtidos através da BM&F. Mas, as volatilidades interpoladas apresentam sensibilidade à função interpoladora escolhida. Uma vez que a questão da interpolação da superfície de volatilidade não é objeto principal deste artigo, foi utilizada uma interpolação de baixo nível de complexidade metodológica, a interpolação bilinear das volatilidades implícitas com relação ao tempo para vencimento e moneyness, a ser apresentada a seguir. Sendo s 1 =s(k BMF1, T 1 ); s =s(k BMF1, T ); s 3 =s(k BMF, T 1 ) e s =s(k BMF, T ), onde: K BMF1 e K BMF representam os strikes de opções negociadas na BM&F dos pontos entre os quais se quer interpolar; T 1 e T representam os respectivos prazos para o vencimento das opções negociadas na BM&F dos pontos entre os quais se quer interpolar; K BMF1 <= K <= K BMF e T 1 <= T <= T ; tem-se: σ K K K T T T K K K K T T T BMF BMF1 ( K, T ) ( ).( ) σ + ( ).( ) σ + = 1 K BMF BMF1 T 1 BMF BMF1 T 1

57 K K T T K K T T BMF1 1 BMF 1 + ( ).( ) σ 3 + ( ).( ) σ () K BMF K BMF1 T T1 K BMF K BMF1 T T1 As curvas de juros e cupom cambial sujo foram também obtidas através da BM&F. As taxas de juros em reais obtidos através das cotações do DI futuro negociado na BM&F estão expressas em base exponencial 5 e as taxas de cupom obtidas através da cotação do DDI negociado na BM&F estão expressas em base linear 3. O Ptax 3 foi obtido através da página da Internet do Banco Central do Brasil ( e o valor de fechamento do dólar foi obtido através do terminal Bloomberg sob o código de BRL CRNCY. De posse destes dados, o valor das volatilidades implícitas para 1,, 3, 1, 19 e 5 dias úteis respectivamente chamados de um mês (1M), dois meses (M), três meses (3M), seis meses (M), nove meses (9M) e doze meses (1M) foram obtidos através de interpolação dos dados para vencimentos BM&F. Esta interpolação foi necessária uma vez que os dados da BM&F são fixos no vencimento e variáveis no prazo e o objeto de estudo deste trabalho são variáveis com prazos fixos. Tabela : Dados interpolados de volatilidade implícita das opções da paridade Dólar / Real para o dia 19 de maio de 1 interpolados para 1mês,, 3,, 9 e 1 meses. Pode-se representar graficamente esta superfície de acordo com o gráfico a seguir: 3 Taxa média de todos os negócios com dólares realizados no dia no mercado interbancário de câmbio, com liquidação em dois dias úteis. 9

58 Superfície de Volatilidade de 19 de maio de 1 1,% 1,% 1,% 1,% Volatilidade 1,%,% 1,%-1,% 1,%-1,% 1,%-1,% 1,%-1,%,%-1,%,%-,%,%-,%,%,% 1 mês meses 3 meses meses 9 meses 1 meses Tempo para vencimento 1% Delta Call 5% Delta Call ATM Delta 5% Delta Put 1% Delta Put Gráfico 9: Superfície de volatilidade implícita das opções da paridade Dólar / Real para o dia 19 de maio de interpolados para 1mês,, 3,, 9 e 1 meses. Foi construída, para cada dia da amostra, uma superfície como a apresentada acima. Utilizando a fórmula de interpolação proposta, foram calculadas as volatilidades para as opções com preços de exercício R$,1; R$,15; R$,;...; R$ 3,5 e R$ 3,5; compondo 9 diferentes preços de exercício. Dados de volatilidade implícita destes preços de exercício foram obtidos para todos os prazos como, por exemplo, os valores de volatilidades implícitas de 1 meses mostrados abaixo. 5

