ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA E FUNÇÃO MAIOR INTEIRO: COMO OS ALUNOS LIDAM?

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1 ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA E FUNÇÃO MAIOR INTEIRO: COMO OS ALUNOS LIDAM? Leandro Meneses da Costa UEL lmenesescosta@hotmail.com Karina Alessandra Pessôa da Silva UTFPR Câmpus Londrina karinasilva@utfpr.edu.br Resumo: Apresentamos neste trabalho a forma como alunos do 1º ano do Ensino Médio lidam com uma atividade matemática, a qual emerge o objeto matemático função maior inteiro. Considerando que tal objeto matemático não faz parte da grade curricular da escola que esses alunos frequentam e não está presente no material didático utilizado, nos encorajamos a desenvolver a atividade segundo indicativos propostos na modelagem matemática, enquanto alternativa pedagógica. Para fazer menções ao objeto matemático, diferentes signos podem ser utilizados. Na perspectiva da semiótica peirceana, a função do signo é representar o objeto. Ao tratar de representações, nos pautamos nas assertivas da Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval que considera que a conceitualização de um objeto se faz presente na coordenação entre os diferentes registros de representação. A análise empreendida possibilitou inferir que, durante o desenvolvimento da atividade de modelagem os alunos produzem signos, que nos possibilitam inferir sobre a conceitualização do objeto matemático função maior inteiro. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Registros de Representação Semiótica. Função Maior Inteiro. Introdução Sabendo que a matemática é considerada como uma atividade humana, vale ressaltar que esta tem como tarefa uma grande contribuição para essa cultura, servindo assim de elo para o desenvolvimento do raciocínio lógico e das percepções cognitivas do indivíduo. Tais fundamentos da cultura humana são vistos como uma espécie de pano de fundo para muitos conteúdos matemáticos, bem como para os conteúdos de outras disciplinas. Tendo em vista esse desenvolvimento cultural e nos apoiando na conjectura de que o uso de uma abordagem metodológica diferenciada no ensino é algo fundamental para

2 o elo entre o cotidiano dos alunos e a disciplina, enfatiza-se que, segundo as Diretrizes Curriculares da Educação Básica para Matemática (PARANÁ, 2008, p.64), A modelagem matemática tem como pressuposto a problematização de situações do cotidiano. Ao mesmo tempo em que propõe a valorização no contexto social, procura levantar Problemas que sugerem questionamentos sobre situações de vida. Ao levantar tais problemas, os alunos reunidos em grupos fazem usos de diferentes linguagens, sejam elas escritas, gesticuladas ou faladas. E, ao considerar essas diferentes linguagens, nos apoiamos na ciência dos signos a semiótica, segundo abordagem desenvolvida por Charles Sanders Peirce. Além disso, em uma perspectiva de estudo da semiótica em matemática, nos inspiramos na Teoria dos Registros de Representação Semiótica proposta por Raymond Duval. Assim neste trabalho, é adotada a modelagem matemática enquanto alternativa pedagógica que aborda conteúdos matemáticos, a partir de situações oriundas da realidade. A partir disso, analisamos os signos que os alunos produzem ao entrarem em contato com uma situação-problema, o pagamento de estacionamento em um shopping, cujo fenômeno dá indícios do uso da função maior inteiro. A atividade foi proposta a grupos de alunos do 1º ano do Ensino Médio em uma escola do norte do Paraná. A análise empreendida possibilita apresentarmos reflexões sobre a questão: como os alunos lidam com a função maior inteiro ao entrar em contato pela primeira vez com esse conteúdo matemático?. Essas reflexões se baseiam no referencial teórico adotado e nos signos que os alunos utilizaram durante todo o desenvolvimento da atividade de modelagem. A análise revela que os alunos, intuitivamente, fazem uma abordagem pela função maior inteiro, mesmo sem terem contato com tal conteúdo. Isso sinaliza que mesmo que na grade curricular e nas Diretrizes Orientadoras do Estado do Paraná, este conteúdo não seja abordado, os alunos de alguma forma entendem as estruturas e especificidades de tal conteúdo matemático, podendo mesmo conceitualizar o objeto matemático. Com este encaminhamento o nosso artigo contempla, além dessa introdução, três seções subsequentes. Na primeira apresentamos nosso entendimento sobre modelagem matemática na Educação Matemática. Em seguida, tratamos dos pressupostos teóricos, referentes à semiótica que auxilia na análise da atividade desenvolvida. Na terceira

