Cálculo do tamanho amostral e da potência estatística. Paulo Nogueira

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1 Cálculo do tamanho amostral e da potência estatística Paulo Nogueira

2 Exemplo 1 Existe diferença na eficácia do Salbutamol e do ipratropium no tratamento da Asma? O investigador delineou um ensaio aleatorizado do efeito destes fármacos na FEV1 (Forced Experatory Volume durante um segundo) após uma semana do tratamento. Um estudo anterior relatou que a média do FEV1 em pessoas com asma tratadas 2.0 litros, com desvio padrão de 1.0 litros. O investigador pretende ser capaz de detectar uma diferença de 10% ou mais na média de FEV1 entre os dois grupos de tratamento. Quantos pacientes são necessários em cada grupo (Salbutamol e ipratropium ) para alfa (bi-caudal) de 5% e uma potência de 80%?

3 Variáveis Que variáveis estão envolvidas neste problema? De que tipo são estas variáveis? Como é usual estudar (estatisticamente) este problema, qual é o teste usado?

4 Hipóteses Qual a hipótese em estudo? Qual a hipótese nula? Qual a hipótese alternativa?

5 Termos Que termos do problema são novos?

6 Exemplo 2 Fumadores idosos têm maior incidência de cancro da pele do que os não fumadores? Uma revisão da literatura científica pré existente sugere que a incidência 5 anos de cancro da pele é cerca de 0,20 nos não fumadores idosos. A um nível de alfa de 5% (bi-caudal) e uma potência de 80%, quantos fumadores e não fumadores é necessário estudar para determinar se a incidência 5 anos de cancro da pele é pelo menos 0,30 nos fumadores?

7 Variáveis Que variáveis estão envolvidas neste problema? de que tipo são estas variáveis? Como é usual estudar (estatisticamente) este problema, qual é o teste usado?

8 Hipóteses Qual a hipótese em estudo? Qual a hipótese nula? Qual a hipótese alternativa?

9 Termos Que termos do problema são novos?

10 Noções breves de Estatística stica Para que serve a estatística? Qual o seu principal objectivo?

11 Noções breves de Estatística stica Para que serve a estatística? Qual o seu principal objectivo? Recolha, organização, classificação, análise e interpretação de dados através da criação de instrumentos adequados: quadros, gráficos, permitindo de uma maneira geral fazer inferências a partir de um conjunto de dados. obter conclusões sobre a população usando uma amostra! População Amostragem Amostra Uma ou mais variáveis (X) são observadas

12 Noções de Estatística stica População conjunto de objectos, indivíduos ou resultados experimentais acerca do qual se pretende estudar alguma característica comum. Aos elementos da população chamamos unidades estatísticas. Amostra parte ou subconjunto da população que é observada com o objectivo de obter informação para estudar a característica pretendida. População Amostragem Amostra Verdadeiro valor µ medição Uma ou mais variáveis (X) são observadas média

13 Noções breves de Estatística stica 1. Estatística Descritiva Explorar, apresentar e resumir os dados da amostra. (tabelas, Gráficos, medidas de localização, medidas de dispersão, etc.) 2. Inferência Estatística Afirmações sobre parâmetros da população. (Estimativas pontuais, intervalos de confiança, Testes de hipóteses)

14 Noções breves de Estatística stica Exemplos de variáveis X - indica o Sexo (Masculino, Feminino). X - representa a Altura (cm). X - representa o Número de filhos. X - representa o Grupo Sanguíneo. X - representa o Colesterol (mg/dl) X - representa o Resultado do Tratamento (melhoria, sem alterações, pioria). Tipos de Variáveis Qualitativas Quantitativas

15 Qualitativas Nominais Não existe uma ordem entre as categorias Exemplos: Sexo (dicotómica), Grupo sanguíneo (policotómico). Ordinais Noções de Estatística stica Existe uma ordem natural Exemplos: Resultado do tratamento ( - ; = ; + ) Habilitações literárias Classe social.

16 Quantitativas Discretas (contagens) Exemplos: Nº. de elementos do agregado familiar. Número de glóbulos brancos numa amostra de sangue. Contínuas Noções de Estatística stica Exemplos: Altura, Idade, Pressão arterial.

