MODELAGEM MATEMÁTICA: COMO AS PESSOAS PERCEBEM A MATEMÁTICA

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA: COMO AS PESSOAS PERCEBEM A MATEMÁTICA Karina Alessandra Pessoa da Silva Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Londrina karinasilva@utfpr.edu.br Lourdes Maria Werle de Almeida Universidade Estadual de Londrina lourdes.maria@sercomtel.com.br Resumo: Neste trabalho, fundamentado nos pressupostos teóricos da modelagem matemática, apresentamos uma análise sobre como as pessoas percebem a Matemática no desenvolvimento de atividades de modelagem matemática. Levando em consideração que a modelagem é uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem matemática para fenômenos não essencialmente matemáticos, analisamos ações e argumentações de três grupos de pessoas em atividades desenvolvidas no âmbito de dois cursos de graduação: Tecnologia em Alimentos e Licenciatura em Química. É por meio das ações e argumentações dos envolvidos com as atividades que identificamos três situações que permitem às pessoas perceberem a matemática: situação de ensino e aprendizagem, situação da atividade profissional; situação do dia a dia. Com essas situações concluímos que a ação de perceber a Matemática segue diferentes configurações, dependendo do contexto no qual a pessoa que desenvolve a atividade está inserida. Palavras-chave: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Cálculo Diferencial e Integral 1. Introdução Partindo do pressuposto que muitas situações oriundas da realidade podem ser representadas por meio de linguagem matemática, é que tomamos a modelagem matemática enquanto uma tendência da Educação Matemática para ser abordada em aulas de Matemática. Trata-se de criar possibilidades de enxergar situações do cotidiano através de lentes matemáticas, ou seja, de interpretar, analisar e tomar decisões acerca de situações do cotidiano por meio do ferramental matemático. A perspectiva de modelagem matemática que adotamos diz respeito à suas potencialidades enquanto oportunidade para os envolvidos compreenderem a

2 Matemática que permeia a situação, para interpretá-la matematicamente. Nesse sentido, entendemos que em uma atividade de modelagem parte-se de uma situação inicial, utiliza-se de procedimentos matemáticos e obtém-se uma solução para esta situação. O que pretendemos é investigar como as pessoas quando envolvidas com atividades de modelagem matemática percebem a Matemática. Levando em consideração essa abordagem, este artigo está estruturado, além desta introdução em cinco seções subsequentes. Na primeira apresentamos nosso entendimento sobre modelagem matemática. Na segunda seção descrevemos os aspectos metodológicos que orientam nosso trabalho. A terceira seção é destinada à apresentação das atividades. Finalizamos com a quarta seção em que apresentamos algumas discussões e conclusões. Modelagem Matemática Na literatura, muitas são as conceitualizações empregadas para designar Modelagem Matemática. São utilizadas expressões como: metodologia de ensino e aprendizagem, ambiente de aprendizagem, alternativa pedagógica, entre outras. No entanto, é de se evidenciar que o foco do trabalho com modelagem matemática está atrelado a ensinar matemática. Quando nos referimos à modelagem matemática, consideramos atividades que têm como ponto de partida uma situação inicial (problemática) e como ponto de chegada uma situação final (solução para a situação inicial). Nesse encaminhamento da situação inicial para a situação final são utilizados procedimentos que definem estratégias de ação dos sujeitos envolvidos. Almeida, Silva e Vertuan (2012) identificam elementos que, de modo geral, se fazem presentes em atividades de modelagem. Segundo os autores, [...] o início é uma situação-problema; os procedimentos de resolução não são predefinidos e as soluções não são previamente conhecidas; ocorre a investigação de um problema; conceitos matemáticos são introduzidos ou aplicados; ocorre a análise da solução (ALMEIDA; SILVA; VERTUAN, 2012, p.17). Em aulas de Matemática, esses elementos que caracterizam uma atividade de modelagem aproximam o aluno de uma atividade investigativa. Segundo Almeida e Ferruzzi (2009), uma atividade de modelagem requer do aluno a formulação de um problema e a definição de metas para sua resolução, a definição de hipóteses, a

