1 T. equação equação k. equação 59

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1 VI ONDAS ACÚSTICAS 16. Propriedades das ondas Se pensarmos que a informação que estimula dois dos nossos sentidos mais importantes (a visão e a audição) e através das quais reconhecemos o mundo que nos rodeia é transmitida através de ondas, facilmente nos apercebemos da importância do seu estudo na compreensão do modo como se processa a nossa percepção. Na realidade, apesar do som e da luz serem fenómenos de natureza muito distinta, é possível modelá-los através do formalismo ondulatório, isto é, assumir que ambos se propagam através de uma perturbação do meio 56, transportando, desta forma, energia, sem que haja transferência de massa. 16.1Descrição das ondas Uma das principais características das ondas é o seu carácter periódico, sendo a sua descrição feita através de algumas grandezas que reflectem essa propriedade: a sua frequência (número de ciclos existentes num segundo), cuja unidade é o hertz (Hz), o seu comprimento de onda (tamanho espacial do seu ciclo), a unidade é o metro (m) e o seu período (duração do ciclo), dado em segundos (s) (ver fig. 64). Para além destas grandezas, há ainda a considerar a sua velocidade de propagação (que tem, como se sabe, unidade de m s -1 ). Estas grandezas relacionam-se através de expressões muito simples, que vale a pena recordar. O período (T) é o inverso da frequência (): 1 T. equação 56 O comprimento de onda (), o período (T) e a velocidade de propagação (c) relacionam-se através da expressão: ct. equação 57 É ainda de referir duas grandezas, muitas vezes associadas às ondas, às quais se dá o nome de frequência angular () e número de onda (k) e cujas definições matemáticas são dadas pelas expressões: 2. equação 58 2 k. equação 59 A frequência angular é dada em radianos por segundo (rad s -1 ) e contém o mesmo tipo de informação que a frequência, mas em unidades angulares, o mesmo acontecendo com o número de onda em relação ao comprimento de onda, cuja unidades é rad m No caso das ondas sonoras são as partículas constituintes do próprio meio que são perturbadas. No caso da luz, existe uma perturbação nos campos electromagnéticos na região onde esta se propaga. Por este motivo, enquanto que as primeiras exigem um meio material para se propagarem ondas mecânicas, as segundas propagam-se no vazio. 81

2 Figura 64 - Esquema de uma onda. Na figura pode observar-se a amplitude e o período, o qual corresponde também a um comprimento de onda. Repare-se que nesta figura a fase inicial da onda é de 90º. Por fim, resta introduzir o conceito de fase. Se admitirmos que a um ciclo completo corresponde 2 radianos (que é, aliás, o que está subjacente nas equações 58 e 59), a cada instante é possível definir a fase em que o ciclo se encontra, atribuindo a esta um ângulo. Assim, assumindo que inicialmente a onda se encontra no princípio do ciclo, então nesse instante a sua fase é nula; após um quarto do período (T/4), a sua fase é de 90º; em T/2 a fase é de 180º e no final de um período a fase é de 360º, ou, o que é mesmo, novamente de 0º. Neste contexto é, certamente, mais compreensível as várias notações que se usam para descrever uma onda caracterizada por uma amplitude A (perturbação do meio), uma frequência angular w e uma fase inicial. As restantes variáveis têm o significado dado anteriormente: ( t) A sen( t ) A sen(2t ) A sen(2t ) T 2ct. equação 60 A sen( ) A sen( kct ) 16.2Reflexão, refracção e interferência Algumas das propriedades mais interessantes das ondas dizem respeito ao seu comportamento quer quando atravessam um meio com diferentes propriedades, quer quando uma ou mais ondas se sobrepõem na mesma região do espaço. Quando uma onda passa de um meio com determinadas características para um outro com características diferentes, observa-se que uma parte da sua energia é reflectida (recuando para o meio de onde provinha) e outra parte segue para o segundo meio. Verifica-se ainda que quando as irregularidades da superfície da interface são pequenas relativamente ao comprimento da onda incidente a reflexão ocorre numa direcção específica e diz-se especular. Quando, pelo contrário, as irregularidades da superfície são maiores do que o comprimento da onda, a reflexão diz-se difusa, uma vez que ocorre em todas as direcções. Exemplo de uma reflexão especular é a que podemos observar quando um raio de luz incide num espelho, exemplo de uma reflexão difusa é a de um raio de luz que incide numa folha de papel. Quando uma onda incide numa interface segundo um determinado ângulo, verifica-se que, quando a reflexão é especular, a parte da onda que é reflectida faz com a perpendicular à interface um ângulo de igual valor mas de sentido contrário ao do ângulo da onda incidente (ver figura 65). Quanto à parte da onda que segue para o 82