17 Testes de Hipóteses Hipótese H 0 : Não existe efeito vs. H 1 : Existe efeito Hipótese nula Hipótese alternativa Estatística de teste Varia conforme a natureza do problema Distribuição da estatística de teste Varia conforme a natureza do problema Decisão (Região Crítica) Ou rejeito a hipótese nula o que significa que existe um efeito de tratamento Ou não rejeito a hipótese nula o que significa que não existem evidências de um efeito de tratamento

18 Aceitar ou Não rejeitar? Do ponto de vista estatístico puro não se diz Aceito H 0, porque existem sempre erros. O facto de não se rejeitar H 0 pode ter duas causas: Ou o efeito não existe Ou não existe potência para mostrar o efeito.

19 Interpretação dos p-values O p-value é a probabilidade de observar os dados quando a hipótese nula é verdadeira. Por exemplo num ensaio clínico Estamos interessados na diferença observada entre dois grupos de tratamento. Relacionamos então os dados com a provável variação numa amostra devida ao acaso quando a hipótese nula é verdadeira na população. Regra geral, Se o p-value > 0,05 Se o p-value < 0,05 Se o p-value < 0,01 o resultado do teste não é significativo o resultado do teste é significativo (rejeita-se a hipótese nula) Pode-se dizer que o resultado é muito significativo

20 Erros de Tipo I e Tipo II Existem sempre erros ao fazer um teste de hipóteses. Realidade: H 0 Decisão: H 0 Verdadeira Verdadeira confiança 1 α Falsa Erro II β Falsa Erro I α Potência 1 β

21 [ de tipo I] [ Rejeitar H H é verdadeira] α = P erro = P 0 0 [ de tipo II] [ Não Rejeitar H H é falsa] β = P erro = P 0 0 Potência = = P [ Rejeitar H H é Falsa] 1 β 0 0

22 Amostragem POPULAÇÃO Conjunto de elementos que partilham pelo menos uma característica comum Colecção completa de unidades, a partir da qual se podem constituir amostras (universo) AMOSTRA Uma parte seleccionada de uma população UNIDADE DE OBSERVAÇÃO Cada um dos elementos da amostra

23 Passos para a amostragem Definição do tamanho da amostra número de elementos a seleccionar Sobre dimensionamento para precaver as perdas ou não respostas Escolha de uma boa lista (pool) da população Método aleatório para a selecção dos elementos Método rigoroso de colheita dos dados

24 Recolha da amostra (como é que eu faço a recolha da amostra?) Não há respostas mágicas! Devemos procurar não incorrer em erros sistemáticos? Erros que a metodologia estatística não controla

25 Que factores podem afectar o fenómeno que estamos a medir? Tempo? Espaço/geografia? Vegetação/água? Evitar erro sistemático! Não fazer amostragem sempre no mesmo dia da semana; à mesma hora do dia. Não deixar amostragem depender do critério pessoal Fazer plano de amostragem Fazer aleatorização

26 A amostra é recolhida numa única sessão ou em várias? Uma única sessão pode não cobrir toda a variabilidade existente aleatorizar

27 Planear! Conceber uma grelha Listar freguesias/localidades/áreas Listar, listar, listar Seleccionar aleatoriamente Recolher

28 Lista de números aleatórios Excel SPSS Etc.

29 Sequência de números aleatórios Obtida com o EXCEL (Folha de dados)

30 Leitura da lista de números aleatórios Escolher ao acaso uma posição (apontar de olhos fechados) Numa lista feita expressamente para o efeito não é muito importante verificar esta regra Escolher uma direcção (esq-dta) ou (cima-parabaixo) Listar número Se o número é repetido ignorar e passar ao seguinte Se o número não existe nos nossos itens (ex 18 e só temos itens de 1 a 16) ignorar e passar ao seguinte

31 Exemplo Vamos ler a esq-dta (em linha) Escolher 3 unidades amostrais Escolhida posição inicial suponhamos linha 4, coluna 2 6;13 O número seguinte é 6 novamente, já faz parte da lista, passamos ao seguinte 8 A lista final é 6;13;8

32 resultado Amostra probabilística todos os elementos tiveram a mesma probabilidade de fazer parte da amostra

33 Regra prática para fazer uma lista no Excel Numa qualquer célula, escrever: =int(aleatório()*k+1) Arrastar fórmula ao longo de várias células k é o número máximo de itens da lista A função aleatório() é volátil, sempre que fizermos alguma operação no excel a lista muda.

