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1 DESENVOLVIMENTO DE UM SISTEMA DIDÁTICO PARA LEVITAÇÃO ELETROMAGNÉTICA COM O AUXÍLIO DO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Rafael Ramos Gomes, Guilherme Gonçalves Sotelo, Richard Magdalena Stephan UFRJ - Departamento de Engenharia Elétrica, Cidade Universitária - Rio de Janeiro, RJ UFRJ - COPPE, Programa de Engenharia Elétrica, Cidade Universitária - Rio de Janeiro, RJ s: ramos@ufrj.br, sotelo@coe.ufrj.br, rms@ufrj.br Abstract This paper describes an electromagnetic levitation experiment used to present MAGLEV (Magnetic Levitation) technologies. A ferromagnetic ball is maintained completely free in the air due to a closed loop positioning system and an electromagnetic actuator. The control system design will be described. This classical experiment will be analyzed using a Finite Elements Method (FEM) simulation software. Experimental results will validate the computational simulations. Keywords Electromagnetic Levitation, Closed Loop Control Systems, Engineering Teaching and MAGLEV. Resumo Este trabalho descreve um experimento de levitação eletromagnética usado como introdução dos princípios envolvidos na tecnologia MAGLEV (levitação magnética). Uma esfera ferromagnética é mantida completamente livre no ar devido a um sistema em malha fechada de posicionamento e um atuador eletromagnético. Será descrito o desenvolvimento do sistema de controle. Este experimento clássico será analisado usando um programa de simulação pelo Método de Elementos Finitos (MEF). Os resultados experimentais validam as simulações computacionais. Palavras-chave e MAGLEV Levitação Eletromagnética, Sistemas de Controle em Malha Fechada, Ensino de Engenharia 1 Introdução A levitação magnética encontra modernas aplicações em situações nas quais o atrito mecânico é um fator limitador de elevadas velocidades de rotação ou translação. Este assunto é objeto de pesquisa do grupo proponente deste artigo (Salazar and Stephan, 1993)(Ortiz et al., 1994)(Santisteban and Stephan, 1999)(Nicolsky et al., 2)(Santisteban et al., 21). No entretanto, existia uma lacuna entre os trabalhos de pesquisa e o ensino desta tecnologia no curso de graduação. Assim, com o objetivo de apresentar o princípio de levitação eletromagnética e o emprego de programas de simulação de campos eletromagnéticos pelo Método de Elementos Finitos (MEF), foi desenvolvido um protótipo experimental de esfera levitante (figura 1)(Stephan et al., 22)(Gomes, 24). Este sistema é tomado como exemplo para o ensino de eletromagnetismo (seção 2), sistemas de controle (seção 3) e simulação pelo MEF (seção 4). Resultados experimentais, confrontados com os numéricos (seção 5), tornam a proposta atraente para os estudantes. 2 O Levitador Eletromagnético O levitador eletromagnético consiste de um eletroímã que produz um campo eletromagnético que atrai uma esfera de aço, como apresentado na figura 2. Com a passagem de uma corrente I pelo eletroímã, a esfera está sob a ação de duas forças: A força gravitacional (peso) e a força eletromagnética produzida pela bobina, forças essas que atuam Figura 1: Levitação eletromagnética de uma esfera. em sentidos opostos. O comportamento dinâmico deste sistema é descrito pela equação 1: F r = F mag P esf = m d2 y(t) dt 2. (1) Na situação de equilíbrio, a força resultante é igual a zero, visto que a posição da esfera não varia em relação ao tempo. Então: F mag = P esf. (2) onde, F mag é a força eletromagnética produzida pelo eletroímã suficiente para equilibrar o peso da esfera ou força produzida pela corrente de equilíbrio.