3 formulação de previsões e a apresentação de explicações e respostas para a situação em estudo bem como a comunicação destas respostas e/ou explicações para outros. Estas ações, de modo geral subsidiam a construção de um modelo matemático. Segundo Lesh (2010), um modelo matemático é um sistema conceitual, descritivo ou explicativo, expresso por meio de uma linguagem ou uma estrutura matemática, com a finalidade de descrever o comportamento de outro sistema e permitir a realização de previsões sobre este outro sistema. Ainda de acordo com o autor, é possível que o modelo construído para representar uma situação num dado momento sirva, também, para representar outro sistema em um momento posterior. Atividades de modelagem matemática, ao mesmo tempo em que proporcionam o envolvimento com uma situação-problema, também visam desenvolver no aluno o que Galbraith (2012) chama de infraestrutura intelectual, de modo que ele possa se tornar usuário dos conhecimentos matemáticos construídos e resolver problemas de forma independente em diferentes situações dentro e fora do ambiente escolar. Embora a construção de um modelo matemático seja importante em uma atividade de modelagem matemática, esta não é considerada como o fim deste tipo de atividade, mas como uma alternativa que pode permitir uma compreensão mais global sobre a situação investigada e a Matemática utilizada. Dependendo da situação-problema e do problema propostos para o estudo em uma atividade de modelagem, diferentes modelos matemáticos podem ser explicitados e diferentes discussões podem ser elucidadas. É nesse sentido que o modelo matemático deve ser considerado a representação simplificada de um fenômeno e, parafraseando Meyer, Caldeira e Malheiros (2011, p. 33), corresponde a verdades momentâneas. Consideramos que, ao trabalhar com a obtenção de modelos matemáticos, estamos interessados na compreensão da Matemática envolvida na obtenção de tal modelo e nossas discussões empreendidas neste texto têm como objetivo analisar como as pessoas percebem a Matemática ao desenvolverem atividades de modelagem matemática. Aspectos metodológicos A pesquisa que descrevemos foi realizada no primeiro semestre dos cursos de graduação em Tecnologia em Alimentos e em Licenciatura em Química de uma

4 universidade federal do estado do Paraná nas disciplinas Cálculo e Cálculo Diferencial e Integral 1, respectivamente. Para a conclusão das disciplinas, os alunos precisam cumprir uma carga horária destinada às Atividades Práticas Supervisionadas (APS), que correspondem a 9horas/aula no curso de Tecnologia em Alimentos e 6horas/aula no curso de Licenciatura em Química. Foi nesse contexto que a professora solicitou o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática na qual os alunos, em grupos, teriam de investigar uma situação cujo tema por eles fosse escolhido e que a Matemática poderia estar presente. Com o intuito de familiarizar os alunos com atividades de modelagem matemática, a professora desenvolveu durante os cursos, atividades dessa natureza. Neste artigo, empreendemos nossas análises em três atividades, indicadas aqui por M1, M2 e M3, que foram propostas e desenvolvidas, respectivamente, por três grupos de pessoas, a saber, pela professora (indicada por P) e seus alunos (indicados por A1, A2 e A3), alunos de Tecnologia em Alimentos (indicados por T1, T2, T3 e T4) e alunos de Licenciatura em Química (indicados por Q1, Q2 e Q3). As discussões em sala de aula, bem como em encontro extraclasse foram gravados em áudio com o consentimento dos envolvidos. A análise que realizamos subsidia nossas argumentações com respeito à questão: como as pessoas percebem a Matemática com o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática? As atividades desenvolvidas A atividade de modelagem M1 foi proposta pela professora e está relacionada à situação carregamento da bateria de telefone celular. Com o intuito de trabalhar alguns conteúdos de Cálculo Diferencial e Integral 1 por meio de uma atividade de modelagem matemática, no curso de Licenciatura em Química, a professora solicitou aos alunos que coletassem dados com seus respectivos celulares em período anterior ao desenvolvimento da atividade na aula e preenchessem uma ficha com o percentual de carregamento da bateria em função do tempo (de 15 em 15 minutos). Com os dados trazidos pelos alunos e estes reunidos em grupos, foi solicitado pela professora que definissem o problema a ser estudado. Um dos grupos que aqui

