UM SIMULADOR DE ONDAS ELETROMAGNÉTICAS BASEADO NO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA O ENSINO DO ELETROMAGNETISMO

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1 UM SIMULADOR DE ONDAS ELETROMAGNÉTICAS BASEADO NO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS NO DOMÍNIO DO TEMPO PARA O ENSINO DO ELETROMAGNETISMO Luiz Gonçalves Junior, Claudio V. de Aquino, Naasson P. de Alcantara Junior UNESP - Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Faculdade de Engenharia, Departamento de Engenharia Elétrica, Campus Universitário de Bauru Av. Eng.º Luiz Edmundo Carrijo Coube, S/N Bauru SP luizgjr@bauru.unesp.br Resumo. Eplicar fisicamente os fenômenos ondulatórios é sempre um desafio ao ensino superior de Eletromagnetismo. O estudante vê-se frente a um emaranhado de epressões matemáticas vistas nos cursos de cálculo e física, difíceis de serem interpretadas e aplicadas num conteto mais prático. A teoria torna-se maçante, deiando muitos estudantes desmotivados logo nas primeiras aulas, preocupando-se apenas em obter aprovação. Não percebem que é no eletromagnetismo que se encerram teorias primordiais da eletricidade, preferindo absorver mais facilmente os conceitos de tensão e corrente elétrica na forma escalar, mais simplificada possível, ou como vetores girantes e grandezas fasoriais. Este trabalho procura mostrar, através de recursos visuais e animados, a validação das equações de Mawell numa forma discreta, pelo Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo. Pela linguagem científica e ambiente de programação MATLAB, é possível numa tela, observar a propagação de ondas eletromagnéticas simples com o campo elétrico ortogonal ao magnético, inicialmente no vácuo e depois em mudanças de meios dielétricos com as conseqüentes refleões e refrações. Fica fácil compreender os fenômenos ondulatórios através de uma interface amigável a qual permite estabelecer e alterar parâmetros e observar os resultados obtidos após cada modificação introduzida. Palavras-chave: Eletromagnetismo, Equações de Mawell, Diferenças finitas no domínio do tempo. NTM - 358

