Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática

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1 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática Sociedade Brasileira de História da Matemática Complementaridade no ensino de logaritmos a partir de três olhares históricos Complementarity in the teaching of logarithms from three historical perspectives Evanildo Costa Soares 1 Resumo Este trabalho identifica como a abordagem conceitual e didática dada aos logaritmos nos principais livros de Matemática do Ensino Médio adotados na rede pública de Ensino de Natal/RN e sugere, a partir de uma investigação histórica sobre os logaritmos, como o professor de matemática pode complementar sua abordagem didática desse conteúdo em sala de aula, associando ao livro didático, as informações conceituais extraídas da história da Matemática. Com base nessa investigação histórica, proponho um modelo de abordagens de logaritmos centrado em três conceituações: o aritmético, o geométrico e o algébrico-funcional, sugerindo, ainda, algumas atividades focando a mobilização de práticas sociais na história. Palavras-chave: Conceituação aritmética. Conceituação geométrica. Conceituação algébrico-funcional; Abstract This work identifies how the conceptual approach and teaching logarithm given in the main books of Mathematics in Secondary Education adopted public education of Natal/RN and suggests, from a historical investigation of the logarithms, as the mathematics teacher can supplement their didactic approach that content in the classroom, linking the textbook, the information extracted from the conceptual history of Mathematics. Based on this historical research, I propose a model of logarithms approaches focused on three concepts: the arithmetic, the geometric and algebraic-functional, suggesting also some activities focusing on the mobilization of social practices in history. Keywords: Concept arithmetic. Concepts geometric. Concept algebraic-functional. Introdução A Matemática tem sido considerada como uma disciplina problemática, pois muitos enfrentam alguns obstáculos epistemológicos para entender e aprender certos conteúdos que envolva aritmética e álgebra. Nas escolas de Ensino Fundamental e Médio, ela é representada socialmente como uma disciplina de difícil compreensão, complicada e inacessível aos alunos. Há indícios de que ela tem sido ensinada de maneira a amedrontar esses aprendizes, pois grande maioria desses procura cursos universitários ou profissionalizantes em outras 1 UFRN. nildo_23@hotmail.com

2 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática 2 áreas com a ideia de não usar a Matemática em seu cotidiano, fato esse que tem chamado a atenção de docentes da rede de ensino bem como de pesquisadores da área de Educação Matemática. Nos dias atuais, a abordagem desse conteúdo no Ensino Médio quase sempre é realizada de forma mecânica devido ao uso retórico da álgebra e de poucas aplicabilidades desse conteúdo na sociedade atual. A maneira como está sendo ensinado em sala de aula não facilita e nem desperta no aluno a curiosidade para um estudo crítico e reflexivo sobre a aprendizagem dos logaritmos. Nas escolas de Ensino Médio, os alunos apresentam uma grande dificuldade em compreender as operações envolvidas na aprendizagem de logaritmos, pois para os mesmos retrata de um conteúdo de difícil entendimento, e que eles não conseguem fazer relações práticas com esse assunto, acreditam que para aprender logaritmos é necessário entender o que seja função exponencial tornando-se assim um pré-requisito para sua aprendizagem. Este trabalho identifica como a abordagem conceitual e didática dada aos logaritmos é apresentada nos principais livros didáticos de Matemática do Ensino Médio adotados na Rede Pública de Ensino de Natal/RN e sugere, a partir de uma investigação histórica sobre os logaritmos, como o professor de matemática pode complementar sua abordagem didática do assunto em sala de aula, associando ao livro didático, as informações conceituais extraídas da história dos logaritmos. Com base na investigação histórica realizada, proponho um modelo de abordagem dos logaritmos centrado em três conceituações: o aritmético, o geométrico e o algébrico-funcional, sugerindo, ainda, algumas atividades focando a mobilização de práticas sociais na história, tais como sugerem Miguel e Mendes (20). Abordagens dos logaritmos nos livros didáticos de Matemática do século XXI No que concerne a abordagem dos conteúdos em Matemática, o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) e o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM), registram como são trabalhados, distribuídos e selecionados nos campos da matemática (Geometria, Álgebra, Trigonometria e Aritmética). Os recursos metodológicos são fundamentados em atividades ou resoluções problemas que de certo modo são empregadas de forma mecânica com nível inferior de contextualização. Seguindo como referência a abrangência dos conteúdos em Matemática adotados pelos livros didáticos. Eles são fundamentados por modelos matemáticos que incluem conceitos, relações entre conceitos, procedimentos e representações simbólicas que, num processo