3 seção tratamos da descrição da atividade desenvolvida pelo grupo de alunos, bem como algumas análises em relação às inferências sobre a função maior inteiro na referida atividade. Finalizamos apresentando nossas considerações sobre como os alunos lidam com a função maior inteiro ao entrar em contato pela primeira vez com esse conteúdo matemático. Sobre modelagem matemática na Educação Matemática A modelagem matemática na Educação Matemática assume diversas caracterizações, dependendo de como se pretende trabalhar. Neste trabalho, entendemos a modelagem matemática como a busca de uma representação matemática para um objeto ou fenômeno não-matemático (ALMEIDA; FERRUZZI, 2009). Ao nos referirmos ao objeto em uma atividade de modelagem, estamos levando em consideração o objeto matemático que, segundo Godino, Batanero e Font (2006, p. 5) é qualquer entidade ou coisa à qual nos referimos, ou da qual falamos, seja real, imaginária ou de qualquer outro tipo, que intervém de alguma maneira na atividade matemática. Desse modo, ao nos remeter à modelagem matemática, estamos nos referindo a atividades que têm como ponto de partida uma situação inicial (problemática) e como ponto de chegada uma situação final (solução para a situação inicial); para tanto, são utilizados procedimentos que definem estratégias de ação do sujeito envolvido com a atividade em relação à situação problemática. Almeida, Silva e Vertuan (2012) identificam elementos que, de modo geral, se fazem presentes em atividades de modelagem. Segundo os autores, [...] o início é uma situação-problema; os procedimentos de resolução não são predefinidos e as soluções não são previamente conhecidas; ocorre a investigação de um problema; conceitos matemáticos são introduzidos ou aplicados; ocorre a análise da solução (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p. 17). Sendo assim, consideramos a modelagem matemática como uma alternativa pedagógica que parte de um contexto não essencialmente matemático, para fazer a relação entre situações reais e matemáticas, tendo como ponto de partida a

4 problematização do contexto em estudo, a qual é chamada de situação-problema, a fim de chegar a uma situação final, a qual se associa a uma representação matemática, um modelo matemático, do objeto de estudo em questão. Ao tratarmos de modelo matemático nos referimos segundo Bassanezi (2002, p. 20), ao "conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto matemático". O desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática, como proposta por Almeida, Silva e Vertuan (2012) está dividido em um conjunto de fases, que se fazem necessárias para configurar, estruturar e resolver uma situação-problema, sendo caracterizada como: inteiração, matematização, resolução, interpretação dos resultados e validação do modelo. A inteiração como o nome já diz é inteirar-se, ou seja, se informar acerca do que a atividade está se remetendo, isto na modelagem matemática se caracteriza, no contato inicial com a situação-problema. É a fase em que o aluno inteira-se dos dados de modo que ele possa ser orientando à formulação do problema, estabelecendo os procedimentos para resolvê-lo. A matematização é a transformação da situação em estudo, de uma linguagem natural para a linguagem matemática. Essa transformação ocorre quando o aluno já fez todo o processo de inteiração, compreendeu e estabeleceu seus procedimentos para solucionar a situação estudada. De modo geral, a matematização pode ser entendida como o significado matemático para a situação real em estudo. A resolução é a fase da obtenção do modelo matemático que descreve a situação de estudo. Esta fase possibilita analisar os aspectos levantados na inteiração sobre o objeto de estudo e respondê-los, podendo até fazer previsões e conjecturas sobre o problema estudado. As fases interpretação dos resultados e validação consistem em interpretar os resultados, a fim de dar a resposta ao problema estudado. Nesta fase, ocorre a validação do modelo matemático obtido na resolução, para que os alunos possam exercitar a capacidade de avaliar todo o processo de construção do modelo, bem como as diferentes formas e implicações que ele pode ter no contexto estudado. As fases que caracterizam uma atividade de modelagem matemática nem sempre se estabelecem de forma linear, podendo apresentar constantes movimentos de idas e vindas, pois às vezes se torna necessário reformular ou analisar a fase anterior.