59 Tabela 3: Dados de volatilidades implícitas para diferentes preços de exercício com prazo de vencimento 1 meses para o dia 19 de maio de 1, incluindo-se os deltas das call s. 3. Carteira para teste retroativo de resultados (backtesting) Cada carteira analisada possui 9 opções de compra européias de preços de exercício R$,1; R$,15; R$,;...; R$3,5 e R$3,5, sendo uma opção de cada strike. Tomou-se tal composição de strikes para cada carteira pois a paridade Real / Dólar, durante o período da amostra, variou de R$1,9 até R$, e permaneceu cerca de 9% do tempo dentro do intervalo entre R$,1 e R$3,5. A fim de conhecer a eficiência do modelo de risco, quatro diferentes prazos foram considerados para cada carteira, contemplando vencimentos de curto e longo prazo: 1M, M, 3M e 1M. Para que se pudesse fazer uma comparação entre o cálculo do V@R para diferentes dias, foi utilizada a mesma carteira para todos os dias. Foram analisadas posições compradas em todas as opções e, posteriormente, posições vendidas em todas as opções. Totalizam, assim, oito diferentes carteiras: 51

60 Tabela : Descrição das diferentes carteiras que serão analisadas. 3.3 ACP das diferenças da volatilidade em relação ao ATM Para se testar a aplicação da metodologia proposta por Alexander (1), cada volatilidade implícita de um determinado strike fixo (s) foi subtraída da volatilidade ATM (s ATM ) do mesmo prazo. Tabela 5: Dados da diferença das volatilidades implícitas, de diferentes preços de exercício, para a volatilidade ATM com prazo de vencimento 1 meses de 19 de maio de 1. Assim, para cada opção, dada um prazo de vencimento e um preço de exercício K, foi calculado: Vide item.7 da Revisão Bibliográfica 5

61 ( σ w P (5) K σ ATM ) = wk 1P1 + wk P + k 3 3 Onde P 1, P e P 3 são os componentes principais e w k1, w k e w k3 são as cargas fatoriais. Foram calculadas as cargas fatoriais 5 para toda a amostra, de forma a verificar a validade da análise de componentes principais para a estrutura a termo de volatilidade. Utilizando um e*, como sugerido por Kreinin et al (199) de 1%, ou seja, uma proporção aceitável de 1% de variância não explicada devido a uma redução do número de fatores utilizados, verificou-se a quantidade de componentes principais necessários para se explicar pelo menos 99% da variância total dos dados originais. Após a definição do número de componentes necessários, foram calculadas as componentes principais e as cargas fatoriais de cada prazo proposto para os últimos cem dias de diferenças de volatilidades em relação às volatilidades ATM. Como a amostra conta com 1 observações, foram calculados, para cada um dos prazos, 11 conjuntos de componentes principais e cargas fatoriais, compondo no total 5 conjuntos de dados (11 datas de cálculo para prazos distintos). 3. Teste retroativo (Backtesting) dos resultados A medida de V@R de um dia calculada com base em um nível de confiança de 1% implicaria que, em circunstâncias normais de mercado, determinada carteira excederia suas perdas acima das esperadas pelo modelo em uma vez em cada 1, na média. Este foi o nível de significância utilizado para o teste retroativo da eficiência dos modelos de V@R analisados. Esse número de perdas acima do esperado pode ser considerado, segundo Alexander (1), como uma variável aleatória que tem distribuição binomial. Assim sendo, para um V@R de 1 dia com probabilidade de perda de p%, calculado para 53

62 com n dias retroagidos, tem-se uma quantidade de perdas esperada de n*p; com variância de n*p*(1-p). Assim, para a amostra, composta de 1 dias de dados (sendo que os 1 primeiros dados foram utilizados como amostra para o primeiro cálculo de V@R), n=11; p=,1; n*p = 11,; variância = 11,5 e o desvio padrão é de 3,39. Como n é grande e p é pequeno, a distribuição binomial pode ser aproximada a uma normal. Neste caso, o intervalo de confiança de número de ocorrências é dado por: IC = n. p Z n. p.(1 p); n. p + Z n. p.(1 )) () (,5, 5 p onde: Z,5 = número de desvios padrão com relação à média equivalente a,5% de probabilidade de ocorrência em uma distribuição normal padrão. Substituindo os valores antes apresentados na fórmula acima, tem-se que: IC =(11,,57 * 3,39; 11, +,57 * 3,39) = (,9;,37). Assim, dada a amostra de 11 dados, são esperados que ao menos três perdas, em toda a amostra, excedam o valor estimado pelo critério de risco adotado. Analogamente, são esperadas menos de vinte e uma perdas no intervalos da amostra. O teste retroativo recomendado pela emenda de 199 ao Acordo da Basiléia usa os últimos 5 dias de dados com perdas previstas de 1%. A carteira é mantida fixa e as perdas dos últimos 5 dias são comparadas com o V@R. As perdas que excedam o limite de V@R são então anotadas. Desta forma, o número esperado de perdas, a variância, desvio padrão e intervalo de confiança serão: 5 As cargas fatoriais foram calculadas a partir de código disponível em Alexander (1) 5