3 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática 3 contínuo, passam de instrumento na resolução a objeto próprio do conhecimento. (BRASIL, 20, p. 20). Os livros didáticos de Matemática são essenciais para o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Contudo, em alguns momentos, eles não ajudam tanto no processo ensino de matemática. Os recursos metodológicos, o grau de abstração e a forma como é abordado o conteúdo não constitui um objeto que auxilie o aluno no processo de aprendizagem da Matemática, pelo contrário, dificulta-o na compreensão do conteúdo e a sua abordagem crítica. Vamos analisar a abordagem dos logaritmos presentes nos livros didáticos atuais, tendo em vista, especialmente, como é abordado o conceito e aplicações. Os livros didáticos de Matemática usados no Ensino Médio não questionam bem a importância do logaritmo e quais suas principais funções para o ensino. Os livros didáticos não são objetivos, trazem definições por meio de uma situação-problema, apresentando textos complementares utilizados. Os livros apesar de apresentarem uma linguagem acessível e dirigida ao leitor/aluno, não possibilitam uma maior participação deste, onde a participação do aluno acontece apenas através da resolução de exercícios e exemplos. Os livros são ricos em figuras ilustrativas, mas uso dessas figuras não ajuda e nem desperta o aluno para o ensino de Matemática tal pouco para compreensão e o uso de situações-problemas. Existem normalmente três princípios básicos para abordagem conceitual de logaritmos, são eles: o geométrico, o aritmético e o algébrico-funcional. Buscaremos nesses livros didáticos como eles abordam o conceito de logaritmos seguindo como referencia essas perspectivas. A abordagem desse conteúdo nos livros didáticos é bem resumida, isto é, apresentam uma forma sucinta do que sejam os logaritmos. Utilizam uma linguagem de difícil compreensão, sem preocupar-se em obter nenhuma relação prática desse instrumento de cálculos - logaritmos. Constata-se que os livros didáticos de Matemática do século XXI não exploram o uso prático dos logaritmos e nem informam como devemos usar esse conteúdo de modo que possa facilitar o professor no processo de ensino-aprendizagem da Matemática nos dias atuais. A definição comentada é diagnosticada de forma clara e concisa sobre os logaritmos como se o aluno já tivesse algum conhecimento sobre esse instrumento de cálculo. A ideia formulada por cada autor é sucinta e direta, sem mencionar nenhuma relação histórica e epistemológica desse tópico, sobretudo, conectada com a realidade em que vivemos. Além disso, sua fundamentação conceitual possui um teor algébrico e funcional de difícil compreensão, por parte do leitor, mesmo com alguma formação matemática.