3 segundo meio sofre uma deflexão relativamente ao ângulo de incidência. A este último fenómeno dá-se o nome de refracção, sendo o ângulo da onda refractada dependente das propriedades dos dois meios. Figura 65 - Representação de uma reflexão especular. Compare-se o ângulo que a onda incidente, a onda reflectida e a onda refractada fazem com a vertical. (Adapt. de P. Davidovits, 2001). Na situação em que duas ou mais ondas viajam na mesma região do espaço a perturbação total desse meio é uma soma vectorial da perturbação associada a cada uma delas, podendo o resultado corresponder a uma onda de maior intensidade, de menor intensidade ou mesmo à aniquilação das ondas. A este fenómeno dá-se o nome de interferência (ver figura 66). Figura 66 - Exemplo de interferências entre ondas com a mesma frequência e fase: a) interferência construtiva, b) interferência genérica e c) interferência destrutiva. (Adapt. de P. Davidovits, 2001). 83

4 Realce-se que, quando a frequência das ondas somadas não é a mesma, o resultado poderá ser um padrão muito complicado (ver figura 67) de difícil interpretação 57. Ora, repare-se que a grande maioria dos sinais se encontram nestas circunstâncias e, portanto, para o seu estudo recorre-se, muitas vezes, à técnica de processamento de análise em Transformada de Fourier que permite a separação do sinal nas suas diversas componentes cada uma das quais associada a uma frequência, sendo, portanto, possível analisar cada onda em separado, avaliando a percentagem com que cada uma delas contribuiu para o sinal. Figura 67 - Exemplo de um sinal constituído por diferentes frequências. (Adapt. de P. Davidovits, 2001). 16.3Alguns aspectos das ondas sonoras Como as ondas sonoras se apresentam numa vasta gama de intensidades, é usual representar a sua amplitude em decibel, que, sendo definido a partir da função logaritmo, torna mais simples a representação de valores afastados de muitas ordens de grandeza: I db 10log, equação 61 I sendo I 0 uma intensidade de referência. A intensidade do som é dependente da pressão máxima no meio (P máx ) onde se propaga através da relação: 0 I 2 Pmáx, equação 62 2c onde é a densidade do meio e c é a velocidade das ondas nesse mesmo meio. De tal forma que a expressão 61 poderá também ser dada por: P máx db 20log, Pmáx 0 onde P máx é a pressão máxima do meio correspondente à onda de referência Este é, aliás, o caso mais comum 84