63 número esperado de perdas = n*p = 5*,1 =,5 variância = n*p*(1 p) = 5*,1* (1,1) =,75 desvio padrão = n * p *(1 p) =,75 = 1, 573 intervalo de confiança = (,5,33 * 1,573;,5 +,33 * 1,573) = (zero;,17) com confiança de 99%. Assim, um total de até seis perdas para um período de 5 dias é aceitável com 99% de confiança. No teste retroativo realizado, os componentes principais e as cargas fatoriais calculados (tal como descrito no item anterior) serão aplicados para todas as opções que pertencem à carteira de forma que se obtenha um V@R correspondente a movimentações das volatilidades implícitas para cada dia. Como exemplo, para o dia 9 de maio de 1, observamos na tabela os componentes principais obtidos para cada preço de exercício. Nas colunas valores limites, é feita a combinação linear dos componentes principais de forma a obter a maior alta e a maior baixa da volatilidade implícita para cada preço de exercício. 55

64 Tabela : Valores do componentes principais para o dia 19 de maio de 1 e suas combinações lineares mais altas e mais baixas. Os valores apresentados acima representam a variação esperada, considerando-se um desvio padrão, da diferença da volatilidade implícita da opção com determinado strike com relação à volatilidade implícita da opção ATM. As colunas valores limites correspondem à combinação linear dos três componentes principais que representa o pior cenário de variação da diferença da volatilidade implícita, para cima ou para baixo. A utilização da combinação linear dos componentes principais foi realizada com base nos artigos de Kreinin et al. (199), Frye (1997) e Fiori e Iannoti (), tal como observado no item.. da revisão bibliográfica. Estes valores limites são então multiplicadas por,33, que representa o nível de confiança de 99% da distribuição normal. Estes valores são por fim somados às 5

65 volatilidades implícitas das opções ATM para se obter a variação máxima de cada opção de strike K: Tabela 7: Valores de variação da volatilidade implícita das opções de diferentes preços de exercício para o dia 19 de maio de 1 dado os valores de variação limites obtidos através do ACP. Por exemplo, o valor da volatilidade limite superior do preço de exercício, é assim obtido: Da tabela 3 obtêm-se o valor da volatilidade inicial da opção com preço de exercício,: 1,1%. Os valores extremos de variação obtidos através da tabela representam variações da diferença em relação ao ATM de,19%. Assim, a 57

66 volatilidade da opção de preço de exercício, pode variar de 1,% até 19,%, como apresentado na tabela 7. As carteiras são então reavaliadas para todos estes cenários de volatilidades implícitas e suas perdas máximas são então calculadas. Soma-se a estas perdas máximas a variação do valor da carteira de opções utilizando a expansão de Taylor com componentes de delta, gama e teta, como demonstrado na equação (3b), mas desconsiderando-se o termo (δσ ). Para o cálculo de δ S, foi utilizado o retorno associado à volatilidade histórica dos 1 últimos dias e δt igual a um dia. Assim: VolHist1dias δ S = * S 5 Onde: VolHist1dias é a volatilidade histórica calculada utilizando-se os 1 últimos dados de preço do ativo base disponíveis; S é o preço do ativo base; Tabela : Cálculo do V@R somando-se componentes da expansão de Taylor e de variação na volatilidade obtidos através do ACP. Este resultado é comparado ao resultado efetivamente obtido pela carteira no dia seguinte: Tabela 9: Comparação do resultado obtido no dia de maio de 1 com os V@R calculados no dia 19 de maio de 1. A fim de testar se o modelo de V@R proposto apresenta ganho em relação a outros modelos, a eficiência dos seguintes modelos também são apresentadas: 5