5 Ao realizar as idas e vindas, o aluno que desenvolve uma atividade de modelagem matemática faz uso de diferentes signos que caracterizam ou descrevem o objeto matemático em estudo. Nesse sentido é que nos pautamos na semiótica e suas implicações para a análise dos signos que se referem ao objeto matemático em estudo. Sobre semiótica Ao tratarmos das teorizações referentes à semiótica, nos pautamos nas abordagens do filósofo norte-americano Charles Sanders Peirce constituindo a semiótica peirceana. Peirce (2005) entende a Semiótica como a doutrina formal dos signos, os signos da linguagem. Para este autor um signo é como algo que toma lugar de outra coisa, não em todos os aspectos desta coisa, mas somente de acordo com certa forma ou capacidade. Para o autor, o signo não é o objeto, ele está no lugar do objeto, fazendo referência a ele e somente pode representá-lo de certo modo e em uma certa capacidade. Neste sentido, Peirce (2005) considera que representar é estar em lugar de, isto é, estar numa relação com o outro que, para certos propósitos sejam considerados por alguma mente como se fosse esse outro (p. 61). A representação é uma função do signo. Quando fazemos a comunicação ou ensinamos conceitos e propriedades, algumas estruturas e relações podem ser associadas aos objetos matemáticos em estudo, com isso se torna necessário levar em conta as diferentes representações realizadas. Neste sentido, o que se estuda e se ensina são as representações dos objetos matemáticos e não os próprios objetos matemáticos. Levando em consideração esta abordagem é que consideramos a Teoria das Representações Semióticas proposta por Raymond Duval. Para Duval (2003) as representações semióticas são produções constituídas pelo emprego de signos pertencentes a um sistema de representação, os quais têm suas dificuldades próprias de significado e de funcionamento. Tais representações são externas e conscientes do ser humano, assim realizam uma função de tratamento intencional, fundamental para a aprendizagem humana. Vários são os exemplos de representações semióticas, aqui podemos destacar a escrita em língua natural, a escrita algébrica e os gráficos cartesianos. No entanto, quando abrange representações semióticas, Duval utiliza a expressão registros de representação semiótica. Para que um sistema de representação seja

6 considerado um registro de representação semiótica, segundo Duval (2003), é preciso que esse sistema permita três atividades cognitivas: a primeira é a formação de uma representação identificável, ou seja, a partir de um registro de representação, se identifique qual é o objeto matemático que está sendo representado; a segunda é o tratamento de um registro de representação, ou seja, transformações de representações dentro de um mesmo sistema de registros; a terceira é a conversão de um registro de representação, ou seja, transformações de representações em que ocorram mudanças de sistemas de registros, conservando os objetos estudados. Para que ocorra a conceitualização do objeto matemático, na Teoria dos Registros de Representação Semiótica, além de se realizar conversões de um registro para outro, é necessário que exista uma coordenação entre os registros. A coordenação está pautada no fato de que é preciso compreender que os diferentes registros referem-se ao mesmo objeto matemático e podem se complementar no sentido de que um registro pode expressar características ou propriedades do objeto matemático, as quais não são expressas com clareza em outro registro. Quando trabalhamos com atividades de modelagem matemática nem sempre sabemos de antemão, quais são os objetos matemáticos que irão emergir e as representações necessárias para se referir a tais objetos matemáticos. No entanto, existem fenômenos que apresentam certos comportamentos que nos possibilitam inferir sobre o objeto matemático que os representam. Neste sentido, com o objetivo de analisar como os alunos lidam com uma situação-problema na qual emerge a função maior inteiro, é que nos pautamos em uma atividade de modelagem matemática cujo fenômeno apresenta tal comportamento. Sobre função maior inteiro em uma atividade de modelagem matemática: o contato dos alunos Neste trabalho, tratamos do envolvimento de alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma escola particular do norte do Paraná, os quais foram convidados a participar de encontros extraclasses para tratar de atividades matemáticas. Para o desenvolvimento da atividade de modelagem matemática que aqui analisamos, foi realizado um encontro de duas horas e trinta minutos. Nesta atividade, os alunos, reunidos em grupos de três membros, entraram em contato com uma