4 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática 4 Percebe-se que a maioria dos livros didáticos de Matemática do Ensino Médio se apropria da concepção algébrico-funcional dos logaritmos nos dias atuais. Isto ocorre devido ao avanço da álgebra retórica no século XX. As novas tecnologias (computadores e calculadoras) também contribuíram para que os livros seguissem esse método como abordagem conceitual. A seguir, faremos uma abordagem histórica dos logaritmos destacando a importância dessas três concepções no estudo investigativo dos logaritmos. Vejamos, por exemplo, como dois autores caracterizam a abordagem conceitual dos logaritmos: No livro Matemática ciências e aplicações, Gelson Iezzi et al (2004) buscam introduzir o conceito usando uma revisão sobre estudo de função exponencial. Para chegar a uma definição precisa, eles se apropriam de uma situação-problema no intuito de entender como funciona o logaritmo. Essa situação-problema o leva a descrever uma função exponencial e, consequentemente, o logaritmo em termos característicos e formais. Assim eles definem o logaritmo: Dados os números reais a e b (com a > 0, a 1 e b > 0, chama-se função logarítmica de base a a função dada pela lei x = log a b, onde a x = b. Em seguida são dados alguns exemplos e como são explorados seguindo como parâmetro essa definição. A concepção adota por esses autores é algébrico-funcional. No livro de autoria de Manoel Paiva (2005, p. 167) define logaritmo da seguinte maneira: sejam a e b números reais positivos e b 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que b x = a. Em símbolos: log b a = x b x = a. A essa nomenclatura log b a = x, ele esclarece que a é chamado de logaritmando, b é chamado de base do logaritmo e x é chamado de logaritmo de a na base b. De acordo com a definição, o autor propõe uma série de exercícios que são explorados como conseqüência da definição, sem apresentar nenhuma relação prática. A conceituação logarítmica abordada nesse livro é algébrico-funcional. Contribuições do contexto histórico conceitual dos logaritmos para o ensino O ensino de logaritmos é uma das ferramentas fundamentais que deve ser utilizada no ensino de matemática nos dias atuais. Nossa busca em textos históricos foi na tentativa de oferecer ao professor um corpo de informações conceituais e didáticas sobre esse tópico abordado. John Napier ( ) tornou-se o primeiro homem a criar os logaritmos. A proposta de Napier para a invenção dos logaritmos foi muito significante para a ciência, além de auxiliar os astrônomos na simplificação dos cálculos trigonométricos daquela época ajudou no desenvolvimento computacional bem como na invenção da calculadora. Henry Briggs ( ) foi o segundo homem que junto a Napier redefiniu e configurou os logaritmos, que são conhecidos nos nossos dias como logaritmos de base dez. Esses logaritmos são

5 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática 5 abordados nos livros didáticos de Matemática do século XXI. Então, essa análise prática e histórica inicial abordada por esses autores foram fundamentais para que surgissem diversos pontos específicos e estudos que caracterizaram três formas de concepções conceituais de logaritmos. A conceituação geométrica dos logaritmos foi definida a partir de uma experiência prática de Napier segundo a qual ele definiu como instrumento de cálculo geométrico, ou seja, logaritmos em termos de medida envolvendo retas. Sendo assim, Napier propôs sua primeira análise a respeito do logaritmo através de uma experiência prática e de acordo, em linguagem moderna, concebeu os seus logaritmos da seguinte maneira: Imaginemos os pontos C e F percorrendo respectivamente o segmento AB e a semi-reta DX (como mostra a figura 18 a seguir), partindo ao mesmo tempo do ponto A e do ponto D, com a mesma velocidade inicial, admitamos ainda que, numericamente, a velocidade de C seja dada sempre pela medida de CB e que a velocidade de F seja constante; nessas condições Napier definiu como logaritmo de x = CB o número y = DF. Assim, explicitamente, nesse conceito não intervém a idéia de base. (EVES, 1997, p. 243) De acordo com Miguel e Miorim (2002) o procedimento adotado por Napier para descrever esse trabalho em termos práticos foi desenvolvido por uma ideia comparativa entre duas relações matemáticas chamadas de progressões aritméticas e geométricas. Esse método era conhecido, como relações de Stiffel, nome designado ao inventor Michael Stifel ( ). Figura: Imagem retirada do livro, Introdução à história da matemática, Eves (1997). A partir desta proposição prática, Napier definiu os logaritmos assim: N = 7 1 x (1-7 ) L, onde N um número e L o respectivo logaritmo. Refazendo temo: 7 N = x [ (1-7 ) ] L. Olhando para dentro do colchete e detendo a atenção na grandeza do expoente,

6 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática (1 7 ), percebe-se que quanto mais se aumenta o valor na potencia de dez, mais próximo N está de um certo valor. 7 1 (1-7 ) = lim (1 - x 1 ) x = e 1. x + Reconfigurando de outra forma, temos: 1 x 1 lim (1 - ) = lim [ 1 + ( )] x x x x + x + seja n = -x => x = -n, tem-se lim ( 1 + n 1 ) n + n = lim [ ( 1 + n 1 ) n ] n = e = e Olhando para dentro do colchete e detendo-se na seqüência, temos lim ( 1 + n 1 ) n = e n + Esse conceito de logaritmos apresentado por Napier o fez interessar-se cada vez mais pelo estudo significativo desse tópico. A sequência apresentada acima não nos convém ser demonstrada, pois ela funciona como suporte teórico para representar o significado do número e. Essa análise construtiva o levou adiante a primeira ideia do que fosse o número e, e no século XVIII, fosse demonstrada por Leonard Euler a seguinte relação: lim ( 1 + n 1 ) n = e n + Observe, em termos práticos: ,01 1, , , , e = 2, ,