2 1. INTRODUÇÃO As disciplinas que tratam da teoria eletromagnética têm presença obrigatória em qualquer currículo de Engenharia Elétrica. É inegável que qualquer assunto pertinente à engenharia elétrica tenha suas origens na teoria eletromagnética. Entretanto, por diversas razões, a grande maioria dos estudantes apresentam uma enorme dificuldade ao lidar com este assunto. Como razões para esse fato pode-se citar o formalismo matemático etremamente sofisticado utilizado para apresentar a maioria dos assuntos do eletromagnetismo, e a necessidade de abstrações que permitam ao acadêmico visualizar os fenômenos em estudo. Por estas razões, ferramentas educacionais que auiliem os estudantes a compreender melhor os fenômenos do eletromagnetismo sempre são bem vindas. O físico escocês James Clerk Mawell ( ), a partir de estudos desenvolvidos por cientistas antecessores (Farada, Gauss, Ampère, etc.) formulou um conjunto de equações que a partir de então se convencionou chamar de equações de Mawell. Essas equações, que podem ser apresentadas tanto na forma integral como na forma diferencial, mais algumas relações constitutivas, formam o cerne da teoria eletromagnética ensinada nos cursos de graduação em Engenharia Elétrica. Mawell descreveu a sua teoria no Treatise of Electricit and Magnetism, publicado em Entretanto, o trabalho escrito por Mawell ainda era de difícil leitura; coube ao telegrafista e físico inglês Oliver Heaviside ( ), conforme relata Hallida et al. [1], esclarecer a teoria de Mawell, dando-lhe o formato como hoje é conhecida. As equações de Mawell servem de ponto de partida para a obtenção das equações de campo e equações de ondas eletromagnéticas. Em trabalho onde apresentou um simulador de ondas eletromagnéticas baseado em uma formulação bidimensional do TLM, Bulho et al. [] reiteram que essas equações são de difícil solução analítica, sendo que em alguns casos ela é até mesmo impossível. A utilização de métodos numéricos na solução dessas equações já era algo tradicional, porém seu uso estava inicialmente restrito à comunidade de pesquisadores desse assunto. A introdução desse assunto nos currículos de graduação é algo que vem ocorrendo aos poucos. O desenvolvimento de um simulador para a visualização de ondas eletromagnéticas baseado no Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (Finite Difference Time Domain ou FDTD) além de prover os alunos com uma ferramenta que facilita o uso e compreensão, também serve para introduzi-los no estudo de métodos numéricos, em trabalhos de iniciação científica. O método FDTD oferece algumas vantagens para a sua utilização que podem ser condensadas em sua habilidade de trabalhar com uma faia larga de freqüências, estímulos, objetos, ambientes, posições de resposta e diversos tipos de computadores, conforme enumerou Kunz e Luebbers [3]. Combinando a facilidade de implementação do método FDTD com os recursos gráficos do ambiente de computação científica MATLAB, este trabalho apresenta um simulador de ondas eletromagnéticas para tornar possível a visualização da propagação das mesmas, bem como alguns fenômenos conseqüentes de transmissão e refleão segundo os meios em que viajam, contribuindo ao estudo do eletromagnetismo.. AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E O MÉTODO FDTD UNIDIMENSIONAL As duas equações de Mawell em rotacional eprimem as correspondências entre os campos elétrico e magnético. No Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo (FDTD) as derivadas são discretizadas em forma de diferenças finitas, onde apenas as interações entre os pontos vizinhos mais próimos são consideradas quando os campos, dispostos sobre células discretas, também avançam em passos discretos no tempo. O método transforma as equações diferenciais em equações algébricas, facilitando o estudo de campos eletromagnéticos, sem a utilização das técnicas clássicas de soluções do cálculo diferencial e integral..1 Conceitos fundamentais A lei de Ampère, conforme Ref. [1], relaciona a circuitação do vetor intensidade campo magnético H num caminho fechado L, num meio qualquer, com as ações do campo elétrico manifestadas por uma corrente elétrica de deslocamento (variação temporal do vetor densidade de fluo elétrico D) e uma outra de condução (fluo do vetor densidade superficial de corrente J) através de uma superfície de área S delimitada pelo caminho L. A lei de Farada, também conforme Ref. [1], mostra que a força eletromotriz (fem) representada pela circuitação do vetor intensidade de campo elétrico E no caminho L, num meio qualquer, corresponde à reação da variação do fluo magnético por uma superfície de área S delimitada pelo contorno definido pelo caminho L, acrescido das perdas magnéticas, quando for o caso. O teorema de Stokes permite que as circuitações dos vetores H e E sobre os caminhos fechados L, sejam convertidas no fluo do rotacional destes vetores através das superfícies delimitadas por esses caminhos, permitindo assim a obtenção das já citadas equações de Mawell em rotacional.. Normalização dos vetores D (densidade de fluo elétrico) e E (intensidade de campo elétrico) Para uma propagação unidirecional, no eio z, as equações de Mawell podem ser escritas em uma forma escalar e normalizada, conforme Ref. [5]: NTM - 359