7 situação-problema na qual emergiu o objeto matemático função maior inteiro. Para tanto, analisamos os signos escritos, falados e gesticulados nos quais inferimos sobre o contato dos alunos pela primeira vez com tal objeto matemático. Considerando os alcances das análises e os limites de espaço, elegemos os signos produzidos por um dos alunos de um dos grupos para ser analisado. No entanto, não estamos desconsiderando a participação dos demais membros, tanto que nos referimos aos alunos no transcorrer da análise. A escolha do aluno do qual apresentamos os signos produzidos teve como critério o envolvimento deste com a atividade, pois ele conduziu todo o processo de desenvolvimento. Para nos referirmos ao aluno analisado utilizamos a letra A e, para nos referir às intervenções do professor no desenvolvimento da atividade, utilizamos a letra P. A situação-problema, a qual os alunos entraram em contato consiste em investigar o valor pago para um automóvel permanecer no estacionamento de um shopping da cidade na qual a escola se localiza. Para isso, o professor forneceu dados sobre a cobrança de dois shoppings. No entanto, devido à similaridade da abordagem da situação para os dois shoppings, apresentamos o desenvolvimento para um dos shoppings o Shopping 1, é o mais antigo da cidade, com dois tipos de estacionamento, um a céu aberto e outro coberto (no subsolo do prédio). Para esse shopping, os valores praticados são: R$ 7,00 nas primeiras quatro horas e R$ 2,00 a cada hora adicional. Ao entrarem em contato com a situação-problema proposta, os alunos inteiram-se das condições a que esta está submetida, na qual há a compreensão do que precisam investigar, conforme relatado por A: o shopping tem carência de 4 horas por R$ 7,00 e cobra mais R$ 2,00 por hora adicional. Após conhecerem a situação, propuseram o seguinte problema a ser investigado: que valor seria pago pelo cliente para deixar o carro no estacionamento durante o período de compras?. Para isso, levaram em consideração as afirmações que tinham em mãos, como sugere o diálogo A: Nessa situação temos o valor pago que depende do tempo que o carro fica estacionado nos shoppings. Nesse momento fica evidente que os alunos já inferem o conteúdo de funções, relacionando as questões de independência e dependências das possíveis variáveis, bem como uma suposição do objeto matemático que representa a situação, utilizando de uma expressão algébrica (Figura 1). Fica evidente que nesse momento os alunos

8 perpassam pela fase de matematização. Na Figura 1 também apresentamos os registros escritos que apresentam as variáveis utilizadas para o desenvolvimento da atividade. Figura1: Variáveis e expressão algébrica elencadas pelos alunos Fonte: Registro do aluno A. Quando questionados pelo professor a respeito do significado da expressão com o problema por eles investigados, A justifica: Professor é o seguinte... em ambos os shoppings tanto 1 e 2, temos o valor pago em função do tempo, temos um valor fixo que após certo tempo estabelecido passa a ser cobrado uma taxa adicional pelo tempo de permanência. Neste momento percebe-se que os alunos entendem a situação-problema e apresentam uma estrutura lógica para a situação. É nesse momento que o professor interfere questionando os alunos acerca do que falaram e construíram algebricamente, conforme diálogo: P. Entendi, porém podemos deixar essa expressão que vocês montaram específica para cada um dos shoppings que vocês analisaram não podemos? A. Ah, sim uma expressão para cada shopping, até porque professor eles cobram de maneiras diferentes. P. Isso, vamos pensar no shopping 1, como é feita a cobrança do estacionamento nele? A. Cobra-se R$ 7,00 para as primeiras 4 horas e depois uma taxa adicional de R$ 2,00 por hora. P. Mas quando começam a cobrar a taxa nas referidas 4 horas? A. Não... só quando exceder esse tempo de 4 horas. P. Então se vocês trocassem as variáveis que vocês definiram pelos valores que vocês já sabem que existe como fica a expressão? Os alunos montam a nova expressão, como apresentada na Figura 2. Figura 2: Nova expressão algébrica Fonte: Registro do aluno A. P. Mas essa expressão vale para qualquer tempo de permanência? [Alunos em silêncio] A. Não professor, esse valor é só para o tempo que passar de 4 horas. P. Então o que é preciso fazer para que a expressão contemple essa condição que vocês falaram? Se uma pessoa ficar mais 5 horas como sei o tempo que excedeu as 4 horas, se ficar 6 horas e assim por diante?