7 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática 7 Baseado na aplicação dos termos numéricos, Euler chamou esse valor encontrado de número de Euler, sendo reconhecido pelos principais estudiosos como Neperiano ou número e. Essa concepção geométrica dos logaritmos ajudou a mostrar que o número e é a base dos logaritmos naturais. A maneira que abordamos essa conceituação de logaritmos não é usada nos livros didáticos de Matemática. Portanto, de abordagem conceitual. Sobre a conceituação aritmética dos logaritmos, percebemos que os fundamentos para o desenvolvimento dessa conceituação emergiu das relações de Stifel. Um dos meios mais utilizados para compreendemos o significado lógico dos logaritmos são as progressões geométricas e progressões aritméticas. Para desenvolver os logaritmos, Napier apropriou-se das progressões aritméticas e geométricas, estabelecendo uma relação entre elas, obtendo o que os livros didáticos chamam de conceito de logaritmo. Para entendermos o conceito de logaritmo ou em que consistem os logaritmos, ampliando o significado lógico dessa expressão apresentada nos livros didáticos, tomamos a ideia provinda de Napier, obtida pela as relações entre as progressões geométricas e progressões aritméticas. Vejamos: (Progressão Geométrica) (Progressão Aritmética) A sua primeira observação apontou que o produto de dois termos da primeira progressão está associado com a soma dos dois termos correspondente da segunda progressão. Por exemplo, na progressão aritmética, a soma de 2+3=5. Enquanto na progressão geométrica corresponde a 4.8 = 32. Reescrevendo essa ideia na base 2, temos: (Progressão Geométrica) (Progressão Aritmética) Observando essa ideia deparamo-nos com o conceito de Napier sobre suas retas, ou seja, que os elementos postos sobre a progressão geométrica são os que saem com velocidade variada, enquanto isso os da progressão aritmética são os que partem com velocidade constante. Em outras palavras, os termos da progressão aritmética são os respectivos logaritmos da progressão geométrica. Observe: 2 1 = = 4...

8 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática = 512 O valor 2 é uma constante que eleva os valores 1, 2, 3, 4,...9, ou seja, a essa constante 2 que denominaremos de base do logaritmo. Os valores dos resultados de cada potenciação 2, 4, 8, 16, denominaremos de logaritmando. E os logaritmos são os respectivos valores de cada expoente, que elevados à base encontram o logaritmando. De outra forma, os logaritmos são os respectivos valores que acompanham os termos de uma progressão aritmética. Assim, Por exemplo: log 2 64 = 6 logo, 2 6 = 64. Reescrevendo de uma forma geral tem-se: a a² a 3 a 4... a m... a n (Progressão Geométrica) b... c (Progressão Aritmética) Dizemos a m = b Reescrevendo na forma de logaritmo log a b = m Assim, dizemos que m é o logaritmo de b na base a, onde a > 0 e a 1 e b > 0 para quaisquer que sejam a, b e m reais. Essa ideia proposta por Napier nos leva a compreender melhor os logaritmos, ampliando o conhecimento do professor no intuito que desenvolva uma aprendizagem com significado. Portanto, essa caracterização dos logaritmos nos conduz a questionarmos em qual campo numérico os logaritmos são válidos. Com relação à conceituação algébrico-funcional dos logaritmos, percebemos que a mesma aparece da seguinte forma, ou seja, da ideia de potencia e do estudo de funções exponenciais. Essa conceituação é abordada pelos os livros didáticos de matemáticas do século XX. Essa concepção explora os logaritmos em termos de duas variáveis (incógnitas) sendo definidas em termos exponenciais e representadas graficamente pelo estudo de função que recebe o nome de função logarítmica. De acordo com Miguel e Miorim (2002, p. 84) essa conceituação só foi pertinente devido a Willian Gardier, no seu livro Tables of logarithmos (Tábuas dos logaritmos), quem forneceu a primeira exposição sistemática dos logaritmos concebidos como expoentes. Nessa