2 onde: I = I I o ; (9) Y = Y o Y. (1) I o = Corrente de equilíbrio e Y o = Posição de equilíbrio. A força resultante atuando sobre a esfera será igual a variação da força eletromagnética em relação ao ponto de equilíbrio. A função de transferência pode ser determinada substituindo a equação 7 na equação 8, dando origem à equação 11. Figura 2: O levitador eletromagnético. A força resultante apresentada na equação 1 pode ser decomposta em duas componentes como mostra a equação 3: F mag = F mag + F mag. (3) De acordo com as equações 1 e 3: Y I = κ 1 ms 2 κ 2. (11) Em uma análise de estabilidade pelo método de diagrama de lugar das raízes, pode ser concluído que o sistema descrito pela equação 11 é instável para um controlador puramente proporcional. Este gráfico é mostrado na figura Diagrama de Lugar das Raízes Então: F r = F mag + F mag P esf ; (4) F mag = P esf. (5) Eixo Imaginário F r = F mag = m d2 y(t) dt 2. (6) Eixo Real Aplicando a transformação de Laplace na equação 6, a função de transferência da dinâmica da esfera pode ser determinada. Então: Y (s) F r (s) = 1 ms 2. (7) 3 Sistema de Controle A força eletromagnética produzida pelo campo do eletroímã sobre a esfera é proporcional ao quadrado do valor da corrente e à derivada da indutância com a posição da esfera (Slemon, 1966). O modelo pode ser linearizado em torno de um ponto de operação estabelecido pela corrente de equilíbrio. O valor da corrente de equilíbrio é exatamente a corrente necessária para produzir uma força eletromagnética igual ao peso da esfera. Neste ponto de operação a força resultante é igual a zero. Nesta consideração de linearização do modelo, pode-se afirmar que: F r = κ 1 I + κ 2 Y. (8) Figura 3: Diagrama de lugar das raízes para o sistema eletromecânico. A estabilidade do sistema pode ser obtida com o uso de um controlador PD. A adição deste controlador corresponde a inserção de um zero no semi-plano esquerdo do plano complexo, fazendo que todo o lugar das raízes esteja localizado neste semi-plano, conforme mostrado na figura 4. Os parâmetros deste sistema já foram encontrados em um trabalho anterior (Gomes et al., 23). As constantes κ 1 e κ 2 para o sistema levitador experimental são:, 392N/A e, 12N/mm. Substituindo os valores numéricos na equação 11 e sabendo que a massa da esfera utilizada é de, 16kg, é determinada a função de transferência da planta: Y I =, 392, 16s 2, 12. (12) Com a utilização da ferramenta rltool disponível no MATLAB, foram determinados os parâmetros do controlador PD utilizado. Esses ganhos foram calculados para atender as necessidades do

3 Diagrama de Lugar das Raízes Eixo Imaginário Eixo Real Figura 4: Novo diagrama de lugar das raízes com a adição do controlador PD. Figura 6: Fotografia das placas do sistema de controle implementado. Figura 7: Disposição dos sensores de posição da esfera. Figura 5: Implementação do sistema de controle. sistema: tempo de acomodação (t s ) menor que,4 segundos e percentual de ultrapassagem (P.O.) inferior a 5%. Assim, a função de transferência obtida para o controlador PD é: C(s) = 5(1 +, 2s). (13) Os valores dos parâmetros ganho proporcional e derivativo são 5 e 1 segundo, respectivamente. O circuito implementado para este controlador é representado pelo diagrama elétrico da figura 5. Para a faixa de freqüências adotadas nesse estudo, esse circuito se comporta como um derivador ideal. Como observa-se na figura 5, o compensador PD foi implementado a partir de um amplificador operacional LF356 e componentes passivos. Também neste bloco foi incluído um ajuste da corrente de equilíbrio, cuja função é alimentar o eletroímã com uma corrente capaz de produzir uma força para compensar o peso da esfera. Os parâmetros proporcional e derivativo são dados através de: P = R F R I (14) D = R F C (15) A partir dos valores de P e D calculados por 14 e 15, os valores de R F, R I e C são, respectivamente 1kΩ, 2kΩ e 1µF. A fotografia das placas do sistema de controle implementado é apresentada na figura 6. O sensor de posição da esfera consiste em um par de LED s infravermelhos e um par de fototransistores, formando dois feixes de luz conforme mostrado na figura 7. De acordo com Santisteban e Stephan (Santisteban and Stephan, 1996) este sensor apresenta uma característica linear, dentro da faixa de -,4mm a,4mm. Maiores detalhes do sistema de controle podem ser encontrados em (Gomes, 24). 4 Aplicação do MEF para cálculo da força de levitação O Método de Elementos Finitos tem se mostrado uma ferramenta de grande utilidade na engenharia elétrica. Dessa forma, o MEF foi utilizado nesse trabalho com o intuito de confrontar os resultados obtidos pelos cálculos de campo, com os resultados encontrados a partir de medidas do protótipo real do sistema de levitação apresentado na seção anterior. Esse procedimento visa a validação dos cálculos, que possibilitam a utilização do método com maior confiança em novos resultados para o desenvolvimento de dispositivos mais sofisticados, que serão apresentados em trabalhos futuros. O MEF baseia-se na discretização de uma região estudada em subdomínios, estes que são chamados de elementos finitos. Esta subdivisão da