5 carregamento da bateria (em % ) 0 apresentamos o desenvolvimento da atividade definiu que iriam investigar o percentual de carregamento da bateria do telefone celular após 40 minutos de conexão na tomada de energia elétrica. Para responder essa questão, o grupo de alunos sentiu a necessidade da matematização para a interpretação do fenômeno que foi mediada pelo uso do software Curve Expert. As representações geradas com o apoio do software referem-se aos dados coletados e representados sob a forma de tabela (Tabela 1) e de pontos no plano cartesiano (Figura 1). Tabela 1 - Percentual de carregamento da bateria do telefone celular Figura 1 Representação dos dados no plano cartesiano Tendência dos dados tempo (em miutos) Fonte: Relatório entregue pelos alunos. Fonte: Relatório entregue pelos alunos. Os integrantes do grupo, diante das diferentes curvas apontadas pelo software para ajustar os pontos, decidiram escolher aquela que melhor representava a situação em 1, ,06 173t estudo. Para tanto, consideraram a função racional P( t) que 1, t representa o percentual de carregamento da bateria do telefone celular em função do tempo, cuja representação gráfica foi feita com o auxílio do software GeoGebra (Figura 2).

6 Figura 2: Gráfico do modelo Fonte: Relatório dos alunos. A professora com a intenção de que os alunos (representados por A1, A2 e A3) pudessem relatar o que compreenderam matematicamente do fenômeno em estudo, questiona-os sobre a representação gráfica do modelo matemático: P: Vocês estão convencidos de que esse modelo matemático representa a situação? A1: Para o que pretendemos estudar, penso que sim. Temos que desconsiderar o intervalo de zero a 3,96 minutos, pois para o modelo o carregamento seria negativo. Também não podemos considerar um percentual maior do que cem, por isso consideramos a função constante igual a cem na nossa representação gráfica. Mas a meu ver, representa bem sim. O A2 validou no Excel. Os alunos estão satisfeitos com o modelo matemático obtido e parecem reconhecer as suas limitações. A resposta para a questão proposta foi obtida por meio da expressão algébrica do modelo matemático. Ao fazerem t = 40min, concluíram que o percentual de carregamento seria de, aproximadamente, 17,87% e correspondia ao intervalo de valores obtidos empiricamente, ou seja, pertencia ao intervalo [13, 21]. Após a resposta para a questão, a professora com a intenção de abordar o conteúdo Derivada, já trabalhado em sala de aula, sugere outras abordagens matemáticas para o modelo matemático obtido. O diálogo a seguir sinaliza a intenção da professora. P: O que vocês perceberam quanto à taxa de crescimento do percentual de carregamento em função do tempo? A1: A taxa de carregamento é crescente. P: E esse crescimento é linear? A1: Não, entre 0 e 15 minutos, o celular carregou 3%. Entre 15 e 20 minutos, a taxa de

7 carregamento oscilou entre 8 e 10%, caindo para 6%, mas ainda crescente. O que acontece é que o crescimento vai diminuindo. P: Que ferramenta matemática nos possibilita estudar a variação do crescimento do carregamento da bateria do telefone celular? A2: É a derivada, não professora? P: O que vocês acham? A3: Derivada sim. P: Então calculem essa taxa de variação do modelo matemático que vocês deduziram. A1: Dessa função? Nossa. Ah, podemos usar a regra do quociente! A2: E temos as condições, temos que considerar o denominador diferente de zero! A1: Aham. 1347,06 173t A derivada do modelo P( t) 1, t por P '( t) ,1 t 0, t 1,49 2 1,49, calculada pelos alunos é dada, que traz à tona a interpretação de como se comporta o fenômeno, cuja representação gráfica é indicada na Figura 3. Figura 3: A derivada do modelo matemático do carregamento da bateria do celular Fonte: Relatório dos alunos. A professora então pede aos alunos que interpretem a representação gráfica do modelo matemático e justifiquem o comportamento, ou seja, de o modelo ser decrescente em maior parte do intervalo: P: O que vocês observam com relação à representação gráfica da derivada do modelo matemático? A1: Até aproximadamente 45 minutos a taxa é crescente e depois decrescente. P: O que significa para a função P(t) o fato de a derivada P (t) ser uma função crescente em um intervalo e decrescente em outro? A2: Isso significa que a taxa de variação no início é crescente vai diminuindo até o carregamento 100%, porque na função do modelo do carregamento o crescimento é cada vez menor em função do tempo. A proposta da atividade de modelagem matemática revela que a intenção da professora não é somente no que se refere à obtenção de resposta para a questão que os