5 No que respeita à velocidade do som em diferentes meios, facilmente se verifica que, enquanto nos gases, a velocidade é relativamente baixa, devido ao facto de uma molécula no meio gasoso poder mover-se em distâncias razoáveis sem interferir com moléculas vizinhas; nos sólidos, a velocidade dos ultra-sons é bastante mais elevada, pelo motivo inverso. Nos líquidos, o som possui velocidades intermédias. Ao nível dos tecidos biológicos, exceptuando os pulmões (que apresentam uma elevada percentagem de ar) e os ossos (que têm um comportamento semelhante ao dos sólidos), os restantes tecidos comportam-se, a este respeito, como líquidos. Como já foi referido para o caso geral de qualquer onda, o comportamento do som quando encontra um obstáculo depende do tamanho desse obstáculo quando comparado com o comprimento de onda. Para compreender o que se passa ao nível de uma interface, é importante definir a grandeza impedância acústica: Z c, equação 63 onde é a densidade do meio e c a velocidade do som nesse meio. Ao considerar uma onda sonora que incide perpendicularmente numa superfície, a fracção de energia incidente que é reflectida (ou coeficiente de reflexão) é dada por: Z2 Z 1 R, Z2 Z1 em que Z 1 é a impedância acústica do primeiro meio e Z 2 é a impedância acústica do segundo. Do mesmo modo, o coeficiente de transmissão (fracção da energia incidente que é transmitida) é definido como: 4Z Z 1 2 T. Z Z 2 Das expressões anteriores, conclui-se que quanto maior for a diferença entre as impedâncias acústicas, maior será a fracção de energia reflectida e menor a fracção de energia transmitida. Por exemplo, na interface ar/tecido biológico ou ar/água a maior parte da energia é reflectida. 16.4Alguns aspectos sobre o efeito de Doppler O efeito de Doppler consiste na alteração da frequência de ondas sonoras quando existe uma velocidade relativa entre a fonte e o receptor das ondas. Considere-se que a fonte de ultra-sons está a mover-se na direcção do receptor com uma velocidade v s. Após um intervalo de tempo t depois da criação de uma determinada frente de onda, a distância entre a frente de onda e a fonte é de (c-v s )t, o que significa que o comprimento de onda do som na direcção do movimento é diminuído para (ver figura 68): c vs, equação 64 v 0 onde 0 é a frequência do som ao sair da fonte. É fácil verificar que a variação na frequência é, então, dada por: 85

6 que toma a forma: vs 0, c vs v S 0, equação 65 c quando se considera a velocidade da fonte muito menor que a velocidade do som no meio. Figura 68 Esquema explicativo do efeito de Doppler. S representa a fonte das ondas sonoras e d o detector. (Adapt. W.R. Hendee, E.R. Ritenour, 1992). O mesmo efeito se verifica quando é o detector que se encontra em movimento. Quando a direcção é contrária (em vez de ser no sentido de fonte e detector se aproximarem, é no sentido de se afastarem) a variação da frequência vem negativa o que significa que esta diminui. Um último caso a considerar, é a situação em que o som é reflectido por um objecto em movimento. Nesse caso o objecto funciona como detector quando o feixe o atinge e funciona como fonte quando o feixe é reflectido, de modo que provoca um desvio na frequência que é o dobro dos desvios atrás considerados. No caso mais geral, em que o feixe não tem a direcção do movimento, o desvio causado pelo movimento do objecto reflector móvel é dado por: v 2 0 cos, c sendo o ângulo formado pela direcção do movimento com a propagação do feixe. 17. Funcionamento do ouvido humano Como se referiu nas secções anteriores, o som é uma onda mecânica, ou seja, a sua propagação ocorre graças à oscilação das partículas do meio. O ouvido humano não é mais do que um eficiente transdutor que transforma essas pequenas alterações de pressão em sinais eléctricos interpretáveis pelo sistema nervoso. Habitualmente, o ouvido humano é dividido em três partes: ouvido externo, ouvido médio e ouvido interno. O primeiro detecta o som e conduze-lo em direcção ao ouvido médio. Este, por sua vez, amplifica-o e faz uma adaptação da impedância acústica entre o ouvido externo e o interno. Por fim, o ouvido interno converte o som em sinais eléctricos dependentes da frequência e da intensidade. 86