34 Tamanho da amostra (qual é a dimensão da amostra que preciso?) Perguntas comuns que não se devem fazer! Qual é o tamanho de amostra significativo? Qual é o tamanho de amostra representativo para o meu caso?

35 Coisas que se deve evitar dizer: Não há dados nenhuns sobre este meu tema; Não se sabe nada sobre o assunto; Estamos a partir do zero. Se for o caso, o que se pode fazer está mais ou menos bem definido

36 Tamanho da amostra (qual é a dimensão da amostra que preciso?) Situações usuais Uma população Proporções/prevalências Médias Duas populações Comparação de Proporções Comparação de Médias Correlação Risco relativo Correlação Várias populações ANOVA Regressão Emparelhamento Proporções Médias

37 Tamanho da amostra (qual é a dimensão da amostra que preciso?) Situações usuais Uma população Proporções/prevalências Médias Duas populações Comparação de Proporções Comparação de Médias Correlação Risco relativo Várias populações ANOVA Emparelhamento Proporções Médias Situações mais comuns

38 Tamanho da amostra (qual é a dimensão da amostra que preciso?) Situações usuais Uma população Proporções/prevalências Médias Duas populações Comparação de Proporções Comparação de Médias Correlação Risco relativo Várias populações ANOVA Emparelhamento Proporções Médias Situações mais fáceis

39 Para determinar um tamanho de amostra o investigador tem de responder a diversas questões Qual a variação dos dados? Qual o erro que tolera na conclusão de que existe um efeito/diferença quando na realidade ele(a) não existe? Qual a magnitude do efeito/diferença a detectar? Qual a certeza com que queremos detectar o efeito/diferença?

40 Passos para a amostragem Definição do tamanho da amostra número de elementos a seleccionar Sobre dimensionamento para precaver as perdas ou não respostas Escolha de uma boa lista (pool) da população Método aleatório para a selecção dos elementos Método rigoroso de colheita dos dados

41 Linguagem estatística Erro tipo I (α) Probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando é verdadeira Erro tipo II (β) Probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa Potência (1-β) Probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando é falsa Confiança (1-α) Probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando é verdadeira Quantis de distribuições Normal T-de-student F Diferença (Effect size)

42 A considerar Qual a variação dos dados? Quando se trata de uma proporção (estimar a prevalência de asma região Norte) Basta ter a estimativa da proporção (estimar a prevalência de carraças na região Norte) Não é um problema muito grave Quando se trata de uma média (nível de colesterol numa população específica) É necessário ter uma noção do valor médio esperado e da respectiva variância revisão bibliográfica Estudo piloto

43 A considerar Qual o erro que toleramos na conclusão de que existe um efeito/uma diferença quando na realidade ele(a) não existe? Estamos a falar do alfa, α, nível de significância É usual usar-se 5%

44 A considerar Qual a magnitude do efeito a detectar? Unidades (pontos) percentuais Diferença das médias

45 A considerar Qual a certeza com que queremos detectar o efeito/diferença? Estamos a falar da potência São usuais valores de 90%, Não é invulgar o uso de 80% Maior potência = maior tamanho da amostra

46 Fórmula simples para determinar a dimensão da amostra Para uma média n = 4s d 2 2 s é o desvio padrão d é a diferença que se pretende ser capaz de detectar

47 exemplo Um investigador procura determinar o QI médio em indivíduos do 3ºCiclo de uma determinada área urbana com um intervalo de confiança de +-6 pontos Um estudo anterior determinou que o desvio padrão do QI do mesmo tipo de indivíduos numa cidade semelhante era 15 pontos. Determine o tamanho de amostra necessário para cumprir os objectivos do investigador com um nível de confiança de 95%.

48 Exemplo (continuação) n = = 25 São necessários pelo menos 25 indivíduos

49 Fórmula simples para determinar a dimensão da amostra Para uma proporção/prevalência 4 p(1 p) n = d 2 Esta fórmula é idêntica à da média com s^2=p(1-p) d é a diferença que se pretende ser capaz de detectar

50 exemplo Um investigador pretende determinar a sensibilidade de um novo teste de diagnóstico para um determinado cancro. Com base em informação dum estudo piloto, espera que 80% dos pacientes com esse cancro tenham teste positivo. Quantos pacientes são necessários para estimar um intervalo de confiança de 95% para a sensibilidade do teste na forma 0,80+-0,05?