9 A. Basta tirar as 4 horas iniciais P. Então isso que vocês chegaram tem que estar na expressão também, que temos que tirar essas 4 horas iniciais. Os alunos então retomam a expressão que obtiveram e voltam a estruturá-la, levando em consideração a abordagem articulada com o professor, obtendo a expressão algébrica apresentada na Figura 3. Figura 3: Expressão algébrica Fonte: Registro do aluno A. Neste momento o professor aborda com os alunos a estruturação das variáveis, como apresentado no diálogo: P. Agora com essa expressão que vocês chegaram a taxa adicional e o valor fixo tinham necessidade de serem definidos como variáveis? A. Não até porque o valor fixo é R$ 7,00 nesse shopping e a taxa adicional é de R$ 2,00 que muda com o tempo, então professor as variáveis mesmo são o valor pago e o tempo. P. Ok, essa expressão contempla as horas adicionais, mas como podemos definir para um tempo de permanência que esteja o limite estipulado pelo estacionamento? A. Ah professor para o tempo limite não há valor a ser calculado é R$ 7,00 durante as 4 horas de permanência. P. Então se vocês pudessem escrever de forma algébrica essa relação como ficaria? A. Com o tempo até 4 horas paga-se R$7,00, após isso cobra-se os R$ 7,00 mais R$2,00 por tempo adicional, ou seja, que excede as 4horas. Assim os alunos fazem uma nova construção para o modelo matemático que retrata a situação em estudo (Figura 4). Figura 4: Modelo do aluno para a situação-problema Fonte: Registro do aluno A. Embora o aluno não tenha apresentado a simbologia formal para a função maior inteiro que, segundo Leithold (1994) é denotada pelo símbolo [[x]] e definida como o número inteiro menor ou igual a x, ou seja,, em que n é um inteiro, fica nítido que ele reconhece a variação de valores. Após toda a abordagem em torno da situação do shopping 1 e de todo processo de matematização feito, os alunos partem para a validação (Figura 5) do modelo matemático obtido, a fim de avaliar as regularidades por eles estabelecidas.

10 Essa resposta no âmbito matemático é um processo avaliativo do modelo, em que os alunos vão fazer comparações e distinções das ideias envolvidas, generalizações dos fatos percebidos, articulações dos conhecimentos, para que enfim possam validar, fazendo referência e análise da matemática associada ao problema, e aos procedimentos e adequações feitos na representação da situação-problema. Figura 5: Validação do modelo matemático obtido Fonte: Registro do aluno A. Porém, com a resolução do aluno, ficou aparente que ele se remetera à função maior inteiro neste caso. O professor consciente que esse conteúdo não é contemplado no currículo do Ensino Médio instiga os alunos a representarem graficamente a situação. P. Na situação dos shoppings o que vai acontecer? A. No shopping 1 até as 4 horas o preço é constante R$ 7,00 [...] P. Se você representasse no plano cartesiano essa primeira situação que analisamos como ficaria? Quais são suas variáveis? No eixo x e y? A. No eixo x o tempo e o y o valor, tempo independente e o valor pago dependente. P. Isso agora você faz as marcações no eixo. Então para uma hora você tem que valor? A. Tenho sete reais, isso se repete até quatro horas. P. Isso então você representa com uma linha constante de altura sete. Até que horas vai ser constante? A. Até 4 horas. P. Se fico quatro horas eu pago sete reais ou pago um valor a mais? A. Pago R$ 7,00. P. Mas se eu permanecer, vamos supor 4 horas e meia? Como eu pago? Valor das 4 horas? Das 5 horas? Ou proporcional? A. Pago o valor redondo, hora cheia. P. Isso você paga o valor da hora cheia mesmo. A. Se ficar 4 horas e 4 minutos pago o valor das 5, 4 horas e meia, também. P. Se eu ficar 5 horas e 15 minutos? A. Paga o valor das 6 horas. P. Então se ultrapassou as 4 horas você vai pagar que valor?