67 i. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama e teta isto é, a utilização de uma expansão simplificada sem a utilização do componente de variação da volatilidade; ii. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama e teta somado ao risco de movimentos de volatilidade implícita propostos pela Basiléia II; iii. Expansão de Taylor considerando-se componentes de delta, gama, teta e vega. Tabela 1: Comparação das diferentes metodologias de cálculo de V@R. 59

68 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Neste capítulo, inicialmente, são apresentados os resultados da aplicação da análise de componentes principais às diferenças entre as volatilidades implícitas das opções de determinado preço de exercício e as volatilidades das opções ATM de mesmo vencimento. Em seguida são apresentados os cálculos de V@R das oito carteiras escolhidas, realizados através das metodologias de: análise de componentes principais das diferenças de volatilidade adicionada à expansão de Taylor considerando componentes de delta, gama e teta; expansão de Taylor considerando componentes de delta, gama, teta e vega; e expansão de Taylor considerando componentes de delta, gama e teta somada a variação de volatilidade sugeridas pela Basiléia II. Os resultados obtidos com a aplicação de cada metodologia de cálculo de V@R apresentada são comparados às perdas efetivas obtidas pelas oito carteiras. Por fim, como complemento, é realizada uma análise da influência da variação da volatilidade implícita nos parâmetros de delta, gama e teta utilizados na expansão de Taylor..1 Aplicação de ACP para a estrutura a termo de volatilidade implícita A fim de demonstrar que a aplicação da ACP é válida para explicar o comportamento da diferença entre a volatilidade implícita de uma opção de determinado preço de exercício e a volatilidade da opção ATM de mesmo vencimento, foram calculados os componentes principais para as oito diferentes carteira de diferentes prazos de vencimento. O teste para o modelo de V@R que será feito na próxima seção, utilizará janelas de 1 dias úteis e, neste teste inicial, esta sendo utilizada toda a amostra de 1 dados. Como, para este cálculo, a posição da carteira (comprada ou vendida) não é importante, serão consideradas somente quatro carteiras, uma por vencimento. Foram utilizados todos os dados disponíveis para esta análise. Calculando-se o ACP para toda a estrutura a termo de volatilidade implícita das opções européias da paridade Real / Dólar negociadas na BM&F, utilizando a

69 metodologia apresentada por Alexander (1), foram obtidas as variâncias explicadas pelos componentes principais, para cada prazo. Assim, a tabela 11 traz as variâncias explicadas pelos três primeiros componentes principais para prazos de vencimento 1M e M. É importante observar que o primeiro componente apresenta grande poder de explicação da variância, chegando a atingir 9,39% de explicação. Tabela 11: Variâncias explicadas por cada componente principal para prazos de vencimento 1M e M. Já a tabela 1, traz as variâncias explicadas pelos três primeiros componentes principais para prazos de vencimento 3M e 1M. 1

70 Tabela 1: Variâncias explicadas por cada componente principal para prazos de vencimento 3M e 1M. Resumidamente, pode-se destacar as variâncias explicadas pelos diferentes componentes, separadas por prazo, na tabela 13.