4 Bobina FeSi Ar Ar Bobina FeSi Esfera Esfera Figura 8: Malha 2D construída para simular o sistema de levitação. Destaque para o contorno na esfera para cálculo da força a partir de 16. região é conhecida como malha, sendo a mesma constituída, na maioria dos casos, por triângulos e/ou quadriláteros (para elementos bidimensionais) e tetraedros e/ou paralelepípedos (para elementos tridimensionais). Os vértices desses elementos são chamados de nós da malha. Foram realizadas simulações magnetostáticas bidimensionais axissimétricas (que considera uma simetria de 36 o em relação a um eixo) com elementos quadriláteros e simulações magnetostáticas tridimensionais com elementos tetraédricos, ambas utilizando o programa comercial ANSYS (ANSYS 7. Documentation, 22). As malhas das simulações 2D e 3D podem ser vistas nas figuras 8 e 9, respectivamente. Nessas simulações, aplica-se uma densidade de corrente constante na região correspondente à bobina e a solução encontrada pelo programa fornece como resultado o potencial vetor magnético nos nós da malha. A partir dessa informação, foi possível calcular a força de levitação da esfera utilizando dois procedimentos: o tensor de Maxwell (Sotelo, 23) e o trabalho virtual (Coulomb and Meunier, 1984). O tensor de Maxwell, para o caso 2D magnetostático, possibilita encontrar uma expressão para a força exercida sobre uma área ds, conforme segue abaixo: F = S [ µ ( H ˆn) H µ ] 2 H2ˆn ds (16) Figura 9: Malha 3D do sistema de levitação. Apresenta-se somente 1/4 da geometria para permitir melhor visualização. onde H representa o campo magnético, µ a permeabilidade magnética do vácuo e ˆn representa o vetor normal à superfície. Para que se possa fazer uma aplicação prática do tensor de Maxwell, supõe-se aqui que um corpo ocupa um volume V e que se saiba o valor do campo magnético na superfície S(V) que contorna o corpo. É também necessário que o corpo esteja envolto em ar, ou em um meio cuja permeabilidade magnética seja constante. Por esse motivo, adotou-se na simulação bidimensional uma malha constituída por quadriláteros, que permitem traçar melhor o contorno da esfera, conforme mostra o destaque na figura 8. O método para cálculo de forças pelo trabalho virtual é baseado na derivada da energia para um deslocamento virtual da parte móvel. Como no caso do tensor de Maxwell, é necessária uma camada de ar (ou um material de permeabilidade constante) envolvendo a parte móvel. A equação básica para o cálculo da força pelo trabalho virtual (Coulomb and Meunier, 1984) é apresentada abaixo, para os elementos e selecionados: F S = [ B H ] H e V e S dv + BdH V e S (dv ) (17) É relevante comentar que o problema poderia ser resolvido satisfatoriamente utilizando apenas simulações bidimensionais, porém, os resultados encontrados por meio dessas simulações possuíam a metade do valor esperado, para os dois métodos de cálculo de força utilizados, tornando então necessário o uso de outro tipo de simulação. Assim, realizaram-se simulações 3D que forneceram resultados próximos aos esperados. Estima-se que

5 estes resultados para a força de levitação das simulações 2Ds são devidos ao programa considerar somente a corrente de alimentação no quadrante da simulação (que possui um sentido perpendicular ao plano da geometria), desprezando a componente simétrica da corrente, que possui a mesma direção e sentido oposto, pelo fato da simulação ser axissimétrica. Nos resultados bidimensionais das forças calculadas que são apresentados nesse trabalho, é feita essa correção, multiplicando o valor da força de levitação calculada por dois. 5 Resultados Como comentado anteriormente, para que a esfera levite é necessário que a força magnética de levitação seja igual ao peso da esfera, que é de,162n. Uma vez que a esfera esteja na posição de equilíbrio, mede-se o valor médio quadrático da corrente elétrica que alimenta o eletroímã e a extensão do entreferro. Para leitura da corrente elétrica usouse um sensor de efeito hall, enquanto que para a leitura do entreferro foi necessário o uso de um paquímetro de plástico, para que não houvesse interferência no campo magnético entre a esfera e a bobina. Com os dados das medidas de corrente elétrica e entreferro, foram simulados