11 A. Vou pagar o referente a 5 horas de permanência que é R$ 9,00. Então no gráfico não poderia ficar traçar a reta crescente. P. Isso. Por quê? A. Ah, porque não se contam horas quebradas só as horas cheias. P. Então no gráfico como vai ficar? A. De até um a outro fica constante. P. Então para t = 4 você pode subir e marcar o referente ao t = 5 que é V = 9, e seguir constante até quanto? A. Até o 5. P. Então seu gráfico ficou assim, de 0 até 4 segue constante para V = 7, depois de 4 até 5 sobe e fica constante em V = 9. Eu te pergunto, t = 4 pertence às quatro horas de permanência, pertence ao valor pago de R$ 7,00 ou de R$9,00? A. 4 horas pago R$ 7,00 pertence a R$7.00. P. Então seu intervalo como fica? A. Fechado em t = 4, para V = 7, e aberto no intervalo de t entre 4 e 5 que é para V = 9, porque só conto R$ 9,00 para os valores superiores a 4 horas. P. Isso porque o t = 4 não conta para calcular V = 9, mas 4 horas e 10 minutos conta isso mesmo. E para o próximo? A. Fica t = 5 fechado para V = 9 e aberto para V = 11. P. Isso vai acontecer nas próximas? A. Isso vai acontecer sucessivamente professor. P. Com você construindo essa função, agora olhando ela parece com o que? A. Com uma escada tem como se fossem degraus. P. Degraus esses devidos a que? A. A serem contínuas nesses pequenos intervalinhos. P. Isso mesmo. Desta maneira, os alunos construíram a representação gráfica (Figura 6) que possibilitou a visualização do fenômeno em estudo. Consideramos que tal representação é muito importante para que os alunos conceitualizem o objeto matemático e apoiem nas hipóteses para confirmá-las. Neste sentido, defendemos a necessidade de estimular os alunos a registrarem em suas resoluções a representação gráfica, com a finalidade de subsidiar todo o processo de resolução. Figura 6: Representação gráfica da situação em estudo Fonte: Registro do aluno A.