51 Exemplo (continuação) n = 4 0,8 0,05 0,2 2 = 256 São necessários pelo menos 256 pacientes

52 Exemplo (continuação) n = 4 0,8 0,2 = 0, n = 4 0,8 0,01 0,2 2 = 6400 Nota: precisão 4 x maior = tamanho da amostra 16 x maior

53 Como dimensionar uma amostra? ( ) Considere-se d a precisão absoluta: d = z V ˆ θ Para uma População Infinita (Amostragem Com Reposição): Estimação de µ : n = 2 z d α 1 2 α σ 2 Estimação de p : n z = α p(1 d 2 p)

54 Usando as fórmulas rigorosas no exemplo anterior (proporção) fixando o size effect em 0,05 O Tamanho amostral seria 246 para alfa 5% seria 173 para alfa 10% seria 425 para alfa 1%

55 Usando as fórmulas rigorosas no exemplo anterior (para a média) fixando alfa em 5% O Tamanho amostral seria 24 para effect size 0,05 seria 61 para effect size 0,1 seria 6146 para effect size 0,01

56 Fórmula simples para determinar a dimensão da amostra Para comparar duas proporções n = p( 1 p) ( p p ) p = p 0 + p 1 2

57 exemplo Em duas regiões, A e B, fez-se uma estimativa da percentagem de Rhipicephalus sanguineus e que as estimativas apontaram para uma proporção de 30% no conjunto de todas as carraças encontradas na região A, na região B a mesma proporção foi de 25%. Qual devia ser o tamanho amostral para que fosse possível averiguar se estas duas populações são distintas?

58 Exemplo (continuação) p 0 = 0,3 p 1 = 0,25 p = 0,275 n = 16 0,275 (1 0,275) 0,05 2 = 1276 É necessário amostrar pelo menos 1276 carraças em cada região

59 Exemplo (continuação) Suponhamos que as prevalência estimadas são 50% e 45% repectivamente p = 0,5 0 p = 0, 1 45 p = 0,475 n = 16 0,475 (1 0,475) 0,05 2 = 1596 É necessário amostrar pelo menos 1596 carraças em cada região

60 Usando as fórmulas rigorosas no exemplo anterior os resultados análogos seriam

61 Voltando aos exemplos iniciais

62 Exemplo 1 Existe diferença na eficácia do Salbutamol e do ipratropium no tratamento da Asma? O investigador delineou um ensaio aleatorizado do efeito destes fármacos na FEV1 (Forced Experatory Volume durante um segundo) apó uma semana do tratamento. Um estudo anterior relatou que a média do FEV1 em pessoas com asma tratadas 2.0 litros, com desvio padrão de 1.0 litros. O investigador pretende ser capaz de detectar uma dierença de 10% ou mais na média de FEV1 esntre is dois grupos de tratamento. Quantos pacientes são necessários em cada grupo (Salbutamol e ipratropium ) para alfa (bi-caudal) de 5% e uma potência de 80%?

63 Variáveis Que variáveis estão envolvidas neste problema? de que tipo são estas variáveis? Como é usual estudar (estatisticamente) este problema, qual é o teste usado?

64 Hipóteses Qual a hipótese em estudo? Qual a hipótese nula? Qual a hipótese alternativa?

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70 Exemplo 2 Fumadores idosos têm maior incidência de cancro da pele do que os não fumadores? Uma revisão da literatura científica pré existente sugere que a incidência 5 anos de cancro da pele é cerca de 0,20 nos não fumadores idosos. A um nível de alfa de 5% (bi-caudal) e uma potência de 80%, quantos fumadores e não fumadores é necessário estudar para determinar se a incidência 5 anos de cancro da pele é pelo menos 0,30 nos fumadores?

71 Variáveis Que variáveis estão envolvidas neste problema? de que tipo são estas variáveis? Como é usual estudar (estatisticamente) este problema, qual é o teste usado?