8 alunos se propuseram a investigar, mas também em relação ao comportamento do fenômeno no decorrer do tempo, associando com aplicações do conteúdo de derivadas e suas propriedades. Nesse sentido, por meio do desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática a professora faz articulações que permitem aos alunos perceberem a matemática por meio da aprendizagem em sala de aula. A atividade de modelagem M2 foi desenvolvida por um grupo de quatro alunas do curso de Tecnologia em Alimentos e orientada pela professora. Em orientação com a professora, foi definida a situação-problema a ser investigada, conforme diálogo. T1: Professora, já que é para estudar algo da nossa área, eu pensei em estudar sobre o preparo de uma sobremesa, pois eu fiz uma pesquisa para escrever uma coluna no jornal que eu trabalho e fiquei sabendo algumas coisas... P: E que sobremesa é essa? T1: O pudim sem furinhos. A minha vida inteira eu preparei o pudim, pois meu pai gostava muito e me pedia todos os domingos. Quando surgiu a possibilidade de eu escrever uma coluna sobre sobremesa no jornal, não tive dúvidas, pesquisei sobre pudim. P: Que bom! E o que você está pensando? T1: Como o pudim de leite condensado e sem furinhos, com massa homogênea, é a mais apreciada pelos brasileiros, vou focar no preparo, no tempo de cozimento e na variação da temperatura da água, por conta de algumas relações com a coagulação da gema do ovo que eu encontrei na pesquisa. O que acha? Será que dá matemática? [risos] P: Vamos investir! Com essa abordagem inicial, inferimos que a intenção de perceber a matemática por parte de T1 está associada ao fato de ela ter obtido informações em pesquisas para desenvolver sua atividade profissional e que foi, em certa medida, validada pela professora. A situação que se configurou nesse trabalho de modelagem matemática está relacionada à temperatura da água no decorrer do tempo para o preparo de pudim com textura cremosa e homogênea ( sem furinhos ), de forma que a temperatura da massa não ultrapasse 85 o C. Essa temperatura é considerada ideal para evitar que a gema, utilizada na massa, coagule comprometendo a textura homogênea do pudim. O preparo de pudim de leite condensado com massa de 1,565 g foi realizado em banho-maria no fogão, com água nivelada a ¾ da altura da mistura do pudim. Para a coleta de dados, foi utilizado um termômetro para medir as temperaturas da água e da massa do pudim durante todo o processo de cozimento (Figura 4), conforme disposto na Tabela 2.

9 Tabela 2 Temperatura em função do tempo Tempo Temperatura Temperatura da massa (min.) da água (ºC) de pudim (ºC) Fonte: Relatório entregue pelas alunas. Figura 4 Medição da temperatura Fonte: Relatório entregue pelas alunas. Diante dos dados obtidos empiricamente, as alunas do grupo se propuseram a investigar o comportamento do fenômeno temperatura da água e temperatura da massa do pudim. Para tanto, sentiram necessidade de representar algebricamente os modelos matemáticos para representar a temperatura da água em função do tempo e a temperatura da massa do pudim em função do tempo, conforme diálogo: T1: Professora, a gente fez o pudim e coletou os dados. E agora queremos escrever uma função matemática. P: E o que vocês perceberam? T3: Com o tempo a temperatura da água e a do pudim aumentam! T2: Professora, será que tem alguma relação entre a temperatura da água e a temperatura da massa do pudim? T1: Sabe o que pensei e andei falando para as meninas? A função composta poderia nos ajudar aqui, o que acha? P: Como assim? T1: A gente tem a temperatura da água em função do tempo que fizemos e podemos escrever a função. Temos também a temperatura da massa do pudim em função do tempo e novamente podemos escrever a função. Que tal fazermos uma composta da temperatura da massa do pudim em função da temperatura da água? Daí teremos o que T2 está falando! Com essas considerações e utilizando o software Curve Expert, as alunas deduziram os modelos matemáticos para os fenômenos em estudo. Com relação à temperatura da água em função do tempo (t), as alunas escolheram dentre as curvas T A apontadas pelo software aquela que melhor representava a situação e, nesse caso, consideraram uma função do tipo exponencial dada por T ( t) 94,9e A e 0,230,13 t mesma abordagem foi realizada para a temperatura da massa do pudim em função do. A tempo T P (t), obtendo o modelo matemático T ( t) 85,64e P e 0,327 0,151t. Com a