71 Tabela 13: Variâncias explicadas acumuladas por prazo de vencimento. A variância acumulada explicada pelos diferentes componentes principais, para os diferentes prazos, é apresentada na tabela 1. Tabela 1: Variância explicada acumulada por componente principal. Foi possível se constatar, assim, que os três primeiros componentes principais explicam mais de 99,1% da variância da amostra. Desta forma, considerando-se um e* de 1%, são necessários três componentes principais. Os gráficos 1 a 13 apresentam as cargas dos componentes principais para cada prazo de vencimento de opções. Através da análise gráfica das cargas dos componentes principais, é possível observar que estas se mantêm constantes ao 3

72 longo dos diferentes preços de exercícios, o que representa mudanças paralelas do sorriso de volatilidade implícita, para os diferentes preços de exercício. Já as cargas do segundo componente principal mostram-se crescentes ao longo dos diferentes preço de exercício, demonstrando mudanças na inclinação do sorriso de volatilidade. Por fim, é possível observar que as cargas do terceiro componente principal apresentam convexidade ao longo dos diferentes preços de exercício, representando mudanças na curvatura do sorriso de volatilidade. A identificação dos componentes de nível, inclinação e curvatura faz-se clara para os gráficos de todos os prazos analisados. Cargas Fatoria Cargas Fatoriais - ACP 1 mes - Diferença ATM em relação ao Strike,3,,1 - (,1) (,) (,3) (,),1,5,,55,7,5 3, 3,15 3,3 3,5 Strikes Fator 1 Fator Fator 3 Gráfico 1: Cargas fatoriais dos componentes principais de 1M. Cargas Fatoria Cargas Fatoriais - ACP meses - Diferença ATM em relação ao Strike,3,,1 - (,1) (,) (,3) (,),1,5,,55,7,5 3, 3,15 3,3 3,5 Strikes Fator 1 Fator Fator 3 Gráfico 11: Cargas fatoriais dos componentes principais de M.

73 Cargas Fatoria Cargas Fatoriais - ACP 3 meses - Diferença ATM em relação ao Strike,3,,1 - (,1) (,) (,3) (,),1,5,,55,7,5 3, 3,15 3,3 3,5 Strikes Fator 1 Fator Fator 3 Gráfico 1: Cargas fatoriais dos componentes principais de 1M. Cargas Fatoria Cargas Fatoriais - ACP 1 meses - Diferença ATM em relação ao Strike,,3,,1 - (,1) (,) (,3),1,,3,,5,,7,,9 3, 3,1 3, 3,3 3, 3,5 Strikes Fator 1 Fator Fator 3 Gráfico 13: Cargas fatoriais dos componentes principais de 1M.. Variância explicada dos três componentes principais nas diversas carteiras A fim de demonstrar que o alto poder explicativo dos primeiros componentes principais é alto, não apenas para a amostra como um todo, como também para as janelas de 1 dias a serem utilizadas no cálculo do V@R, foram calculados as variâncias explicadas por cada componente principal para cada uma destas janelas e para cada um dos prazos. Os resultados obtidos para os prazos de um e dois meses podem ser observados nos gráficos 1 e 15, a seguir. 5

74 Variância explicada pelos componentes principais de 1M 1,% 9,%,% 7,% % da variância explicada,% 5,%,% 3,%,% 1,%,% mai-1 jul-1 set-1 nov-1 jan- mar- mai- jul- set- nov- jan-3 mar-3 mai-3 jul-3 set-3 nov-3 jan- mar- mai- jul- set- nov- jan-5 mar-5 mai-5 jul-5 set-5 nov-5 jan- Data CP 1 CP CP 3 Gráfico 1: Variância explicada pelos três primeiros componentes principais para o prazo de 1M. Variância explicada pelos componentes principais de M 1,% 9,%,% 7,% % da variância explicada,% 5,%,% 3,%,% 1,%,% mai-1 jul-1 set-1 nov-1 jan- mar- mai- jul- set- nov- jan-3 mar-3 mai-3 jul-3 set-3 nov-3 jan- mar- mai- jul- set- nov- jan-5 mar-5 mai-5 jul-5 set-5 nov-5 jan- Data CP 1 CP CP 3 Gráfico 15: Variância explicada pelos três primeiros componentes principais para o prazo de M Através da análise dos gráficos 1 e 15 é possível observar que os três primeiros componentes principais mantém um alto poder explicativo ao longo das diversas janelas, sendo que grande parte da variância é explicada pelo primeiro componente principal.