72 Hipóteses Qual a hipótese em estudo? Qual a hipótese nula? Qual a hipótese alternativa?

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77 Fundamentos para a determinação do tamanho amostral Paulo Nogueira

78 Medição de variáveis primárias O investigador tem de decidir que variáveis serão incluídas nos cálculos E.g. o uso de uma variável dicotómica, como o género/sexo, como primária resultará numa amostra maior do que se for usada uma escala de 7 pontos

79 Medição de variáveis primárias Um método de determinar o tamanho amostral (TA) é especificar as margens de erro para os itens que são tidos como vitais para o inquérito/estudo É necessária uma estimação do TA para cada um desses itens

80 Medição de variáveis primárias Uma vez completos esses cálculos, teremos N menores para variáveis numéricas, continuas N maiores para variáveis categoriais e dicotómicas Se os n são todos muito próximos escolher o maior Se os n variam substancialmente pode ser difícil escolher o maior Orçamento Excesso de precisão Considerar o relaxamento de algum dos objectivos Desistir de alguns itens

81 Estimação do erro Cochran (1997) usa dois factores chave: 1. O risco que o investigador está disposto a aceitar a margem de erro 2. O nivel, alfa, o nível de risco que o investigador está disposto a aceitar de que a verdadeira margem de erro exceda a margem de erro aceitável (erro tipo 1) Nas fórmulas de cochran o alfa está integrado no t

82 Margem de erro aceitável Dados categoriais 5% Dados contínuos 5%

83 Estimação da variância A estimação da variância para as variáveis primárias é um elemento vital para na determinação do cálculo do TA O investigador não controla e esta tem de ser incorporada nas fórmulas Soluções 1. Fazer amostragem em dois passos 2. Usar dados de um estudo piloto 3. Usar dados de estudos anteriores da mesma população ou de populações semelhantes 4. Estimar ou adivinhar a estrutura da população usando a ajuda lógica de alguns resultados matemáticos

84 Estimação da variância (cont) Racionais que podem ser usados: Variáveis categoriais usar 50% Variáveis numéricas ou contínuas Limites esperados dividir por 6 (número de desvios padrão onde recaem aproximadamente 99% dos valores)

85 Determinação do tamanho Dados numéricos/contíuos Exemplo Alfa = 0,05 Escala de 7 pontos Erro aceitável 3% Estimativa do desvio padrão 7/6 = amostral - básico n o 2 t n o = 2 d s = 2 (7*0.03) 2 2 = 118

86 Determinação do tamanho amostral básico (cont) Supondo que o tamanho da população é conhecido N=1679 O valor obtido n =118 excede 5% da população 1679*0,05 = 84 Deve corrigir-se o TA final n = n n = n 0 N = 111

87 Determinação do tamanho amostral básico (cont) Considerar oversampling Correio acrescentar 40-50% Oneroso mas necessário Métodos que podem ser usados para antecipar a taxa de resposta 1. Fazer amostragem em dois passos 2. Usar resultados de estudos piloto 3. Usar taxas de resposta de estudos anteriores semelhantes 4. Estimar a taxa de resposta (outros investigadores, literatura, etc)

88 Determinação do tamanho amostral básico (cont) Dados categoriais Exemplo Alfa = 0,05 Erro aceitável 5% n o = t 2 p(1 2 d p) Estimativa do desvio padrão da escala 0,5 n o = = 384

89 Determinação do tamanho amostral básico (cont) Supondo que o tamanho da população é conhecido N=1679 O valor obtido n =118 excede 5% da população 1679*0,05 = 84 Deve corrigir-se o TA final n = n n = n 0 N = 313

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91 Outras considerações sobre o cálculo amostral Análise de regressão Para usar a regressão linear múltipla a razão para o número de variáveis independentes não deve ser nunca abaixo de 5. Caso contrário existe elevado risco de overfitting resultado demasiado específicos da amostra e pouco generalizáveis para a população Uma razão mais conservativa de 10 observações para cada variável é apontada como ideal pela literatura Estas razões são críticas para regressões que usam variáveis contínuas, onde em regra é necessário menor TA

92 Outras considerações sobre o cálculo amostral (cont) Exemplo População N=1679 TA dados categoriais n=111 TA dados contínuos n=313 Tipo variável Contínuo Categorial Número de regressores 5 para 1 10 para

93 Análise Factorial Mesmo racional que para a regressão linear Não fazer com menos de 100 observações Aumentar a amostra torna loads mais baixos significativos