10 validação de ambos os modelos matemáticos, as alunas se dispuseram a utilizar conhecimentos matemáticos estudados na disciplina de Cálculo para obter a função composta T P T At, resultando em TP T At 0,327 0,151 94,9e 0,230,13 t e 85,64e. As integrantes do grupo percebem a matemática de uma situação oriunda da atividade profissional de T1, conforme diálogos: T1: Eu não imaginava que a função composta pudesse ter alguma aplicabilidade ainda mais na minha receita de pudim. [risos]. Eu achei muito interessante a comparação estabelecida entre a coleta de dados e os resultados matemáticos, que foram bem próximos. Eu posso matematizar situações! T2: Professora, nunca que eu iria perceber que fazer pudim tivesse matemática! T4: Foi um desafio que a T1 nos submeteu, mas que valeu a pena ver matemática fora da matemática. Para definir uma situação que pudesse ser trabalhada matematicamente, um dos três integrantes do grupo de alunos do curso de Licenciatura em Química, em uma das orientações para o desenvolvimento da Atividade Prática Supervisionada, afirmou que: Q1: Eu queria fazer algo útil que eu pudesse estudar os conceitos das aulas de Cálculo 1, ao mesmo tempo que fosse interessante pelo menos para mim, para meu grupo. Sei lá. P: E o que você pensou? Q1: Ah professora, eu gosto muito de mexer com carro e talvez fiquei pensando nos gastos que tenho, no desgaste do motor. Sabe, venho de Rolândia todos os dias... e se eu estudasse algo sobre o consumo de combustível? P: Se essa situação é interessante para você! Q1: Interessante é. P: E como faria para coletar os dados. Q1: Bom eu levo uns quarenta minutos para percorrer da minha casa até a universidade, que dá uns trinta e dois quilômetros. Ah, também podia estudar as velocidades nesse trajeto. P: Faria a divisão do espaço pelo tempo? Q1: Não a velocidade média e sim a oscilação de velocidades em função do tempo, por exemplo, eu posso marcar de 3 em 3 minutos a velocidade e o espaço percorrido. Isso... posso ir olhando no painel de meu carro. P: Decida com seu grupo o que vocês gostariam de estudar e se decidir por coletar esses dados com o carro em movimento tenha cuidado na coleta. Não faça a viagem sozinho. Q1: Pode deixar! De acordo com a orientação, o que se evidencia é que Q1 tem a intenção de desenvolver uma atividade de modelagem matemática que esteja relacionada com seu dia a dia. A coleta de dados é realizada desde o momento em que o estudante sai de sua casa e chega à universidade em uma quarta-feira entre 18h00 e 19h00. Para isso, organiza os dados coletados em uma tabela (Tabela 3) e, por meio, do software Curve

11 velocidade (em km/h) 0 Expert representa os pontos no plano cartesiano (Figura 5), obtendo uma curva que representa a velocidade de acordo com o trajeto percorrido. Tabela 3 - Velocidade a cada 3 minutos Figura 5 Tendência do dados Tendência dos dados tempo (em horas) Fonte: Relatório entregue pelos alunos. Fonte: Relatório entregue pelos alunos. Para representar a velocidade em função do tempo no trajeto da casa de Q1 até a universidade, os integrantes do grupo optaram por utilizar a função polinomial de grau quatro e os parâmetros atribuídos pelo software Curve Expert. Com isso, o modelo matemático para descrever o fenômeno foi representado algebricamente por V( t) 5971,48t ,92 t ,12 t gráfica foi obtida utilizando o software GeoGebra (Figura 6). Figura 6 Gráfico da função V(t) ,33t 2,23, cuja representação Fonte: Relatório entregue pelos alunos