75 .3 calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta somada a risco de variação de volatilidade calculada por ACP Uma vez verificada que a metodologia de Alexander (1) obtém bons resultados para a estrutura a termo de volatilidade implícita das opções européias da paridade Real / Dólar negociadas na BM&F, partiu-se para o cálculo do V@R utilizando a expansão de Taylor (delta, gama e teta) somada ao risco de variação de volatilidade implícita. Os gráficos a seguir mostram os resultados obtidos através da utilização desta metodologia para as carteiras um a oito propostas no item 3. da metodologia, que compõem diferentes prazos (1M, M, 3M e 1M). A linha fina com maior variância (azul) representa os resultados diários efetivamente obtidos pela carteira e utiliza a escala da esquerda. A linha fina com menor variância (rosa) representa o V@R calculado para o dia e também utiliza a escala da esquerda. A linha mais grossa (vermelha), utilizando a escala da direita, representa o número de ocorrências de resultados mais negativos do que o valor esperado pelo V@R no últimos 5 dias úteis. Este número de ocorrências, segundo critérios sugeridos pelo emenda ao acordo da Basiléia de 199 tal como observado no item 3. da metodologia - deve ficar entre zero e seis. Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico 1: Resultados da carteira um, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperada pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. 7

76 No gráfico 1 observa-se os resultados diários obtidos pela carteira um, acompanhados do cálculo do risco utilizando-se a metodologia proposta (expansão de Taylor para o delta, gama e o teta, somada ao risco de variação de volatilidade implícita obtido através do cálculo do ACP). Pode-se observar que o cálculo do V@R por esta metodologia atingiu os resultados esperados para a carteira um. Considerando-se janelas móveis de 5 dias úteis, não houve o acúmulo de mais de seis resultados menores do que o previsto no modelo de V@R. Posição vendida 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico 17: Resultados da carteira dois, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperada pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. No gráfico 17 observa-se o resultado diário da carteira dois utilizando-se a mesma metodologia que a anterior para o cálculo do V@R. Observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R não foi eficaz para assegurar o número de perdas dentro do intervalo proposto. Isto é, o número de dias com perdas superiores ao previsto pelo modelo de V@R, em períodos móveis de 5 dias úteis, ultrapassou o número esperado dado o nível de confiança utilizado, atingindo mais de seis ocorrências e chegando a até nove dias de perdas acumuladas nos intervalos móveis de 5 dias.

77 Posição comprada M, Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Resultados da carteira testada (esq.) V@R(esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico 1: Resultados da carteira três, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. No gráfico 1, observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R atingiu os resultados esperados para a carteira três. Em uma média móvel de 5 dias úteis, não ocorreu nenhuma seqüência com mais de seis perdas superiores àquelas esperadas pelo modelo. Posição vendida M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico 19: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. No gráfico 19 observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R não atingiu os resultados esperados para a carteira quatro. Utilizando-se seqüências de 9

78 médias móveis para 5 dias úteis, houve três seqüências onde o número de perdas superiores às perdas esperadas pelo modelo excedeu o número aceito dado o nível de confiança adotado, ou seja, excedeu o nível de seis ocorrências. Posição comprada 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico : Resultados da carteira cinco, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. No gráfico, observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R atingiu os resultados esperados para a carteira cinco. Em uma média móvel de 5 dias úteis, não ocorreu nenhuma seqüência com mais de seis perdas superiores àquelas esperadas pelo modelo. Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Tempo Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Número de ocorrências (dir.) 7

79 Gráfico 1: Resultados da carteira seis, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. No gráfico 1 observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R não atingiu os resultados esperados para a carteira seis. Utilizando-se seqüências de médias móveis para 5 dias úteis, houve dezoito seqüências onde o número de perdas superiores às perdas esperadas pelo modelo excedeu o número aceito dado o nível de confiança adotado, ou seja, excedeu o nível de seis ocorrências. Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico : Resultados da carteira sete, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. No gráfico, observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R atingiu os resultados esperados para a carteira sete. Em uma média móvel de 5 dias úteis, não ocorreu nenhuma seqüência com mais de seis perdas superiores àquelas esperadas pelo modelo. 71