7 No que respeita à sua anatomia (ver figura 69), no ouvido externo é possível distinguir a orelha, que recolhe os sons e os transmite directamente para o canal auditivo. Este, num adulto médio, tem aproximadamente 0.75 cm de diâmetro e 2.5 cm de comprimento 58 e é responsável pela condução do som até ao tímpano. O tímpano é uma membrana móvel muito fina recoberta por pele do lado de fora e por membrana mucosa do lado interno. Como se pode observar, o conjunto orelha e canal auditivo pode ser considerado uma espécie de funil, mais largo na região da orelha e que se estreita à medida que se aproxima do tímpano. Também esta geometria contribui para um ganho em termos de pressão (para a mesma força, diminuindo a área, aumenta a pressão). Figura 69 - Esquema do ouvido humano. (Adapt. de P. Davidovits, 2001). O ouvido médio é constituído por uma cavidade com ar, no interior da qual se encontram três ossículos: martelo, bigorna e estribo. O martelo está ligado ao tímpano, enquanto que o estribo se encontra ligado à janela oval, que estabelece o contacto com o ouvido interno. Este sistema de ossículos tem, basicamente, duas funções: a de adaptar a impedância acústica do ar (existente no ouvido externo) à do fluido existente no ouvido interno e a de amplificar, uma vez mais, a pressão (repare-se que o tímpano apresenta uma área de aproximadamente 65 mm 2, enquanto que a área da janela oval é de cerca 3 mm 2, o que permite um ganho de 20 a 30 na pressão. No ouvido interno existem ainda dois músculos com um funcionamento muito interessante e que protegem o sistema auditivo contra sons de intensidade excessivamente elevada. O primeiro encontra -se ligado ao tímpano e evita a propagação de sons de frequência muito baixa para os ossículos. O segundo encontra-se ligado à janela oval e reduz a intensidade do som transmitido para o ouvido interno, quando este é demasiado intenso. Este mecanismo, porém, demora cerca de 50 ms a ser activado. Por este motivo, o nosso ouvido encontra-se protegido contra o aumento gradual do som, mas não contra aumentos bruscos da intensidade do 58 É interessante verificar que as dimensões deste canal conferem-lhe uma frequência de ressonância na ordem de 3000 Hz (tipicamente a frequência do discurso oral nos humanos), sendo, por este motivo, que o ouvido humano é tão sensível a esta gama de frequências. Embora o estudo de cavidades de ressonância não se enquadre na profundidade do estudo que pretendemos fazer, será útil entender que uma geometria que apresente ressonância numa dada frequência significa que amplifica mais essa frequência do que as restantes. 87

8 som, como, por exemplo, os que ocorrem aquando de uma explosão. Há ainda uma segunda e sofisticada função destes músculos. Sempre que nós falamos, eles são activados com a antecedência necessária para que o som da nossa voz (propagado através dos tecidos da cabeça e de intensidade extremamente elevada) seja fortemente atenuado. O ouvido médio encontra-se, ainda, ligado à trompa de Eustáquio que, por sua vez, se encontra ligado à boca e cuja função é a de manter o ouvido médio à pressão atmosférica. Figura 70 - Esquema do ouvido médio e do ouvido interno. (Adapt. A.McCormick e A Elliot, 2001). O ouvido interno é essencialmente uma cavidade no interior do crânio e, portanto, protegida por este, cheia de fluido. É constituído pelo vestíbulo, a cóclea e os canais semicirculares. Os canais semicirculares são os nossos sensores de controlo do equilíbrio. São três tubos cheios de fluido, que formam ângulos rectos entre si (ver figura 70). Desta forma, movimentos da cabeça são acompanhados de movimentos no fluido medidos por pequenos cílios que se encontram no interior dos canais e que fornecem informação aos nervos sobre esses movimentos. Esses nervos transmitem essa informação ao cérebro de modo a que este inicie os mecanismos necessários para manter o equilíbrio. O vestíbulo é a cavidade que liga a janela oval à cóclea. E a cóclea é um tubo em forma de espira que contém três câmaras distintas: scala vestibuli, o ducto coclear e a scala tympani (ver figura 71). A scala vestibuli e a scala tympani encontram-se ligadas no ápex da cóclea e contêm o mesmo líquido no seu interior: a perilinfa. A primeira está ligada à janela oval, enquanto que a segunda à janela redonda. O ducto coclear, que se contra, na cóclea, entre as outras duas câmaras, encontra-se cheio de um líquido chamado endolinfa. A separá-lo da scala tympani encontra-se a membrana basilar, recoberta de células sensíveis à vibração. Estas células, conhecidas por células ciliadas devido à sua geometria em forma de cílio, transformam o movimento do fluido em sinais eléctricos que são conduzidos até ao cérebro através do nervo auditivo. Ora o movimento do fluido é determinado pela pressão na janela oval que estabelece a ligação entre os ossículos e o vestíbulo. Não é ainda muito claro o modo exacto de funcionamento da cóclea, no entanto, é conhecido que as células basilares têm uma disposição tal que as que se encontram mais próximas da base da cóclea são sensíveis às frequências mais altas, enquanto que as que se encontram mais próximas do ápex são sensíveis às frequências mais baixas. De referir também o papel da janela redonda, cujo movimento permite dissipar o excesso de energia existente nas ondas de som que se propagam ao longo da cóclea. 88