12 Conforme o diálogo em orientação para definição da situação em estudo, ficou evidente que Q1 tem intenção de abordar conteúdos estudados na disciplina em seu trabalho. No relatório entregue, o grupo apresentou o cálculo da derivada do modelo 3 2 matemático obtido V '( t) 23885,92 t 34049,76 t 13814,24 t 1431,33, bem como o cálculo da integral indefinida de V (t), ou seja, V ( t) dt 1194,296 t ,48t ,3733t 3 715,665t 2 2,23t k, k. Quando o grupo foi questionado sobre o significado de cada um desses cálculos matemáticos, justificaram: Q2: Se a gente calcular a derivada da velocidade em função do tempo, obtemos o modelo que descreve a aceleração em função do tempo. P: E com relação à integral indefinida. Q1: A integral indefinida nesse caso é um conjunto de funções que quando derivadas obtemos a função original. P: E o que esse conjunto de funções representa na situação? Q1: Representa o deslocamento em função do tempo. Podemos determinar o valor de k igualando a função a 32,3 quilômetros que é o percurso total de minha casa até aqui na universidade. Também, com o modelo matemático da velocidade, também podemos determinar o valor de máximo e mínimo absolutos e relativos para saber em que momento a velocidade foi máxima e foi mínima no trajeto. E a gente calcula a derivada primeira de V(t) e iguala a zero e depois faz o teste da derivada segunda. No desenvolvimento dessa atividade de modelagem matemática a intenção de Q1 é perceber uma matemática em seu dia a dia, bem como explorar conteúdos relacionados à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral 1 nessa situação. Discussões e conclusões Com a análise dos três grupos de pessoas envolvidas com o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática, pudemos identificar três situações que permitem às pessoas perceberem a Matemática: situação de ensino e aprendizagem, situação da atividade profissional e situação do dia a dia. Diante dos diálogos dos envolvidos com as atividades de modelagem seja para a definição da situação-problema, seja nas argumentações para explicitar as abordagens matemáticas realizadas pudemos inferir que a escolha do que se pretende investigar se faz de maneira intencional, procurando matematizar situações que de certa forma consistem em fenômenos que estão diretamente relacionados àquele que propõe/escolhe a situação. Com isso, o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática

13 está associado a uma situação-problema (Carregamento da bateria do telefone celular, Temperatura da água e da massa de um pudim, Velocidades em um trajeto), em que há coleta de dados (observações e empírica), representados por meio de um modelo matemático que representa um objeto matemático (função racional, função do tipo exponencial e função polinomial) que pode ser trabalhado matematicamente (cálculo de derivadas, integrais e função composta), ou seja, fazendo uso da Matemática. A Professora P tem a intenção de que seus alunos percebam a matemática por meio de uma atividade de modelagem no contexto da sala de aula, ou seja, em uma situação de ensino e aprendizagem; a aluna T1 escolhe uma situação-problema do âmbito de sua atividade profissional para poder ver a Matemática que está por detrás do preparo de uma sobremesa o pudim; o aluno Q1, diante dos conteúdos matemáticos abordados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral 1, escolhe uma situaçãoproblema de seu dia a dia para representar matematicamente e aplicar cálculos matemáticos já conhecidos. As três situações identificadas com a realização da pesquisa podem ser apresentadas sob a forma de um esquema, conforme Figura 7. Figura 7 Esquema das situações que permitem as pessoas perceberem a Matemática Fonte: Elaborada pelas autoras. Levando em consideração as ações e as argumentações dos envolvidos com atividades de modelagem matemática, podemos inferir que a ação de perceber a

14 Matemática segue diferentes configurações, dependendo do contexto no qual aquele que desenvolve a atividade está inserido. Nesse sentido, podemos considerar que diante do fato de os envolvidos terem liberdade de escolher a situação-problema que pretendem estudar, coletar os dados e trabalhar matematicamente com estes, possibilita que o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática adquira um sentido muito seu, muito próprio daquele contexto em que se dá sua realização. Referências ALMEIDA, L. M. W. ; FERRUZZI, E. C. Uma aproximação socioepistemológica para a modelagem matemática. Alexandria. Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v. 2, n. 2, p , ALMEIDA, L. W. de; SILVA, K. P. da; VERTUAN, R. E. Modelagem Matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, GALBRAITH, P. Models of Modelling: Genres, Purposes or Perspectives. Journal of Mathematical Modelling and Application, 5(1), 2012, LESH, R.. Tools, Researchable Issues & Conjectures for investigating what it means to Understand Statistics (or Other Topics) Meaningfully. Journal of Mathematical Modelling and Application, 2(1), 2010, MEYER, J. F. da C. de A.; CALDEIRA, A. D.; MALHEIROS, A. P. dos S. Modelagem em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2011.