80 Posição vendida 1M, Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e ACP para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Tempo Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Número de ocorrências (dir.) Gráfico 3: Resultados da carteira oito, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. No gráfico 3, observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R atingiu os resultados esperados para a carteira oito. Em uma média móvel de 5 dias úteis, não ocorreu nenhuma seqüência com mais de seis perdas superiores àquelas esperadas pelo modelo.. V@R calculado através da expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta Os resultados acima, calculados para a expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta somada a risco de variação de volatilidade calculada por ACP, foram calculados também para a expansão de Taylor, incluindo componentes de delta, gama e teta (sem incluir um componente de variação de volatilidade). Seguem abaixo os resultados obtidos para as carteiras dois e quatro. Os demais resultados podem ser observados no apêndice 1 deste trabalho. 7

81 Posição vendida 1M, Expansão de Taylor mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico : Resultados da carteira dois, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. No gráfico observa-se que a metodologia proposta de cálculo para V@R não atingiu os resultados esperados para a carteira dois. Utilizando-se seqüências de médias móveis para 5 dias úteis, houve 5 seqüências onde o número de perdas superiores às perdas esperadas pelo modelo excedeu o número aceito dado o nível de confiança adotado, ou seja, excedeu o nível de seis ocorrências. Posição vendida M, V@R Expansão de Taylor mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- 1 Tempo Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Número de ocorrências (dir.) Gráfico 5: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. 73

82 Novamente, na carteira quatro, utilizando-se seqüências de médias móveis para 5 dias úteis, houve 9 seqüências onde o número de perdas superiores às perdas esperadas pelo modelo excedeu o número aceito dado o nível de confiança adotado, ou seja, excedeu o nível de seis ocorrências..5 V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama, teta e vega Utilizando-se a expansão de Taylor com componentes de delta, gama, teta e também vega, ou seja, considerando-se uma componente de movimentação paralela da volatilidade (medida pela variância da volatilidade implícita para o prazo de vencimento considerado), podem-se destacar os resultados da carteira um e sete: Posição comprada 1M, V@R Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Teta) mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- 1 Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico : Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. Observa-se no gráfico que, durante todo o período, a carteira um somente excedeu a perda esperada em duas ocasiões. Pode-se observar o mesmo efeito na carteira sete (gráfico 7), onde somente em uma ocasião o resultado excedeu o V@R: 7

83 Posição comprada 1M, Expansão de Taylor - (Delta-Gama-Vega-Teta) mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico 7: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. Demais resultados utilizando-se esta metodologia podem ser encontrados no apêndice 1.. V@R calculado pela expansão de Taylor para riscos de delta, gama e teta somado ao risco de variação de volatilidade sugerido pela Basiléia II Considerando-se agora a expansão de Taylor com componentes de delta, gama e teta, e riscos de variação de volatilidade implícita como sugerido na proposta de acordo da Basiléia II, destacam-se os resultados da carteira : 75

84 Posição vendida 1M, Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e critério da Basiléia II para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico : Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. Vê-se que a carteira dois (gráfico ) não teve, em nenhum dia, seu resultado negativo maior que o esperado pelo modelo de V@R proposto. O mesmo resultado pode ser observado na carteira quatro (gráfico 9): Posição vendida 3M, V@R Expansão de Taylor (Delta-Gama-Teta) e critério da Basiléia II para Vega mai-1 set-1 jan- mai- set- jan-3 mai-3 set-3 jan- mai- set- jan-5 mai-5 set-5 jan- 1 Resultados da carteira testada (esq.) V@R (esq.) Tempo Número de ocorrências (dir.) Gráfico 9: Resultados da carteira quatro, com o V@R calculado e o número acumulado de perdas maiores que a esperadas pelo modelo de V@R proposto em janelas móveis de 5 dias úteis. Demais resultados utilizando-se este critério de V@R podem ser observados no apêndice 1. 7

85 Tabulando-se os dados dos resultados obtidos para os testes retroativos, têm-se resumidamente: Tabela 15: Resumo dos dados obtidos em cada metodologia nas carteiras um, dois, três e quatro. 77