3 E t c = ε 0 r H z (1) H t = c 0 E z ().3 O método das diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD) As derivadas temporais e espaciais são transformadas em diferenças algébricas utilizando-se uma notação conveniente que eprima os campos simultaneamente no tempo e no espaço. Isso é ilustrado na Fig. 1, que eibe os campos elétrico e magnético conjuntamente intercalados no espaço e no tempo, onde a interação entre eles faz com que o valor de um determinado campo (elétrico ou magnético) seja obtido com o auílio dos valores vizinhos do outro campo (magnético ou elétrico) e vice-versa, conforme Taflove [4], Ref. [3] e Ref. [5]. Figura 1. Os campos elétrico e magnético intercalados no espaço e no tempo. Por eemplo, E n (k) ilustra a componente E no instante t = n. t na célula z = k. z e as equações de Mawell utilizando-se diferenças finitas e discretas, passam a ser: 1/ n 1/ n 1 n E ) H (k 1 0 (k) E t (k) c = ε r H (k +. z ) (3) 1 n 1 H (k + 1 ) H (k 1 ) n E 1/ n 1/ (k + 1) E (k 1) = c0.. (4) t z Portanto, com as equações de Mawell na forma diferencial, torna-se fácil transcrevê-las para a forma algébrica, e finalmente transformá-las em epressões recursivas utilizadas em códigos numéricos de programas computacionais: H 1 [ H (k + 1 ) H (k 1 )] 1/ n 1/ 1 n n E (k) = E (k) ε (k SIMULAÇÃO NUMÉRICA 3.1 Algoritmo básico ) = H n 1 (k + 1 r 1 ) + [ E (k 1) E (k 1) ] 1/ + + 1/ n n (5). (6) Como já visto na seção.3, o campo elétrico e o magnético devem estar intercalados no tempo e no espaço, para que o método das Diferenças Finitas seja aplicado. Sob o ponto de vista computacional, basta que um dos campos esteja adiantado no espaço de uma célula em relação ao outro e seja calculado usando os valores vizinhos do outro campo, porém dentro do mesmo passo de tempo. O tempo é implícito no método, porém o espaço, eplícito, é arredondado e serve de índice para armazenar em vetores os valores dos campos calculados. As Eqs. (5) e (6) podem ser reescritas computacionalmente: NTM - 360

4 e(k) = e(k) + cb(k) * ( h(k-1) - h(k) ) (7) h(k) = h(k) * ( e(k) - e(k+1) ) (8) Cabe ressaltar que cb(k), da Eq. (7), definido igual a 0,5 para o vácuo, é modificada para 0,5/epsilon nas células em que o dielétrico foi especificado. Com relação ao espaço, os vetores e e h são calculados separadamente para k variando de a KE e de 1 a KE-1 respectivamente, conforme fluograma apresentado na Fig.. 3. Implementação do simulador A proposta deste simulador é de uma ferramenta, capaz de tornar possível a visualização do comportamento dos campos elétrico e magnético, no ensino da teoria eletromagnética nos cursos de engenharia. O simulador é composto de um programa principal e de duas rotinas de simulação numérica. As funções do programa principal são: controlar a interface gráfica, chamar as rotinas de simulação numérica e interagir com o usuário através de comandos de entrada de dados e de saída visual. As rotinas de simulação numérica implementam o algoritmo básico, descrito na seção 3.1, e proporcionam a visualização animada da propagação unidirecional dos campos elétrico e magnético no plano e no espaço. Figura. Fluograma para implementação do Método FDTD Este simulador foi implementado utilizando a linguagem de programação MATLAB, por tratar-se de um sistema aberto, robusto, interativo, mundialmente utilizado e provido de recursos gráficos quase ilimitados, salientando que poucas modificações adaptam os códigos a outras linguagens computacionais, sem grandes prejuízos. Esta versão, de caráter preliminar, encontra-se em constante modificação com o objetivo de se tornar cada vez mais amigável e eficiente. 3.3 Interface de visualização gráfica A interface gráfica com o usuário apresenta duas possibilidades de animação da propagação eletromagnética: no plano, clicando sobre o botão MODO D conforme Fig. 3, e no espaço, clicando sobre MODO 3D conforme Fig. 4. No MODO D observam-se os fenômenos de refleão e refração da onda eletromagnética acompanhados das NTM - 361