12 Pode-se dizer, a partir de então, que fica evidente a existência da possibilidade de abordagem da função maior inteiro no Ensino Médio e que os alunos de alguma maneira entendem a estrutura da função, mas devido a não abordagem não sabem como formalizá-la algebricamente, supondo somente o que lhes é de ferramenta a função definida por duas sentenças. Contudo nos apoiamos nas considerações de Duval (2003) com relação às atividades cognitivas de tratamento e conversão que são usadas para analisar a atividade desenvolvida pelos alunos na perspectiva da conceitualização do objeto matemático. Nos signos produzidos pelo aluno A, na atividade que emergiu o objeto matemático função maior inteiro, inicialmente, há conversão da língua natural descrição da situação e definição do problema para uma linguagem matemática definição das variáveis e expressão algébrica apresentadas na Figura 1. A partir do momento em que o aluno apresentou a expressão algébrica, este foi realizando tratamentos no interior de tal registro a fim de refinar a escrita para se articular com a situação em estudo. No entanto, no intermédio desse refinamento da escrita algébrica, conversões para/da língua natural diálogo com o professor ocorreram em todo o desenvolvimento da atividade. Os tratamentos ocorrem com intervenções da língua natural existente nos diálogos até a obtenção do modelo matemático que representou para o aluno a situação apresentada na Figura 4. Com o modelo matemático definido, para a validação, o aluno realiza uma conversão do registro algébrico para o aritmético, conforme apresentado na Figura 5. Isso sinaliza que ele entende que os valores apresentados na Figura 5 correspondem à função descrita no registro algébrico. Ao ser instigado pelo professor a representar graficamente a situação estudada (Figura 6), o aluno realiza uma conversão de registro algébrico/língua natural para o registro gráfico, de forma que embora as representações se diferenciem, elas ainda continuam a denotar a mesma situação, a cobrança do estacionamento do shopping. Com o registro gráfico construído, mesmo que o professor não tenha mencionado o nome da função maior inteiro o aluno caracteriza com a língua natural o comportamento do objeto matemático uma escada tem como se fossem degraus. O que podemos inferir com os signos produzidos pelo aluno A, é que este conceitualizou o objeto matemático, função maior inteiro na situação proposta na atividade de modelagem matemática.

13 Considerações finais Quando os alunos se deparam com o estudo de um conceito matemático que pode ser introduzido a partir de problemas baseados em situações com dados reais, como no caso da situação da cobrança dos estacionamentos, e são levados a desenvolver representações matemáticas para a situação, podem perceber que a Matemática está relacionada com o seu cotidiano. Neste artigo foi analisada uma atividade de modelagem matemática na qual emergiu o objeto matemático função maior inteiro. Embora tal objeto matemático não seja contemplado no currículo do nível de escolaridade do aluno, no qual a atividade foi desenvolvida, buscamos articular a possibilidade da ampliação dos conceitos a serem ofertados a ele, tendo em vista que a estrutura deste conteúdo é algo que intuitivamente o aluno é capaz de trabalhar. Para tal conjectura, buscamos analisar nesta atividade os signos produzidos pelo aluno expressão algébrica, aritmética, gráfico e língua natural, possibilitando analisar a conceitualização do objeto matemático, ao realizar atividades cognitivas de tratamento e de conversão, bem como a coordenação entre esses diferentes registros de representação. Esse fato para Duval (2003) é importante para que ocorra a conceitualização e, consequentemente, a compreensão dos objetos matemáticos. Contudo, destacamos a importância dos registros de representação e as transformações feitas entre tais registros. Neste trabalho, percebemos que essas tais transformações ocorrem em diferentes momentos e levam ao refinamento dos registros do aluno. Com isso, o objeto matemático em estudo foi evidenciado e conceituado pelo aluno. Temos a intenção de trabalhar com esse mesmo aluno outras atividades de modelagem matemática, as quais o coloque em contato com o objeto matemático função maior inteiro, para analisar se este aluno transita entre os diferentes registros de representação semiótica sem a intervenção do professor. Isso nos poderá nos dar indícios de que o aluno consegue abordar o mesmo objeto matemático em situações cujos fenômenos apresentem o mesmo questionamento. É nossa intenção também com as atividades desenvolvidas, realizar a formalização do conceito de função maior inteiro.

14 Referências XII EPREM Encontro Paranaense de Educação Matemática ALMEIDA, L. M. W. ; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria. Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v. 2, n. 2, p , ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. Aprendizagem em Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas, SP: Papirus, p , GODINO, J. D.; BATANERO, C.; FONT, V. Um enfoque onto-semiótico do conhecimento e a instrução Matemática. Disponível em capturado em 1/5/2006. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. vol ed. São Paulo: Harbra, PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação do Paraná, Departamento de Educação Básica. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná: Secretaria de Estado da Educação do Paraná, PEIRCE, C. S. Semiótica. Tradução de José Teixeira Coelho Neto. 2. reimpr. da 3. ed. de v. 46. São Paulo: Perspectiva, (Estudos).