esses mesmos casos pelo MEF. Os resultados encontrados para essas simulações podem ser vistos na tabela 1 e na figura 1. Por esses resultados, tem-se que o maior erro encontrado para o cálculo da força foi de 14,8%, que pode ser atribuído a imprecisão obtida na leitura da extensão do entreferro. I (ma) gap(mm) 2D TM 2D TV 3D TV Tabela 1: Resultados de força de levitação (em Newtons) 2D e 3D pelo MEF para entreferro e corrente medidos em diversas posições de equilíbrio da esfera. Tensor de Maxwell (TM) e Trabalho Virtual (TV) Conhecer a região de operação de um sistema de levitação é relevante na hora de projetá-lo. Para entreferros de pequena extensão o sistema fica muito sensível, enquanto que para entreferros muito grandes é necessário um elevado número de amperes-espiras. Essa região pode ser então determinada conforme apresentado pelo gráfico da figura 11, que ilustra uma família de curvas de força magnética em função do entreferro (que varia de,5mm) com corrente elétrica sofrendo incrementos de 5mA. Quando a reta que representa o peso (,162N) intercepta uma determinada Força de levitação (Newtons) D Tensor Maxwell 2D Trabalho Virtual 3D Trabalho Virtual Peso da esfera Entreferro (mm) Figura 1: Resultados de simulação da força de levitação para as correntes e entreferros apresentados na tabela 1. curva, é descoberto o valor do entreferro e a corrente necessária para se obter o equilíbrio. Força de levitação (N) I=.5A.5 I=1A Peso Entreferro (mm) Figura 11: Família de curva de força de levitação para corrente de 5mA até 1A (com incremento de 5mA) e entreferro de,5mm até 15mm (com incremento de,5mm). A reta,162n representa o peso da esfera. 6 Conclusões e Comentários Esse trabalho apresentou a análise e o desenvolvimento de um sistema de levitação para esferas ferromagnéticas. O Método de Elementos Finitos foi utilizado com intuito de comparar os cálculos realizados com medidas em um protótipo construído previamente. Melhorias na estrutura ferromagnética podem agora ser estudadas com o MEF antes da implementação, representando uma grande economia de tempo de projeto. Esses estudos têm um caráter didático e visam o aprendizado de conceitos nas áreas de sistemas de controle e eletromagnetismo. Em um curso de laboratório de con-

6 trole, pode ser proposta a simulação e verificação experimental de diferentes controladores, uma vez que a implementação do circuito de controle é bastante simples. Em um curso de eletromagnetismo, os estudantes podem tomar contato com a simulação FEM com comprovação experimental. 7 Agradecimentos Ao CNPq pelo financiamento parcial concedido ao projeto e aos técnicos Sérgio Ferreira e Ocione José Machado do DEE-UFRJ, pelo apoio na construção do protótipo. Referências Santisteban, J. A. and Stephan, R. M. (1999). Analysis and control of a loaded bearingless machine, IEEE Transactions on Magnetics 35(5): Slemon, G. (1966). Magnetoeletric devices. Sotelo, G. G. (23). Comparação de estruturas de máquinas de relutância variável para uso em armazenador cinético de energia, Master s thesis, UFRJ, Rio de Janeiro. Stephan, R. M., Machado, O. J., Forain, I. and de Andrade Jr., R. (22). Experiências de levitação magnética, Anais do CBA 22, Vol. 1, SBA, Natal, pp ANSYS 7. Documentation (22). Coulomb, J. and Meunier, G. (1984). Finite element implementation of virtual work principle for magnetic or electric force and torque computation, IEEE Transactions on Magnetics 2(5): Gomes, R. R. (24). Um Experimento para ilustrar o Sistema de Levitação Eletromagnética Utilizado em Trens MAGLEV, Projeto de fim de curso, UFRJ, Rio de Janeiro. Gomes, R. R., da SILVA, D. and da Silva Neto, J. L. (23). Electromagnetic levitation using matlab real time control toolbox, 23 IEEE International Symposium on Industrial Electronics, Vol. 1, Rio de Janeiro. Nicolsky, R., Pereira, A. S., David, D., Santisteban, J. A., Stephan, R. M., Ripper, A., Gawalek, W., Habisreuther, T. and Strasser, T. (2). Development of hybrid bearing system with thrust superconducting magnetic bearing and radial active electrodinamic bearing, Physica C 341: Ortiz, A., Stephan, R. M. and Dunford, W. (1994). Um sistema de motor de relutancia com mancal magnético, in CBA 94 (ed.), Congresso Brasileiro De Automática, Vol Salazar, A. and Stephan, R. M. (1993). A bearingless method for induction machines, IEEE Transactions on Magnetics 29(9): Santisteban, J. A., David, D. and Stephan, R. M. (21). Active magnetic bearing and induction bearingless machine, in COBEP 21 (ed.), Congresso Brasileiro de Eletrônica de Potência, Vol. 1, pp Santisteban, J. A. and Stephan, R. M. (1996). Sensor Ótico com característica linear, XXI Seminário de Instrumentação do IBP, pp