5 variações nas intensidades de maneira bastante clara, enquanto que no MODO 3D torna-se possível verificar melhor a propagação da energia eletromagnética nos dois sentidos, onde o usuário pode testemunhar o conceito conhecido do Vetor de Ponting. Figura 3. Tela do Simulador de Ondas Eletromagnéticas para o MODO D Figura 4. Tela do Simulador de Ondas Eletromagnéticas para o MODO 3D Nesta versão é possível, por meio de botões deslizantes destacados pela Fig. 5, alterar a célula onde será aplicado o pulso bem como a célula que define a fronteira entre os meios (vácuo/dielétrico). Figura 5. Ajustes das posições do pulso e do dielétrico em relação à propagação da onda. As Figs. 6, 7 e 8 apresentam uma seqüência de alguns quadros obtidos com o simulador, à esquerda no MODO D e à direita no MODO 3D, decorridos respectivamente 0, 30 e 440 passos de tempo, complementando o ilustrado nas Figs. 3 e 4 onde estão apresentados aqueles obtidos após 100 passos de tempo. A mostra destas figuras ilustra, de um modo estático, 4 situações da eposição animada que o simulador pode eibir. Todas as telas que eemplificam o funcionamento do simulador, foram obtidas utilizando-se 00 células para o espaço do problema (representado por KE no algoritmo básico), estando a fronteira entre o vácuo e o dielétrico estabelecida em KE/. Um pulso gaussiano foi aplicado na célula 5 (parâmetro KP) que se propagou em ambas as direções, dando curso à simulação propriamente dita. Decorridos 0 passos de tempo, a propagação do pulso à esquerda já foi absorvida pela respectiva fronteira e a propagação à direita começa a cruzar a interface entre o vácuo e o dielétrico, conforme a Fig. 6, mais facilmente pelo NTM - 36

6 MODO D. Por outro lado, o MODO 3D eibe os campos em ortogonalidade, ilustrando o produto vetorial dos campos, descrito na teoria eletromagnética como o Vetor de Ponting. Figura 6. Quadros da propagação eletromagnética após 0 passos de tempo. A Fig. 7 a seguir, mostra a situação dos campos decorridos 30 passos de tempo, onde a propagação já atingiu o dielétrico, o campo elétrico foi atenuado neste meio e ocorreram refleões dos campos elétrico e magnético no vácuo, com oposição e concordância de fases respectivamente, respeitando novamente o sentido do Vetor de Ponting, em destaque pela eibição tridimensional no MODO 3D. Finalmente, da Fig. 8, cabe destacar a evidência na diminuição da velocidade de propagação do pulso refratado em relação ao pulso refletido, uma vez que a refleão já atingiu a fronteira, enquanto que a onda transmitida ainda está se propagando no meio dielétrico. Figura 7. Quadros da propagação eletromagnética após 30 passos de tempo. 4. CONCLUSÕES Figura 8. Quadros da propagação eletromagnética após 440 passos de tempo. O presente trabalho descreve um simulador de ondas eletromagnéticas através da conjunção entre um método NTM - 363

7 numérico de eficiência comprovada e um ambiente computacional científico que dia após dia vem se firmando como uma ferramenta poderosa de auílio ao estudo das ciências eatas nos meios acadêmicos. Cabe ressaltar que a simulação apresentada no corpo deste trabalho representa apenas uma pequena amostra das inúmeras possibilidades de simulações que podem ser realizadas através da mudança do tipo de fonte utilizada e seus parâmetros, do meio de propagação e do próprio espaço do problema estendendo-o para duas e três dimensões. 5. REFERÊNCIAS [1] D. Hallida, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, LTC, Rio de Janeiro, RJ: 1996, p [] M. A. G. V. Bulho, R. P. Fantasia, N. P. Alcantara Jr, Um Simulador de Ondas Eletromagnéticas para o Ambiente Windows, Baseado Numa Formulação Bidimensional do TLM, in Anais do III Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, pp [3] K. S. Kunz, R. J. Luebbers, The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics, CRC Press, Boca Ratón, FL:1993, p. 3. [4] A. Taflove, Computational Electrodnamics: The Finite-Difference Time Domain, Artech House, Boston, MA:1993, p [5] D. M. Sullivan, Electromagnetic Simulation Using the FDTD Method, IEEE Press, New York, NY:000, p.. NTM - 364