86 Tabela 1: : Resumo dos dados obtidos em cada metodologia nas carteiras cinco, seis, sete e oito. Nas tabelas 15 e 1, é possível se observar o número total de ocorrências com resultado pior que o esperado pelo modelo de V@R proposto. Também é possível se observar o máximo de ocorrências por seqüência de 5 dias úteis, a quantidade de seqüências sem nenhuma ocorrência e a quantidade de seqüências com mais de seis ocorrências. Através das tabelas acima, pode-se observar que a expansão de Taylor para aproximações de delta, gama e teta, considerando riscos de variações de volatilidade propostos no acordo da Basiléia II, é conservadora em excesso tanto se observando o número de ocorrências total da amostra, como se observando o número de ocorrências em seqüências de 5 dias úteis. Em seis das oito carteiras testadas, em nenhum momento ocorreu um resultado pior que o esperado pelo modelo. Utilizando a expansão de Taylor para aproximações de delta, gama, teta e vega, os resultados demonstram que o modelo foi muito conservador para a carteira de longo 7

87 prazo 1M com apenas uma ocorrência de resultado pior do que o esperado pelo modelo na carteira sete e duas ocorrências na carteira oito, sendo que no mínimo três ocorrências eram esperadas para toda a amostra (tal como demonstrado na fórmula () do item 3. da metodologia). Nas carteiras de 1M, M e 3M compradas (carteiras um, três e cinco), os resultados também se mostraram conservadores, porém em menor escala (com duas ocorrências em toda amostra). Já nas carteiras dois, quatro e seis, os resultados são satisfatórios em relação ao número de ocorrências na amostra. No entanto, a quantidade de ocorrências de perdas acima do esperado pelo modelo em intervalos de 5 dias atinge somente ocorrências, ainda que o nível de confiança adotado permitisse até ocorrências por intervalo de 5 dias. Com o modelo que utiliza a expansão de Taylor para aproximações de delta, gama e teta, para todas as carteiras compradas (carteiras,, e ) o modelo se mostrou satisfatório em relação ao número total de ocorrências na amostra. As demais carteiras tiveram o número de ocorrências acima do esperado para toda a amostra. Considerando-se os intervalos móveis de 5 dias úteis, somente a carteira três se mostrou satisfatórias. Fazendo uso do da expansão de Taylor para aproximações de delta, gama e teta, combinado com o uso de ACP para variações da volatilidade implícita, todas as carteiras se mostraram satisfatórias em relação ao número total de ocorrências na amostra. Considerando-se os intervalos móveis de 5 dias úteis, as carteiras dois, quatro e seis se mostraram insatisfatórias. As demais (um, três, cinco, sete e oito) mostraram-se satisfatórias. Desta forma, pode-se concluir que a metodologia proposta (expansão de Taylor para aproximações de delta, gama e teta, combinado com o uso de ACP para variações da volatilidade implícita) é a mais eficiente considerando-se os critérios de avaliação adotados. 79

88 .7 Influência da variação da volatilidade implícita nos parâmetros delta, gama e teta utilizados na expansão de Taylor Por utilizar expansão de Taylor para a aproximação do delta, gama e teta (modelo este que considera parâmetro de volatilidade invariáveis para pequenas mudanças no preço do ativo, como observado no item..3 nas equações (3a) e (3b)), o modelo proposto não considera o efeito da variação da volatilidade implícita nestes parâmetros. Utilizando o prazo de três meses como exemplo, verificou-se o impacto da modificação da volatilidade no cálculo da expansão de Taylor para a aproximação do delta, gama e teta. A tabela 17 demonstra o cálculo da diferença do V@R para os últimos 7 dias da amostra. Observa-se que o impacto médio foi de 5% de acréscimo no V@R da carteira cinco, o que não modificou de maneira significativa o cálculo da efetividade do modelo de risco, como podemos verificar na tabela 1, que faz uma comparação dos resultados obtidos sem o ajuste de volatilidade e como ajuste da volatilidade. Tabela 17: Comparação do V@R nas carteiras sem ajuste da volatilidade implícita e do V@R nas carteiras com ajuste da volatilidade implícita.