9 Figura 71 - Corte transversal dos três canais da cóclea. (Adapt. A.McCormick e A Elliot, 2001). 17.1Gama de frequências e sensibilidade do ouvido humano O normal funcionamento do ouvido humano permite sermos sensíveis a frequências que vão desde 20 Hz até Hz nos adultos. É, no entanto, sabido que, com o passar dos anos o limite superior desta gama poderá descer para valores de 15 khz ou mais baixo. Quanto à sensibilidade o nosso ouvido apresenta também uma fantástica capacidade: geralmente, é possível detectar diferenças de som na ordem de 0.1 % da frequência considerada. Para ter uma noção do que este valor significa repare-se que entre o dó e o ré existe uma diferença de cerca de 6 %. Na verdade, numa gama de frequências entre 60 e 1000 Hz é possível distinguirmos sons separados de 2 a 3 Hz. Para valores de frequência superiores torna-se um pouco mais difícil distinguir frequências que se encontrem tão próximas. Na figura 72 apresenta-se um gráfico onde está apresentado o limiar de audibilidade de um indivíduo jovem sem problemas de audição (linha a cheio) em função da frequência. Encontram-se ainda representadas as linhas associadas ao limiar de audibilidade da média dos indivíduos e aos limiares associados ao desconforto e à dor. Assume-se que para valores acima de 160 db o tímpano pode sofrer ruptura. Figura 72 - Gráfico onde estão apresentados o limiar de audibilidade para um jovem com uma audição normal, o limiar de audibilidade para a média da população, o limiar de intensidade do som a partir do qual o indivíduo experiência uma sensação de desconforto e aquele em que começa a sentir dor. (Adapt. A.McCormick e A Elliot, 2001). 89

10 A título de curiosidade, na tabela 5 encontram-se apresentados alguns valores típicos de intensidade sonora associados a determinadas situações. Nível do Situação som (db) 0 Som mínimo audível 10 Movimento das folhas das árvores 20 Uma rua com pouco movimento 30 Sussurro 40 Conversação 50 Ruído médio de uma casa 60 Conversação (de um indivíduo para outro que se encontra a 1 m) 70 Ruído no interior de uma loja de grandes dimensões 80 Ruído de uma estrada com grande movimento a 18 m 85 Primeiro nível de perigo 90 Ruído no interior de um camião ou de um metropolitano 100 A 8 m de um camião numa rua estreita 110 A 1 m de um grupo rock ou a 15 m de um apito de comboio. 120 A 175 m de um avião 130 A 35 m de um avião a jacto Tabela 5 - Alguns ruídos típicos de diversas situações. Observe-se que um ruído continuado de 85 db pode já causar danos permanentes. (Adapt. A.McCormick e A Elliot, 2001). 90