9 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática 9 obra, Gardier define o logaritmo comum de um número como o índice ou expoente de potencias de que é igual a esse número. Desse modo, foram transcorridos cerca de 140 anos, a partir do momento em que os logaritmos foram originalmente concebidos por Napier, antes da elaboração explícita de uma concepção estritamente algébrica dos mesmos como expoentes. Essa conceituação desenvolvida desencadeou o estudo de logaritmos, sendo abordados nos séculos XIX de acordo com várias reformas ocorridas no Ensino de Matemática em termos algébricos pelos os livros didático da Matemática, principalmente aqueles usados no Ensino Médio atualmente. Desse modo, os procedimentos usados sobre essas três conceituações logarítmicas podem ser usados pelos os professores como sugestões de atividades em sala de aula. Neste caso, tal abordagem como sugerimos busca a mobilização de práticas sociais na história, principalmente, tais como sugerem Miguel e Mendes (20). Considerações finais Ao longo dos parágrafos anteriores utilizamos informações históricas para explicar como foram construídas as noções e conceitos que caracterizaram as conceituações geométrica, aritmética e algébrico-funcional dos logaritmos, considerando sua complementaridade conceitual no ensino Médio, bem como suas aplicações práticas na formação dos estudantes, tendo em vista que essas múltiplas relações conceituais são essenciais e significantes no processo de ensino-aprendizagem de tal assunto e que implicam em uma conexão interdisciplinar da Matemática aprendida. Partindo das explanações apresentadas neste artigo argumentamos que o tema abordado aqui buscou dar ao professor possibilidades de ampliação conceitual sobre a abordagem dos logaritmos de modo a auxiliá-lo em uma abordagem didática esclarecedora dos aspectos abordados nos livros didáticos de Matemática que utiliza. Assim sendo, a contextualização e problematização histórica dos logaritmos mencionadas neste artigo certamente contribuirão para se desenvolver uma abordagem contextualizada desse tópico matemático no Ensino Médio. Nesse sentido, destacamos que essa abordagem conceitual destaca, especialmente, os três enfoques conceituais: o aritmético, o geométrico e o algébrico funcional, posto que os mesmos são importantes para abordar os logaritmos no Ensino Médio. Essa forma de abordagem conceitual certamente dará ao professor oportunidade de operar uma problematização estudo significativo dos logaritmos quando o mesmo utilizar o livro didático em sala de aula. Assim sendo, as três conceituações descritas e conectadas neste

10 Anais do IX Seminário Nacional de História da Matemática trabalho, quando utilizadas criativamente, não só ajudarão ao professor a superar a ausência didática e esclarecedora dos livros didáticos como também direcionarão os estudantes para uma compreensão conceitual de logaritmos mais ampla. Referências EVES, H. Introdução à história da matemática. São Paulo: Ed. da UNICAMP, BRASIL. Ministério da Educação. Programa Nacional do Livro Didático. Guia de livro didático. 5 a a 8 a séries. Matemática. Brasília: MEC/ PNLD, (Material em PDF). BRASIL. Secretaria da Educação Básica. Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio. Catálogo do Programa Nacional do Ensino Médio. Brasília: MEC/ SEB/ PNLEM, (Material em PDF). IEZZI, G. e outros. Matemática ciências e aplicações. São Paulo: Atual, 2004, vol. 1. PAIVA, M. Matemática. São Paulo: Moderna, 2005 vol. único. MENDES, I. A.; SOARES, E. C. A criação dos logaritmos nos fins do século XVI: as contribuições de Napier, Briggs e Burgi. In: MENDES, I. A. (Org.). A matemática no século de Andrea Palladio. Natal: Edufrn, MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMat, MIGUEL, A; MENDES, I. A. Mobilizing histories in mathematics teacher education: memories, social practices, and discursive games. ZDM, n o 42, 20. p